第三章 积分学
积分及其应用习题课
第一类换元法
第二类换元法 (代换: x (t))
(注意常见的换元积分类型)
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微积分
第三章 一元函数积分学
3. 分部积分法
u vdx u v uv dx
使用原则:
1) 由 v 易求出 v ;
2 3) 1) 2
d
t
原式
t
t
2
3
1
1
t
3t 2
1
t 2 (t (t 2
2
3) 1)2
dt
1 2
ln
t2
1
C
1 2
ln
(x
y)2
1
C
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微积分
第三章 一元函数积分学
例5. 求
解: 原式 arctan exdex
ex arctan ex
x
d
x
.
解:
原式
(2
sin x cos x)sin2
x
dx
(令 u cos x)
1
(2 u)(u2 1) du
1 (2u)(u2 1)
A 2u
B C
u 1 u 1
A
1 3
B
1 6
C
1 2
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微积分
第三章 一元函数积分学
例14. 求 I
dx
(a b k )
微积分
第三章 一元函数积分学
例2. 求
定积分应用及广义积分
第三章 一元积分学第四节 定积分的应用及广义积分一．定积分的应用积分有着广泛的应用。
在这里我们要掌握（1）直接用公式计算（主要是面积、弧长、体积的公式）（2）用元素法计算。
遇到具体问题时，如能直接用公式，我们就用公式去做，如没有现成的公式可用或公式忘了，我们可用元素法去解。
元素法同样适用于重积分的应用问题，还可以用元素法建立微分方程，所以说掌握了元素法就可以做到以不变应万变。
例１．（1）曲线)0( sin 2≥=-x x e y x 与x 轴所围成的图形的面积为____． （２）曲线)0(sin 0π≤≤=⎰x dt t y x的弧长为____．解：（１）所求的面积为 ∑⎰⎰+∞=+-+∞-==)1(0|sin |2|sin 2|k k k x xdx x e dx x e A ππ而⎰+-ππ)1(|sin |2k kxdx x e==⎰--ππsin 2tdt e et k )1(ππ--+e e kππππ--∞=---+=+=∑ee ee A k k 11)1(011-+=ππe e （２）弧长为4)]([102='+=⎰dx x f l π例２．过点)0,4(作曲线)3)(1(x x y --=的切线，（１） 求切线方程；（２） 求由这切线与该曲线及x 轴围成的图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积． 解：（１）)3)(1(2x x x y ---='设切点为),(00y x ，则有4)3)(1(4)3)(1(200000000---=--=---x x x x y x x x解得 250=x ，那么切线的斜率为31-=k 切线方程为 )4(31--=x y ，即043=-+y x（３） 旋转体的体积为 6)3)(1()]4(31[3252425πππ=-----=⎰⎰dx x x dx x V下面介绍一下元素法我们先看一个例子例３．求曲线22x x y -=与直线0=y 围成的图形绕直线3=x 旋转一周的旋转体的体积．分析：求旋转体的体积是我们熟悉的问题．但本题没有现成的公式好用，应考虑用元素法将所求的体积化为一个积分，然后计算积分得结果．在学习定积分概念时，讲过将曲边梯形的面积化为一个定积分的几个步骤：分割、近似、求和、取极限．用元素法将所求的量化为一个定积分的步骤稍微简化一点：分割、近似后得元素、积分（以得到的元素为被积表达式在相应区间上积分）得结果．先要选好积分变量并确定积分区间，本题中可选x 也可选y ．若选y 为积分变量，则积分区间为]1,0[，分割：在]1,0[上任取一个小区间],[dy y y +，近似：该小区间对应的一小片绕直线3=x 旋转一周的旋转体的体积V ∆近似为dy y dy y y V -=----+≈∆18])12()12[(22ππ，从而得体积元素dy y dV -=18π，积分得结果：ππ316181010=-==⎰⎰dy y dV V ．若选x 为积分变量，则积分区间为]2,0[，分割：在]2,0[上任取一个小区间],[dx x x +，近似：该小区间对应的小曲边梯形绕直线3=x 旋转一周的旋转体的体积V ∆近似为22322)( )65(2])3()3[( dx y dx x x x dx x x y V πππ-+-=----≈∆dx x x x )65(223+-≈π，从而得体积元素dV dx x x x )65(223+-=π，积分得结果：ππ316)65(21232=+-==⎰⎰dx x x x dV V ．解答过程自己完成． 总结：用元素法求某个量U 的一般步骤：（１） 建立坐标系，选取积分变量，比如x ．确定该变量的变化区间即为积分区间，比如],[b a ．（２） 在区间],[b a 上任取一个小区间],[dx x x +，对应该小区间的部分量记为U ∆，找出该部分量的近似值 dx x f U )(≈∆，那么得到量U 的元素 dx x f dU )(=．（３） 以元素dx x f dU )(=为积分表达式在区间],[b a 上积分便得欲求的量U ⎰⎰==babadx x f dU U )(这里关键是找出元素dx x f dU )(=，找元素的思想是：以直代曲，以常代变．例３．设有半径为R 的密度不均匀的圆盘．已知其面密度为b ar +=μ，其中为所考虑的点到圆盘中心的距离，b a ,为正常数，求圆盘的质量．解：以圆盘上的点到圆心的距离r 为积分工变量，则],0[R r ∈，任取],0[R 上的一个小区间],[dr r r +，该小区间对应的小圆环的质量近似为dr b ar r b ar r dr r M )( 2)]( )([22+≈+-+≈∆πππ于是质量元素为 dr b ar r dM )( 2+=π，所以圆盘质量为 )32( )( 220b aR R dr b ar r M R+=+=⎰ππ注：本题可用二重积分计算。
一元函数积分学
第三章 一元函数积分学一、不定积分1．理解原函数与不定积分的概念及其关系，理解原函数存在定理，掌握不定 积分的性质。
1．原函数定义 设 ) (x f 在某区间上有定义，若存在函数 ) (x F ，使其在该区间上 任一点都有) ( ) ( x f x F = ¢ ，则称 ) (x F 为函数 ) (x f 在该区间上的原函数。
若 ) (x F 为 ) (x f 在某区间上的原函数，则 C x F + ) ( 也为 ) (x f 在该区间上的原函数。
若 ) (x F ， ) (x F 都是 ) (x f 在某区间上的原函数，则 C x x F = F - ) ( ) ( （C 为常数） 。
若 ) (x F 为 ) (x f 在某区间上的一个原函数，则 C x F + ) ( 为 ) (x f 在该区间上的所有原 函数，其中 C 为任意常数。
2．原函数存在定理定理 若 ) (x f 在某区间上连续，则函数 ) (x f 在该区间上的原函数一定存在。
由于初等函数在其定义区间上为连续函数， 因此初等函数在其定义区间上的原函数必定 存在。
3．不定积分 定义) (x f 的原函数的全体，称为 ) (x f 的不定积分，记为 ò dx x f ) ( 。
如果 ) (x F 为 ) (x f 的一个原函数，则有 C x F dx x f + = ò) ( ) ( ，其中 C 为任意常数。
4．不定积分的几何意义设 ) (x F 为 ) (x f 的一个原函数，则从几何上看， ) (x F 表示平面上的一条曲线，称之为) (x f 的积分曲线。
因此不定积分 C x F dx x f + = ò ) ( ) ( 在几何上表示一族积分曲线。
这族积分曲线中的任何一条曲线对应于横坐标x 处的点的切线都相互平行，且切线的斜率等于) (x f 。
5．不定积分的性质设 ) (x f ， ) (x g 都存在不定积分，则有 性质 1 dx x g dx x f dx x g x f ò ò ò ± = ± ) ( ) ( )]( ) ( [ 性质 2dx x f k dx x kf ò ò = ) ( )( （ 为常数 k ） 性质 3 ) ( ] ) ( [ x f dx x f = ¢ò（简述为：先积分后求导，作用抵消。
[工学]第3章复变函数的积分
![[工学]第3章复变函数的积分](https://img.taocdn.com/s3/m/59f88e72ad02de80d4d840d1.png)
k
k 1 k
3.1.2积分存在的条件及其计算方法
1) 当 f ( z )是连续函数且C 是光滑(或按段光滑) 曲线时，则积分C f ( z )dz一定存在。 2)可以通过两个二元实变函数的积分来计算。
C
f ( z )dz (u iv)(dx idy) udx vdy i vdx udy
1 0
2tdt 1;
例4计算 z dz 的值，其中 C 为沿从（0， c 0）到（1，0）的线段与从（1，0）到（1， 1）的线段所连结成的折线。
解 :
c
zdz zdz zdz
c1 c2
tdt 1 it idt
0 0
1
1
1 1 i 1 i 2 2
第三章 复变函数的积分
本章中,我们将给出复变函数积分的概念,然后 讨论解析函数积分的性质,其中最重要的就是 解析函数积分的基本定理与基本公式。这些性 质是解析函数积分的基础,借助于这些性质,我 们将得出解析函数的导数仍然是解析函数这个 重要的结论。
本章学习目标
1了解复变函数积分的概念; 2了解复变函数积分的性质; 3掌握积分与路经无关的相关知识; 4熟练掌握柯西—古萨基本定理; 5会用复合闭路定理解决一些问题; 6会用柯西积分公式; 7会求解析函数的高阶导数.
f z dz 1
c
c
f z dz;
2
k f z dz k f z dz
c c
3 c f z g z dz c f z dz c g z dz;
3.3定积分的概念与性质、计算(一)
i 1 n
总存在， 则称函数 f(x) 在区间 a , b 上可积， 并称极限I为函数 f(x) 在区间 a , b上的定积分， 记为 f x dx ,即
b a
I f x dx lim f i xi .
b a
n
0
i 1
注意: 0 不能换成 n .
