(江苏专版)201X年高考数学 母题题源系列 专题12 直线与圆位置关系 理
【高考讲坛】高考数学一轮复习 第8章 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系课件 理 苏教版
[ 解析]
(1)由题意知点在圆外，则 a2＋b2>1，圆心到直线的距
1 离 d＝ 2 2<1，故直线与圆相交． a ＋b (2)易知△ABC 是边长为 2 的等边三角形，故圆心 C(1，a)到直 |a＋a－2| 线 AB 的距离为 3，即 ＝ 3，解得 a＝4± 15.经检验均符 2 a ＋1 合题意，则 a＝4± 15.
固 基 础 · 自 主 落 实
第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
启 智 慧 · 高 考 研 析
提 知 能 · 典 例 探 究
课 后 限 时 自 测
考 纲 传 真 内容 直线与圆、圆与 圆的位置关系 A 要求 B C √
1．直线与圆的位置关系 设直线 l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)；圆：(x－a)2＋(y－b)2＝ r2(r＞0)， 设 d 为圆心(a， b)到直线 l 的距离， 联立直线和圆的方程， 消元后得到的一元二次方程的判别式为 Δ.
[ 解析]
x2＋y2－6x－2y－15＝0 可化为(x－3)2＋(y－1)2＝25，
|3＋2×1| 圆心(3,1)到直线 x＋2y＝0 的距离 d＝ r＝5，故弦长 2 2 ＝ 5， 1 ＋2 为 2 52－ 52＝4 5.
[ 答案] 4 5
4．(2014· 江苏苏州调研)在直角坐标系 xOy 中，已知 A(－1， 0)，B(0,1)，则满足|PA|2－|PB |2＝4，且在圆 x2＋y2＝4 上的点 P 的 个数为____2＝4 的圆心为 C(2，－1)，半径为 r＝2， |2＋2×－1－3| 3 点 C 到直线 x＋2y－3＝0 的距离为 d＝ ＝ ， 所求 2 2 5 1 ＋2 弦长为 l＝2 r －d ＝2
2 2
9 2 55 4－5＝ 5 .
江苏高考数学一轮复习《直线与圆的位置关系》 教程学案
第45课 直线与圆的位置关系(2)1. 能利用直线与圆的方程及其相关性质，解决直线与圆的简单综合问题.2. 掌握处理直线与圆的综合性问题的基本方法.3. 领悟并基本掌握“等价转化”“数形结合”等数学思想方法，会选择并掌握合理简捷的运算途径.1. 阅读：必修2第115～117页.2. 解悟：①进一步熟悉直线方程与圆的方程及其相互关系；②过圆上一点作圆的切线，有几条？能否写出圆的切线方程？若是过圆外一点呢？③研究直线与圆的位置关系，一般有哪些方法？④定点、定值问题有哪些基本方法？3. 践习：在教材空白处，完成必修2第128页复习题第12、14题，第129页复习题第26题.基础诊断1. 由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为7 .解析：由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，当直线上的点到圆心的距离最小，即圆心到直线的距离最小时，切线长也最小.因为圆心到直线的距离为|3＋1|2＝22，所以切线长最小为（22）2－1＝7.2. 过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为2，则直线l 的斜率为 1或177Ｗ.解析：将圆的方程化为标准方程得(x －1)2＋(y －1)2＝1，所以圆心为(1，1)，半径为r ＝1.又因为弦长为2，所以圆心到直线l 的距离d ＝1－⎝⎛⎭⎫222＝22.因为直线l 的斜率存在，设为k ，所以直线l ：y ＋2＝k(x ＋1)，即kx －y ＋k －2＝0，所以|2k －3|k 2＋1＝22，解得k ＝1或k ＝177，故直线l 的斜率为1或177.3. 已知圆O ：x 2＋y 2＝5，直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1⎝⎛⎭⎫0<θ<π2，设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则实数k ＝ 4 Ｗ.解析：因为圆O ：x 2＋y 2＝5，所以圆心O(0，0)，半径r ＝ 5.因为圆心O 到直线l 的距离d ＝1cos 2θ＋sin 2θ＝1<5，且r －d ＝5－1>1，所以圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为4，即k ＝4.4. 已知曲线C ：(x －1)2＋y 2＝1，点A(－2，0)，B(3，a)，从点A 观察点B ，要使视线不被曲线C 挡住，则实数a 的取值范围是 (－∞，－524)∪(524，＋∞) . 解析：由题意知过点A 的圆的切线方程的斜率存在，则设切线方程为y ＝k(x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0，则圆心到切线的距离d ＝|3k|k 2＋1＝1，解得k ＝±24，所以过点A 的圆的切线方程为y ＝±24(x ＋2).当x ＝3时，y ＝±524，所以所求的a 的取值范围为(－∞，－524)∪(524，＋∞). 范例导航考向❶ 直线与圆相交的弦的问题例1 已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9内有一点P(2，2)，过点P 作直线l 交圆C 于A ，B 两点.(1) 当直线l 经过圆心C 时，求直线l 的方程； (2) 当弦AB 被点P 平分时，求直线l 的方程； (3) 当直线l 的倾斜角为45°时，求弦AB 的长.解析：(1) 因为圆C ：(x －1)2＋y 2＝9的圆心为C(1，0)，直线l 经过两点P ，C ， 所以直线l 的斜率为k ＝2－02－1＝2，所以直线l 的方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.(2) 当弦AB 被点P 平分时，l ⊥PC ，所以直线l 的方程为y －2＝－12(x －2)，即x ＋2y－6＝0.(3) 当直线l 的倾斜角为45°时，斜率为1，直线l 的方程为y －2＝x －2，即x －y ＝0， 则圆心C(1，0)到直线l 的距离为12.又圆的半径为3，所以弦AB ＝34.已知圆x 2＋y 2＝8内一点P(－1，2)，过点P 的直线l 的倾斜角为α，直线l 交圆于A ，B 两点.(1) 若α＝3π4，则AB ＝30 ；(2) 若弦AB 被点P 平分时，则直线l 的方程为 x －2y ＋5＝0 Ｗ.解析：(1) 因为α＝3π4，所以k AB ＝－1，所以直线l 的方程为y －2＝－(x ＋1)，即x ＋y－1＝0，所以圆心O(0，0)到AB 的距离d ＝|0＋0－1|2＝22，则AB ＝28－12＝30. 解析：(2) 因为弦AB 被点P 平分，所以OP ⊥AB.又因为k OP ＝－2，所以k AB ＝12，所以直线l ：y －2＝12(x ＋1)，即x －2y ＋5＝0.考向❷ 定点、定值问题例2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(－3，4)，B(9，0)，C ，D 分别为线段OA ，OB 上的动点，且满足AC ＝BD.(1) 若AC ＝4，求直线CD 的方程；(2) 求证：△OCD 的外接圆恒过定点.(异于原点O)解析：(1) 因为A(－3，4)， 所以OA ＝（－3）2＋42＝5.因为AC ＝4，所以OC ＝1，所以C ⎝⎛⎭⎫－35，45. 由BD ＝4，得D(5，0)，所以直线CD 的斜率为0－455－⎝⎛⎭⎫－35＝－17， 所以直线CD 的方程为y ＝－17(x －5)，即x ＋7y －5＝0.(2) 设C(－3m ，4m)(0<m ≤1)，则OC ＝5m ， 则AC ＝OA －OC ＝5－5m.因为AC ＝BD ，所以OD ＝OB －BD ＝5m ＋4， 所以点D 的坐标为(5m ＋4，0).又设△OCD 的外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则有⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，9m 2＋16m 2－3mD ＋4mE ＋F ＝0，（5m ＋4）2＋（5m ＋4）D ＋F ＝0，解得D ＝－(5m ＋4)，F ＝0，E ＝－10m －3，所以△OCD 的外接圆的方程为x 2＋y 2－(5m ＋4)x －(10m ＋3)y ＝0， 整理得x 2＋y 2－4x －3y －5m(x ＋2y)＝0.令⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x －3y ＝0，x ＋2y ＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0(舍)或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1， 所以△OCD 的外接圆恒过定点(2，－1).已知以点C ⎝⎛⎭⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为原点.