四川大学高数微积分I(上)考前复习用2018年期末真题试卷(含答案)
(完整word版)微积分期末试卷A及答案
共 4 页，第 1 页 学生答题注意：勿超黑线两端；注意字迹工整。
共 4页，第 2 页） ()f x 在x a =处可导； (B ）()f x 在x a =处不连续； （C)。
lim ()x af x →不存在 ； (D ） ()f x 在x a =处没有定义。
、设lnsin y x =,则dy =（ ）（A) 1cos x ; （B ） 1cos dx x；（C) cot x dx -； (D) cot x dx 。
6. 若()f x 的一个原函数为2x ,则()f x dx '=⎰（ ） （A)12x C + (B ） 2x C + （C) x C + (D ） 2C +7、 1dx =⎰（ ）(A ） 2； （B ） 2π-; (C ） 0； (D ）。
8、对-p 级数∑∞=11n p n ，下列说法正确的是（ ）(A ） 收敛; （B ） 发散;（C ） 1≥p 时，级数收敛； (D) 级数的收敛与p 的取值范围有关。
9、二元函数在(,)xy f x y ye =点0(1,1)p 可微，则(,)xy f x y ye =在0p 的全微 ）00)()limx x f x x→-- .cos x ，求它的微分共 4 页，第 5 页 学生答题注意：勿超黑线两端；注意字迹工整。
共 4页，第 6 页5、（10分）求微分方程()x xe y dx xdy +=在初始条件1|0x y ==下的特解；6、（12分）判断级数211ln(1)n n ∞=+∑的敛散性。
《微积分》课程期末考试试卷参考答案及评分标准(A 卷，考试）一、单项选择（在备选答案中选出一个正确答案，并将其号码填在题目后的括号内.每题3分，共30分）1、（C ）；2、（D ）；3、(B)；4、(A ）；5、(D)；6、（B);7、（A ）；8、（D ）；9、(A); 10、（D)。
二、填空（每题4分,共20分）1、 bx n e a b )ln (；2、 同阶无穷小；3、3- ；4、0；5、2。
2018年秋季学期微积分期末试卷解答
一． 填空题 1. 答案： 解析：
. 当 时，
所以 若
.综上， .
2. 答案：1
解析：
，
，则必有
1
3. 答案：
解析：
，
4. 答案： 解析：由泰勒定理得，
，其中
.于是，
.
2
5. 答案： 解析：
6. 答案： 解析：
7. 答案：
解析：
.
8. 解析：设
或 ，
，得
.
或
，
，
，
.代入
，得
3
.代入 .因此，
. 或者
， ， .因此，
，
，
，
.代入
，
，得
.
，
.代入
，得
，
.
二． 解析：由
时，
，可知
三． 解析： ，
.
，代入点
得
.
，代入点 得
，
.
，
4
四． 解析：
，整理得
，两边求得得， .
当 时， (
).因此，
，
，故
，得 .
五． 解析：由柯西中值定理得，存在 ，即
.
使得 ，
六． 解析：双纽线的极坐标方程为
，则
பைடு நூலகம்
.
，则由
得
，与
矛盾.
，解得
综上，
.
或者
得，
，
，所以数列 单调递减，且
，
由单调有界准则可知，极限
存在，且
.若
，则
.由
得
，得
矛盾.因此，
.
(2)因为
2018最新高等数学期末考试试题及答案详解
2018最新⾼等数学期末考试试题及答案详解⾼等数学期末考试试题及答案详解⼀、填空题：（本题共5⼩题，每⼩题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上）1、已知向量a 、b 满⾜0a b += ，2a =，2b = ，则a b ?= ．2、设ln()z x xy =，则32zx y= ． 3、曲⾯229x y z ++=在点(1,2,4)处的切平⾯⽅程为．4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅⾥叶级数在3x =处收敛于，在x π=处收敛于．5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则()Lx y ds +=? ．※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级．⼆、解下列各题：（本题共5⼩题，每⼩题7分，满分35分）1、求曲线2222222393x y z z x y++==+在点0M (1,1,2)-处的切线及法平⾯⽅程． 2、求由曲⾯2222z x y =+及226z x y =--所围成的⽴体体积． 3、判定级数11(1)ln nn n n∞=+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有⼆阶连续偏导数，求2,z zx x y． 5、计算曲⾯积分,dS z ∑其中∑是球⾯2222x y z a ++=被平⾯(0)z h h a =<<截出的顶部．三、（本题满分9分）抛物⾯22z x y =+被平⾯1x y z ++=截成⼀椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最⼤值与最⼩值．计算曲线积分(sin )(cos )x x Le y m dx e y mx dy -+-?，其中m 为常数，L 为由点(,0)A a ⾄原点(0,0)O 的上半圆周22(0)x y ax a +=>．四、（本题满分10分）求幂级数13nn n x n ∞=?∑的收敛域及和函数．五、（本题满分10分）计算曲⾯积分332223(1)I x dydz y dzdx zdxdy ∑=++-??，其中∑为曲⾯221(0)z x y z =--≥的上侧．六、（本题满分6分）设()f x 为连续函数，(0)f a =，222()[()]tF t z f x y z dv Ω=+++，其中t Ω是由曲⾯z =与z =所围成的闭区域，求 30()lim t F t t+→．备注：①考试时间为2⼩时；②考试结束时，请每位考⽣按卷⾯→答题纸→草稿纸由表及⾥依序对折上交；不得带⾛试卷。
四川大学微积分1-2(2016)B卷
4．设空间曲面： z 1 ( x 2 y2 ) (0 z 1部分) 所围成，方向指向外侧，计算曲面积分 2
( x y)dydz ( y z)dzdx ( x z)dxdy .
