2019-2020学年吉林省白城市通榆县第一中学高二上学期第三次月考数学(理)试题(解析版)

2019-2020学年吉林省白城市通榆县第一中学高二上学期第三次月考数学（理）试题一、单选题1．已知集合A={x|x 2﹣2x ﹣3＜0}，集合B={x|2x+1＞1}，则∁B A=（） A ．[3，+∞） B ．（3，+∞） C ．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） D ．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） 【答案】A【解析】因为2{|230}{|(1)(3)0}(1,3)A x x x x x x =--<=+-<=-，{}121(1,)x B x +==-+∞，所以[3,)B C A =+∞；故选A.2．“2πα=”是“sin 1α=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充分必要条件【答案】A【解析】根据三角函数的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】 解：若2πα=，则sin 1α=，即充分性成立，若sin 1α=，解得()22k k Z παπ=+∈，则必要性不成立，即，“2πα=”是“sin 1α=”的充分不必要条件，故选：A ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．3．已知命题:,sin 1p x R x ∃∈≤，则命题p 的否定是（ ） A ．,sin 1x R x ∃∈> B ．,sin 1x R x ∀∈≥ C ．,sin 1x R x ∃∈≥D ．,sin 1x R x ∀∈>【答案】D【解析】分析：根据含有量词的命题的否定的方法求解即可．详解：由含量词的命题的否定可得，命题p 的否定是“,sin 1x R x ∀∈>”． 故选D ．点睛：（1）否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论．（2）含量词的命题的否定与命题的否定是不同的，解题时要注意二者的区别． 4．某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为()A ．6B ．12C ．18D ．16【答案】D【解析】根据四个专业各有的人数，得到本校的总人数，根据要抽取的人数，得到每个个体被抽到的概率，利用丙专业的人数乘以每个个体被抽到的概率，得到丙专业要抽取的人数． 【详解】解：Q 高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生∴本校共有学生1501504003001000+++=，Q 用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查∴每个个体被抽到的概率是401100025=， Q 丙专业有400人，∴要抽取14001625⨯= 故选：D ． 【点睛】本题考查分层抽样方法，是一个基础题，解题的依据是在抽样过程中每个个体被抽到的概率是相等的，这种题目经常出现在高考卷中，属于基础题．5．如图是由容量为100的样本得到的频率分布直方图．其中前4组的频率成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a ，在4.6到5.0之间的数据个数为b ，则a ，b 的值分别为（ ）A．0.27，78B．0.27，83C．2.7，78D．2.7，83【答案】A【解析】先根据直方图求出前2组的频数，根据前4组成等比数列求出第3和第4组的人数，从而求出后6组的人数，根据直方图可知4.6~4.7间的频数最大，即可求出频率a，根据等差数列的性质可求出公差d，从而求出在4.6到5.0之间的学生数．【详解】解：由频率分布直方图知组矩为0.1，4.3~4.4间的频数为1000.10.11⨯⨯=．4.4~4.5间的频数为1000.10.33⨯⨯=．又前4组的频数成等比数列，∴公比为3．根据后6组频数成等差数列，且共有1001387-=人．从而4.6~4.7间的频数最大，且为31327⨯=，0.27a∴=，设公差为d，则65627872d⨯⨯+=．5d∴=-，从而43427(5)782b⨯=⨯+⨯-=．故选：A．【点睛】本题考查频率分布直方图的相关知识，以及等差数列和等比数列的应用等有关知识，直方图中的各个矩形的面积代表了频率，所以各个矩形面积之和为1，同时考查分析问题的能力，属于基础题．6．在一个口袋中装有5个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出3个球，则摸出白球的个数多于黑球个数的概率为()A．38B．37C ．27D ．928【答案】C【解析】由在一个口袋中装有5个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同知本题是一个古典概型，试验的总事件是从8个球中取3个球有38C 种取法，从中摸出3个球，摸出白球的个数多于黑球个数，包括摸到2个白球，或摸到3个白球有213353C C C +种不同的取法，根据古典概型公式得到结果． 