(1) 求证：△OAB 的面积为定值；(2) 设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程. 解析：(1) 由题意知圆C 的方程为(x －t )2＋⎝⎛⎭⎫y －2t 2＝t 2＋4t2， 化简得x 2－2tx ＋y 2－4ty ＝0.当y ＝0时，x ＝0或2t ，则A (2t ，0)； 当x ＝0时，y ＝0或4t ，则B ⎝⎛⎭⎫0，4t ， 所以S △OAB ＝12OA ·OB ＝12×|2t |×⎪⎪⎪⎪4t ＝4， 所以△OAB 的面积为定值. (2) 因为OM ＝ON ，CM ＝CN ， 所以OC 垂直平分MN . 因为k MN ＝－2，所以k OC ＝12，所以k OC ＝12＝2t t ＝2t2，所以t ＝±2.当t ＝2时，圆心C (2，1)，半径r ＝OC ＝5， 此时点C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝55<5， 所以圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点；当t ＝－2时，圆心C (－2，－1)，半径r ＝OC ＝5， 此时点C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95＝955>5，所以圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交，所以t ＝－2不符题意. 综上，圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝ 5. 考向❸ 隐圆问题例3 如图，已知圆C ：x 2＋y 2＝9，点A(－5，0)，直线l ：3x －4y ＝0.(1) 求与圆C 相切，且与直线l 垂直的直线方程；(2) 在直线OA 上(O 为坐标原点)，是否存在定点B(不同于点A)，满足：对于圆C 上任意一点P ，都有PBPA 为一常数.若存在，求出所有满足条件的点B 的坐标；若不存在，请说明理由.解析：(1) 由题意可设所求直线方程为4x ＋3y －b ＝0. 因为直线与圆相切， 所以|－b|42＋32＝3，得b ＝±15，所以所求直线方程为4x ＋3y ＋15＝0或4x ＋3y －15＝0. (2) 方法一：假设存在这样的点B(t ，0). 当点P 为圆C 与x 轴的左交点(－3，0)时， PB PA ＝|t ＋3|2； 当点P 为圆C 与x 轴的右交点(3，0)时， PB PA ＝|t －3|8. 依题意，|t ＋3|2＝|t －3|8，解得t ＝－5(舍去)或t ＝－95.下面证明点B ⎝⎛⎭⎫－95，0对于圆C 上任意一点P ，都有PBPA 为一常数. 设P(x ，y)，则y 2＝9－x 2，所以PB 2PA 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋952＋y 2（x ＋5）2＋y 2＝x 2＋185x ＋9－x 2＋8125x 2＋10x ＋25＋9－x 2＝1825（5x ＋17）2（5x ＋17）＝925，所以PB PA ＝35为常数.方法二：假设存在这样的点B(t ，0)，使得PBPA 为常数λ，则PB 2＝λ2PA 2，设P(x ，y)，所以(x －t)2＋y 2＝λ2[(x ＋5)2＋y 2]，将y 2＝9－x 2代入，得x 2－2xt ＋t 2＋9－x 2＝λ2(x 2＋10x ＋25＋9－x 2)，即2(5λ2＋t)x ＋34λ2－t 2－9＝0对x ∈[－3，3]恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧5λ2＋t ＝0，34λ2－t 2－9＝0，解得⎩⎨⎧λ＝35，t ＝－95或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，t ＝－5(舍去)， 故存在点B ⎝⎛⎭⎫－95，0对于圆C 上任意一点P ，都有PB PA ＝35.如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A(0，3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上.(1) 若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2) 若圆C 上存在点M ，使得MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.解析：(1) 由题意知，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点，解得点C(3，2)，于是切线的斜率必存在.设过点A(0，3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3. 由题意得|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0或k ＝－34，故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0.(2) 因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以设圆心C(a ，2a －4)，所以圆C 的方程为(x －a)2＋[y －2(a －2)]2＝1. 设点M(x ，y)，因为MA ＝2MO ， 所以x 2＋（y －3）2＝2x 2＋y 2， 化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0， 即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上. 由题意得点M(x ，y)也在圆C 上， 所以圆C 与圆D 有公共点，则2－1≤CD ≤2＋1，即1≤a 2＋（2a －3）2≤3. 整理，得－8≤5a 2－12a ≤0. 由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ； 由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125， 所以点C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，125. 自测反馈1. 过点(2，3)且与圆(x －3)2＋y 2＝1相切的直线方程为 x ＝2或4x ＋3y －17＝0 Ｗ. 解析：当切线的斜率不存在时，切线的方程为x ＝2，满足题意；当切线的斜率存在时，设切线的斜率为k ，则切线的方程为y －3＝k(x －2)，即kx －y ＋3－2k ＝0，由圆心(3，0)到切线的距离等于半径得|k ＋3|k 2＋1＝1，所以k ＝－43，切线方程为4x ＋3y －17＝0.综上，所求切线方程为x ＝2或4x ＋3y －17＝0.2. 若直线l ：y ＝kx ＋1被圆C ：x 2＋y 2－2x －3＝0截得的弦最短，则实数k ＝ 1 .解析：由题意得圆C ：(x －1)2＋y 2＝4，因为直线l 过点M(0，1)，且被圆C 截得的弦最短，所以直线l 与直线CM 垂直，又k CM ＝－1，所以k ＝1.3. 在平面直角坐标系xOy 中，若直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a)2＝16相交于A ，B 两点，且△ABC 为直角三角形，则实数a 的值是 －1 .解析：圆(x －1)2＋(y －a)2＝16的圆心坐标为C(1，a)，半径r ＝4，直线ax ＋y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －a)2＝16相交于A 、B 两点，且△ABC 为等腰直角三角形，则圆心C 到直线ax ＋y －2＝0的距离为22，所以d ＝|a ＋a －2|a 2＋1＝22，解得a ＝－1.4. 在平面直角坐标系xOy 中，A(－12，0)，B(0，6)，点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上.若PA →·PB →≤20，则点P 横坐标的取值范围是 [－52，1] .解析：设点P 坐标为(x ，y)，则PA →＝(－12－x ，－y)，PB →＝(－x ，6－y)，则PA →·PB →＝x 2＋y 2＋12x －6y ≤20.又因为x 2＋y 2＝50，所以PA →·PB →－20＝x 2＋y 2＋12x －6y －20＝50＋12x －6y －20≤0，即2x －y ＋5≤0，则点P 表示的轨迹在直线2x －y ＋5＝0的上方.又因为点P 在圆x 2＋y 2＝50上，由图易知，点P 的横坐标的取值范围是[x C ，x D ].由题意得x C ＝－52，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋5＝0，x 2＋y 2＝50，消去y 得x 2＋4x －5＝0，解得x 1＝－5，x 2＝1，即x D ＝1，所以点P 的横坐标的取值范围是[－52，1].1. 研究直线与圆的问题时，一般采用两种方法：一是利用几何特征转化为代数问题求解；二是利用方程组求解，前者是常用方法.2. 题中所给某些条件中往往隐含着重要的几何关系或几何性质，要注意挖掘和运用.3. 你还有哪些体悟，写下来：。
