3.5 公倍数和最小公倍数
公倍数和最小公倍数教材分析
自己的选择。 练习四第 5 题在初步学会求两个数的最小公倍数之后安排，两
个色块分别呈现最小公倍数的两种特殊情况。左边的色块里，每组的 两个数之间有倍数与因数关系，它们的最小公倍数是较大的那个数。 右边的色块里，每组两个数的最小公倍数是它们的乘积。教学时可以 按色块进行，先分别求出同一色块四组数的最小公倍数，再找出相同 的特点，通过交流内化成求最小公倍数。要注意的是，学生有倍数与 因数的知识，能够理解同组两个数之间的倍数、因数关系，以及它们 的最小公倍数。由于新教材不讲互质数，也不教短除法，所以两个互 质数的最小公倍数是它们的乘积。这些特殊情况，只能在具体对象中 感受，不宜深入研究原因，更不要出结语让学生记忆。
《公倍数和最小公倍数》教材分析 例 1 先用长 3 厘米、宽 2 厘米的长方形纸片，分别铺边长 6 厘米和 8 厘米的正方形，发现正好铺满边长 6 厘米的正方形，不能 正好铺满边长 8 厘米的正方形，并从长方形纸片的长、宽和正方形边 长的关系，对铺满和不能铺满的原因作出解释。再想像这张长方形纸 片还能正好铺满哪些正方形，从倍数的角度总结规律，为形成新的数 学概念积累丰富的感性材料。然后揭示公倍数与最小公倍数的含义， 把感性认识提升成理性认识。 教材选择长方形纸片铺正方形的活动教学公倍数，是因为 这一活动能吸引学生发现和提出问题，能引导学生思考。学生用同一 张长方形纸片铺两个不同的正方形，面对出现的两种结果，会提出“为 什么有时正好铺满、有时不能”，“什么时候正好铺满、什么时候不能” 这些有研究价值的问题。他们沿着正方形的边铺长方形纸片，就会想 到正好铺满与不能正好铺满的原因可能和边长有关，于是产生进一步 研究正方形边长和长方形长、宽之间关系的愿望。 分析正方形的边长和长方形长、宽之间的关系，按学生的 认知规律，设计成两个层次： 第一个层次联系铺的过程与结果，从 两个正方形的边长除以长ห้องสมุดไป่ตู้形的长、宽没有余数和有余数的层面上， 体会正好铺满与不能正好铺满的原因。第二个层次根据正好铺满边长 6 厘米的正方形、不能正好铺满边长 8 厘米的正方形的经验，联想还 能正好铺满边长是几厘米的正方形。先找到这些正方形，把它们的边 长从小到大排列，知道这样的正方形有无数多个。再用“既是 2 的倍
倍数、公倍数与最小公倍数
倍数、公倍数与最小公倍数一、基本概念1、倍数：如果a×b=c，那么，c是a、b的倍数。
2、公倍数和最小公倍数：几个数共有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个数，叫做这几个数的最小公倍数。
数a、b的最小倍数是n，记作：[a，b]=n二、求两个数的最小公倍数的方法1、如果两个数是互质数，那么它们的最小公倍数是这两个数的乘积2、如果较大的数是较小的数的倍数，那么较大的数是这两个数的最小公倍数3、两个数既不互质，又不是倍数关系时，可以用短除法、分解质因数法等方法求最小公倍数。
三、最大公因数与最小公倍数的关系a与b的最大公因数与它们的最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积，即：（a，b）×[a，b]= a×b例1：如果a=2×3×7，b=2×3×3×5，则a和b的最大公约数和最小公倍数是多少？例2：一个数能同时被3、4、5、6整除，此数最小是几？例3：一个数被3除余2，被4除余3，被5除余4，被6除余5，这个数最小是多少？练习1：五（2）班同学上体育课，排成三排多两人，排成四排少一人，排成五排多四人，排成六排少一人。
问上体育课的同学最少为多少？练习2、在你前面有一条长长的阶梯，如果你每步跨2阶，最后剩下一阶；如果每步跨三个阶梯最后剩下2阶；如果每步跨5阶，最后剩下4阶；每步跨6阶，最后剩下5阶；每步跨7阶时，最后正好走完。
请计算一下，这段阶梯最少共有多少阶？例4：从运动场的一端到另一端全长108米，从一端起到另一端每隔4米插一面小红旗，现在要改成每隔6米插一面小红旗，问可以不必拔出来的小红旗有多少面？练习3：从甲地到乙地原来每段50米安装一段电线杆，加上两端的两根一共有121根电线杆。
