高考数学一轮复习必备：第48课时：第六章不等式不等式的证明(二)
2020高三数学一轮复习 6-2 不等式的证明课件(文) 全国
5．已知 a，b 是不相等的正数，x＝
a＋ 2
b，y＝
a＋b，
则 x，y 的大小关系是________．
• 【解析】 取特殊值a＝2，b＝8，得x＜y • 【答案】 x＜y
设 a＞b＞0，求证：aa22－ ＋bb22＞aa－ ＋bb.
【思路点拨】 作差(商) ―→ 变形 ―→ 判断 ―→ 结论 【证明】 ∵a＞b＞0， ∴左边－右边＝(a－b()a[(2a＋＋bb2))(2a－＋(ab2)＋b2)] ＝(a22＋abb(2a)－(a＋b) b)＞0，故原不等式成立．
得 2[(bc)2 ＋ (ac)2 ＋ (ab)2] ＞ 2abc2 ＋ 2a2bc ＋ 2ab2c ＝ 2abc(a＋b＋c)．即(bc)2＋(ac)2＋(ab)2＞abc(a＋b＋c)成立．
∴bac＋abc＋acb＞a＋b＋c 成立．
证法 2： ∵a＞0，b＞0，c＞0，且不全相等， ∴bac＋abc≥2 bac·abc＝2c， 同理，abc＋acb≥2a，acb＋bac≥2b， 上述三个等号至少有一个不成立，三式相加得： 2(bac＋abc＋acb)＞2(a＋b＋c)，即bac＋abc＋acb＞a＋b＋c.
• 4．反证法
• 假设原命题不成立 (即在原命题的条件下，
结论不成立)，经过正确的推矛盾理，最后得
出
，因此说明假设错误，从而证明
了原命题成立，这样的证明方法叫反证
法．
• 用反证法证明问题时要注意以下三点：
• (1)必须先否定结论，即肯定结论的反面， 当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出 各种可能结论，缺少任何一种可能，反证 都是不完全的．
• 又因为a＋b＞0，
• 只需证a2－ab＋b2＞ab成立． • 只需证a2－2ab＋b2＞0成立． • 即需证(a－b)2＞0成立． • 而依题设a≠b，则(a－b)2＞0显然成立，
高考数学一轮复习选修部分不等式选讲第2讲不等式的证明课件理北师大版
分析法与综合法常常结合起来使用，称为分析综合法，其实 质是既充分利用已知条件，又时刻瞄准解题目标，即不仅要 搞清已知什么，还要明确干什么，通常用分析法找到解题思 路，用综合法书写证题过程．
2.设 a>0，b>0，若 3是 3a 与 3b 的等比中项，
求证1＋1≥ ab
4.
证明： 由 3是 3a 与 3b 的等比中项得 3a·3b＝3，
[证明] 因为 a，b，c 为正实数，由基本不等式可得a13＋b13＋c13 ≥3 3 a13·b13·c13， 即a13＋b13＋c13≥a3bc，
当且仅当a13＝b13＝c13，即 a＝b＝c 时，等号成立，所以a13＋b13
＋c13
＋
abc≥ 3 ＋ abc
abc.
而a3bc＋abc≥2 a3bc·abc＝2 3， 当且仅当a3bc＝abc，即 abc＝ 3时，等号成立， 所以a13＋b13＋c13＋abc≥2 3.
选修4-5 不等式选讲
第2讲 不等式的证明
1．基本不等式 定理 1：设 a，b∈R，则 a2＋b2≥2ab，当且仅当 a＝b 时， 等号成立． 定理 2：如果 a、b 为正数，则a＋b≥ ab，当且仅当 a＝b
2 时，等号成立．
定理 3：如果 a、b、c 为正数，则a＋3b＋c≥3 abc，当且仅 当 a＝b＝c 时，等号成立． 定理 4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果 a1，a2，…， an 为 n 个正数，则a1＋a2＋n …＋an≥n a1a2…an，当且仅当 a1＝a2＝…＝an 时，等号成立．
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2．不等式的证明方法 证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法 等．
2019-2020年高考数学大一轮复习不等式选讲第二节不等式的证明课件理
分析法证明不等式
[例 3] (2017·沈阳模拟)设 a，b，c>0，且 ab＋bc＋ca＝1. 求证：
(1)a＋b＋c≥ 3； (2) bac＋ abc＋ acb≥ 3( a＋ b＋ c)．
[证明] (1)要证 a＋b＋c≥ 3， 由于 a，b，c＞0， 因此只需证明(a＋b＋c)2≥3. 即证：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3， 而 ab＋bc＋ca＝1， 故只需证明：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)． 即证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 而这可以由 ab＋bc＋ca≤a2＋2 b2＋b2＋2 c2＋c2＋2 a2＝a2＋b2＋ c2(当且仅当 a＝b＝c 时等号成立)证得． 所以原不等式成立．
因为a≥0，b≥0，
1
所以不论a≥b≥0，还是0≤a≤b，都有a 2 －
1
3
3
b 2 与a 2 －b 2 同号，
1
13
3
所以(a 2 －b 2 )(a 2 －b 2 )≥0，
所以a2＋b2≥ ab(a＋b)．
[方法技巧] 作差比较法证明不等式的步骤
(1)作差；(2)变形；(3)判断差的符号；(4)下结 论．其中“变形”是关键，通常将差变形成因式连乘积 的形式或平方和的形式，再结合不等式的性质判断出差 的正负．
所以a3＋b3的最小值为4 2.