苏教版数学高一必修2试题 直线与圆的位置关系
2.2.2 直线与圆的位置关系双基达标 限时15分钟1．直线3x ＋4y －14＝0与圆(x －1)2＋(y ＋1)2＝4的位置关系是________．解析 ∵圆心(1，－1)到直线3x ＋4y －14＝0的距离为d ＝|3－4－14|5＝3＞2，∴相离． 答案 相离2．以点(2，－1)为圆心且与直线3x －4y ＋5＝0相切的圆的方程为________．解析 圆心(2，－1)到直线3x －4y ＋5＝0的距离即为圆的半径，即r ＝d ＝|6＋4＋5|5＝3， ∴圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝9.答案 (x －2)2＋(y ＋1)2＝93．圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P(1，3)处的切线方程为________．解析 ∵点(1，3)在圆x 2＋y 2－4x ＝0上，∴点P 为切点，从而圆心与P 的连线应与切线垂直．又∵圆心为(2,0)，∴0－32－1·k ＝－1(k 为切线斜率)． 解得k ＝33.∴切线方程为x －3y ＋2＝0. 答案 x －3y ＋2＝04．直线y ＝ax ＋1与圆x 2＋y 2＝2的位置关系是________．解析 直线y ＝ax ＋1恒过定点(0,1)，此点在圆x 2＋y 2＝2的内部．∴直线与圆的位置关系是相交．答案 相交5．直线x ＋2y ＝0被曲线x 2＋y 2－6x －2y －15＝0所截得的弦长等于________．解析 曲线即为(x －3)2＋(y －1)2＝25，圆心到直线的距离d ＝5，圆的半径r ＝5，所以弦长的一半为r 2－d 2＝25，弦长为4 5.答案 4 56．(1)求证：直线(a －1)x ＋(a ＋3)y －4a ＝0与圆x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交．(2)求过点A(2,4)向圆x 2＋y 2＝4所引的切线方程．(1)证明 由(a －1)x ＋(a ＋3)y －4a ＝0得a(x ＋y －4)＋(3y －x)＝0，∴无论a 取何值，直线(a －1)x ＋(a ＋3)y －4a ＝0必过两条直线x ＋y －4＝0与3y －x ＝0的交点A(3,1)；圆的方程x 2＋y 2－6x ＋5＝0即为(x －3)2＋y 2＝4，故圆心为C(3,0)，半径为r ＝2；∵AC ＝3－32＋1－02＝1，故AC ＜r ，所以点A(3,1)在圆的内部， 所以直线(a －1)x ＋(a ＋3)y －4a ＝0与圆x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交．(2)解 显然x ＝2为所求切线之一；设另外一条切线方程为y －4＝k(x －2)，即为kx －y ＋4－2k ＝0，由|4－2k|k 2＋1＝2，解得k ＝34，∴切线为3x －4y ＋10＝0. 综上，所求切线方程为x ＝2或3x －4y ＋10＝0 .综合提高 限时30分钟7．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是________．解析 ∵圆心在第一象限，与x 轴相切，半径为1，∴可设圆心为(a,1)(其中a ＞0)；又圆与直线4x －3y ＝0相切，∴d ＝r 即|4a －3|5＝1，解得正数a ＝2； ∴圆的标准方程是(x －2)2＋(y －1)2＝1.答案 (x －2)2＋(y －1)2＝18．如果直线l ：y ＝kx －10与圆x 2＋y 2＋mx ＋2y －4＝0交于M 、N 两点，且M 、N 关于直线x ＋2y ＝0对称，则直线l 截圆所得的弦长为________．解析 ∵圆上两点M 、N 关于直线x ＋2y ＝0对称，∴圆心⎝⎛⎭⎫－m 2，－1在直线x ＋2y ＝0上，即－m 2－2＝0，解得m ＝－4； ∴圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋2y －4＝0，即为(x －2)2＋(y ＋1)2＝9；又直线l ：y ＝kx －10上两点M 、N 关于x ＋2y ＝0对称，∴直线l 的斜率k ＝2，即直线l 方程为y ＝2x －10；∵圆心(2，－1)到直线l 的距离d ＝|4－－1－10|5＝5，圆的半径r ＝3. ∴直线l 截圆所得的弦长为2r 2－d 2＝29－5＝4.答案 49．已知圆x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0与直线x ＋2y －3＝0相交于P ，Q 两点，O 为原点，且OP ⊥OQ ，则实数m 的值为________．解析 设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，由OP ⊥OQ ，得k OP ×k OQ ＝－1，即y 1x 1y 2x 2＝－1， 即x 1x 2＋y 1y 2＝0①另一方面，(x 1，y 1)，(x 2，y 2)是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3＝0，x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0的解，即x 1，x 2是方程5x 2＋10x ＋4m －27＝0②的两个解，∴x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝4m －275③ 又P ，Q 在直线x ＋2y －3＝0上，∴y 1y 2＝14(3－x 1)(3－x 2)＝14， 将③代入得y 1y 2＝m ＋125④ 将③④代入①解得：m ＝3.代入方程②，检验Δ＞0成立．∴m ＝3.答案 310．已知直线ax ＋by ＋c ＝0(abc≠0)与圆x 2＋y 2＝1相切，则三条边长分别为|a|、|b|、|c|的三角形是________三角形．解析 由题意得|a·0＋b·0＋c|a 2＋b 2＝1，即c 2＝a 2＋b 2，∴由|a|、|b|、|c|构成的三角形为直角三角形答案 直角11．已知一条直线经过点P ⎝⎛⎭⎫－3，－32，且被圆x 2＋y 2＝25截得的弦长为8，求此直线的方程．解 (1)当斜率k 不存在时，过点P 的直线方程为x ＝－3，代入x 2＋y 2＝25，得y 1＝4，y 2＝－4.∴弦长为|y 1－y 2|＝8，符合题意．(2)当斜率k 存在时，设所求方程为y ＋32＝k(x ＋3)，即kx －y ＋3k －32＝0.由已知，弦心距|OM|＝52－42＝3 ∴⎪⎪⎪⎪k·0－0＋3k －32k 2＋1＝3，解得k ＝－34. 所以此直线方程为y ＋32＝－34(x ＋3)，即3x ＋4y ＋15＝0. 综上，所求直线方程为x ＋3＝0或3x ＋4y ＋15＝0.12．一个圆的圆心在直线x －y －1＝0上，与直线4x ＋3y ＋14＝0相切，在3x ＋4y ＋10＝0上截得弦长为6，求圆的方程．解 由圆心在直线x －y －1＝0上，可设圆心为(a ，a －1)，半径为r ，由题意可得⎩⎨⎧ |4a ＋3a －1＋14|5＝r ，r 2＝9＋⎝⎛⎭⎫3a ＋4a －1＋1052，经计算得a ＝2，r ＝5，所以所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝25.13．(创新拓展)如图，在平面直角坐标系xOy 中，A(a,0)(a ＞0)，B(0，a)，C(－4,0)，D(0,4)，设ΔAOB 的外接圆为⊙E ，(1)若⊙E 与直线CD 相切，求实数a 的值；(2)问是否存在这样的⊙ E ，⊙E 上到直线CD 的距离为32的点P 有且只有三个；若存在，求出⊙E 的标准方程；若不存在，请说明理由．解 (1)由已知，直线CD 方程为y ＝x ＋4，圆心E ⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，半径r ＝22a. 由⊙E 与直线CD 相切，得⎪⎪⎪⎪a 2－a 2＋42＝22a ，解得a ＝4. (2)要使⊙E 上到直线CD 的距离为32的点P 有且只有三个，只须与CD 平行且与CD 距离为32的两条直线中的一条与⊙E 相切、另一条与⊙E 相交；∵OE ∥CD ，∴圆心E 到直线CD 的距离也就是点O 到CD 的距离．∴圆心E 到直线CD 距离为22，∴圆E 的半径为22＋32＝52，即r ＝22a ＝52，解得a ＝10.∴存在满足条件的⊙E ，其标准方程为(x －5)2＋(y －5)2＝50.。
(江苏专用)高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第46课 直线与圆、圆与圆的位置关系教师用书-人