现在改为每隔75米安装一根电线杆，除两端的两根不需移动外，中间外还有多少根不要移动？例5：两个数的最小公倍数是180，它正好是这两个数的最大公因数的6倍，求这两个数。
最小公倍数和最大公约数的符号
最小公倍数和最大公约数的符号最小公倍数和最大公约数的符号在数学中，我们经常会接触到最小公倍数和最大公约数这两个概念，它们在整数的运算中起着非常重要的作用。
最小公倍数（Least Common Multiple，简称LCM）指的是几个整数公有的倍数中最小的一个；而最大公约数（Greatest Common Divisor，简称GCD）则是几个整数共有的约数中最大的一个。
在数学运算中，我们经常会用到它们的符号以及相关运算规则。
1. 最小公倍数的符号最小公倍数通常用L表示，即LCM(a, b)，其中a和b分别表示两个整数。
需要注意的是，在数学运算中，我们可以将最小公倍数理解为两个整数之间的倍数关系，通常可以通过分解质因数的方式来确定两个整数的最小公倍数。
对于任意两个整数a和b，它们的最小公倍数可以通过以下步骤求得：- 将a和b分别分解质因数为a=2^p1 * 3^p2 * 5^p3 * ...，b=2^q1 * 3^q2 * 5^q3 * ...- 取两个数相同质因数的最大指数，再相乘即得最小公倍数。
例如：对于整数12和18，它们的分解质因数分别为12=2^2 * 3^1，18=2^1 * 3^2，则它们的最小公倍数为2^2 * 3^2=36。
2. 最大公约数的符号最大公约数通常用G表示，即GCD(a, b)，其中a和b分别表示两个整数。
最大公约数在数学运算中也有着非常重要的作用，在简化分数、合并分式等运算中都会用到最大公约数。
对于任意两个整数a和b，它们的最大公约数可以通过以下步骤求得：- 将a和b分别分解质因数为a=2^p1 * 3^p2 * 5^p3 * ...，b=2^q1 * 3^q2 * 5^q3 * ...- 取两个数相同质因数的最小指数，再相乘即得最大公约数。
例如：对于整数12和18，它们的分解质因数分别为12=2^2 * 3^1，18=2^1 * 3^2，则它们的最大公约数为2^1 * 3^1=6。
整理求最大公因数和最小公倍数的方法
整理求最大公因数和最小公倍数的方法最大公因数和最小公倍数是数学中常见的两个概念。
它们分别表示给定一组数字中能够整除全部数字的最大公因数和能够被全部数字整除的最小公倍数。
求最大公因数和最小公倍数的方法有多种，下面将对常见的几种方法进行整理。
一、质因数分解法：1.对于给定的数，先将其进行质因数分解，即将其写成质数的乘积的形式。
2.找出所有数的质因数分解结果中的最小指数，这些质因数的乘积即为最大公因数。
3.将所有数的质因数分解结果中的最大指数和最小指数分别相乘，得到的结果即为最小公倍数。
例如，对于数15和25：15=3×525=5×5最大公因数是5，最小公倍数是3×5×5=75二、辗转相除法：1.对于给定的两个数a和b，首先比较它们的大小。
2.如果a大于b，则将a除以b得到余数c，然后将b赋值为原先的a，将c赋值为原先的b，然后重复步骤23.如果b等于0，则a即为最大公因数。
4.最小公倍数为a和b的乘积除以最大公因数。
例如，对于数15和25：15÷25=0余1525÷15=1余1015÷10=1余510÷5=2余0最大公因数是5，最小公倍数是15×25÷5=75三、连续整数倍法：1.对于给定的两个数a和b，先找到其中较大的数，然后将其不断增加直到找到一个数能够同时整除a和b。
这个数即为最小公倍数。
2.最大公因数则是能够同时整除a和b的最小的正整数。
例如15的倍数为15、30、45、60、75、90、105、120…25的倍数为25、50、75、100、125、150、175、200…因此，最小公倍数是75，最大公因数是5除了上述三种常用的方法，还有其他一些求最大公因数和最小公倍数的方法，例如分解质因数法、公式法等。
总之，求最大公因数和最小公倍数的方法有多种，每种方法都有其适用的场景。
在实际问题中，选择合适的方法能够更高效地求解最大公因数和最小公倍数。
小学最大公约数与最小公倍数
小学最大公约数与最小公倍数在小学数学中，最大公约数和最小公倍数是基础但重要的概念。
它们在解决数学问题、简化分数、约分等方面都起到了重要作用。