【详解】解：由题意知本题是一个古典概型，Q 在一个口袋中装有5个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同．试验的总事件是从8个球中取3个球有38C 种取法，摸出白球的个数多于黑球个数，包括摸到2个白球，或摸到3个白球有213353C C C +种不同的取法，∴摸出白球的个数多于黑球个数的概率等于2133533827C C C P C +==， 故选：C ． 【点睛】本题考查古典概型的概率计算问题，属于基础题.7．正方形的四个顶点()()1,1,1,1,A B --- ()1,1,C ()1,1D -分别在抛物线2y x =-和2y x =上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是 ( ) [Failed to download image :http://192.168.0.10:8086/QBM/2018/11/15/2076084448534528/2076258896666624/ST EM/96676665f3fe4229810577b12807c680.png] A ．23B ．13C ．16D ．12【答案】A【解析】利用几何槪型的概率公式求解. 【详解】A （-1，-1），B （1，-1），C （1，1），D （-1，1）， ∴正方体的ABCD 的面积S=2×2=4，根据积分的几何意义以及抛物线的对称性可知阴影部分的面积：()123111148=21x dx=2x-x =2=333S --⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭⎰则根据几何槪型的概率公式可得质点落在图中阴影区域的概率是823=43故选 A【点睛】本题考查了几何槪型的概率的计算，考查了定积分的几何性质，利用定积分求阴影部分的面积是解决本题的关键. 8．已知F 是椭圆的左焦点，P 为椭圆C 上任意一点，点，则的最大值为 A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题意，设椭圆C 的右焦点为，由已知条件推导出，利用Q ，，P 共线，可得取最大值．【详解】由题意，点F 为椭圆的左焦点，，点P 为椭圆C 上任意一点，点Q 的坐标为，设椭圆C 的右焦点为，，， ，即最大值为5，此时Q ，，P 共线，故选：A ．【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程、定义及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记椭圆的标准方程、定义和简单的几何性质，合理应用是解答的关键，着重考查了转化思想以及推理与运算能力。

9．椭圆22110064x y +=的焦点为12,F F ，椭圆上的点P 满足1260F PF ∠=︒，则12F PF ∆的面积是（ ） A ．6433 B ．9133 C ．1633 D ．643【答案】A 【解析】设12,PF x PF y==，则20x y +=，又2222122cos60||4436x y xy F F c +-︒===⨯，所以()()22225633x y x y xy xy +-+-==，12112563643sin6022323F PF S xy ∆=︒=⨯⨯=，故选A ． 10．点是双曲线：与圆：的一个交点，且，其中、分别为的左右焦点，则的离心率为A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由a 2+b 2＝c 2，知圆C 2必过双曲线C 1的两个焦点，，2∠PF 1F 2＝∠PF 2F 1，则|PF 2|＝c ，c ，由此能求出双曲线的离心率．【详解】 ∵a 2+b 2＝c 2，∴圆C 2必过双曲线C 1的两个焦点，， 2∠PF 1F 2＝∠PF 2F 1，则|PF 2|＝c ，c ，故双曲线的离心率为．故选：B ． 【点睛】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件． 11．执行如图所示的程序框图，则程序输出a 的结果为（ ）A ．45B ．35C ．25D ．15【答案】C【解析】依次运行如图给出的程序，可得12431,;2,;3,;4,5555k a k a k a k a ========；125,;6,;55k a k a ====L ，所以输出的a 的值构成周期为4的数列．因此当2018k =时，25a =．故程序输出a 的结果为25．选C ．12．已知双曲线E 的中心为原点，()1,0F 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点且AB 的中点为()4,5N --，则双曲线E 的渐近线的方程为 ()A 520x y ±=B ．250x y =C ．450x y ±=D ．540x y ±=【答案】A【解析】由题意设出双曲线方程，A ，B 的坐标，利用作差法结合弦中点的坐标可得2245b a =，即可得到所求渐近线方程．