江苏省2014年高考数学二轮专题复习素材：训练21
专题12 正余弦定理妙解三角形问题和最值问题(11大核心考点)-2024年高考数学二轮复习讲练测
5．（2021•浙江）在中，∠ = °， = ，是的中点， = ，则 = ；
∠ = ．
6．（2022•甲卷）已知中，点在边上，∠ = °， = ， = ．当 取得最小值时，
，得 = 2或 =
∈ 0, ，得sin = 1
7
− 2（舍），
− cos 2
2
2
15
4
=
=
2sin⋅cos
3 15
．
4
3
3
= sin，所以 = 6cos．
在 △ 中，再由余弦定理得 cos =
所以 6 =
15
，
4
所以△ 的面积 = 1 sin = 1 × 3 × 2 ×
2
=
3
= 0, ∴ ∠ = ， =
2
2
3
7
1+4−2
7
，解得AD为
9
1
+
16
3
2
− )=
=
3
，cos∠
3
129
12
4
3 3
，sin∠ =
，
43
43
3
1
, sin∠ = ，
2
2
7 3
+ ∠) = 2 43，
cos∠ = −cos∠ = −
cos∠ = cos(
（2）在△ 中，由正弦定理得sin = sin ⇒ sin2 = sin ⇒
16+2 −9
2×4×
，解得 = 21．
2 + 2 − 2
2⋅
2014年江苏高考数学试题及详细答案(含附加题)
2014年江苏高考数学试题及详细答案(含附加题)D（1）求()sin 4απ+的值； （2）求()cos 26α5π-的值． 【答案】本小题主要考查三角函数的基本关系式、两角和与差及二倍角的公式，考查运算求解能 力. 满分14分. （1）∵()5sin 2ααπ∈π=，，， ∴225cos 1sin αα=-()210sin sin cos cos sin sin )444αααααπππ+=+=+=；（2）∵2243sin 22sin cos cos 2cos sin 55αααααα==-=-=， ∴()()3314334cos 2cos cos2sin sin 2666525ααα5π5π5π+-=+=+⨯-=． 16．(本小题满分14 分)如图，在三棱锥P ABC -中，D E F ，，分别为棱PC AC AB ，，的中点．已知6PA AC PA ⊥=，，8BC =，5DF =． （1）求证：直线PA ∥平面DEF ； （2）平面BDE ⊥平面ABC ．【答案】本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分. （1）∵D E ，为PC AC ，中点 ∴DE ∥PA ∵PA ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ∴PA ∥平面DEF （2）∵D E ，为PC AC ，中点 ∴132DE PA ==∵E F ，为AC AB ，中点 ∴142EF BC == ∴222DE EF DF += ∴90DEF ∠=°，∴DE ⊥EF ∵//DE PA PA AC ⊥，，∴DE AC ⊥∵AC EF E = ∴DE ⊥平面ABC∵DE ⊂平面BDE ， ∴平面BDE ⊥平面ABC ． 17．(本小题满分14 分)如图，在平面直角坐标系xOy中，12F F ，分别是椭圆22221(0)y x a b a b +=>>的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0)b ，，连结2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结1FC ．（1）若点C 的坐标为()4133，，且22BF =求椭圆的方程； （2）若1FC AB ⊥，求椭圆离心率e 的值．【答案】本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运 算求解能力. 满分14分.（1）∵()4133C ，，∴22161999a b +=∵22222BFb c a =+=，∴22(2)2a==，∴21b =∴椭圆方程为2212x y +=（2）设焦点12(0)(0)()F c F c C x y -，，，，， ∵A C ，关于x 轴对称，∴()A x y -，∵2B F A ，，三点共线，∴b yb c x+=--，即0bx cy bc --=①∵1FC AB ⊥，∴1yb xc c⋅=-+-，即2xc by c -+=②①②联立方程组，解得2222222ca x b c bc y b c ⎧=⎪-⎨⎪=-⎩∴()2222222a c bc C b cb c --，∵C 在椭圆上，∴()()222222222221a c bc b c b c a b --+=，化简得225ca =，∴5c a = 5 18．(本小题满分16分)如图，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸)，4tan 3BCO ∠=．（1）求新桥BC 的长；（2）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？ 解：本小题主要考查直线方程、直线与圆的位置关系和解三角形等基础知识，考查建立数学模型及运用数学知识解决实际问题的能力.满分16分. 解法一：(1) 如图，以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy .由条件知A (0, 60)，C (170, 0)， 直线BC 的斜率k BC =－tan ∠BCO =－43. 又因为AB ⊥BC ，所以直线AB 的斜率k AB =34. 设点B 的坐标为(a ,b )，则k BC =04,1703b a -=-- k AB =603,04b a -=- 解得a =80，b=120. 所以BC 22(17080)(0120)150-+-=. 因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆M 的半径为r m,OM =d m,(0≤d ≤60).由条件知，直线BC 的方程为4(170)3y x =--，即436800x y +-= 由于圆M 与直线BC 相切，故点M (0，d )到直线BC 的距离是r ， 即|3680|680355d d r --==.因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m, 所以80(60)80r d r d -⎧⎨--⎩≥≥即68038056803(60)805dd d d -⎧-⎪⎪⎨-⎪--⎪⎩≥≥解得1035d ≤≤故当d =10时,68035d r -=最大，即圆面积最大. 所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大. 解法二:(1)如图，延长OA , CB 交于点F .因为tan ∠BCO =43.所以sin ∠FCO =45，cos ∠FCO =35. 因为OA =60,OC =170，所以OF =OC tan ∠FCO =6803. CF =850cos 3OC FCO =∠,从而5003AF OF OA =-=. 因为OA ⊥OC ，所以cos ∠AFB =sin ∠FCO ==45，又因为AB ⊥BC ，所以BF =AF cos ∠AFB ==4003，从而BC =CF －BF =150.因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆M 与BC 的切点为D ，连接MD ，则MD ⊥BC ，且MD 是圆M 的半径，并设MD =r m ，OM =d m(0≤d ≤60).因为OA ⊥OC ，所以sin ∠CFO =cos ∠FCO ，故由(1)知，sin ∠CFO =3,68053MD MD rMF OF OM d ===--所以68035d r -=.因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m,所以80(60)80r d r d -⎧⎨--⎩≥≥即68038056803(60)805dd d d -⎧-⎪⎪⎨-⎪--⎪⎩≥≥解得1035d ≤≤故当d =10时,68035d r -=最大，即圆面积最大.所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大.19．(本小题满分16分)已知函数()e e xxf x -=+其中e 是自然对数的底数．（1）证明：()f x 是R 上的偶函数； （2）若关于x 的不等式()e 1xmf x m -+-≤在(0)+∞，上恒成立，求实数m 的取值范围；（3）已知正数a 满足：存在0[1)x ∈+∞，，使得30()(3)f x a x x <-+成立．试比较1e a -与e 1a -的大小，并证明你的结论．【答案】本小题主要考查初等函数的基本性质、导数的应用等基础知识，考查综合运用数学思想 方法分析与解决问题的能力.满分16分.