最新北京市中考数学二模分类26题代数综合
2020北京市中考数学二模分类26题代数综合
2018北京市中考数学二模分类26题代数综合题2018东城二模26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()230y ax bx a =+-≠经过点()1,0A -和点()45B ，．（1）求该抛物线的表达式；（2）求直线AB 关于x 轴的对称直线的表达式；（3）点P 是x 轴上的动点，过点P 作垂直于x 轴的直线l ，直线l 与该抛物线交于点M ，与直线AB 交于点N ．当PM PN ＜时，求点P 的横坐标P x 的取值范围．2018西城二模26. 抛物线M ：241y ax ax a =-+- (a ≠0)与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），抛物线的顶点为D .（1）抛物线M 的对称轴是直线____________； （2）当AB =2时，求抛物线M 的函数表达式；（3）在（2）的条件下，直线l ：y kx b =+(k ≠0)经过抛物线的顶点D ，直线y n =与抛物线M 有两个公共点，它们的横坐标分别记为1x ，2x ，直线y n =与直线l 的交点的横坐标记为3x （30x >），若当2-≤n ≤1-时，总有13320x x x x ->->，请结合函数的图象，直接写出k 的取值范围. 2018海淀二模26．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(3,1)A -，(1,1)B -，(,)C m n ，其中1n >，以点,,A B C 为顶点的平行四边形有三个，记第四个顶点分别为123,,D D D ，如图所示.（1）若1,3m n =-=，则点123,,D D D 的坐标分别是（ ），（ ），（ ）；（2）是否存在点C ，使得点123,,,,A B D D D 在同一条抛物线上？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，说明理由.2018朝阳二模26.已知二次函数)0(222≠--=a ax ax y ． （1）该二次函数图象的对称轴是直线 ；（2）若该二次函数的图象开口向上，当-1≤x ≤5时，函数图象的最高点为M ，最低点为N ，点M 的纵坐标为211，求点M 和点N 的坐标；（3）对于该二次函数图象上的两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），设t ≤ x 1 ≤ t +1，当x 2≥3时，均有y 1 ≥ y 2，请结合图象，直接写出t 的取值范围． 2018丰台二模26．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数22y x hx h =-+的图象的顶点为点D ．（1）当1h =-时，求点D 的坐标； （2）当1x -≤≤≤1≤1时，求函数的最小值m ．（用含h 的代数式表示m ）2018石景山二26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()240y ax x c a =++≠经过点()34,A -和()02,B ．（1）求抛物线的表达式和顶点坐标；（2）将抛物线在A 、B 之间的部分记为图象M （含A 、B 两点）．将图象M 沿直线3x =翻折，得到图象N ．若过点()94,C 的直线y kx b =+与图象M 、图象N 都相交，且只有两个交点，求b 的取值范围． 2018门头沟二模26.在平面直角坐标系xOy 中，有一抛物线其表达式为222y x mx m =-+. （1）当该抛物线过原点时，求m 的值；（2）坐标系内有一矩形OABC ,其中(4,0)A 、(4,2)B .①直接写出C 点坐标；②如果抛物线222y x mx m =-+与该矩形有2个交点，求m 的取值范围.2018顺义二模26．在平面直角坐标系中，二次函数y =． （1）求二次函数的表达式；（2）若一次函数(0)y kx b k =+≠x 轴上同一点，探究实数k ，b 满足的关系式；（3）将二次函数221y x ax a =+++的图象向右平移2个单位，若点P （x 0，m ）和Q （2，n ）在平移后的图象上，且m >n ，结合图象求x 0的取值范围．2018房山二模26. 在平面直角坐标系x O y 中，二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象经过A （0，4），B （2，0），C （－2，0）三点. （1）求二次函数的表达式；（2）在x 轴上有一点D （－4，0），将二次函数的图象沿射线DA 方向平移，使图象再次经过点B .①求平移后图象顶点E 的坐标；②直接写出此二次函数的图象在A ，B 两点之间（含A ，B 两点）的曲线部分在平移过程中所扫过的面积. 2018怀柔二模26.在平面直角坐标系xOy 中，二次函数C 1：()332--+=x m mx y （m ＞0）的图象与x轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交x于点C .(1)求点A 和点C 的坐标； (2)当AB =4时，①求二次函数C 1的表达式；②在抛物线的对称轴上是否存在点D ，使△DAC 的周长最小，若存在，求出点D 的坐标，若不存在，请说明理由；(3)将(2)中抛物线C 1向上平移n 个单位，得到抛物线C 2，若当0≤x ≤25时，抛物线C 2与x 轴只有一个公共点，结合函数图象，求出n 的取值范围. 2018平谷二模26．在平面直角坐标系中，点D 是抛物线223y ax ax a =--()0a >的顶点，抛物线与x轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧）． （1）求点A ，B 的坐标；（2）若M 为对称轴与x 轴交点，且DM =2AM ，求抛物线表达式； （3）当30°<∠ADM <45°时，求a 的取值范围． 2018昌平二模26.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223(0)y ax ax a a =--≠，与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)． （1）求点A 和点B 的坐标；（2）若点P （m ，n ）是抛物线上的一点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为点D ．①在0a >的条件下，当22m -≤≤时，n 的取值范围是45n -≤≤，求抛物线的表达式； ②若D 点坐标（4，0），当PD AD >时，求a 的取值范围.。
13.代数综合：2020年北京市各区初三数学二模试题分类整理(教师版)
202006初三数学二模试题整理：代数综合（教师版）一、直线（或线段）与抛物线的交点问题:（一）定直线+动抛物线1.（2020 密云二模26）（1）定线段（2）动抛物线：①不变：对称轴、顶点;②变：开口大小方向在平面直角坐标系Xoy中，抛物线G：y=×2+bx+c与X轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.点B的坐标为（3, 0）,将直线y=kx沿y轴向上平移3个单位长度后，恰好经过B、C两点.（1）求k的值和点C的坐标；（2）求抛物线Cl的表达式及顶点D的坐标；（3）己知点E是点D关于原点的对称点，若抛物线C2：y=a×2-2 （a 0）与线段4E恰有一个公共点，结合函数的图象，求α的取值范围.26. （I）解：・・・直线y=kx+3经过点B （3, 0）・・・3広+3=0 k=~∖1分∙∖y=-χ+3与尹轴的交点，即为点C （0, 3）.. 2分(2)解：・・・抛物线y=×2+bx+c经过点B (3, 0)和点C (0, 3).・・y=×2+bx+3/. 9+3⅛+3=0 方=-4・・・抛物线C I的函数表达式为y=χ2-4x+3∙∙y=（x-2） 2-1・・・顶点D的坐标为（2, -1）（3）解：・・・点E是点D关于原点的对称点.∙.点E的坐标为（-2, 1） 3当y=a×2^2经过点E（-2, 1）时，a= 4当y=a×2-2经过点A （1, 0）时，a=2・・・。
