北京各区2019届初三数学期末汇编-圆综合题(1)
2019年北京市各区九年级上册期末试卷分类汇编：圆基础(有答案)-(数学)-名师推荐
圆基础★与圆的位置关系1．（密云18期末5）如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AC=4，BC=3.以点A为圆心，AC 长为半径作圆.则下列结论正确的是（ ） A.点B 在圆内B.点B 在圆上C.点B 在圆外D.点B 和圆的位置关系不确定 C2．（门头沟18期末6）已知ABC △，AC =3，CB =4，以点C 为圆心r 为半径作圆，如果点A 、点B 只有一个点在圆内，那么半径r 的取值范围是A ．3r ＞B ．4r ≥C ．34r ＜≤D ．34r ≤≤C3．（顺义18期末13）已知矩形ABCD 中， AB =4，BC =3，以点B 为圆心r为半径作圆，且⊙B 与边CD 有唯一公共点，则r 的取值范围是 ．13．35r ≤≤；4．（石景山18期末14）14．如图，在Rt△ABC 中，︒=∠90C ，AB =10．若以点C 为圆心，CB 为半径的圆恰好经过AB 的中点D ，则AC =________．14．35★圆周角、圆心角5．（密云18期末6）如图，ABC ∆内接于O ，80AOB ∠=︒，则ACB ∠的大小为（ ）A.20︒B.40︒C.80︒D.90︒B6．（大兴18期末2）如图，点A ，B ，P 是⊙O 上的三点，若︒=∠40AOB ，则APB ∠的度数为（ ）A. ︒80B. ︒140C. ︒20D. ︒507．（平谷18期末6）如图，△ABC内接于⊙O，连结OA，OB，∠ABO=40°，则∠C的度数是（）A．100° B．80°C．50° D40°C8．（昌平18期末4）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=50︒，则∠BOC的大小为（）A．40°B．30°C．80° D．100°D9．（门头沟18期末3）如图，DCE∠是圆内接四边形ABCD的一个外角，如果75∠的度数是（）∠=︒，那么BADDCEA．65︒B．75︒C．85︒D．105︒B10．（朝阳18期末6）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，若AB=14，BC=7.则∠BDC的度数是（）A．15° B．30°C．45° D．60°B11．（石景山18期末3）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上．若∠的度数为（）ACD，则BOD∠25=︒A．︒120100B．︒C．︒150130D．︒C（西城18期末5）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD=34°，那么12．∠BAD等于（）．A．34°B．46°C．56° D．66°13．（丰台18期末7）如图，A ，B 是⊙O 上的两点，C 是⊙O 上不与A ，B 重合的任意一点. 如果∠AOB =140°，那么∠ACB 的度数为（ ） A ．70°B ．110°C ．140°D ．70°或110°D14．（怀柔18期末5）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠BOC =100°，则∠A 的大小为 （ ） A ． B ． C ．D ．B15．（通州18期末4）如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上.若︒=∠55ABD ，则BCD ∠的度数为（ ） A ．︒25B ．︒30C ．︒35D ．︒40 C16．（燕山18期末3）3．如图，圆心角 ∠ AOB=25°，将 AB 旋转 n°得到 CD ，则∠ COD 等于（ ） A ．25° B ．25°+ n° C ．50°D ．50°+ n°17．（燕山18期末13）如图，量角器的直径与直角三角尺 ABC 的斜边 AB 重合，其中量角器 0 刻度线的端点 N 与点 A 重合，射线 CP 从 CA 处出发沿顺时针方向以每秒 3°的速度旋转，CP 与量角器的半圆弧交于点 E ，则第 20 秒点 E 在量角器上对应的读数是°13.120°18．（通州18期末15）⊙O 的半径为1，其内接ABC △的边2=AB ，则C ∠的度数为________.19．（东城18期末14）⊙O 是四边形ABCD 的外接圆，AC 平分∠BAD，则正确结论的序号是 .①AB=AD；②BC=CD；③AB AD =；④∠BCA=∠DCA；40︒50︒80︒100︒⑤ BC CD =.20．（丰台18期末14）在平面直角坐标系中，过三点A （0，0），B （2，2），C （4，0）的圆的圆心坐标为 .14.（2，0）；21．（西城18期末16）如图，⊙O 的半径为3，A ，P 两点在⊙O 上，点B在⊙O 内，4tan 3APB ∠=，AB AP ⊥.如果OB ⊥OP ，那么OB 的长为 . 1★垂径定理22．（顺义18期末6）如图，已知⊙O 的半径为6，弦AB 的长为8，则圆心O 到AB 的距离为（ ）A B ．C ．D ．10B23．（石景山18期末4）如图，在⊙O 中，弦AB 垂直平分半径OC ．若⊙O的半径为4，则弦AB 的长为（ ） A ．32 B ．34 C ．52D ．54 B24．（通州18期末6）如图，⊙O 的半径为4.将⊙O 的一部分沿着弦AB翻折，劣弧恰好经过圆心O .则折痕AB 的长为（ ） A. 3 B. 32C. 6D. 34 D25．（怀柔18期末7）某校科技实践社团制作实践设备，小明的操作过程如下：①小明取出老师提供的圆形细铁环，先通过在圆一章中学到的知识找到圆心O ，再任意找出圆O 的一条直径标记为AB （如图1），测量出AB =4分米；②将圆环进行翻折使点B 落在圆心O 的位置，翻折部分的圆环和未翻折的圆环产生交点分别标记为C 、D （如图2）；③用一细橡胶棒连接C 、D 两点（如图3）； ④计算出橡胶棒CD 的长度.小明计算橡胶棒CD 的长度为（ ） A ．22分米 B ．23分米C ．32分米D ．33分米B26．（门头沟18期末13）如图，在△ABC 中，∠A =60°，⊙O 为△ABC 的外接圆．如果BC=那么⊙O 的半径为________. 227．（西城18期末13）如图，⊙O 的半径等于4，如果弦AB 所对的圆心角等于120 ，那么圆心O 到弦AB 的距离等于 . 228．（大兴18期末13）如图，在半径为5cm 的⊙O 中，如果弦AB 的长为8cm ，OC⊥AB，垂足为C ，那么OC 的长为cm ．329．（东城18期末12）如图，AB是⊙O的弦，C是AB的中点，连接OC并延长交⊙O于点D.若CD=1，AB=4,则⊙O的半径是_______.12、5 230．（燕山18期末11）如图，AB、AC是⊙O 的弦，OM ⊥AB，ON⊥ AC，垂足分别为M、N．如果MN=2.5，那么BC=_______5★正多边形31．（东城18期末2）边长为2的正方形内接于M，则M的半径是（）A．B．2C D．C32．（丰台18期末12）如图，等边三角形ABC的外接圆⊙O的半径OA的长为2，则其内切圆半径的长为 .133．（通州18期末13）如图，AD，AE是正六边形的两条对角线.在不添加任何其他线段的情况下，请写出两个关于图中角度的正确结论：（1）__________________________；（2）______________________.34．（昌平18期末13）如图，⊙O的半径为3，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则劣弧AB的长为．35．（朝阳18期末9）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为3，则正六边形ABCDEF的边长为 .336．（平谷18期末13）“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术注》中提到的“如何求圆的周长和面积”的方法，即“割圆术”．“割圆术”的主要意思是用圆内接正多边形去逐步逼近圆．刘徽从圆内接正六边形出发，将边数逐次加倍，并逐次得到正多边形的周长和面积．如图，AB是圆内接正六边形的一条边，半径OB=1，OC⊥AB于点D，则圆内接正十二边形的边BC的长是（结果不取近似值）．13=★弧长、扇形面积37．（西城18期末4）圆心角为60︒，且半径为12的扇形的面积等于（ ）.A.48πB.24πC.4πD.2πB38．（东城18期末5）A ，B 是O 上的两点，OA =1， AB 的长是1π3，则∠AOB 的度数是（ ）A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°B39．（大兴18期末4）在半径为12cm 的圆中，长为4πcm 的弧所对的圆心角的度数为（ ）A. ︒10B. ︒60C. ︒90D. ︒120B40．（通州18期末2）已知一个扇形的半径是1，圆心角是120°，则这个扇形的弧长是（ ） A ．6πB ．πC ．3πD ．32πD41．（海淀18期末13）若一个扇形的圆心角为60°，面积为6π，则这个扇形的半径为_______． 642．（丰台18期末10）半径为2的圆中，60°的圆心角所对的弧的弧长为_______.10.2π343．（大兴18期末14）圆心角为160°的扇形的半径为9cm ，则这个扇形的面积是_______cm 2．14. 36 π .44．（密云18期末12）扇形半径为3cm ，弧长为πcm ，则扇形圆心角的度数为__________.12.60︒45．（平谷18期末10）圆心角为120°，半径为6cm 的扇形的弧长是cm （结果不取近似值）．10．4π46．（朝阳18期末7）如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =4，以点C 为中心，把△ABC 逆时针旋转45°，得到△A’B’C ，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．2B ．2πC ．4D ．4π B47．（石景山18期末11）如图，扇形的圆心角︒=∠60AOB ，半径为3cm ．若点C 、D 是 的三等分点，则图中所有阴影部分的面积之和是________cm 2．11．2π48．（怀柔18期末15）在学校的花园里有一如图所示的花坛，它是由一个正三角形和圆心分别在正三角形顶点、半径为1米的三个等圆组成，现在要在花坛正三角形以外的区域（图中阴影部分）种植草皮.草皮种植面积为 米2.49．（顺义18期末20）制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再备料．下图是一段管道，其中直管道部分AB 的长为3 000mm ，弯形管道部分BC ，CD 弧的半径都是1 000mm ，∠O =∠O ’=90°，计算图中中心虚线的长度．20． 901000500180180n r l πππ⨯===…………………………….…….……….3分 中心虚线的长度为 3000500230001000ππ+⨯=+…………………4分=30001000 3.14=6140+⨯……………………………………………..…5分π25。
2019年北京市各区九年级上册期末试卷分类汇编：圆综合题-(数学)【标准版】
圆综合题1．（大兴18期末24）已知：如图，AB 是半圆O 的直径，D 是半圆上的一个动点（点D 不与点A ，B 重合）， .∠=∠CAD B （1）求证：AC 是半圆O 的切线；（2）过点O 作BD 的平行线，交AC 于点E ，交AD 于点F ，且EF=4，AD=6，求BD 的长．24. （1）证明：∵AB 是半圆直径，∴∠BDA =90°. .………………………………………………………1分 ∴90B DAB ∠+∠=︒ 又DAC B ∠=∠∴90DAC DAB ∠+∠=︒……………………………………………2分 即∠CAB =90°∴AC 是半圆O 的切线. （2）解：由题意知，,90OE BD D ∠=︒∥∴∠D =∠AFO =∠AFE = 90° ∴OE AD ⊥.12AF AD =……………………………………………………3分又∵AD=6 ∴AF =3. 又B CAD ∠=∠∴△AEF ∽△BAD ……………………………………………4分 4369 (52)4EF AF AD BDBD BD EF ∴==∴==∴分2．（昌平18期末24）如图，AB 为⊙O 的直径，C 、F 为⊙O 上两点，且点C 为弧BF 的中点，过点C 作AF 的垂线，交AF 的延长线于点E ，交AB 的延长线于点D ． （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）如果半径的长为3，tan D=34，求AE 的长.24．（1）证明：连接OC ，∵点C 为弧BF 的中点， ∴弧BC =弧CF ．∴BAC FAC ∠=∠．…………… 1分∵OA OC =， ∴OCA OAC ∠=∠．∴OCA FAC ∠=∠．……………………2分∵AE ⊥DE ，∴90CAE ACE ︒∠+∠=．∴90OCA ACE ︒∠+∠=． ∴OC ⊥DE ．∴DE是⊙O的切线．…………………… 3分（2）解：∵tan D=OCCD=34，OC=3，∴CD=4．…………………………… 4分∴OD．∴AD= OD+ AO=8．…………………………… 5分∵sin D=OCOD=AEAD=35，∴AE=245．……………………………6分3．（朝阳18期末24）如图，在△ABC中，∠C=90°，以BC 为直径的⊙O交AB于点D，⊙O的切线DE交AC于点E.（1）求证：E是AC中点；（2）若AB=10，BC=6，连接CD，OE，交点为F，求OF的长.4．（东城18期末25）如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的O与边BC，AC分别交于点D，E.DF是O的切线,交AC于点F．（1）求证：DF⊥AC；（2）若AE=4，DF=3，求tan A．19、20、21、22、23、24、25、5．（海淀18期末24）如图，A，B，C三点在⊙O上，直径BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB 交弦BC于点E，在BC的延长线上取一点F，使得EFDE．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）连接AF交DE于点M，若AD4，DE5，求DM的长．24．（1）证明：∵ BD 平分∠ABC ， ∴ ∠ABD =∠CBD . ∵ DE ∥AB ， ∴ ∠ABD =∠BDE .∴ ∠CBD =∠BDE . ………………1分 ∵ ED =EF ，∴ ∠EDF =∠EFD . ∵∠EDF +∠EFD +∠EDB +∠EBD =180°， ∴ ∠BDF =∠BDE +∠EDF =90°.∴ OD ⊥DF . ………………2分 ∵OD 是半径，∴ DF 是⊙O 的切线. ………………3分（2）解： 连接DC ，∵ BD 是⊙O 的直径，∴ ∠BAD =∠BCD =90°. ∵ ∠ABD =∠CBD ，BD =BD ， ∴ △ABD ≌△CBD . ∴ CD =AD =4，AB =BC. ∵ DE =5，∴ 3CE ==，EF =DE =5. ∵ ∠CBD =∠BDE ， ∴ BE =DE =5.∴ 10BF BE EF =+=，8BC BE EC =+=.∴ AB =8. ………………5分 ∵ DE ∥AB ， ∴ △ABF ∽△MEF . ∴AB BFME EF=. ∴ ME =4.∴ 1DM DE EM =-=. ………………6分6．（石景山18期末25）如图，AC 是⊙O 的直径，点D 是⊙O 上一点，⊙O 的切线CB 与AD 的延长线交于点B ，点F 是直径AC 上一点，连接DF 并延长交⊙O 于点E ，连接AE ． （1）求证：∠ABC =∠AED ； （2）连接BF ，若AD 532=，AF =6，tan 34=∠AED ，求BF 的长．25．（本小题满分6分） （1）证明：连接CD ∵AC 是⊙O 的直径∴∠A D C =90°………………………………………………………1分∴∠DAC+∠ACD =90° ∵BC 是⊙O 的切线 ∴∠ACB=90° ∴∠DAC+∠AB C=90°∴∠A B C =∠A C D …………………………………………………2分 ∵∠AED=∠ACD∴∠A B C =∠A E D …………………………………………………3分（2）解：连接BF ∵∠AED=∠ACD=ABC ∠∴tan ∠ACD = tan ∠AED =ABC ∠tan =34∴tan ∠ACD =34=CD AD 即34532=CD∴CD=524………………………………………………………………4分 ∴AC=8∵AF=6，∴F C=2∵ABC ∠tan =34=BC AC ，即348=BC ∴B C =6………………………………………………………..…….5分 ∴B F =102……………………………………………………… 6分7．（西城18期末24）如图，AB 是半圆的直径，过圆心O 作AB 的垂线，与弦AC 的延长线交于点D ，点E 在OD 上，=DCE B ∠∠．（1）求证：CE 是半圆的切线；（2）若CD=10，2tan 3B =，求半圆的半径．8．（丰台18期末24）如图，AB是⊙O的直径，点C是»AB的中点，连接AC并延长至点D，使CD AC=，点E是OB上一点，且23OEEB=，CE的延长线交DB的延长线于点F，AF交⊙O于点H，连接BH.（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）当2OB=时，求BH的长.24.