本文将深入讨论小学阶段学生需要了解和应用的最大公约数和最小公倍数的概念、求法以及实际应用。
一、最大公约数（Greatest Common Divisor）最大公约数指的是两个或多个数中能够同时整除这些数的最大的正整数。
求解最大公约数常用的方法有因式分解法、列举法和辗转相除法。
1. 因式分解法使用因式分解法求解最大公约数时，我们将每个数进行因式分解，然后找出它们各自的公因子，最后再将这些公因子相乘即可得到最大公约数。
例如，对于数26和39，我们可以进行因式分解得到：26 = 2 × 1339 = 3 × 13由此可见，26和39的最大公约数为13。
2. 列举法列举法是一种直观简单的方法，它通过列举数的所有因数，找出两个数的公因数，再从中选取最大的那个数作为最大公约数。
以12和16为例，我们列举出它们的因数如下：12的因数有：1、2、3、4、6、1216的因数有：1、2、4、8、16可以看到，12和16的公因数有1、2、4，则最大公约数为4。
3. 辗转相除法辗转相除法，也叫欧几里得算法，通过一系列的除法运算，最终将两个数的余数为零的一步的除数作为最大公约数。
以56和32为例，我们可以使用辗转相除法求解最大公约数：56 ÷ 32 = 1 (24)32 ÷ 24 = 1 (8)24 ÷ 8 = 3此时余数为零，所以最大公约数为8。
二、最小公倍数（Least Common Multiple）最小公倍数是指两个或多个数中能够同时被这些数整除的最小的正整数。
求解最小公倍数常用的方法有因式分解法、列举法和倍数相乘法。
1. 因式分解法使用因式分解法求解最小公倍数时，我们将每个数进行因式分解，然后找出它们各自的所有因子，最后再将这些因子相乘即可得到最小公倍数。
最大公约数和最小公倍数的计算方法
最大公约数和最小公倍数的计算方法在数学中，最大公约数和最小公倍数是两个常用的概念。
最大公约数是指两个或多个整数共有约数中的最大值，而最小公倍数则是指两个或多个整数公有倍数中的最小值。
计算最大公约数和最小公倍数是解决数学问题和简化计算的重要方法。
本文将介绍几种常见的计算方法。
一、辗转相除法辗转相除法，也被称为欧几里德算法，是一种求解两个数的最大公约数的有效方法。
该方法基于以下原理：若两个整数a和b (a > b)，将a除以b得到商q和余数r，若r等于0，则b即为最大公约数；若r不等于0，则将b当作新的a，将r当作新的b，继续进行相同的操作，直到余数为0。
示例如下：假设我们要求解26和15的最大公约数。
1. 26 ÷ 15 = 1 余 112. 15 ÷ 11 = 1 余 43. 11 ÷ 4 = 2 余 34. 4 ÷ 3 = 1 余 15. 3 ÷ 1 = 3 余 0因此，26和15的最大公约数为1。
同时，最小公倍数可以通过最大公约数求解。
根据最大公约数的性质，设两个整数a和b，其最大公约数为g，最小公倍数为l，则有以下公式：l = (a × b) / g因此，使用辗转相除法求得最大公约数后，即可计算出最小公倍数。
二、质因数分解法质因数分解法是通过将整数分解为质数的乘积形式，求解最大公约数和最小公倍数。
具体步骤如下：1. 将待求解的两个整数分别进行质因数分解。
2. 将两个整数的质因数列出，并按照次数较高的相同质因数写成乘积的形式。
3. 最大公约数为两个整数所有相同质因数的最小次数相乘的乘积。
4. 最小公倍数为两个整数所有质因数的最大次数相乘的乘积。
例如，我们求解36和48的最大公约数和最小公倍数。
1. 36的质因数分解为2^2 × 3^2。
2. 48的质因数分解为2^4 × 3^1。
3. 最大公约数为2^2 × 3^1 = 12。
苏教版五年级数学下册 第3单元 全单元教学反思
3.1 因数与倍数1. 本节内容,学生初次接触。
在导入中我创设有效的数学学习情境,数形结合,变抽象为直观。
让学生把12个小正方形摆成不同的长方形,并用不同的乘法算式来表示自己脑中所想,借助乘法算式引出因数和倍数的意义。
由于方法的多样性,为不同思维的展现提供了空间,激活学生的形象思维,而透过数学潜在的“形”与“数”的关系,为下面研究“因数与倍数”概念,由形象思维转入抽象思维打下了良好基础,有效地实现了原有知识与新学知识之间的链接。