该区间上各个时刻的速度，即
si v( i )ti ( i 1, 2, , n)
③求和.
s si v ( i )t i
i 1 i 1 n n
④取极限. s lim
0
v( )t
i 1 i
n
i
max ti
1 i n
A lim f i xi ( max{xi })
c b a c
c
a b
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
b c
a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
c b
a c
b c
a
b
a
c
性质4 如果在区间 a , b 上，f ( x ) g( x )，则
y
y f x 0
A i
即
a
Ai f i xi ( i 1, 2, , n)
O
x0 x1 x2
…
xi 1 xi
…
xn 1
b xn x
③求和
n i 1
i
f 1 x1 f 2 x2 f ( n )xn f i xi A
分部积分法
x
x
总结： 总结： 对于类似于例6的题目， 对于类似于例6的题目，需要进行 两次分部积分才能完成， 两次分部积分才能完成，所以第二次分 部积分时需要与第一次分部积分对应起 第二次设u的函数应是第一次设u 来，即第二次设u的函数应是第一次设u 的同类函数，否则，积分不了。 的同类函数，否则，积分不了。 凡是需要两次以上分部才能完成的 积分，每次分部时都应注意这种技巧。 积分，每次分部时都应注意这种技巧。
∫
例4 求积分 x ln xdx .
∫
3
x 解 u = ln x , x dx = d = dv , 4 1 4 1 3 3 ∫ x ln xdx = 4 x ln x − 4 ∫ x dx 1 4 1 4 = x ln x − x + C . 4 16
3
4
总结 若被积函数是幂函数和对数函数或幂 函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函 函数和反三角函数的乘积， 数或反三角函数为 u.
′
− x2
Q
(∫ f ( x )dx ) = f ( x ), ∴ ∫ f ( x )dx = e
f ( x ) = −2 xe
+ C,
求导, 两边同时对 x求导 得
− x2
,
∴ ∫ xf ′( x )dx = xf ( x ) − ∫ f ( x )dx
= −2 x e − e
2 − x2
− x2
例3 求积分 x arctan xdx .
x2 解 令 u = arctan x , xdx = d = dv 22 2 x x ∫ x arctan xdx = 2 arctan x − ∫ 2 d (arctan x ) x2 x2 1 dx = arctan x − ∫ ⋅ 2 2 2 1+ x x2 1 1 )dx = arctan x − ∫ ⋅ (1 − 2 2 2 1+ x x2 1 = arctan x − ( x − arctan x ) + C . 2 2
第三章 复变函数的积分
第三章 复变函数的积分复变函数的积分(简称复积分)是研究解析函数的有力工具,解析函数许多重要的性质都需要利用复积分来证明.本章主要介绍复变函数积分的定义、性质与基本计算方法，解析函数积分的基本定理——柯西-古萨定理及其推广，柯西积分公式及其推论以及解析函数与调和函数的关系.柯西-古萨定理和柯西积分公式是复变函数的理论基础，以后各章都直接地或间接地用到它们.§3.1 复变函数积分的概念1.复变函数积分的定义在介绍复变函数积分的定义之前，首先介绍有向曲线的概念.设平面上光滑或分段光滑曲线C 的两个端点为A 和B .对曲线C 而言，有两个可能方向：从点A 到点B 和从点B 到点A .若规定其中一个方向(例如从点A 到点B 的方向)为正方向，则称C 为 有向曲线.此时称点A 为曲线C 的起点，点B 为曲线C 的终点.若正方向指从起点到终点的方向，那么从终点B 到起点A 的方向则称为曲线C 的负方向，记作C -.定义3.1 设C 为一条光滑或分段光滑的有向曲线，其中A 为起点，B 为终点.函数f (z )在曲线C 上有定义.现沿着C 按从点A 到点B 的方向在C 上依次任取分点：A =z 0,z 1,…,z n -1,z n =B ,图3.1将曲线C 划分成 n 个小弧段.在每个小弧段1k k z z -(k =1,2,…,n )上任取一点,k ξ,并作和式1().nn k k k S f z ξ==∆∑其中1k k k z z z -∆=-.记λ为n 个小弧段长度中的最大值.当λ趋向于零时，若不论对曲线C 的分法及点k ξ的取法如何，n S 极限存在，则称函数f (z )沿曲线C 可积，并称这个极限值为函数f (z )沿曲线C 的积分.记作1()d lim (),nkkk Cf z z f z λξ→==∆∑⎰f (z )称为被积函数，f (z )d z 称为被积表达式.若C 为闭曲线，则函数f (z )沿曲线C 的积分记作()d Cf z z ⎰.2.复变函数积分的性质性质3.1（方向性）若函数f (z )沿曲线C 可积，则()d ()d .CC f z z f z z -=-⎰⎰ (3.1)性质3.2（线性性）若函数f (z )和g (z )沿曲线C 可积，则(()())d ()d ()d ,CCCf zg z z f z z g z z αβαβ+=+⎰⎰⎰ (3.2)其中αβ,为任意常数.性质3.3（对积分路径的可加性）若函数f (z )沿曲线C 可积，曲线C 由曲线段12,,,n C C C ,依次首尾相接而成，则12()d ()d ()d ()d .nCC C C f z z f z z f z z f z z =+++⎰⎰⎰⎰(3.3)性质3.4（积分不等式）若函数f (z )沿曲线C 可积，且对z C ∀∈,满足()f z M ≤, 曲线C 的长度为L ,则()d ()d ,CCf z z f z s ML ≤≤⎰⎰(3.4)其中d d s z ==, 为曲线C 的弧微分.事实上，记k s ∆为z k -1与z k 之间的弧长，有111()()().nn nkkk k k k k k k f zf z f s ξξξ===∆≤∆≤∆∑∑∑令0λ→,两端取极限，得到()d ()d .CCf z z f z s ≤⎰⎰又由于11(),nnk k k k k f s M s ML ξ==∆≤∆=∑∑所以有()d ()d .CCf z z f z s ML ≤≤⎰⎰3.复变函数积分的基本计算方法定理3.1 若函数f (z )=u (x,y )+iv (x,y )沿曲线C 连续，则f (z )沿C 可积，且()d d d d d .CCCf z z u x v y i v x v y =-++⎰⎰⎰ (3.5)证明：设11,,,,k k k k k k k k k k k k z x iy i x x x y y y ξζη--=+=+∆=-∆=-则11111()()()().k k k k k k k k k k k k k z z z x iy x iy x x i y y x i y -----∆=-=+-+=-+-=∆∆从而1111()((,)(,))()((,)(,))((,)(,)).nnkk k k k k k k k k nk k k k k k k nk k k k k k k f z u iv x i y u x v y i v x u y ξζηζηζηζηζηζη====∆=+∆+∆=∆-∆+∆+∆∑∑∑∑上式右端的两个和数是两个实函数的第二类曲线积分的积分和.已知f (z ) 沿C 连续，所以必有u 、v 都沿C 连续，于是这两个第二类曲线积分都存在.因此积分存在()d Cf z z ⎰，且()d d d d d .CCCf z z u x v y i v x u y =-++⎰⎰⎰注(3.5)式可以看作是f (z )=u +iv 与d z =d x +i d y 相乘后得到：()d ()(d d )d d d d d d d d d .CCCCCf z z u iv x i y u x iv x iu y v yu x v y i v x u x u y =++=++-=-+++⎰⎰⎰⎰⎰定理3.1给出的条件仅仅是积分()d Cf z z ⎰存在的充分条件.该定理告诉我们，复变函数积分的计算问题可以化为其实部和虚部两个二元实函数第二类曲线积分的计算问题.下面介绍另一种计算方法--- 参数方程法.设C 为一光滑或为分段光滑曲线，其参数方程为()()()(),z z t x t iy t a t b ==+≤≤参数t =a 时对应曲线C 的起点，t =b 时对应曲线C 的终点.设f (z )沿曲线C 连续，则(())((),())((),())()().f z t u x t y t iv x t y t u t iv t =+=+由定理3.1有()d d d d d (()()()())d (()()()())d ,CCCb baaf z z u x v y i v x u yu t x t v t y t t i u t y t v t x t t =-++''''=-++⎰⎰⎰⎰⎰容易验证Re((())())()()()(),Im((())())()()()().f z t z t u t x t v t y t f z t z t u t y t v t x t '''=-'''=+所以()d (())()d .baCf z z f z t z t t '=⎰⎰(3.6)例3.1 分别沿下列路径计算积分2d Cz z ⎰和Im()d Cz z ⎰.