2021年吉林省普通高中学业水平考试数学试题
2021年吉林普通高中会考数学模拟试题及答案
2021年吉林普通高中会考数学模拟试题及答案注意事项：1．答题前将自己的姓名、考籍号、科考号、试卷科目等项目填写或涂在答题卡和试卷规定的位置上。
考试结束时.将试卷和答题卡一并交回。
2．本试题分两卷.第1卷为选择题.第Ⅱ卷为书面表达题。
试卷满分为120分。
答题时间为100分钟。
3．第1卷选择题的答案都必须涂在答题卡上。
每小题选出答案后.用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动.用橡皮擦干净后.再选涂其他答案标号。
选择题答案写在试卷上无效。
4．第Ⅱ卷的答案直接写在试卷规定的位置上.注意字迹清楚.卷面整洁。
参考公式：标准差：锥体体积公式： V= 31S底·h其中．s 为底面面积.h 为高,柱体体积公式V=s.h球的表面积、体积公式S= 24R π V=343R π其中．s 为底面面积.h 为高, V 为体积 .R 为球的半径第1卷 （选择题 共50分）一、选择题（本大题共15小题.每小题的四个选项中只有一项是正确的.第1-10小题每 小题3分.第11-15小题每小题4分.共50分）1.设集合M={－2.0.2}.N={0}.则( ). A ．N 为空集 B. N ∈M C. N M D. MN2．已知向量(3,1)=a .(2,5)=-b .那么2+a b 等于（ ） A (1,11)- B (4,7) C (1,6) D (5,4)-3．函数2log (1)y x =+的定义域是（ ）222121[()()()]n s x x x x x x n =-+-++-A (0,)+∞B (1,)-+∞C (1,)+∞D [1,)-+∞4．函数sin y x ω=的图象可以看做是把函数sin y x =的图象上所有点的纵坐标保持不变.横坐标缩短到原来的12倍而得到的.那么ω的值为（ ） A 14 B 12C 4D 25．在函数3y x =.2xy =.2log y x =.y =.奇函数是（ ）A 3y x = B 2xy = C 2log y x =D y =6.一个几何体的三视图如图所示.该几何体的表面积是（ ） A 3π B 8π C 12π D 14π7．11sin 6π的值为（ ）A 12-B 2-C 12D 28．不等式2320x x -+<的解集为（ ）A {}2x x > B {}1x x > C {}12x x << D {}12x x x <>或9．在等差数列{}n a 中.已知12a =.24a =.那么5a 等于（ ）A ．6B ．8C ．10D ．1610．函数45)(2+-=x x x f 的零点为()俯视图左（侧）视图主（正）视图22A ．(1,4)B ．(4,1)C ．(0,1),(0,4)D ．1,411．已知平面α∥平面β.直线m ⊂平面α.那么直线m 与平面β的关系是（ ） A 直线m 在平面β内 B 直线m 与平面β相交但不垂直 C 直线m 与平面β垂直 D 直线m 与平面β平行12. 在ABC ∆中.如果3a =2b =.1c =.那么A 的值是（ ）A 2πB 3πC 4πD 6π13.直线y= -12x+34的斜率等于 （ ） A ．-12 B ．34 C ．12 D ．- 3414．某城市有大型、中型与小型超市共1500个.它们的个数之比为1:5:9．为调查超市每日的零售额情况.需要通过分层抽样抽取30个超市进行调查.那么抽取的小型超市个数为（ ）A 5B 9C 18D 2015, ．设,x y ∈R 且满足1230x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩.则2z x y =+的最小值等于 ( )A. 2B. 3C.4D.52021年吉林省普通高中学业考试模拟试题（数学） 注意事项：1．第Ⅱ卷共4页.用蓝、黑色钢笔或圆珠笔直接答在试卷上。
2021年吉林省普通高中学业水平考试数学试题(word版含答案)
2021年吉林省普通高中学业水平考试数学试题一、选择题:(本大题共15小题,每小题的四个选项中，只有一项是正确的，第1—10小题每小题3分，第11—15小题4分，共50分）1. 已知集合A={-1，0，1，2}，B={-2，1，2}则A B=（ ） A{1} B.{2} C.{1，2} D.{-2，0，1，2}.2.函数5()log (1)f x x =-的定义域是（ ）A. (,1)(1,)-∞+∞B.[0,1)C.[1,)+∞D.(1,)+∞3函数f(x)＝⎩⎨⎧ x ＋1，x ≤1－x ＋3，x>1，则f(f(4))＝( )A. 0B. -2C. 2D. 64.将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，出现“正面向上的点数为6”的概率是（） A. B. C. D.5.的值为（ ）A. B. C. D. 6.已知直线l 过点（0，7），且与直线y=-4x+2平行，则直线l 的方程为（ ）A.y=-4x-7B.y=4x-7C.y=-4x+7D.y=4x+77.已知向量若，则实数x 的值为（ ）A.-2B.2C.-1D.1314151614cos 4sin ππ2122422),1,(),2,1(-==x b a b a ⊥8.已知函数f(x)的图像是连续不断的，且有如下对应值表： x 1 2 3 4 5 f(x) -4 -2 1 4 7 在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为 （ ）A.（1，2）B.（2，3）C.(3,4)D. (4,5)9.已知直线l ：y=x+1和圆C ：x 2+y 2=1,则直线l 和圆C 的位置关系为（ ）A.相交B.相切C.相离D.不能确定10.下列函数中，在区间（0，+）上为增函数的是（ ）A. B.y=log 3x C. D.y=cosx11.．下列结论正确的是（ ）A ．平行于同一个平面的两条直线平行B ．一条直线与一个平面平行，它就和这个平面内的任意一条直线平行C ．与两个相交平面的交线平行的直线，必平行于这两个平面D ．平面外两条平行直线中的一条与这个平面平行，则另一条也与这个平面平行 12. 已知一组数据如图所示，则这组数据的中位数是( )A.27.5B. 28.5C. 27D. 2813. ）的最小值是（则若)2(),0,2(x x x +-∈A. 2-B. 23- C. 1- D. 21-14. 偶函数)(x f 在区间[]1,2--上单调递减，则函数)(x f 在区间[]2,1上( )A. 单调递增，且有最小值)1(fB. 单调递增，且有最大值)1(fC. 单调递减，且有最小值)2(fD. 单调递减，且有最大值)2(f∞x y )31(=x y 1=。
吉林省长春市普通高中2021届高三质量监测(二)数学(理)试题答案
长春市普通高中2021届高三质量监测（二） 数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. D2. A3. B4. C5.C6. C7. D8. B9. D 10.C 11. C12. D简答与提示：1. 【试题解析】D 复数z 的虚部为2sin3π=D. 2. 【试题解析】A 易知阴影部分为集合()(1,2]U A B =-，故选A. 3. 【试题解析】B 若m 与n 不相交，则“直线l m ⊥且l n ⊥”不能推出“l α⊥”；反之，如果“l α⊥”，无论m 与n 是否相交，都能推出“直线l m ⊥且l n ⊥”，故“直线l m ⊥且l n ⊥”是“l α⊥”的必要不充分条件，故选B.4. 【试题解析】C 由图易知①②③正确，④中位数应为1289（万），④错，故选C.5. 【试题解析】C 设事件A =“第1次抽到代数题” ，事件B =“第2次抽到几何题”，则321(|)342P B A ⨯==⨯，故选C. 6. 【试题解析】C 由题意533565,13S a a ===，所以142328a a a a +=+=，故选C.7. 【试题解析】D 由题意知，直线l 过点1(,1)2-，斜率为2，所以直线:220l x y -+=，故选D.8. 【试题解析】B 由题意知||1,0DC DC BC =⋅=，所以()1AD DC AB BC CD DC AB DC CD DC ⋅=++⋅=⋅+⋅=，故选B9. 【试题解析】D由题意，设ABC △为36A =︒的黄金三角形，有,a b c b ==，所以222cos362b c a bc +-︒==所以sin126cos36︒=︒=另外36A B ==︒，108C =，也可获得此结果，故选D.10. 【试题解析】C 由2FA AM =知A 为线段FM 上靠近F 的三等分点，所以0(,0),(,3)22p p F M y -，有22(2)2,12,2422p pp y x -=+==，故选C. 11. 【试题解析】C 由图知，125,221212πππωω⋅=+=，2()2,0,126k k ππϕπϕ⨯-+===，故①正确，②错误；③中，12,26x x π+=而直线6x π=是函数()f x 的对称轴，故③正确，④错误，故选C.12. 【试题解析】D 由题意化简，()1x xx xe ef x e e --+=+-，可知()f x 的图象与()g x 的图象都关于点(0,1)对称，又2224()0(1)xx e f x e -'=<-，所以()f x 在(,0),(0,)-∞+∞上单调递减，由2()3(4)g x x '=--可知，()g x 在(,2),(2,)-∞-+∞上单调递减，在(2,2)-上单调递增，由图象可知，()f x 与()g x 的图象有四个交点，且都关于点(0,1)对称，所以所求和为4，故选D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 614. 