5．求微分方程 y 4 y x cos x 的通解.
(1)求常数 A，以及该微分方程的通解.
(2)计算曲线积分 (0,1) 2 xydx ( Ax 2 2 y)dy 的值. (1,0)
3．设二元函数
f
(
x,
y)
xy , x2 y2
0,
( x, y) (0, 0)
.
( x, y) (0, 0)
(1)求证：二元函数 f ( x, y) 在点(0,0)处不可微.
0
2
0
确定的隐函数组，求
y(1),
z(1) .
第 1 页，共 2 页 试卷编号：
2．设空间区域是由 z x2 y2 与 z 2 x2 y2 所围成，计算三重积分
(2x y 3z)dxdydz .
3．设平面闭曲线 L： y cos x 从点 A(1,1)到 B(1,1)，计算曲线积分
四川大学期末考试试题（闭卷） （2015-2016 学年第 2 学期） B 卷
课程号：201138040 适用专业年级：
课序号： 学生人数：
课程名称：微积分（I）-2 任课教师：
成绩：
印题份数：
学号：
姓名：
考生承诺
我已认真阅读并知晓《四川大学考场规则》和《四川大学本科学生考试违纪作弊处分规定（修 订）》，郑重承诺：
2．二元函数 z
f (u, v) 具有二阶连续偏导数,
u
[四川大学]《高等数学(理)(I)》18春在线作业1
![[四川大学]《高等数学(理)(I)》18春在线作业1](https://img.taocdn.com/s3/m/1107fa1ca6c30c2259019e32.png)
[四川大学]《高等数学(理)(I)》18春在线作业1 试卷总分:100 得分:100第1题,题目如图：A、AB、BC、CD、D正确答案:A第2题,题目如图：A、AB、BC、CD、D正确答案:D第3题,题目如图：A、AB、BC、CD、D正确答案:A第4题,题目如图：A、AB、BC、CD、D正确答案:A第5题,题目如图：A、AB、BC、CD、D正确答案:A第6题,题目如图：A、AB、BC、CD、D正确答案:C第7题,题目如图：A、AB、BC、CD、D正确答案:B第8题,题目如图：A、AB、BC、CD、D正确答案:C第9题,题目如图：A、AB、BC、CD、D正确答案:C第10题,题目如图：A、AB、BC、CD、D正确答案:A第11题,题目如图：A、AB、BC、CD、D正确答案:C第12题,题目如图：A、AB、BC、CD、D正确答案:D第13题,题目如图：A、奇函数B、偶函数C、非奇非偶函数D、以上均不对正确答案:B第14题,题目如图：A、AB、BC、CD、D正确答案:D第15题,题目如图：A、AB、BC、CD、D正确答案:C第16题,题目如图：A、-3B、-2D、0正确答案:C第17题,题目如图：A、AB、BC、CD、D正确答案:C第18题,题目如图：A、AB、BC、CD、D正确答案:C第19题,题目如图：A、AB、BC、C正确答案:C第20题,题目如图：A、AB、BC、CD、D正确答案:A第21题,题目如图：A、充分条件，但不是必要条件B、必要条件，但不是充分条件C、充分必要条件D、既不是充分条件也不是必要条件正确答案:B第22题,题目如图：A、0B、1C、2D、3正确答案:B第23题,题目如图：A、奇函数B、偶函数C、非奇非偶函数D、以上均不对正确答案:A第24题,题目如图：A、AB、BC、CD、D正确答案:B第25题,题目如图：A、AB、BC、CD、D正确答案:C。
【答案】2015-2016春四川大学微积分(I)-2
第 2页
解：令 F x2 y2 z2 1(x2 y2 1) 2 (x 2y 3z 6)
Fx Fy Fz F1 F2
2x 21x 2 0 2 y 21 y 22 0 2z 32 0 x2 y2 1 0
x 2y 3z 6 0
解：设辅助面1： z 1, ( x, y) Dxy:x 2 y 2 1 方向指向上侧，根据高斯公式，
( x2 y)dydz ( y2 z)dzdx ( x z2 )dxdy
[( x2 y)dydz ( y2 z)dzdx ( x z2 )dxdy]
1
1
(2
x
A 3, B 1 .