（1）x ∀∈R ，()e e ()x xf x f x --=+=，∴()f x 是R 上的偶函数 （2）由题意，(e e )e 1x x x m m --++-≤，即(e e 1)e 1x x xm --+--≤∵(0)x ∈+∞，，∴e e10xx-+->，即e 1e e 1xxx m ---+-≤对(0)x ∈+∞，恒成立令e (1)xt t =>，则211t m t t --+≤对任意(1)t ∈+∞，恒成立∵2211111(1)(1)113111t t t t t t t t --=-=---+-+-+-++-≥，当且仅当2t =时等号成立 ∴13m -≤（3）'()e e xxf x -=-，当1x >时'()0f x >，∴()f x 在(1)+∞，上单调增 令3()(3)h x a x x =-+，'()3(1)h x ax x =-- ∵01a x >>，，∴'()0h x <，即()h x 在(1)x ∈+∞，上单调减∵存在0[1)x ∈+∞，，使得30()(3)f x a x x <-+，∴1(1)e 2e f a =+<，即()11e 2ea >+ ∵e-1e 111ln ln ln e (e 1)ln 1ea a a a a a ---=-=--+设()(e 1)ln 1m a a a =--+，则()e 1e 111'()1e 2e a m a a aa ---=-=>+， 当()11e e 12ea +<<-时，'()0m a >，()m a 单调增； 当e 1a >-时，'()0m a <，()m a 单调减因此()m a 至多有两个零点，而(1)(e)0m m == ∴当e a >时，()0m a <，e 11e a a --<；当()11e e 2ea +<<时，()0m a <，e 11e a a -->；当e a =时，()0m a =，e 11e a a --=．20．(本小题满分16分)设数列{}na 的前n 项和为nS ．若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得nmS a =，则称{}na 是“H 数列”． （1）若数列{}na 的前n 项和2()nnS n *=∈N ，证明：{}na 是“H 数列”；（2）设{}na 是等差数列，其首项11a =，公差0d <．若{}na 是“H 数列”，求d 的值；（3）证明：对任意的等差数列{}na ，总存在两个“H 数列”{}nb 和{}nc ，使得()nnna b c n *=+∈N 成立．【答案】本小题主要考查数列的概念、等差数列等基础知识，考查探究能力及推理论证能力, 满分16分. （1）当2n ≥时，111222nn n nnn a S S ---=-=-=当1n =时，112a S ==∴1n =时，11S a =，当2n ≥时，1n n S a += ∴{}na 是“H 数列”（2）1(1)(1)22nn n n n Sna d n d --=+=+对n *∀∈N ，m *∃∈N 使nmSa =，即(1)1(1)2n n n d m d -+=+-取2n =得1(1)d m d +=-，12m d =+∵0d <，∴2m <，又m *∈N ，∴1m =，∴1d =- （3）设{}na 的公差为d令111(1)(2)n b a n a n a =--=-，对n *∀∈N ，11n n b b a +-=- 1(1)()n c n a d =-+，对n *∀∈N ，11n n c c a d +-=+ 则1(1)n n n b c a n d a +=+-=，且{}{}n nb c ，为等差数列{}n b 的前n 项和11(1)()2nn n T na a -=+-，令1(2)n T m a =-，则(3)22n n m -=+当1n =时1m =； 当2n =时1m =；当3n ≥时，由于n 与3n -奇偶性不同，即(3)n n -非负偶数，m *∈N因此对n ∀，都可找到m *∈N ，使n m T b =成立，即{}nb 为“H 数列”．{}n c 的前ｎ项和1(1)()2nn n R a d -=+，令1(1)()n mc m ad R =-+=，则(1)12n n m -=+∵对n *∀∈N ，(1)n n -是非负偶数，∴m *∈N即对n *∀∈N ，都可找到m *∈N ，使得nmR c =成立，即{}nc 为“H 数列”因此命题得证.数学Ⅱ(附加题)21.【选做题】本题包括A, B,C,D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.【选修4-1:几何证明选讲】(本小题满分10分)如图，AB 是圆O 的直径，C 、 D 是圆O 上位于AB 异侧的两点证明:∠OCB =∠D .本小题主要考查圆的基本性质，考查推理论证能力.满分10分.证明：因为B , C 是圆O 上的两点，所以OB =OC . 故∠OCB =∠B .又因为C , D 是圆O 上位于AB 异侧的两点， 故∠B ，∠D 为同弧所对的两个圆周角， 所以∠B =∠D . 因此∠OCB =∠D .B.【选修4-2:矩阵与变换】(本小题满分10分)已知矩阵121x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，1121⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B ，向量2y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，x y ，为实数，若A α=B α，求x y ，的值．【答案】本小题主要考查矩阵的乘法等基础知识，考查运算求解能力.满分10分.222y xy -⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦A α，24y y +⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B α，由A α=B α得22224y y xy y -=+⎧⎨+=-⎩，，解得142x y =-=， C.【选修4-4:坐标系与参数方程】(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为12x y ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩，(t 为参数)，直线l 与抛物线24yx=交于A B ，两点，求线段AB 的长．【答案】本小题主要考查直线的参数方程、抛物线的标准方程等基础知识，考查运算求解能力.满分10分. 直线l ：3x y +=代入抛物线方程24y x =并整理得21090x x -+= ∴交点(12)A ，，(96)B -，，故||AB =D.【选修4-5:不等式选讲】(本小题满分10分) 已知x >0, y >0,证明：(1+x +y 2)( 1+x 2+y )≥9xy.本小题主要考查算术一几何平均不等式.考查推理论证能力.满分10分.证明：因为x >0, y >0, 所以1+x +y 2≥0>，1+x 2+y ≥0>，所以(1+x +y 2)( 1+x 2+y )≥=9xy.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22．(本小题满分10分)盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同． （1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P ；（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为123x x x ，，，随机变量X 表示123x x x ，，中的最大数，求X 的概率分布和数学期望()E X ．22.【必做题】本小题主要考查排列与组合、离散型随机变量的均值等基础知识，考查运算求解能力.满分10分.（1）一次取2个球共有29C 36=种可能情况，2个球颜色相同共有222432C C C 10++=种可能情况∴取出的2个球颜色相同的概率1053618P == （2）X 的所有可能取值为432，，，则4449C 1(4)C 126P X ===3131453639C C C C 13(3)C 63P X +===11(2)1(3)(4)14P X P X P X ==-=-== ∴X 的概率分布列为故X 的数学期望1113120()23414631269E X =⨯+⨯+⨯= 23．(本小题满分10分)已知函数0sin ()(0)x f x x x=>，设()n f x 为1()n fx -的导数，n *∈N ．（1）求()()122222f f πππ+的值； （2）证明：对任意的n *∈N ，等式()()1444n nnff -πππ+成立． 23.【必做题】本题主要考查简单的复合函数的导数，考查探究能力及运用数学归纳法的推理论证能力.满分10分.(1)解：由已知，得102sin cos sin ()(),x x x f x f x x x x '⎛⎫'===- ⎪⎝⎭于是21223cos sin sin 2cos 2sin ()(),x x x x x f x f x x x x x x ''⎛⎫⎛⎫'==-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以12234216(),(),22f f πππππ=-=-+ 故122()() 1.222f f πππ+=- (2)证明：由已知，得0()sin ,xf x x =等式两边分别对x 求导，得0()()cos f x xf x x '+=，即01()()cos sin()2f x xf x x x π+==+，类似可得 122()()sin sin()f x xf x x x π+=-=+， 2333()()cos sin()2f x xf x x x π+=-=+，344()()sin sin(2)f x xf x x x π+==+.下面用数学归纳法证明等式1()()sin()2n n n nfx xf x x π-+=+对所有的n ∈*N 都成立.(i)当n =1时，由上可知等式成立.(ii)假设当n =k 时等式成立, 即1()()sin()2k k k kf x xf x x π-+=+.因为111[()()]()()()(1)()(),k k k k k k k kfx xf x kf x f x xf x k f x f x --+'''+=++=++(1)[sin()]cos()()sin[]2222k k k k x x x x ππππ+''+=+⋅+=+，所以1(1)()()kk k f x fx +++(1)sin[]2k x π+=+.所以当n=k +1时,等式也成立. 综合(i),(ii)可知等式1()()sin()2n n n nf x xf x x π-+=+对所有的n ∈*N 都成立.令4x π=，可得1()()sin()44442n n n nf f πππππ-+=+(n ∈*N ).所以1()()444n n nf f πππ-+(n ∈*N ).。
