连续函数的性质(可编辑修改word版)

§2.2 连续函数的性质连续函数的局部性质若函数f 在点x0 连续，则f 在点x有极限，且极限值等于函数值f (x) 。

从而，根据函数极限的性质能推断出函数f 在U (x0 ) 的性态。

定理1（局部有界性）若函数f 在点x0 连续，则f 在某U (x) 内有界。

定理2（局部保号性）若函数f 在点x0连续，且f (x) > 0 （或< 0 ），则对任何正数r < f (x) （或r <-f (x0) ），存在某U(x0)，使得对一切x ∈U (x0 ) 有f (x) >r （或f (x) <-r ）。

注：在具体应用局部保号性时，常取r =1 f (x ) ，则当f (x ) > 02 0 0 时，存在某U (x ) ，使在其内有f (x) >1 f (x ) 。

0 2 0定理3（四则运算）若函数f 和g 在点x0连续，则f±g, f⋅g, fg（这里g(x) ≠ 0 ）也都在点x0 连续。

关于复合函数的连续性，有如下定理:定理4 若函数f 在点x0 连续，g 在点u连续，u=f (x) ，则复合函数g f 在点x0连续。

证明：由于g 在点u0连续，∀> 0, ∃1> 0 ，使得当| u -u0|<1时有| g(u) -g(u0) |<。

（1）又由u0 = f (x) 及u = f (x) f 在点x0连续，故对上述1，存在> 0 ，使得当| x -x|<时有|u-u0|=|f(x)-f(x0)|<1，联系（1）式得:对任给的> 0 ，存在> 0 ，使得当| x -x0 |<时有| g( f (x)) -g( f (x0 )) |<。

这就证明了g f 在点x0连续。

→∞nn 注：根据连续必的定义，上述定理的结论可表为lim g ( f (x )) = g ( lim f (x )) = g ( f (x 0 ))x →x 0x →x 0定 理 5lim f (x )存 在 的 充 要 条 件 是x → x 0lim x → x 0+ 0f (x ) = f (x 0 + 0)与 lim x → x 0-0f (x ) = f (x 0 - 0)存在并且相等． 证明：必要性显然，仅须证充分性．设lim x → x 0+ 0f (x ) = A =lim x → x 0-0f (x )，从而对任给的> 0 ，存在1 > 0 和2 > 0 ，当f (x ) - A <0 < x - x 0 < 1时，① 当 －2 < x - x 0 < 0 时， f (x ) - A <② 取= min {1,2 } > 0 时 ， 当0 < x - x 0 <时 ， 则0 < x - x 0 <和-< x - x 0 < 0二者必居其一，从而满足①或②，所以f (x ) - A < ．定理 6 函数 f (x ) 在x 0 点连续的充要条件是 f (x ) 左连续且右连续． 证明： f (x ) 在 x 0 点连续即为 lim f (x ) = x → x 0f (x 0 )． 注意左连续即为f (x 0 - 0) = f (x 0 )，右连续即为 f (x 0 + 0) = f (x 0 )，用定理 5 即可证．此外，在讨论函数的极限时往往必须把连续变量离散化，下 面我们来讨论这方面的问题．定理 7 海涅（ Heine ）定理： lim f (x )存在的充分必要条件是对任x → x 0给的序列{x n }，若满足lim x n = x 0 （ x n ≠ x 0 ），则有lim f (x n )存在．n →∞n →∞分析：必要性的证明是显然．充分性的证明我们用反证法． 证明：必要性。

设 lim f (x ) = A ，则对任给的> 0 ，存在> 0 ，当x → x 00 < x - x 0 <时， f (x ) - A < ①设lim x n = x 0 （ x n ≠ x 0 ），则存在N ，当n > N 时， 0 < nx n - x 0<，从而满足 ①，即 f (x ) - A < ，亦即lim f (x ) = A ． n →∞n 0 ⎨ y2⎨ n ⎬0 →∞nn 充 分 性 。