(2) 根据微分公式， (3 x2 y 6 xy2 y)dx (6 x2 y x3 x)dy d( x3 y 3 x2 y2 xy)
所以微分方程的通解： x3 y 3x2 y2 xy C .
(3) 曲线积分 (1,2) (3 x2 y 6 xy2 y)dx (6 x2 y x3 x)dy (0,0)
6．设平面闭曲线 L 是由 y 3x, y 0, x 1 所围成，则曲线积分 xyds ( 9 10 ).
L
2
7．微分方程 y y 2xy 满足 x 0 时 y 1 的特解是( y e x x2 ).
二．计算题(每小题 9 分，共 45 分)
1．设
ez
2x
3y
z
1
0
确定的二元函数
f l
(0,0)
lim
0
f
(x,y )
f
(0, 0)
lim
0
f
( cos ,
cos )
lim
0
3 cos2 cos 3
四川省成都市四川大学附属中学2018年高三数学理期末试题含解析
四川省成都市四川大学附属中学2018年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知平面向量共线，则=A．B．C．D．5参考答案：A略2. 已知集合A={x|y=}，A∩B=?，则集合B不可能是（）A．{x|4x＜2x+1} B．{（x，y）|y=x﹣1}C．D．{y|y=log2（﹣x2+2x+1）}参考答案：D【考点】交集及其运算．【分析】求出各项中的集合确定出B，根据A与B的交集为空集，判断即可得到结果．【解答】解：选项A中，由4x=22x＜2x+1，得到2x＜x+1，即x＜1，即B={x|x＜1}；选项B中，由B={（x，y）|y=x﹣1}，得到B为点集；选项C中，由y=sinx，﹣≤x≤，得到﹣≤y≤，即B={y|﹣≤y≤}；选项D中，由y=log2（﹣x2+2x+1），得到﹣x2+2x+1＞0，即x2﹣2x﹣1＜0，解得：1﹣＜x＜1+，即B={x|1﹣＜x＜1+}，由集合A中y=，得到x﹣1≥0，即x≥1，∴A={x|x≥1}，∵A∩B=?，∴B不可能为{y|y=log2（﹣x2+2x+1）}，故选：D．3. 抛物线C：的焦点F与双曲线的一个焦点重合，过点F 的直线交C于点A、B，点A处的切线与x、y轴分别交于点M、N，若的面积为，则的长为（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：A由题意，焦点F为，所以抛物线C为，设直线，不妨设A为左交点，，则过A的切线为，则，所以，解得，则，所以。
故选A。
4. 已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)-g(x)=x3+2-x，则f(2)+g(2)=A.4B.-4C.2D.-2参考答案：B5. 如图，正的中心位于点G，A，动点P从A点出发沿的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度，向量在方向的投影为y （O为坐标原点），则y关于x的函数的图像是（▲ ）参考答案：C6. 已知函数y=f′（x），y=g′（x）的导函数的图象如右图所示，那么y=f（x），y=g （x）的图象可能是（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】函数的图象．【分析】由图象可得f（x）与g（x）导函数值均为负数，且|f′（x）|越来越大，即表示f（x）的单调递减的程度越来越大，而|g′（x）|越来越小，即表示g（x）的单调递减的程度越来越小，从四个选项中判断，可以得知答案．【解答】解：由图象可得f（x）与g（x）导函数值均为负数，所以f（x）与g（x）均单调递减，从图象中可以看出|f′（x）|越来越大，即表示f（x）的单调递减的程度越来越大，即下凸；而|g′（x）|越来越小，即表示g（x）的单调递减的程度越来越小，即上凸．从四个选项中判断，可以得知，选择：D．故选：D．【点评】本题间接利用导数研究函数的单调性，考查导函数的图象问题，有一定的代表性．7. 已知向量（）A．3 B．4 C．-3 D．-4参考答案：C略8. 设集合，，若，则（）A．B．C．D．参考答案：B略9. 已知0＜a＜1,,,则(A)x＞y＞z (B)z＞y＞x (C)y＞x＞z (D)z＞x＞y参考答案：答案：C解析：本小题主要考查对数的运算。