2014高考数学二轮专题复习Word版 专题提升训练13
常考问题13 圆锥曲线的基本问题(建议用时：50分钟)1．(2013·陕西卷)双曲线x 216－y 2m ＝1(m >0)的离心率为54，则m 等于________．解析 由题意得c ＝16＋m ，所以16＋m 4＝54，解得m ＝9. 答案 92．已知双曲线C ∶x 2a 2－y 2b21(a ＞0，b ＞0)的实轴长为2，离心率为2，则双曲线C的焦点坐标是________．解析 ∵2a ＝2，∴a ＝1，又ca ＝2，∴c ＝2，∴双曲线C 的焦点坐标是(±2,0)．答案 (±2,0)3．(2013·徐州质检)已知双曲线C ：x 2a 2y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点，右焦点分别为A ，F ，它的左准线与x 轴的交点为B ，若A 是线段BF 的中点，则双曲线C 的离心率为________．解析 ∵A 是B ，F 的中点，∴2a ＝－a 2c ＋c .∴e 2－2e －1＝0，∵e ＞1，∴e ＝2＋1. 答案2＋14．(2013·新课标全国Ⅰ卷改编)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为________．解析 直线AB 的斜率k ＝0＋13－1＝12设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b21 ①x 22a 2＋y 22b 2＝1， ②①－②得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.又x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，所以k ＝－b 2a 2×2－2，所以b 2a 2＝12，③ 又a 2－b 2＝c 2＝9，④由③④得a 2＝18，b 2＝9.故椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.答案 x 218＋y 29＝15．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为________．解析 由于抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，即c ＝1，又e ＝c a ＝5，可得a ＝55，结合条件有a 2＋b 2＝c 2＝1，可得b 2＝45，又焦点在x 轴上，则所求的双曲线的方程为5x 2－54y 2＝1.答案 5x 2－54y 2＝16．(2013·福建卷)椭圆T ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆T 的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．解析 直线y ＝3(x ＋c )过点F 1，且倾斜角为60°，所以∠MF 1F 2＝60°，从而∠MF 2F 1＝30°，所以MF 1⊥MF 2，在Rt △MF 1F 2中，|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c ，所以该椭圆的离心率e ＝2c 2a ＝2cc ＋3c＝3－1. 答案3－17．已知双曲线C 与椭圆x 216＋y 212＝1有共同的焦点F 1，F 2，且离心率互为倒数．若双曲线右支上一点P 到右焦点F 2的距离为4，则PF 2的中点M 到坐标原点O 的距离等于________．解析 由椭圆的标准方程，可得椭圆的半焦距c ＝16－12＝2，故椭圆的离心率e 1＝24＝12，则双曲线的离心率e 2＝1e 1＝2.因为椭圆和双曲线有共同的焦点，所以双曲线的半焦距也为c ＝2.设双曲线C 的方程为x 2a －y 2b ＝1(a >0，b >0)，则有a ＝c e 2＝22＝1，b 2＝c 2－a 2＝22－12＝3，所以双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.因为点P 在双曲线的右支上，则由双曲线的定义，可得|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2，又|PF 2|＝4，所以|PF 1|＝6.因为坐标原点O 为F 1F 2的中点，M 为PF 2的中点． 所以|MO |＝12|PF 1|＝3.答案 38．(2012·南京、盐城模拟)设椭圆C ∶x 2a ＋y 2b＝1(a ＞b ＞0)恒过定点A (1,2)，则椭圆的中心到准线的距离的最小值________．解析 由题设知1a 2＋4b 2＝1，∴b 2＝4a 2a 2－1，∴椭圆的中心到准线的距离d ＝a 2c ，由d 2＝a 4c 2＝a 4a 2－b 2＝a 4a 2－4a 2a 2－1＝a 2(a 2－1)a 2－5，令a 2－5＝t (t ＞0)得d 2＝(t ＋5)(t ＋4)t ＝t ＋20t ＋9≥9＋45(当且仅当t ＝25时取等号)∴d ≥2＋5即椭圆的中心到准线的距离的最小值2＋ 5. 答案 2＋ 59．在平面直角坐标系xOy 中，已知对于任意实数k ，直线(3k ＋1)x ＋(k －3)y －(3k ＋3)＝0恒过定点F .设椭圆C 的中心在原点，一个焦点为F ，且椭圆C 上的点到F 的最大距离为2＋ 3. (1)求椭圆C 的方程；(2)设(m ，n )是椭圆C 上的任意一点，圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)与椭圆C 有4个相异公共点，试分别判断圆O 与直线l 1：mx ＋ny ＝1和l 2：mx ＋ny ＝4的位置关系．解 (1)由(3k ＋1)x ＋(k －3)y －(3k ＋3)＝0整理 得(3x ＋y －3)k ＋(x －3y －3)＝0，解方程组⎩⎨⎧3x ＋y －3＝0，x －3y －3＝0得F (3，0)．设椭圆C 的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c ，则由题设知⎩⎨⎧c ＝3，a ＋c ＝2＋ 3.于是a ＝2，b ＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)因为圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)与椭圆C 有4个相异公共点，所以b ＜r ＜a ，即1＜r ＜2.因为点(m ，n )是椭圆x 24＋y 2＝1上的点，所以m 24＋n 2＝1，且－2≤m ≤2. 所以m 2＋n 2＝34m 2＋1∈[1,2]． 于是圆心O 到直线l 1的距离d 1＝1m 2＋n2≤1＜r ，圆心O 到直线l 2的距离d 2＝4m 2＋n2≥2＞r .故直线l 1与圆O 相交，直线l 2与圆O 相离．10．已知椭圆C 的中心为平面直角坐标系xOy 的原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1. (1)求椭圆C 的方程；(2)若P 为椭圆C 上的动点，M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的一点，OPOM ＝λ，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．解 (1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a ，c ，由已知得⎩⎨⎧a －c ＝1，a ＋c ＝7，解得⎩⎨⎧a ＝4，c ＝3.又∵b 2＝a 2－c 2，∴b ＝7， 所以椭圆C 的方程为x 216＋y 27＝1.(2)设M (x ，y )，其中x ∈[－4,4]，由已知OP 2OM 2＝λ2及点P 在椭圆C 上可得9x 2＋11216(x 2＋y 2)＝λ2，整理得(16λ2－9)x 2＋16λ2y 2＝112，其中x ∈[－4,4]．