（1）证明：连接OC ，∵AB 为⊙O 的直径，点C 是»AB 的中点，∴∠AOC ＝90°. ……1分∵OA OB =,CD AC =，∴OC 是ABD ∆的中位线. ∴OC ∥BD.∴∠ABD ＝∠AOC ＝90°. ……2分∴AB BD ⊥.∴BD 是⊙O 的切线. ……3分其他方法相应给分.（2）解：由（1）知OC ∥BD ，∴△OCE ∽△BFE. ∴OC OE BF EB=. ∵OB = 2，∴OC = OB = 2，AB = 4，∵23OE EB =，∴223BF =，∴BF =3. ……4分在Rt ABF ∆中，∠ABF ＝90°，5AF ==. ∵1122ABF S AB BF AF BH =⋅=⋅ ，∴AB BF AF BH ⋅=⋅.即435BH ⨯=. ∴BH =125. .……5分 其他方法相应给分.9．（怀柔18期末22）22. 如图，已知AB 是⊙O 的直径，点M 在BA 的延长线上，MD 切⊙O于点D ，过点B 作BN ⊥MD 于点C ，连接AD 并延长，交BN 于点N ．（1）求证：AB =BN ；（2）若⊙O 半径的长为3，cosB =52，求MA 的长．22.(1)证明：连接OD ，…………………………1分∵MD 切⊙O 于点D ，∴OD ⊥MD ，∵BN ⊥MC ，∴OD ∥BN ，…………………………………2分∴∠ADO =∠N ，∵OA =OD ，∴∠OAD =∠ADO ，∴∠OAD =∠N ，∴AB =BN ；………………………………………………………………………………………3分(2)解：由(1)OD ∥BN ，∴∠MOD =∠B ，………………………………………………………………………………4分∴cos ∠MOD =cosB =52， 在Rt △MOD 中，cos ∠MOD ==OMOD ， ∵OD =OA ，MO =MA +OA =3+MA ，∴AM 33=52， ∴MA =4.5………………………………………………………………………………………5分10．（平谷18期末25）25．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，点O 是AB 边上一点，以O 为圆心作⊙O 且经过A ，D 两点，交AB 于点E ．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）AC=2，AB=6，求BE的长．25．（1）证明：连结OD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA．∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠OAD．∴∠CAD=∠ODA．∴OD∥AC． (1)∵∠ACB=90°，∴∠ODB=90°． (2)即OD⊥BC于D．∴BC是⊙O的切线． (3)（2）解：∵OD∥AC，∴△BDO∽△BCA．∴OD BOAC BA=． (4)∵AC=2，AB=6，∴设OD=r，则BO=6﹣r．∴626r r-=．解得r=32．∴AE=3．∴BE=3． (5)11．（密云18期末24）如图，AB是O的直径，C、D是O上两点，AC BC=.过点B作O 的切线，连接AC并延长交于点E，连接AD并延长交于点F.（1）求证：AC=CE.（2）若AE=，3sin5BAF∠=求DF长.24.（1）证明：连结BC.AB 是 的直径，C 在O 上90ACB ∠=︒AC BC =AC=BC45CAB ∠=︒AB 是O 的直径，EF 切O 于点B90ABE ∠=︒45AEB ∠=︒AB=BEAC=CE ……………………………………………2分（2）在Rt ABE ∆中，90ABE ∠=︒，AE=，AE=BE8AB = ………………………..3分在Rt ABF ∆中，AB=8，3sin 5BAF ∠= 解得：6BF = ………………………..4分连结BD ，则90ADB FDB ∠=∠=︒90BAF ABD ∠+∠=︒，90ABD DBF ∠+∠=︒，DBF BAF ∠=∠3sin 5BAF ∠= 3sin 5DBF ∠= 35DF BF = 185DF = …………………5分12．（顺义18期末26）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线交AB于点E，交AC的延长线于点F．（1）求证：DE⊥AB；（2）若tan∠BDE=12, CF=3，求DF的长．26．（1）证明：连接OD．………………………………………..1分∵EF切⊙O于点D，∴OD⊥EF．……………………………………….……..2分又∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，∵AB=AC，∴∠ABC=∠OCD，∴∠ABC=∠ODC，∴AB∥OD，∴DE⊥AB．…………………………………….………..3分（2）解：连接AD．…………………………….…………….…4分∵AC为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，…………………………………..…5分∴∠B+∠BDE=90°，∠B+∠1=90°，∴∠BDE =∠1，∵AB =AC ，∴∠1=∠2．又∵∠BDE =∠3，∴∠2=∠3．∴△FCD ∽△FDA …………………………………….6分 ∴FC CD FD DA=， ∵tan ∠BDE =12,∴tan ∠2=12, ∴1=2CD DA ，∴1=2FC FD ， ∵CF =3，∴FD =6．……………………………….…7分13．（大兴18期末27）已知：如图，AB 为半圆O 的直径，C 是半圆O 上一点，过点C 作AB 的平行线交⊙O 于点E ，连接AC 、BC 、AE ，EB . 过点C 作CG ⊥AB 于点G ，交EB 于点H.（1）求证：∠BCG=∠E BG ；（2）若55sin =∠CAB ，求GB EC 的值.27. 证明：（1）∵AB 是直径，∴∠ACB =90°.………………………………………………..1分∵CG ⊥AB 于点G ，∴∠ACB=∠ CGB =90°.∴∠CAB =∠BCG . .………………………………………………..2分∵CE ∥AB ，∴∠CAB =∠ACE .∴∠BCG =∠ACE又∵∠ACE =∠EBG∴∠BCG =∠EBG . .………………………………………………..3分（2）解：∵sin 5CAB ∠=∴1tan 2CAB ∠=，………………………………………………..4分由（1）知，∠HBG =∠EBG =∠ACE =∠CAB∴在Rt △HGB 中，1tan 2GH HBG GB ∠==. 由（1）知，∠BCG =∠CAB在Rt △BCG 中，1tan 2GB BCG CG ∠==. 设GH=a ，则GB=2a ，CG=4a .CH =CG －HG =3a . ……………..6分∵EC ∥AB ，∴∠ECH =∠BGH ，∠CEH =∠GBH∴△ECH ∽△BGH ．……………………………………………..7分 ∴33ECCHaGB GH a ===．…………………………………………8分14．（门头沟18期末24）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，点D 是AB 边上一点，以BD为直径的⊙O 与边AC 相切于点 E ，连接DE 并延长DE 交BC 的延长线于点F ．（1）求证：BD =BF ；（2）若CF =2，4tan 3B =，求⊙O 的半径．24．（本小题满分5分）（1）证明：连接OE ，∵AC 与圆O 相切，∴OE ⊥AC ，…………….1分∵BC ⊥AC ，∴OE ∥BC ，又∵O 为DB 的中点，∴E 为DF 的中点，即OE 为△DBF 的中位线，∴OE =BF ，又∵OE =BD ，∴BF =BD ；……………………………………….2分（2）设BC =3，4tan 3B ∠=可得：AB =5， 又∵CF =2，∴BF =3+2，由（1）得：BD =BF ，∴BD =3+2，∴OE =OB =322x +，AO =AB ﹣OB =3272522x x x +--= ∵OE ∥BF ，∴∠AOE =∠B ， ……………………………………………………………………………………4分 ∴cos ∠AOE =cos B ，即32232725OE x AO x +=⋅=-， 解得： 83x =则圆O 的半径为3210522x +==………………………………………………………………………5分15．（通州18期末22）如图，ABC △是等腰三角形，AC AB =，以AC 为直径的⊙O 与BC交于点D ，DE AB ⊥，垂足为E ，ED 的延长线与AC 的延长线交于点F ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为2，1BE =，求cos A 的值．16．（燕山18期末24）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作半圆O，交BC于点D，连接AD，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）如果⊙O的半径为5，sin∠ADE=45，求BF的长.24.如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径作半圆O ，交BC 于点D ，连接AD ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为点E ，交AB 的延长线于点F.（1）证明：连结OD∵OD=OB ∴∠ODB=∠DBO又AB=AC∴∠DBO=∠C∴∠ODB =∠C∴OD ∥AC又DE ⊥AC∴DE ⊥OD∴EF 是⊙O 的切线. ……………………..…………….2′（2）∵AB 是直径 ∴∠ADB=90 °∴∠ADC=90 °即∠1+∠2=90 °又∠C+∠2=90 °∴∠1=∠C∴∠1 =∠3 ……………………..…………….3′∴ABAD ADE =∠==∠3sin 54sin ∴1054AD =∴AD=8 在Rt △ADB 中,AB=10∴BD=6在又Rt △AED 中,AD AE ADE ==∠54sin ∴532584=⨯=AE ……………………..…………….4′ 设BF=∵OD ∥AE∴ △ODF ∽△AEF ∴AF OF AE OD = x x ++=1055325 =790……………………..…………….5′。
北京各区2019届初三数学期末汇编-作图题
2019九上作图题2019昌平20．尺规作图：如图，AD 为 ⊙O 的直径．（1）求作：⊙O 的内接正六边形ABCDEF ．（要求：不写作法，保留作图痕迹）； （2）已知连接DF ，⊙O 的半径为4，求DF 的长.小明的做法如下，请你帮助他完成解答过程. 在⊙O 中，连接OF .∵ 正六边形ABCDEF 内接于⊙O ∴AB BC CD DE EF AF ===== ∴∠AOF =60° ∴∠ADF =12∠AOF =30°____________________________ (填推理的依据） ∵AD 为⊙O 直径 ∴∠AFD =90° ∵cos30°=DF AD=2∴DF =____________.2019丰台16．阅读下面材料：小亮的作法如下：老师问：“小亮的作法正确吗？”请回答：小亮的作法______（“正确”或“不正确”），理由是_________．DA19.下面是小松设计的“做圆的内接等腰直角三角形”的尺规作图过程. 已知：⊙O.求作：⊙O的内接等腰直角三角形.作法：如图，①作直径AB；②分别以点A, B为圆心，以大于12AB的同样长为半径作弧，两弧交于M , N两点；③作直线MN交⊙O于点C，D；④连接AC，BC．所以△ABC就是所求作的三角形.根据小松设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明.证明：∵AB是直径,C是⊙O上一点∴∠ACB= ( ) (填写推理依据)∵AC=BC( )(填写推理依据)∴△ABC是等腰直角三角形.18.下面是小明设计的“作平行四边形的高”的尺规作图过程已知：平行四边形ABCD..求作：AE BC⊥,垂足为点E.作法：如图,①分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于P,Q两点；②作直线PQ，交AB于点O;③以点O为圆心，OA长为半径做圆，交线段BC于点E;④连接AE.所以线段AE就是所求作的高.根据小明设计的尺规作图过程（1）使用直尺和圆规，补全图形;（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：AP=BP, AQ= ,∴PQ为线段AB的垂直平分线.∴O为AB中点.AB为直径，⊙O与线段BC交于点E,∴AEB∠=︒．（）(填推理的依据)∴AE BC⊥.18. 下面是小西“过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程.已知：直线l及直线l外一点P.求作：直线PQ，使得PQ⊥l.做法：如图，①在直线l的异侧取一点K，以点P为圆心，PK长为半径画弧，交直线l于点A，B；②分别以点A，B为圆心，大于12AB的同样长为半径画弧，两弧交于点Q（与P点不重合）；③作直线PQ，则直线PQ就是所求作的直线.根据小西设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明.证明：∵PA= ，QA= ,∴PQ⊥l（）（填推理的依据）.2019平谷18．已知：直线l和l外一点C．求作：经过点C且垂直于l的直线．作法：如图，（1）在直线l上任取点A；（2）以点C为圆心，AC为半径作圆，交直线l于点B；（3）分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于点D；（4）作直线CD．所以直线CD就是所求作的垂线．（1）请使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接AC，BC，AD，BD．∵AC=BC，= ，∴CD⊥AB（依据：）．lBAPKlBCA21．下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．已知：如图，⊙O及⊙求作：过点P的⊙O作法：如图，①作射线OP；②在直线OP外任取一点A，以点A为圆心，AP为半径作⊙A，与射线OP交于另一点B；③连接并延长BA与⊙A交于点C；④作直线PC；则直线PC即为所求．根据小元设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明：证明：∵BC是⊙A的直径，∴∠BPC=90°（____________）（填推理的依据）．∴OP⊥PC．又∵OP是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线（____________）（填推理的依据）．22.下面是小东设计的“在三角形一边上求作一个点，使这点和三角形的两个顶点构成的三角形与原三角形相似”的尺规作图过程. 已知: △ABC .求作: 在BC 边上求作一点P, 使得△P AC ∽△ABC . 作法:如图，①作线段AC 的垂直平分线GH ；②作线段AB 的垂直平分线EF,交GH 于点O ； ③以点O 为圆心，以OA 为半径作圆；④以点C 为圆心，CA 为半径画弧，交⊙O 于点D(与点A 不重合)； ⑤连接线段AD 交BC 于点P. 所以点P 就是所求作的点. 根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹) （2）完成下面的证明.证明: ∵CD=AC ， ∴CD = . ∴∠ =∠ . 又∵∠ =∠ ，∴△P AC ∽△ABC ( )(填推理的依据).ABC19．下面是小明同学设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图的过程．已知：如图1，⊙O 和⊙O 外的一点P ． 求作：过点P 作⊙O 的切线． 作法：如图2，① 连接OP ；② 作线段OP 的垂直平分线MN ，直线MN 交OP 于C ； ③ 以点C 为圆心，CO 为半径作圆，交⊙O 于点A 和B ； ④ 作直线PA 和PB ．则PA ，PB 就是所求作的⊙O 的切线．根据上述作图过程，回答问题：（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形； （2）完成下面的证明： 证明：连接OA ，OB ，∵ 由作图可知OP 是⊙C 的直径， ∴ ∠OAP =∠OBP = 90°， ∴ OA ⊥PA ，OB ⊥PB ， 又∵ OA 和OB 是⊙O 的半径，∴ PA ，PB 就是⊙O 的切线（ ）（填依据）．图1图217．下面是小飞设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程．已知：P 为⊙O 外一点．求作：经过点P 的⊙O 的切线．作法：如图，①连接OP ，作线段OP 的垂直平分线 交OP 于点A ；②以点A 为圆心，OA 的长为半径作圆，交⊙O 于B ，C 两点；③作直线PB ，PC ．所以直线PB ，PC 就是所求作的切线． 根据小飞设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明（说明：括号里填写推理的依据）． 证明：连接OB ,OC ,∵PO 为⊙A 的直径，∴PBO PCO ∠=∠= （ ）． ∴PB OB ⊥,PC OC ⊥．∴PB ,PC 为⊙O 的切线（ ）．2019通州16. 下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程． 