无限冲激响应(IIR)滤波器设计

3. 滤波器的技术要求
低通：
ω p : 通带截止频率(又称通带上限频率 ) ω s : 阻带下限截止频率 α p ：通带允许的最大衰减；
αs
：阻带内应达到的最小衰减
| H (e j 0 ) | jω p α p = 20 lg = −20 lg | H ( e ) | jω p | H (e ) | | H (e j 0 ) | jω s α s = 20 lg = −20 lg | H ( e ) | jω s | H (e ) |
第6章 无限冲激响应(IIR） 滤波器设计
6.1 滤波器的基本概念； 6.2 模拟低通滤波器设计； 6.3 模拟高通、带通及带阻滤波器设计； 6.4 冲激响应不变法； 6.5 双线性Z变换法； 6.6 数字高通、带通及带阻滤波器设计；
6.1 滤波器的基本概念；
1. 滤波原理
(a)
( a ) | X ( e jω ) |;
FIR DF: IIR DF:
H ( z ) = ∑ h(n ) z
n =0
N −1
−n
H ( z) =
br z − r ∑ 1 + ∑ ak z − k
k =1 r =0 N
M
从含有噪声的数据记录(又称时间序列)中估 计出信号的某些特征或信号本身. 维纳滤波器、卡尔曼滤波器、线性预测、 自适应滤波器
6.2 模拟低通滤波器的设计
给定模拟低通滤波器的技术指标α p , Ω p , α s , Ω s 设计低通滤波器G ( s ) :
d 0 + d1s + ⋅ ⋅ ⋅ + d N −1s N −1 + d N s N G( s) = c0 + c1s + ⋅ ⋅ ⋅cN −1s N −1 + cN s N
用s / Ω p 代替p, 即得实际需要的G ( s ).
G (s) = G ( p)
p=s / Ω p
Ω p 反映 了实际频率
4.巴特沃思滤波器幅频响应的特点:
| G ( jλ ) | =
2
1 1+ λ 2N
(1). 当Ω = 0时, λ = 0, | G ( jλ ) |2 = 1, α (0) = 0, 即 在Ω = 0处无衰减;
Step3.
pk = exp[ j (k + 2) π 5], k = 1, 2,3, 4,5
Step4. G( p) = 1 ( p − p1 )( p − p2 )( p − p3 )( p − p4 )( p − p5 ) Step5. G (s) = G ( p)
10 π = 4 ( s + 10 π )( s + L )( s + L )
1 −1 | G ( jλ ) | = 2 1 + ε 2Cn ( λ ) , Cn (λ ) = cos( n cos λ )
2
2. 求
ε
和 n 2 2 α ( λ ) = 10 lg[1 + ε Cn ( λ )]
ε Cn (1) = 10
2 2
α p / 10
−1
α p /10
Q Cn (1) = 1
−1 −1
α p /10
−1
C λs
2N
α s / 10
10α s /10 − 1 N = lg / lg λs α p /10 10 −1
对Butterworth滤波器，通常α p = 3dB ，所以
C = 10
2
α p /10
− 1 = 10 − 1 = 1
0.3
N = lg 10α s /10 − 1 lg λs
使其对数幅频响应 10 lg | G ( jΩ) |2 在Ω p , Ω s 处分别达到α p , α s的要求.
定义衰减函数 α (Ω)
X ( jΩ) 2 1 α (Ω) = 10 lg | | = 10 lg Y ( jΩ) | G ( jΩ) |2
α p = α (Ω p ) = −10 lg | G ( jΩ p ) | α s = α (Ω s ) = −10 lg | G ( jΩ s ) |
单位 (dB)
高通：
带通：
带阻：
给定数字滤波器的技术指标
ω p , ω s , α p , α s（更多）
转换成模拟滤波器的技术指标 Ω p , Ω s , α p , α（更多） s 转换成模拟低通滤波器的技术指标
λ p , λs , α p , α s
设计模拟低通滤波器 G ( p ) 得到模拟低通、高通、带通、带阻滤波器 H ( s ) 得到数字低通、高通、带通、带阻滤波器 H ( z )
2
∴ ε = 10
2
−1
利用另外的条件： λs , α s
Note : λs > 1
ε Cn (λs ) = 10
2 2 2
α s /10
−1
2
= ε cosh [n ar cosh(λs )]
cosh x = [e + e ] / 2
x
−x
sinh x = [e − e ] / 2
x
−x
10 −1 cosh [ n ar cosh(λs )] = α p /10 @a 2 10 −1
(b)
(b) | H ( e jω ) |;
(c)
( c ) | Y ( e jω ) |
x(n)通过系统h(n)后使输出y (n)中不再含有 | ω |> ω c的 频率成分, 而使 | ω |< ω c的成分"不失真的通过".