的取值范围是3SY<242.（2020 顺义二模26）（1）定线段（2）动抛物线：①不变：过定点②变：开口、对称轴在平面直角坐标系X©中，已知抛物线y二mx2-3（m -l）x+ 2m-l（m ≠ 0）.（1）当加=3时，求抛物线的顶点坐标;（2）已知点/（1, 2）.试说明抛物线总经过点川（3）已知点B（0，2）,将点B向右平移3个单位长度，得到点C，若抛物线与线段BC 只有一个公共点，求加的取值范围.26.解：（1）把〃尸3 代入y = mx2—3（m-l）x+2m-1 中，得y=3×2-6x+5=3（x-1）2+ 2,・・・抛物线的顶点坐标是（1, 2）. ................. 2分（2）当x=l 时，y=m — 3（m —1）+2m —1 = m —3m + 3+2m-1 = 2・•・・点/ （b 2）,・・・抛物线总经过点/・ ............................... 3分（3）•・・点、B（0, 2）,由平移得C （3, 2）.①当抛物线的顶点是点宜（1, 2）时，抛物线与线段BC只有一个公共点.由（1）知，止岀寸，m=3 ∙ ......................... 4分②当抛物线过点B （0, 2）时，将点B （0, 2）代入抛物线表达式，得2/7/-1=2.∙m=—>0-1此时抛物线开口向上（如图1）・・・・当0V7"V时，抛物线与线段BC只有一个公共点. ..... 5分③当抛物线过点C （3, 2）时，将点C（3, 2）代入抛物线表达式，得9nr9（ι∏-1 ）+2〃厂1 =2 ∙∙Φ∙7∏=-3<O∙此时抛物线开口向下（如图2）・・・・当-3SVO时，抛物线与线段BC只有一个公共点.综上，的取值范围是Jn=3或0<m<£或^3<7∕Z<O.3.（2020 朝阳二模26）（1）定线段（2）动抛物线：①不变：与y轴交点②变：开口、对称轴，顶点坐标在隐藏函数图象上动在平面直角坐标系XoV中，抛物线y =aχ2 + a2χ+c与歹轴交于点（o,2）・（1）求C的值；（2）当α二2时，求抛物线顶点的坐标；（3）己知点/（-2,0），3（1,0）,若抛物线y=a×2 + a2χ+c与线段4S有两个公共点，结合函数图象，求d的取值范围.26.解：（1）・・・抛物线y = aχ2÷a2χ+c与歹轴交于点（o,2）,.∙.c=2∙（2）当α=2时，抛物线为y=2χ2+4x+2,・・・顶点坐标为（-1,0）・（3）当a>0时，①当α=2时，如图1,抛物线与线段只有一个公共点.结合函数图象可得2<a≤1 + √2・当a<0时，抛物线与线段只有一个或没有公共点.综上所述，α的取值范围是2<a≤1 + √2・（二）含同参的动线段+动抛物线4.（2020 房山二模26）（1）动线段：一个端点定，另一个端点在y轴动（2）动抛物线：①不变：对称轴，与X轴交点②变：开口在平而直角坐标系中，己知抛物线y =a×2+2ax+c与X轴交于点A、B,且AB=4抛物线与y轴交于点C ,将点C向上移动1个单位得到点D.（1）求抛物线对称轴；（2）求点D纵坐标（用含有a的代数式表示）；（3）已知点P（-4,4），若抛物线与线段PD只有一个交点，求a的取值范围.2a26. （1）对称轴一=-1 .......................... 1分2a（2） VAB=4A（・3, 0）, B（1, 0）.......................... 2 分把（1, 0）代入表达式：a + 2a + c = 0^#： C = -3a ........ 3 分・∙・ C（0, -3a）综上所述，当a≥^或a = -1时，抛物线与线段PD只有一个交点.5. (2020 燕山二模 26)(1) 动线段：一个端点定(2) 动抛物线：①不变：对称轴，与X 轴交点②变：开口在平面直角坐标系XOy 中，抛枚线y=a×2-4ax(a^0)与X 轴交于点/, (A 在B 的左侧).(1)求点/, B 的坐标及抛物线的对称轴；⑵ 已知点P(2, 2), 0(2+2α, 5d),若抛物线与线段P0有公共点，请结合函数图象，求a的取值范围.26.解：(1)V y = a×2-4ax = ax(x-4),・•・抛物线与X 轴交于点/(0, 0), 5(4，0).(2) y=a×2-4ax = a(×2-4x) =a(x-2)2-4a,抛物线的顶点坐标为(2, —4d)・ 令y=5a,得ax2—4aχ = 5a,a(×-5)(x÷1) = 0,解得X = -1,或X = 5,・•・当y =5a 时，抛物线上两点M(-l, 5α), N(5, 5d)・• y 1 M l I①当a>0⅛⅛,抛物线开口向上，顶点普£抛物线y = a χ2 - 4a×的对称轴为直线:-Aa∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 3QlM* X 轴下方，且0(2+2α,5α)l ⅛ ll 点P 的右侧, Qy4如图1,当点0与点N重合或位于点力右侧时，抛物线与线段P0有公共点, 此时2+2住5，解得a n —.2②当a V 0时，抛牧线开口向下，顶点位于X车扣二方，点0(2+2α, α)位于点P的左侧，(i)如图2,当顶点与点卩重合或位于点P下方时，抛物线与线段P0有公共点，此时一4处2,1解得a、一—.2(ii)如图3,当顶点位于点卩上方，点0与点M重合或位于点M左侧时，抛物线与线段P0有公共点，此时2+2a<-l f解得a ≤ - .23 1 3综上，d的取值范围是a≥或—㊁WaV0,或a≤--. .................. 6分6.（2020 丰台二模26）（1）动线段：一两个端点都动（2）动抛物线：①不变：对称轴，与X轴交点②变：开口在平面直角坐标系XOV中，抛物线y = aχ2- 4ax + 3a与y轴交于点A.（1）求点/的坐标（用含α的式子表示）；（2）求抛物线与X轴的交点坐标；（3）己知点P（α, 0）, 0（0, a-2）,如果抛物线与线段P0恰有一个公共点，结合函数图彖，求d的取值范围.26•解：（1）令X=0,则y=3a.・•・点/的坐标为（0, 3α）.................................. 1分（2）令严0,贝IJ aχ2— 4αx+3α=0. 2分Tα≠O,・：解得X = 1/X = 3.1 2・：抛物线与X轴的交点坐标分别为（1，0）, （3, 0）. ...... 4分（3）①当QVO时，可知3αNα - 2. 解得a>-l.∙*∙ a的取值范围是-l<6f<0 .②当a>0时，由①知QAl时，点Q始终在点/的下方，所以抛物线与线段P0恰有一个公共点时，只要1乞<3即可.综上所述，Q的取值范围是-l<a<0或1应V 3 ......................7分二、定抛物线（部分图彖）与动抛物线的交点问题:7.（2020 海淀二模26）在平面直角坐标系XOy中，已知二次函数尸〃X2+2MX+3的图象与X轴交于点A（-3z0）, 与歹轴交于点将其图象在点/, B之间的部分（含/,B两点）记为F.（1）求点B的坐标及该函数的表达式；（2）若二次函数.尸χ2+2x+α的图象与F只有一个公共点, 结合函数图象，求α的取值范围.26.解：（1） Ty=加X2+2MX+3的图象与与y轴交于点・•・点B的坐标为（0, 3）.T尸加χ2+27".r+3的图彖与X轴交于点A（-3z0）, 将A（-3l0）代入J尸〃rτ2+27"x+3 可得9m-6m + 3=0.・；Jn= -1.・：该函数的表达式为y=-x2 -2x+3.（2）T将二次函数戸"χ2+2%x+3的图象在点/, B之间的部分（含/,B两点）记为F，・・・尸的端点为/』，并经过抛物线.尸加χ2+2Mx+3的顶点C （其中C点坐标为（-1,4））•・・・可画F如图1所示.T二次函数尸χ2+2x+α的图象的对称轴为x=・l,且与F只有一个公共点，•I可分别把&5 C的坐标代入解析式.尸χ2+2x+α中.・•・可得三个α值分别为-3, 3, 5.可画示意图如图2所示.・・・结合函数图彖可知：二次函数尸χ2+2x+α的图象与F只有一个公共点时，a的取值范围是∙3Wαv3或d=5.三、整点问题8.（2020平谷二模26）含同参的动线段+动抛物线。
2020北京中考数学二模分类汇编26题代数综合
2020年北京中考 二模26代数综合
【2020 西城二模】
2020年北京中考 二模26代数综合
【2020 海淀二模】
2020年北京中考 二模26代数综合
【2020 朝阳二模】
2020年北京中考 二模26代数综合
26．在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y = ax2 + a2x + c 与 y 轴交于点（0，2）． （1）求 c 的值； （2）当 a=2 时，求抛物线顶点的坐标； （3）已知点 A（ 2，0），B（1，0），若抛物线 y = ax2 + a2x + c 与线段 AB 有两个公共点， 结合函数图象，求 a 的取值范围．
1234x
y 4 3 2 1
–4 –3 –2 –1 O –1 –2 –3 –4
1234x
【2020 平谷二模】
2020年北京中考 二模26代数综合
26．在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=mx2-2mx-1（m>0）与 x 轴的交点为 A，B，与 y 轴交点 C.