已知：直线a 和直线外一点P ． 求作：直线a 的垂线，使它经过P ． 作法：如图2.（1）在直线a 上取一点A ，连接PA ； （2）分别以点A 和点P 为圆心，大于12AP 的长为半径 作弧，两弧相交于B ，C 两点，连接BC 交PA 于点D ； （3）以点D 为圆心，DP 为半径作圆，交直线a 于点E （异于点A ），作直线PE ．所以直线PE 就是所求作的垂线．请回答：该尺规作图的依据是_____________________________________________．P图1aaP2019西城14．如图，舞台地面上有一段以点O 为圆心的 ，某同学要站在的中点C 的位置上．于是他想：只要从点O 出发， 沿着与弦AB 垂直的方向走到 C ． 老师肯定了他的想法．（1）请按照这位同学的想法，在图中画出点C ； （2）这位同学确定点C 所用方法的依据是___________．2019燕山20．下面是小芸设计的“过圆外一点作已知圆的切线”的尺规作图过程．已知：⊙O 及⊙O 外一点P ．求作：⊙O 的一条切线，使这条切线经过点P ． 作法：①连接OP ，作OP 的垂直平分线l ，交OP 于点A ；②以A 为圆心，AO 为半径作圆， 交⊙O 于点M ；③作直线PM ，则直线PM 即为⊙O 的切线．根据小芸设计的尺规作图过程，(1) 使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹) (2) 完成下面的证明：证明：连接OM ，由作图可知，A 为OP 中点， ∴OP 为⊙A 直径，∴∠OMP ＝ °，（ ）（填推理的依据） 即OM ⊥PM ． 又∵点M 在⊙O 上，∴PM 是⊙O 的切线．（ ）（填推理的依据）AB AB AB AB2019密云17.下面是小明设计的“作等腰三角形外接圆”的尺规作图过程. 已知：如图1，在ABC ∆中，AB=AC. 求作：等腰ABC ∆的外接圆.作法：①如图2，作BAC ∠的平分线交BC 于D ； ②作线段AB 的垂直平分线EF ； ③EF 与AD 交于点O ；④以点O 为圆心，以OB 为半径作圆.所以，⊙O 就是所求作的等腰ABC ∆的外接圆. 根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留痕迹）； （2）完成下面的证明. AB=AC ，BAD DAC ∠=∠， ∴_________________________.AB 的垂直平分线EF 与AD 交于点O ， ∴OA=OB ，OB=OC（填写理由：______________________________________） ∴OA=OB=OC.ABCD 图2图1ABC。
2019年1月北京各区初三期末考试圆分类
如图，△ABC 内接于⊙O ，过点C 作BC 的垂线交⊙O 于D ，点E 在BC 的延长线上，且∠DEC = ∠BAC（1）求证：DE 是 ⊙O 的切线（2）若AC ∥DE ，当AB = 8，CE = 2时，求⊙O 直径的长 2如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，连接AC . 过点B 作⊙O 的切线，交AC 的延长线于点D ，在AD 上取一点E ，使AE = AB ，连接BE ，交⊙O 于点F 请补全图形并解决下面的问题： （1）求证：∠BAE =2∠EBD （2）如果AB = 5，55sin =∠EBD ，求BD 的长 3如图，AB 是⊙O 的弦，半径OE AB ^，P 为AB 的延长线 上一点，PC 与⊙O 相切于点C ，CE 与AB 交于点F （1）求证：PC =PF（2）连接OB ，BC ，若//OB PC ，BC =3tan 4P =，求FB 的长E如图，AB 是O 的直径，过点B 作O 的切线BM ，点 A ，C ，D 分别为O 的三等分点，连接AC ，AD ，DC ， 延长AD 交BM 于点E ， CD 交AB 于点F. （1）求证：//CD BM（2） 连接OE ，若DE=m ，求△OBE 的周长 5如图，AB 为⊙O 的直径，C 、D 为⊙O 上不同于A 、B 的 两点，∠ABD =2∠BAC ，连接CD ，过点C 作CE ⊥DB ，垂 足为E ，直径AB 与CE 的延长线相交于F 点 （1）求证：CF 是⊙O 的切线 （2）当185BD=，3sin 5F=时，求OF 的长 6如图，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点P ，过点A 作AD ⊥PC 于点D ，AD 与⊙O 交于点E(1) 求证：AC 平分∠DAB (2) 若AB ＝10，sin ∠CAB ＝25，请写出求DE 长的思路BA如图，AB ，AC 是⊙O 的两条切线，B ，C 为切点，连接CO 并延长交AB 于点D ，交⊙O 于点E ，连接BE ，连接AO（1）求证：AO ∥BE（2）若2=DE ，tan ∠BEO DO 的长8如图，AB 是⊙O 的直径，过点B 作⊙O 切线BM ，弦CD ∥BM ，交AB 于F ，»»AD DC =，连接AC 和AD ，延长AD 交BM 于点E （1）求证：△ACD 是等边三角形 （2）连接OE ，如果DE = 2，求OE 的长9如图，点C 是⊙O 直径AB 上一点，过C 作CD ⊥AB 交⊙O 于 点D ，连接DA ，延长BA 至点P ，连接DP ，使∠PDA=∠ADC (1) 求证：PD 是⊙O 的切线(2) 若AC =3，4tan 3PDC ∠=，求BC 的长ADBEM OFCA如图，点O 是Rt △ABC 的AB 边上一点，∠ACB =90°， ⊙O 与AC 相切于点D ，与边AB ，BC 分别相交于点E ，F（1）求证：DE=DF （2）当BC =3，sin A =35时，求AE 的长 11如图，在ABE Rt ∆中，090=∠B ，以AB 为直径的⊙O 交 AE 于点C ，CE 的垂直平分线FD 交BE 于点D 连接CD （1）判断CD 与⊙O 的位置关系，并证明 （2）若12=⋅AE AC ，求⊙O 的半径A如图，AB 是⊙O 的直径，ABC ∆内接于⊙O ，点D 在⊙O 上，BD 平分ABC ∠交AC 于点E ，BC DF ⊥交BC 的延 长线于点F（1）求证：FD 是⊙O 的切线 （2）若BD=8，53sin =∠DBF 求DE 得长 13已知，如图，点C 是以AB 为直径的⊙O 上一点，直线AC 与过B 点的切线相交于D ，点E 是BD 的中点，直线CE 交 直线AB 于点F（1）求证：CF 是⊙O 的切线 （2）若ED=3，EF=5，求⊙O 的半径（2019.1+++昌平+++初三上+++期末） （1）连接BD∵DC ⊥BE ∴∠BCD =∠DCE =90° ∴BD 是⊙O 直径 ∴∠DEC +∠CDE =90°∵∠DEC =∠BAC ∴∠BAC +∠CDE =90° ∵ BC BC = ∴∠BAC =∠BDC∴∠BDC +∠CDE =90° ∴DE 是⊙O 切线（2）∵AC ∥DE ，BD ⊥DE ∴BD ⊥AC ∵BD 是⊙O 直径 ∴AF =CF ∴AB =BC =8 ∵BD ⊥DE ，DC ⊥BE ∴BD 2=BC ·BE=80 ∴BD =2（2019.1+++丰台+++初三上+++期末） 作图正确（1）证明：连接AF∵AB 是⊙O 的直径 ∴∠AFB =90° ∵AB = AE ∴∠BAE =2∠BAF ∵BD 是⊙O 的切线 ∴∠ABD =90° ∵∠BAF +∠ABF =90°，∠EBD +∠ABF =90° ∴∠BAF =∠EBD ∴∠BAE =2∠EBD （2）过点E 作EH ⊥BD 于H∵∠BAF =∠EBD ∴sin sin BAF EBD ∠=∠在Rt △ABF 中 ∵AB = 5 ∴BF = ∴2BE BF ==在Rt △EBH 中 ∴sin 2EH BE EBH =⋅∠= ∴BH=4 ∵EH ∥AB ∴EH DHAB DB =∴254DH DH =+，解得83DH = ∴203BD BH HD =+=H3（2019.1+++海淀+++初三上+++期末） （1）证明：如图，连接OC∵OE AB ⊥ ∴90EGF ∠=° ∵PC 与⊙O 相切于点C ∴=90OCP ∠° ∴90E EFG OCF PCF ∠+∠=∠+∠=° ∵OE OC = ∴E OCF ∠=∠ ∴EFG PCF ∠=∠ 又∵EFG PFC ∠=∠ ∴PCF PFC ∠=∠ ∴PC PF = （2）方法一：解：如图，过点B 作BH PC ⊥于点H∵OB PC ∥，90OCP ∠=︒ ∴90BOC ∠=︒ ∵OB OC = ∴45OBC OCB ∠=∠=° ∴45BCH OBC ∠=∠=° 在Rt BHC △中，BC =可得sin 45BH BC =⋅°3=，cos 45CH BC =⋅°3= 在Rt BHP △中，3tan 4P =可得4tan BHPH P== ∴5BP == ∴7PC PH CH =+= ∴PF PC = ∴2FB PF PB PC PB =-=-= 方法二：解：如图，过点C 作CH AP ⊥于点H∵OB PC ∥，90OCP ∠=︒ ∴90BOC ∠=° ∵OB OC = ∴45OBC OCB ∠=∠=° 在Rt OBC △中，BC = 可得sin 45OB BC =⋅°3= ∴3OE OB ==∵GBO P ∠=∠，3tan 4P =∴3tan 4GBO ∠=在Rt GBO △中，tan OG GBO GB ∠=，3OB = ∴95OG =，125GB =∴65EG OE OG =-= 在Rt CHP △中，tan CHP PH=，222CH PH PC +=设3CH x =，则4PH x =，5PC x = ∵PC PF = ∴FH PF PH x =-= ∵EFG CFH ∠=∠，90EGF CHF ∠=∠= ∴EGF △∽CHF △ ∴13FG FH EG CH == ∴1235FG EG ==∴2FB GB FG =-=PPP方法三：解：如图，过点C 作CH AP ⊥于点H ，连接AC ∵OB PC ∥，90OCP ∠=︒ ∴90BOC ∠=︒ ∴1452A BOC ∠=∠=° 在Rt CHP △中，3tan 4CH P PH == 设3CH x =，则4PH x =，5PC x =在Rt AHC △中，45A ∠=°，3CH x = ∴3AH CH x==，AC =∴7PA AH PH x =+= ∵P P ∠=∠，45PCB A ∠=∠=︒ ∴PCB PAC △∽△ ∴PB PC BC PC PA AC ==∵BC = ∴75x =，7PC =，5PB = ∵PF PC = ∴7PF = ∴2FB PF PB =-=方法四：解：如图，延长CO 交AP 于点M∵OB PC ∥，90OCP ∠=︒ ∴90BOC ∠=︒ 在RtOBC △中，BC =，OB OC = 可得3OB =∵MBO P ∠=∠，3tan 4P =∴3tan 4MBO ∠=在Rt MBO △中，3tan 4OM MBO OB ∠==可得94OM =，154BM = ∴214CM = 在Rt PCM △中，3tan 4CM P PC ==可得7PC =，354PM = ∴5PB PM BM =-=，7PF PC == ∴2FB PF PB =-=4（2019.1+++怀柔+++初三上+++期末）(1)∵点A 、C 、D 为O 的三等分点 ∴ AD DC AC == ∴AD=DC=AC ∵AB 是O 的直径 ∴AB ⊥CD ∵过点B 作O 的切线BM∴BE ⊥AB ∴//CD BM(2) 连接DB由双垂直图形容易得出∠DBE=30°，在Rt △DBE 中，由DE=m ，解PB得BE=2m ，②在Rt △ADB 中利用30°角，解得AB=2，③在Rt△OBE 中，由勾股定理得出④计算出△OBE 周长为25（2019.1+++通州+++初三上+++期末） （1）连接OC∵ CBCB = ∴2BOC BAC ∠=∠ ∵∠ABD =2∠BAC ∴BOC ABD ∠=∠ ∴BD ∥OC ∵CE ⊥DB ∴CE ⊥OC ∴CF 是⊙O 的切线 （2）解：连接AD∵AB 为⊙O 的直径 ∴BD ⊥AD ∵CE ⊥DB ∴AD ∥CF ∴F BAD ∠=∠ 在Rt △ABD 中 ∴3sin sin 5BD F=BAD AB ∠==. ∴18355AB = ∴6AB = ∴3OC = 在Rt △COF 中 ∴3sin 5OC F OF == ∴335OF = ∴5OF = 另解：过点O 作OG ⊥DB 于点G6（2019.1+++燕山+++初三上+++期末） (1)连接OC ，∵PD 切⊙O 于点C ∴OC ⊥PC ∵AD ⊥PC 于点D ∴OC ∥AD ∴∠1＝∠3 又∵OA ＝OC ∴∠2＝∠3 ∴∠1＝∠2 即AC 平分∠DAB(2) 思路一：连接CE 可证Rt △CDE ∽Rt △ACB ∴DE CEBC AB=在Rt △ABC 中，由AB ＝10，sin ∠CAB ＝25，可求BC ＝4由∠1＝∠2，得EC ⌒＝BC ⌒ ∴EC ＝BC ＝4 故BC CEDE AB=g 可求 思路二：过点B 作BF ⊥l 于点F ，连接BE ，可证四边形DEBF 是矩形 ∴DE ＝BF 由AB 为⊙O 的直径，∠ACB ＝90°，且OC ⊥PC 可证∠BCF ＝∠3＝∠2，在Rt △ABC 中，由AB ＝10，sin ∠2＝25，可求BC ＝4 在Rt △BCF 中，由BC ＝4，sin ∠BCF ＝sin ∠2＝25可求BF ＝85 ∴DE ＝BF ＝857（2019.1+++房山+++初三上+++期末） （1） 证明：连结BC∵AB ，AC 是⊙O 的两条切线，B ，C 为切点∴=AB AC ,平分∠OA BAC ∴OA ⊥BC ∵CE 是⊙O 的直径 ∴∠CBE =90° ∴ OA ∥BE (2)∵OA ∥BE ∴∠BEO =∠AOC ∵tan∠BEO ∴tan∠AOC 在Rt △AOC 中,设OC =r,则AC, OA∴在Rt △CEB 中,EB ∵BE ∥OA ∴△DBE ∽△DAO ∴DE EB DO OA =2DO = ∴DO =3AA8（2019.1+++门头沟+++初三上+++期末）（1）∵ AB 是⊙O 的直径，BM 是⊙O 的切线 ∴ AB ⊥BM∵ CD ∥BM ∴AB ⊥CD ∴»»AD AC = ∵»»AD DC = ∴ »»»AD AC DC == ∴ AD =AC =DC ∴△ACD 是等边三角形 （2）连接BD ，如图∵ AB 是⊙O 的直径 ∴∠ADB =90° ∵∠ABD =∠C =60°∴∠DBE =30° 在Rt △BDE 中，DE =2，可得BE =4，BD =在Rt △ADB中，可得AB =∴ OB =在Rt △OBE 中，由勾股定理得OE =9（2019.1+++大兴+++初三上+++期末） （1）连接OD∵OD =OA ∴∠ODA=∠OAD ∵CD ⊥AB 于点C ∴∠OAD +∠ADC =90° ∴∠ODA +∠ADC = 90° ∵∠PDA =∠ADC ∴∠PDA +∠ODA =90° 即∠PDO =90° ∴PD ⊥OD ∵D 在⊙O 上 ∴PD 是⊙O 的切线（2） ∵∠PDO =90° ∴∠PDC +∠CDO =90° ∵CD ⊥AB 于点C∴∠DOC +∠CDO =90° ∴∠PDC =∠DOC 4tan 3PDC ∠=4tan 3DOC ∴∠= 设DC = 4x ,CO = 3x ,则OD =5x ∵AC =3 ∴OA =3x+3 ∴3x+3=5x ∴x =32∴OC=3x=92, OD=OB=5x =152∴BC=1210（2019.1+++平谷+++初三上+++期末）无答案ABEM ABEMB11（2019.1+++朝阳+++初三上+++期末）12（2019.1+++西城+++初三上+++期末）13（2019.1+++顺义+++初三上+++期末）。
2019年北京市各区九年级上册期末数学试卷分类汇编：几何综合【标准版】