例如x -15.16. 三、解答题17. (本小题满分12分)【试题解析】解：（1）由题意，521885020400ˆ90,4,859080ii x x b =-⨯====-∑，ˆ40085460a=-⨯=，所以ˆ8560y x =+. （6分） （2）由（1）知，22171125585805()24w x x x =-+-=--+，所以当8x =或9x =时能获得总利润最大. （12分）18. (本小题满分12分) 【试题解析】解：（1）证明：11111111111A A ABC A A AC AC A ABB AC ABC AC B M AC B M AB AC B M A ABB ⎫⎫⊥⎫⇒⊥⎪⎬⎪⇒⊥⊂⎬⎪⎭⇒⊥⊥⎬⎪⊥⎭⎪⎪ ⊂⎭平面平面平面，即平面111111*********AC B M B M A BC A B B M B C M A BC B M B C M ⎫⊥⎫⇒⊥⎬⎪⊥⇒⊥⎬⎭⎪ ⊂⎭平面平面平面平面. （6分） （2）以A 为原点，AB 方向为x 轴，AC 方向为y 轴，1AA 方向为z 轴，建立空间直角坐标系.1(4,0,2)B ，1(0,4,2)C ，(3,0,0)M11(4,4,0)BC =- 1(1,0,2)B M =--平面11B C M 的法向量为1(2,2,1)n =- 平面11A ACC 的法向量为2(1,0,0)n =即平面11A ACC 与平面11B C M 所成锐二面角θ的余弦值为1212||2cos 3||||n n n n θ⋅==⋅，即平面11A ACC 与平面11B C M 所成锐二面角的余弦值为23. （12分）19. (本小题满分12分)【试题解析】解：（1）由题意112112080a a q a q a q +=⎧⎨+=⎩，可知4q =， 进一步解得14a =. 即{}n a 的通项公式为4n n a =. （6分）（2）22log log 42n n n b a n ===，212(1)22n S n n n n n =+-⋅=+，2221111111n n b n S n n n n==+++++，由*n ∈N ， 利用基本不等式以及对勾函数的性质可得11203n n +≥得61123n n b S +≤则λ的最小值为623. （12分）20. (本小题满分12分)【试题解析】解：（1）当1a =时，令2()()()ln F x f x g x x x =-=-，1()2F x x x'=-（0x >） 2121()2x F x x x x -'=-=，令()0F x '=且0x >可得22x =，min 21111((ln 2)ln 222222F F ==--=+. （4分）（2）方法一：由函数()f x 和()g x 的图象可知，当()()f x g x >时，曲线()y f x =与()y g x =有两条公切线.即2ln ax x >在(0,)+∞上恒成立，即2ln x a x>在(0,)+∞上恒成立，设2ln ()x h x x =，312ln ()xh x x -'=令312ln ()0xh x x -'==，x e =即max 1()2h h e e ==，因此，12a e >. （12分）法二： 取两个函数相切的临界条件：20000ln 12ax x ax x⎧=⎪⎨=⎪⎩解得0x =，12a e =， 由此可知，若两条曲线具有两条公切线时，12a e>. （12分） 21. (本小题满分12分)【试题解析】解：（1）由12e =可设2a t =，c t =，则b =， 则方程化为2222143x y t t+=，又点3(1,)2P 在椭圆上，则22914143t t+=，解得1t =，因此椭圆C 的方程为22143x y +=. （4分） （2）当直线AB 的斜率存在时，设AB 直线的方程为y kx m =+， 联立直线AB 和椭圆C 的方程消去y 得，2234()120x kx m ++-=，化简得：222(34)84120k x kmx m +++-=，21111||||||||222AOB S m x x m m =⋅-==△222||2||3434m m k k =++==当221342m k =+时，S22234m k =+， 又122834km x x k -+=+，121226()234my y k x x m k +=++=+， 则1212(,)22x x y y M ++，即2243(,)3434km mM k k -++ 令22434334km x k my k -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，则221322x y +=， 因此平面内存在两点G 、H使得||||GM HM +=当直线AB的斜率不存在时，设(2cos )A θθ，则(2cos ,)B θθcos 2AOB S θθθ==△，即当4πθ=此时AB 中点M的坐标为，满足方程221322x y +=，即||||GM HM +=（12分）22. (本小题满分10分)【试题解析】（1）曲线1C 的普通方程为cos sin 0y x αα⋅-⋅=，即极坐标方程为θα=（ρ∈R ）.曲线2C 的直角坐标方程为2223x y x +-=，即22(1)4x y -+=. （5分）（2）曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρθρ-⋅-=，代入θα=，可得123ρρ⋅=-， 则12||||||3OA OB ρρ⋅==. （10分）23. (本小题满分10分) 【试题解析】（1）()(4)|1||3|8f x f x x x ++=-++≥，则(,5][3,)x ∈-∞-+∞. （5分）（2）要证()||()bf ab a f a>成立，即证|1|||ab b a ->-成立， 即证22221b a b a +>+成立，只需证222(1)(1)0a b b --->成立即证22(1)(1)0a b -->成立，由已知||1,||1a b <<得22(1)(1)0a b -->显然成立.（10分）。
2021年吉林省普通高中学业水平考试数学试题(解析)
2021年吉林省普通高中学业水平考试数学试题一、单选题1．已知集合A 1,0,1,2，B2,1,2，则AA ．1【答案】C【分析】利用集合的交运算即可求解.【详解】集合A 1,0,1,2，B 2,1,2，则AB ．2B（）D ．C ．1,22,0,1,2B1,2.故选：C2．函数f(x)log 5(x 1)的定义域是( )A ．(,1)(1,)B ．[0,1)【答案】D【分析】根据对数的真数部分大于0，列出不等式解出即可.【详解】要使函数有意义需满足x 10，解得x 1，即函数的定义域为(1,)，故选：D.【点睛】本题主要考查了对数函数的定义域，属于基础题.C ．[1,)D ．(1,)x 1,x 13．函数f x 则f f 4（）x 3,x 1A ．0【答案】A【分析】根据分段函数解析式，代入即可求解.B ．-2C ．2D ．6x 1,x 1【详解】由f x ，x 3,x 1则f f 4f 1110.故选：A4．将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，出现“正面向上的点数为6”的概率是（）.A ．13B ．14C ．15D ．16【答案】D【解析】试题分析：抛一枚质地均匀的硬币，有6种结果，每种结果等可能出现，正面向上的点数为6的情况只有一种，即可求．解：抛掷一枚质地均匀的硬币，有6种结果，每种结果等可能出现，出现“正面向上的点数为6”的情况只有一种，故所求概率为故选D.【解析】古典概率点评：本题主要考查了古典概率中的等可能事件的概率的求解，如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）=m:n ．属基础题5．sin 1,64cos4的值为（）A ．12B ．22C ．24D ．2【答案】A【分析】利用二倍角公式求解即可.【详解】sin 故选：A.6．已知直线l 过点(0,7)，且与直线y 4x 2平行，则直线l 的方程为（）A ．y4x 7【答案】D【分析】根据直线平行的斜率关系可得直线的斜率，再结合点斜式即可得解.【详解】因为与直线y4x 2平行，所以斜率相等，即k4；过点(0,7)，则由点斜式可知直线方程为y 74x ，即直线l 的方程为y 4x 7，故选：D.【点睛】本题考查了直线位置关系与斜率关系，点斜式求直线方程，属于基础题.7．已知向量a (1,2)，b (x,1)若a b ，则实数x 的值为（）A ．-2【答案】BB ．2C ．-1D ．1B ．y4x 7C ．y 4x 7D ．y4x 74cos11sin ；4222【分析】根据向量垂直的坐标表示计算可得结果.【详解】因为a b ，所以a b0，所以x 20，即x 2.故选：B8．已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：xf(x)1231445742在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为（）.A ．（1，2）【答案】B【解析】解：根据零点的概念可知，当x=2,x=3时，函数值出现异号，因此零点在该区间，选B 9．已知直线l:y x 1和圆C :x 2y 21，则直线l 和圆C 的位置关系为（）A ．相交【答案】A【分析】利用圆心0,0到直线的距离与半径比较大小，即可判断.【详解】圆C :x y 1的圆心0,0，半径r 1，22B ．（2，3）C ．（3，4）D ．（4，5）B ．相切C ．相离D ．不能确定则圆心0,0到直线l:y x 1的距离为d所以直线l 和圆C 的位置关系为相交，故选：A1121221r ，210．下列函数中，在区间(0,)上为增函数的是（）.A ．