（1）求抛物线的对称轴和点 C 坐标； （2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．抛物线在点 A，B 之间的部分与线段 AB 所围成 的区域为图形 W（不含边界）．
【2020 燕山二模】
2020年北京中考 二模26代数综合
26．在平面直角坐标系 中，抛物线
与 x 轴交于点 A，B(A 在 B 的左侧)．
(1) 求点 A，B 的坐标及抛物线的对称轴；
(2) 已知点 P(2，2)，Q(2＋2a，5a)，若抛物线与线段 PQ 有公共点，请结合函数图象，求 a 的取值范围．
【2020 石景山二模】
2020年北京中考 二模26代数综合
15.代数综合：202405各区二模试题分类整理(教师版)
202405初三数学二模试题整理：代数综合（教师版）一、增减性（函数值大小关系）→对称轴（参数取值范围）1.（2024年西城二模26）2.（2024年海淀二模26）26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++（0a >）的对称轴为x t =，点1()2A t m ，，(2)B t n ，，00()C x y ，在抛物线上．（1）当2t =时，直接写出m 与n 的大小关系；（2）若对于067x <<，都有0m y n <<，求t 的取值范围．26.解：（1）＜；（2）∵0a >，抛物线的对称轴为x t =，∴当x t ≥时，y 随x 的增大而增大；当x t ≤时，y 随x 的增大而减小.①当7t ≥时，122t t t <<.点(2)B t n ，关于抛物线对称轴x t =的对称点为'(0)B n ，，此时点,',A B C 均在抛物线对称轴左侧.∵对于067x <<，都有0m y n <<，∴06,17.2t ≤⎧⎪⎨≥⎪⎩解得14t ≥.②当67t <<时，取0x t =，此时0y 为最小值，与0m y <矛盾，不符合题意.③当06t <≤时，122t t t <<.点1()2A t m ，关于抛物线对称轴x t =的对称点为3'()2A t m ，，此时点',,ABC 均在抛物线对称轴右侧.∵对于067x <<，都有0m y n <<，∴36,227.t t ⎧≤⎪⎨⎪≥⎩解得742t ≤≤.④当0t =时，122t t t ==，m n =，不符合题意.⑤当0t <时，122t t t <<.点(2)B t n ，关于抛物线对称轴x t =的对称点为'(0)B n ，，此时点',B C 在抛物线对称轴右侧.∵'06B x x <<，∴0n y <，不符合题意.综上所述，t 的取值范围是742t ≤≤或14t ≥.3.（2024年顺义二模26）26．解：（1）∵当m =2时，2m =4，3-m =1,12y y =．∴抛物线2y x bx c =++经过（4，y 1）和（1，y 2），∴抛物线对称轴为5=-22b x =．……………………………………………1分∴-5b =…………………………………………………………………2分（2）依题意，点1(2,)m y ，2(3,)m y -在抛物线2y x bx c =++上．∵1m >∴32m m -<.∵抛物线开口向上，对称轴为直线2bx =-，∴当2b x ≤-时，y 随x 的增大而减小；当2bx ≥-时，y 随x 的增大而增大，当32bm -≤-时，都有12y y >.若12y y =时，3222b m m-+-=.当3322b m m +-<-<时，都有12y y >.∴322b m +-<时，都有12y y >.∴3b m >--，∵1m >，∴34m --<-∴当4b ≥-时，对于1m >都有12y y >.当3222m bm +≤-≤时，12y y <，不合题意，舍去.当22bm ->时，12y y <，不合题意，舍去.综上所述，b 的取值范围是4b ≥-.……………………………………………6分二、对称轴（动对称轴）→增减性（函数值大小比较）→其他参数取值范围（关系）4.（2024年东城二模26）26.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2224y ax amx am =-+-（0a ＞）．（1）求该抛物线的顶点坐标（用含m 的式子表示）；（2）若对于该抛物线上的三个点1(2,)A m y -，2(2,)B m y ，3(22,)C m y -，总有321y y y >>，求实数m 的取值范围．26.解：（1）∵()222244y ax amx am a x m =-+-=--，∴该抛物线的顶点坐标为（m ,-4）.------------------------------------------------2分(2)由（1）可知，抛物线的对称轴为直线x m =.∵0a ＞，∴抛物线的开口向上.∴当x m ＜时，y 随着x 的增大而减小，当x m ≥时，y 随着x 的增大而增大，-------3分设12x m =-，22x m =，322x m =-,1当m ≤-2时，321x x x m ＜≤＜.321y y y ∴＞≥,不符合题意，舍去；2当m -2＜≤0时，312x x x m ≤＜＜.312y y y ∴≥＞,不符合题意，舍去；3当0m ＜＜2时，132x x m x ＜＜＜.设点2(2,)B m y 关于对称轴x m =的对称点为22(,)B x y '，则20x '=.（i ）当0m ＜≤1时，132x x x m '＜≤＜.132y y y ∴＞≥,不符合题意，舍去；（ii ）当m 1＜＜2时，123x x x m '＜＜＜.123y y y ∴＞＞,符合题意；当m ≥2时，132x m x x ＜≤＜.设点1(2,)A m y -关于对称轴x m =的对称点为11(,)A x y '，则12x m '=+，22x m =.∴'2122x m x m ==+≥∴21y y ≥,不符合题意，舍去.综上所述，实数m 的取值范围是1 2.m <<---------------------------------------6分5.（2024年石景山二模26）26．在平面直角坐标系xOy 中，点24M m N n (，)，(，)在抛物线22y x bx c =-+上．（1）若m n =，求b 的值；（2）若点0T x p (，)在抛物线上，对于001x <<，都有m p n <<，求b 的取值范围．26．解：（1）由题意，抛物线的对称轴为22bx b -=-=．∵点24M m N n (，)，(，)在抛物线22y x bx c =-+上，且m n =，∴42b b -=-．∴3b =．…………………………2分（2）∵点24M m N n (，)，(，)，0T x p (，)在抛物线22y x bx c =-+上，∴44m b c =-+，168n b c =-+，2002p x bx c =-+．∵m p <，∴0p m ->．即2002440x bx c b c -+--+>()()．002220x x b -+->()()．∵001x <<，∴020x -<．∴0220x b +-<．022x b <-．∴221b -≥．∴32b ≥．∵p n <，∴0p n -<．即20021680x bx c b c -+--+<()()．004420x x b -+-<()()．∵001x <<，∴040x -<．∴0420x b +->．024x b >-．∴240b -≤．∴2b ≤．综上所述，b 的取值范围是322b ≤≤．…………………………6分6.（2024年丰台二模26）26．在平面直角坐标系xOy 中，已知11（，）A x y ，22（，）B x y ，33（，）C x y 是抛物线2220（）y ax ax a =-->上的三个点．（1）求该抛物线的对称轴；（2）若对于121x -<<-，223x <<，都有120y y <，求证：320a -=；（3）若对于223x <<，31m x m <<+，都有32y y >，求m 的取值范围．26．解：（1）∵二次函数解析式为y =ax 2-2ax -2（a ＞0），∴抛物线的对称轴212ax a-=-=．······························1分（2）证明：设点22（，）B x y 关于对称轴的对称点为22B x y ''（，），∵抛物线的对称轴1x =，223x <<，∴210x '-<<．∵点A ，B′在对称轴左侧，a ＞0，且12210x x '-<<-<<，根据二次函数性质，x <1时，y 随x 的增大而减小，∴12y y >．∵120y y <，∴10y >，20y <．∴当x =-1时，y =0．把（-1，0）代入函数解析式得3a -2=0．·····················3分（3）∵抛物线的对称轴1x =，223x <<，∴点22（，）B x y 在对称轴右侧．(ⅰ)当点C 在对称轴右侧时，∵31m x m <<+时，32y y >，根据二次函数性质，x >1时，y 随x 的增大而增大，∴m ≥3．(ⅱ)当点C 在对称轴左侧时，设点C 关于对称轴的对称点为33C'x y '（，），∵31m x m <<+，∵3x '-1=1-m ，3x '-1=1-（m+1），∴312m x 'm -+<<-+．根据二次函数性质，x >1时，y 随x 的增大而增大，∴-m +1≥3，则m ≤-2．由(ⅰ)(ⅱ)可知，m ≤-2或m ≥3．······························6分三、对称轴（动对称轴）→增减性（函数值大小比较）7.（2024朝阳二模26）26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(1)1y ax a x =+--（a ≠0）的对称轴为直线x =t ．（1）①t =_____（用含a 的式子表示）；②当t=1时，求该抛物线与x 轴的公共点的坐标；（2）已知点（3，y 1），（12，y 2），（322a--，y 3）在抛物线上，若a >0，比较y 1，y 2，y 3的大小，并说明理由．26．解：（1）①12a t a-=．..............................................................................................................1分②∵t =1，∴a =-1..................................................................................................................2分∴抛物线解析式为y =-x 2+2x -1.