匀变速直线运动基本公式及推导

匀速直线运动基本公式及推导1、 速度：物理学中将位移与发生位移所用的时间的比值定义为速度。

用公式表示为：V =ΔX Δt=x2−x1t2−t12、 瞬时速度：在某一时刻或某一位置的速度称为瞬时速度。

瞬时速度的大小称为瞬时速率，简称速率。

3、加速度：物理学中，用速度的改变量∆V 与发生这一改变所用时间∆t 的比值，定量地描述物体速度变化的快慢，并将这个比值定义为加速度。

α=ΔV Δt单位：米每二次方秒；m/S 2α即为加速度；即为一次函数图象的斜率；加速度的方向与斜率的正负一致。

速度与加速度的概念对比：速 度：位移与发生位移所用的时间的比值加速度：速度的改变量与发生这一改变所用时间∆t 的比值4、 匀变速直线运动：在物理学中，速度随时间均匀变化，即加速度恒定的运动称为匀变速直线运动。

1) 匀变速直线运动的速度公式：V t =V 0+αt推导：α=ΔV Δt=Vt− V0t……..速度改变量发生这一改变所用的时间2）匀变速直线运动的位移公式：x =V 0t+ 12 αt 2……….(矩形和三角形的面积公式) …推导：x =V0+Vt2∙t (梯形面积公式) 如图：3）由速度公式和位移公式可以推导出的公式：⑴V t 2-V 02=2αx (由来：V T 2-V 02=(V 0+αt)2 -V 02=2αV 0t +α2t 2=2α(V 0t+ 12αt 2)=2αx) ⑵V t 2=V0+Vt 2=V −(由来：V t 2=V 0+α t 2=2V0+αt 2=V0+(V0+αt)2=V0+Vt 2=V −)⑶V x 2=√V2+V t 22(由来：因为：V t 2-V 02=2αx 所以V x 22-V 02=2αx2=αx =VT2−V022)（V x 22-V 02=V t 2−V 022；V x 22=V t 2−V 022+V 02=V t 2+V 022）⑷∆x=αT 2（做匀变速直线运动的物体，在任意两个连续相等的时间内的位移差为定值。

设加速度为α，连续相等的时间为T,位移差为∆X ）证明：设第1个T 时间的位移为X 1；第2个T 时间的位移为X 2；第3个T 时间的位移为X 3……..第n 个T 时间的位移即X n由：x =V 0t+ 12 αt 2 得: X 1=V 0T+ 12 αT 2X 2=V 02T+12α(2T)2-V 0T- 12 αT 2=V 0T+ 32 αT 2 X 3=V 03T+ 12 α(3T)2-V 02T- 12 α(2T)2=V 0T+ 52 αT 2 X n= V 0nT+ 12α(nT)2-V 0(n-1)T- 12α((n −1)T)2∆x =X 2-X 1=X 3-X 2=(V 0T+ 32 αT 2)-(V 0T+ 12 αT 2)=(V 0T+ 52 αT 2)-(V 0T+ 32 αT 2)=αT 2 可以用来求加速度α=∆x T 25、初速度为零的匀加速直线运动的几个比例关系。