几何综合1．（昌平18期末27）已知，△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，点D 为BC 边上的一点. （1）以点C 为旋转中心，将△ACD 逆时针旋转90°，得到△BCE ，请你画出旋转后的图形；（2）延长AD 交BE 于点F ，求证：AF ⊥BE ；（3）若，BF =1，连接CF ，则CF 的长度为 .27．（1）补全图形…………………… 2分 （2）证明：∵ΔCBE 由ΔCAD 旋转得到，∴ΔCBE ≌ΔCAD ，……………… 3分∴∠CBE =∠CAD ，∠BCE =∠ACD =90°，……………4分 ∴∠CBE +∠E =∠CAD +∠E ， ∴∠BCE =∠AFE =90°，∴AF ⊥BE ．……………………………………5分（3………………………………………………7分2．（朝阳18期末25）△ACB 中，∠C =90°，以点A 为中心，分别将线段AB ，AC 逆时针旋转60°得到线段AD ，AE ，连接DE ，延长DE 交CB 于点F . （1）如图1，若∠B =30°，∠CFE 的度数为 ；（2）如图2，当30°<∠B <60°时，①依题意补全图2；②猜想CF 与AC 的数量关系，并加以证明.图1 图23．（西城18期末27）如图1，在Rt △AOB 中，∠AOB =90°，∠OAB =30°，点C 在线段OB上，OC =2BC ，AO 边上的一点D 满足∠OCD =30°．将△OCD 绕点O 逆时针旋转α度（90°<α<180°）得到△OC D ''，C ，D 两点的对应点分别为点C '，D '，连接AC '，BD '，取AC'的中点M，连接OM．（1）如图2，当C D''∥AB时，α=°，此时OM 和BD'之间的位置关系为；（2）画图探究线段OM和BD'之间的位置关系和数量关系，并加以证明．4．（丰台18期末27）如图，∠BAD=90°，AB=AD ，CB=CD ，一个以点C 为顶点的45°角绕点C 旋转，角两边与BA ，DA 交于点M ，N ，与BA ，DA 延长线交于点E ，F ，连接AC . （1）在∠FCE 旋转的过程中，当∠FCA =∠ECA 时，如图1，求证：AE =AF ； （2）在∠FCE 旋转的过程中，当∠FCA ≠∠ECA 时，如图2，如果∠B=30°，CB=2，用等式表示线段AE ，AF 之间的数量关系，并证明.27.解：（1）证明：∵AB=AD ，BC=CD ，AC=AC ，∴△ABC ≌△ADC . …1分∴∠BAC =∠DAC =45°，可证∠FAC =∠EAC =135°. ……2分 又∵∠FCA =∠ECA ，∴△ACF ≌△ACE . ∴AE =AF . ……3分 其他方法相应给分.（2）过点C 作CG ⊥AB 于点G ，求得AC =2.……4分∵∠FAC =∠EAC =135°，∴∠ACF +∠F =45°. 又∵∠ACF +∠ACE =45°，∴∠F =∠ACE . ∴△ACF ∽△AEC. ……5分 ∴ACAF AE AC =，即AF AE AC ⋅=2. ……6分 ∴2=⋅AF AE . ……7分5．（怀柔18期末27）在等腰△ABC 中，AB =AC ，将线段BA 绕点B 顺时针旋转到BD，使图1图2BD⊥AC于H，连结AD并延长交BC的延长线于点P.（1）依题意补全图形；（2）若∠BAC=2α，求∠BDA的大小（用含α的式子表示）；（3）小明作了点D关于直线BC的对称点点E，从而用等式表示线段DP与BC之间的数量关系.请你用小明的思路补全图形并证明线段DP与BC之间的数量关系.27.解：(1)如图……………………………………………1分(2) ∵∠BAC=2α，∠AHB=90°∴∠ABH=90°-2α…………………………………………………………………………… 2分∵BA=BD∴∠BDA=45°+α………………………………………………………………………………3分(3)补全图形，如图………………4分证明过程如下：∵D关于BC的对称点为E，且DE交BP于G∴DE⊥BP，DG=GE，∠DBP=∠EBP，BD=BE；…………………………………………5分∵AB=AC，∠BAC=2α∴∠ABC=90°-α由(2)知∠ABH=90°-2α∠DBP=90°-α-（90°-2α）=α∴∠DBP=∠EBP=α∴∠BDE=2α∵AB=BD∴△ABC ≌△BDE ………………………………………………………………………………6分 ∴BC =DE∴∠DPB =∠ADB -∠DBP =45°+α-α=45° ∴DP DG =21, ∴DP DE=2, ∴DPBC=2, ∴BC =2DP .………………………………………………………………………………7分6．（平谷18期末27）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB=AC ．在平面内任取一点D ，连结AD （AD ＜AB ），将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AE ，连结DE ，CE ，BD ．（1）请根据题意补全图1；（2）猜测BD 和CE 的数量关系并证明；（3）作射线BD ，CE 交于点P ，把△ADE 绕点A 旋转，当∠EAC =90°，AB =2，AD =1时，补全图形，直接写出PB 的长．27．解：（1）如图 (1)（2）BD 和CE 的数量是：BD =CE ；·················································································2B图1B备用图∵∠DAB +∠BAE =∠CAE +∠BAE =90°，∴∠DAB=∠CAE ． ················································································································· 3 ∵AD=AE ，AB=AC ， ∴△ABD ≌△ACE ．∴BD =CE ． (4)（3）PB ． (7)7．（密云18期末27）如图，已知Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC=BC ，D 是线段AB 上的一点（不与A 、B 重合）. 过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E.将线段CE 绕点C 顺时针旋转90︒，得到线段CF ，连结EF.设BCE ∠度数为α.（1）①补全图形； ②试用含α的代数式表示CDA ∠.（2）若EF AB = ，求α的大小. （3）直接写出线段AB 、BE 、CF 之间的数量关系.27.（1）①补全图形.……………………………..1分②45α︒+ ……………………………..3分 （2）在FCE ∆和ACB ∆中，45CFE CAB ∠=∠=︒ ，90FCE ACB ∠=∠=︒ F C E ∆∽ ACB ∆CF EFAC AB =EF AB =2CF AC = ………………………………..5分 连结FA.90,ECB 90FCA ACE ACE ∠=︒-∠∠=︒-∠ECB FCA ∠=∠=α在Rt CFA ∆中，90CFA ∠=︒，cos FCA ∠=30FCA ∠=︒即30α=︒. ………………………………6分（3）22222AB CF BE =+ …………………………………………8分8．（石景山18期末27）在正方形ABCD中，点P在射线AC上，作点P关于直线CD的对称点Q，作射线BQ交射线DC于点E，连接BP．（1）当点P在线段AC上时，如图1．①依题意补全图1；②若EQ=BP，则∠PBE的度数为，并证明；（2）当点P在线段AC的延长线上时，如图2．若EQ=BP，正方形ABCD的边长为1，请写出求BE长的思路．（可以不写出计算结果）27．（本小题满分7分）（1）解：①正确作图………………………1分②45°………………………2分连接PD，PE易证△CPD≌△CPB∴DP=BP，∠CDP=∠CBP∵P、Q关于直线CD对称∴EQ=EP∵EQ=BP∴DP=EP∴∠C D P=∠D E P………………………………………………3分∵∠CEP+∠DEP=180°∴∠CEP+∠CBP=180°∵∠BCD=90°∴∠BPE=90°∵BP=EP∴∠PBE =45°． …………………………………………………………4分 （2）解：连接PD ，PE易证△CPD ≌△CPB ∴DP =BP ，∠1=∠2 ∵P 、Q 关于直线CD 对称， ∴EQ =EP ，∠3=∠4 ∵EQ =BP ， ∴DP =EP ∴∠3=∠1， ∴∠3=∠2 ∴∠5=∠BCE =90° ∵BP =EP ， ∴∠PEB =45° ∴∠3=∠4=22.5°，在△BCE 中，已知∠4=22.5°，BC =1，可求BE 长． ……………7分9．（东城18期末27）如图1，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =2，BC =B 为圆心，为半径作圆．点P 为B 上的动点，连接PC ，作PCPC '⊥，使点P '落在直线BC 的上方，且满足:P C PC '=BP ，AP '． （1）求∠BAC 的度数，并证明△AP C '∽△BPC ； （2）若点P 在AB 上时，①在图2中画出△AP’C ； ②连接BP '，求BP '的长；图1图2（3）点P 在运动过程中，BP '是否有最大值或最小值？若有，请直接写出BP '取得最大值或最小值时∠PBC 的度数；若没有，请说明理由．备用图10．（顺义18期末27）综合实践课上，某小组同学将直角三角形纸片放到横线纸上（所有横线都平行，且相邻两条平行线的距离为1），使直角三角形纸片的顶点恰巧在横线上，发现这样能求出三角形的边长．（1）如图1，已知等腰直角三角形纸片△ABC，∠ACB=90°，AC=BC，同学们通过构造直角三角形的办法求出三角形三边的长，则AB= ；（2）如图2，已知直角三角形纸片△DEF，∠DEF=90°，EF=2DE，求出DF的长；（3）在（2）的条件下，若橫格纸上过点E的横线与DF相交于点G，直接写出EG的长．27．（1）AB ；……………………….2分（2）解：过点E 作横线的垂线，交l 1，l 2于点M ，N ，……………………………..….3分∴∠DME =∠EDF = 90°，∵∠DEF =90°，∴∠2+∠3=90°，∵∠1+∠3=90°，∴∠1=∠2，∴△DME ∽△ENF ，………….…….4分 ∴DM ME DE EN NF EF==， ∵EF =2DE ， ∴12DM ME DE EN NF EF ===， ∵ME =2，EN =3，∴NF =4，DM =1.5，根据勾股定理得DE =2.5，EF =5，DF =……………………….5分 （3）EG=2.5．…………………………………………………………..…….7分11．（门头沟18期末27）如图1有两条长度相等的相交线段AB 、CD ，它们相交的锐角中有一个角为60°，为了探究AD 、CB 与CD (或AB )之间的关系，小亮进行了如下尝试：（1）在其他条件不变的情况下使得AD BC ∥，如图2，将线段AB 沿AD 方向平移AD 的长度，得到线段DE ,然后联结BE ,进而利用所学知识得到AD 、CB 与CD (或AB )之间的关系：____________________；(直接写出结果)（2）根据小亮的经验，请对图27-1的情况（AD 与CB 不平行）进行尝试，写出AD 、CB 与CD (或AB )之间的关系，并进行证明；（3）综合（1）、（2）的证明结果，请写出完整的结论 __________________________.27．（本小题满分7分）（1） AD CB AB += ……………………………………………1分（2）补全图形正确 ………………………………………2分结论：AD CB AB +＞………………………………………3分理由：如图：将线段AB 沿AD 方向平移AD 的长度，得到线段DE ,联结BE 、CE ，且可得AB DE ∥且AB DE =∴四边形A 、B 、E 、D 是平行四边形………………………4分∴AD BE =∵AB CD =∴DE CD =∵AB DE ∥,60AOD ∠=︒∴DCE △是等边三角形……………………………………5分∴CE AB =由于AD 与CB 不平行，所以C 、B 、E 构成三角形∴BE CB CE +＞……………………………………………6分∴AD CB AB +＞（3）AD CB AB +≥ …………………………………………7分12．（通州18期末24）如图1，在矩形ABCD 中，点E 为AD 边中点，点F 为BC边中点；图1 图2点G ，H 为AB 边三等分点，I ，J 为CD 边三等分点.小瑞分别用不同的方式连接矩形对边上的点，如图2，图3所示.那么，图2中四边形GKLH 的面积与图3中四边形KPOL 的面积相等吗？（1）小瑞的探究过程如下在图2中，小瑞发现， ABCD GKLH S S _______=；在图3中，小瑞对四边形KPOL 面积的探究如下. 请你将小瑞的思路填写完整： 设a S DEP =△，b S AKG =△∵AF EC ∥∴DAK DEP ∽△△，且相似比为2:1，得到a S DAK 4=△∵BI GD ∥∴ABM AGK ∽△△，且相似比为3:1，得到b S ABM 9=△ 又∵ABCD DAG S b a S 614=+=△，ABCD ABF S a b S 419=+=△ ∴a b b a S ABCD 436624+=+=∴b a ____=，b S ABCD _____=，b S KPOL _____=∴ABCD KPOL S S _____=，则GKLH KPOL S S ____（填写“”，“”或“”）（2）小瑞又按照图4的方式连接矩形ABCD 对边上的点.则ABCD ANML S S _____=.13．（海淀18期末28）在△ABC 中，∠A 90°，ABAC ．（1）如图1，△ABC 的角平分线BD ，CE 交于点Q ，请判断“QB =”是否正确：_______（填“是”或“否”）；（2）点P 是△ABC 所在平面内的一点，连接P A ，PB ，且P A ．①如图2，点P 在△ABC 内，∠ABP 30°，求∠P AB 的大小；②如图3，点P 在△ABC 外，连接PC ，设∠APCα，∠BPCβ，用等式表示α，β之间的数量关系，并证明你的结论．图1 图2图3 28．解：（1）否. ………………1分（2）① 作PD ⊥AB 于D ，则∠PDB =∠PDA =90°，∵ ∠ABP =30°，∴ 12PD BP =. ………………2分∵ PB =，∴ 2PD PA =.∴ sin PD PAB PA ∠== 由∠P AB 是锐角，得∠P AB =45°. ………………3分 另证：作点P 关于直线AB 的对称点'P ，连接',',B P P A P P ，则',',','P B A P B A P A B P A B B P B P A P A P∠=∠∠=∠==.∵∠ABP =30°，∴'60P BP ∠=︒.∴△'P BP 是等边三角形.∴'P P BP =.∵PB =，∴'P P =. ………………2分 ∴222''P P PA P A =+.∴'90PAP ∠=︒.∴45PAB ∠=︒. ………………3分② 45αβ+=︒，证明如下： ………………4分 作AD ⊥AP ，并取AD =AP ，连接DC ，DP .∴ ∠DAP =90°.∵ ∠BAC =90°，∴ ∠BAC +∠CAP =∠DAP +∠CAP ,即 ∠BAP =∠CAD .∵ AB =AC ，AD =AP ，∴ △BAP ≌△CAD .∴ ∠1=∠2，PB =CD . ………………5分 ∵ ∠DAP =90°，AD =AP ，∴ PD =，∠ADP =∠APD =45°.∵ PB =，∴ PD =PB =CD .∴ ∠DCP =∠DPC .∵ ∠APCα，∠BPCβ，∴ 45DPC α∠=+︒，12αβ∠=∠=-.∴ 31802902DPC α∠=︒-∠=︒-.∴ 139045ADP αβ∠=∠+∠=︒--=︒.∴45αβ+=︒. ………………7分。
2019-2020北京初三数学上学期期末汇编：圆综
2019-2020北京初三数学上学期期末汇编：圆综一．解答题（共27小题）1．（2019秋•北京期末）如图，AB 是O 的直径，点P 是AB 上一点，且点P 是弦CD 的中点．（1）依题意画出弦CD ，并说明画图的依据；（不写画法，保留画图痕迹）（2）若2AP =，8CD =，求O 的半径．2．（2019秋•北京期末）如图，Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，以AB 为直径作O 交AC 于点D ，连接BD ．（1）求证：A CBD ∠=∠．（2）若10AB =，6AD =，M 为线段BC 上一点，请写出一个BM 的值，使得直线DM 与O 相切，并说明理由．3．如图，点O 为ABC ∠的边BC 上的一点，过点O 作OM AB ⊥于点M ，到点O 的距离等于线段OM 的长的所有点组成图形W ．图形W 与射线BC 交于E ，F 两点（点E 在点F 的左侧）．（1）过点M 作MH BC ⊥于点H ，如果2BE =，2sin 3ABC ∠=，求MH 的长； （2）将射线BC 绕点B 顺时针旋转得到射线BD ，使得90CBD MOB ∠+∠=︒，判断射线BD 与图形W 公共点的个数，并证明．4．如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒．BE 平分ABC ∠交AC 于点D ，交ABC ∆的外接圆于点E ，过点E 作EF BC ⊥交BC 的延长线于点F ．请补全图形后完成下面的问题：（1）求证：EF 是ABC ∆外接圆的切线；（2）若5BC =，12sin 13ABC ∠=，求EF 的长．5．（2019秋•密云区期末）已知：如图，在O中，弦AB、CD交于点E，AD CB=．求证：AE CE=．6．（2019秋•密云区期末）已知：如图，O的直径AB与弦CD相交于点E，且E为CD中点，过点B作CD的平行线交弦AD的延长线于点F．（1）求证：BF是O的切线；（2）连结BC，若O的半径为2，3tan4BCD∠=，求线段AD的长．7．（2019秋•海淀区期末）如图，在O中，AC CB=，CD OA⊥于点D，CE OB⊥于点E．（1）求证：CD CE=；（2）若120AOB∠=︒，2OA=，求四边形DOEC的面积．8．（2019秋•海淀区期末）如图，AB是O的直径，直线MC与O相切于点C．过点A作MC的垂线，垂足为D，线段AD与O相交于点E．（1）求证：AC是DAB∠的平分线；（2）若10AB=，AC=AE的长．9．如图，在Rt ABC∆中，90C∠=︒，点O是斜边AB上一定点，到点O的距离等于OB的所有点组成图形W，图形W 与AB ，BC 分别交于点D ，E ，连接AE ，DE ，AED B ∠=∠．（1）判断图形W 与AE 所在直线的公共点个数，并证明．（2）若4BC =，1tan 2B =，求OB ．10．（2019秋•通州区期末）如图：在平面直角坐标系xOy 中，点(2,2)A −，(4,4)B ．（1）尺规作图：求作过A ，B ，O 三点的圆；（2）设过A ，B ，O 三点的圆的圆心为M ，利用网格，求点M 的坐标；（3）若直线x a =与M 相交，直接写出a 的取值范围．11．（2019秋•昌平区期末）如图，A ，B ，C 是O 上的点，4sin 5A =，半径为5，求BC 的长．12．如图，AB 是O 的直径，点C 是圆上一点，点D 是半圆的中点，连接CD 交OB 于点E ，点F 是AB 延长线上一点，CF EF =．（1）求证：FC 是O 的切线；（2）若5CF =，1tan 2A =，求O 半径的长．13．（2019秋•大兴区期末）如图，AB是O的直径，CD是O的一条弦，且CD AB⊥于E，连接AC、OC、BC．求证：ACO BCD∠=∠．14．