∴抛物线与x 轴的公共点的坐标为（1，0）........................................................3分（2）∵a >0，∴当x ≥t 时，y 随x 的增大而增大；当x ≤t 时，y 随x 的增大而减小.∵111222a t a a-==-，∴12t <..............................................................................................................................4分∵132t <<，∴y 2<y 1............................................................................................................................5分∵（3322y a --，）关于x =t 的对称点为（3132y a+，），∴1332t a<<+∴y 1<y 3.∴y 2<y 1<y 3.......................................................................................................................6分8.（2024年燕山二模26）26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++(0a ≠)的对称轴为x t =．(1)若3a ＋2b ＝0，求t 的值；(2)已知点(－1，1y )，(2，2y )，(3，3y )在该抛物线上．若a ＞c ＞0，且3a ＋2b ＋c＝0，比较1y ，2y ，3y 的大小，并说明理由．26．（本题满分6分）解：(1)∵3a ＋2b ＝0，∴b ＝－32a ，∴t ＝2b a-＝34，即t ＝34．…………………………………………2分(2)∵3a ＋2b ＋c ＝0，∴b ＝－32a c+，∴t ＝2b a-＝34a c a +＝34＋4c a ．∵a ＞c ＞0，∴0＜4c a ＜14，∴34＜t ＜1．∵点(－1，1y )关于直线x t =的对称点的坐标是(2t ＋1，1y )，∴52＜2t ＋1＜3．∴t ＜2＜2t ＋1＜3．∵a ＞0，抛物线2y ax bx c =++开口向上，∴当x ≥t 时，y 随x 增大而增大，∴2y ＜1y ＜3y ．…………………………………………6分9.（2024年大兴二模26）26．在平面直角坐标系xOy 中，点(1,)A m -和(4,)B n 在抛物线22(0)y ax bx a =+->上，设抛物线的对称轴为x t =.（1）若1m =，6n =，求t 的值；（2）已知点1(1,)C y 23(,)2D t y 在该抛物线上，若2m >-，2n <-，比较1y ，2y 的大小，并说明理由．26.解：（1）把点A （-1，1）和点B （4，6）代入22y ax bx =+-得，211642 6.a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得：12.a b =⎧⎨=-⎩，.......................……………....………1分∴12bt a=-=........................……………....………2分（2）∵0a >，∴当x t >时，y 随x 的增大而增大........................……....………3分令0x =，得2y =-，∴抛物线与y 轴交点坐标为02)-（，.∵22m ,n >-<-，104-<<，∴(-1,m ),02)-（，在对称轴的左侧，设点02)-（，关于对称轴x t =的对称点坐标02)x -（，，∴00x t t -=-.∴02x t =.∴点02)-（，关于对称轴x t =的对称点坐标为22)t -（，....................……4分∵2n ＜-，∴24t ＞.∴2t ＞.......................……....………5分∴点1(1)C y ，在对称轴左侧，点23)2Dt y （，在对称轴右侧.设点1(1)C y ，关于对称轴x t =的对称点坐标01')x y （，，∴0'1x t t -=-.∴0'21x t =-.∴点1(1)C y ，关于对称轴x t =的对称点坐标为121)t y -（，.∴31211022t t t --=-＞.∴3212t t -＞.∴12y y ＞.......................……......................……....………6分10.（2024年房山二模26）26.在平面直角坐标系xOy 中，点(2)m ，和点(4)n ，在抛物线2(0)y ax bx a =+>上，设抛物线的对称轴为x t =．（1）若m n =时，求t 的值；（2）已知点1(1)y -，，2(1)y ，，3(3)y ，在抛物线上．若0mn <，比较1y ，2y ，3y 的大小，并说明理由．26.解：（1）∵点(2)m ，和点(4)n ，在抛物线2(0)y ax bx a =+>上，且m n =，∴42t t -=-.∴3t =..………….2分（2）解：231y y y <<.理由如下：.……..……….3分由题意，抛物线过点(2)m ，，(4)n ，.∴42m a b =+，164n a b =+.∵0mn <，0a >，∴(42)(164)0a b a b ++<.∴4201640.a b a b +>⎧⎨+<⎩，或4201640.a b a b +<⎧⎨+>⎩，∴122b a <-<，即12t <<.……….………..……….4分设点3(3)y ，关于抛物线的对称轴x t =的对称点为03()x y ，.∵点3(3)y ，在抛物线上，∴点03()x y ，也在抛物线上.由03t x t -=-，得0=23x t -.∴011x -<<.………….………..……….5分当x t <时，y 随x 的增大而减小.∵点1(1)y -，，03()x y ，，2(1)y ，在抛物线上，且011x t -<<<，∴231y y y <<.……..……….6分11.（2024年昌平二模26）26．在平面直角坐标系xOy 中，),),,2211y x N y x M （（是抛物线)0(2＞a c bx ax y ++=上任意两点，其中x 1＜x 2.（1）若抛物线经过点（4，c ），①求抛物线的对称轴；②当x 1+x 2＞4时，比较y 1，y 2的大小，并说明理由；（2）设抛物线的对称轴为直线x =t ，若存在实数m ，当t ≤m 时，x 1=m ，x 2=m +1，都有21y y －≥2，直接写出a 的取值范围.26.解：（1）①抛物线)0(2＞a c bx ax y ++=与y 轴的交点为（0，c ），且抛物线经过点（4，c ）∵（0，c ）与（4，c ）关于对称轴对称∴对称轴0422x +==…………………………………2分②12y y <……………3分∵对称轴22b x a=-=∴4b a =-∴抛物线为24y ax ax c=-+把M ，N 代入抛物线得：21114y ax ax c =-+，22224y ax ax c=-+∴2212112244y y ax ax ax ax -=--+121212()()4()a x x x x a x x =+---1212()(4)a x x x x =-+-∵12x x <且124x x +>∴120x x -<，1240x x +->∵0a ＞∴120y y -<∴12y y <…………………5分（2）2a ³………………………………6分四、与线段交点个数→参数取值范围12.（2024年门头沟二模26）26．26.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++的经过点10,A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将点A 向左平移4个单位长度，得到点B ，点B 在抛物线上.（1）求抛物线的对称轴；（2）点B 的纵坐标为3-时，求a 的值；（3）已知点11,M a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()4,3N --.若抛物线与线段MN 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围.解：（1）点B 是坐标是14,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭点A 点B 在抛物线上∴1c a =，11164a b a a-+=∴4b a=对称轴22b x a =-=-………………2分（2）1a =3-,即13a =-……………3分（3）①0a >时，则10a >，由图象可知点11,M a ⎛⎫- ⎪⎝⎭在对称轴右侧，抛物线上方，点()4,3N --在对称轴左侧，抛物线下方，此时线段MN 与抛物线恰有一个公共点；………………………………4分②0a <时，10a <由图象可知点11,M a ⎛⎫- ⎪⎝⎭在对称轴右侧，抛物线下方，点()4,3N --在对称轴左侧，抛物线上方时，线段MN 与抛物线恰有一个公共点，此时13a≤-，即13a ≥-……………5分综上所述，当13a ≥-且0a ≠时，线段MN 与抛物线恰有一个公共点.…………6分。
13.代数综合：2020年北京市各区初三数学二模试题分类整理(教师版)