第46课直线与圆、圆与圆的位置关系[最新考纲]内容要求A B C直线与圆、圆与圆的位置关系√1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：d<r⇔相交；d＝r⇔相切；d>r⇔相离．(2)代数法：联立直线l与圆C的方程，消去y(或x)，得一元二次方程，计算判别式Δ＝b2－4ac，Δ>0⇔相交，Δ＝0⇔相切，Δ<0⇔相离．2．圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0).方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：联立两个圆的方程组成方程组的解的情况相离d>r1＋r2无解外切d＝r1＋r2一组实数解相交|r2－r1|<d<r1＋r2两组不同的实数解内切d＝|r1－r2|(r1≠r2)一组实数解内含0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)无解1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．( )(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( )(3)如果两圆的圆心距小于两半径之和，则两圆相交．( )(4)若两圆相交，则两圆方程相减消去二次项后得到的二元一次方程是公共弦所在直线的方程．( )[解析] 依据直线与圆、圆与圆的位置关系，只有(4)正确．[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为________． 相交 [两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d ＝42＋1＝17. ∵3－2<d <3＋2，∴两圆相交．]3．(2017·某某模拟)若直线3x ＋4y －m ＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋4＝0始终有公共点，则实数m 的取值X 围是________．[0,10] [因为(x ＋1)2＋(y －2)2＝1，所以由题意得|－3＋4×2－m |5≤1⇒|m －5|≤5⇒0≤m ≤10.]4．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为__________．2555[圆心为(2，－1)，半径r ＝2. 圆心到直线的距离d ＝|2＋2×－1－3|1＋4＝355，所以弦长为2r 2－d 2＝222－⎝⎛⎭⎪⎫3552＝2555.] 5．(2016·全国卷Ⅰ)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若AB ＝23，则圆C 的面积为________．4π [圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0化为标准方程是C ：x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，所以圆心C (0，a )，半径r ＝a 2＋2.AB ＝23，点C 到直线y ＝x ＋2a 即x －y ＋2a ＝0的距离d ＝|0－a ＋2a |2，由勾股定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|0－a ＋2a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以r＝2，所以圆C 的面积为π×22＝4π.]直线与圆的位置关系(1)直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是________． (2)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则AB ＝________.(1)相交 (2)6 [(1)法一：∵圆心(0,1)到直线l 的距离d ＝|m |m 2＋1<1< 5.故直线l 与圆相交．法二：直线l ：mx －y ＋1－m ＝0过定点(1,1)，∵点(1,1)在圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的内部，∴直线l 与圆C 相交．(2)由圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4. ∴圆心为C (2,1)，半径r ＝2，由于直线x ＋ay －1＝0是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴，∴圆心C (2,1)在直线x ＋ay －1＝0上，∴2＋a －1＝0，∴a ＝－1，∴A (－4，－1)．于是AB 2＝AC 2－r 2＝40－4＝36，则AB ＝6.][规律方法] 1.(1)利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，也可利用直线的方程与圆的方程联立后得到的一元二次方程的判别式来判断直线与圆的位置关系；(2)注意灵活运用圆的几何性质，联系圆的几何特征，数形结合，简化运算．如“切线与过切点的半径垂直”等．2．与弦长有关的问题常用几何法，即利用弦心距、半径和弦长的一半构成直角三角形进行求解．[变式训练1] (1)(2017·某某某某模拟)过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为________. 【导学号：62172250】(2)(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则CD ＝__________.(1)2x ＋y －7＝0 (2)4 [(1)依题意知，点(3,1)在圆(x －1)2＋y 2＝r 2上，且为切点． ∴圆心(1,0)与切点(3,1)连线的斜率为12.因此切线的斜率k ＝－2.故圆的切线方程为y －1＝－2(x －3)，即2x ＋y －7＝0. (2)由圆x 2＋y 2＝12知圆心O (0,0)，半径r ＝2 3.∴圆心(0,0)到直线x －3y ＋6＝0的 距离d ＝61＋3＝3，AB ＝212－32＝2 3.过C 作CE ⊥BD 于E . 如图所示，则CE ＝AB ＝2 3. ∵直线l 的方程为x －3y ＋6＝0， ∴k AB ＝33，则∠BPD ＝30°，从而∠BDP ＝60°.∴CD ＝CEsin 60°＝AB sin 60°＝2332＝4.]圆与圆的位置关系(1)(2016·某某高考改编)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是________．(2)(2017·某某三模)在平面直角坐标系xOy 中，圆M ：(x －a )2＋(y ＋a －3)2＝1(a ＞0)，点N 为圆M 上任意一点．若以N 为圆心，ON 为半径的圆与圆M 至多有一个公共点，则a 的最小值为________．(1)相交 (2)3 [(1)法一：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2ay ＝0，x ＋y ＝0得两交点为(0,0)，(－a ，a )．∵圆M 截直线所得线段长度为22， ∴a 2＋－a2＝2 2.又a >0，∴a ＝2.∴圆M 的方程为x 2＋y 2－4y ＝0，即x 2＋(y －2)2＝4，圆心M (0,2)，半径r 1＝2. 又圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心N (1,1)，半径r 2＝1， ∴MN ＝0－12＋2－12＝ 2.∵r 1－r 2＝1，r 1＋r 2＝3,1<MN <3，∴两圆相交． 法二：∵x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)⇔x 2＋(y －a )2＝a 2(a >0)， ∴M (0，a )，r 1＝a .∵圆M 截直线x ＋y ＝0所得线段的长度为22，∴圆心M 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a2＝a 2－2，解得a ＝2.以下同法一．(2)由题意得圆N 与圆M 内切或内含，即MN ≤ON －1⇒ON ≥2，又ON ≥OM －1，所以OM ≥3.a 2＋a －32≥3⇒a ≥3或a ≤0(舍)．因此a 的最小值为3.][规律方法] 1.圆与圆的位置关系取决于圆心距与两个半径的和与差的大小关系． 2．若两圆相交，则两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x 2，y 2项得到．3．若两圆相交，则两圆心的连线垂直平分公共弦．[变式训练2] 若⊙O ：x 2＋y 2＝5与⊙O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是__________．4 [由题意⊙O 1与⊙O 在A 处的切线互相垂直，则两切线分别过另一圆的圆心，∴O 1A ⊥OA .又∵OA ＝5，O 1A ＝25， ∴OO 1＝5.又A ，B 关于OO 1对称，∴AB 为Rt △OAO 1斜边上高的2倍． 又∵12·OA ·O 1A ＝12OO 1·AC ，得AC ＝2.∴AB ＝4.]直线与圆的综合问题(2016·某某高考改编)如图461，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2,4)．(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程； (2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC ＝OA ，求直线l 的方程．