y ()【答案】B【解析】试题分析：根据初等函数的图象，可得函数在区间（0，1）上的单调性，从而可得结论．解：由题意，A 的底数大于0小于1、C 是图象在一、三象限的单调减函数、D 是余弦函数，，在（0，+∞）上不单调，B 的底数大于1，在（0，+∞）上单调增，故13xB ．y log 3xC ．y1xD ．ycosx在区间（0，1）上是增函数,故选B 【解析】函数的单调性点评：本题考查函数的单调性，掌握初等函数的图象与性质是关键．11．下列命题正确的是()A ．一条直线与一个平面平行，它就和这个平面内的任意一条直线平行B ．平行于同一个平面的两条直线平行C ．与两个相交平面的交线平行的直线，必平行于这两个平面D ．平面外两条平行直线中的一条与这个平面平行，则另一条也与这个平面平行【答案】D【解析】A 错误；平行于平面的直线，和这个平面内的直线平行或异面；B 错误；平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面；C 错误；与两个相交平面的交线平行的直线也可能在其中一个平面内；D 正确；设a //b,a ,b,a //;故a 做一平面，c,则a //c,又a //b ，b //c.又b,c.b //.故选D12．已知一组数据如图所示，则这组数据的中位数是（）A ．27.5【答案】AB ．28.5C ．27D ．28【分析】将茎叶图中的数据按照从小到大的顺序排列，根据中位数的定义计算可得.【详解】将茎叶图中的数据按照从小到大的顺序排列为：16,17,19,22,25,27,28,30,30,32,36,40，所以这组数据的中位数是故选：A.【点睛】关键点点睛：理解茎叶图，掌握中位数的定义是本题的解题关键.13．若x (2,0)，则x(2x)的最小值是（）A ．2B ．272827.5.232C ．1D ．12【答案】C【分析】利用二次函数的单调性求最值即可.【详解】由题意得：令f xx(2x)x 22x x 11，则函数的对称轴为：x 1，又x(2,0)，所以函数f x 先减后增，当x 1时，函数f x 取最小值，则f11111，所以x(2x)的最小值是1；故选：C.14．偶函数f(x)在区间2,1上单调递减，则函数f(x)在区间1,2上（）A ．单调递增，且有最小值f(1)C ．单调递减，且有最小值f(2)【答案】A【分析】根据偶函数图象的特点可知f(x)在区间1,2上单调递增，即可得出最值.【详解】因为f(x)是偶函数，f(x)在区间2,1上单调递减，所以函数f(x)在区间1,2上单调递增，所以f(x)在区间1,2上最小值为f(1)，最大值为f(2)，故选：A15．已知函数y sin(x )的图象为C ，为了得到函数y sin(x )的图象，只要把C 上所有的点（）A ．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变B ．横坐标缩短到原来的1/3，纵坐标不变C ．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变D ．纵坐标缩短到原来的1/3，横坐标不变【答案】A【分析】根据三角函数的伸缩变换可得到答案.B ．单调递增，且有最大值f(1)D ．单调递减，且有最大值f(2)22π413π4【详解】将y sin(x )图像上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，即可得π41πy sin(x )的图象，34故选：A.二、填空题16．函数y 3cos 【答案】4【分析】直接利用三角函数的周期公式求解即可【详解】解：函数y 3cos 1x 的最小正周期为________．621x 的最小正周期为62T2412故答案为：4【点睛】此题考查余弦型函数的周期，属于基础题.17．在学校组织的一次知识竞赛中，某班学生考试成绩的频率分布直方图如图所示，若低于60分的有12人，则该班学生人数是____________【答案】40【分析】先利用频率分布直方图得到低于60分的学生的频率，再利用案.【详解】由频率分布直方图可得低于60分的学生的频率为：0.0050.01200.3，则该班学生人数是12即可得出答0.31240.0.3故答案为：40.18．已知扇形的圆心角为【答案】2，弧长为，则该扇形的面积为_________634π31lr 计算即可得解.22234.【详解】由扇形的圆心角为，弧长为，可得扇形半径为6361244π.从而有扇形面积为：2334故答案为π.3【分析】由扇形的弧长和圆心角可得半径，再由S 扇形=【点睛】(1)本题主要考查扇形的弧长、圆心角和面积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)l 的半径，属于基础题.三、双空题19．.已知等差数列{a n }中，a 11，a35，则公差d ________，a5________.【答案】29【分析】利用等差数列的通项公式即可求解.【详解】等差数列{a n }中，a 11，a35，则公差d r S 扇形=lr ，其中l 代表弧长,r 代表圆12a3a 12，2所以a5a14d 189.故答案为：2；9四、解答题20．在ABC中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b 2c 2a 2bc .（1）求角A 的大小；（2）若a3，b 1，求角B 的大小.【答案】（1）A3；（2）B6.【分析】（1）根据余弦定理计算可得结果；（2）根据正弦定理计算可得结果.【详解】（1）∵b2c2a2bc，∴b2c2a2bc，b2c2a2bc1∴cosA，2bc2bc2∵A是ABC的内角，∴A （2）∵3 .a b，sinA sin B3∴sin311∴sinB，，sin B2∵b a，∴B A，又因为0B，所以B6.【点睛】关键点点睛：在三角形中，根据正弦值求角时，由边的大小关系确定角是解题关键.21．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E、F分别为DD1CC1的中点.（1）求证：AC BD1；（2）求证：AE//平面BFD1.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）连结BD，证出AC D1D，AC BD，利用线面垂直的判定定理可得AC平面BDD1，进而可得AC BD1.（2）连结EF，证出AE//BF，再利用线面平行的判定定理即可证明.【详解】证明：（1）连结BD，由正方体ABCD A1B1C1D1得，D 1D平面ABCD .又AC 平面ABCD ，AC D 1D又四边形ABCD 是正方形，∴AC BD ，而D 1D BDD ，∴AC平面BDD1，又BD 1平面BDD 1，∴ACBD 1.（2）连结EF ，由EF 分别为ABCDA 1B 1C 1D1ABCDA 1B 1C 1D 1的中点得，EF //AB 且EF AB∴四边形ABFE 是平行四边形，∴AE //BF又AE平面BFD 1，BF平面BFD 1，∴AE //平面BFD 1.22．已知数列{a n }满足a n 13a n(nN )，且a26．（1）求a 1及a n ．（2）设b nan2，求数列{b n}的前n 项和S n ．n 1n【答案】（1）2，an23；（2）S n32n 1.【分析】（1）根据题意知数列是等比数列，代入公式得到答案.（2）先把{b n }表示出来，利用分组求和法得到答案.【详解】解：（1）因为an 13a n(nN )，a26所以数列{a n}是以首项为2，公比n 1为3的等比数列，所以数列a n23；n1（2）bnan2232Snb1b2b3b n=2(3031323n 1)2n13n=2()2n 3n 2n 1.13【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和分组求和法，是数列的常考题型.23．已知圆C :x 2y 28y 120，直线l:ax y 2a 0.（1）当a 为何值时，直线与圆C 相切.（2）当直线与圆C 相交于A 、B 两点，且AB 22时，求直线的方程.【答案】（1）a3；（2）x y 20或7x y 140.4【分析】（1）将圆C 的方程化为标准形式，得出圆C 的圆心坐标和半径长，利用圆心到直线的距离等于半径，可计算出实数a 的值；（2）利用弦长的一半、半径长和弦心距满足勾股定理可求得弦心距，利用点到直线的距离公式可求得实数a 的值，进而可得出直线l 的方程.【详解】（1）圆C 的标准方程为x 2y 44，圆心C 的坐标为0,4，半径长为22，当直线l 与圆C 相切时，则2a 432，解得a；4a 212AB （2）由题意知，圆心C 到直线l 的距离为d222，2由点到直线的距离公式可得d 7.2a 4a 212，整理得a 28a 70，解得a 1或因此，直线l 的方程为xy 20或7x y 140.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查利用直线与圆相切求参数以及根据弦长求直线方程，解答的核心就是圆心到直线的距离的计算，考查计算能力，属于中等题.24．①f 15；②6f 211.已知函数f x ax 2x c a、c N 满足：2*（1）求a ，c 的值；（2）若对任意的实数x ,，都有f x 2mx1成立，求实数m 的取值范围.22【答案】（1）a 1，c2；（2）m139.4【分析】（1）把条件①f 15；②6f 211，代入到f x 中求出a、c 即可；（2）不等式f x2mx1恒成立，设g xf x2mxx 21m x 22则分21m21，21m21两种情况讨论，只需329g x max g 3m 1即可.24【详解】（1）∵f xax 2x c a,c N 2*，满足f(1)5，可得a2c 5，即ac 3，∵6f(2)11，∴64a 4c 11，即64a 43a 11，∴13a4，∴14a ，33∵a,c N *，∴a 1，c 2；（2）由（1）得f x x 2x 2，2设g x f x 2mxx 21m x 2，2①当21m 21，即m 2时，329g x max g 3m ，24293m 1，425解得m ，与m 2不合，舍去；12故只需②当21m 21，113m ，24即m 2时，g x max g13m1，49解得m，又m2，49故m4故只需综上，m的取值范围为m 【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：①分离参数a f x恒成立(a f xmax 即可)或9.4a f x恒成立（a f xmin即可）；②数形结合(y f x图象在y g x上方即可)；③讨论最值f xmin 0或f xmax0恒成立.。