(1) C 为从原点(0,0)到(1,1)的直线段；(2) C 为从原点(0,0)到(1,0)再到(1,1)的直线段. 解： (1) C 的参数方程为：z =(1+i )t, t 从0到1 .11222033310d ((1))d((1))(1)((1))d (1)(1).33Cz z i t i t i i t t t i i =++=++⎛⎫+=+⋅= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰(2) 这两直线段分别记为C 1和C 2,C 1的参数方程为：y =0, x 从0到1; C 2的参数方程为：x =1, y 从0到1.1122203312103d d (1)d(1)33122(1)1.3333Cz z x x iy iy x y i y iy i i i i =+++⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭-+=+--==⎰⎰⎰ ()111000Im()d 0d d 1i d .2Ciz z x y y i y y =++==⎰⎰⎰⎰ 例3.2 计算积分d Czz z⎰,其中C 为图3.2所示半圆环区域的正向边界.图3.2解：积分路径可分为四段，方程分别是：C 1:z =t (-2≤ t ≤ -1); C 2:z =,i e θθ从π到0; C 3:z =t (1≤ t ≤ 2);C 4:z =2,i e θθe 从0到π.于是有123412π2π10d d d d d e 2e d e d d 2d e 2e24411.333CC C C C i i i i i i z z z z z z z z z z z z z z zt t t i t ie t t θθθθθθθθ----=+++=+++=++-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰例3.3 计算积分101d ()n Cz z z +-⎰,其中C 为以z 0为中心，r 为半径的正向圆周，n 为整数.解：曲线C 的方程为：0(02π)i z z re θθ=+≤≤.从而有2π11(1)002π2πd e ()e d ed .e i n n i n Cin n in nzir I z z r i i r r θθθθθθ+++-==-==⎰⎰⎰⎰图3.3当n =0时，2πd 2πI i i θ==⎰当n ≠0时，2π(cos sin )d 0niI n i n rθθθ=-=⎰.所以有0102π,0;d 0,0.()n z z ri n zn z z +-==⎧=⎨≠-⎩⎰ (3.7) 由此可见，该积分与积分路线圆周的中心和半径无关，在后面还要多次用到这个结果，需记住.§3.2 柯西-古萨定理(C auchy-Gour s at)及其推广1.柯西-古萨定理首先我们来看看上一节所举的例题，例3.1中被积函数f (z )=z 2在z 平面上处处解析，它沿连接起点与终点的任何路径的积分值相同，也就是说，该积分与路径无关.即沿z 平面上任何闭曲线的积分为零.而例3.1中另一被积函数()Im()f z z =在z 平面上处处不解析，其积分值依赖于连接起点与终点的路径.由例3.3得积分1d 2π0Cz i z z =≠-⎰,曲线C 表示圆周：|z -z 0|=r >0.其中被积函数01()f z z z =-在z 平面上除去点z 0外处处解析，但这个区域是复连通区域.由此可见，积分值与路径是否无关，可能与被积函数的解析性及区域的单连通性有关.其实，在实函数的第二类曲线积分中就有积分值与路径无关的问题.由于复变函数的积分可以用相应的两个实函数的第二类曲线积分表示，因此对于复积分与路径无关的问题，我们很自然地会想到将其转化为实函数积分与路径无关的问题来讨论.假设函数f (z )=u +iv 在单连通域D 内处处解析，f '(z )在D 内连续,由第二章2.3节中的(2.9)式知u,v 对x,y 的偏导数在D 内连续.设z =x +iy ，C 为D 内任一条简单闭曲线.则由(3.5)式，有()d d d d d .CCCf z z u x v y i v x u y =-++⎰⎰⎰记G 为C 所围区域，由格林(Green)公式有d d d d ,G Cv u u x v y x y x y ⎛⎫∂∂-=-- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰ 由于f (z )=u +iv 在D 内解析，所以u 、v 在D 内处处都满足柯西-黎曼方程,即,.u v v ux y x y∂∂∂∂==-∂∂∂∂ 因此d d d d 0.CCu x v y v x u y -=-=⎰⎰从而()d 0.Cf z z =⎰下面的定理告诉我们去掉条件“f '(z )在D 内连续”条件，这个结论也成立.这是复变函数中最基本的定理之一.定理3.2（柯西-古萨定理） 若函数f (z )是单连通域D 内的解析函数，则f (z )沿D 内任一条闭曲线C 的积分为零，即()d 0.Cf z z =⎰注：其中曲线C 不一定要求是简单曲线.事实上，对于任意一条闭曲线，它都可以看成是由有限多条简单闭曲线衔接而成的，如图3.4.图3.4这个定理是由柯西提出来的，后来由古萨给出证明.由于证明过程较复杂，我们略去其证明.由柯西-古萨定理可以得到如下两个推论：推论3.1 设C 为z 平面上的一条闭曲线，它围成单连通域D ,若函数f (z )在D D C=上解析，则()d 0.Cf z z =⎰推论3.2 设函数f (z )在单连通域D 解析,则f (z )在D 内积分与路径无关.即积分()d Cf z z⎰不依赖于连接起点z 0与终点z 1的曲线C ,而只与z 0、z 1的位置有关.证明：图3.5设C 1和C 2为D 内连接z 0 与z 1的任意两条曲线.显然C 1和2C -连接成D 内一条闭曲线C .于是由柯西-古萨定理，有12()d ()d ()d 0.CC C f z z f z z f z z -=+=⎰⎰⎰即12()d ()d .C C f z z f z z =⎰⎰2.原函数由推论\re f {cor2可知，解析函数在单连通域D 内的积分只与起点z 0 和终点z 1有关，而与积分路径无关.因此，函数f (z )沿曲线C 1和C 2的积分又可以表示为1212()d ()d ()d .z z C C f z z f z z f z z ==⎰⎰⎰固定下限z 0，让上限z 1在区域D 内变动，并令z 1=z ,则确定了一个关于上限z 的单值函数()()d .zz F z f ξξ=⎰ (3.8)并称F (z )为定义在区域D 内的积分上限函数或变上限函数.定理3.3 若函数f (z )在单连通域D 内解析，则函数F (z )必在D 内解析，且有F '(z )=f (z ). 证明：若D 内任取一点z ,以z 为中心作一个含于D 内的小圆B ，在B 内取点(0)z z z +∆∆≠,则由(3.8)式有()()()d ()d .z zzz z F z z F z f f ξξξξ+∆+∆-=-⎰⎰因为积分与路径无关，所以()d z zz f ξξ+∆⎰的积分路径可取从z 0到z 再从z 到z z +∆，其中从z 0到z 取与()d zz f ξξ⎰的积分路径相同.于是有()()()d .z zzF z z F z f ξξ+∆+∆-=⎰由于f (z )是与积分变量ξ无关的值，故()d ()d ().z zz zzzf z f z f z z ξξ+∆+∆==∆⎰⎰从而()()1()()d()1(()())d .z zz z zzF z z F z f z f f z z zf f z zξξξξ+∆+∆+∆--=-∆∆=-∆⎰⎰又f (z )在D 内解析，显然f (z )在D 内连续.所以对于任给的0ε>,必存在0δ>,使得当z ξδ-<(且ξ落在圆B 内)，即当z δ∆<时，总有()()<f f z ξε-.图3.6由复积分的性质\re f {ji f e n xi n g z hi4，有()()1()(()())d 1()()d 1.z zzz zzF z z F z f z f f z z zf f z z z zξξξξεε+∆+∆+∆--=-∆∆≤-∆≤∆=∆⎰⎰即0()()lim()z F z z F z f z z ∆→+∆-=∆,也就是()()F z f z '=.与实函数相似，复变函数也有原函数的概念及类似于牛顿-莱布尼兹(Newton-Leibniz)公式的积分计算公式.定义3.2 若在区域D 内，()z ϕ的导数等于f (z )，则称()z ϕ为f (z )在D 内的原函数. 由定理定理3.3可知，变上限函数0()()d zz F z f ξξ=⎰为f (z )的一个原函数.那么函数f (z )的全体原函数可以表示为()()z F z C ϕ=+,其中C 为任意常数.事实上，因为(()())()()()()0z F z z F z f z f z ϕϕ'''-=-=-=，所以()()z F z C ϕ-=，即()()z F z C ϕ=+.这说明了f (z )的任何两个原函数仅相差一个常数.利用这一性质我们可以得到解析函数的积分计算公式.定理3.4 若函数f (z )在单连通域D 内处处解析，()z ϕ为f (z )的一个原函数， 则11010()d ()()()z zz z f z z z z z ϕϕϕ=-=⎰, (3.9)其中z 0、z 1为D 内的点.证明：由于0()()d zz F z f ξξ=⎰为f (z )的一个原函数.