图461[解] 圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2＝25， 所以圆心M (6,7)，半径为5.(1)由圆心N 在直线x ＝6上，可设N (6，y 0)． 因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以0<y 0<7，圆N 的半径为y 0，从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1. 因此，圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.(2)因为直线l ∥OA ， 所以直线l 的斜率为4－02－0＝2.设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ， 即2x －y ＋m ＝0， 则圆心M 到直线l 的距离d ＝|2×6－7＋m |5＝|m ＋5|5. 因为BC ＝OA ＝22＋42＝25， 而MC 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫BC 22， 所以25＝m ＋525＋5，解得m ＝5或m ＝－15.故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.[规律方法] 1.(1)设出圆N 的圆心N (6，y 0)，由条件圆M 与圆N 外切，求得圆心与半径，从而确定圆的标准方程．(2)依据平行直线，设出直线l 的方程，根据点到直线的距离公式及勾股定理求解．2．求弦长常用的方法：①弦长公式；②半弦长、半径、弦心距构成直角三角形，利用勾股定理求解(几何法)．[变式训练3] 在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：x 2＋y 2＋4x －2y ＋m ＝0与直线x －3y ＋3－2＝0相切．(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 上有两点M ，N 关于直线x ＋2y ＝0对称，且MN ＝23，求直线MN 的方程. 【导学号：62172251】[解] (1)将圆C ：x 2＋y 2＋4x －2y ＋m ＝0化为(x ＋2)2＋(y －1)2＝5－m . ∵圆C ：x 2＋y 2＋4x －2y ＋m ＝0与直线x －3y ＋3－2＝0相切， ∴圆心(－2,1)到直线x －3y ＋3－2＝0的距离d ＝41＋3＝2＝r ， ∴圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝4.(2)若圆C 上有两点M ，N 关于直线x ＋2y ＝0对称，则可设直线MN 的方程为2x －y ＋c ＝0.∵MN ＝23，半径r ＝2，∴圆心(－2,1)到直线MN 的距离为22－32＝1.则|－4－1＋c |5＝1，∴c ＝5± 5. ∴直线MN 的方程为2x －y ＋5±5＝0.[思想与方法]1．直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方程的结合，解题时要抓住圆的几何性质，重视数形结合思想方法的应用．2．计算直线被圆截得的弦长的常用方法：(1)几何方法：运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．(2)代数方法：弦长公式AB＝1＋k2|x A－x B|＝1＋k2[x A＋x B2－4x A x B].[易错与防X]1．求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为“－1”列方程来简化运算．2．过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解．课时分层训练(四十六)A组基础达标(建议用时：30分钟)一、填空题1．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是________．相交[由题意知点在圆外，则a2＋b2>1，圆心到直线的距离d＝1a2＋b2<1，故直线与圆相交．]2．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝________.【导学号：62172252】9 [圆C 1的圆心为C 1(0,0)，半径r 1＝1，因为圆C 2的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25－m ，所以圆C 2的圆心为C 2(3,4)，半径r 2＝25－m (m <25)．从而C 1C 2＝32＋42＝5.两圆外切得C 1C 2＝r 1＋r 2，即1＋25－m ＝5，解得m ＝9.]3．已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是________．－4 [由x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0， 得(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a ，所以圆心坐标为(－1,1)，半径r ＝2－a ，圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离为|－1＋1＋2|2＝2，所以22＋(2)2＝2－a ，解得a ＝－4.]4．过点P (4,2)作圆x 2＋y 2＝4的两条切线，切点分别为A ，B ，O 为坐标原点，则△OAB 外接圆的方程是________．(x －2)2＋(y －1)2＝5 [由题意知，O ，A ，B ，P 四点共圆，所以所求圆的圆心为线段OP 的中点(2,1)．又圆的半径r ＝12OP ＝5，所以所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.]5．已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝25，则过点P (2，－1)的圆C 的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是________. 【导学号：62172253】1023 [易知最长弦为圆的直径10.又最短弦所在直线与最长弦垂直，且PC ＝2，∴最短弦的长为2r 2－PC 2＝225－2＝223.故所求四边形的面积S ＝12×10×223＝1023]．6．已知圆C 1：x 2＋y 2－6x －7＝0与圆C 2：x 2＋y 2－6y －27＝0相交于A ，B 两点，则线段AB 的中垂线方程为________________．x ＋y －3＝0 [∵圆C 1的圆心C 1(3,0)，圆C 2的圆心C 2(0,3)，∴直线C 1C 2的方程为x ＋y－3＝0，AB 的中垂线即直线C 1C 2，故其方程为x ＋y －3＝0.]7．若直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点，且∠AOB ＝120°(O 为坐标原点)，则r ＝__________.2 [如图，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，则OD ＝532＋－42＝1.∵∠AOB ＝120°，OA ＝OB ， ∴∠OBD ＝30°， ∴OB ＝2OD ＝2，即r ＝2.]8．(2017·某某模拟)过点(1，－2)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为________. 【导学号：62172254】y ＝－12[圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为(1,0)，半径为1，以1－12＋－2－02＝2为直径的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB 所在直线的方程为2y ＋1＝0，即y ＝－12.]9．(2017·某某模拟)直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝__________.2 [依题意，不妨设直线y ＝x ＋a 与单位圆相交于A ，B 两点，则∠AOB ＝90°.如图，此时a ＝1，b ＝－1，满足题意，所以a 2＋b 2＝2.]10．(2017·某某联考)已知圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝4，直线l ：kx －y －2k ＝0(k ∈R )，若直线l 与圆C 恒有公共点，则实数k 的最小值是__________．－33[圆心C (－2,0)，半径r ＝2. 又圆C 与直线l 恒有公共点．所以圆心C (－2,0)到直线l 的距离d ≤r . 因此|－2k －2k |k 2＋1≤2，解得－33≤k ≤33. 所以实数k 的最小值为－33.] 二、解答题11．(2017·某某模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 经过点A (1,0)，B (3,0)，C (0,1)．