2021年12月吉林省普通高中学业水平合格性考试数学真题试卷含详解
2021年12月吉林省普通高中学业水平合格性考试数学试卷一､选择题（本大题共15小题，每小题的四个选项中只有一项是正确的，第1—10小题每小题3分，第11—15小题每小题4分，共50分）1.设集合{}1,2A =，{}2,3,4B =，则A B = （）A.{}1,2,3,4 B.{}1,2 C.{}2,3,4 D.{}22.若()()()1i 23i i ,a b a b ++-=+∈R ,其中i 是虚数单位,则,a b 的值分别等于（）A.3,2a b ==B.1,4a b =-= C.3,2a b ==- D.3,2a b =-=3.已知4sin 5α=，且α为第二象限角，则cos α的值为（）A.45 B.45-C.35D.35-4.不等式()20x x -<的解集是（）A.()(),02,-∞+∞B.()0,2C.()(),20,-∞-⋃+∞ D.()2,0-5.已知向量()1,a m = ，()1,2b =- ，若a b ⊥，则实数m 等于（）A.12B.12-C.-2D.26.设x ，R y ∈，则“1x >”是“0x >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.在空间，下列命题正确的是（）A.平行于同一平面的两条直线平行B.平行于同一直线的两个平面平行C.垂直于同一平面的两条直线平行D.垂直于同一平面的两个平面平行8.下列函数中，与y x =是同一个函数的是（）A.2y = B.u =C.y =D.2n m n=9.有一组数据，将其从小到大排序如下：157，159，160，161，163，165，168，170，171，173.则这组数据的第75百分位数是（）A.165B.168C.170D.17110.已知函数()21,02,0x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）A.2B.52-C.54D.1-11.函数()lg 3f x x x =+-的零点所在区间为（）A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)12.在ABC 中，π3A =，BC =，AC =，则角B 为（）A.π6 B.π4 C.π3 D.π213.若一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为1，则这个球的表面积是（）A.3π2 B.3π4C.3πD.12π14.已知3log 2a =，4log 2b =，5log 2c =，则（）A.c b a>> B.c a b>> C.b a c>> D.a b c>>15.在ABC 中，点D 在BC 边上，2BD DC = ，则AD =（）A.2133AB AC +B.1233AB AC +C.1122AB AC +D.1344AB AC +二､填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）16.若0x >，则4x x+的最小值为________________．17.某校高二年级有男生510名，女生490名，若用分层随机抽样的方法从高二年级学生中抽取一个容量为200的样本，则女生应抽取___________名.18.已知1sin 23α=-，则2πcos 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为___________.19.根据某地不同身高的未成年男性的体重平均值，建立了能够近似地反映该地未成年男性平均体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）的函数关系：2 1.02x y =⨯，如果体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么该地一名身高为175cm ，体重为78kg 的未成年男性的体重状况为___________.（填“偏胖”或“正常”或“偏瘦”，参考数据：351.022≈）三､解答题（本大题共4小题，第20､21小题每小题8分，第22､23小题每小题9分，共34分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）20.已知函数()sin 2cos 2f x x x =+.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 的最大值及取得最大值时自变量x 的集合.21.一个盒子中装有5支圆珠笔，其中3支为一等品（记为1A ，2A ，3A ），2支为二等品（记为1B ，2B ），从中随机抽取2支进行检测.（1）写出这个试验的样本空间Ω；（2）求抽取的2支圆珠笔都是一等品的概率.22.如图，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，AB =3，AC =4，BC =5.（1）求证：AB ⊥平面11ACC A ；（2）若异面直线1BB 与1AC 所成的角为30°，求三棱柱111ABC A B C -的体积.23.已知函数2()31xf x a =+-.（1）根据函数单调性的定义证明函数()f x 在区间(),0∞-上单调递减；（2）若函数()f x 是奇函数，求实数a 的值.2021年12月吉林省普通高中学业水平合格性考试数学试卷一､选择题（本大题共15小题，每小题的四个选项中只有一项是正确的，第1—10小题每小题3分，第11—15小题每小题4分，共50分）1.设集合{}1,2A =，{}2,3,4B =，则A B = （）A.{}1,2,3,4 B.{}1,2 C.{}2,3,4 D.{}2【答案】D【分析】利用集合交集的定义求解即可.【详解】因为{}1,2A =，{}2,3,4B =，所以{2}A B = ，故选：D2.若()()()1i 23i i ,a b a b ++-=+∈R ,其中i 是虚数单位,则,a b 的值分别等于（）A.3,2a b ==B.1,4a b =-= C.3,2a b ==- D.3,2a b =-=【答案】C【分析】将等式合并计算结果,求出,a b 即可.【详解】解:由题知()()1i 23i 32i i a b ++-=-=+,,a b ∈R ,3,2a b ∴==-.故选:C 3.已知4sin 5α=，且α为第二象限角，则cos α的值为（）A.45 B.45-C.35D.35-【答案】D【分析】直接根据同角三角函数关系得到答案.【详解】α为第二象限角，则3cos 5α===-.故选：D4.不等式()20x x -<的解集是（）A.()(),02,-∞+∞B.()0,2C.()(),20,-∞-⋃+∞ D.()2,0-【答案】B【分析】根据一元二次不等式的解法计算可得.【详解】解：由()20x x -<，解得02x <<，所以不等式的解集为()0,2.故选：B5.已知向量()1,a m = ，()1,2b =- ，若a b ⊥，则实数m 等于（）A.12B.12-C.-2D.2【答案】A【分析】根据向量垂直列方程，化简求得m 的值.【详解】由于a b ⊥，所以1120,2a b m m ⋅=-+== .故选：A6.设x ，R y ∈，则“1x >”是“0x >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可判断，进而可得正确选项.【详解】若1x >可以得出0x >，但0x >得不出1x >，所以“1x >”是“0x >”的充分不必要条件，故选：A7.在空间，下列命题正确的是（）A.平行于同一平面的两条直线平行B.平行于同一直线的两个平面平行C.垂直于同一平面的两条直线平行D.垂直于同一平面的两个平面平行【答案】C【分析】A.利用两直线的位置关系判断；B.利用两平面的位置关系判断；C.利用线面垂直的性质定理判断；D.利用两平面的位置关系判断.【详解】A.平行于同一平面的两条直线平行、相交或异面，故错误；B.平行于同一直线的两个平面平行或相交，故错误；C.由线面垂直的性质定理知：垂直于同一平面的两条直线平行，故正确；D.垂直于同一平面的两个平面平行或相交，故错误；故选：C8.下列函数中，与y x =是同一个函数的是（）A.2y = B.u =C.y =D.2n m n=【答案】B【分析】根据函数的概念，结合函数的定义域与对应法则，逐项分析即得.【详解】对于A ，函数[)20,y x x ==∈+∞，，与函数R y x x =∈，的定义域不同，不是同一个函数；对于B ，函数R u v v ==∈，，与函数R y x x =∈，的定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数；对于C ，函数R s t t ==∈，，与函数R y x x =∈，的对应关系不同，不是同一个函数；对于D ，函数()()2,00,n m n n n==∈-∞⋃+∞，，与函数R y x x =∈，的定义域不同，不是同一个函数.