①当λ＝34时，化简得9y 2＝112，所以点M 的轨迹方程为y ＝±473(－4≤x ≤4)．轨迹是两条平行于x 轴的线段．②当λ≠34时，方程变形为x 211216λ2－9＋y 211216λ2＝1，其中x ∈[－4,4]．当0<λ<34时，点M 的轨迹为中心在原点、实轴在y 轴上的双曲线满足－4≤x ≤4的部分；当34<λ<1时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆满足－4≤x ≤4的部分；当λ≥1时，点M 的轨迹为中心在原点，长轴在x 轴上的椭圆．11．(2013·南京、盐城模拟)在平面直角坐标系xOy 中，过点A (－2，－1)椭圆C ∶x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，短轴端点为B 1、B 2，FB 1→·FB 2→＝2b 2.(1)求a 、b 的值；(2)过点A 的直线l 与椭圆C 的另一交点为Q ，与y 轴的交点为R .过原点O 且平行于l 的直线与椭圆的一个交点为P .若AQ ·AR ＝3OP 2，求直线l 的方程． 解 (1)因为F (－c,0)，B 1(0，－b )，B 2(0，b )，所以FB 1→＝(c ，－b )，FB 2→＝(c ，b )．因为FB 1→·FB 2→＝2b 2， 所以c 2－b 2＝2b 2.① 因为椭圆C 过A (－2，－1)，代入得，4a 2＋1b 2＝1.②由①②解得a 2＝8，b 2＝2. 所以a ＝22，b ＝ 2.(2)由题意，设直线l 的方程为y ＋1＝k (x ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋1＝k (x ＋2)，x 28＋y 221得(x ＋2)[(4k 2＋1)(x ＋2)－(8k ＋4)]＝0.因为x ＋2≠0，所以x ＋2＝8k ＋44k 2＋1，即x Q ＋2＝8k ＋44k 2＋1.由题意，直线OP 的方程为y ＝kx .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 28＋y 221，得(1＋4k 2)x 2＝8.则x 2P ＝81＋4k 2， 因为AQ ·AR ＝3OP 2.所以|x Q －(－2)|×|0－(－2)|＝3x 2P . 即⎪⎪⎪⎪⎪⎪8k ＋44k 2＋1×2＝3×81＋4k 2.解得k ＝1，或k ＝－2.当k ＝1时，直线l 的方程为x －y ＋1＝0， 当k ＝－2时，直线l 的方程为2x ＋y ＋5＝0. 备课札记：。
专题16妙解离心率问题(12大核心考点)(课件)-2025年高考数学二轮复习讲练测(新教材新高考)
在Rt △ 中，由∠ = ，得 = sin =
2sin, = cos = 2cos，
1
所以2sin + 2cos = 2，所以 = sin+cos =
）
π
ቁ
4
∈
，
,
12 3
6
,
2
所以 =
π
，所以 + 4 ∈
= ( > , > )的左、右焦点，为双曲线上的任一点，
≥ �� − ．
3、利用角度长度的大小建立不等关系． , 为椭圆 + = 的左、右焦点，为椭圆上的动点，若
∠ = ，则椭圆离心率的取值范围为 ≤ < ．
4、利用题目不等关系建立不等关系．
+ = 的离心率分别为 ， ．若 = ，则
D．
= ( > , > )的离心率为 ，的一条渐近线与圆( − ) + ( − ) =
交于，两点，则|| = ( D )
A．
B．
C．
3．（2022•甲卷）椭圆: + = ( >
2sin(+ 4 )
，∴ sin( + 4 ) ∈
∴∈
3 − 1,
6
3
2+ 6，46 1+ 3, 2
2
．
．故选：A．
考点题型二：焦点三角形顶角范围与离心率
2
【例2】（2024·辽宁葫芦岛·高三统考期末）已知点1 ，2 分别是椭圆 2
+
2014年江苏高考数学真题及答案
2014年江苏高考数学真题及答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应．．．．．位置上．．．． 1. 已知集合A ={4,3,1,2--}，}3,2,1{-=B ，则=B A ▲.2. 已知复数2)i 25(+=z (i 为虚数单位),则z 的实部为▲.3. 右图是一个算法流程图,则输出的n 的值是▲.4. 从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是▲.5. 已知函数x y cos =与)2sin(ϕ+=x y (0≤πϕ<),zxxk 它们的图象有一个横坐标为3π的交点,则ϕ的值是▲.6. 设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有▲株树木的底部周长小于100cm.7. 在各项均为正数的等比数列}{n a 中,,12=a 4682a a a +=,则6a 的值是▲.8. 设甲、乙两个圆柱的底面分别为1S ，2S ，体积分别为1V ，2V ，若它们的侧面积相等，且4921=S S ，则21V V的值是▲.9. 在平面直角坐标系xOy 中,直线032=-+y x 被圆4)1()2(22=++-y x 截得的弦长为▲.10. 已知函数,1)(2-+=mx x x f 若对于任意]1,[+∈m m x ,都有0)(<x f 成立,则实数m 的取值范围是▲.11. 在平面直角坐标系xOy 中，若曲线xbax y +=2(a ，b 为常数) zxxk 过点)5,2(-P ，且该曲线在点P 处的切线与直线0327=++y x 平行，则b a +的值是▲.12. 如图，在平行四边形ABCD 中，已知8=AB ，5=AD ，PD CP 3=，2=⋅BP AP ，则AD AB ⋅的值是▲.202>n组距13. 已知)(x f 是定义在R 上且周期为3的函数,当)3,0[∈x 时,|212|)(2+-=x x x f .若函数a x f y -=)(在区间]4,3[-上有10个零点(互不相同),则实数a 的取值范围是▲.14. 若△ABC 的内角满足C B A sin 2sin 2sin =+,则C cos 的最小值是▲.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，学科网解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.(本小题满分14分)已知),2(ππα∈,55sin =α.(1)求)4sin(απ+的值；(2)求)265cos(απ-的值.16.(本小题满分14分)如图，在三棱锥ABC P -中，D ，E ，F 分zxxk 别为棱AB AC PC ,,的中点.已知AC PA ⊥,,6=PA .5,8==DF BC求证: (1)直线//PA 平面DEF ；(2)平面⊥BDE 平面ABC .（第16题）PD C EFB A17.(本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,21,F F 分别是椭圆)0(12322>>=+b a by a x 的左、右焦点，顶点B 的坐标为),0(b ，连结2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结C F 1.(1)若点C 的坐标为)31,34(,且22=BF ,求椭圆的方程；(2)若,1AB C F ⊥求椭圆离心率e 的值.18.(本小题满分16分)如图,为了保护河上古桥OA ,规划建一座新桥BC ,同时设立一个圆形学科网保护区.规划要求:新桥BC 与河岸AB 垂直;保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆.且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m. 经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处, 点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸),34tan =∠BCO .(1)求新桥BC 的长；(2)当OM 多长时,圆形保护区的面积最大？19.(本小题满分16分)已知函数x x x f -+=e e )(,其中e 是自然对数的底数. (1)证明:)(x f 是R 上的偶函数；(2)若关于x 的不等式)(x mf ≤1e -+-m x 在),0(+∞上恒成立，学科网求实数m 的取值范围；(3)已知正数a 满足：存在),1[0+∞∈x ，使得)3()(030x x a x f +-<成立.试比较1e -a 与1e -a 的大小，并证明你的结论.20.(本小题满分16分)设数列}{n a 的前n 项和为n S .若对任意正整数n ，学科网总存在正整数m ，使得m n a S =，则称}{n a 是“H 数列”.(1)若数列}{n a 的前n 项和n n S 2=(∈n N *),证明:}{n a 是“H 数列”;(2)设}{n a 是等差数列,其首项11=a ,公差0<d .若}{n a 是“H 数列”,求d 的值； (3)证明：对任意的等差数列}{n a ，总存在两个“H 数列”}{n b 和}{n c ，使得n n n c b a += (∈n N *)成立.2014年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．