所以()()d ().zz F z f z C ξξϕ==+⎰当z =z 0时，根据柯西-古萨定理可知0()C z ϕ=-,于是()d ()()zz f z z ξξϕϕ=-⎰.需要特别注意的是这个公式仅适用于定义在单连通域内的解析函数.例3.4 求积分π2sin 2d i z z ⎰的值.解：因为sin2z 在复平面上解析，所以积分与路径无关.可利用（3.9）式来计算.容易验证1cos 22z -是sin2z 的一个原函数, ππ2200ππππ11sin 2d (cos πcos 0)cos 22211e e .12242i iz z i z e e --=-=--+⎛⎫+=-=-- ⎪⎝⎭⎰例3.5 求积分0(1)e d iz z z --⎰的值.解：因为(z -1)e -z 在复平面上解析，所以积分与路径无关.可利用(3.9)式来计算.(1)e d e d e d iiizzzz z z z z ----=-⎰⎰⎰, 上式右边第一个积分的计算可采用分部积分法，第二个积分可用凑微分法，得(1)e d e d e d esin1cos1.iiiizzz z i z z z zz ie i ------=+--=-=--⎰⎰⎰例3.6 设D 为直线3,2z t t ⎛=+-∞<<∞+ ⎝ 和直线4,55z t t i ⎛=+-∞<<∞-+ ⎝⎭所围成的区域. 求积分23d 2izz z +-⎰的值. 解： 尽管212z z +-在复平面上存在两个奇点1和-2，但是单连通域D 包含点3和i ，又不含奇点1和-2，因此212z z+-在区域D内解析，这样就可以用(3.9)式来计算.233311d dd2312i i iz zzz z z z⎛⎫=-⎪+--+⎝⎭⎰⎰⎰函数ln(z-1)和ln(z+2)在单连通域D内可以分解为单值的解析分支，ln(z-1)的各分支导数都为11z-,ln(z+2)的各个分支的导数都为12z+.我们可以应用任何一个分支来计算积分值，在这里我们都取主支. 所以()23311d ln(1)ln(2)231153π1ln arctan3224215π1ln arctan.62432iiz z zz zii i=--++-⎛⎫⎛⎫=++⎪⎪⎝⎭⎝⎭=++⎰3.复合闭路定理柯西-古萨定理定理可推广到多连通域.设有n+1条简单闭曲线C0、C1、C2、…、C n,其中C1、C2、…、C n互不相交也互不包含，并且都含于C0的内部.这n+1条曲线围成了一个多连通区域D, D的边界C称作复闭路，它的正向为C0取逆时针方向，其它曲线都取顺时针方向.因此复闭路记作012nC C C C C---=++++.沿复闭路的积分通常取的是沿它的正向.定理 3.5若f(z)在复闭路012nC C C C C---=++++及其所围成的多连通区域内解析，则012()d()d()d()dnC C C Cf z z f z z f z z f z z=+++⎰⎰⎰⎰, (3.10) 也就是()d0Cf z z=⎰.为了叙述的简便，我们仅对n=2的情形进行说明.图3.7在图3.7中，做辅助线l1、l2和l3将C0、C1及C2连接起来，从而把多连通区域D划分为两个单连通区域D1及D2，并分别用1Γ及2Γ表示这两个区域的边界，由柯西-古萨定理有12()d 0, ()d 0.f z z f z z ΓΓ==⎰⎰于是12()d ()d 0.f z z f z z ΓΓ+=⎰⎰上式左端，沿辅助线l 1、l 2和l 3的积分，恰好沿相反方向各取了一次，从而相互抵消.因此上式左端为沿曲线C 0、1C -及2C -上的积分，即有：12()d ()d ()d 0.C C C f z z f z z f z z --=⎰⎰⎰也就是12()d ()d ()d .C C C f z z f z z f z z =+⎰⎰⎰例3.7 计算2d2Czz +⎰的值,C 为包含圆周|z |=1在内的 任何正向简单闭曲线. 解：显然z =0和z =-1是函数21z z+的两个奇点，由于C 为包含圆周|z |=1在内的任何正向简单闭曲线，因此也包含了这两个奇点.在C 的内部作两个互不包含互不相交的正向圆周C 1和C 2，其中C 1的内部只包含奇点z =-1，C 2的内部只包含奇点z =0.图3.8因为21z z+在由C 、C 2、C 2所围成的复连通域内解析，所以由定理3.5、定理3.2及(3.7)式，得1211222222d d d d d d d 1102π2π00.CCC C C C C z z zz z z z z z z z z zz z z z i i =++++=-+-++=-+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ §3.3 柯西(C auchy)积分公式及其推论1.柯西积分公式利用复合闭路定理我们可以导出解析函数的积分表达式，即柯西积分公式.定理3.6 若f (z )是区域D 内的解析函数，C 为D 内的简单闭曲线，C 所围内部全含于D 内，z 为C 内部任一点，则1()()d 2πCf f z iz ξξξ=-⎰, (3.11) 其中积分沿曲线C 的正向.证明：取定C 内部一点z .因为f (z )在D 内解析，所以f (z )在点z 连续.即对任给的0ε∀>,必存在0δ>,当|z δξ<-时，有()()f f z εξ<-.令()()f F zξξξ=-,则()F ξ在D 内除去点z 外处处解析.现以z 为中心，r 为半径作圆周:B r z ξ=-(见图3.9),使圆B 的内部及边界全含于C 的内部.图3.9根据复合闭路定理有()()d d .C Bf f z z ξξξξξξ=--⎰⎰ 上式右端积分与圆B 的半径r 无关.令0r →，只需证明()d 2π()Bf if z z ξξξ→-⎰ 即可.由例3.3可知，1d 2πBi z ξξ=-⎰,而f (z )与ξ无关.于是 ()()()()()d 2π()d d d ()()d 2πd BB BBBBf f f z f f z if z z z z zf f z si rzξξξξξξξξξξξξξξ---==-----≤≤=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰从而定理得证.公式(3.11)称为 柯西积分公式.在柯西积分公式中,等式左端表示函数f (z )在C 内部任一点处的函数值，而等式右端积分号内的()f ξ表示f (z )在C 上的函数值.所以，柯西积分公式反映了解析函数在其解析区域边界上的值与区域内部各点处值之间的关系：函数f (z )在曲线C 内部任一点的值可用它在边界上的值来表示，或者说f (z )在边界曲线C 上的值一旦确定，则它在C 内部任一点处的值也随之确定.这是解析函数的重要特征.例如，若函数f (z )在曲线C 上恒为常数K ,z 0为C 内部任一点，则根据柯西积分公式有0001()1()d d 2π.2π2π2πC Cf KKf z i K iz i z i ξξξξξ===⋅=--⎰⎰ 即f (z )在曲线C 的内部也恒为常数K .又如，若C 为圆周:0z R ξ-=,即0Re i z θξ=+(02π)θ≤≤,则d Re d i i θξθ=,从而2π00002π00(Re )Re 1()1()d d 2π2πRe 1(Re )d .2πi i i Ci f z i f f z iz i f z θθθθξξθξθ+⋅==-=+⎰⎰⎰即解析函数在圆心z 0处的值等于它在圆周上的平均值，这就是解析函数的平均值定理.若f (z )在简单闭曲线C 所围成的区域内解析，且在C 上连续，则柯西积分公式仍然成立. 柯西积分公式可以改写成()d 2π()Cf if z z ξξξ=-⎰. (3.12) 此公式可以用来计算某些复变函数沿闭路积分.例3.8 计算积分221d z z z z =+⎰的值. 解：因为{z ^2+1在|z |=2内解析，由柯西积分公式(3.12)有22021d 2π2π.(1)z zz z i i z z ==+=⋅=+⎰ 例3.9 计算积分2πsin6d 1Czz z -⎰的值，其中C 为: 33(1)1;(2)1;(3) 3.22z z z ===-+ 解： (1) 被积函数πsin61zz +在312z =-的内部解析，由(3.12)式有， 21ππsinsinπ11πsin 66d d 2π2π.6111421CCz zzz i z z i i z z z z =⎛⎫ ⎪=⋅==⋅=-+- ⎪⎝+⎭⎰⎰(2) 被积函数πsin61zz -在312z =+的内部解析，由(3.12)式有 21ππsinsinπ11πsin 66d d 2π2π.6111421CCz zzz i z z i i z z z z =-⎛⎫ ⎪=⋅==⋅=--+ ⎪⎝-⎭⎰⎰(3) 被积函数2πsin61zz -在|z |=3的内部有两个奇点1z =±.在C 的内部作两个互不包含互不相交的正向圆周C 1和C 2，其中C 1的内部只包含奇点z =1，C 2的内部只包含奇点z =-1.由定理3.5的（3.10）式及(3.12)式，有12222πππsinsin sinππ666d d d π.11122CC C z z zi i z z z i z z z =+=+=---⎰⎰⎰例3.10 求积分42d 1z zz =-⎰的值, 其中C 为:|z |=2为正向. 