如图，AB是O的直径，BC交O于点D，E是BD的中点，连接AE交BC于点F，2ACB EAB∠=∠．（1）求证：AC是O的切线；（2）若3cos4C=，8AC=，求BF的长．15．（2019秋•大兴区期末）已知：如图，B，C，D三点在A上，45BCD∠=︒，PA是钝角ABC∆的高线，PA的延长线与线段CD交于点E．（1）请在图中找出一个与CAP∠相等的角，这个角是；（2）用等式表示线段AC，EC，ED之间的数量关系，并证明．16．（2019秋•朝阳区期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．17．（2019秋•朝阳区期末）在平面内，O为线段AB的中点，所有到点O的距离等于OA的点组成图形W．取OA的中点C ，过点C 作CD AB ⊥交图形W 于点D ，D 在直线AB 的上方，连接AD ，BD ．（1）求ABD ∠的度数；（2）若点E 在线段CA 的延长线上，且ADE ABD ∠=∠，求直线DE 与图形W 的公共点个数．18．（2019秋•东城区期末）如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点H ，30A ∠=︒，CD =，求O 的半径的长．19．如图，在Rt ACB ∆中，90C ∠=︒，3AC =，4BC =，O 是BC 的中点，到点O 的距离等于12BC 的所有点组成的图形记为G ，图形G 与AB 交于点D ．（1）补全图形并求线段AD 的长；（2）点E 是线段AC 上的一点，当点E 在什么位置时，直线ED 与图形G 有且只有一个交点？请说明理由．20．（2019秋•西城区期末）如图，AB 是O 的直径，PB ，PC 是O 的两条切线，切点分别为B ，C ．连接PO交O 于点D ，交BC 于点E ，连接AC ．（1）求证：12OE AC =； （2）若O 的半径为5，6AC =，求PB 的长．21．（2019秋•西城区期末）如图，四边形ABCD 内接于O ，90BAD ∠=︒，AC 是对角线．点E 在BC 的延长线上，且CED BAC ∠=∠．（1）判断DE 与O 的位置关系，并说明理由；（2）BA 与CD 的延长线交于点F ，若//DE AC ，4AB =，2AD =，求AF 的长．22．（2019秋•石景山区期末）如图，B是O的半径OA上的一点（不与端点重合），过点B作OA的垂线交O于点C，D，连接OD．E是O上一点，CE CA=，过点C作O的切线l，连接OE并延长交直线l于点F．（1）①依题意补全图形；②求证：OFC ODC∠=∠；（2）连接FB，若B是OA的中点，O的半径是4，求FB的长．23．（2019秋•房山区期末）已知ABC∆如图所示，点O到A、B、C三点的距离均等于(m m为常数），到点O的距离等于m的所有点组成图形W．射线AO与射线AM关于AC对称，过C作CF AM⊥于F．（1）依题意补全图形（保留作图痕迹）；（2）判断直线FC与图形W的公共点个数并加以证明．24．（2019秋•房山区期末）如图，ABC∆内接于O，60∠=︒，高AD的延长线交O于点E，6BC=，BACAD=．5（1）求O的半径；（2）求DE的长．25．（2019秋•房山区期末）在ABC==B为圆心、1为半径作圆，设点M为∠=︒，AC BC∆中，90ACBB上一点，线段CM绕着点C顺时针旋转90︒，得到线段CN，连接BM、AN．（1）在图1中，补全图形，并证明BM AN=．（2）连接MN，若MN与B相切，则BMC∠的度数为．（3）连接BN，则BN的最小值为；BN的最大值为．26．（2019秋•平谷区期末）如图，O是ABC==，BC=，AB AC∆的外接圆，圆心O在ABC∆的外部，4求O的半径．27．如图，ABC∠，交O于点D，过点D作∆内接于O，AB是O的直径，过点A作AD平分BACDE BC交AC的延长线于点E．//（1）依据题意，补全图形（尺规作图，保留痕迹）；（2）判断并证明：直线DE与O的位置关系；（3）若10AB=，8BC=，求CE的长．2019-2020北京初三数学上学期期末汇编：圆综参考答案一．解答题（共27小题）1．【分析】（1）根据要求画出图形即可．（2）设O 的半径为r ，在Rt OPD ∆中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解答】解：（1）画出弦CD ，如图．依据：垂直于弦的直径平分弦．（2）如图，连接OD ，OA CD ⊥于点P ，AB 是O 的直径，90OPD ∴∠=︒，12PD CD =， 8CD =，4PD ∴=．设O 的半径为r ，则OD r =，2OP OA AP r =−=−，在Rt ODP ∆中，90OPD ∠=︒，222OD OP PD ∴=+，即222(2)4r r =−+，解得5r =，即O 的半径为5．【点评】本题主要考查了垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．2．【分析】（1）利用圆周角定理得到90ADB ∠=︒，然后就利用等角的余角相等得到结论；（2）如图，连接OD ，DM ，先计算出8BD =，5OA =，再证明Rt CBD Rt BAD ∆∆∽，利用相似比得到403BC =，取BC 的中点M ，连接DM 、OD ，如图，证明24∠=∠得到90ODM ∠=︒，根据切线的判定定理可确定DM 为O 的切线，然后计算BM 的长即可．【解答】（1）证明：AB 为O 直径，90ADB ∴∠=︒，90A ABD ∴∠+∠=︒．90ABC ∠=︒，90CBD ABD ∴∠+∠=︒，A CBD ∴∠=∠；（2）203 BM=．理由如下：如图，连接OD，DM，90ADB∠=︒，10AB=，6AD=，8BD∴==，5OA=，A CBD∠=∠，Rt CBD Rt BAD∆∆∽，∴BC BDAB AD=，即8106BC=，解得403BC=取BC的中点M，连接DM、OD，如图，DM为Rt BCD∆斜边BC的中线，DM BM∴=，24∠=∠，OB OD=，13∴∠=∠，123490∴∠+∠=∠+∠=︒，即90ODM∠=︒，OD DM∴⊥，DM∴为O的切线，此时12023 BM BC==．【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理．3．【分析】（1）求出BO的长，MB的长，根据三角形BOM的面积可求出MH；（2）过点O作ON BD⊥于点N，证得OM ON=．则结论得证．【解答】（1）解：到点O的距离等于线段OM的长的所有点组成图形W，∴图形W是以O为圆心，OM的长为半径的圆．根据题意补全图形：OM AB ⊥于点M ， 90BMO ∴∠=︒． 在BMO ∆中，2sin 3OM ABC BO ∠==， 32BO MO ∴=．2BE =， ∴322BO OE OM =+=，解得：4OM OE ==． 6BO ∴=． 在Rt △BOM ∆中， 222BM OM BO +=，∴BM =． 1122BOM S MO MB MH BO ∆==∴46MH ⨯=⨯，解得：MH =（2）解：1个． 证明：过点O 作ON BD ⊥于点N ，90CBD MOB ∠+∠=︒， 且90ABC MOB ∠+∠=︒， CBD ABC ∴∠=∠．OM ON ∴=．BD ∴为O 的切线．∴射线BD 与图形W 的公共点个数为1个．【点评】本题主要考查切线的判定，三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是掌握切线的判定与性质．4．【分析】（1）根据已知条件得到ABC ∆的外接圆圆心O 是斜边AB 的中点．连接OE ，根据等腰三角形的性质和角平分线的定义得到13∠=∠．求得//OE BF ．于是得到结论；（2）根据三角函数的定义得到1213AC AB =．根据勾股定理得到12AC =．根据矩形的性质即可得到结论． 【解答】（1）证明：补全图形如图所示，ABC ∆是直角三角形，ABC ∴∆的外接圆圆心O 是斜边AB 的中点．连接OE ，OE OB ∴=．23∴∠=∠， BE 平分ABC ∠，12∴∠=∠，13∴∠=∠．//OE BF ∴．EF BF ⊥，EF OE ∴⊥，EF ∴是ABC ∆外接圆的切线；（2）解：在Rt ABC ∆中，5BC =，12sin 13ABC ∠=， ∴1213AC AB =． 222AC BC AB +=，12AC ∴=．90ACF CFE FEH ∠=∠=∠=︒，∴四边形CFEH 是矩形．EF HC ∴=，90EHC ∠=︒．162EF HC AC ∴===．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，勾股定理，矩形的判定和性质，切线的判定，正确的画出图形是解题的关键．5．【分析】由圆周角定理可得ADE CBE ∠=∠，从而利用AAS 可证明ADE CBE ∆≅∆，继而可得出结论．【解答】解：由圆周角定理可得：ADE CBE ∠=∠，在ADE ∆和CBE ∆中，ADE CBE AED CEB AD CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADE CBE AAS ∴∆≅∆，AE CE ∴=．【点评】本题考查了圆周角定理及全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是由圆周角定理得出ADE CBE ∠=∠．6．【分析】（1）根据垂径定理得到AB CD ⊥，90AED ∠=︒，根据平行线的性质得到90ABF AED ∠=∠=︒，于是得到结论；（2）连接BD ，根据圆周角定理得到90ADB ∠=︒，根据三角函数的定义得到34BD AD =，设3BD x =，4AD x =，求得5AB x =，于是得到结论．【解答】（1）证明：O 的直径AB 与弦CD 相交于点E ，且E 为CD 中点， AB CD ∴⊥，90AED ∠=︒，//CD BF ，90ABF AED ∴∠=∠=︒，AB BF ∴⊥， AB 是O 的直径，BF ∴是O 的切线；（2）解：连接BD ，BCD BAD ∴∠=∠， AB 是O 的直径，90ADB ∴∠=︒，3tan tan 4BCD BAD ∠=∠=， ∴34BD AD =， ∴设3BD x =，4AD x =，5AB x ∴=， O 的半径为2，4AB =，54x ∴=，45x =， 1645AD x ∴==．【点评】本题考查了切线的判定与性质，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形的知识．关键是利用圆周角定理将已知角进行转化，利用直径证明直角三角形．7．【分析】（1）连接OC ，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到AOC BOC ∠=∠，根据角平分线的性质定理证明结论；（2）根据直角三角形的性质求出OD ，根据勾股定理求出CD ，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【解答】（1）证明：连接OC ，AC BC =，AOC BOC ∴∠=∠，又CD OA ⊥，CE OB ⊥，CD CE ∴=；（2）解：120AOB ∠=︒，60AOC BOC ∴∠=∠=︒，90CDO ∠=︒，30OCD ∴∠=︒，112OD OC ∴==，CD ∴===OCD ∴∆的面积12OD CD =⨯⨯=，同理可得，OCE ∆的面积12OE CE =⨯⨯=，∴四边形DOEC 的面积【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、勾股定理、直角三角形的性质，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．8．【分析】（1）连接OC ，根据切线的性质得到90OCM ∠=︒，得到//OC AD ，根据平行线的性质、等腰三角形的性质证明结论；（2）连接BC ，连接BE 交OC 于点F ，根据勾股定理求出BC ，证明CFB BCA ∆∆∽，根据相似三角形的性质求出CF ，得到OF 的长，根据三角形中位线定理解答即可．【解答】（1）证明：连接OC ，直线MC 与O 相切于点C ，90OCM ∴∠=︒，AD CD ⊥，90ADM ∴∠=︒，OCM ADM ∴∠=∠，//OC AD ∴，DAC ACO ∴∠=∠，OA OC =，ACO CAO ∴∠=∠，DAC CAB ∴∠=∠，即AC 是DAB ∠的平分线；（2）解：连接BC ，连接BE 交OC 于点F ， AB 是O 的直径，90ACB AEB ∴∠=∠=︒，10AB =，AC =BC ∴===，//OC AD ，90BFO AEB ∴∠=∠=︒，90CFB ∴∠=︒，F 为线段BE 中点，CBE EAC CAB ∠=∠=∠，CFB ACB ∠=∠，CFB BCA ∴∆∆∽．∴CF BCBC AB =，解得，2CF =，3OF OC CF ∴=−=． O 为直径AB 中点，F 为线段BE 中点，26AE OF ∴==．【点评】本题考查的是切线的性质、相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．9．【分析】（1）证明AE 是切线即可判断．（2）利用系数是局限性的性质求出EC 即可解决问题．【解答】解：（1）图形W 与AE 所在直线的公共点个数为1．理由：连接OE ． BD 是O 是直径，90DEB ∴∠=︒，90ABC EDB ∴∠+∠=︒，OD OE =，ODE OED ∴∠=∠，AED ABC ∠=∠，90AED OED ∴∠+∠=︒，90AEO ∴∠=︒，OE AE ∴⊥，AE ∴是O 的切线，∴图形W 与AE 所在直线的公共点个数为1．（2）在Rt ACB ∆中，90C ∠=︒，4BC =，1tan 2AC B BC ∴==， 2AC ∴=，90ACB DEB ∠=∠=︒，//DE AC ∴，CAE AED ABC ∴∠=∠=∠，C C ∠=∠，CAE CBA ∴∆∆∽，2AC CE CA ∴=，2214CE ∴==， 3BE BC EC ∴=−=，1tan 2DE B EB ∴==， 32DE ∴=，2BD ∴===，12OB BD ∴==【点评】本题考查解直角三角形，切线的判定等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．10．【分析】（1）作OA 和OB 的垂直平分线，交点即为圆心，据此作圆即可；（2）AB 的中点即为圆心M ，由此可得解；（3）求出半径，即可知直线x a =与M 相切时a 的值，由此可得相交时a 的取值范围．【解答】解：（1）如图即为所要求作的过A ，B ，O 三点的圆；作OA 和OB 的垂直平分线，交点即为圆心，作圆即可．（2）观察图形，由（1）可知点为M 的坐标为(1,3)；（3）(2,2)A −，(1,3)M ，r AM BM ∴===∴当1a =1+时，直线x a =与M 相切，∴当11a <<时，直线x a =与M 相交．【点评】本题是圆的综合问题，考查了网格作图，圆的有关性质，直线与圆的位置关系，掌握直线与圆相切时的有关计算是解题的关键．11．【分析】构造直径三角形，利用垂径定理，圆周角定理解决问题即可．【解答】证明：方法Ⅰ：连接OB ，OC ，过点O 作OD BC ⊥，如图1OB OC =，且OD BC ⊥，12BOD COD BOC ∴∠=∠=∠， 12A BOC ∠=∠， BOD A ∴∠=∠，4sin sin 5A BOD =∠=， 在Rt BOD ∆中，4sin 5BD BOD OB ∴∠==， 5OB =， ∴455BD =，4BD =， BD CD =，8BC ∴=．方法Ⅱ：作射线BO ，交O 于点D ，连接DC ，如图2．BD 为O 的直径，90BCD ∴∠=︒，BDC A ∠=∠，4sin sin 5A BDC ∴=∠=， 在Rt BDC ∆中，4sin 5BC BDC BD ∴∠==． 5OB =，10BD =，∴4105BC =， 8BC ∴=．【点评】本题考查圆周角定理，垂径定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．12．【分析】（1）如图，连接OD ．根据已知条件得到90AOD BOD ∠=∠=︒，根据等腰三角形的性质得到ODC OCD ∠=∠．推出FC OC ⊥，于是得到结论；（2）根据三角函数的定义得到12BC AC =，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】（1）证明：如图，连接OD ，OC ．点D 是半圆的中点，90AOD BOD ∴∠=∠=︒，90ODC OED ∴∠+∠=︒，OD OC =，ODC OCD ∴∠=∠．又CF EF =，FCE FEC ∴∠=∠．FEC OED ∠=∠，FCE OED ∴∠=∠．90FCE OCD OED ODC ∴∠+∠=∠+∠=︒，即FC OC ⊥，FC ∴是O 的切线；（2）解：1tan 2A =， ∴在Rt ABC ∆中，12BC AC =， 90ACB OCF ∠=∠=︒，ACO BCF A ∴∠=∠=∠，ACF CBF ∆∆∽， ∴12BF CF BC CF AF AC ===． 10AF ∴=，2CF BF AF ∴=．52BF ∴=． 1524AF BF AO −∴==．【点评】本题考查切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．13．【分析】先根据垂径定理得到BC BD =，再根据圆周角定理得到A BCD ∠=∠，加上ACO A ∠=∠．然后利用等量代换得到结论．【解答】证明：AB 是O 的直径，CD AB ⊥，∴BC BD =，A BCD ∴∠=∠， 又OA OC =，ACO A ∴∠=∠．ACO BCD ∴∠=∠．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．