【详解】解：设双曲线的标准方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则有2211221x y a b -=，2222221x y a b-=，两式作差得1212121222()()()()x x x x y y y y a b -+-+=， (1,0)F Q ，AB 的中点为(4,5)N --，128x x ∴+=-，1210y y +=-，2221a b c +==，可得212212(8)1(10)54ABy y b k x x a --====--g g ， 2245b a ∴=20y ±=，故选：A ． 【点睛】本题考查双曲线的简单性质，考查与弦中点有关的问题的求解方法，注意运用点差法，是中档题．二、填空题13．设一组数据51545753m ，，，，的平均数是54，则这组数据的标准差等于______． 【答案】2【解析】∵数据51545753m ，，，，的平均数是54， ∴()151545753545m ⨯++++=， 解得55m =， 所以这组数据的方差为(2222221[(5154)(5454)(5554)(5754)5354)45s ⎤=⨯-+-+-+-+-=⎦， ∴标准差为2s =． 答案：2．14．若六进制数3m502(6),化为十进制数为4934,则m=___________； 【答案】4【解析】4323665624934,4m m ⨯+⨯+⨯+=∴=Q .15．已知直线:24l x y o -+=与2y x =相交于A ，B 两点，O 是坐标原点，在弧AOB 上求一点P ，使ABP △的面积最大，则P 的坐标为____ ． 【答案】()1,1【解析】要使得内接ABP ∆面积最大，则只须使得过P 点的切线与直线240x y -+=平行，由导数的性质能求出P 位于()1,1点处时，ABP ∆面积最大．【详解】解：要使得内接ABP ∆面积最大，则只须使得过P 点的切线与直线240x y -+=平行，2y x =Q ，2y x ∴'=，Q 直线240x y -+=斜率为2，∴过P 点的切线斜率2p k y ='=，解得1P x =，则可得1P y = 即()1,1PP ∴位于()1,1点处时，ABP ∆面积最大．故答案为：()1,1 【点睛】本题主要考查抛物线标准方程，简单几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．解题时要认真审题，注意导数性质的灵活运用．16．已知抛物线28y x =的准线为l ，()3,4C --为一定点，设该抛物线上任一点P 到l 的距离为d ，d PC +的最小值为______．【解析】求出抛物线的准线方程，过P 作PM l ⊥，交于点M ，由C ，P ，F 三点共线时，||d PC +取得最小值，即可得到所求最小值． 【详解】解：抛物线28y x =的准线为:2l x =-，(2,0)F ， 过P 作PM l ⊥，交于点M ，当C ，P ，F 三点共线时，||d PC +取得最小值，且为||CF【点睛】本题考查抛物线的方程和性质，考查两点间的距离最短的运用，考查运算能力，属于基础题．三、解答题17．已知2:7100p x x -+<，22:430q x mx m -+<，其中0m >．()1若3m =，且p q ∧为真，求x 的取值范围；()2若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．【答案】（1）35x << （2）523m ≤≤ 【解析】（1）分别解出关于p ，q 的不等式，根据p q ∧为真，p ，q 都为真，求出x 的范围即可；（2）由q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，即q p ⌝⇒⌝，其逆否命题为p q ⇒，求出m 的范围即可． 【详解】解：由27100x x -+<，解得25x <<，所以:25p x <<；又22430x mx m -+<，因为0m >，解得3m x m <<，所以:3q m x m <<． （1）当3m =时，:39q x <<， 又p q ∧为真，p ，q 都为真，2539x x <<⎧∴⎨<<⎩解得35x <<．所以x 的取值范围为(3,5)．（2）由q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，即q p ⌝⇒⌝，p q ⌝≠>⌝，(≠>表示“推不出”)其逆否命题为p q ⇒，q p ≠>， 由于:25p x <<，:3q m x m <<，所以2350m m m ⎧⎪⎨⎪>⎩……，∴523m 剟． ∴实数m 的取值范围为5,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题考查了充分、必要条件，考查复合命题的判断，属于中档题．18．节能减排以来，兰州市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以分组的频率分布直方图如图．()1求直方图中x 的值；()2求月平均用电量的众数和中位数；()3估计用电量落在[)220,300中的概率是多少？