(2)由(1)知，2a＋3b≥2 6 ab≥4 3.
由于4 3>6，从而不存在a，b，使得2a＋3b＝6.
4．(2013·新课标全国卷Ⅱ)设 a，b，c 均为正数，且 a＋b＋c＝
1.证明： (1) ab＋bc＋ac≤13；
(2) ab2＋bc2＋ca2≥1.
高考理科数学第一轮复习第六章不等式 (2)不等式的证明(一)
不等式的证明(一)【知识点精讲】1. 比较法证明不等式是最基本的方法也是最常用的方法。
比较法的两种形式：①比差法：要证a>b ，只须证a-b>0。
②比商法：要证a>b 且b>0，只须证 >ba 0。
说明：①作差比较法证明不等式时， 通常是进行因式分解，利用各因式的符号进行判断，或进行配方，利用非负数的性质进行判断；②一般地运用比商法时要考虑正负，尤其是作为除式式子的值必须确定符号；③证幂指数或乘积不等式时常用比商法，证对数不等式时常用比差法。
2. 综合法：利用某些已经证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要求证的不等式的方法。
证明时要注意字母是否为正和等号成立的条件。
基本不等式：(1)若,0,0>>b a 则ba ab b a b a 1122222+≥≥+≥+ 当且仅当a=b 时取等号。
(2)时取等号当且仅当b a ab b a R b a =≥+∈2,,22 (3)a,b 同号, 时取等号当且仅当b a a b b a =≥+13. 分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立。
这种证明方法叫做分析法。
要注意书写的格式, 综合法是分析法的逆过程4. 重点难点: 作差比较法的顺序是“作差---变形---判断差式的正负”；作商比较法的顺序是“作商---变形---判断商式与1的大小”（注意商式的分子分母均正）；综合法证明不等式是“由因导果”。
5. 思维方式: 掌握证明不等式的常用方法，对较复杂的不等式先用分析法探求证明途径，再用综合法加以证明。
6. 特别注意: 在利用不等式的性质或基本不等式时要注意等号、不等号成立的条件。
【例题选讲】例1、已知a,b ∈R,求证: a 2+b 2+1>ab+a证明：p= a 2+b 2+1-ab-a=]1)12()2[(212222+++-++-b a a b ab a =]1)1()[(21222++-+-b a b a显然p>0 ∴得证[思维点拔] 作差比较法的顺序是“作差---变形---判断差式的正负”. 通常是进行因式分解，利用各因式的符号进行判断，或进行配方，利用非负数的性质进行判断 例2、P87例1. 设,0,0>>b a 求证.)()(2121212212b a ab b a +≥+ 【分析】不等式两端都是多项式的形式，故可用比差法证明或比商法证明。
高三数学一轮复习不等式选讲第二节不等式的证明课件文
A. b m ≥ b B. b m > b
am a
am a
C. b m ≤ b D. b m < b
am a
am a
答案 B ∵a,b,m∈R+,且a>b,
∴ b m - b = m(a b) >0, a m a a(a m)
即 b m > b ,故选B.
am a
3.若0<a<b<1,则a+b,2 ab ,a2+b2,2ab中最大的一个是 ( ) A.a+b B.2 ab C.a2+b2 D.2ab 答案 A 易知a+b>2 ab ,a2+b2>2ab,故只需比较a+b与a2+b2的大小即 可. (a2+b2)-(a+b)=a(a-1)+b(b-1), ∵0<a<1,0<b<1, ∴a(a-1)+b(b-1)<0, ∴a2+b2<a+b.故选A.
方法技巧 作差比较法证明不等式的步骤: (1)作差;(2)变形;(3)判断差的符号;(4)下结论.其中“变形”是关键,通常 将差变形成因式连乘的形式或平方和的形式,再结合不等式的性质判断 出差的正负. 注:作商比较法也有类似的步骤,但注意其比较的是两个正数的大小,且 第(3)步要判断商与1的大小.