（5分）（2014•江苏）已知集合A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，则A∩B={﹣1，3} ．2．（5分）（2014•江苏）已知复数z=（5+2i）2（i为虚数单位），则z的实部为21 ．3．（5分）（2014•江苏）如图是一个算法流程图，则输出的n的值是 5 ．4．（5分）（2014•江苏）从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是．P=．5．（5分）（2014•江苏）已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是．的交点，可得．根据的交点，．，∴，+，．．6．（5分）（2014•江苏）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有24 株树木的底部周长小于100cm．=7．（5分）（2014•江苏）在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a2=1，a8=a6+2a4，则a6的值是 4 ．，=8．（5分）（2014•江苏）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是．=，，它们的侧面积相等，==．．9．（5分）（2014•江苏）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为．=，=2=10．（5分）（2014•江苏）已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是（﹣，0）．，，解得﹣（﹣11．（5分）（2014•江苏）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P （2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是﹣3 ．（，（，，解得：12．（5分）（2014•江苏）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，•=2，则•的值是22 ．=3，=+，=﹣，=3，=2解：∵=3=+，=﹣，•=+）•（﹣|•﹣|••=22=+，=﹣，是解答的关键．13．（5分）（2014•江苏）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是（0，）．|的图象如图：由图象可知，）14．（5分）（2014•江苏）若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是．b=2c（bcosC==≥=≤cosC＜的最小值是．二、解答题（本大题共6小题，共计90分）15．（14分）（2014•江苏）已知α∈（，π），sinα=．（1）求sin（+α）的值；（2）求cos（﹣2α）的值．（﹣，=﹣=+cos+cos sin=∴sin（+．，．，∴cos（﹣=cos cos2+sin sin2=（．16．（14分）（2014•江苏）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC．的中点，∴DE=PA=3的中点，∴EF=BC=417．（14分）（2014•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，顶点B的坐标为（0，b），连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C．（1）若点C的坐标为（，），且BF2=，求椭圆的方程；（2）若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值．的坐标为（，，即，（则椭圆的方程为x+b+﹣x=∵A（∴C（）==×（．18．（16分）（2014•江苏）如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tan∠BCO=．（1）求新桥BC的长；（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？．，∴CE=OP=m∴PC=PQ=∴R=MQ=m=∴136﹣﹣x≥80．19．（16分）（2014•江苏）已知函数f（x）=e x+e﹣x，其中e是自然对数的底数．（1）证明：f（x）是R上的偶函数；（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；（3）已知正数a满足：存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，试比较e a ﹣1与a e﹣1的大小，并证明你的结论．m≤m≤，当且仅当．=e+﹣＞）﹣，﹣=0①a∈（（）20．（16分）（2014•江苏）设数列{a n}的前n项和为S n，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得S n=a m，则称{a n}是“H数列”．（1）若数列{a n}的前n项和为S n=2n（n∈N*），证明：{a n}是“H数列”；（2）设{a n}是等差数列，其首项a1=1，公差d＜0，若{a n}是“H数列”，求d的值；（3）证明：对任意的等差数列{a n}，总存在两个“H数列”{b n}和{c n}，使得a n=b n+c n（n∈N*）成立．，，即，解得，则，三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）（一）选择题（本题包括21、22、23、24四小题，请选定其中两个小题作答，若多做，则按作答的前两个小题评分）【选修4-1：几何证明选讲】21．（10分）（2014•江苏）如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点，证明：∠OCB=∠D．【选修4-2：矩阵与变换】22．（10分）（2014•江苏）已知矩阵A=，B=，向量=，x，y为实数，若A=B，求x+y的值．=BA=，向量==B，，∴x=﹣∴x+y=【选修4-3：极坐标及参数方程】23．（2014•江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），直线l与抛物线y2=4x相交于A，B两点，求线段AB的长．的参数方程为∴|AB|==8【选修4-4：不等式选讲】24．（2014•江苏）已知x＞0，y＞0，证明（1+x+y2）（1+x2+y）≥9xy．≥3，+y≥≥3(二）必做题（本部分包括25、26两题，每题10分，共计20分）25．（10分）（2014•江苏）盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E（X）．P=，P26．（10分）（2014•江苏）已知函数f0（x）=（x＞0），设f n（x）为f n﹣1（x）的导数，n∈N*．（1）求2f1（）+f2（）的值；（2）证明：对任意n∈N*，等式|nf n﹣1（）+f n（）|=都成立．代入式子求值；代入所给的式子求解验证．，∴xf代入上式得，）f））x+）对任意成立，则上式成立；，=，x+代入上式得，（f）（+=±，（f）都成立．。
高考数学二轮复习教案
高考数学二轮复习教案【篇一：高考数学二轮专题复习教案共23讲精品专题】专题一集合、简单逻辑用语、函数、不等式、导数及应用第1讲集合与简单逻辑用语1. 理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：弄清元素是函数关系式中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？?2. 数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决．3. 已知集合a、b，当a∩b＝?时，你是否注意到“极端”情况：a＝?或b＝?？求集合的子集时是否忘记?？分类讨论思想的建立在集合这节内容学习中要得到强化．4. 对于含有n个元素的有限集合m, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n－1，2n－1，2n－2.5. ?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．2. 已知命题p：n∈n,2n＞1 000，则p为________．3. 条件p：a∈m＝{x|x2－x0}，条件q：a∈n＝{x||x|2}，p是q的______________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)4. 若命题“?x∈r，x2＋(a－1)x＋10”是假命题，则实数a的取值范围为________．【例1】已知集合a＝{x|x2－3x－10≤0}，集合b＝{x|p＋1≤x≤2p－1}．若b?a，求实数p的取值范围．【例2】设a＝{(x，y)|y2－x－1＝0}，b＝{(x，y)|4x2＋2x－2y＋5＝0}，c＝{(x，y)|y＝kx＋b}，是否存在k、b∈n，使得(a∪b)∩c ＝?？