(1)求圆M 的方程；(2)若直线l ：mx －2y －(2m ＋1)＝0与圆M 交于点P ，Q ，且MP →·MQ →＝0，某某数m 的值． [解] (1)法一：设圆M 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧D ＋F ＋1＝0，3D ＋F ＋9＝0，E ＋F ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝－4，F ＝3.所以圆M 的方程x 2＋y 2－4x －4y ＋3＝0.法二：线段AC 的垂直平分线的方程为y ＝x ，线段AB 的垂直平分线的方程为x ＝2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＝2，解得M (2,2)．所以圆M 的半径r ＝AM ＝5，所以圆M 的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝5. (2)因为MP →·MQ →＝0，所以∠PMQ ＝π2.又由(1)得MP ＝MQ ＝r ＝5， 所以点M 到直线l 的距离d ＝102. 由点到直线的距离公式可知，|2m －4－2m －1|m 2＋4＝102，解得m ＝± 6.12．已知圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，点A (3,5)． (1)求过点A 的圆的切线方程；(2)O 点是坐标原点，连结OA ，OC ，求△AOC 的面积S . [解] (1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，得(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆心C (2,3)．当斜率存在时，设过点A 的圆的切线方程为y －5＝k (x －3)，即kx －y ＋5－3k ＝0.由d ＝|2k －3＋5－3k |k 2＋1＝1，得k ＝34. 又斜率不存在时直线x ＝3也与圆相切， 故所求切线方程为x ＝3或3x －4y ＋11＝0. (2)直线OA 的方程为y ＝53x ，即5x －3y ＝0，又点C 到OA 的距离d ＝|5×2－3×3|52＋－32＝134.又OA ＝32＋52＝34.所以S ＝12OAd ＝12. B 组 能力提升 (建议用时：15分钟) 1．(2017·某某调研一)在平面直角坐标系xOy 中，点A (1,0)，B (4,0)．若直线x －y＋m ＝0上存在点P ，使得PA ＝12PB ，则实数m 的取值X 围是________． [－22，22] [法一：设满足条件PB ＝2PA 的P 点坐标为(x ，y )，则(x －4)2＋y 2＝4(x －1)2＋4y 2，化简得x 2＋y 2＝4.要使直线x －y ＋m ＝0有交点，则|m |2≤2.即－22≤m ≤2 2.法二：设直线x －y ＋m ＝0有一点(x ，x ＋m )满足PB ＝2PA ，则(x －4)2＋(x ＋m )2＝4(x －1)2＋4(x ＋m )2.整理得2x 2＋2mx ＋m 2－4＝0(*)方程(*)有解，则△＝4m 2－8(m 2－4)≥0，解之得：－22≤m ≤2 2.]2．(2017·某某模拟)已知圆C 1：x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0只有一条公切线，若a ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b2的最小值为________． 9 [圆C 1的标准方程为(x ＋2a )2＋y 2＝4，其圆心为(－2a,0)，半径为2；圆C 2的标准方程为x 2＋(y －b )2＝1，其圆心为(0，b )，半径为1.因为圆C 1和圆C 2只有一条公切线，所以圆C 1与圆C 2相内切，所以－2a －02＋0－b 2＝2－1，得4a 2＋b 2＝1，所以1a 2＋1b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2(4a 2＋b 2)＝5＋b 2a 2＋4a 2b 2≥5＋2b 2a 2·4a 2b 2＝9，当且仅当b 2a 2＝4a 2b 2，且4a 2＋b 2＝1，即a 2＝16，b 2＝13时等号成立．所以1a 2＋1b2的最小值为9.] 3．如图462，已知以点A (－1,2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切．过点B (－2,0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与l 1相交于点P .图462(1)求圆A 的方程； (2)当MN ＝219时， 求直线l 的方程．[解] (1)设圆A 的半径为R .由于圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切，∴R ＝|－1＋4＋7|5＝2 5. ∴圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20.(2)①当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－2符合题意；②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)．即kx －y ＋2k ＝0.连结AQ ，则AQ ⊥MN∵MN ＝219，∴AQ ＝20－19＝1，则由AQ ＝|k －2|k 2＋1＝1，得k ＝34， ∴直线l ：3x －4y ＋6＝0.故直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0.4．(2013·某某高考)如图463，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上．图463(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；(2)若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值X 围．[解] (1)由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点，解得点C (3,2)，于是切线的斜率必存在．设过A (0,3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3.由题意，得|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0或k ＝－34， 故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0.(2)因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1.设点M (x ，y )，因为MA ＝2MO ，所以x 2＋y －32＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点， 则|2－1|≤CD ≤2＋1，即1≤a 2＋2a －32≤3. 整理，得－8≤5a 2－12a ≤0.由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ；由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125. 所以点C 的横坐标a 的取值X 围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125.。
高考数学(江苏版)一轮配套课件：§14.3 直线与圆、圆与圆的位置关系
解析 (1)由已知得,圆C的标准方程为(x-2)2+y2=4, 所以圆心C(2,0),半径为2. 因为l∥AB,A(-1,0),B(1,2),
所以直线l的斜率为 2 =01,
1 (1)
故可设直线l的方程为x-y+m=0,
则圆心C到直线l的距离d= | 2 =0 m. | | 2 m |
2
2
因为MN=AB= 2=22 2,2 2
•
9、要学生做的事，教职员躬亲共做； 要学生 学的知 识，教 职员躬 亲共学 ；要学 生守的 规则， 教职员 躬亲共 守。2021/7/312021/7/31Saturday, July 31, 2021
• 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/7/312021/7/312021/7/317/31/2021 7:59:44 PM
方法 2 直线与圆、圆与圆位置关系的应用
此类问题主要有求最值和求参数的取值范围两种类型.
处理此类问题时,一般是将直线与圆、圆与圆的方程关系转化为点到直
线的距离、圆心距与半径的关系,再利用函数或不等式求最值或范围.
例2 (2017江苏七校联考)已知直线l:x-y=1与圆M:x2+y2-2x+2y-1=0相交
2
答案 3 0
方法 3 解决与圆有关的切线和弦长问题的方法
1.求过圆上的一点(x0,y0)的切线方程 先求切点与圆心连线所在直线的斜率,当斜率不存在时,切线方程为y=y
0;当斜率存在时,设为k,①k≠0时由垂直关系知切线斜率为-
1 k
,由点斜式
方程可求切线方程,②k=0时切线方程为x=x0.