故选：B.9.有一组数据，将其从小到大排序如下：157，159，160，161，163，165，168，170，171，173.则这组数据的第75百分位数是（）A.165B.168C.170D.171【答案】C【分析】根据百分位数的定义求解即可.【详解】因为1075%7.5⨯=，所以这组数据的第75百分位数是第8个数170，故选：C.10.已知函数()21,02,0x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）A.2B.52-C.54D.1-【答案】A【分析】根据分段函数解析式求得正确答案.【详解】()112121222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯==⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：A11.函数()lg 3f x x x =+-的零点所在区间为（）A.(0,1) B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【答案】C【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可；【详解】解：因为lg y x =与3y x =-在定义域上单调递增，所以()lg 3f x x x =+-在定义域()0,∞+上单调递增，又()1lg11320f =+-=-<，()2lg 2231lg 20f =+-=-+<，()3lg 333lg 30f =+-=>，即()()230f f ⋅<，所以()f x 的零点位于()2,3内；故选：C12.在ABC 中，π3A =，BC =，AC =，则角B 为（）A.π6 B.π4 C.π3 D.π2【答案】B【分析】利用正弦定理求得正确答案.【详解】由正弦定理得=sin sin BC AC A B，即sin 32B =，解得sin B =由于BC AC >，所以π3B <为锐角，所以π4B =.故选：B13.若一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为1，则这个球的表面积是（） A.3π2B.3π4C.3πD.12π【答案】C【分析】先求得球的半径，进而求得球的表面积.，所以球的直径322R R ==，所以球的表面积为24π3πR =.故选：C14.已知3log 2a =，4log 2b =，5log 2c =，则（）A.c b a >>B.c a b >>C.b a c>> D.a b c>>【答案】D【分析】根据对数函数在同一坐标系中作函数245log ,log ,log y x y x y x ===的图象，结合图象即可比较函数值大小.【详解】解：如下图，作函数245log ,log ,log y x y x y x ===的图象由图可知，当2x =时，345log 2log 2log 2>>，即a b c >>.故选：D.15.在ABC 中，点D 在BC 边上，2BD DC = ，则AD =（）A.2133AB AC +B.1233AB AC +C.1122AB AC +D.1344AB AC +【答案】B【分析】根据平面向量的线性运算求得正确答案.【详解】23AD AB BD AB BC=+=+()212333AB AC AB AB AC =+-=+ .故选：B二､填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）16.若0x >，则4x x+的最小值为________________．【答案】4【分析】利用基本不等式求得最小值.【详解】40,4x x x >+≥=，当且仅当4,2x x x==时等号成立.故答案为：417.某校高二年级有男生510名，女生490名，若用分层随机抽样的方法从高二年级学生中抽取一个容量为200的样本，则女生应抽取___________名.【答案】98【分析】根据分层抽样的定义，计算男女生比例，即可计算求解.【详解】由已知得，男生与女生的比例为：51:49，根据分层抽样的定义，女生应该抽取的人数为：4920098100⨯=（人）故答案为：9818.已知1sin 23α=-，则2πcos 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为___________.【答案】13【分析】根据余弦的二倍角公式即可求解.【详解】由于2ππ22c cos os 124αα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22π1π1sin 22cos 1cos 4343ααα⎛⎫⎛⎫=--=-⇒-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：1319.根据某地不同身高的未成年男性的体重平均值，建立了能够近似地反映该地未成年男性平均体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）的函数关系：2 1.02x y =⨯，如果体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么该地一名身高为175cm ，体重为78kg 的未成年男性的体重状况为___________.（填“偏胖”或“正常”或“偏瘦”，参考数据：351.022≈）【答案】偏胖【分析】根据题意得到身高为175cm 的未成年男性平均体重，然后得到平均体重的1.2倍，最后比较大小即可.【详解】由题意得身高为175cm 的未成年男性平均体重为()51753521.022 1.0264⨯=⨯≈kg ，而641.276.878⨯=<，所以该男性体重偏胖.故答案为：偏胖.三､解答题（本大题共4小题，第20､21小题每小题8分，第22､23小题每小题9分，共34分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）20.已知函数()sin 2cos 2f x x x =+.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 的最大值及取得最大值时自变量x 的集合.【答案】（1）π（2）()f x ，此时自变量x 的集合为π|π,Z 8x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭.【分析】（1）利用辅助角公式化简()f x 的解析式，然后根据三角函数最小正周期的求法求得正确答案.（2）根据三角函数最值的求法求得正确答案.【小问1详解】()πsin 2cos 224x x x f x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==.【小问2详解】由（1）得()π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以当()πππ22π,πZ 428x k x k k +=+=+∈时，()f x 取得最大值，此时自变量x 的集合为π|π,Z 8x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭.21.一个盒子中装有5支圆珠笔，其中3支为一等品（记为1A ，2A ，3A ），2支为二等品（记为1B ，2B ），从中随机抽取2支进行检测.（1）写出这个试验的样本空间Ω；（2）求抽取的2支圆珠笔都是一等品的概率.【答案】（1）()12,A A ，()13,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()23,A A ，()21,A B ，()22,A B ，()31,A B ，()32,A B ，()12,B B .（2）310【分析】（1）直接写出样本空间即可；（2）计算2支圆珠笔都是一等品的样本数，得到概率.【小问1详解】试验的样本空间Ω为：()12,A A ，()13,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()23,A A ，()21,A B ，()22,A B ，()31,A B ，()32,A B ，()12,B B .【小问2详解】抽取的2支圆珠笔都是一等品有()12,A A ，()13,A A ，()23,A A 3种情况，故概率310p =.22.如图，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，AB =3，AC =4，BC =5.（1）求证：AB ⊥平面11ACC A ；（2）若异面直线1BB 与1AC 所成的角为30°，求三棱柱111ABC AB C -的体积.【答案】（1）证明见解析（2）【分析】(1)由1AA ⊥平面ABC 可得1AA AB ⊥，勾股定理可证AC AB ⊥，由线面垂直的判定定理可证结论.(2)由异面直线1BB 与1AC 所成的角为30°，求出1AA ，再由体积公式计算三棱柱111ABC AB C -的体积.【小问1详解】1AA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，有1AA AB ⊥.AB =3，AC =4，BC =5，有222AB AC BC +=，由勾股定理得AC AB ⊥.1AA AC A = ，1,AA AC ⊂平面11ACC A ，∴AB ⊥平面11ACC A 【小问2详解】由11//BB AA ，异面直线1BB 与1AC 所成的角即为1∠AA C ，130AA C ∠= ，又1AA ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴1AA AC ⊥，则1tan 30AC AA = ，得1AA =1134622ABC S AB AC =⋅=⨯⨯=△，所以三棱柱111ABC A B C -的体积16ABC V S AA =⋅=⨯= .23.