若存在，求出k，b的值；若不存在，请说明理由．则下列结论恒成立的是________．a. t，v中至少有一个关于乘法封闭b. t，v中至多有一个关于乘法封闭 c. t，v中有且只有一个关于乘法封闭 d. t，v中每一个关于乘法封闭【例4】已知a0，函数f(x)＝ax－bx2.(1) 当b0时，若?x∈r，都有f(x)≤1，证明：0a≤b； (2) 当b1时，证明：?x∈[0,1]，|f(x)|≤1的充要条件是b－1≤a≤b.①2 011∈[1]；②－3∈[3]；③z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”．其中，正确结论的个数是________个．1解：由f(x)为二次函数知a≠0，令f(x)＝0解得其两根为x1＝a12＋a由此可知x10，x20，(3分)①当a0时，a＝{x|xx1}∪{x|xx2}，(5分) 1a∩b≠?的充要条件是x2＜3，即a②当a0时， a＝{x|x1xx2}，(10分) 1a∩b≠?的充要条件是x21，即＋a2＋1，解得a－2，(13分) a62＋3，解得a(9分) a712，x2＝＋aa6?.(14分) 综上，使a∩b≠?成立的实数a的取值范围为(－∞，－2)∪??7?一集合、简单逻辑用语、函数、不等式、导数及应用第1讲集合与简单逻辑用语a. 57b. 56c. 49d. 8【答案】 b 解析：集合a的所有子集共有26＝64个，其中不含4,5,6,7的子集有23＝8个，所以集合s共有56个．故选b.m2y≤2m＋1，x，y∈r}, 若a∩b≠?，则实数m的取值范围是________．1m12＋2? 解析：由a∩b≠?得，a≠?，所以m2≥，m≥m≤0.【答案】 ??2?22|2－2m||2－2m－1|2当m≤0＝22m＞－m，且＝2m＞－m，又2＋0＝2＞2m222|2－2m|1＋1，所以集合a表示的区域和集合b表示的区域无公共部分；当m≥时，只要≤m22|2－2m－1|22或m，解得22≤m≤2＋2或1－m≤1，所以实数m的取值范围222122?. 是??2?点评：解决此类问题要挖掘问题的条件，并适当转化，画出必要的图形，得出求解实数m的取值范围的相关条件．基础训练1. (－∞，3) 解析：a＝(－∞，0]∪[3，＋∞)，b＝(0，＋∞)，a∪b＝(－∞，＋∞)，a∩b＝[3，＋∞)．2. ?n∈n,2n≤1 0003. 充分不必要解析：m＝(0,1)?n＝(－2,2)．例1 解：由x2－3x－10≤0得－2≤x≤5. ∴ a＝[－2,5]．①当b≠?时，即p＋1≤2p－1?p≥2.由b?a得－2≤p＋1且2p－1≤5.得－3≤p≤3.∴ 2≤p≤3.②当b＝?时，即p＋12p－1?p＜2.b?a成立．综上得p≤3.点评：从以上解答应看到：解决有关a∩b＝?，a∪b＝a，a∪b＝b 或a?b等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中全方位、多角度审视问题．变式训练设不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为m，如果m?[1,4]，求实数a的取值范围．??f?1?≥0且f?4?≥0，[x1，x2]，m?[1,4]?1≤x1＜x2≤4??－a＋3≥0，??18－7a≥0，即?1≤a≤4，??a＜－1或a＞2，1818－1. 解得：2＜a≤，综上实数a的取值范围是?7?7例2 解：∵ (a∪b)∩c＝?，∵a∩c＝?且b∩c＝?，2??y＝x＋1，由 ? 得k2x2＋(2bk－1)x＋b2－1＝0， ?y＝kx＋b?∴ 4k2－4bk＋10，此不等式有解，其充要条件是16b2－160，即b21，①2??4x＋2x－2y＋5＝0，∵ ? ?y＝kx＋b，?∴ 4x2＋(2－2k)x＋(5－2b)＝0，∴ k2－2k＋8b－190, 从而8b20，即b2.5，②?4k2－8k＋1＜0，??2 ?k－2k－3＜0，?∴ k＝1，故存在自然数k＝1，b＝2，使得(a∪b)∩c＝?．点评：把集合所表示的意义读懂，分辨出所考查的知识点，进而解决问题.???1－y＝3变式训练已知集合a＝??x，y???x＋1?????，b＝{(x，y)|y＝kx＋3}，若a∩b＝?，??求实数k的取值范围．解：集合a表示直线y＝－3x－2上除去点(－1,1)外所有点的集合，集合b表示直线y＝kx＋3上所有点的集合，a∩b＝?，所以两直线平行或直线y＝kx＋3过点(－1,1)，所以k＝2或k＝－3.例3 【答案】 a 解析：由于t∪v＝z，故整数1一定在t，v两个集合中的一个中，不妨设1∈t，则?a，b∈t，另一方面，当t＝{非负整数}，v＝{负整数}时，t关于乘法封闭，v关于乘法不封闭，故d不对；当t＝{奇数}，v＝{偶数}时，t，v显然关于乘法都是封闭的，故b，c不对．从而本题就选a.例4 证明：(1) ax－bx2≤1对x∈r恒成立，又b＞0, ∴a2－4b≤0，∴ 0＜a≤b. (2) 必要性，∵ ?x∈[0,1]，|f(x)|≤1恒成立，∴ bx2－ax≤1且bx2－ax≥－1，显然x＝0时成立，111对x∈(0,1]时a≥bx－且a≤bx＋f(x)＝bxx∈(0,1]上单调增，f(x)最大值xxxf(1)＝b－1.1111函数g(x)＝bx＋在?0，?上单调减，在?1?上单调增，函数g(x)的最小值为g?x?b????b?＝2，∴ b－1≤a≤2b，故必要性成立；a2a2aa1122b4b2b2a2f(x)max＝1，又f(x)是开口向下的抛物线，f(0)＝0，f(1)＝a－b，4bf(x)的最小值从f(0)＝0，f(1)＝a－b中取最小的，又a－b≥－1，∴－1≤f(x)≤1，故充分性成立；综上命题得证．变式训练命题甲：方程x2＋mx＋1＝0有两个相异负根；命题乙：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，这两个命题有且只有一个成立，求实数m的取值范围．2解：使命题甲成立的条件是： ??m＞2.?x1＋x2＝－m＜0?∴集合a＝{m|m2}．【篇二：高三数学二轮复习教案】高三数学二轮复习教案学校：寿县迎河中学汇编：龙如山第一部分：三角问题的题型与方法一、考试内容1．理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算。
江苏省2014年高考数学二轮专题复习素材：训练13
常考问题13 圆锥曲线的综合问题(建议用时：50分钟)1．(2013·济南模拟)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与直线y ＝3x 无交点，则离心率e 的取值范围是________．解析 因为双曲线的渐近线为y ＝±b a x ，要使直线y ＝3x 与双曲线无交点，则直线y ＝3x 应在两渐近线之间，所以有ba ≤3，即b ≤3a ，所以b 2≤3a 2，c 2－a 2≤3a 2，即c 2≤4a 2，e 2≤4，所以1<e ≤2. 答案 (1,2]2．P 为双曲线x 29－y 216＝1的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y 2＝1上的点，则PM －PN 的最大值为________．解析 设双曲线的两个焦点分别是F 1(－5,0)与F 2(5,0)，则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P 与M 、F 1三点共线以及P 与N 、F 2三点共线时所求的值最大，此时PM －PN ＝(PF 1＋2)－(PF 2－1)＝6＋3＝9 答案 93．已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)与y 轴交于A ，B 两点，点F 为该椭圆的一个焦点，则△ABF 面积的最大值为________．解析 不妨设点F 的坐标为(4－b 2，0)，而|AB |＝2b ，∴S △ABF ＝12×2b ×4－b 2＝b 4－b 2＝b 2(4－b 2)≤b 2＋4－b 22＝2(当且仅当b 2＝4－b 2，即b 2＝2时取等号)，故△ABF 面积的最大值为2. 答案 24．设F 1是椭圆x 24＋y 2＝1的左焦点，O 为坐标原点，点P 在椭圆上，则PF 1→·PO →的最大值为________．解析 设P (x 0，y 0)，依题意可得F 1(－3，0)，则PF 1→·P O →＝x 20＋y 20＋3x 0＝x 2＋1－x 204＋3x 0＝3x 204＋3x 0＋1＝34⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋2332. 又－2≤x 0≤2，所以当x 0＝2时，PF 1→·P O →取得最大值4＋2 3. 答案 4＋2 35．(2012·南通、泰州、扬州模拟)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，B ，C 分别为椭圆的上、下顶点，直线BF 2与椭圆的另一个交点为D ，若cos ∠F 1BF 2＝725，则直线CD 的斜率为________． 