14．【分析】（1）如图①，连接AD ．根据直径所对的圆周角为直角及同圆中等弧所对的圆周角相等，及2ACB EAB ∠=∠．求得90BAD CAD ∠+∠=︒，则BA AC ⊥，根据切线的判定定理可得证；（2）如图②，过点F 做FH AB ⊥于点H ，先在Rt ADC ∆和Rt BAC ∆中，分别求得CD 、BC 、BD ．再在Rt BFH ∆中，由三角函数可求得FH 及DF ，则可用BD 的值减去DF 的值，求得BF ．【解答】（1）证明：如图①，连接AD ．图① E 是BD 的中点，∴BE DE =DAE EAB ∴∠=∠．2C EAB ∠=∠，C BAD ∴∠=∠． AB 是O 的直径，90ADB ADC ∴∠=∠=︒90C CAD ∴∠+∠=︒90BAD CAD ∴∠+∠=︒即BA AC ⊥．AC ∴是O 的切线．（2）解：如图②，过点F 做FH AB ⊥于点H ．图②AD BD ⊥，DAE EAB ∠=∠，FH FD ∴=，且//FH AC ．在Rt ADC ∆中，3cos 4C =，8AC =， 6CD ∴=．同理，在Rt BAC ∆中，可求得323BC = 143BD ∴= 设DF x =，则FH x =，143BF x =− //FH AC ，BFH C ∴∠=∠． 3cos 4FH BFH BF ∴∠== 即31443xx =− 解得2x =．83BF ∴=． 【点评】本题考查了圆的切线的判定定理及三角函数在线段求值中的应用，熟练掌握相关定理及相似或三角函数的计算技巧，是解题的关键．15．【分析】（1）根据垂径定理和同弧所对的圆周角和圆心角的关系，可以得到与CAP ∠相等的角，注意本题答案不唯一；（2）先写出线段AC ，EC ，ED 之间的数量关系，然后根据题意和图形，可以证明线段AC ，EC ，ED 之间的数量关系成立．【解答】解：（1）AC AB =，AP BC ⊥，AP ∴平分CAB ∠，CAP BAP ∴∠=∠，2CAB CDB ∠=∠，CAP BAP CDB ∴∠=∠=∠， 故答案为：CDB ∠（或)BAP ∠；（2）AC ，EC ，ED 满足的数量关系：2222EC ED AC +=，证明：连接EB ，与AD 交于点F ，点B ，C 两点在A 上，AC AB ∴=，ACP ABP ∴∠=∠， PA 是钝角ABC ∆的高线，PA ∴是CAB ∆的垂直平分线， PA 的延长线与线段CD 交于点E ，EC EB ∴=，ECP EBP ∴∠=∠，ECP ACP EBP ABP ∴∠−∠=∠−∠，即ECA EBA ∠=∠，AC AD =，ECA EDA ∴∠=∠，EBA EDA ∴∠=∠，AFB EFD ∠=∠，45BCD ∠=︒，90AFB EBA EFD EDA ∴∠+∠=∠+∠=︒，即90BAD BED ∠=∠=︒，222EB ED BD ∴+=，222BD AB =，2222EB ED AB ∴+=，2222EC ED AC ∴+=．【点评】本题考查勾股定理、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．16．【分析】过O 点作半径OD AB ⊥于E ，如图，利用垂径定理得到4AE BE ==，再利用勾股定理计算出OE ，然后计算出DE 的长即可．【解答】解：过O 点作半径OD AB ⊥于E ，如图，118422AE BE AB ∴===⨯=，在Rt AEO ∆中，3OE ===，532ED OD OE ∴=−=−=，答：筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．17．【分析】（1）根据题意，图形W为以O为圆心，OA为直径的圆．如图1，连接OD，根据等边三角形的判定与性质即可求解；（2）根据切线的判定即可求解．【解答】解：（1）根据题意，图形W为以O为圆心，OA为直径的圆．如图1，连接OD，∴=．OA OD点C为OA的中点，CD AB⊥，∴=．AD OD∴==．OA OD AD∴∆是等边三角形．OADAOD∴∠=︒．60∴∠=︒．ABD30（2）如图2，∠=∠，ADE ABD∴∠=︒．ADE30∠=︒．60ADO∴∠=︒．ODE90∴⊥．OD DEDE∴是O的切线．∴直线DE与图形W的公共点个数为1．【点评】考查了圆的认识，切线的判定，切线必须满足两个条件：a 、经过半径的外端；b 、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．18．【分析】连接BC ，由圆周角定理和垂径定理得出90ACB ∠=︒，12CH DH CD ===得出2AC CH ==，AC ==，2AB BC =，得出2BC =，4AB =，求出2OA =即可．【解答】解：连接BC ，如图所示： AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于H ，90ACB ∴∠=︒，12CH DH CD === 30A ∠=︒，2AC CH ∴==在Rt ABC ∆中，30A ∠=︒，AC ∴==，2AB BC =，2BC ∴=，4AB =，2OA ∴=，即O 的半径是2；【点评】本题考查的是垂径定理、圆周角定理、含30︒角的直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．19．【分析】（1）由勾股定理易求得AB 的长；可连接CD ，由圆周角定理知CD AB ⊥，易知ACD ABC ∆∆∽，可得关于AC 、AD 、AB 的比例关系式，即可求出AD 的长．（2）当ED 与O 相切时，由切线长定理知EC ED =，则ECD EDC ∠=∠，那么A ∠和DEC ∠就是等角的余角，由此可证得AE DE =，即E 是AC 的中点．在证明时，可连接OD ，证OD DE ⊥即可．【解答】解：（1）如图所示，在Rt ACB ∆中，3AC cm =，4BC cm =，90ACB ∠=︒，5AB cm ∴=；连接CD ，BC 为直径， 90ADC BDC ∴∠=∠=︒；A A ∠=∠，ADC ACB ∠=∠，Rt ADC Rt ACB ∴∆∆∽； ∴AC AD AB AC=， 23955AD ∴==；（2）当点E 是AC 的中点时，ED 与O 相切；证明：连接OD ， DE 是Rt ADC ∆的中线；ED EC ∴=，EDC ECD ∴∠=∠；OC OD =，ODC OCD ∴∠=∠；90EDO EDC ODC ECD OCD ACB ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒；ED OD ∴⊥，ED ∴与O 相切．【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．20．【分析】（1）根据切线的性质得到PB PC =，BPO CPO ∠=∠．根据等腰三角形的性质即可得到结论；（2）由切线的性质得到90OBP ∠=︒，根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】证明：（1）PB ，PC 是O 的两条切线，切点分别为B ，CPB PC ∴=，BPO CPO ∠=∠．PO BC ∴⊥，BE CE =．OB OA =，12OE AC ∴=； （2）PB 是O 的切线，90OBP ∴∠=︒．由（1）可得90BEO ∠=︒，132OE AC ==． 90OBP BEO ∴∠=∠=︒． tan BE PB BOE OE OB∴∠==， 在Rt BEO ∆中，3OE =，5OB =，4BE ∴=．203PB ∴=． 【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．21．【分析】（1）先根据圆周角定理证明BD 是O 的直径，得90BCD ∠=︒，再由三角形外角的性质和圆周角定理可得90BDE ∠=︒，可得DE 是O 的切线；（2）先根据平行线的性质得：90BHC BDE ∠=∠=︒．由垂径定理得AH CH =，AD CD =，由垂直平分线的性质得4BC AB ==，2CD AD ==．证明FAD FCB ∆∆∽，列比例式得2CF AF =，设AF x =，则22DF CF CD x =−=−，根据勾股定理列方程可解答．【解答】解：（1）相切．理由是：连接BD ，如图1．四边形ABCD 内接于O ，90BAD ∠=︒，BD ∴是O 的直径，即点O 在BD 上．90BCD ∴∠=︒．90CED CDE ∴∠+∠=︒．CED BAC ∠=∠．又BAC BDC ∠=∠，90BDC CDE ∴∠+∠=︒，即90BDE ∠=︒．DE OD ∴⊥于点D ．DE ∴是O 的切线．（2）如图2，BD 与AC 交于点H ，//DE AC ，90BHC BDE ∴∠=∠=︒．BD AC ∴⊥．AH CH ∴=．4BC AB ∴==，2CD AD ==．90FAD FCB ∠=∠=︒，F F ∠=∠，FAD FCB ∴∆∆∽． ∴AD AF CB CF=． 2CF AF ∴=．设AF x =，则22DF CF CD x =−=−．在Rt ADF ∆中，222DF AD AF =+，222(22)2x x ∴−=+． 解得：183x =，20x =（舍)． 83AF ∴=． 【点评】此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理，求出4BC =是解本题的关键．22．【分析】（1）①正确画图；②连接OC ，如图1，根据垂径定理得：90OBD ∠=︒，AC AD =，由已知可得CE AD =，则圆心角相等，即COE AOD ∠=∠，由CF 是O 的切线，则90OCF ∠=︒，由三角形内角和定理可得OFC ODC ∠=∠；（2）根据直角三角形的性质得：30ODB ∠=︒，再证明点D ，O ，E 在同一条直线上，最后根据勾股定理可得FB 的长．【解答】解：（1）①依题意补全图形，如图1；②证明：连接OC ，如图1，半径OA CD ⊥，90OBD ∴∠=︒，AC AD =，AC CE =，∴CE AD =，COE AOD ∴∠=∠， CF 是O 的切线，OC 是半径，90OCF ∴∠=︒，OFC ODC ∴∠=∠；（2）过点B 作BG OD ⊥于点G ，如图2．B 是OA 的中点，4OA =，2OB ∴=．∴在Rt BOD ∆中，30ODB ∠=︒，60DOB ∴∠=︒，AD AC CE ==，60EOC AOC DOA ∴∠=∠=∠=︒，180EOD ∴∠=︒．即点D ，O ，E 在同一条直线上，在Rt OCF ∆中，4OC =，可得8OF =，在Rt OGB ∆中，2OB =，可得1OG =，BG =，9FG OF OG ∴=+=，在Rt BGF ∆中，由勾股定理可得FB ===【点评】本题考查垂径定理、切线的性质，勾股定理，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．23．【分析】（1）根据圆的定义补全图形即可得；（2）连接OC ，由射线AO 与射线AM 关于AC 对称知12∠=∠，由13∠=∠知32∠=∠，从而得//OC AE ，再由CF AM ⊥知CF OC ⊥，从而证得FC 与O 相切，据此可得答案．【解答】解：（1）依题意补全图形如下图所示，（2）如图，直线FC 与图形W 有一个公共点，证明：连接OC ，射线AO 与射线AM 关于AC 对称，12∴∠=∠，OC OA =，13∴∠=∠，32∴∠=∠，//OC AE ∴，CF AM ⊥于F ，CF OC ∴⊥，图形W 即O ，OC 为半径，FC ∴与O 相切，即FC 与图形W 有一个公共点．【点评】本题主要考查作图−基本作图，解题的关键是掌握线段中垂线的尺规作图和性质、圆的定义、切线的判定与性质等知识点．24．【分析】（1）作直径BF ，连接CF ，求得90BCF ∠=︒，根据三角函数的定义即可得到结论；（2）如图，过O 作OG AD ⊥于G ，OH BC ⊥于H ，得到GE GA =，四边形OHDG 是矩形，求得OH DG =，于是得到结论．【解答】解：（1）如图，作直径BF ，连接CF ，90BCF ∴∠=︒，60F BAC ∠=∠=︒，sin BC BF F ∴===O ∴的半径为；（2）如图，过O 作OG AD ⊥于G ，OH BC ⊥于H ，GE GA ∴=，四边形OHDG 是矩形，OH DG ∴=， 2OB =，30FBC ∠=︒，OH ∴=，DG ∴=5AG AD GD ∴=−=，5EG ∴=，55DE EG GD ∴=−==−【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，矩形的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．25．【分析】（1）补全图形，证明()MCB NCA SAS ∆≅∆，即可得出结论；（2）分两种情况：①由旋转的性质得90MCN ∠=︒，CM CN =，得出45CMN ∠=︒，由切线的性质得出90BMN ∠=︒，即可得出答案；②如图3所示：由旋转的性质得90MCN ∠=︒，CM CN =，得出45CMN ∠=︒，由切线的性质得出90BMN ∠=︒，即可得出答案；（3）当CM 与B 相切时，BN 有最小值为1；证明四边形BMCN 是正方形，得出BN CN ⊥，1BN BM ==，CN 与B 相切，点N 是切点，即BN 的最小值为1；当点N 在BA 延长线时，BN 有最大值为3；同（1）得()MCB NCA SAS ≅∆，得出1BM AN ==，求出2AB ==，得出3BN AB BN =+=，即BN 的最大值为3．【解答】（1）补全图形如图1所示：证明：由旋转的性质得：90MCN ∠=︒，CM CN =，90ACB MCN ∴∠=∠=︒，MCB NCA ∴∠=∠，在MCB ∆和NCA ∆中，BC AC MCB NCA CM CN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()MCB NCA SAS ∴∆≅∆，BM AN ∴=；（2）解：分两种情况：①如图2所示：由旋转的性质得：90MCN ∠=︒，CM CN =， CMN ∴∆是等腰直角三角形，45CMN ∴∠=︒， MN 与B 相切，90BMN ∴∠=︒，45BMC BMN CMN ∴∠=∠−∠=︒；②如图3所示：由旋转的性质得：90MCN ∠=︒，CM CN =， CMN ∴∆是等腰直角三角形，45CMN ∴∠=︒， MN 与B 相切，90BMN ∴∠=︒，135BMC BMN CMN ∴∠=∠+∠=︒； 综上所述，MN 与B 相切，则BMC ∠的度数为45︒或135︒； 故答案为：45︒或135︒；（3）解：当CM 与B 相切时，BN 有最小值为1；理由如下：如图4所示：CM 与B 相切，90BMC ∴∠=︒，由旋转的性质得：90MCN ∠=︒，CM CN =，180BMC MCN ∴∠+∠=︒，//BM CN ∴，1CM =，BM CM CN ∴==，∴四边形BMCN 是平行四边形，∴四边形BMCN 是正方形，BN CN ∴⊥，1BN BM ==，CN ∴与B 相切，点N 是切点，即BN 的最小值为1；当点N 在BA 延长线时，BN 有最大值为3，理由如下：如图5所示：同（1）得：()MCB NCA SAS ≅∆，1BM AN ∴==，90ACB ∠=︒，AC BC ==2AB ∴==，3BN AB BN ∴=+=，即BN 的最大值为3； 故答案为：1；3．【点评】本题是圆的综合题目，考查了切线的判定与性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度．26．【分析】连接AO ，交BC 于点D ，连接BO ，由垂径可求AO BC ⊥，BD CD =，即可求BD =，由勾股定理可求AD 的长，圆的半径．【解答】解：连结AO ，交BC 于点D ，练结BO ．AB AC =，∴AB AC =．1又AO 是半径，AO BC ∴⊥，BD CD =．2BC =，∴BD =．3在Rt ABD ∆中，90ADB ∠=︒，222BD AD AB +=，4AB =，2.4AD ∴=设O 半径为r ．在Rt BDO ∆中，222BD DO BO +=，∴222(2)r r +−=，4r ∴=O ∴的半径为4．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练运用勾股定理求线段的长是本题的关键．27．【分析】（1）依据题意，即可补全图形；（2）根据切线的判定定理判断并证明：直线DE 与O 的位置关系即可；（3）根据10AB =，8BC =，圆的半径即可求CE 的长．【解答】解：（1）如图即为补全的图形．（2）直线DE 是O 的切线． 理由如下：证明：连结OD ，交BC 于F ． AD 平分BAC ∠，BAD CAD ∴∠=∠．∴CD BD =．OD BC ∴⊥于F ．//DE BC ，OD DE ∴⊥于D ．∴直线DE 是O 的切线．（3）AB 是O 的直径， 90ACB ∴∠=︒．10AB =，8BC =，6AC ∴=．90BOF ACB ∠=∠=︒， //OD AC ∴． O 是AB 中点，132OF AC ∴==． 152OD AB ==， 2DF ∴=．//DE BC ，//OD AC ， ∴四边形CFDE 是平行四边形． 90ODE ∠=︒，∴平行四边形CFDE 是矩形． 2CE DF ∴==．答：CE 的长为2．【点评】本题考查了作图−复杂作图、圆周角定理、直线和圆的位置关系、三角形外接圆与外心，解决本题的关键是根据语句准确画图并注明．。
【推荐】2019年北京市各区九年级上册期末试卷分类汇编：圆解答题(计算)-(数学)-优质版