已知函数2()31x f x a =+-.（1）根据函数单调性的定义证明函数()f x 在区间(),0∞-上单调递减；（2）若函数()f x 是奇函数，求实数a 的值.【答案】（1）证明见解析（2）1【分析】（1）设任意12,(,0)x x ∞∈-且12x x >，然后计算12()()f x f x -，通过化简变形从而确定符号，根据函数的单调性的定义可得结论；（2）先求函数的定义域，然后根据奇函数的定义建立等式关系，即可求出实数a 的值.【小问1详解】证明：设任意12,(,0)x x ∞∈-且12x x >，则211212*********(33)()()31313131(31)(31)x x x x x x x x f x f x a a --=+--=-=------，因为12,(,0)x x ∞∈-且12x x >，所以2121330,310,310x x x x -<-<-<，则21122(33)0(31)(31)x x x x -<--，也即12())0(f x f x -<，所以12()()f x f x <，又因为12x x >，所以函数()f x 在区间(),0∞-上单调递减，【小问2详解】要使函数2()31x f x a =+-有意义，则有310x -≠，所以函数的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，关于原点对称，若函数()f x 是奇函数，则()()0f x f x -+=，即22223031313113xx x x xa a a a -⋅+++=+++=----，解得：1a =，所以实数a 的值为1.。
2021年高中学业水平合格性考试数学模拟卷(含参考答案)07
2021年普通高中学业水平考试 科合格性考试数学仿真模拟卷07（考试时间为90分钟，试卷满分为150分）一、选择题(本大题共15小题，每小题6分，共90分．每小题中只有一个选项是符合题意的，不选、多选、错选均不得分)1．已知234x -=，则x 等于( ) A ．±18 B ．±8C ．344D ．±232 1．【解析】由题意，可知234x-=，可得13x 2＝4，即3x 2＝14，所以x 2＝164，解得x ＝±18.故选A ．【答案】A2．若集合M ＝{－1，1}，N ＝{－2，1，0}，则M ∩N ＝( ) A ．{0，－1} B ．{0} C ．{1} D ．{－1，1} 2.【解析】M ∩N ＝{1}，故选C ． 【答案】C3．已知f (x )、g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．33.【解析】本题考查函数的奇偶性．令x ＝－1可得f (－1)－g (－1)＝1⇒f (1)＋g (1)＝1，故选C ． 【答案】C4．直线x ＋3y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，则弦AB 的长度等于( )A ．2 5B ．2 3C ． 3D ．14.【解析】利用平面几何中圆心距、半径、半弦长的关系求解．∵圆心到直线x ＋3y －2＝0的距离d ＝|0＋3×0－2|12＋（3）2＝1，半径r ＝2，∴弦长|AB |＝2r 2－d 2＝222－12＝2 3.【答案】B5．函数f (x )＝2x ＋1的定义域是( )A ．⎝⎛⎦⎤－∞，－12B ．⎣⎡⎭⎫－12，＋∞C ．⎝⎛⎦⎤－∞，12 D ．(－∞，＋∞) 5.【解析】由2x ＋1≥0，解得x ≥－12，故选B ． 【答案】B6．已知向量a ＝(1，x )，b ＝(－1，x )，若2a －b 与b 垂直，则|a |＝( ) A ． 2 B ． 3 C ．2 D ．46.【解析】(2a －b )·b ＝(3，x )·(－1，x )＝x 2－3＝0， ∴x ＝±3，∴|a |＝2. 【答案】C7．已知a ＋b >0，b <0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是( ) A ．a >b >－b >－a B ．a >－b >－a >b C ．a >－b >b >－aD ．a >b >－a >－b7.【解析】∵a ＋b >0，b <0，∴a >－b >0.∴－a <0，b >－A ． ∴－a <b <0<－b <A ． 【答案】C8．函数y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－1的是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为2π的偶函数8.【解析】因为y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－1＝cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4＝sin 2x ，所以T ＝2π2＝π，且为奇函数，故选A ．【答案】A9．设变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x －2y ≤0，x ＋2y －8≤0，则目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为( )A ．7B ．8C ．9D ．149.【解析】由不等式组，作出可行域如下： 在点A (2，3)处，z ＝3x ＋y 取最大值为9. 【答案】C10．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( ) A ．7 B ．5 C ．－5 D ．－710.【解析】利用等比数列的通项公式求解．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝a 1q 3＋a 1q 6＝2，a 5a 6＝a 1q 4×a 1q 5＝a 21q 9＝－8， ∴⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－2，a 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－12，a 1＝－8，∴a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7. 【答案】D11．当x ＞0时，下列不等式正确的是( ) A ．x ＋4x ≥4 B ．x ＋4x ≤4 C ．x ＋4x ≥8 D ．x ＋4x ≤8 11.【解析】由均值不等式可知，当x ＞0时，x ＋4x ≥2x ·4x ＝4，当且仅当x ＝2时取“＝”，故选A ．【答案】A12．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、C ．已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝( ) A ． 2 B ． 3 C ．2 D ．312.【解析】由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋22－524b ＝23，∴b ＝3，答案选D ． 【答案】D13．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为( ) A ．15 B ．25 C ．825 D ．92513.【解析】从5人中选2人共有10种选法，其中有甲的有4种选法，所以概率为410＝25. 【答案】B14．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，雨水、惊蛰、春分、清明日影之和为三丈二尺，前七个节气日影之和为七丈三尺五寸，问立夏日影长为（ ） A ．七尺五寸B ．六尺五寸C ．五尺五寸D ．四尺五寸14．【解析】由已知结合等差数列的通项公式及求和公式即可直接求解． 从冬至日起，日影长构成数列{a n }，则数列{a n }是等差数列，则a 5+a 6+a 7+a 8＝32，S 7所以解可得，a 1＝，d ＝﹣1．故a 10＝【答案】D ．15．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥1，y ≥0，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．415.【解析】在平面直角坐标系中，作出变量x ，y 的约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥1，y ≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示．由图可知，当z ＝2x ＋y 过点B (2，0)时，z 最大，所以z max ＝4，所以z ＝2x ＋y 的最大值4.故选D ． 【答案】D二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分．将正确答案填在题中横线上) 16．f (x )为奇函数，当x <0时，f (x )＝log 2(1－x )，则f (3)＝________． 16.【解析】f (3)＝－f (－3)＝－log 24＝－2. 【答案】－217．