解：因为z 4-1=0之解为z 1=1, z 2=i, z 3=-1, z 4=-i,分别作简单正向闭路C j 包围z j ,使C j (j =1, 2, 3, 4)互不包含，互不相交，均位于｜z ｜=2内，则由复合闭路定理有4441d d 11jj CCz zz z ==--∑⎰⎰ 又由Cauchy 积分公式得()()()()()()()()()1141213121121312d 1d 112121i 111i πi πiπi2C Cz zz z z z z z z z z z z z z z z =⋅-----=---==-++⎰⎰同理可得234444d d d ,,1212π2π1πi C CC z z z z z z =-=-=---⎰⎰⎰. 所以 44412d d 011j j z C z zz z ====--∑⎰⎰.2.高阶导数公式 我们知道，一个实函数在某一区间上可导，并不能保证该函数在这个区间上二阶导数存在.但在复变函数中，如果一个函数在某一区域内解析，那么根据3.3节中的柯西积分公式推知，该解析函数是无穷次可微的.定理3.7 定义在区域D 的解析函数f (z )有各阶导数，且有()1!()()d (1,2,),2π()n n Cn f f z n iz ξξξ+==-⎰(3.13)其中C 为区域D 内围绕z 的任何一条简单闭曲线，积分沿曲线C 的正向.证明：用数学归纳法证明. 当n =1时，即证明21()()d .2π()Cf f z iz ξξξ'=-⎰也就是要证明2()1()limd .2π()z Cf z z f z iz ξξξ∆→+∆=∆-⎰由柯西积分公式(3.11)有1()()d ,2π1()()d .2πCCf f z i z f f z z iz z ξξξξξξ=-+∆=--∆⎰⎰于是22222()()1()d 2π()()()11()d d d 2π2π()1()1()d d 2π()()2π()()()()1d d ()()()()2πCC C CCCCC f z z f z f z iz f f f z z z i z i z f f i z z z z iz zf f f z z z z z ξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξ+∆--∆-⎛⎫--= ⎪--∆-∆-⎝⎭-=∆--∆--∆+-=--∆---⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2d .Cξ⎰令上式为Q,显然2()1d .()()2πCzf Q z z z ξξξξ∆=--∆-⎰根据积分不等式(3. 4)有2()1d .2πCf z Q z z zξξξξ∆≤--∆-⎰因为f (z )在区域D 内解析，所以在闭曲线C 上解析并连续，从而在C 上是有界的. 即对于z C ∀∈,一定存在一个正数M ,使得|f (z )|≤M .设d 为从z 到C 上各点的最短距离，取z ∆充分小，满足2dz <∆.那么 ,.2d d z z z z z ξξξ≥≥->---∆-∆因此33212d ,d 2π2πd πd d 2CM M ML z z Q s L z ∆∆<=⋅=∆⋅⎰这里L 为C 的长度. 令0z ∆→,则0Q →,于是有()()1()()lim.2π()z Cf z z f z f f z d z iz ξξξ∆→+∆-'==∆-⎰假设n =k 时的情形成立，证明n =k +1时的情形成立.证明方法与n =1时的情形相似，但证明过程稍微复杂，这里就不证明了.这个定理实际上说明了解析函数具有无穷可微性.即 定理3.8 若f (z )为定义在区域D 内的解析函数，则在D 内其各阶导数都存在并且解析.换句话说，解析函数的导数也是解析函数.由解析函数的无穷可微性，我们可以得到判断函数在区域内解析的又一个充要条件.定理3.9 函数f (z )=u (x ,y )+iv (x ,y )在区域D 内解析的充要条件是(1),,,x y x y u u v v 在D 内连续；(2)(,),(,)u x y v x y 在D 内满足柯西-黎曼方程.证明：充分性即是定理2.8.下面证明必要性. 条件(2)的必要性由定理2.7给出.再来看条件(1)，由于解析函数的导数仍然是解析函数，所以f '(z )在D 内解析，从而在D 内连续.而()x x y y f z u iv v iu '=+=-,所以,,,x y x y u u v v 在D 内连续.下面我们来看高阶导数公式的应用.高阶导数公式(3.13)可改写为()1()2πd ().()!n n Cf i f z z n ξξξ+=-⎰(3.14)可通过此式计算某些复变函数的积分.例3.11 求积分的1e d ()zn Cz ξξ+-⎰值, 其中C 为: 226x y y +=. 解：226x y y +=可化为22(3)9x y +-=，即|z -3i|=3. 被积函数2e π2z i z ⎛⎫- ⎪⎝⎭在C 的内部有一个奇点π2iz =,由(3.14)式有 π/22π/2e 2πe 2π2π.2π(e )π2zi z z i Ci i i i i z ====⋅=-'⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰例3.12 求积分32cos πd (1)Czz z z -⎰的值，其中C 为: |z |=2.解 被积函数32cos π(1)zz z -在C 的内部有两个奇点z =0和z =1,作两条闭曲线C 1和C 2互不相交且互不包含，分别包围奇点z =0和z =1，且两曲线所围区域全含于C 的内部，则根据复合闭路定理3.5和高阶导数公式(3.14)，有1212323232233223022cos πcos πcos πd d d (1)(1)(1)cos π1cos π1d d (1)(1)2πcos πcos π2π2π32!(1)(6π)π6π(12π)π.CC C C C z z z z zz z z z z z z z z z z z z z z z z i z z i i z z i i i ===+---=⋅+⋅--'''⎛⎫⎛⎫=++⋅ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭=-+=-⎰⎰⎰⎰⎰§3.4 解析函数与调和函数的关系根据解析函数的导数仍是解析函数这个结论，我们来讨论解析函数与调和函数的关系. 定义3.3 在区域D 内具有二阶连续偏导数并且满足拉普拉斯方程22220x yϕϕ∂∂+=∂∂ 的二元实函数(,)x y ϕ称为在D 内的调和函数.调和函数是流体力学、电磁学和传热学中经常遇到的一类重要函数.定理3.10 任何在区域D 内解析的函数f (z )=u (x ,y )+iv (x ,y )，它的实部u (x ,y )和虚部v (x ,y )都是D 内的调和函数.证明 由柯西-黎曼方程有,.v u v x y y xϕ∂∂∂∂==-∂∂∂∂ 于是222222,.u v u v x y x y x y∂∂∂∂==-∂∂∂∂∂∂ 由定理3.8可知，u (x ,y )与v (x ,y )具有任意阶连续偏导，所以22.v vy x x y∂∂=∂∂∂∂ 从而22220.u vx y ∂∂+=∂∂ 同理可证22220.v vx y∂∂+=∂∂ 即u (x ,y )与v (x ,y )都是调和函数.使u (x ,y )+iv (x ,y )在区域D 内构成解析函数的调和函数v (x ,y )称为u (x ,y )的共轭调和函数.或者说，在区域D 内满足柯西-黎曼方程u x =v y ,v x =-u y 的两个调和函数u 和v 中，v 称为u 的共轭调和函数.注意：u 与v 的关系不能颠倒，任意两个调和函数u 与v 所构成的函数u +iv 不一定就是解析函数.例如，f (z )=z 2=x 2-y 2+2xyi ,其中实部u =x 2-y 2,虚部v =2xy .由于f (z )=z 2解析，显然v =2xy 是u =x 2-y 2的共轭调和函数.但是v x =2y ,u y =-2y .因此以v 作为实部、u 作为虚部的函数g (z )=v +iu 不解析.下面介绍已知单连通域D 内的解析函数f (z )=u +iv 的实部或虚部，求f (z )的方法. 这里仅对已知实部的情形进行说明,关于已知虚部求f (z )的方法可以类似得到. (1) 偏积分法利用柯西-黎曼方程(2.5)先求得v 对y 的偏导v y =u x ,此式关于y 积分得d ()uv y g x x ∂=+∂⎰,然后两边对x 求偏导,由v x =-u y ,于是有d ().y uu y g x x x∂∂'-=+∂∂⎰ 从而()d .-d u u g x x C y x x x ∂∂∂⎛⎫=+- ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰故d d .-d u u u v y x C y x x x x ∂∂∂∂⎛⎫=++- ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰ 例3.13 已知u (x ,y )=2(x -1)y , f (2)=-i ,求其共轭调和函数，并写出f (z )的形式.解 由柯西－黎曼方程(2.5)，有v y =u x =2y ,此式两边关于y 积分：2d ()().uv y g x y g x x∂=+=+∂⎰而(),x v g x '=又2(1),x y v u x =-=-所以2()2(1)d 2,g x x x x x C =-=-+⎰其中C 为实常数. 