圆解答题(计算)1．（昌平18期末20）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，BC．（1）求证：A BCD；（2）若AB=10，CD=8，求BE的长．20．（1）证明：∵直径AB⊥弦CD，∴弧BC=弧BD. …………………… 1分∴A BCD.…………………… 2分（2）解：连接OC∵直径AB⊥弦CD，CD=8，∴CE=ED=4. …………………… 3分∵直径AB =10，∴CO =OB=5.在Rt△COE中223OE CO CE…………………… 4分BE.…………………… 5分∴22．（朝阳18期末18）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线AC是⊙O的直径，AB=2，∠ADB＝45°. 求⊙O半径的长.3．（东城18期末18）已知等腰△ABC内接于O, AB=AC，∠BOC=100°，求△ABC的顶角和底角的度数.4．（密云18期末21）如图，AB是O的弦，O的半径OD AB垂AB，CD=1 ，求O的半径长.足为C.若2321.解： AB 是O 的弦，O 的半径OD AB 垂足为C ，23ABAC=BC=3…………………………………………………………………………..2分连接OA.设O 半径为r ，则222OAAC OC即222(3)(r 1)r………………………………………………..4分用现代语言表述为：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE = 1寸，CD = 10寸，求直径AB的长．请你解答这个问题.20.解：连接OC，∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD=10，∴∠BEC＝90°，152CE CD.……2分设OC=r，则OA=r，∴OE=1r.在Rt OCE中，∵222OE CE OC，∴22125r r.∴=13r. …４分∴AB = 2r= 26（寸）.答：直径AB的长26寸．…5分6．（平谷18期末20）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠A=15°，AB=4．求弦CD的长．用现代语言表述为：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE = 1寸，CD = 10寸，求直径AB的长．请你解答这个问题.20.解：连接OC，∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD=10，∴∠BEC＝90°，152CE CD.……2分设OC=r，则OA=r，∴OE=1r.在Rt OCE中，∵222OE CE OC，∴22125r r.∴=13r. …４分∴AB = 2r= 26（寸）.答：直径AB的长26寸．…5分6．（平谷18期末20）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠A=15°，AB=4．求弦CD的长．用现代语言表述为：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE = 1寸，CD = 10寸，求直径AB的长．请你解答这个问题.20.解：连接OC，∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD=10，∴∠BEC＝90°，152CE CD.……2分设OC=r，则OA=r，∴OE=1r.在Rt OCE中，∵222OE CE OC，∴22125r r.∴=13r. …４分∴AB = 2r= 26（寸）.答：直径AB的长26寸．…5分6．（平谷18期末20）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠A=15°，AB=4．求弦CD的长．用现代语言表述为：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE = 1寸，CD = 10寸，求直径AB的长．请你解答这个问题.20.解：连接OC，∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD=10，∴∠BEC＝90°，152CE CD.……2分设OC=r，则OA=r，∴OE=1r.在Rt OCE中，∵222OE CE OC，∴22125r r.∴=13r. …４分∴AB = 2r= 26（寸）.答：直径AB的长26寸．…5分6．（平谷18期末20）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠A=15°，AB=4．求弦CD的长．用现代语言表述为：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE = 1寸，CD = 10寸，求直径AB的长．请你解答这个问题.20.解：连接OC，∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD=10，∴∠BEC＝90°，152CE CD.……2分设OC=r，则OA=r，∴OE=1r.在Rt OCE中，∵222OE CE OC，∴22125r r.∴=13r. …４分∴AB = 2r= 26（寸）.答：直径AB的长26寸．…5分6．（平谷18期末20）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠A=15°，AB=4．求弦CD的长．。
【精品初三数学】2019北京初三数学期末分类汇编-几何综合+答案
如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，D 为AC 上一点（与点A ，C 不重合），连接BD ，过点A 作AE ⊥BD 的 延长线于E（1）①在图中作出△ABC 的外接圆⊙O ，并用文字描述 圆心O 的位置②连接OE ，求证：点E 在⊙O 上（2）①延长线段BD 至点F ，使EF =AE ，连接CF ,根据题 意补全图形②用等式表示线段CF 与AB 的数量关系，并证明 2 丰台如图，△ABC 是等边三角形，D ，E 分别是AC ，BC 边上的点，且AD = CE ，连接BD ，AE 相交于点F （1）∠BFE 的度数是（2）如果21=AC AD ，那么=BF AF （3）如果nAC AD 1=时，请用含n 的式子表示AF ，BF 的数量关系，并证明ABC DEADBF已知在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =α，直线l 经过点A （不经过点B 或点C ），点C 关于直线l 的对称点为点D ，连接BD ，CD（1）如图1 ①求证：点,,B C D 在以点A 为圆心，AB 为半径的圆上 ②直接写出∠BDC 的度数（用含α的式子表示）为___________（2）如图2，当α=60°时，过点D 作BD 的垂线与直线l 交于点E ，求证：AE =BD（3）如图3，当α=90°时，记直线l 与CD 的交点为F ，连接BF ．将直线l 绕点A 旋转，当线段BF 的长取得最大值时，直接写出tan FBC ∠的值4 怀柔在菱形ABCD 中，∠ADC=60°，BD 是一条对角线，点P 在边CD 上（与点C ，D 不重合），连接AP ，平移ADP ∆，使点D 移动到点C ，得到BCQ ∆，在BD 上取一点H ，使HQ=HD ，连接HQ ，AH ，PH （1） 依题意补全图1 （2）判断AH 与PH 的数量关系及∠AHP 的度数，并加以证明 （3）若141AHQ ∠=︒，菱形ABCD 的边长为1，请写出求DP 长的思路（可以不写出计算结果．．．．．．．．．）BBA BCDPA BCD如图1，在正方形ABCD 中，点F 在边BC 上，过点F 作EF ⊥BC ，且FE =FC （CE <CB ），连接CE 、AE ，点G 是AE 的中 点，连接FG（1）用等式表示线段BF 与FG 的数量关系是___________________（2）将图1中的△CEF 绕点C 按逆时针旋转，使△CEF 的顶点F 恰好在正方形ABCD 的对角线AC 上，点G 仍是AE 的中点，连接FG 、DF①在图2中，依据题意补全图形 ②求证:DF =6 燕山正方形ABCD 中，将边AB 所在直线绕点A 逆时针旋转一个角度α得到直线AM ，过点C 作CE ⊥AM ，垂足为E ，连接BE(1) 当045α︒<<︒时，设AM 交BC 于点F① 如图1，若α＝35°，则∠BCE ＝ ° ② 如图2，用等式表示线段AE ，BE ，CE 之间的数量关系，并证明 (2) 当4590α︒<<︒时(如图3)，请直接用等式表示线段AE ，BE ，CE 之间的数量关系图2图1F 35°MBC DAEF AB EMC DαAB EMCD如图，Rt △ ABC 中，∠ACB =90°，AD 平分∠BAC ， 作AD 的垂直平分线EF 交AD 于点E ，交BC 的延长线于点F ，交AB 于点G ，交AC 于点H（1）依题意补全图形8 门头沟如图，在△ABC 中，AC = BC ，∠ACB = 90°，D 是线段AC 延长线上一点，连接BD ，过点A 作AE ⊥BD 于E （1）求证：∠CAE =∠CBD（2）将射线AE 绕点A 顺时针旋转45°后，所得的射线与线段BD 的延长线交于点F ，连接CE ① 依题意补全图形② 用等式表示线段EF ，CE ，BE 之间的数量关系，并证明AABCDEM 是正方形ABCD 的边AB 上一动点（不与A ，B 重合）MC BP ⊥，垂足为P ，将CPB ∠绕点P 旋转，得到''PB C ∠，当射线'PC 经过点D 时，射线'PB 与BC 交于点N （1）依题意补全图形 （2）求证：CPD ∽∆∆BPN（3）在点M 的运动过程中，图中是否存在与BM 始终相等的线段？若存在，请写出这条线段并证明，若不存在，请说明理由10 西城如图，在△ABC 中，AB =AC ．△ADE ∽△ABC ，连接BD ，CE （1）判断BD 与CE 的数量关系，并证明你的结论 （2）若AB =2，AD =22，∠BAC =105°，∠CAD =30° ①BD 的长为②点P ，Q 分别为BC ，DE 的中点，连接PQ ，写出求PQ 长的思路如图，在ABC Rt ∆中，BC AB ABC ==∠，090，点E 为线段AB 上一动点（不与点A ，B 重合），连接CE ，将ACE ∠的两边CE ，CA 分别绕点C 顺时针旋转090，得到射线''CA CE ，，过点A 作AB 的垂线AD ，分别交射线''CA CE ，于点F ，G（1）依题意补全图形（2）若α=∠ACE ，求AFC ∠的大小（用含α的式子表示） （3）用等式表示线段AE ，AF ，与BC 之间的数量关系，并证明 12 东城如图，M 为正方形ABCD 内一点，点N 在AD 边上，且MB MN BMN 2900==∠，，点E 为MN 的中点，点P 为DE 的中点，连接MP 并延长到点F ，使得PF=PM ，连接DF （1）依题意补全图形 （2）求证：DF=BM（3）连接AM ，用等式表示线段PM 和AM 的数量关系并证明如图，正方形ABCD ，将边CD 绕点C 顺时针旋转60°，得到线段CE ，连接DE ，AE ，BD 交于点F （1）求∠AFB 的度数 （2）求证：BF=EF（3）连接CF ，直接用等式表示线段AB ，CF ，EF 的数量关系14 石景山在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，2AC =，BC =，过点B 作直线l ∥AC ，将△ABC 绕点C 逆时针旋转得到△A B C ''，直线CA '，CB '分别交直线l 于点D E ，．（1）当点A '，D 首次重合时，①请在图1中，补全旋转后的图形； ②直接写出A CB '∠的度数； （2）如图2，若CD AB ⊥，求线段DE 的长；（3）求线段DE 长度的最小值．1（2019.1+++昌平+++初三上+++期末）（1）①圆心O 的位置在线段AB 的中点,正确画出图②∵AE ⊥BD ∴△AEB 为直角三角形 ∵点O 为线段AB 的中点 ∴OE =OA =OB =r ∴点E 在⊙O 上 （2）①补全图形=ABEA证明如下： ∵AC =BC ，∠ACB =90° ∴∠BAC =∠CBA = 45° ∵»»BCBC = ∴∠BEC =∠BAC = 45° ∵AE ⊥BD ∴∠BEA =90° ∴∠CEA =90°+ 45°= 135° ∵∠CEF =180°－∠CEB =135° ∴∠CEA =∠CEF ∵AE =EF ,∠CEA =∠CEF ,CE =C E ∴△CEA ≌△CEF ∴CF =CA ∵在等腰t ∆R ACB中，=AB∴=AB2（2019.1+++丰台+++初三上+++期末） （1）60° （2）1 （3）11AF BF n =- 证明：延长FE 至G ，使FG =FB 连接GB ，GC由（1）知，∠BFG=60° ∴△BFG 为等边三角形 ∴BF =BG ，∠FBG=∠FGB=60° ∵△ABC 是等边三角形 ∴AB=BC ，∠ABC=60°∴∠ABF=∠CBG ∴△ABF ≌△CBG∴∠BFA=∠BGC=120° ∴∠FGC=60° ∴∠FGC=∠BFG ∴FB ∥CG∴AF AD FG DC = ∵1AD AC n = ∴11AF FG n =- ∴11AF BF n =-3（2019.1+++海淀+++初三上+++期末） （1）①证明：连接AD ，如图1∵点C 与点D 关于直线l 对称 ∴AC AD = ∵AB AC = ∴AB AC AD ==∴点B C D ，，在以A 为圆心，AB 为半径的圆上CAE BD FlD A 图1②12α （2）证法一： 证明：连接CE ，如图2 ∵=60α°∴1302BDC α∠==° ∵DE BD ⊥ ∴90CDE ∠=°60BDC -∠=° ∵点C 与点D 关于直线l 对称 ∴EC ED = ∴CDE △是等边三角形∴CD CE =，60DCE ∠=° ∵AB AC =，60BAC ∠=° ∴ABC △是等边三角形 ∴CA CB =，60ACB ∠=° ∵ACE DCE ACD ∠=∠+∠，BCD ACB ACD ∠=∠+∠ ∴ACE BCD ∠=∠ ∴ACE BCD △≌△ ∴AE BD = 证法二：证明：连接AD ，如图2 ∵点C 与点D 关于直线l 对称∴AD AC AE CD =，⊥ ∴12DAE DAC ∠=∠∵12DBC DAC ∠=∠∴DBC DAE ∠=∠∵AE CD ⊥，BD DE ⊥∴90BDC CDE DEA CDE ∠+∠=∠+∠=°∴BDC DEA ∠=∠ ∵60AB AC BAC =∠=，° ∴ABC △是等边三角形 ∴CA CB AD == ∴BCD △≌ADE △ ∴AE BD = （3）134（2019.1+++怀柔+++初三上+++期末） （1）补全图形，如图所示（2）AH 与PH 的数量关系：AH =PH ，∠AHP =120° 证明：如图，由平移可知，PQ=DC ∵四边形ABCD 是菱形，∠ADC=60° ∴AD=DC ，∠ADB =∠BDQ =30° ∴AD=PQ∵HQ=HD ∴∠HQD =∠HDQ =30° ∴∠ADB =∠DQH ，∠D HQ=120°∴△ADH ≌△PQH ∴AH =PH ，∠A HD =∠P HQ ∴∠A HD+∠DHP =∠P HQ+∠DHP图2∴∠A HP=∠D HQ ∵∠D HQ=120° ∴∠A HP=120° （3）求解思路如下：由∠A HQ=141°，∠B HQ=60°解得∠A HB=81°a.在△ABH 中，由∠A HB=81°，∠A BD=30°，解得∠BA H=69°b.在△AHP 中，由∠A HP=120°，AH=PH ，解得∠PA H=30°c.在△ADB 中，由∠A DB=∠A BD= 30°，解得∠BAD =120° 由a 、b 、c 可得∠DAP =21°在△DAP 中，由∠A DP= 60°，∠DAP =21°，AD=1，可解△DAP ，从而求得DP 长5（2019.1+++通州+++初三上+++期末） （1）BF =（2）①依据题意补全图形 ②证明：如图，连接BF 、GB ∵四边形ABCD 是正方形∴AD =AB ，90ABC BAD ∠=∠=︒，AC 平分BAD ∠ ∴45BAC DAC ∠=∠=︒.在△ADF 和△ABF 中 AD AB DAC BAC AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，∴△ADF ≌△ABF ∴DF BF = ∵EF ⊥AC ，90ABC ∠=︒，点G 是AE 的中点 ∴AG EG BG FG === ∴点A 、F 、E 、B 在以点G 为圆心，AG 长为半径的圆上∵»»BFBF =，45BAC ∠=︒ ∴290BGF BAC ∠=∠=︒ ∴△BGF 是等腰直角三角形∴BF =∴DF =6（2019.1+++燕山+++初三上+++期末）(1) ① ∠BCE ＝35° ② AE ＝CEBE 证明：过点B 作BG ⊥BE ，交AM 于点G∴∠GBE ＝∠GBC ＋∠2＝90° ∵正方形ABCD ∴AB ＝BC ，∠ABC ＝∠1＋∠GBC ＝90° ∴∠1＝∠2A BCDP HQ∵∠ABC ＝∠CEA ＝90°，∠4＝∠5 ∴△ABF ∽△CEF∴∠α＝∠3 ∴在△ABG 和△CBE 中 ∠1＝∠2，AB ＝BC ，∠α＝∠3∴△ABG ≌△CBE ∴AG ＝CE ，BG ＝BE ∵在△BEG 中，∠GBE ＝90°，BG ＝BE ∴GE ＝2BE ∴AE ＝AG ＋GE ＝CE ＋2BE (2) AE ＋CE ＝2BE7（2019.1+++房山+++初三上+++期末） （1）补全图形如图分（2）证明:∵AD 平分∠BAC∴∠BAD =∠CAD ∵FE ⊥AD , ∠ACF =90°, ∠AHE =∠CHF ∴∠CFH =∠CAD ∴∠BAD =∠CFH , 即∠BAD =∠BFG（3）猜想: 222AB FD FB += 证明：连接AF∵EF 为AD 的垂直平分线 ∴AF=FD ，∠ ∴∠DAC +∠CAF =∠B +∠BAD ∵AD 是角平分线 ∴∠BAD =∠CAD ∴∠CAF =∠B ∴∠BAF =∠BAC +∠CAF =∠BAC +∠B =90° ∴222AB AF FB += ∴222+=AB FD FB8（2019.1+++门头沟+++初三上+++期末） （1）证明：如图1，∵ ∠ACB = 90°，AE ⊥BD ∴ ∠ACB =∠AEB = 90° 又∵ ∠1=∠2 ∴ ∠CAE =∠CBD （2）① 补全图形如图2HG FEDABC图1②2=+EF CE BE证明：在AE上截取AM，使AM=BE又∵AC=CB，∠CAE =∠CBD ∴△ACM≌△BCE∴CM=CE，∠ACM=∠BCE 又∵∠ACB =∠ACM+∠MCB=90°∴∠MCE=∠BCE+∠MCB=90°∴2.