在学生已有的知识基础上,直观感知,让学生自主体验数与形的结合,进而形成因数与倍数的意义。
使学生初步建立了“因数与倍数”的概念。
这样,学生已有的数学知识引出了新知识,减缓难度,效果较好。
2. 由于个人经验和思维的差异性,出现了不同的答案,但这些不同的答案却成为探索新知的资源,在比较不同的答案中归纳出求一个数的因数的方法。
既留足了自主探究的空间,又在方法上有所引导,避免了学生的盲目猜测。
通过展示、比较不同的答案,发现了按顺序一对一对找的好方法,突出了有序思考的重要性,有效地突破了教学的难点。
3.2 2、5、3的倍数的特征1. 数学课程标准指出,数学教学活动应该以学生的认知发展水平和已有的知识经验为基础,引导学生独立思考,主动探索,合作交流,使学生掌握基本的数学知识技能,体会和运用数学思想方法,获得基本的数学活动经验。
依据课程标准,我在教学过程中更加注重学生获得知识的方法。
2. 本节学习过程中充满了观察、猜想、推理验证等探索性与挑战性活动。
学生的种种发现只是猜测,结论还需要进一步的验证。
我不能满足于学生能够得到结论就够了,而应该抱着科学严谨的态度,引导学生认识到这个结论不仅仅适用于1~100这个小范围。
是不是在所有不等于0的自然数中都适用呢?还需要研究。
在老师的引导下,学生开始认识到还要继续拓展范围,研究大于100的自然数中所有5的倍数是不是也是个位上的数字是5或0。
在这一过程中,学生感受到了科学严谨的态度,知道了在进行一项数目巨大的研究过程中,可以从小范围入手,得到一定的猜想,然后逐渐扩大范围,最后得出科学的结论。
五年级数学下册3.5公倍数和最小公倍数.ppt
系，最小公倍数是较大数。 • 因为45是15的倍数 • 所以【15，45】=45。
例题讲解
• 题目4：求9、12和24的最小公倍数 • 想：求3个数的最小公倍数，用短除法
求最小公倍数的一般方法
• 图画法：用不同的图例先在图中标出各自的 倍数，再找出其中的公倍数。
• 短除法：先用这两个数除以它们的公因数， 一直除到所得的两个商只有公因数1（互质） 为止。把所有的除数和最后的两个商连乘起 来。
• 直接判断法：利用两个数的倍数关系和互质 数关系直接判断。
• 分解质因数法：将几个数分别分解质因数， 找出它们的公因数和独因数连乘求积。
3 路: 每隔 6 分钟发一次车 5 路: 每隔 8 分钟发一次车
3 路和 5 路的起 它们刚才同 点站都在这儿。 时发的车。
刘翰
李瑶
下午放学了，两人分别要搭3路和5路公共汽车回
家。这两路公共汽车同时发车以后，至少过多少
分钟两路车才第二次同时出发?
求最小公倍数的一般方法
• 列举法：将两个数的倍数列举出来，找出其 中的公倍数
做它们的公倍数。其中, 6 是最小的公倍
数，叫做它们的最小公倍数。
能不能找到两个数的
8是最2和大公3的倍数公？倍
数吗？为什么？
不能找到两个数的最大公 倍数，由于一个数的倍数 有无限多个，所以两个数 的公倍数也可以无限地找 下去，有无限多个。因为 不能找到两个数的最大的 倍数，所以也不能找到两
个数的最大公倍数．
…… 6的倍数： 6、12、18、24、30、36、42、48、54
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8的倍数：8，16，24，32，40，48，54 ……
6和8的公倍数：24，48，……
答：这个班的学生可能有24人，也可能有48人。
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分数加减法（一）公倍数和最小公倍数
课堂小结
这节课你们都学会了哪些知识？
几个数公有的倍数,叫作这几个数的公倍数。 其中最小的一个,叫作这几个数的最小公倍数。
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分数加减法（一）公倍数和最小公倍数
3. 咱们班同学每8人分 一组，没有剩余。
每6人分一组，也没 有剩余。
这个班的学生可能有多少人？
这个班的学生人数 是6和8的公倍数。
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分数加减法（一）公倍数和最小公倍数
3.