202006初三数学二模试题整理：代数综合（教师版）一、直线（或线段）与抛物线的交点问题： （一）定直线+动抛物线 1.（2020密云二模26）（1）定线段（2）动抛物线：①不变：对称轴、顶点；②变：开口大小方向在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 1：y=x 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．点B 的坐标为（3，0），将直线y=kx 沿y 轴向上平移3个单位长度后，恰好经过B 、C 两点． （1）求k 的值和点C 的坐标；（2）求抛物线C 1的表达式及顶点D 的坐标； （3）已知点E 是点D 关于原点的对称点，若抛物线 C 2：y=ax 2-2（0a ）与线段AE 恰有一个公共 点，结合函数的图象，求a 的取值范围．26．（1）解：∵直线y=kx +3经过点B （3，0） ∴3k+3=0 k=-1 ……1分∴y=-x +3与y 轴的交点，即为点C （0，3） ……2分 （2）解：∵抛物线y=x 2+bx+c 经过点B （3，0）和点C （0，3） ∴ y=x 2+bx+3∴ 9+3b +3=0 b=-4∴抛物线C 1的函数表达式为y = x 2-4x+3 ……3分∴y =（x -2）2-1∴顶点D 的坐标为（2，-1） ……4分（3）解：∵点E 是点D 关于原点的对称点∴点E 的坐标为（-2，1） 当y=ax 2-2经过点E （-2，1）时，a =当y=ax 2-2经过点A （1，0）时，a =2∴a 的取值范围是 ≤a <2 ……………6分4343（1）定线段（2）动抛物线：①不变：过定点②变：开口、对称轴在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()()231210y mx m x m m =--+-≠． （1）当m =3时，求抛物线的顶点坐标；（2）已知点A （1，2）．试说明抛物线总经过点A ；（3）已知点B （0，2），将点B 向右平移3个单位长度，得到点C ，若抛物线与线段BC只有一个公共点，求m 的取值范围．26．解：（1）把m =3代入()23121y mx m x m =--+-中，得223653(1)2y x x x =-+=-+，∴抛物线的顶点坐标是（1，2）．…………………………………2分 （2）当x =1时，3(1)2133212y m m m m m m =--+-=-++-=． ∵点A （1，2），∴抛物线总经过点A ．………………………………………………3分（3）∵点B （0，2），由平移得C （3，2）．① 当抛物线的顶点是点A （1，2）时，抛物线与线段BC 只有一个公共点．由（1）知，此时， m =3．……………………………………4分 ② 当抛物线过点B （0，2）时，将点B （0，2）代入抛物线表达式，得2m -1=2．∴m =32>0．此时抛物线开口向上（如图1）． ∴当0<m <32时，抛物线与线段BC 只有一个公共点．………5分③当抛物线过点C （3，2）时，将点C （3，2）代入抛物线表达式，得 9m -9(m -1)+2m -1=2． ∴m =-3<0．此时抛物线开口向下（如图2）． ∴当-3<m <0时，抛物线与线段BC只有一个公共点． ………………… 6分 综上，m 的取值范围是m =3或0<m <32或-3<m <0．图2图1（1）定线段（2）动抛物线：①不变：与y 轴交点②变：开口、对称轴，顶点坐标在隐藏函数图象上动在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y ax a x c =++与y 轴交于点（0,2）．（1）求c 的值；（2）当a =2时，求抛物线顶点的坐标；（3）已知点A （-2,0），B (1,0),若抛物线22y ax a x c =++与线段AB 有两个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．26．解：（1）∵抛物线22y ax a x c =++与y 轴交于点（0,2），∴c =2.（2）当a =2时，抛物线为2422++=x x y ，∴顶点坐标为（-1,0）. （3）当0a ＞时，①当a =2时，如图1，抛物线与线段AB 只有一个公共点.②当21+=a 时，如图2，抛物线与线段AB 有两个公共点.结合函数图象可得212a <+≤. 当0a ＜时，抛物线与线段AB 只有一个或没有公共点.综上所述，a 的取值范围是212a <+≤.图1图2（二）含同参的动线段+动抛物线 4.（2020房山二模26）（1）动线段：一个端点定，另一个端点在y 轴动 （2）动抛物线：①不变：对称轴，与x 轴交点 ②变：开口在平面直角坐标系中，已知抛物线22y ax ax c =++与x 轴交于点A 、B ，且4AB =.抛物线与y 轴交于点C ，将点C 向上移动1个单位得到点D . （1）求抛物线对称轴；（2）求点D 纵坐标（用含有a 的代数式表示）；（3）已知点()4,4P -，若抛物线与线段PD 只有一个交点，求a 的取值范围. 26．（1）对称轴-1=22-=aax ……………………………………1分（2）∵4AB =A （-3，0），B （1，0） ……………………………………2分 把（1，0）代入表达式：0=c +2a +a 得：a 3-=c ……………3分 ∴C （0，-3a ）∴ D （0，-3a+1）, 31D y a =-+ …………………………4分 （3）当0a >时将点()4,4P -代入抛物线223y ax ax a =+-得：41683a a a =--, 45a =∴当45a ≥时，抛物线与线段PD 只有一个交点…5分当0a <时抛物线的顶点为()1,4a -- 当44a -=时1a =- …………………6分综上所述，当45a ≥或1a =-时，抛物线与线段PD 只有一个交点.5.（2020燕山二模26）（1）动线段：一个端点定（2）动抛物线：①不变：对称轴，与x 轴交点 ②变：开口在平面直角坐标系xOy 中，抛物线24(0)y ax ax a =-≠与x 轴交于点A ，B (A 在B 的左侧)． (1) 求点A ，B 的坐标及抛物线的对称轴；(2) 已知点P (2，2)，Q (2＋2a ，5a )，若抛物线与线段PQ 有公共点，请结合函数图象，求a的取值范围．26．解：(1) ∵24y ax ax =-＝(4)ax x -，∴抛物线与x 轴交于点A (0，0)，B (4，0)． 抛物线24y ax ax =-的对称轴为直线：422ax a-=-=．………3分 (2) 24y ax ax =-＝2(4)a x x -＝2(2)4a x a --， 抛物线的顶点坐标为(2，－4a )． 令5y a =，得245ax ax a -=，(5)(1)0a x x -+=，解得1x =-，或5x =，∴当5y a =时，抛物线上两点M (－1，5a )，N (5，5a )．①当0a >时，抛物线开口向上，顶点位于x 轴下方，且Q (2＋2a ，5a )位于点P 的右侧，如图1，当点Q 与点N 重合或位于点N 右侧时，抛物线与线段PQ 有公共点， 此时2＋2a ≥5，14xyNMQ P图3 14xyNMQP 图214xy NMQP O解得32a≥．②当0a<时，抛物线开口向下，顶点位于x轴上方，点Q(2＋2a，5a)位于点P的左侧，(ⅰ)如图2，当顶点与点P重合或位于点P下方时，抛物线与线段PQ有公共点，此时－4a≤2，解得12a≥-．(ⅱ)如图3，当顶点位于点P上方，点Q与点M重合或位于点M左侧时，抛物线与线段PQ有公共点，此时2＋2a≤－1，解得32a≤-．综上，a的取值范围是32a≥，或12a<-≤，或32a≤-．…………………6分6.（2020丰台二模26）（1）动线段：一两个端点都动（2）动抛物线：①不变：对称轴，与x 轴交点②变：开口在平面直角坐标系xOy 中，抛物线243=-+y ax ax a 与y 轴交于点A . （1）求点A 的坐标（用含a 的式子表示）； （2）求抛物线与x 轴的交点坐标；（3）已知点P (a ，0)，Q (0，2-a )，如果抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数 图象，求a 的取值范围．26.解：（1）令x =0，则y =3a.∴点A 的坐标为（0，3a ）. ………………………………………………1分（2）令y =0，则ax 2-4ax +3a =0. …………………………………………2分 ∵a ≠0， ∴解得121,3x x ==.∴抛物线与x 轴的交点坐标分别为（1，0）, （3，0）. …………4分 （3）①当a <0时，可知3a ≥a -2. 解得a ≥-1. ∴ a 的取值范围是-1≤a <0 .② 当a ＞0时，由①知a ≥-1时，点Q 始终在点A 的下方，所以抛物线与线段PQ 恰有一个公共点时，只要1≤a <3即可.综上所述，a 的取值范围是-1≤a <0或1≤a <3. .......….........….....………7分二、定抛物线（部分图象）与动抛物线的交点问题： 7.（2020海淀二模26）在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数y =mx 2+2mx +3的图象与x 轴交于点(3,0)A -， 与y 轴交于点B ，将其图象在点A ，B 之间的部分（含A , B 两点）记为F . （1）求点B 的坐标及该函数的表达式；（2）若二次函数y =x 2+2x +a 的图象与F 只有一个公共点， 结合函数图象，求a 的取值范围. 26. 解：（1）∵y =mx 2+2mx +3的图象与与y 轴交于点B ，∴点B 的坐标为(0, 3).∵y =mx 2+2mx +3的图象与x 轴交于点(3,0)A -， ∴将(3,0)A -代入y =mx 2+2mx +3可得9630m m -+=.∴ m = -1.∴该函数的表达式为y =-x 2-2x +3.（2）∵将二次函数y =mx 2+2mx +3的图象在点A ，B 之间的部分（含A , B 两点）记为F ，∴F 的端点为A , B ，并经过抛物线y =mx 2+2mx +3的 顶点C （其中C 点坐标为(-1,4)）. ∴可画F 如图1所示.∵二次函数y =x 2+2x +a 的图象的对称轴为x =-1，且与F 只有一个公共点,∴可分别把A , B , C 的坐标代入解析式y =x 2+2x +a 中. ∴可得三个a 值分别为-3，3，5. 可画示意图如图2所示.∴结合函数图象可知：二次函数y =x 2+2x +a 的图象与F 只有一个公共点时， a 的取值范围是-3≤a <3或a =5.图 2三、整点问题8.（2020平谷二模26） 含同参的动线段+动抛物线。
2020-2021学年北京市各区中考数学二模《代数》综合考点题汇总含答案