2.求过圆外一点(x0,y0)的圆的切线方程
方法技巧
高考数学文一轮复习第四直线和圆圆和圆位置关系苏教江苏专用
【名师点评】 解决此类问题的关键是 搞清直线与圆的位置和直线与圆的公共 点的个数间的等价关系．在处理直线与 圆的位置关系时，常用几何法，即比较 圆心到直线的距离和半径的大小，而不 用联立方程．
互动探究1 本例中直线改为mx－y－2m＋1＝0，则该 直线与圆有几个交点？ 解：直线mx－y－2m＋1＝0为m(x－2)－ (y－1)＝0， ∴直线过点(2,1)，即过圆的圆心． ∴该直线与圆有两个交点．
思考感悟 若过一点P作圆的切线，用点斜式方程写出 切线方程，并与圆的方程联立，用Δ＝0来求 切线的斜率，若斜率有两解，则切线有两条； 若斜率有一解，则切线只有一条，这种求切 线方程的方法对吗？
提示：不对．在以上的方法中，还应注意点P 的位置，点P在圆上时，切线只有一条，点P在 圆外时，切线一定有两条，若用以上方法求斜 率值时，只有一解，说明另一条切线的斜率不 存在，即切线还是应该有两条，只不过一条切 线的斜率存在，一条切线的斜率不存在．
【名师点评】 求两圆的公共弦长及公共弦所 在直线方程一般不用求交点的方法，常用如下 方法：
考点三 直线与圆的综合问题
此类问题包含知识较多，多与方程、向 量、不等式相结合，解决问题时，首先 由直线与圆的知识入手，然后转化为方 程等知识解决．
例3 (2011 年盐城高三调研)已知⊙O：x2＋y2＝1 和点 M(4,2)． (1)过点 M 向⊙O 引切线 l，求直线 l 的方程； (2)求以点 M 为圆心，且被直线 y＝2x－1 截得的弦 长为 4 的⊙M 的方程； (3)设 P 为(2)中⊙M 上任一点，过点 P 向⊙O 引切 线，切点为 Q.试探究：平面内是否存在一定点 R，
第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
பைடு நூலகம்
第 四 节
高考数学一轮复习第十三章平面解析几何初步13.2直线与圆圆与圆的位置关系
B组 统一命题、省(区、市)卷题组
考点 直线与圆、圆与圆的位置关系
1.(2019浙江,12,6分)已知圆C的圆心坐标是(0,m),半径长是r.若直线2x-y+3=0与圆C相切于点A
(-2,-1),则m=
,r=
.
答案 -2; 5
解析 本题考查直线与圆的位置关系,两条直线的垂直关系等知识点.通过圆的切线的性质考
2AD AB
25
所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.
因此Q选在D处也不满足规划要求.
综上,P和Q均不能选在D处. (3)先讨论点P的位置. 当∠OBP<90°时,线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径,点P不符合规划要求; 当∠OBP≥90°时,对线段PB上任意一点F,OF≥OB,即线段PB上所有点到点O的距离均不小于 圆O的半径,点P符合规划要求. 设P1为l上一点,且P1B⊥AB,由(1)知,P1B=15,
≤20,则点P的横坐标的取值范围是
.
答案 [-5 2 ,1]
解析 本题考查平面向量数量积及其应用,圆的方程的应用及圆与圆相交.
解法一:设P(x,y),则由 PA · PB ≤20可得, (-12-x)(-x)+(-y)(6-y)≤20, 即(x+6)2+(y-3)2≤65, 所以P为圆(x+6)2+(y-3)2=65上或其内部一点. 又点P在圆x2+y2=50上,
高考数学 (江苏省专用)
§13.2 直线与圆、圆与圆的位置关系
五年高考
A组 自主命题·江苏卷题组
考点 直线与圆、圆与圆的位置关系
1.(2018江苏,12,5分)在平面直角坐标系xOy中,A为直线l:y=2x上在第一象限内的点,B(5,0),以AB
【创新设计】江苏高考数学文二轮专题分析真题12直线与圆(含答案解析)
常考问题 12直线与圆[ 真题感悟 ]1．(2012 ·江苏卷 )在平面直角坐标系xOy 中，圆 C 的方程为 x2＋ y2－8x＋ 15＝0，若直线 y＝kx－2 上起码存在一点，使得以该点为圆心， 1 为半径的圆与圆C 有公共点，则 k 的最大值是 ________．分析|4k－2|设圆心 C(4,0)到直线 y＝kx－ 2 的距离为 d，则 d＝，由题意知k2＋1|4k－ 2|≤2，得 0≤ k≤4，因此 k max＝4问题转变为 d≤2，即 d＝k2＋133.4答案32．(2013 ·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，点 A(0,3)，直线 l ：y＝ 2x－4.设圆 C 的半径为 1，圆心在 l 上．(1)若圆心 C 也在直线 y＝ x－ 1 上，过点 A 作圆 C 的切线，求切线的方程；(2)若圆 C 上存在点 M，使 |MA|＝2|MO|，求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围．解 (1)由题设，圆心 C 是直线 y＝2x－4 和 y＝x－1 的交点，解得点 C(3,2)，于是切线的斜率必存在．|3k＋ 1|设过 A(0,3)的圆 C 的切线方程为 y＝ kx＋3，由题意，得 2 ＝1，解得k＝k ＋130 或－4，故所求切线方程为y＝3 或 3x＋ 4y－12＝0.(2)由于圆心在直线y＝2x－ 4 上，因此圆 C 的方程为 (x－a)2＋[y－2(a－2)] 2＝1.设点 M(x，y)，由于 |MA|＝ 2|MO|，因此x2＋ y－3 2＝2x2＋y2，化简得 x2＋y2＋2y－3＝0，即 x2＋(y＋ 1)2＝ 4，因此点 M 在以 D(0，－ 1)为圆心， 2 为半径的圆上．由题意，点 M(x，y)在圆 C 上，因此圆 C 与圆 D 有公共点，则|2－1|≤|CD|≤2＋1，即 1≤ a 2＋ 2a －3 2≤3.整理得－ 8≤5a 2－12a ≤ 0.2 212由 5a －12a ＋8≥0，得 a ∈ R ；由 5a － 12a ≤0，得 0≤ a ≤ 5.12 因此点 C 的横坐标 a 的取值范围是0，5 .[ 考题剖析 ]高考对本内容的考察主要有：直线和圆的方程；两直线的平行与垂直关系；点到直线的距离；直线与圆的地点关系；直线被圆截得的弦长．多为 B 级或 C 级要求．。
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专题12 直线与圆位置关系
【母题原题1】【2018江苏，理12】在平面直角坐标系中，A 为直线
上在第一象限内的点，
，
以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若，则点A 的横坐标为________．
【答案】3
点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.
【母题原题2】【2017江苏，理13】在平面直角坐标系xOy 中,(12,0),(0,6),A B -点P 在圆2250O x y +=：上,
若20,PA PB ⋅≤则点P 的横坐标的取值范围是 ▲ . 【答案】[52,1]-
【考点】直线与圆，线性规划
【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求横坐标或纵坐标、直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.
【母题原题3】【2016江苏，理18】如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆
M :22
1214600x y x y +--+=及其上一点A (2，4).
(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x =6上，求圆N 的标准方程； （2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC=OA ，求直线l 的方程；
（3）设点T （t ，0）满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得,TA TP TQ +=，求实数t 的取值范围.