于是222.v y x x C =-++从而22()2(1)(2).f z x y i y x x C =-+-++由条件 f (2)=-i ,得C =-1,故22222()2(1)(21)(22()1)(1).f z x y i y x x i x y ixy x iy i z =-+-+-=--+-++=-- (2) 线积分法利用柯西-黎曼方程(2.5)有d d d d d x y y x v v x v y u x u y =+=-+,故00(,)(,)d d .x y y x x y v u x u y C =-++⎰由于该积分与积分路径无关，因此可选取简单路径(如折线)进行计算.其中(x 0,y 0)为区域D 中的点.以例3.13进行说明，u x =2y , u y =2x -2 .取(x 0,y 0)=(0,0),路径为从(0,0)到(x ,0)的直线段再从(x ,0)到(x ,y )的直线段.于是(,)(0,0)22(22)d 2d (22)d 2d 2.x y yxv x x y y Cx x y x C x x y C =-++=-++=-++⎰⎰⎰以下同前.(3) 不定积分法根据柯西-黎曼方程(2.5)及解析函数的导数公式(2.9)有().x x x y f z u iv u iu '=+=-.将x y u iu -表示成z 的函数h (z ),于是()()d .f z h z z C =+⎰还是以例3.13进行说明，2,2 2.x y u y u x ==-()2(22)2(1)2(1).f z y i x i x iy i z '=--=-+-=--从而2()2(1)d 2.f z i z z C iz iz C =--+=-++⎰由条件 f (2)=-i ,得C =-i ,故2()(1).f z i z =--小 结复变函数的积分定义与微积分中定积分的定义在形式上十分相似，只是被积函数由后者的一元实函数换成了前者的复变函数，积分区间[a ,b ]换成了平面区域内的一条光滑有向曲线.复变函数的积分值不仅与积分曲线的起点和终点有关，而且一般也与积分路径有关.这些特点与微积分中第二类曲线积分相似，因而具有与第二类曲线积分类似的性质.计算复变函数的积分有两个基本方法：(1) 若被积函数为f (z )=u (x ,y )+iv (x ,y ),积分曲线为C ,则()d d d d d .C C Cf z z u x v y i v x v y =-++⎰⎰⎰ (2) 参数方程法. 设积分曲线C 的参数方程为()()z z t a t b =≤≤,则()d (())()d .bC af z z f z t z t t '=⎰⎰ 解析函数积分的基本定理主要包括柯西－古萨定理、柯西积分公式、高阶导数公式及它们的一些推论.柯西－古萨定理指在单连通域D 内解析的函数f (z )沿该区域内任一条闭曲线C 的积分为零，即()d 0C f z z =⎰.由此定理可以得到一个重要推论：在单连通域D 内解析的函数f (z )沿该区域内任一条曲线积分与路径无关.复变函数与实函数一样也有原函数的概念，并且任何两个原函数之间仅相差一个常数.基于此，对于单连通域内的解析函数有类似于实函数的牛顿－莱布尼兹公式.即1010()d ()()z z f z z z z ϕϕ=-⎰,其中f (z )为单连通域D 内的解析函数，()z ϕ为f (z )的一个原函数，01,z z D ∈分别为积分曲线的起点和终点.复合闭路定理是柯西－古萨定理的推广，即若函数f (z )在复闭路C =C 0+C 1-+C 2-+…+C n-及其所围成的多连通区域内解析，则 01()d ()d ,k nk C C f z z f z z ==∑⎰⎰ 也就是0()d 0C f z z =⎰.柯西积分公式1()()d 2πf f z i z ξξξ=-⎰ 与高阶导数公式1!()()d , 1,2,2π()n n n f z f z n i z ξξ+==-⎰是复变函数两个十分重要的公式，它们都是计算积分的重要工具.柯西积分公式反映了解析函数在其解析区域边界上的值与区域内部各点处之间的密切关系，而高阶导数公式表明解析函数的导数仍是解析函数，即解析函数具有无穷可微性.这是解析函数与实函数的本质区别.下面归纳复变函数积分的计算方法.(1)如果被积函数不是解析函数，那么不论积分路径是否封闭，只能运用上面提到的两种基本计算方法，即化为二元实函数的线积分和参数方程法.(2)如果被积函数是解析函数(包括含有有限个奇点的情形)，并且积分路径封闭，那么可以考虑柯西积分公式、高阶导数公式,并常常需要联合运用柯西－古萨定理、复合闭路定理，有时还需将被积函数作变形化为公式中的相应形式.若积分路径不封闭，那么只要被积函数在单连通域内解析，就可用定理3.4进行计算.(3)若被积函数是解析函数(含有有限个或无限个奇点)，积分路径封闭，而被积函数不能表示为柯西积分公式和高阶导数公式中所要求的形式，那么就只能用到第五章中的留数方法.解析函数f (z )=u +iv 的虚部v 为实部u 的共轭调和函数，u 与v 的关系不能颠倒，任意两个调和函数u 与v 所构成的函数u+iv 不一定是解析函数.已知单连通域D 内的解析函数f (z )的实部或虚部求f (z )的方法要求掌握，前面已经详细介绍了三种方法，这里不再赘述.重要术语及主题复积分 柯西－古萨定理 复合闭路定理 原函数柯西积分公式 高阶导数公式 调和函数习题三1. 计算积分2()d C x y ix z -+⎰,其中C 为从原点到点1+i 的直线段.2. 计算积分(1)d C z z -⎰，其中积分路径C 为(1) 从点0到点1+i 的直线段;(2) 沿抛物线y =x 2，从点0到点1+i 的弧段.3. 计算积分d C z z ⎰，其中积分路径C 为(1) 从点-i 到点i 的直线段;(2) 沿单位圆周|z |=1的左半圆周，从点-i 到点i ;(3) 沿单位圆周|z |=1的右半圆周，从点-i 到点i .4. 计算积分23d Cz z z -⎰，其中积分路径C 为 (1) 从z =-2到z =2沿圆周|z |=2的上半圆周;(2) 从z =-2到z =2沿圆周|z |=2的下半圆周;(3) 沿圆周|z |=2的正向.5. 计算积分1d (31)C z z z +⎰，其中C 为16z =. 6. 计算积分(e sin )d z C z z z -⎰，其中C 为0a z =>. 7. 计算积分，其中积分路径C 为：12341(1):;23(2):;21(3):;23(4):.2C z C z C z i C z i ===+=-8.利用1d 0,:12C z C z z ==+⎰,证明： π12cos d 0.54cos θθθ+=+⎰ 9. 计算积分1d (1)2C z i z z ⎛⎫+- ⎪⎝⎭⎰，其中C 为|z |=2. 10. 利用牛顿-莱布尼兹公式计算下列积分. π200π211(1)cos d ;(2)e d ;2ln(1)(3)(2)d ;(4)d ;1iz i ii z z z z iz z z z +--+++⎰⎰⎰⎰ 12011tan (5)sin d ;(6)d cos i z z z z z z +⎰⎰ (沿1到i 的直线段) . 11. 求积分2e d 1z C z z +⎰，其中C 为： 12. 计算积分221d 1C z z z z -+-⎰，其中C 为|z |=2. 13. 计算积分41d 1Cz z +⎰，其中C 为222x y x +=.14. 求积分2sin d 9r zz z z =+⎰，其中C 为|z -2i |=2. 15. 求积分()33d d (1)1C z z z z +-⎰，其中r ≠1. 16. 求下列积分的值,其中积分路径C 均为|z |=1. 53020e cos (1)d ;(2)d ;tan /21(3)d ,.()2z C CC z z z z z z z z z z <-⎰⎰⎰17. 计算积分33d d (1)(1)C z z z z -+⎰，其中C 为: (1) 中心位于点z =1，半径为R <2的正向圆周;(2) 中心位于点z =-1，半径为R <2的正向圆周;(3) 中心位于点z =1，半径为R >2的正向圆周;(4) 中心位于点z =-1，半径为R >2的正向圆周.18. 设函数3223()d f z ax bx y cxy y =+++是调和函数，其中a,b,c 为常数.问a,b,c 之间应满足什么关系？19. 验证下列函数为调和函数.3223(1)632;(2)e cos 1(e sin 1).x x x x y xy y y i y ωω=--+=+++ 20. 证明：函数2222,x u x y v x y =-=+都是调和函数，但f (z )=u +iv 不是解析函数. 21. 设u 是调和函数，且不恒为常数，问：(1) u 2是否是调和函数?(2) 对怎样的f ，函数f (u )为调和函数?22. 由下列各已知调和函数，求解析函数f (z )=u +iv ：2222(1);(2),(1)0;(3)e (cos sin ),(0)2;(4)arctan ,0.x u x y xy y u f x y v y y x y x y f y v x x=-+==+=+++==> 23.设12()()()()n p z z a z a z a =---,其中(1,2,,)i a i n =各不相同，闭路C 不通过12,,,n a a a ,证明积分1()d 2π()C p z z i p z '⎰ 等于位于C 内的p(z )的零点的个数.24.试证明下述定理(无界区域的柯西积分公式):设f (z )在闭路C 及其外部区域D 内解析，且lim ()z f z A →∞=≠∞，则 (),,1()d ,.2πC f z A z D f A z G i zξξξ-+∈⎧=⎨∈-⎩⎰ 其中G 为C 所围内部区域.。
3-1定积分概念与性质
e
0 ln f ( x ) dx
1
.