2. 滤波器的分类
x(n) 中的有用成分和希望去除的成分各自占
有不同的频带, 通过一个线性系统可将欲去除 的成分有效去除. 分类: 低通(LP), 高通(HP),带通(BP), 带阻(BS) 每一种又有模拟(AF)、数字(DF)两种滤波器. 对数字滤波器, 从实现方法上, 有IIR滤波器和 FIR滤波器之分, 转移函数分别为:
2k + N − 1 pk = exp[ j π] 2N
k = 1,2,⋅ ⋅ ⋅, N
1 则： G ( p ) = ( p − p )( p − p ) ⋅ ⋅ ⋅ ( p − p ) 1 2 N
若N 为偶数, pk 及pN +1− k 这对共轭极点 构成一个二阶系统.
1 Gk ( p ) = ( p − pk )( p − pN +1− k ) 1 = 2k + N − 1 2 π ) +1 p − 2 p cos( 2N
ห้องสมุดไป่ตู้
1 | G ( jΩ) | = 1 + C 2 (Ω 2 ) N
2
C为待定常数, N为待定的滤波器阶次.
定义
Cn (Ω) = cos 2 (n cos −1 Ω)
2
2
1 | G ( jΩ) | = 2 2 1 + ε Cn ( Ω )
| G ( j Ω) | =
2
1 ⎡ Cn ( Ω s ) ⎤ 1+ ε ⎢ 2 ⎥ ⎣ Cn ( Ω s / Ω ) ⎦
G (− p ), 把左半平面的极点赋于G ( p ), 即 k = 1, 2,L , n
切比雪 夫滤波 器的极 点分布
最后：
G( p) =
1
ε ×2
n −1
∏(p − p )
k k =1
n
实际转移函数为
G( s) = G( p) |
1 p= Ωp
=
Ωp
n
ε ×2
n −1
∏ (s − p Ω
k k =1
2
α s /10
则
ar cosh(a ) n= ar cosh(λs )
3. 确定G ( s )
1 G ( p )G (− p ) = 2 2 1 + ε Cn ( p / j )
求根
1 + ε Cn ( p / j ) = 0
2 2
cos[n ar cosh(− jp )] = ± j
1
ε
(2k − 1)π p ]sinh(ϕ 2 ) 最后导出： k = sin[ 2n k = 1,2,⋅ ⋅ ⋅,2n (2k − 1)π + j cos[ ]cosh(ϕ 2 ) 2n 此式求出的2n个极点pk , 一半属于G ( p ), 一半属于
又有
2
2
G ( s )G * ( s ) = G ( s )G ( − s ) |s = jΩ =| G ( jΩ) |
2
由 | G ( jΩ) |2 就很容易得到所需要的 G ( s )
将 G ( s ) 按不同的原则简化，可得到不同
| G ( jΩ) |2 2表达式： 形式的滤波器，即不同的 G(jΩ)
20 5
p=
s 2π ×5000
归一化幅度平方特性
1 | G ( jλ ) | = 2 2 1 + ε Cn ( λ )
2
切比雪夫多项式：
Cn (λ ) = cos(n cos λ ) λ <1
−1
Cn (λ) = ch( Nch λ)
−1
λ >1
设计步骤：
1. 将频率归一化, 得归一化的幅平方特性, 即
n
p
)
Ω p 反映 了实际频率
6.3 模拟高通, 带通及带阻滤波器的设计
给定高通、 带通或带阻 的技术指标 频率转换 低通滤 波器技 术指标
η⇒λ
η p ,ηs , α p , α s
得到高通 带通或带阻 滤波器H(s) 频率转换
λ p , λs , α p , α s
设计模拟低 通滤波器G(p)