（ １ ）先 证 若lim x = x （ n →∞x n ≠ x 0 ），lim y n = x 0 , (y n ≠ x 0 )，则 lim f (x n ) = lim f (y n ) ．n →∞n →∞n →∞取 z n 且= ⎧xk⎩k n = 2k + 1, n = 2k ,则 lim z n →∞= x 0 ,(z n ≠ x 0 )，从而 lim f (z ) 存在 n →∞lim f (z n ) = lim f (z 2n -1 ) = lim f (x n ) = lim f (z 2n ) = lim f (y n ) ．n →∞n →∞ n →∞ n →∞ n →∞于是对任给的序列{x n }，若lim x n = x 0 （ x n ≠ x 0 ），则lim f (x n )存n →∞在且极限值与{x n }的选取无关，记为 A ．n →∞(2) 证明 lim f (x ) = A （反证法），若 lim f (x ) ≠ A ，则有0 > 0 ，x → x 0x → x 0对任给的> 0 ，总有x ' 满足0 < x ' - x 0 < 且使得 f (x ') - A ≥ 0 ．取= 1 ，则有x 1 满足0 < x 1 - x 0 < ，使得f (x 1 ) - A ≥ 0取=1，则有x 满足0 < x - x< min⎧1 , x - x⎫，使得22 2 0⎨1 0⎬ ⎩ ⎭f (x 2 ) - A ≥ 0 ，… …取= 1 ，则有x nn 满足0 < x n - x 0< min ⎧1 , x ⎩ n -1 - x ⎫ ，使得 ⎭f (x n ) - A ≥ 0 ，… …由此可以找到{x n }满足lim x n = x 0 （ x n ≠ x 0 ），且 nf (x n ) - A ≥ 0 > 0 ，即此时lim f (x ) ≠ A ，这与（１）的结论矛盾． n →∞闭区间上连续函数的基本性质设 f 为闭区间[a ,b ] 上的连续函数，本段中我们讨论 f 在[a ,b ] 上 的整体性质。

ng (x ) = ⎪ xn 定义 1：设 f 为定义在数集 D 上的函数。

若存在x 0∈ D ，使得对一切 x ∈ D 有 f (x) ≥ f (x )( f (x 0 ) ≤ f (x )) , 则称 f在 D 上有最大值（最小值），并称 f (x 0) 为 f 在 D 上的最大值（最小值）。

例如， sin x 在[0,] 上有最大值 1，最小值 0。

但一般而言，函数 f 在其定义域 D 上不一定有最大值或最小值（即使 f 在 D 上 有界）。

如 f (x ) = x 在(0,1) 上既无最大值也无最小值。

又如⎧1 , ⎨ ⎪⎩2,x ∈(0,1),x = 0,1它在闭区间[0,1] 上也无最大、最小值。

下述定理给出了函数能取得最大、最小值的充分条件。

定理 8（最大、最小值定理） 若函数 f 在闭区间[a ,b ] 上连续，则f 在[a , b ] 上有最大值与最小值；或称函数 f (x ) 在[a , b ]上达到最大值．分析：设M ．= sup x ∈[a ,b ]f (x ) ，则问题所要证的是存在x 0 ∈[a , b ]，有 f (x 0 ) = M 证明： 设 M = sup x ∈[a ,b ]f (x )， 则对任给的 k ∈ N ， 有 x k ∈ [a , b ]， 使得f (x k ) > M - 1．k由{x k }有界，按致密性定理（问题1.1.11），从而可选取{x k }的子序列{x ，lim x k →∞n k= x 0 ， x 0 ∈[a , b ]，一方面M ≥f (x k ) > M - 1， 得 nlim f (x k →∞f (x 0 ) = M ．) = M ， 另一方面由连续性 lim f (x ) = k k →∞kkf (x 0 ) ， 由此 同理，我们可证， [a , b ]上的连续函数 f (x ) 在[a , b ]上可达到最小 值． 此外， 这里 a ≤ x k≤ b （ k = １,２,…） 按极限的保序性有n nn k} nn1 0n →∞a ≤ x 0 ≤b ．例 1：设{f n (x )}为有界闭区间[a , b ]上一连续函数列，且(1) f 1 (x ) ≥ f 2 (x ) ≥ … f n (x ) ≥ f n +1 (x ) ≥ …， (2)f (x ) = lim f (x ) 处处存在． n →∞试证 f (x ) 在[a , b ]上必有最大值．证明： f (x ) 在[a , b ]上连续，故有界，从而存在x ∈ [a , b ]，从而 f (x ) ≤ M 0 ， x ∈ [a , b ]．M 0 > 0 ，使 f 1 (x ) ≤ M 0 ，令M = sup a ≤ x ≤bf (x )，则M ≤ M 0 为有限数，对任给的k ∈ N 有x k ∈ [a , b ]， f (x k ) > M - 1.又{x kk }是有界数列,则有收敛子列{x},设其极限为x ,即lim x k →∞k= x 0 ∈ [a , b ],于是f n (x 0 ) = lim f k →∞ (x n k ) ≥ lim(M - k →∞1) = M . n k再令n → ∞ , f (x 0 ) = lim f n (x 0 ) ≥ M ,从而 f (x 0 ) = M .n 这里证明的关键是用有界数列的致密性定理.推论 1 （有界性定理） 若函数 f[a ,b ] 上有界。

在闭区间[a ,b ] 上连续，则 f 在定理 9 （ 介值性定理） 设函数 f 在闭区间 [a ,b ] 上连续， 且f (a ) ≠ f (b ) 。

若为介于 f (a ) 与 f (b ) 之间的任何实数（ f (a ) << f (b ) 或f (a ) > > f (b ) ），则至少存在一点x 0 ∈(a ,b ) 使得 f (x 0 ) =。