证明 利用对数的性质得
lim
n n
1 2 n f f f n n n
lim ln n
n
e
1 2 n ln lim n f f f n n n n
n-1 个分点: a x0 x1 x 2 x n1 x n b
x i x i x i 1 ， ( i 1, 2 , ) ，在各小区间上任取
一 点 i （ i x i ） ， 作 乘 积 f ( ) x ( i 1 , 2 , ) i i
A
n
f ( i ) x i
i 1
y
y f ( x)
记 max{ x 1 , x 2 , x n }
A lim
0
n
f ( i ) x i
o
a
x1
x i 1 x i
i
x n1 b
x
i 1
2 （求变速直线运动的路程）
设某物体作直线运动，已知速度 v v ( t ) 是 时 间 间 隔 [ T1 , T 2 ] 上 t 的 一 个 连 续 函 数 ， 且 v ( t ) 0 ，求物体在这段时间内所经过的路程.
.
例 4
估计积分
1 3 sin x
3
dx 的 值 .
0
解
f ( x)
3
1 3 sin x
3
, 1 4
x [ 0 , ],
0 sin x 1 ,
1 3 sin x
3
对弧长的曲线积分
令 v cos u
16a
3
1 1
(1 v 2 ) 2 d v
256 3 a . 15
例
L
( x 2 y 2 ) d s , 其中 L : x 2 y 2 a 2 (a 0) .
解
L 的参数方程为 x a cos t , y a sin t , 0 t 2 .
2 ) L OA AB , 在 OA 上 : y 0 , d s d x ; 在 AB 上 : x 1 , d s d y ,
3 故 x d s x d s x d s x d x 1d y . L OA AB 0 0 2
1 1
例
求
L
| y | d s , 其中 L 为右半单位圆 .
y B(0, 1)
C (1, 0)
O
解 由题意, L : x 2 y 2 1 , x 0 .
由隐函数求导法, 得
x y , y
故
从而,
x
A(0, 1)
ds
x2 y 2 1 1 y d x dx d x. 2 y | y|
x y z . 3 2 1
线段 AO 参数方程为 x 3 t , y 2 t , z t , 0 t 1 .
( x y z ) d s ((3 t )3 (2 t ) 2 t ) 32 22 12 d t
3 2 0
1
31 31 14 t d t 14 . 0 4
化为定积分后, 积分下限小于积分上限 .
例
计算
L
y 2 d s , 其中 L 为摆线 x a (t sin t ) , y a (1 cos t )
2014年成考高等数学(二)考点精解第三章一元函数积分学
第三章一元函数积分学一、常见的考试知识点1．不定积分(1)原函数与不定积分的概念及关系，不定积分的性质．(2)不定积分的基本公式．(3)不定积分的第一换元法，第二换元法(限于三角代换与简单的根式代换)．(4)不定积分的分部积分法．(5)简单有理函数的不定积分．2．定积分(1)定积分的概念及其几何意义，函数可积的充分条件．(2)定积分的基本性质．(3)变上限积分的函数，变上限积分求导数的方法．(4)牛顿一莱布尼茨公式．(5)定积分的换元积分法与分部积分法．(6)无穷区间反常积分的概念及其计算方法．(7)直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体体积．3．试卷内容比例本章内容约占试卷总分的32％，共计48分左右．二、常用的解题方法与技巧1．不定积分(1)原函数．已知ƒ(x)是定义在某区间上的一个函数，如果存在一个函数F(x)，使得在该区间上的每一点，都有F ˊ(x)=ƒ(x)，或dF(x)=ƒ(x)dx，则称F(x)是ƒ(x)在该区间上的一个原函数．如果ƒ(x)在某区问上连续，则在这个区间上ƒ(x)的原函数F(x)一定存在．(2)不定积分的定义．(3)不定积分的性质．①②③④(4)第一类换元积分法．(5)分部积分法．(6)一些简单有理函数的积分．这里所说的简单有理函数，是指如下的分式有理函数：它可以直接写成两个分式之和，或通过分子加、减一项之后，很容易将其写成一个整式与一个分式之和或两个分式之和，然后再求出其不定积分．2．定积分(1)定积分的性质．①②③④⑤⑥设M和m分别是ƒ(x)在区间[α，b]上的最大值和最小值，则有(2)变上限积分．(3)牛顿一莱布尼茨公式．如果ƒ(x)是连续函数ƒ(x)在区间[a，b]上的任意一个原函数，则有(4)定积分的换元积分法．(5)定积分的分部积分法．(6)反常积分．(7)计算平面图形的面积．如果某平面图形是由两条连续曲线y2=ƒ(x)，y1=g(x)及两条直线x1=a和x2=b所围成的(其中y1是下面的曲线，y2是上面的曲线，即f(x)≥g(x))，则其面积A可由下式求出：(8)计算旋转体的体积．上面(7)中的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为三、常见的考试题型与评析(一)不定积分的概念和性质本部分内容1994--2013年共考了19次，考到的概率为95％,基本为必考题.1．典型试题(1)(0403)A．B．C．D．(2)(0505)A．cos xB．-cosxC．cosx+CD．-cos x+C(3)(0607)A．B．x2C．2xD．2(4)(0706)设ƒ(x)的一个原函数为x3，则ƒˊ(x)=( )．A．3x2B．C．4x4D．6x(5)(0806)A．sin x+x+CB．-sinx+x+CC．cos x+x+CD．-cosx+x+C(6)(0905)A．B．C．D．(7)(0917)(8)(1017)(9)(1116)(10)(1206)A．B．C．x+CD．(11)(1305)A．B．C．D．2．解题方法与评析【解析】不定积分的概念和基本性质是高等数学(二)考试中的一个重要题型，是每年试卷中必考的内容之一，希望考生能认真理解并掌握之．(1)选D．利用不定积分性质．(2)选D．利用不定积分公式．(3)选C．利用原函数的定义ƒ(x)=(x2)ˊ=2x．(4)选D．利用原函数的定义：ƒ(x)=(x3)ˊ，则ƒˊ(x)=(x3)″=6x．(5)选A．利用不定积分的性质和不定积分公式．(6)选A．同题(5)．(7)(8)(9)(10)选D．(11)选C．【评析】不定积分的概念和性质以及基本的积分公式是专升本试卷中每年必考的内容之一，考生一定要牢记!(二)定积分的概念和性质本部分内容1994--2013年共考了19次，考到的概率为95％，基本为必考题．1．典型试题(1)(0618)(2)(0707)A．-2B．0C．2D．4(3)(0717)(4)(0818)(5)(0906)A．B．C．D．0(6)(1118)(7)(1218)(8)(1318)2．解题方法与评析【解析】这些试题主要考查定积分的概念以及奇、偶函数在对称区间上积分的性质：若(1)(2)(3)(4)填2．(5)选D．同题(3)．(6)(7)填sin 1．(8)填0．因为x3+3x是奇函数．【评析】奇、偶函数在对称区间上的定积分是考试重点题型之一，请考生务必熟练掌握．(三)变上限定积分的概念及导数本部分内容1994—2013年共考了9次，考到的概率为45％．1．典型试题(1)A．ƒˊ(x)的一个原函数B．ƒˊ(x)的全体原函数C．ƒ(x)的一个原函数D．ƒ(x)的全体原函数(2)(9509)A．一1B．0C．1D．2(3)(0413)(4)(0507)A．0B．C．D．(5)(0817)(6)(1007)A．B．C．D．(7)(1117)(8)(1306)A．B．0C．D．2(x+1)2．解题方法与评析【解析】利用变上限定积分的定义及求导公式进行计算．(1)选C．根据变上限定积分的定义及原函数存在定理可知选项C正确．(2)选C．