经过点(－2，2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l 的方程为________． 17.【解析】设所求直线l 的方程为x a ＋yb ＝1，由已知可得⎩⎨⎧－2a ＋2b ＝1，12|a ||b |＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0为所求． 【答案】2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝018．某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层抽样的办法抽取样本．某中学共有学生2 000名，抽取了一个容量为200的样本，已知样本中女生比男生少6人，则该校共有女生________人．18.【解析】由题意知抽取女生97人，设该校共有女生x 人．则x ×2002 000＝97，解得x ＝970. 【答案】97019．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2≤φ≤π2的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，则ω＝______．19.【解析】由已知两相邻最高点和最低点的距离为22，由勾股定理可得T2＝（22）2－22，∴T ＝4，∴ω＝α2.【答案】α2三、解答题(本大题共3小题，共36分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤) 20．(12分)设{a n }是公比为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝a 2＋4. (1)求{a n }的通项公式；(2)设{b n }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n .20．解：(1)设q 为等比数列{a n }的公比，则由a 1＝2，a 3＝a 2＋4得2q 2＝2q ＋4，即q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)，因此q ＝2，所以{a n }的通项为a n ＝2·2n －1＝2n (n ∈N *)． (2)S n ＝2(12)12n --＋n ×1＋(1)2n n -×2＝2n ＋1＋n 2－2. 21．(12分)如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝1，PA ⊥平面ABCD ，CD ⊥PC ， (1)证明：CD ⊥平面PAC ；(2)若E 为AD 的中点，求证：CE ∥平面PAB ． 21.证明：(1)∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥CD ．又CD ⊥PC ，PA ∩PC ＝P ， ∴CD ⊥平面PAC ．(2)∵AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝1， ∴∠BAC ＝45°，∠CAD ＝45°，AC ＝ 2.∵CD ⊥平面PAC ，∴CD ⊥CA ，∴AD ＝2.又E 为AD 的中点，∴AE ＝BC ＝1，∴四边形ABCE 是正方形， ∴CE ∥AB ．又AB ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ， ∴CE ∥平面PAB ． 22．(12分)如图是半径为1m 的水车截面图,在它的边缘(圆周)上有一定点P ,按逆时针方向以角速度rad /s π(每秒绕圆心转动rad 3π)作圆周运动,已知点P 的初始位置为0P ,且06xOP π∠=,设点P 的纵坐标y 是转动时间t (单位:s )的函数,记为()y f t =.(1) 求()30,2f f ⎛⎫⎪⎝⎭的值,并写出函数()y f t =的解析式； (2) 选用恰当的方法作出函数()f t ,06t ≤≤的简图； (3) 试比较13131,,345f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的大小(直接给出大小关系,不用说明理由). 22．解：(1)()10sin62f π==,()32sin cos 23662f πππ⎛⎫=⨯+== ⎪⎝⎭, ()sin 36y f t t ππ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭,0t ≥.(2)用“五点法”作图,列表得：描点画图:说明:的变化过程也可给满分.(3) 13131345f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.。
2021年吉林省中考数学试卷(附答案详解)
2021年吉林省中考数学试卷(附答案详解)1.化简-(-1)的结果为()答案：B。
12.据《吉林日报》2021年5月14日报道，第一季度XXX销售整车辆，数据用科学记数法表示为()答案：B。
7.006×1043.不等式2x−1>3的解集是()答案：B。
x>24.如图，粮仓可以近似地看作由圆锥和圆柱组成，其主视图是()答案：B.5.如图，四边形ABCD内接于⊙x，D重合)连接xx.点P为边AD上任意一点(点P不与点A，若∠x=120°，则∠xxx的度数可能为()答案：D。
65°6.古埃及人的“纸草书”中记载了一个数学问题：一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是33.若设这个数是x，则所列方程为()答案：C。
3x+2x+7x+x=337.√9-1=______．答案：B。
28.因式分解：x2−2x=______．答案：x(x-2)9.计算：x−1/x−1=______．答案：110.若关于x的一元二次方程x2+3x+x=有两个相等的实数根，则c的值为______．答案：3/411.如图，已知线段xx=2xx，其垂直平分线CD的作法如下：(1)分别以点A和点B为圆心，xxx长为半径画弧，两弧相交于C，D两点；(2)作直线CD．上述作法中b满足的条作为b______1.(填“>”，“<”或“=”)答案：=12.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,3)，点B的坐标为(4,0)，点P在直线y=x上，且AP=BP，过点P作直线CD交x轴于点E.若PE=2，则PE的坐标为______．答案：(2,2)增长量÷去年业务量×100%。
根据以上数据，回答以下问题：1)2016年快递业务量为______亿件；2)2018年快递业务量比2017年增长了______亿件；3)2019年快递业务量为______亿件；4)2020年快递业务量比2019年增长了______亿件；5)2016年至2017年，快递业务量的增长速度______；6)2018年至2020年，快递业务量的增长速度______．过25天完成全部接种，而乙地需要30天完成全部接种.已知甲地每天接种人数比乙地多200人，求甲地前5天平均每天接种人数.解：设甲地每天接种人数为x，乙地每天接种人数为x，则40万=5万+25x+(30−25)x40万=30x+5万解得：x=x+200则甲地前5天接种人数为5x=5(x+200)=5x+1000，平均每天接种人数为(5x+1000)/5=x+200，代入第二个式子得40万=30x+5万解得：x=所以甲地前5天平均每天接种人数为+200=人.解析】去括号与添括号是一种基本的代数运算，常用于化简和变形式子。
吉林省吉林市2021-2022学年高三上学期第二次调研测试数学(理)试题
纸刀．
第Ⅰ卷（共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选
项中，只有一个是符合题目要求．
1．已知集合 A x, y y 2x 1 ， B x, y y x ，则 A B （
）
A．
B．1
C．1,1
D． 1,1
2．若复数 z r cos i sin （ r 0 ， R ），则把这种形式叫做复数 z 的三角形式，其
A．2
B．1，2
C．
1 2
，2
D．
1 2
，1，2
4．已知向量
r a
1,
3
，
b
1,
3
，则下列结论错误的是（
）
A． a ∥b
C． a b 0
B． a 与 b 可以作为一组基底
D． b a 与 a 方向相反
2x y 0
5．若实数
x，y
满足
x
2
y
1
0
，则
x
y
的最小值为（
）
x 1
吉林市普通中学 2021—2022 学年度高中毕业班第二次调研测试
理科数学
本试卷共 22 小题，共 150 分，共 6 页，考试时间 120 分钟，考试结束后，将答
题卡和试题卷一并交回．
注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条
形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上．
试卷第 3页，共 5页
16．已知函数 f x x ex 1 ln x ，则它的导函数 y f x 的零点个数为______．若存在
x 0, ，使得不等式 f x a 有解，则实数 a 的取值范围为______．
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三､解答题(本大题共5小题，每小题10分，共50分，解答应写出文字说明､证明过程和演算步骤)
20.在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 .
（1）求角 的大小；
（2）若 ， ，求角 大小.
21.如图，在正方体 中， 、 分别为 ､ 中点.