解析 由cos ∠F 1BF 2＝725得cos ∠OBF 2＝45＝ba，进一步求得直线BD 的斜率为－43，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－43x ＋b ，x 2a 2＋y 2b 2＝1⇒916(y －b )2a 2＝b 2－y 2b 2⇒y ＋b y －b＝－925，∴直线CD 的斜率为y ＋b x＝y ＋b －34(y －b )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－925×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝1225.答案 12256．在平面直角坐标系xOy 中，以椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上的一点A 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的一个焦点，与y 轴相交于B 、C 两点，若△ABC 是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是________．解析 由题意得，圆半径r ＝b 2a ，因为△ABC 是锐角三角形，所以cos 0＞cos A 2＝c r ＞cos π4，即22＜c r ＜1，所以22＜ac a 2－c 2＜1，即22＜e 1－e 2＜1，解得e ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫6－22，5－12. 答案 e ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫6－22，5－127．(2013·镇江模拟)已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是________． 解析 由题意知，△ABE 为等腰三角形．若△ABE 是锐角三角形，则只需要∠AEB 为锐角．根据对称性，只要∠AEF <π4即可．直线AB 的方程为x ＝－c ，代入双曲线方程得y 2＝b 4a 2，取点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，则|AF |＝b 2a ，|EF |＝a ＋c ，只要|AF |<|EF |就能使∠AEF <π4，即b 2a <a ＋c ，即b 2<a 2＋ac ，即c 2－ac －2a 2<0，即e 2－e －2<0，即－1<e <2.又e >1，故1<e <2. 答案 (1,2)8．已知A 、B 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)和双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的公共顶点．P 是双曲线上的动点，M 是椭圆上的动点(P 、M 都异于A 、B )，且满足AP→＋BP →＝λ(AM →＋BM →)，其中λ∈R ，设直线AP 、BP 、AM 、BM 的斜率分别记为k 1、k 2、k 3、k 4，k 1＋k 2＝5，则k 3＋k 4＝________.解析 设P (m ，n )、M (s ，t )，则m 2a 2－n 2b 2＝1，m 2－a 2＝a 2n 2b 2，s 2a 2＋t 2b 2＝1，s 2－a 2＝－a 2t 2b2，由AP →＋BP →＝λ(AM →＋BM →)． 得OP →＝λOM →，即n m ＝t s .k 1＋k 2＝n m ＋a ＋n m －a ＝2mn m 2－a 2＝2mnb 2n 2a 2＝5，∴n m ＝2b 25a 2，k 3＋k 4＝t s ＋a ＋t s －a ＝2st s 2－a 2＝－2stb 2a 2t 2＝－2b 2a 2·s t ＝－2b 2a 2·5a 22b 2＝－5. 答案 －59．(2013·苏锡常镇模拟)在直角坐标系xOy 中，中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆C 上的点(22，1)到两焦点的距离之和为4 3. (1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的右焦点F 作直线l 与椭圆C 分别交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴下方，且AF→＝3FB →.求过O ，A ，B 三点的圆的方程．解 (1)由题意，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则2a ＝43，a ＝2 3. 因为点(22，1)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上，所以812＋1b 2＝1，解得b ＝ 3. 所以所求椭圆的方程为x 212＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1＜0，y 2＞0)．点F 的坐标为F (3，0)．则AF →＝3FB →，得⎩⎨⎧3－x 1＝3(x 2－3)，－y 1＝3y 2，即⎩⎨⎧x 1＝－3x 2＋12，y 1＝－3y 2. ①又点A ，B 在椭圆C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧(－3x 2＋12)212＋(－3y 2)23＝1，x 2212＋y 223＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝103，y 2＝23.所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫103，23，代入①，得点A 的坐标为(2，－2)．因为OA →·AB→＝0，所以OA ⊥AB .所以过O ，A ，B 三点的圆就是以OB 为直径的圆． 其方程为x 2＋y 2－103x －23y ＝0.10．(2013·浙江卷)如图，点P (0，－1)是椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点，C 1的长轴是圆C 2：x 2＋y 2＝4的直径．l 1，l 2是过点P 且互相垂直的两条直线，其中l 1交圆C 2于A ，B 两点，l 2交椭圆C 1于另一点D .(1)求椭圆C 1的方程；(2)求△ABD 面积取最大值时直线l 1的方程． 解 (1)由题意得⎩⎨⎧b ＝1，a ＝2.所以椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)． 由题意知直线l 1的斜率存在，不妨设其为k ， 则直线l 1的方程为y ＝kx －1. 又圆C 2：x 2＋y 2＝4， 故点O 到直线l 1的距离 d ＝1k 2＋1， 所以|AB |＝24－d 2＝24k 2＋3k 2＋1. 又l 2⊥l 1，故直线l 2的方程为x ＋ky ＋k ＝0. 由⎩⎨⎧x ＋ky ＋k ＝0，x 2＋4y 2＝4.消去y ，整理得(4＋k 2)x 2＋8kx ＝0， 故x 0＝－8k4＋k 2.所以|PD |＝8k 2＋14＋k 2.设△ABD 的面积为S ，则S ＝12|AB |·|PD |＝84k 2＋34＋k 2，所以S ＝324k 2＋3＋134k 2＋3≤3224k 2＋3·134k 2＋3＝161313，当且仅当k ＝±102时取等号．所以所求直线l 1的方程为y ＝±102x －1.11．(2013·郑州模拟)已知椭圆的焦点坐标为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，过F 2垂直于长轴的直线交椭圆于P ，Q 两点，且|PQ |＝3. (1)求椭圆的方程；(2)过F 2的直线l 与椭圆交于不同的两点M ，N ，则△F 1MN 的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．解 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， 由焦点坐标可得c ＝1.由|PQ |＝3，可得2b 2a ＝3. 又a 2－b 2＝1，得a ＝2，b ＝ 3. 故椭圆方程为x 24＋y 23＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 不妨令y 1>0，y 2<0，设△F 1MN 的内切圆的半径R ，则△F 1MN 的周长为4a ＝8，S △F 1MN ＝12(|MN |＋|F 1M |＋|F 1N |)R ＝4R ， 因此要使△F 1MN 内切圆的面积最大，则R 最大，此时S △F 1MN 也最大． S △F 1MN ＝12|F 1F 2||y 1－y 2|＝y 1－y 2，由题知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为x ＝my ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 24＋y 23＝1，得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0，得y 1＝－3m ＋6m 2＋13m 2＋4，y 2＝－3m －6m 2＋13m 2＋4，则S △F 1MN ＝y 1－y 2＝12m 2＋13m 2＋4，令t ＝m 2＋1，则t ≥1，则S △F 1MN ＝12m 2＋13m 2＋4＝12t 3t 2＋1＝123t ＋1t .令f (t )＝3t ＋1t ，则f ′(t )＝3－1t 2， 当t ≥1时，f ′(t )>0，所以f (t )在[1，＋∞)上单调递增， 有f (t )≥f (1)＝4，S △F 1MN ≤124＝3，当t ＝1，m ＝0时，S △F 1MN ＝3，又S △F 1MN ＝4R ， ∴R max ＝34.这时所求内切圆面积的最大值为916π.故△F 1MN 内切圆面积的最大值为916π，且此时直线l 的方程为x ＝1. 备课札记：。