咱们班同学每8人分 一组，没有剩余。
每6人分一组，也没 有剩余。
这个班的学生可能有多少人？
6的倍数：6，12，18，24，30，36，42，48 ……
用长3分米、宽2分米的 长方形来拼摆成大正方形, 需要多少个这样的长方形。
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分数加减法（一）公倍数和最小公倍数
用6个小正方形，可以摆出边长是6厘米的大正方形。
← 3cm → ← 3cm →
←2cm→←2cm→←2cm→
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分数加减法（一）公倍数和最小公倍数
用24个小正方形，可以摆出边长是12厘米的大正方形。
← 3cm → ← 3cm → ← 3cm → ← 3cm →
←2cm→←2cm→←2cm→←2cm→←2cm→←2cm→
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← 3cm → ← 3cm → ← 3cm → ← 3cm → ← 3cm → ← 3cm →
分数加减法（一）公倍数和最小公倍数
用54个小正方形，可以 摆出边长是18厘米的大 正方形。
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分数加减法（一）公倍数和最小公倍数
还有哪些数既是2的倍数，又是3的倍数呢？
2的倍数
3的倍数
2， 4，6，8，10， 12，14，16， 18，
20，22，24 ……
3， 6， 9，12， 15， 18， 21，
24 ……
2的倍数 3的倍数
2，4，8，10， 6，12， 3，9，
14，16，18,
表中4和6的公倍数有 12、24、36、48 4和6的最小公倍数是 12 。
几个数公有的倍数,叫 作这几个数的公倍数。 其中最小的一个,叫作 这几个数的最小公倍数。 。
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分数加减法（一）公倍数和最小公倍数
2.小强每步走2个桩，爸爸每步走3个桩。你能在父子两 人都踩到的木桩上涂上红色吗？
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分数加减法（一）公倍数和最小公倍数
20, 22 ……
1…8，…24
15，21
……
2和3公有的倍数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
6、12、18 ……既是2 的倍数，也是3的倍数，它 们是2和3的公倍数。其中6 是最小的，是2和3的最小 公倍数。
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分数加减法（一）公倍数和最小公倍数
几个数公有的倍数,叫作这几个数的 公倍数。其中最小的一个,叫作这几 个数的最小公倍数。
分数青加岛减版法（数一学）公六倍年数制和最五小年公级倍数下册
3 分数加减法（一）
公倍数和最小公倍数
情境导入
探究新知
课堂练习
课堂小结
课后作业
分数加减法（一）公倍数和最小公倍数
情境导入
用这种规格的剪纸 作品，布置成大小 不同的正方形展板。
从图中，你了解到 哪些数学信息？
剪纸作品长3分米 宽2分米
布置成正方形展板
返回
分数加减法（一）公倍数和最小公倍数
情境导入
用这种规格的剪纸 作品，布置成大小 不同的正方形展板。
剪纸作品长3分米 宽2分米
布置成正方形展板
根据这些信息， 你能提出什么
问题？
正方形展板的边长可以是多 少分米？
最短可以是多少分米？
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分数加减法（一）公倍数和最小公倍数
探究新知
正方形展板的边长可以是多少分米？最短可以是多少分米？
课后作业 课本： 第43页第3题
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伴你成长
←2cm→←2cm→←2cm→←2cm→←2cm→←2cm→←2cm→←2cm→←2cm→
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分数加减法（一）公倍数和最小公倍数
想一想：摆成的正方形的边长与长方形的长、宽有什么关系？
6既是2的倍 数，又是3 的倍数。
12既是2的倍 数，又是3的 倍数。
18既是2的 倍数，又是 3的倍数。
这些数既是2的倍数， 又是3的倍数。
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分数加减法（一）公倍数和最小公倍数
课堂练习
1.用△圈出4的倍数，用○圈出6的倍数。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50