【答案】（1）0.0075 （2）224 （3）0.55【解析】（1）由直方图的性质可得20(0.0020.009⨯+ 50.0110.012++ 50.0050.002x +++ 5)1=，解方程可得；（2）由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在[220，240)内，设中位数为a ，解方程0.45(220)0.01250.5y +-⨯=可得；（3）月平均用电量在[)220,300中的概率是1(0.0020.00950.011)20p =-++⨯． 【详解】 解：（1）依题意，20(0.0020.00950.0110.012+++ 50.0050.002x +++ 5)1=， 解得0.0075x =．（2）由图可知，最高矩形的数据组为[)220,240， 所以众数为2202402302+=． [160,220)的频率之和为()0.0020.00950.011200.45++= ，依题意，设中位数为y ，则()0.452200.01250.5y +-=， 解得224y =，故中位数为224．（3）由频率分布直方图可知，月平均用电量在[)220,300中的概率是120(0.0020.00950.011)0.55p =-⨯++=．【点睛】本题考查频率分布直方图，涉及众数和中位数，考查学生的计算能力，属基础题．19．已知双曲线22:143x y C -=，直线:1l y kx =-()1若直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，求k 的取值范围；()2 P 为双曲线C 右支上一动点，点A 的坐标是7,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，求PA 的最小值．【答案】（1）(1,(2222k ∈--⋃-⋃ （2）32【解析】（1）联立直线与双曲线方程，利用方程组与两个交点，求出k 的范围． （2）设出P 的坐标，利用PA 的表达式，求出最小值即可. 【详解】解：（1）由2213412y kx x y =-⎧⎨-=⎩，整理得()22438160k x kx --+= 所以()()2224308443160k k k ⎧-≠⎪⎨∆=---⨯>⎪⎩，解得3k ≠±且11k -<<33331,,,1k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴∈--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭U U ()2设(),P x y ，所以222227773731722444x PA x y x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+-=-+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为2x ≥，所以2x =时，32min PA =． 【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力． 20．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等腰直角三角形，1,2,3,AB AC AB AC AA M ⊥===是侧棱1CC 上一点.（1）若1BM AC ⊥，求1C MMC的值； （2）若2MC =，求直线1BA 与平面ABM 所成角的正弦值.【答案】（1）154C M MC =（2326【解析】试题分析：(1)建立空间直角坐标系，结合几何关系可得154C M MC =； (2)结合(1)中的空间直角坐标系和题意可得直线1BA 与平面ABM 所成角的正326.试题解析：（1）以A 为坐标原点，以射线AB 、AC 、1AA 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则()2,0,0B ,()10,0,3A ， ()0,2,0C ，设MC h =，则 ()0,2,M h ()2,2,BM h =-u u u u r， ()10,2,3AC =-u u u r由1BM AC ⊥得10BM AC ⋅=u u u u r u u u r ，即2230h ⨯-=解得43h =， 故154C M MC =； (2) 因为2MC =，所以()0,2,2M ，()()()12,0,0,0,2,2,2,0,3AB AM BA ===-u u u r u u u u r u u u r设平面ABM 的一个法向量为(),,n x y z =r ，由00n AB n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u u r r 得00x y z =⎧⎨+=⎩，所以()0,1,1n =-r，则111326cos ,26213n BA n BA n BA ⋅-〈〉===⋅⋅u u u r r u u u r ru u u r r ， 设直线1BA 与平面ABM 所成的角为θ,所以1326sin cos ,26n BA θ=〈〉=u u u r r ，所以直线1BA 与平面ABM 32621．