最新北京市各区初三数学二模代数综合题汇总西城27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线1C ：2144y ax ax =--的顶点在x 轴上，直线l ：25y x =-+与x 轴交于点A ．（1）求抛物线1C ：2144y ax ax =--的表达式及其顶点坐标；（2）点B 是线段OA 上的一个动点，且点B 的坐标为（t ，0）．过点B 作直线BD ⊥x轴交直线l 于点D ，交抛物线2C ：2344y ax ax t =--+于点E ．设点D 的纵坐标为m ，点E 的纵坐标为n ，求证：m n ≥；（3）在（2）的条件下，若抛物线2C ：2344y ax ax t =--+与线段BD 有公共点，结合函数的图象，求t 的取值范围．西城27．（1）解：∵抛物线1C ：2144y ax ax =--， ∴它的对称轴为直线422ax a-=-=．∵抛物线1C 的顶点在x 轴上，∴它的顶点为（2，0）．……………………………………………………1分∴当2x =时，440y a =--=．∴1a =-．∴抛物线1C 的表达式为2144y x x =-+-．………………………………2分（2）证明：∵点B 的坐标为（t ，0），且直线BD ⊥x 轴交直线l ：25y x =-+于点D ，∴点D 的坐标为（t ，5t -+）．……………………………………………3分∵直线BD 交抛物线2C ：2344y x x t =-+-+于点E ，∴点E 的坐标为（t ，254t t -+-）．……………………………………4分 ∵m n -=(5)t -+2(54)t t --+-269t t =-+ 2(3)0t =-≥，∴m n ≥．……………………………………………………………………5分（3）解：∵抛物线2C ：2344y x x t =-+-+与线段BD 有公共点，∴点E 应在线段BD 上．∵由（2）可知，点D 要么与点E 重合，要么在点E 的上方， ∴只需0n ≥， 即2540t t -+-≥． ∵当2540t t -+-=时， 解得1t =或4t =．∴结合函数254y t t =-+-的图象可知，符合题意的t 的取值范围是14t ≤≤．海淀27.已知：点(,)P m n 为抛物线24y ax ax b =-+（0a ≠）上一动点．（1） 1P （1，1n ），2P （3，2n ）为P 点运动所经过的两个位置，判断1n ，2n 的大小，并说明理由；（2） 当14m ≤≤时，n 的取值范围是14n ≤≤，求抛物线的解析式. 西城 解：（1）12n n =． ……………… 1 分理由如下：由题意可得抛物线的对称轴为2x =．∵1P (1，1n )，2P （3，2n ）在抛物线24y ax ax b =-+上， ∴12n n =．………………3分 （2）当0a >时，抛物线的顶点为（2，1），且过点（4，4），∴抛物线的解析式为23344y x x =-+．………………5分 当0a <时，抛物线的顶点为（2，4），且过点（4，1），∴抛物线的解析式为23314y x x =-++． 综上所述，抛物线的解析式为23344y x x =-+或23314y x x =-++．…………7 分房山27.如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知点P （-1,0），C()11-2，，D （0，-3），A ，B 在x 轴上，且P 为AB 中点，1=∆CAP S .（1）求经过A 、D 、B 三点的抛物线的表达式．（2）把抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴向上翻折，得到一个新的图象G ，点Q 在此新图象G 上，且APC APQ S S ∆∆=，求点Q 坐标．（3）若一个动点M 自点N （0,-1）出发，先到达x 轴上某点（设为点E ），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F ），最后运动到点D ，求使点M 运动的总路程最短的点E 、点F 的坐标．房山27.解：(1)∵1=∆CAP S ，C()1,12-，∴1121=⨯AP ,∴AP =2，∵P 为AB 中点，P （-1，0）， ∴A （-3,0），B （1,0）； -----------1分∴过A 、B 、D 三点的抛物线的表达式为：322-+=x x y ----------------------2分(2)抛物线322-+=x x y 沿x 轴翻折所得的新抛物线关系式为322+--=x x y ，∵1==∆∆APC APQ S S ,∴点Q 到x 轴的距离为1，且Q 点在图象G 上（27题图1）∴点Q 的纵坐标为1 ∴1322=+--x x 或1322=-+x x .----------------------------------3分解得：311+-=x ，312--=x ，513+-=x ,514--=x -----4分∴所求Q 点的坐标为：)1,31(1+-Q ，)1,31(2--Q ，)1,51(3+-Q ，)1,51(4--Q ----5分27题图227题图1 (3)如图（27题图2）∵N （0，-1）,∴点N 关于x 轴对称点N ′（0，1）， ∵点D (0,-3)，∴点D 关于对称轴的对称点D ′（-2，-3），∴直线N ′D ′的关系式为y =2x +1, -----------------------------------6分∴E （-0,21）当x =-1时，y =-1，∴F （-1,-1） ----------------------------------7分直线与抛物线交点：朝阳27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22(9)6y x m x =-++-的对称轴是2x =．（1）求抛物线表达式和顶点坐标；（2）将该抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线与原抛物线相交于点A ，求点A 的坐标；（3）抛物线22(9)6y x m x =-++-与y 轴交于点C ，点A 关于平移后抛物线的对称轴的对称点为点B ，两条抛物线在点A 、C 和点A 、B 之间的部分（包含点A 、B 、C ）记为图象M ．将直线22y x =-向下平移b （b >0）个单位，在平移过程中直线与图象M 始终有两个公共点，请你写出b 的取值范围_________．朝阳27．解：（1）∵抛物线()2296y x m x =-++-的对称轴是2x =，∴922(2)m +-=⨯-．∴1m =-． ……………………………………………………………1分∴抛物线的表达式为2286y x x =-+-．…………………………………2分 ∴22(2)2y x =--+．∴顶点坐标为（2，2）．………………………………………………3分 （2）由题意得，平移后抛物线表达式为()2232y x =--+……………………4分∵()()222223x x --=--，∴52x =． ∴A （52，32）．………………………5分（3）702b <≤．……………………………7分丰台27.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223(0)y mx mx m =--≠与x 轴交于A ，B 两点，且点A 的坐标为（3，0）． （1）求点B 的坐标及m 的值；（2）当23x -<<时，结合函数图象直接写出y 的取值范围；（3）将抛物线在x 轴上方的部分沿x 轴翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象M ．若)0(1≠+=k kx y 直线与图象M 在直线21=x 左侧的部分只有一个公共点，结合图象求k 的取值范围．丰台27.（1）将()3,0A 代入，得1m =．-------1分∴抛物线的表达式为223y x x =--．∴B 点的坐标()1,0-．-------2分 （2）y 的取值范围是45y -≤<．-------5分（3）当x =21时，y =415-. 代入1y kx =+得219-=k .当x =-1时，y =0,代入1y kx =+得k =1.结合图象可得，k 的取值范围是1=k 或192k <-. -------7分怀柔27.已知：二次函数y 1=x 2+bx+c 的图象经过A （-1,0），B （0，-3）两点. (1)求y 1的表达式及抛物线的顶点坐标;(2)点C （4，m ）在抛物线上，直线y 2=kx+b(k ≠0)经过A ， C 两点，当y 1 >y 2时，求自变量x 的取值范围; (3) 将直线AC 沿y 轴上下平移，当平移后的直线与抛物线只有一个公共点时，求平移后直线的表达式.怀柔27.解：(1)把A （-1,0）、B （0，-3）两点带入y 1 得： y 1=x 2-2x-3………………………………1分顶点坐标（1，-4） ………………………………………2分 (2)把C （4，m ）代入y 1, m=5，所以C （4，5）， ……………………………………3分把A 、C 两点代入y 2 得：y 2 =x+1.………………………………………………4分如图所示：x 的取值范围：x<-1或x>4 . …………………………………………………5分 (3)设直线AC 平移后的表达式为y=x+k得： x 2-2x-3=x+k ………………………………………6分 令Δ=0，k=-421 所以平移后直线的表达式：y=x-421. ………………………7分xyO–5–4–3–2–112345–7–6–5–4–3–2–11234567顺义27．已知关于x 的一元二次方程2(21)20x m x m -++=． （1）求证：不论m 为任何实数时，该方程总有两个实数根； （2）若抛物线2(21)2y x m x m =-++与x 轴交于A 、B 两点（点A 与点B 在y 轴异侧），且4AB =,求此抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，若抛物线2(21)2y x m x m =-++向上平移b 个单位长度后,所得到的图象与直线y x =没有交点，请直接写出b 的取值范围. 顺义27． 解：（1）[]22224(21)42441(21)b ac m m m m m ∆=-=-+-⨯=-+=- -----1分∵不论m 为任何实数时 ，总有2(21)0m ∆=-≥，∴该方程总有两个实数根 . --------------------------------------------------2分（2）24(21)(21)2b b ac m m x -±-+±-==∴12x m =， 21x =………………………………………………….… 4分 不妨设点(1,0)B ，依题意则点(3,0)A - ∴ 32m =-∴ 抛物线的表达式为223y x x =+-…………….…………………5分（3）134b >……………………………………………...………………….…7分 抛物线与抛物线交点东城27.二次函数21:C y x bx c =++的图象过点A （-1,2），B （4,7）.（1）求二次函数1C 的解析式；（2）若二次函数2C 与1C 的图象关于x 轴对称，试判断二次函数2C 的顶点是否在直线AB上；（3）若将1C 的图象位于A ，B 两点间的部分（含A ，B 两点）记为G ，则当二次函数221y x x m =-+++与G 有且只有一个交点时，直接写出m 满足的条件.