初速度为零的匀加速直线运动(设其为等分时间间隔)：① t 秒末、2t 秒末、……nt 秒末的速度之比：(V t =V 0+at=0+at=at) V 1:V 2:V 3……V n =at:a2t:a3t …..ant=1:2:3…:n②前一个t 秒内、前二个t 秒内、……前N 个t 秒内的位移之比：S 1=v 0t+12at 2=0+12at 2=12at 2; S 2=v 0t+12a(2t)2=2at 2; S 3=v 0t+12at 2=12a(3t)2=92at 2 S n =v 0t+12at 2=12a(nt)2=n22at 2S 1:S 2:S 3……. S n =12at 2: 2at 2: 92at 2……n22=1:22:32…. N 2③第1个t 秒内、第2个t 秒内、……-第n 个t 秒内的位移之比：)12(::5:3:1:::21-=n s s s nS 1=v 0t+12αt 2=0+12αt 2=12αt 2; (初速为0) S 2=v 0t+12αt 2=αt*t+12αt 2=32αt 2; (初速为αt) S 3=v 0t+12αt 2=α2t*t+12αt 2=52αt 2) (初速为2αt)n =v 0t+12αt 2=α*(2n-1)t*t+12αt 2=2n−12αt 2 (初速为(2n-1)αt)α④前一个s 、前二个s 、……前n 个s 的位移所需时间之比： t 1:t 2:t 3……:t n =1:√2:√3:……………√n 因为初速度为0，所以x =V 0t+ 12 αt 2= 12 αt 2 S= 12a t 12, t 1=√2Sa 2S ==12a t 22 t 2=√4Sa 3S =12a t 32 t 3=√6Sa t 1:t 2:t 3……:t n =√2Sa : √4Sa : √6Sa ………=1:√2: √3……√n⑤第一个s 、第二个s 、……第n 个s 的位移所需时间之比：)1(::)23(:)12(:1:::21----=n n t t t n 由上题证明可知：第一个s 所需时间为t 1=√2Sa ；第二个s 所需时间为t 2-t 1=√4Sa -√2Sa =√2Sa (√2-1) 第三个s 所需时间为t 3-t 2=√6Sa −√4Sa =√2Sa (√3-√2) 第n 个s 的位移所需时间t n -t n-1=√2Sa (√n -√n −1) ⑥一个s 末、第二个s 末、……第n 个s 末的速度之比：n v v v n ::3:2:1:::21 =因为初速度为0，且V t 2-V 02=2αx ，所以V t 2 =2αx V t12=2αs V t1=√2αs V t22=2α(2s) V t2=√4αs V t32=2α(3s) V t3=√6αs V tn 2=2α(ns) V tn =√2nαsV t1：V t2：V t3：…….V tn =√2αs:√4αs: √6αs: √2nαs =1:√2:√3:√ n 以上特点中，特别是③、④两个应用比较广泛，应熟记。

6、作为匀变速直线运动应用的竖直上抛运动，其处理方法有两种：其一是分段法。

上升阶段看做末速度为零，加速度大小为g的匀减速直线运动;下降阶段为自由落体运动(初速为零、加速度为g的匀加速直线运动)；其二是整体法。

把竖直上抛运动的上升阶段和下降阶段看成整个运动的两个过程。

整个过程初速为v0、加速度为g的匀减速直线运动。

（1）竖直上抛定义：将一个物体以某一初速度V0竖直向上抛出，抛出的物体只受重力，这个物体的运动就是竖直上抛运动。

竖直上抛运动的加速度大小为g，方向竖直向下，竖直上抛运动是匀变速直线运动。

（2）竖直上抛运动性质：初速度为V0≠0，加速度为-g的匀变速直线运动（通常规定以初速度V0的方向为正方向）（3）竖直上抛运动适应规律速度公式：V t=V0−gt位移公式：h=V0t−12gt2速度位移关系式：V t2−V02=−2gh（4）竖直上抛处理方法①段处理上抛：竖直上升过程：初速度为V0≠0加速度为g的匀减速直线运动基本规律：V t=V0−gt h=V0t−12gt2V t2−V02=−2gh竖直下降过程：自由落体运动基本规律：V t=gt h=12gt2V t2=2gh②直上抛运动整体处理：设抛出时刻t=0，向上的方向为正方向，抛出位置h=0，则有：V t=V0−gt{若V t>0，表明物体处于上升阶段。

若V t=0，表明物体上升到最大高度。

若V t<0，表明物体处于下降阶段。

h=V0t−12gt2{h>0，表明物体在抛出点上方运动。

h=0，表明物体正处在抛出点。

h<0，表明物体在抛出点下方运动V t2−V02=−2gh用此方法处理竖直上抛运动问题时，一定要注意正方向的选取和各物理量正负号的选取；特别是t=0时h的正负。

（5）竖直上抛运动的几个特征量①上升到最高点的时间：t =V0g ；从上升开始到落回到抛出点的时间：t =2V 0g。

③ 升的最大高度：h =V 022g ；从抛出点出发到再回到抛出点物体运动的路程：h =V 02g④ 升阶段与下降阶段抛体通过同一段距离所用的时间相等（时间对称性：t 上=t 下） ⑤ 升阶段与下降阶段抛体通过同一位置时的速度等大反向（速度对称性：V 上=−V 下）7、自由落体及公式 (1)物体只受重力作用物体只受重力作用下，从静止开始下落的运动叫做自由落体运动（其初速度为0）。

其规律有V t 2=2gh 。

(g 是重力加速度，g=9.8m/s 2;)（2）一段时间内平均速度v=h t =12gt（3）自由落体半程时间与全程时间之比为1：√12 推理：设半程时间为t;全程时间为T,则： h 2=12g t 2 h=12g T 2 t 2=h g T 2=2h gtT =√t 2T 2=√hg 2h g=√12（4）自由落体半程速率与全程速率之比为1：√12。