3.反证法 先假设要证明的命题⑥ 不成立 ,以此为出发点,结合已知条件,应用 公理、定义、定理、性质等,进行正确的⑦ 推理 ,得到和命题的条 件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)⑧ 矛盾 的结论,以 说明假设⑨ 不正确 ,从而证明原命题成立,我们把它称为反证法. 4.放缩法 证明不等式时,通过把所证不等式的一边适当地⑩ 放大 或 缩小 , 以利于化简,并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显,从而得出原不 等式成立,这种方法称为放缩法.
2020版高考数学(文)一轮复习通用版课件不等式的证明
不等式的证明
一、基础知识批注——理解深一点
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1．基本不等式
(1)定理 1：如果 a，b∈R ，那么 a2＋b2≥ 2ab ，当且仅当 a
＝b 时，等号成立． (2)定理 2：如果 a，b＞0，那么a＋2 b≥ ab，当且仅当 a＝b 时，
等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于) 它们的几何平均． (3)定理 3：如果 a，b，c∈R ＋，那么a＋3b＋c≥ 3 abc ，当且
所以 x－y>0，即 x>y.
答案：A
3．已知 a，b∈R ＋，且 a＋b＝2，则1a＋1b的最小值为 (
A．1
B．2
C．4
D．8
解析：∵a，b∈R ＋，且 a＋b＝2，
返回
)
∴(a＋b)1a＋1b ＝2＋ba＋ab≥2＋2 ba·ab＝4， ∴1a＋1b≥a＋4 b＝2，即1a＋1b的最小值为 2(当且仅当 a＝b＝1 时， 等号成立)． 答案：B
(√ )
(3)分析法又叫逆推证法或执果索因法，是从待证结论出发，一
步一步地寻求结论成立的必要条件，最后达到题设的已知条件
或已被证明的事实．
(×)
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(二)选一选
1．设 t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则 s 与 t 的大小关系是 ( )
A．s≥t
B．s＞t
C．s≤t
D．s＜t
解析：∵s－t＝b2－2b＋1＝(b－1)2≥0，∴s≥t.
[题组训练]
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1．设 a，b，c，d 均为正数，若 a＋b＝c＋d，且 ab>cd，求证：
a＋ b> c＋ d.
证明：因为( a＋ b)2＝a＋b＋2 ab，( c＋ d)2＝c＋d＋
高三数学《不等式的证明》课件
求证：a 2
b2
c2
1 3
[思维点拔]（1）本题运用了三角换元
法。三角代换是最常见的变量代换，
凡条件为 x2 y2 r 2 或 x2 y2 r2 或
x2 a2
y2 b2
1等均可三角换元。
（2）换元法是不等式证明中的重要变
形方法，常用的换元手段除三角换元
法外，还有平均值代换、比值代换、
[思维点拔] 用反证法证明命题时，推导 出的矛盾可能多种多样。有的与已知矛 盾，有的与假设矛盾，有的与事实相违 背等等，推导出的矛盾必须是明显的。
例4、（1）设 x, y R，且 x 2 y 2 1，
求证：| x 2 2xy y 2 | 2 ；
（2）设 a,b, c R，且a b c 1，
对称代换、增量代换。
例5、.已知 x y z 5, x2 y2 z2 9 ，
求证：x, y, z 都属于 [1, 7]。
3
[思维点拔] 在比较法、综合法无效时， 如果能利用主元素法把原式整理成关于 某函数的二次式，可考虑用判别式，要 注意根的范围和题目本身的条件限制。
【课堂小结】 1. 反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理， 导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯 定原结论是正确的证明方法。 2. 换元法：换元法是指结构较为复杂、量与量 之间关系不很明了的命题，通过恰当引入新变 量，代换原题中的部分式子，简化原有结构， 使其转化为便于研究的形式。 3. 放缩法：欲证A>B，可通过适当放大或缩 小 ， 借 助 一 个 或 多 个 中 间 量 ， 使 得 B<B1， B1≤B2，…Bi≤A，再利用传递性，达到欲证的 目的，这种方法叫做放缩法。 4. 构造法：构造二次方程用“Δ ”，构造函数 用函数单调性，构造图形用数形结合方法。
2013高三理科数学第一轮复习 不等式的证明练习之二(有答案)