东城27.解：（1）∵21:C y x bx c =++的图象过点A （-1,2），B （4,7），∴217164.b c b c =-+⎧⎨=++⎩，∴21.b c =-⎧⎨=-⎩，∴221y x x =--. …………2分（2）∵二次函数2C 与1C 的图象关于x 轴对称，∴22:21C y x x =-++.∴2C 的顶点为（1,2）. ∵A （-1,2），B （4,7）,∴过A 、B 两点的直线的解析式：3y x =+. 令x =1，则y =4.∴2C 的顶点不在直线AB 上. …………4分 （3）414m <≤或4m =-. …………7分抛物线与双曲线交点 平谷27．反比例函数()0ky k x=≠过A （3,4），点B 与点A 关于直线y =2对称，抛物线2y x bx c =-++过点B 和C （0,3）．（1）求反比例函数的表达式； （2）求抛物线的表达式；（3）若抛物线2y x bx m =-++在2-ky x=无公共点，求m 的取值范围．平谷27．（1）∵反比例函数ky x=过A （3,4）， ∴12k =． ∴12y x=．…………………………………………………………………………1 （2）∵点B 与点A 关于直线y =2对称，∴B （3,0）． (2)∵抛物线2y x bx c =-++过点B 和C （0,3）∴9303b c c ⎧-++=⎨=⎩．∴23b c ⎧=⎨=⎩．……………………………………………………………………………3 ∴223y x x =-++． (4)（3）12y x=， 令2x =-时,6y =-，即()26,--令2x =时,6y =，即()26, (5)当2y x bx m =-++过()26,--时，2m =． 当2y xbx m =-++过()26,时，6m=． (6)∴26m ＜≤ (7)两个直接写出结果的问题：昌平27. 在平面直角坐标系xOy 中，直线y=kx +b 的图象经过（1，0），（-2，3）两点，且与y 轴交于点A .（1）求直线y=kx +b 的表达式；（2）将直线y=kx +b 绕点A 沿逆时针方向旋转45º后与抛物线21:1(0)G y ax a =->交于B ，C 两点.若BC ≥4，求a 的取值范围；（3）设直线y=kx +b 与抛物线22:1G y x m =-+交于D ，E直接写出m 的取值范围.昌平27．解：（1）∵直线y=kx +b 的图象经过（1，0），（-2，3）两点，∴0,2 3.k b k b +=⎧⎨-+=⎩………………………………………………………………1分解得：1,1.k b =-⎧⎨=⎩∴直线y=kx +b 的表达式为： 1.y x =-+…………………………………………2分 （2）①将直线1y x =-+绕点A 沿逆时针方向旋转45º后可得直线1y =.…………3分∴直线1y =与抛物线21:1(0)G y ax a =->的交点B ，C 关于y 轴对称.∴当线段BC 的长等于4时，B ，C 两点的坐标分别为（2，1），（-2，1）. ∴1.2a =…………………………………………………………………………………4分由抛物线二次项系数的性质及已知a >0可知，当BC ≥4时，10.2a ≤<……………5分②40.m -≤≤………………………………………………………………………………7分石景山27．已知关于x 的方程()021222=-+-+m m x m x ．（1）求证：无论m 取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）抛物线()m m x m x y 21222-+-+=与x 轴交于()0,1x A ，()0,2x B 两点，且210x x <<，抛物线的顶点为C ，求△ABC 的面积；（3）在（2）的条件下，若m 是整数，记抛物线在点B ，C 之间的部分为图象G （包含B ，C 两点），点D 是图象G 上的一个动点，点P 是直线b x y +=2上的一个动点，若线段DP 的最小值是55，请直接写出b 的值． 石景山27．解：（1）∵1=a ，()12-=m b ，m m c 22-= ∴()()0424144222>=---=-=∆m m m ac b∴无论m 取任何实数时，方程总有两个不相等的实数根．……2分（2）令，则()021222=-+-+m m x m x()()02=-++m x m x∴m x -=或2+-=m x ∵210x x <<∴m x -=1，22+-=m x …………………………………………4分 ∴2=AB当1+-=m x 时，1-=y ∴1-=c y∴121=⨯=∆c ABC y AB S ．………………………………………5分 （3）0=b 或3-=b ．……………………………………………………..7分如何找对称点：通州27. 已知：二次函数c b x -x y ++=2的图象过点A （-1，0）和C （0，2）.（1）求二次函数的表达式及对称轴；（2）将二次函数c b x -x y ++=2的图象在直线y =1上方的部分沿直线y =1翻折，图象其余的部分保持不变，得到的新函数图象记为G ，点M （m ，1y ）在图象G 上，且0y 1≥，求m 的取值范围。
2023年北京市初三二模数学试题汇编：代数综合(第26题)
2023北京初三二模数学汇编代数综合(第26题)一、解答题1.（2023·北京东城·统考二模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()210y ax bx a =++≠的对称轴是直线3x =．（1）求出该抛物线的顶点坐标（用含a 的式子表示）；（2）当0a >时，对于任意的正数t ，若点()()123,,32,t y t y −+在该抛物线上，则1y _________2y （填“>”“<”或“=”）；（3）已知点()()0,3,7,3A B ．若该抛物线与线段AB 恰有一个公共点，求a 的取值范围． 2.（2023·北京西城·统考二模）在平面直角坐标系xOy 中，点()11,x y ，()22,x y 都在抛物线()2280y ax ax a =−+<上，且112x −<<，217m x m −<<+．（1）当2m =−时，比较1y ，2y 的大小关系，并说明理由； （2）若存在1x ，2x ，满足12y y =，求m 的取值范围．3．（2023·北京海淀·统考二模）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线220y ax bx a a =+++>（）过点（1，4a ＋2）．（1）求该抛物线的顶点坐标；（2）过抛物线与y 轴的交点作y 轴的垂线l ，将抛物线在y 轴右侧的部分沿直线l 翻折，其余部分保持不变，得到图形G ，()11M a y −−，，()21N a y −+，是图形G 上的点，设12t y y =+. ①当1a =时，求t 的值； ②若69t ≤≤，求a 的取值范围．4.（2023·北京朝阳·统考二模）在平面直角坐标系xOy 中，点()11,y −在抛物线2y x ax =−上． （1）求1y 的值（用含a 的式子表示）； （2）若1a <−，试说明：10y <；（3）点()21,y ，()32,a y −在该抛物线上，若1y ，2y ，3y 中只有一个为负数，求α的取值范围． 5.（2023·北京房山·统考二模）平面直角坐标系xOy 中，抛物线243y ax x a =−+的对称轴为直线x n =。
中考数学二模试题汇编代数综合题试题(共7页)
代数(d àish ù)综合题【2021昌平二模】27. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线与x 轴交于A ，B 两点〔点A 在点B的左侧〕.〔1〕求点A ，B 的坐标及抛物线的对称轴； 〔2〕过点B 的直线l 与y 轴交于点C ，且，直接写出直线l 的表达式；〔3〕假如点和点在函数)0(42≠-=m mx mx y 的图象上，PQ=2a 且，求的值.【2021房山二模】27. 对于一个函数，假如它的自变量x 与函数值y 满足：当-1≤x ≤1时，-1≤y ≤1，那么称这个函数为“闭函数〞. 例如：y =x ，y =-x 均是“闭函数〞(如右图所示).是“闭函数〞，且抛物线经过点A (1，-1)和点B (-1， 1) .〔1〕请说明a 、c 的数量关系并确定b 的取值；〔2〕请确定a 的取值范围.【2021通州二模】27．：二次函数，与x 轴的公一共点为A ，B .〔1〕假如A 与B 重合，求m 的值； 〔2〕横、纵坐标都是整数的点叫做整点； ①当时，求线段AB 上整点的个数；②假设(jiǎshè)设抛物线在点A，B之间的局部与线段AB所围成的区域内〔包括边界〕整点的个数为，当时，结合函数的图象，求的取值范围.【2021二模】27.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-2mx+2(m≠0)与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．〔1〕求点A，B的坐标；〔2〕点C，D在x轴上〔点C在点D的左侧〕，且与点B的间隔都为2，假设该抛物线与线段CD有两个公一共点，结合函数的图象，求m的取值范围．【2021海淀二模】27．抛物线与轴交于A，B两点〔A点在B点的左侧(zuǒ cè)〕，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为x=1．〔1〕求抛物线的表达式；〔2〕假设CD∥x轴，点D在点C的左侧，，求点D的坐标；〔3〕在〔2〕的条件下，将抛物线在直线x=t右侧的局部沿直线x=t翻折后的图形记为G，假设图形G与线段CD有公一共点，请直接写出t的取值范围．【2021东城二模】xOy中，抛物线.〔1〕当抛物线的顶点在x轴上时，求该抛物线的解析式；〔2〕不管m取何值时，抛物线的顶点始终在一条直线上，求该直线的解析式；〔3〕假设有两点，，且该抛物线与线段AB始终有交点，请直接写出m 的取值范围.【2021燕山二模】27. 在平面直角坐标系xoy中，抛物线经过点A(0，-3)，B(4，5).〔1〕求此抛物线表达式及顶点(dǐngdiǎn)M 的坐标；〔2〕设点M 关于y 轴的对称点是N ，此抛物线在A ，B 两点之间的局部记为图象W(包含A,B两点)，经过点N 的直线l ：与图象W 恰一个有公一共点，结合图象，求m 的取值范围.【2021西城二模】27.