利用洛必达法则及变上限定积分的导数，则有本题也可先求出定积分，然后再用洛必达法则求极限，显然不如直接用洛必达法则快捷．(3)填1．(4)选C．(5)(6)选C．(7)填x+arctan x．(8)选A．(四)凑微分后用积分公式本部分内容1994--2013年共考了14次，考到的概率为70％．1．典型试题(1)(0011)(2)(0111)(3)(0213)(4)(0605)A．B．C．D．(5)(0823)(6)(0918)(7)(1017)(8)(1217)(9)(1317)2．解题方法与评析(1)(2)(3)(4)选C．(5)(6)(7)(8)(9)【评析】利用凑微分法化为不定积分公式的试题是每年必考的内容之一，希望考生牢记常用的凑微分法．常用的凑微分公式主要有：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)(五)第一换元积分法(凑微分法)本部分内容1994—2013年共考了13次，考到的概率为65％．1．典型试题(1)(0219)(2)(0523)(3)(0623)(4)(0723)(5)(0921)(6)(1023)(7)(1123)(8)(1223)2．解题方法与评析【解析】由于第一类换元积分法实质上是复合函数求导的逆运算，因此，注意到被积表达式的ƒ(x)dx中除了复合函数外的哪些函数与dx的乘积可写成某一函数的微分的事实，就得到了凑微分的过程．利用所给的凑微分公式就可以得到所给的结果．换元的一个基本原则是：将被积函数中的复合函数部分用变量代换的方法换成简单函数再(1) 或(2) 或(3) 或(4) 或(5) 或或(6) 或(7)或(8)【评析】第一换元积分法(凑微分法)是高等数学(二)必考的内容之一,由于凑微分法省略了变量代换的过程，所以更为简捷．如果对被积函数中复合函数部分的中间变量(如题(2)的(六)第二换元积分法由于2000--2013年的专升本高等数学(二)试卷中没有出现过第二换元积分法的试题，所以建议考生知道有此解题方法即可．(七)分部积分法本部分内容1994--2013年共考了7次，考到的概率为35％．1．典型试题(1)(0021)(2)(0224)(3)(0728)(4)(0924)(5)(1224)2．解题方法与评析【解析】分部积分的关键是如何将被积表达式写成udυ或vdu的形式，因此正确地选取u 和υ是难点．如果选取不当，分部积分后的积分会比原积分更不容易求解．专升本试卷中常见的分部积分试题的类型主要有：①②③上述三类积分中，u和υ的选法如下：(1)(2)(3)(4)(5)(八)定积分的计算本部分内容1994—2013年共考了17次，考到的概率为85％．1．典型试题(1)(0124)(2)(0220)(3)(0324)(4)(0423)(5)(0518)(6)(0524)(7)(0624)(8)(0718)(9)(0919)(10)(1024)(11)(1218)(12)(1324)2．解题方法与评析【解析】不定积分的第一换元积分法(凑微分法)和分部积分法都适用于定积分，只需在所求的积分中加上积分的上、下限即可．在定积分计算中一定要注意：用换元积分法时，积分的上、下限一定要一起换；用凑微分法计算时，积分的上、下限不用换．(1)(2)分段函数需分段积分：(3)(4)(5)填1/2．(6)(7)(8)(9)填1/2．(10)(11)(12)【评析】分部积分的题目在专升本高等数学(二)试卷中属于较难的试题，考生可根据自己对知识的掌握程度作出安排．如果被积函数中含有根式，一般情况下应考虑用换元法去根号，再进行积分，如题(1)与题(10)．(九)反常积分本部分内容1994--2013年共考了10次，考到的概率为50％．1．典型试题(1)(0013)(2)(0112)(3)(0424)(4)(1019)(5)(1219)(6)(1319)2．解题方法与评析【解析】反常积分实质上是先计算定积分再取极限，即(1)填π/2．(2)填1/2．(3)(4)填π/2．(5)填1．(6)填1．(十)平面图形的面积与旋转体的体积本部分内容1994——2013年共考了14次，考到的概率70％. 1．典型试题(1)(0326)已知曲线C为y=2x2及直线L为y=4x．①求由曲线C与直线L所围成的平面图形的面积S；②求曲线C的平行于直线L的切线方程．(2)(0527)①求曲线y=x2(x≥0)，y=1与x=0所围成的平面图形的面积S；②求①中的平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积V y．(3)(0627)①求由曲线y=x，y=1/x，x=2与y=0所围成的平面图形的面积S；②求①中的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V x．(4)(0827)①求曲线y=e x及直线x=1，x=0，y=0所围成的图形D的面积S；②求平面图形D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积V x．(5)(0927)①求在区间(0，π)上的曲线)，=sinx与x轴所围成图形的面积S；②求①中的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V x．(6)(1006)曲线y=1-x2与x轴所围成的平面图形的面积S=()．A．2B．4/3C．1D．2/3(7)(1128)设D为曲线y=1-x2，直线y=x+1及x轴所围成的平面区域(如图1—3—1所示)．①求平面图形的面积；②求平面图形D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积Vx．(8)(1227)已知函数ƒ(x)=-x2+2x．①求曲线y=ƒ(x)与x轴所围成的平面图形面积S；②求①的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体体积K．(9)(1326)求曲线y=x2与直线y=0，x=1所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．2．解题方法与评析【解析】求平面图形面积的关键是根据已知条件中的曲线方程画出封闭的平面区域，根据积分的难易程度选择积分变量和确定积分的上、下限．平面区域的确定原则是：已知条件中给出的曲线方程有几个，则该区域的边界曲线就是所给的几条曲线．否则所得的平面区域一定不合题意．专升本试卷中围成平面区域的常用曲线是：y=kx+b，Y=αx2+6，y=ex，y=e-x，y=Inx，y=sinx 或y=cosx，考生一定要能熟练地画出它们的图像．求旋转体的体积时一定要注意是绕x轴还是绕y轴旋转．而且要注意的是，旋转体的体积往往是两个旋转体的体积之差．如图1—3—2所示的平面图形绕x轴旋转所成旋转体的体积为(1)画出平面图形如图1—3—3阴影所示．①②方程为y-2=4(x-1)，即4x-y-2=0．(2)①由已知条件画出平面图形如图1-3-4阴影所示．②旋转体的体积(3)①如图1一3-5所示，由已知条件可得②旋转体体积(4)画出平面图形如图1-3-6阴影所示．①②(5)①②(6)选B．(7)①②(8)①②(9)(十一)证明题本部分内容1994—2013年共考了7次，考到的概率为35％．1．典型试题(1)(0127)(2)(0428)设函数ƒ(x)在区间[0，1]上连续，证明(3)(0727)设ƒ(x)为连续函数，证明2．解题方法与评析【解析】证明题的关键是要充分利用已知条件写出需要证明的内容．题(1)的关键是要正确写出ƒ(3)+ƒ(5)，再进行计算．题(2)与题(3)的关键是要注意到等式两边的差异，这里的核心差异是被积函数的不同，因此需用变量代换进行换元，由此可得到证明．(1)(2)(3)设3-x=t，则dx=一dt．【评析】定积分的证明题与平面图形的面积及旋转体的体积均属于试卷中的较难题．文章来源：/p/ck.html 更多成考资源资料下载完全免费。