如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，D 点为棱AB 的中点．()1求证：1//AC 平面1B CD ； ()2若2AB AC ==，122BC BB ==，求二面角1B CD B --的余弦值；()3若1AC ，1BA ，1CB 两两垂直，求证：此三棱柱为正三棱柱．【答案】（1）见解析 （2）1111（3）见解析【解析】（1）连接1BC 交1B C 于E ，连接DE ，则DE 是△1BC A 的中位线，所以1//AC DE ，即可证明1//AC 平面1B CD ；（2）过B 作BF CD ⊥于F ，连接1B F ，则1CD BB ⊥，CD ⊥平面1BB F ，可得1B FB ∠为二面角1B CD B --的平面角；（3）作111A M B C ⊥，AN BC ⊥，垂足分别为M ，N ，连接BM ，1C N ，证明ABC ∆是等边三角形，又三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，即可证明结论． 【详解】（1）证明：连接1BC 交1B C 于E ，连接DE ，则DE 是△1BC A 的中位线，所以1//AC DE 又 1AC ⊂平面1B CD ，DE ⊂平面1B CD1//AC ∴平面1B CD ．（2）解：过B 作BF CD ⊥于F ，连接1B F ，则1CD BB CD ⊥∴⊥平面1BB F ，1B FB ∴∠为二面角1B CD B --的平面角，设1B FB θ∠=由已知可得AB AC ⊥，ACD FBD ∴∆∆∽∴BF BDAC CD =，25BF ∴= 5BF ∴=()22121122255B F ⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭， ∴111cos BF B F θ==， 即二面角1B CD B --的余弦值为11．（3）证明：作111A M B C ⊥，AN BC ⊥，垂足分别为M ，N ，连接BM ，1C N ． 由已知可得 1A M ⊥平面11B C CB ，11A M B C ∴⊥又 11A B B C ⊥，且1A M ，1A B 是平面1A BM 内的两条相交直线，1B C ∴⊥平面1A BM ，1B C BM ∴⊥同理 11B C C N ⊥又 直线1B C ，1C N ，BM 都在平面11B C CB 内，1//C N BM ∴，又1//C M BN ，∴四边形1C NBM 是平行四边形，1C M BN ∴=，1C N BM = 又△111AC M ANC C M CN ≅∆∴=，CN BN ∴=，AC BC ∴= 同理AC AB =，ABC ∆∴是等边三角形，又三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱∴三棱柱111ABC A B C -为正三棱柱．【点睛】本题考查线面平行、垂直的证明，考查二面角1B CD B--的余弦值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22．已知椭圆C：22 221(0)x ya ba b+=>>的离心率2e=，且过点23,⎛⎫⎪⎪⎝⎭．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，过椭圆C的右焦点F作两条相互垂直的直线,AB DE交椭圆分别于,,,A B D E，且满足12AM AB=u u u u r u u u r，12DN DE=u u u r u u u r，求MNF∆面积的最大值．【答案】（1）2212xy+=；（2）1m=时，MNF∆的面积取得最大值19.【解析】试题分析：(1)利用题意列出,a b的方程组，求得,a b的值即可求得椭圆的方程；(2)设出直线AB的方程，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理求得,MF NF的值，则12MNFS MF NF∆=，最后利用均值不等式求解三角形面积的最大值即可.试题解析：（1）根据条件有22222{13124a ba b=+=，解得222,1a b==，所以椭圆22:12xC y+=．（2）根据12AM AB=u u u u r u u u r，12CN CD=u u ur u u u r可知，,M N分别为,AB DE的中点，且直线,AB DE斜率均存在且不为0，现设点()()1122,,,A x yB x y，直线AB的方程为1x my=+，不妨设0m>，联立椭圆C有()222210m y my++-=，根据韦达定理得：12222my ym+=-+，()12122422x x m y ym+=++=+，222,22mMm m-⎛⎫⎪++⎝⎭，2212m mMFm+=+，同理可得211112m mNFm⎛⎫--+⎪⎝⎭=⎛⎫-+⎪⎝⎭，所以MNF∆面积2112142MNFmmS MF NFmm∆+==⎛⎫++⎪⎝⎭，现令12t mm=+≥，那么21124294MNFtSt tt∆==≤++，所以当2t=，1m=时，MNF∆的面积取得最大值19．。