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =ax 2+2ax -3a (a >0)与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B的左侧).〔1〕求抛物线的对称轴及线段AB 的长；〔2〕假设抛物线的顶点为P ，假设∠APB =120 °，求顶点P 的坐标及a 的值； 〔3〕假设在抛物线上存在点N ，使得∠ANB =90 °，结合图形，求a 的取值范围．【2021石景山二模】 27．在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于点，〔点A 在点B 的左侧〕，对称轴与x 轴交于点，且.〔1〕求抛物线1C 的表达式及顶点坐标； 〔2〕将抛物线1C 平移，得到的新抛物线的顶点为，抛物线1C 的对称轴与两条抛物线1C ，2C 围成的封闭图形为.直线经过点B .假设直线与图形M 有公一共点，求的取值范围.【2021怀柔(huáiróu)二模】 27. 在平面直角坐标系xOy 中，直线与y 轴交于点A ,并且经过点B(3，n).〔1〕求点B 的坐标； 〔2〕假如抛物线(a ＞0)与线段AB 有唯一公一共点，求a 的取值范围．【2021顺义二模】27．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线经过A〔﹣1，0〕，B 〔3，0〕两点． 〔1〕求抛物线的表达式；〔2〕抛物线2y x bx c =-++在第一象限内的局部记为图象G ，假如过点P 〔-3，4〕的直线y =mx +n 〔m ≠0〕与图象G 有唯一公一共点，请结合图象，求n 的取值范围．【2021平谷二模】27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点为P．P，M两点关于原点O成中心对称．〔1〕求点P，M的坐标；〔2〕假设该抛物线经过原点，求抛物线的表达式；〔3〕在〔2〕的条件(tiáojiàn)下，将抛物线沿x轴翻折，翻折后的图象在的局部记为图象H，点N为抛物线对称轴上的一个动点，经过M，N的直线与图象H有两个公一共点，结合图象求出点N的纵坐标n的取值范围．【2021门头沟二模】27.在平面直角坐标系xOy中，抛物线的对称轴是直线x=1〔1〕求抛物线的表达式；〔2〕点，在抛物线上，假设，请直接写出n的取值范围；〔3〕设点为抛物线上的一个动点，当时，点M关于y轴的对称点形成的图象与直线〔〕有交点，求的取值范围.【2021丰台二模】27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B两点〔点A 在点B 左侧〕，且点A 的横坐标为﹣1． 〔1〕求a 的值；〔2〕设抛物线的顶点(dǐngdiǎn)P 关于原点的对称点为P′，求点P′的坐标；〔3〕将抛物线在A ，B 两点之间的局部〔包括A ，B 两点〕，先向下平移 3个单位，再向左平移m 〔〕个单位，平移后的图象记为图象G ，假设图象G 与直线PP′无交点，求m 的取值范围．内容总结（1）代数综合题【2021昌平二模】27. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线与x 轴交于A ，B 两点〔点A 在点B 的左侧〕. 〔1〕求点A ，B 的坐标及抛物线的对称轴 （2）①当时，求线段AB 上整点的个数（3）〔2〕假设该抛物线经过原点，求抛物线的表达式O y x-1-2-4-3-6-5-1-2-4-6-5-3124365124365。
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2018北京市中考数学二模分类26题代数综合题
2018东城二模 26．在平面直角坐标系
中，抛物线()230y ax bx a =+-≠经过点()1,0A -和点()45B ，．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）求直线AB 关于x 轴的对称直线的表达式；
（3）点是轴上的动点，过点作垂直于轴的直线，直线与该抛物线交于
点M ，与直线AB 交于点N ．当PM PN ＜时，求点的横坐标P x 的取值范围．
2018西城二模
26. 抛物线M ：241y ax ax a =-+- (a ≠0)与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），抛物线的顶点为D .
（1）抛物线M 的对称轴是直线____________； （2）当AB =2时，求抛物线M 的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，直线l ：y kx b =+(k ≠0)经过抛物线的顶点D ，直线y n =与抛物线M 有两个公共点，它们的横坐标分别记为1x ，2x ，直线y n =与直线l 的交点的横坐标xOy
P x P x l l P
记为（），若当≤n ≤时，总有13320x x x x ->->，请结合函数的图象，直接写出k 的取值范围.
2018海淀二模
26．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(3,1)A -，(1,1)B -，(,)C m n ，其中1n >，以点
,,A B C 为顶点的平行四边形有三个，记第四个顶点分别为123,,D D D ，如图所示.
（1）若1,3m n =-=，则点123,,D D D 的坐标分别是（ ），（ ），（ ）；
（2）是否存在点C ，使得点123,,,,A B D D D 在同一条抛物线上？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，说明理由.
3x 30x >2-1-
2018朝阳二模
26.已知二次函数)0(222≠--=a ax ax y ． （1）该二次函数图象的对称轴是直线 ；
（2）若该二次函数的图象开口向上，当-1≤x ≤5时，函数图象的最高点为M ，最低点为N ，
点M 的纵坐标为2
11，求点M 和点N 的坐标；
（3）对于该二次函数图象上的两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），设t ≤ x 1 ≤ t +1，当x 2≥3时，
均有y 1 ≥ y 2，请结合图象，直接写出t 的取值范围．
2018丰台二模
26．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2
2y x hx h =-+的图象的顶点为点D ．
（1）当1h =-时，求点D 的坐标； （2）当1x -≤≤≤1≤1时，求函数的最小值m ．
（用含h 的代数式表示m ）
2018石景山二
26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()240y ax x c a =++≠经过点()
34,A -和
()02,B ．
（1）求抛物线的表达式和顶点坐标；
（2）将抛物线在A 、B 之间的部分记为图象M （含A 、B 两点）．将图象M 沿直线3x =翻折，得到图象N ．若过点()
94,C 的直线y kx b =+与图象M 、图象N 都相交，且只有两个交点，求b 的取值范围．
2018门头沟二模
26.在平面直角坐标系xOy 中，有一抛物线其表达式为222y x mx m =-+. （1）当该抛物线过原点时，求m 的值；
（2）坐标系内有一矩形OABC ,其中(4,0)A 、(4,2)B . ①直接写出C 点坐标；
②如果抛物线222y x mx m =-+与该矩形有2个交点，求m 的取值范围.
2018顺义二模
26．在平面直角坐标系中，二次函数2
21y x ax a =+++的图象经过点 M （2，-3）． （1）求二次函数的表达式；
（2）若一次函数(0)y kx b k =+≠的图象与二次函数2
21y x ax a =+++的图象经过x 轴上
同一点，探究实数k ，b 满足的关系式；
（3）将二次函数
221y x ax a =+++的图象向右平移2个单位，若点P （x 0，m ）和Q （2，n ）
在平移后的图象上，且m >n ，结合图象求x 0的取值范围．
2018房山二模
26. 在平面直角坐标系x O y 中，二次函数2
y ax bx c =++（0a ≠）的图象经过A （0，4），B （2，0），C （－2，0）三点. （1）求二次函数的表达式；
（2）在x 轴上有一点D （－4，0），将二次函数的图象沿射线DA 方向平移，使图象再次经过点B .
①求平移后图象顶点E 的坐标；
②直接写出此二次函数的图象在A ，B 两点之间（含A ，B 两点）的曲线部分在平移过程中所扫过的面积.
2018怀柔二模
26.在平面直角坐标系xOy 中，二次函数C 1：()332--+=x m mx y （m ＞0）的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C . (1)求点A 和点C 的坐标； (2)当AB =4时，
①求二次函数C 1的表达式；
②在抛物线的对称轴上是否存在点D ，使△DAC 的周长最小，若存在，求出点D 的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)将(2)中抛物线C 1向上平移n 个单位，得到抛物线C 2，若当0≤x ≤
2
5
时，抛物线C 2与x 轴只有一个公共点，结合函数图象，求出n 的取值范围.
2018平谷二模
26．在平面直角坐标系中，点D 是抛物线2
23y ax ax a =--()0a >的顶点，抛物线与x
轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧）． （1）求点A ，B 的坐标；
（2）若M 为对称轴与x 轴交点，且DM =2AM ，求抛物线表达式； （3）当30°<∠ADM <45°时，求a 的取值范围．
2018昌平二模
26.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2
23(0)y ax ax a a =--≠，与x 轴交于A 、B 两
点(点A 在点B 的左侧)． （1）求点A 和点B 的坐标；
（2）若点P （m ，n ）是抛物线上的一点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为点D ．
①在0a >的条件下，当22m -≤≤时，n 的取值范围是45n -≤≤，求抛物线的表达式；
时，求a的取值范围.
②若D点坐标（4，0），当PD AD。