2013高三理科数学第一轮复习 不等式的证明练习⑵(有答案)班级__________姓名______________1、不等式：（1）x 3＋3>2x ；（2）a 5＋b 5<a 3b 2＋a 2b 3；（3）a 2＋b 2≥2(a ＋b －1)；（4）2||≥+abb a 恒成立的有( )A.(1)(2)B. (1)(3)C. (3)(4)D. (1)(2)(3)(4)2、 对R x ∈都成立的不等式是( )A.x x 2lg )1lg(2≥+B. x x 212>+ C.1112<+x D.x x 442≥+ 3、已知a 、b 是不相等的正数，x =2b a +，y =b a +，则x 、y 的关系是( )A.x ＞yB.y ＞xC.x ＞2yD.不能确定4、给出下列三个命题：①若a ≥b>-1,则11a b a b ≥++ ②若正整数m 和n 满足m ≤n,则()2n m n m -≤ ③设P(x 1,y 1)为圆O 1:x 2+y 2=9上任一点，圆O 2以Q （a,b ）为圆心且半径为1，当（a-x 1）2+(b-y 1)2=1时，圆O 1与O 2相切.其中假命题的个数为（ ）A. 0 B. 1 C.2 D.35.若x,y 是正数，则2211()()22x y y x+++的最小值是（ ） A. 3 B.72 C.4 D. 92 6.111(1)(1)(1),1,(,,),M a b c a b c R M a b c +=---++=∈设且则的取值范围是( )A. [0, 18]B.( 18,1)C. [-1, 18] D. [8,+∞）7、设,,,,,a b c x y z 是正数,且22210a b c ++=,22240x y z ++=,20ax by cz ++=,则a b cx y z++=++ （ ）A ．14 B ．13C ．12D ．348．已知函数f(x)=ax 2+bx+c(a>0),,αβ为方程f(x)=x 的两个根，且0<1aαβ<<,0<x<α,给出下列不等式①x<f(x) ②α< f(x) ③x>f(x) ④α> f(x) 其中成立的是A. ①④B. ③④C. ①②D. ②④9．若1=++c b a ，则222c b a ++的最小值为_____________10．若a ＞b ＞c ，则b a -1+c b -1_______ca -3.（填“＞”“=”“＜”） 11、已知实数,1,,=++ca bc ab c b a 满足给出下列等式：（1）1222222≥++a c c b b a （2）321≥abc（3）2)(2>++c b a （4）31222≤++abc c ab bc a 其中一定成立的式子有__________12、已知△ABC 的外接圆半径R=1，41=∆ABC S ，a 、b 、c 是三角形的三边，令c b a s ++=，cb a t 111++=。
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第48课时：第六章 不等式一一不等式的证明（二）
1
课题：不等式的证明（二）
一. 复习目标：
1 了解用反证法、换元法、放缩法等方法证明简单的不等式.
二. 知识要点：
1. 反证法的一般步骤：反设一一推理一一导出矛盾（得出结论） ；
2. 换元法：一般由代数式的整体换元、三角换元，换元时要注意等价性;
3. 放缩法：要注意放缩的适度，常用的方法是：①舍去或加上一些项；②将分子或分母放大 （或缩小）.
二匹畔哼川畔，对正整数m,n 且m n ，求证: 2 22 ?3 2口
(1) 证明：、、3介于a i 与a 2之间; (2) 证明：a 2比a i 更接近于.3 ;
(3) 分析研分上述结论, 提出一种求\3的有理近似值的方法.
例3.在数列：a n ?中，a
1
例 4 •设 a b c =1, a 2 b 2 c 2 =1 , a b c ，求证： c ：. 0 .
3
五•课后作业：
1 •下列三个式子 a 2-2c , b 2-2a , c 2-2b(a,b,c R)中
() (A)至少有一式小于-1
(B)都小于-1 (C)都大于等于-1 (D)至少有一式大于等于-1 2设x 0,y 0,A •丄，B X 匚，则代B 的大小关系是 ____________________
1 +x 十 y 1 +x 1 + y
3. x, y ・R,'rx-y ，贝U x 的取值范围是 ________________________
y 4
7. 已知 a,b R,a 2 b 2 乞4，求证 |3a 2-8ab -3b 2
1乞 20 .
4 已知 x 2 y 2 =1，求证：1 • a 2 _ y -ax _ 1 a 2
. 5•证明: 1 1 1
1芦巫川nr 2•
6. 设a,b,c 为三角形的三边，求证:
a 」 匚一3 •
b c -a a c -b a b -c
三.课前预习:
1.设实数x,y满足x* 2・（y-1）2=1，当x・y・c_O时，c的取值范围是
（）
（A）[、、2-I,：：）（B）（」：，，2 -1] （c）[、、2 1, ：：）（D）1]
2人八：，「:与一亦N）的大小关系是
四.例题分析: 例1 .已知x3• y3 =2，求证：x • y三2 .
例2 .设正有理数a1是..3的一个近似值，令a2 =1 —，
1 +a1。