高考数学第二轮复习的构建与思考
（ ）过 ０ 作 ０Ｍ ∥ ５
ＰＡ 交 ＰＦ 于 Ｍ ．
Ｉ
ｌ
０ ＝ ． 膜米 １４ ４ Ｆ ： ． 礴 Ｍ １４ 、 ４ 米
如图 ７ 度量 出 ０ ， Ｆ
图６
图 ７
（ ） 合 ． 当增 强 知识 的联 接 点 、 目的综 ３综 适 题
合性 和灵 活性 ． 重点 、 考题 型进 一步 强化 解法 对 常
定模 、 化 基 本 思 维 模 式 ， 可 能 地 形 成 思 维 模 强 尽
块 ， 进 思 维 的 集 约 化 ， 而 完 成 能 力 的 “ 体 促 从 立
教．
们 时 的准 确性 和快 捷性 ； 二是 通过 练 习 、 测试 、 评 等活 动 内化 以至熟 讲
化 基本 的解 题 规 律 和 方法 ， 以促 进 思 维 的 敏捷 性
和严谨 性 ；
使 用 时段 ： 二轮 复 习 中后 期 （ 与单 元 基础 训练
对 接 ） 每周 ２ ３ 训 练． ． ～ 次
ＦＰＣ 一 Ｃ ＰＤ ， 以 ＡＰＦ — Ａ ＢＰＤ ， 以 所 所 Ｍ ０Ｆ — Ａ ０Ｍ Ｆ ， ０ｌ 一 故 Ｆ ．
线 Ｙ ＝２ ｘ（ ｐ 户＞ ０ 上有 点 Ｐ的切线 交 ｚ轴 于Ａ ， ） 过 ０作 ＯＭ ∥ Ｐ 交 ＰＦ 于 Ｍ ， Ｏ ＝ Ｍ ． Ａ 则 Ｆ＝ Ｆ ＝ 通 过几何 画 板作 出 图形 ：
综 合 训 练 材 料 及 使 用
规 律 的单一 的起点 高 、 合 性强 的传 统 复 习模式 ， 综 积 极 推 行符 合 学 生 认 知 规律 ， 阶段 、 阶梯 、 有 有 有
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常考问题21 坐标系与参数方程
1．在极坐标系中，已知圆C 的圆心坐标为C ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2，π3，半径R ＝5，求圆C 的极
坐标方程．
解 将圆心C
⎝ ⎛
⎭⎪⎫2，π3化成直角坐标为(1，3)，半径R ＝5，故圆C 的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝5.
再将C 化成极坐标方程，得(ρcos θ－1)2＋(ρsin θ－3)2＝5， 化简得ρ2
－4ρcos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
θ－π3－1＝0.
此即为所求的圆C 的极坐标方程．
2．(2011·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆⎩⎨⎧
x ＝5cos φ，
y ＝3sin φ(φ为参数)
的右焦点，且与直线⎩⎨⎧
x ＝4－2t ，
y ＝3－t
(t 为参数)平行的直线的普通方程．
解 由题意知，椭圆的长半轴长为a ＝5，短半轴长b ＝3，从而c ＝4，所以右焦点为(4,0)，将已知直线的参数方程化为普通方程得x －2y ＋2＝0，故所求的直线的斜率为12，因此所求的方程为y ＝1
2(x －4)，即x －2y －4＝0. 3．(2010·江苏卷)在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，求实数a 的值．
解 将极坐标方程化为直角方程，得圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，直线的方程为3x ＋4y ＋a ＝0.
由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1，即有|3×1＋4×0＋a |
32＋4
2
＝1， 解得a ＝－8或a ＝2， 故a 的值为－8或2.
4．已知曲线C 1：⎩⎨⎧ x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t (t 为参数)，C 2：⎩
⎨⎧
x ＝8cos θ，y ＝3sin θ
(θ为参数)．
(1)化C 1、C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
(2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π
2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：⎩⎨⎧
x ＝3＋2t ，
y ＝－2＋t (t 为参数)距离的最小值．
解 (1)C 1：(x ＋4)2
＋(y －3)2
＝1，C 2：x 264＋y 2
9＝1.
C 1为圆心是(－4,3)，半径是1的圆．
C 2为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆． (2)当t ＝π
2时，P (－4,4)，Q (8cos θ，3sin θ)， 故M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－2＋4cos θ，2＋32sin θ.
C 3为直线x －2y －7＝0，M 到C 3的距离 d ＝5
5|4cos θ－3sin θ－13|.
从而当cos θ＝45，sin θ＝－35时，d 取得最小值85
5
.
5．(2013·新课标全国Ⅰ卷)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝4＋5cos t ，
y ＝5＋5sin t (t 为参数)，
以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.
(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)． 解 (1)∵C 1的参数方程为⎩
⎨⎧
x ＝4＋5cos t ，
y ＝5＋5sin t ，
∴⎩⎨⎧
5cos t ＝x －4，
5sin t ＝y －5，∴(x －4)2＋(y －5)2＝25(cos 2t ＋sin 2t )＝25， 即C 1的直角坐标方程为(x －4)2＋(y －5)2＝25， 把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(x －4)2＋(y －5)2＝25， 化简得：ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
(2)C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y ，
解方程组⎩⎨⎧ (x －4)2＋(y －5)2
＝25，x 2＋y 2＝2y ，得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎨⎧
x ＝0，
y ＝2.
∴C 1与C 2交点的直角坐标为(1,1)，(0,2)． ∴C 1与C 2交点的极坐标为⎝ ⎛
⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，π2.
6．(2013·辽宁卷)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
θ－π4＝2 2.
(1)求C 1与C 2交点的极坐标；
(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝t 3＋a ，y ＝b 2
t 3
＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值．
解 (1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4， 直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.
解⎩⎨⎧ x 2＋(y －2)2
＝4，x ＋y －4＝0，得⎩⎨⎧ x 1＝0，y 1＝4，⎩⎨⎧
x 2＝2，y 2＝2.
所以C 1与C 2交点的极坐标为⎝ ⎛
⎭⎪⎫4，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4，
注：极坐标系下点的表示不唯一．
(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)． 故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0， 由参数方程可得y ＝b 2x －ab
2＋1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧
b 2＝1，－ab
2＋1＝2，解得⎩
⎨⎧
a ＝－1，
b ＝2.
备课札记：。