【答案】B
【解析】
解：根据零点的概念可知，当x=2,x=3时，函数值出现异号，因此零点在该区间，选B
9.已知直线 和圆 ，则直线 和圆 的位置关系为（）
A.相交B.相切C.相离D.不能确定
【答案】A
【解析】
【分析】
利用圆心 到直线的距离与半径比较大小，即可判断.
【详解】圆 的圆心 ，半径 ，
则圆心 到直线 的距离为 ，
【详解】等差数列 中， ， ，
则公差 ，
所以 .
故答案为：2；9
18.在学校组织的一次知识竞赛中，某班学生考试成绩的频率分布直方图如图所示，若低于60分的有12人，则该班学生人数是____________
【答案】
【解析】
【分析】
先利用频率分布直方图得到低于60分的学生的频率，再利用 即可得出答案.
【详解】由频率分布直方图可得低于60分的学生的频率为： ，
2021年吉林省普通高中学业水平考试
数学试题
一､选择题：(本大题共15小题，每小题的四个选项中，只有一项是正确的，第1-10小题每小题3分，第11-15小题4分，共50分)
1.已知集合 ， ，则 （）
A. B. C. D.
2.函数 的定义域是( )
A. B. C. D.
3.函数 则 （）
A.0B.-2C.2D.6
的中点得， 且
∴四边形 是平行四边形，∴
又 平面 ， 平面 ，∴ 平面 .
22.已知数列 满足 ，且 ．
（1）求 及 ．
（2）设 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】（1）2， ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）根据题意知数列是等比数列，代入公式得到答案.
（2）先把 表示出来，利用分组求和法得到答案
【详解】解：（1）因为 ， 所以数列 是以首项为2，公比为3的等比数列，所以数列 ；
1
2
3
4
5
1
4
7
在下列区间中，函数 必有零点的区间为（）.
A.（1，2）B.（2，3）C.（3，4）D.（4，5）
9.已知直线 和圆 ，则直线 和圆 的位置关系为（）
A. 相交B. 相切C. 相离D. 不能确定
10.下列函数中，在区间 上为增函数的是（）.
A. B. C. D.
11.下列命题正确的是( )
（2）
=
= .
【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和分组求和法，是数列的常考题型.
23.已知圆 ，直线 .
（1）当 为何值时，直线与圆 相切.
（2）当直线与圆 相交于 、 两点，且 时，求直线的方程.
考点：古典概率
点评：本题主要考查了古典概率中的等可能事件的概率的求解，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=m:n．属基础题
5. 的值为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用二倍角公式求解即可.
【详解】 ；
故选：A.
6.已知直线 过点 ，且与直线 平行，则直线 的方程为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据直线平行的斜率关系可得直线的斜率，再结合点斜式即可得解.
【详解】因为与直线 平行，所以斜率相等，即 ；
过点 ，则由点斜式可知直线方程为 ，
即直线 的方程为 ，
故选：D.
【点睛】本题考查了直线位置关系与斜率关系，点斜式求直线方程，属于基础题.
7.已知向量 ， 若 ，则实数 的值为（）
4. 将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，出现“正面向上的点数为6”的概率是（ ）.
A. B. C. D.
5. 的值为（）
A. B. C. D.
6.已知直线 过点 ，且与直线 平行，则直线 的方程为（）
A. B. C. D.
7.已知向量 ， 若 ，则实数 的值为（）
A.-2B.2C.-1D.1
8.已知函数 的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
2021年吉林省普通高中学业水平考试
数学试题
一､选择题：(本大题共15小题，每小题的四个选项中，只有一项是正确的，第1-10小题每小题3分，第11-15小题4分，共50分)
1.已知集合 ， ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用集合的交运算即可求解.
【详解】集合 ， ，
则 .
A.-2B.2C.-1D.1
【答案】B
【解析】
【分析】
根据向量垂直的坐标表示计算可得结果.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，即 .
故选：B
8.已知函数 的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
1
2
3
4
5
1
4
7
在下列区间中，函数 必有零点的区间为（）.
A.（1，2）B.（2，3）C.（3，4）D.（4，5）
【解析】
【分析】
（1）连结 ，证出 ， ，利用线面垂直 判定定理可得 平面 ，进而可得 .
（2）连结 ，证出 ，再利用线面平行的判定定理即可证明.
【详解】证明：（1）连结 ，由正方体 得，
平面 .又 平面 ，
又四边形 正方形，∴ ，
而 ，∴ 平面 ，
又 平面 ，∴ .
（2）连结 ，由 ､ 分别为 ､
三､解答题(本大题共5小题，每小题10分，共50分，解答应写出文字说明､证明过程和演算步骤)
20.在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 .
（1）求角 的大小；
（2）若 ， ，求角 的大小.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）根据余弦定理计算可得结果；
（2）根据正弦定理计算可得结果.
考点：函数 单调性
点评：本题考查函数的单调性，掌握初等函数的图象与性质是关键．
11.下列命题正确的是( )
A.一条直线与一个平面平行，它就和这个平面内的任意一条直线平行
B.平行于同一个平面的两条直线平行
C.与两个相交平面的交线平行的直线，必平行于这两个平面
D.平面外两条平行直线中的一条与这个平面平行，则另一条也与这个平面平行
【答案】A
【解析】
【分析】
根据分段函数解析式，代入即可求解.
【详解】由 ，
则 .
故选：A
4. 将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，出现“正面向上的点数为6”的概率是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：抛一枚质地均匀的硬币，有6种结果，每种结果等可能出现，正面向上的点数为6的情况只有一种，即可求．解：抛掷一枚质地均匀的硬币，有6种结果，每种结果等可能出现，出现“正面向上的点数为6”的情况只有一种，故所求概率为 ,故选D.
13.若 ，则 的最小值是（）
A. B. C. D.
14.偶函数 在区间 上单调递减，则函数 在区间 上（）
A.单调递增，且有最小值 B.单调递增，且有最大值
C.单调递减，且有最小值 D.单调递减，且有最大值
15.已知函数 的图象为 ，为了得到函数 的图象，只要把 上所有的点（）
A. 横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变B. 横坐标缩短到原来的1/3，纵坐标不变
C. 纵坐标伸长到原来 3倍，横坐标不变D. 纵坐标缩短到原来的1/3 ，横坐标不变
二､填空题(本大题共4小题，每小题5分共20分)
16.函数 的最小正周期为________．
17..已知等差数列 中， ， ，则公差 ________， ________.
18.在学校组织的一次知识竞赛中，某班学生考试成绩的频率分布直方图如图所示，若低于60分的有12人，则该班学生人数是____________
【详解】（1）∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ 是 的内角，∴ .
（2）∵ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
又因为 ，所以 .
【点睛】关键点点睛：在三角形中，根据正弦值求角时，由边的大小关系确定角是解题关键.
21.如图，在正方体 中， 、 分别为 ､ 的中点.
（1）求证： ；
（2）求证： 平面 .
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
（1）求证： ；
（2）求证： 平面 .
22.已知数列 满足 ，且 ．
（1）求 及 ．
（2）设 ，求数列 的前 项和 ．
23.已知圆 ，直线 .
（1）当 为何值时，直线与圆 相切.
（2）当直线与圆 相交于 、 两点，且 时，求直线的方程.
24.已知函数 满足：① ；② .
（1）求 ， 的值；
（2）若对任意的实数 ，都有 成立，求实数 的取值范围.
所以直线 和圆 的位置关系为相交，
故选：A
10.下列函数中，在区间 上为增函数的是（）.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：根据初等函数的图象，可得函数在区间（0，1）上的单调性，从而可得结论．解：由题意，A的底数大于0小于1、C是图象在一、三象限的单调减函数、D是余弦函数，，在（0，+∞）上不单调，B的底数大于1，在（0，+∞）上单调增，故在区间（0，1）上是增函数,故选B
A.一条直线与一个平面平行，它就和这个平面内的任意一条直线平行