=ME CE又∵射线AE绕点A顺时针旋转45°，后得到AF，且∠AEF=90°∴EF=AE=AM+ME=BE+2CE9（2019.1+++朝阳+++初三上+++期末）10（2019.1+++西城+++初三上+++期末）11（2019.1+++大兴+++初三上+++期末）（1）补全的图形如图所示(2)解:由题意可知，∠ECF=∠ACG=90°∴∠FCG=∠ACE=α∵过点A作AB的垂线AD ∴∠BAD=90°∵AB=BC,∠ABC=90°∴∠ACB=∠CAD= 45° ∵∠ACG=90° ∴∠AGC=45° ∴∠AFC =α+45°（3）AE ,AF 与BC 之间的数量关系为2AE AF BC += 由（2）可知∠DAC=∠AGC=45° ∴CA=CG ∵∠ACE =∠GCF ，∠CAE =∠CGF ∴△ACE ≌△GCF ∴AE =FG 在Rt △ACG 中∴AG =∴AE AF +=∵AC = ∴2AE AF BC +=12（2019.1+++东城+++初三上+++期末）无答案27.解：（1）…………………………………………………………1分（2）∵点P 为线段DE 的中点 ∴DP ＝EP在△MPE 和△FPD 中 MP FP MPE FPD EP DP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△MPE ≌△FPD （SAS ）…………………………………………………………2分 ∴DF ＝ME∵E 为MN 的中点 ∴MN ＝2ME ∵MN ＝2MB∴MB ＝ME＝D F ．…………………………………………………………3分（3）结论：AM = …………………………………………………………4分 连接AF由（2）可知：△MPE ≌△FPD ∴∠DFP ＝∠EMP. ∴DF ∥ME.∴∠FDN ＝∠MND.在正方形ABCD 中，AD ＝AB ，∠BAD ＝90° 又∵∠BMN ＝90°∴∠MBA ＋∠MNA ＝180° 又∵∠MNA ＋∠MND ＝180° ∴∠MBA ＝∠MND∴∠FDN ＝∠MBA …………………………………………………………5分 在△FAD 和△MAB 中 FD MB FDA MBA DA BA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△F AD ≌△MAB （SAS ） ∴∠FAD ＝∠MAB FA ＝MA∴∠FAM＝∠DAB ＝90°∴△FAM 为等腰直角三角形…………………………………………………………6分 ∴FM =又∵FM ＝2PM∴ AM = …………………………………………………………7分13（2019.1+++平谷+++初三上+++期末）。
2019年北京市各区九年级上册期末试卷分类汇编：圆解答题(计算)-(数学)-精华版
圆解答题(计算)1．（昌平18期末20）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，BC．（1）求证：A BCD∠=∠；（2）若AB=10，CD=8，求BE的长．20．（1）证明：∵直径AB⊥弦CD，∴弧BC=弧BD. …………………… 1分∠=∠.…………………… 2分∴A BCD（2）解：连接OC∵直径AB⊥弦CD，CD=8，∴CE=ED=4. …………………… 3分∵直径AB =10，∴CO =OB=5.在Rt△COE中OE==…………………… 4分3BE=.…………………… 5分∴22．（朝阳18期末18）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线AC是⊙O的直径，AB=2，∠ADB＝45°. 求⊙O半径的长.3．（东城18期末18）已知等腰△ABC内接于O, AB=AC，∠BOC=100°，求△ABC的顶角和底角的度数.4．（密云18期末21）如图，AB是O的弦，O的半径OD AB⊥垂足为C.若AB=，CD=1 ，求O的半径长.21.解：AB 是O 的弦，O 的半径OD AB ⊥ 垂足为C ，AB =AC=BC=…………………………………………………………………………..2分连接OA.设O 半径为r ，则222OA AC OC =+即222(r 1)r =+- ………………………………………………..4分5．（丰台18期末20）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代语言表述为：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE = 1寸，CD = 10寸，求直径AB的长．请你解答这个问题.20.解：连接OC，∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD=10，∴∠BEC＝90°，152CE CD==.……2分设OC=r，则OA=r，∴OE=1r-.在Rt OCE∆中，∵222OE CE OC+=，∴()22125r r-+=.∴=13r. …4分∴AB = 2r= 26（寸）.答：直径AB的长26寸．…5分6．（平谷18期末20）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠A=15°，AB=4．求弦CD的长．20．解：∵∠A=15°，∴∠COB=30°． (1)∵AB=4，∴OC=2． (2)∵弦CD⊥AB于E，∴CE=12 CD． (3)在Rt△OCE中，∠CEO=90°，∠COB=30°，OC=2，∴CE=1． (4)∴CD=2． (5)7．（大兴18期末21）已知：如图，⊙O的直径AB的长为5cm，C为⊙O上的一个点，∠ACB 的平分线交⊙O于点D，求BD的长．21. 解：∵ AB为直径，∴∠ADB=90°，……………………………… 1分∵ CD平分∠ACB，∴ ∠ACD=∠BCD，∴AD⌒=BD⌒．………………………………… 2分∴ AD=BD ……………………………………… 3分在等腰直角三角形ADB 中，BD =AB sin45°=5×2 2 =52 2 ……………… 5分 ∴ BD =52 2 .8．（通州18期末19）如图，ABC △内接于⊙O .若⊙O 的半径为6，︒=∠60B ，求AC 的长．9．（顺义18期末24）已知：如图，AB 为⊙O 直径，CE ⊥AB 于E ，BF ∥OC ，连接BC ，CF ． 求证：∠OCF =∠ECB ．24．证明：延长CE交⊙O于点G．∵AB为⊙O的直径，CE⊥AB于E，∴BC=BG，∴∠G=∠2，……………………………………………..2分∵BF∥OC，∴∠1=∠F，………………………………………………3分又∵∠G=∠F，………………………………………..….5分∴∠1=∠2．…………………………………………….…6分（其它方法对应给分）10．（燕山18期末19）如图，AB为⊙O的直径，弦 CD ⊥AB于点E，连接BC．若AB＝6，∠B ＝30°，求：弦CD的长.19．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接BC．若AB＝6，∠B＝30°，求：弦CD的长．解：连结AC , ∵AB为⊙O的直径 ,∴∠ACB=90°……………………..……………..1′又AB＝6∠B＝30°∴AC=3∠CAE＝60°……………………..……………..2′∵弦CD⊥AB,AB为⊙O的直径∴CE=ED……………………..……………..3′∵Rt△CEA中CE=3sin60°=233…………………………………………………………..5′。
北京市2019年中考数学二模试题汇编 圆综合题
圆综合题2018昌平二模24. 如图、AB 是⊙O 的直径、弦CD AB ⊥ 于点E 、过点C 的切线交AB 的延长线于点F 、连接DF ．（1）求证：DF 是⊙O 的切线；（2）连接BC 、若BCF ∠=30°、2BF =、求CD 的长．2018朝阳二模23. AB 为⊙O 直径、C 为⊙O 上的一点、过点C 的切线与AB 的延长线相交于点D 、CA=CD . （1）连接BC 、求证：BC=OB ；（2）E 是AB 中点、连接CE 、BE 、若BE=2、求CE 的长.F A2018东城二模 23． 如图、AB 为O 的直径、直线BM AB ⊥于点B .点C 在O 上、分别连接BC 、AC 、且AC 的延长线交BM 于点D .CF 为O 的切线交BM 于点F . （1）求证：CF DF =；（2）连接OF . 若10AB =、6BC =、求线段OF 的长.2018房山二模23. 如图、△ABC 内接于⊙O 、AB =AC 、CO 的延长线交AB 于点D. （1）求证：AO 平分∠BAC ； （2）若BC =6、sin ∠BAC =35、求AC 和CD 的长．备用图A2018丰台二模24．如图、⊙O 中、AB 是⊙O 的直径、G 为弦AE 的中点、连接OG 并延长交⊙O 于点D 、连接BD 交AE 于点F 、延长AE 至点C 、使得FC = BC 、连接BC . （1）求证：BC 是⊙O 的切线； （2）⊙O 的半径为5、3tan 4A =、求FD 的长．2018海淀二模23．如图、AB 是⊙O 的直径、M 是OA 的中点、弦CD AB ⊥于点M 、过点D 作DE CA⊥交CA 的延长线于点E .（1）连接AD 、则OAD ∠= ︒ ； （2）求证：DE 与⊙O 相切；（3）点F 在BC 上、45CDF ∠=︒、DF 交AB 于点N .若3DE =、求FN 的长.D E G OFACB2018平谷二模24．已知：在△ABC 中、AB=BC 、以AB 为直径作⊙O 、交BC 于点D 、交AC 于E 、过点E 作⊙O 切线EF 、交BC 于F ． （1）求证：EF ⊥BC ；（2）若CD =2、tan C =2、求⊙O 的半径．2018石景山二模24．如图、在△ABC 中、∠90=C 、点D 是AB 边上一点、以BD 为直径的⊙O 与边AC 相切于点E 、与边BC 交于点F 、过点E 作EH ⊥AB 于点H 、连接BE ． （1）求证：EC EH =； （2）若4BC =、2sin 3A =、求AD 的长．B2018西城二模24．如图、AB 是⊙O 的直径、C 是圆上一点、弦CD ⊥AB 于点E 、且DC=AD ．过点A 作⊙O 的切线、过点C 作DA 的平行线、两直线交于点F 、FC 的延长线交AB 的延长线于点G . （1）求证：FG 与⊙O 相切；（2）连接EF 、求tan EFC ∠的值.2018怀柔二模24.如图、Rt △ABC 中、∠C =90°、⊙O 是Rt △ABC 的外接圆、过点C 作⊙O 的切线交BA 的延长线于点E 、BD ⊥CE 于点D 、连接DO 交BC 于点M. (1)求证：BC 平分∠DBA ； (2)若32=AO EA 、求MODM 的值．E2018门头沟二模23.如图、BC 为⊙O 的直径、CA 是⊙O 的切线、连接AB 交⊙O 于点D 、连接CD ,∠BAC 的平分线交BC 于点E 、交CD 于点F ． （1）求证：CE =CF ； （2）若BD =43DC 、求DF CF的值．2018顺义二模23．如图、AB 是⊙O 的直径、C 、D 为⊙O 上两点、且AC =BD 、过点O 作OE ⊥AC 于点E 、⊙O 的切线AF 交OE 的延长线于点F 、弦AC 、BD 的延长线交于点G ． （1）求证：∠F=∠B ；（2）若AB =12、BG =10、求AF 的长．BG F EDC OB A。
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2019九上圆综合题
2019昌平
24． 如图，△ABC 内接于⊙O ，过点C 作BC 的垂线交⊙O 于D ，点E 在BC 的延长线上，且∠DEC = ∠BAC ．
（1）求证：DE 是 ⊙O 的切线；
（2）若AC ∥DE ，当AB = 8，CE = 2时，求⊙O 直径的长．
2019朝阳
23．如图，在Rt △ABE 中，∠B ＝90°，以AB 为直径的⊙O 交AE 于点C ，CE 的垂直平分线FD 交BE 于D ，连接CD ．
（1）判断CD 与⊙O 的位置关系，并证明； （2）若AC ·AE ＝12，求⊙O 的半径．
B
O
D
C
E
A
2019大兴
24.如图，点C 是⊙O 直径AB 上一点，过C 作CD ⊥AB 交⊙O 于点D ，连接DA ，延长BA 至点P ，连接DP ，使∠PDA=∠ADC . (1) 求证：PD 是⊙O 的切线；
(2) 若AC =3，4tan 3PDC ∠=，求BC 的长．
2019东城
24. 如图，已知Rt △ABC 中，∠A CB ＝90°，E 为AB 上一点，以AE 为直径作⊙O 与BC 相切于点D ，连接ED 并延长交AC 的延长线于点F ． （1）求证：AE ＝AF ;
（2）若AE ＝5，AC ＝4，求BE 的长．
2019房山
24. 如图，AB ，AC 是⊙O 的两条切线，B ，C 为切点，连接CO 并延长交AB 于点D ，交⊙O 于点E ，连接BE ，连接AO ． （1）求证：AO ∥BE ；
（2）若2=DE ，tan ∠BEO
，求DO 的长．
2019海淀
25．如图，AB 是⊙O 的弦，半径OE AB ⊥， P 为AB 的延长线上一点，PC 与⊙O 相切于点
C ，CE 与AB 交于点F ． （1）求证：PC =PF ； （2）连接OB ，BC ，若//OB PC
，BC =，3
tan 4
P =
，求FB 的长.
2019怀柔
24. 如图，AB 是⊙O 的直径，过点B 作⊙O 的切线BM ，点A ，C ，D 分别为⊙O 的
三等分点，连接AC ，AD ，DC ，延长AD 交BM 于点E ， CD 交AB 于点F. （1）求证：//CD BM ；
（2） 连接OE ，若DE=m ，求△OBE 的周长.
B
2019门头沟
24．如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O切线BM，弦CD∥BM，交AB于F，AD DC
，连接AC和AD，延长AD交BM于点E．
（1）求证：△ACD是等边三角形；
（2）连接OE，如果DE = 2，求OE的长．
2019平谷
24．如图，点O是Rt△ABC的AB边上一点，∠ACB=90°，⊙O与AC相切于点D，与边AB，BC分别相交于点E，F．
（1）求证：DE=DF；
（2）当BC=3，sin A=3
5
时，求AE的长．
D
B
E
M
O F
C
A
A
2019石景山
25．如图，AB 是⊙O 的直径，C 为AB 延长线上一点，过点C 作⊙O 的切线CD ，D 为
切点，点F 是AD 的中点，连接OF 并延长交CD 于点E ，连接BD ，BF ． （1）求证：BD ∥OE ； （2）若310OE =，3
tan 4
C =，求⊙O 的半径．
2019顺义
27．已知：如图，点C 是以AB 为直径的⊙O 上一点，直线AC 与过B 点的切线相交于D ，点E 是BD 的中点，直线CE 交直线AB 于点F ．
（1）求证：CF 是⊙O 的切线；
（2）若3=ED ，5=EF ，求⊙O 的半径．
O
F
E
C
B
A
2019通州
22．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，∠ABD=2∠BAC，连接CD，过点C作CE⊥DB，垂足为E，直径AB与CE的延长线相交于F点．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）当
18
5
BD=，
3
sin
5
F=时，求OF的长．
2019西城
24．如图，AB是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O．点D在⊙O 上，BD平分∠ABC交AC 于点E，DF⊥BC交BC的延长线于点F．
（1）求证：FD是⊙O的切线；
（2）若BD=8，sin∠DBF=3
5
，求DE的长．
2019燕山
25．如图，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点P ，
过点A 作AD ⊥PC 于点D ，AD 与⊙O 交于点E ． (1) 求证：AC 平分∠DAB ． (2) 若AB ＝10，sin ∠CAB ＝2
5
，请写出求DE 长的思路．
2019丰台
23．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，连接AC . 过点B 作⊙O 的切线，交AC 的延长线于点D ，在AD 上取一点E ，使AE = AB ，连接BE ，交⊙O 于点F ．
请补全图形并解决下面的问题：
（1）求证：∠BAE =2∠EBD ； （2）如果AB = 5，5
5
sin =∠EBD ，求BD 的长．
A
2019密云
24.如图，ABC
中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E.过D作DF⊥AC，垂足为F.
（1）求证：DF是⊙O的切线（2）若CD=3，CE=18
5
，求⊙O的半径.。