【答案】（1）22(6)(1)1x y -+-=（2）:25215l y x y x =+=-或（3）22212221t -≤+【解析】
(3)设()()1122,,,.P x y Q x y
【考点】直线方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系、平面向量的运算
【名师点睛】直线与圆中的三个定理：切线的性质定理，切线长定理，垂径定理；两个公式：点到直线距离公式及弦长公式，其核心都是转化到与圆心、半径的关系上，这是解决直线与圆的根本思路.对于多元问题，也可先确定主元，如本题以P为主元，揭示P在两个圆上运动，从而转化为两个圆有交点这一位置关系，这也是解决直线与圆问题的一个思路，即将问题转化为直线与圆、圆与圆的位置关系问题.
【命题意图】直线与圆是高中数学的C级知识点，是高中数学中数形结合思想的典型体现．
【命题规律】
近年来，高考对直线与圆的命题，既充分体现自身知识结构体系的命题形式多样化，又保持与函数或不等式或轨迹相结合的命题思路，呈现出“综合应用，融会贯通”的特色，充分彰显直线与圆的交汇价值．【答题模板】解答本类题目，以2016年试题为例，一般考虑如下三步：
第一步：利用待定系数法求圆标准方程
第二步：根据圆中垂径定理揭示等量关系
第三步：利用圆与圆位置关系、坐标表示逐层揭示刻画多元关系
【方法总结】
1.以动点轨迹为圆考查直线与圆、圆与圆位置关系,突出考查方程思想和解析法
2.以圆中直角三角形建立函数关系式或方程或不等式, 注重考查圆相关几何性质．
3.利用数形结合揭示与刻画直线与圆、圆与圆位置关系,重点考查直线与圆的综合应用以及数形结合的数学思想．
1．【江苏省南京师大附中2018届高三高考考前模拟考试数学试题】已知直线x－y＋b＝0与圆交
于不同的两点A，B．若O是坐标原点，且，则实数b的取值范围是______．
【答案】
点睛：本题考查向量知识的运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，能正确的转化向量的不等式是解题关键，属于中档题．
2．【江苏省苏州市第五中学校2018届高三上学期期初考试数学（文）试题】已知，若直线上总存在点，使得过点的的两条切线互相垂直，则实数的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】
设两个切点分别为A、B，则由题意可得四边形PAOB为正方形，根据圆心O到直线的距离，进行求解即可得的范围.
【详解】
圆心为，半径，
设两个切点分别为A、B，则由题意可得四边形PAOB为正方形，
故有，
圆心O到直线的距离，
即，
即，解得或.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题. 3．【江苏省南京市2018届高三第三次模拟考试数学试题】在平面直角坐标系中，圆与轴的两个交点分别为,其中在的右侧，以为直径的圆记为圆，过点作直线与圆，圆分别交于两点．若为线段的中点，则直线的方程为_________．
【答案】
点睛：（1）本题主要考查直线的方程，直线与圆的位置关系,要在考查学生对这些基础知识的掌握能力、基本的运算能力和分析推理能力. (2)涉及直线与曲线的问题，经常要联立直线与曲线的方程得到韦达定理
，这是一个常规的方法技巧，大家要理解掌握并灵活运用.
4．【江苏省苏锡常镇四市2017-2018学年度高三教学情况调研（二）数学试题】在平面直角坐标系中，已知圆，点，若圆上存在点，满足，则点的纵坐标的取值范围是____．
【答案】.
点睛:本题主要考查圆的基础知识，考查函数的思想,意在考查学生圆的基础知识的掌握能力和基本运算能力.
5．【江苏省苏锡常镇四市2017-2018学年度高三教学情况调研（二）数学试题】如图，扇形的圆心角为90°，半径为1，点是圆弧上的动点，作点关于弦的对称点，则的取值范围为____．
【答案】.
【解析】分析:先建立直角坐标系，再设出点P,Q的坐标，利用已知条件求出P, Q的坐标，再求出的函数表达式，求其最值，即得其取值范围.
详解:以点O为坐标原点,以OA所在直线作x轴，以OB所在直线作y轴，建立直角坐标系.则A(1，0),B(0，1),直线AB的方程为x+y-1=0,
设P，，
点睛：(1)本题的难点有三，其一是要联想到建立直角坐标系；其二是要能利用已知求出点P,Q的坐标，其三是能够利用三角函数的知识求出函数的值域. （2）本题主要考查利用坐标法解答数学问题，考查直线、圆的方程和三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生基础知识的掌握能力及推理
分析转化能力，考查学生的基本运算能力.
6．【江苏省姜堰、溧阳、前黄中学2018届高三4月联考数学试题】已知点()()3,0,1,2A B ---，若圆
()
()2
2220x y r r -+=＞上恰有两点,M N ，使得MAB ∆和NAB ∆的面积均为4，则r 的取值范围是____. 【答案】292,22⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
【解析】由题意可得|AB|=
()()
2
2
1320-++--=22，
根据△MAB 和△NAB 的面积均为4， 可得两点M ，N 到直线AB 的距离为22； 由于AB 的方程为020y ---=3
13
x +-+，
即x+y+3=0；
若圆上只有一个点到直线AB 的距离为22， 则有圆心（2，0）到直线AB 的距离为
203
2
++=r+22，解得r=
22
；
7．【江苏省无锡市2018届高三第一学期期末检测数学试卷】过圆内一点
作两条相互垂
直的弦
和
，且
，则四边形
的面积为__________．
【答案】19.
【解析】
根据题意画出上图，连接，过作，，为的中点，为的中点，又，，∴四边形为正方形，
由圆的方程得到圆心，半径，
【点睛】
本题的关键点有以下：
1.利用数形结合法作辅助线构造正方形；
2.利用勾股定理求解.
8．【江苏省淮安市等四市2018届高三上学期第一次模拟数学试题】在平面直角坐标系中，若圆
上存在点，且点关于直线的对称点在圆上，则的取值范围是____．
【答案】
【解析】关于直线的对称圆，由题意，圆与圆有交点，所以
，所以的范围是。
点睛：本题考查直线和圆的位置关系。
由题意，得到关于直线的对称圆，存在点满足条件，即圆与圆有交点，由图象特点得，求得的范围。
直线和圆的题型充分利用图象辅助解题。
9．【2018年4月2018届高三第二次全国大联考（江苏卷）-数学】在平面直角坐标系中,若直线
上存在一点,圆
上存在一点,满足,则实数的取值范围为
___________. 【答案】
10．【江苏省南通市2018届高三上学期第一次调研测试数学试题】在平面直角坐标系xOy 中，已知点
()4,0A -， ()0,4B ，从直线AB 上一点P 向圆224x y +=引两条切线PC ， PD ，切点分别为C ， D .
设线段CD 的中点为M ，则线段AM 长的最大值为_________. 【答案】32
【解析】由射影定理得2224OD OM OP OM OP =⋅∴⋅== 设()()22
2
2
2222
21111
1
1121,,,4,
4y y y M x y P x y x y
x y x y x x x x x
∴++==∴++= 22
14x y x x
+∴=
因为
11144x y +=- ，所以11x 1,44x y
x +⋅=- 14x x y x
=
-
点睛：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： ①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． ②定义法：根据圆、直线等定义列方程． ③几何法：利用圆的几何性质列方程．
④代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．
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