2014-15(2)四川大学微积分期末试卷 解答
∆y → 0
f (0, 0 + ∆y ) − f (0, 0) 0 = lim = 0 ∆ → y 0 ∆y ∆y
假设 f ( x, y ) 在 (0, 0) 处的可微，则 = dz
f x′(0, 0)∆x + f y′(0, 0) = ∆y 0
考虑 lim
ρ →0
ϕ ′( x) = e x − ∫ ϕ (t )dt ，
0
x
ϕ ′′( x) = e x − ϕ ( x) ， 即 ϕ ′′( x) + ϕ ( x) = e x ，
r2 +1 = 0，
Φ ( x) = C1 cos x + C 2 sin x ，
特征根为 r1, 2 = ±i ，故对应的齐次方程的通解为 易知 Φ * ( x) =
内的部分的上侧. 解：设 S 0 为平面： x + y ≤ 2, z = 0 方向向下， Ω 为 S + S 0 围的立体，
2 2
Ω 在 xOy 上投影 D xy : x 2 + y 2 ≤ 2, z = 0 ，
用极坐标表示： 0 ≤ θ ≤ 2π ,0 ≤ r ≤ 利用高斯公式得
S + S0
2
∫∫ ( y
故
∂2 z 3 = − ∂x∂y (0,0) 25
1
∂2 z = 2. 设 z f (2 x − y, y sin x) ，其中 f 具有连续二阶偏导数，求 ∂x∂y= x
解： 令 u =2 x − y, v =y sin x ， 则
π
.
= ,y 2 4
∂z ∂f ∂u ∂f ∂v = ⋅ + ⋅ = 2 fu′ + y cos xf v′ ， ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x
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x
1
x4
2
x2
d 1
x
而
1 0
x4
2x 2x2
dx 1
1 2d x 2，
0
1
x4
2x 2x2
dx 1
1
2 x3
d
x
1，
故原无穷限广义积分也收敛.
三、解答题（每小题 10 分，共 20 分）
1.设两曲线为 l1 : y x2 ，l2 : x y 2 .
n1
n n1 n
(1)n1 1 xn
n1
n
f
(2017) (0)
a2017
2017!
2 2017
2017!
2 2016!
注 前一问 6 分，后一问 2 分.
6.判断无穷限广义积分
0
x4
2x 2x2
d 1
x
的敛散性.
解 1
2x
f ( x2 y) (2xy x2 dy ) e x y (1 dy ) 1
dx
dx
解之得 dy dx
f
( x2 f (
y x
)
2
2xy e x y) x2 e
x
y
y
1
.
y) 2xy e x y f ( x2 y) x2 e x y
(2) 由(1)知， x0 为极值点，所以 f ( x0 ) 0. 将函数 f ( x) 在点 x x0 处展开，得
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 )
f
( 2!
)
(x
x0 )2
f (x0 )
f
( 2!
)
(
x
x0
)2
故 0 f (0)
(1) 求 l1 在点 x 0 处的曲率；
(2) 求 l1 与l2 所围成图形的面积；
(3) l1 与l2 围成的图形绕 x 轴旋转一周，求旋转体的体积.
解 (1) K
| y | 3 |x0
2 3 |x0 2.
(1 y2 )2
(1 4x2 )2
(2)
由
y
x2
解 原式 1
1
x d f (2x)
20
[1 2
xf
(2 x )]
10
1 2
1 0
f (2x)d x
5 [1 24
f
(2
x
)]
1 0
1.
x
ln(1 t)d t
3.求极限 lim x0
0
(e x 1)sin x
.
x
ln(1 t)d t
解 原式 lim 0 x0
x2
ln(1 x) lim
x0 2x
x1 lim .
x0 2x 2
4.已 知函数 f (u) 可 导， f (0) 0，且 由方 程 f ( x2 y) ex y e x 可确 定 y 是 x 的 函 数，求
dy dx |x0 . 解 由题意易知，当 x 0 时， y 1. 方程两边同时对 x 求导，
2.
二、计算题（每小题 8 分，共 48 分）
1.计算不定积分 [ln x x( x 1)2018 ] d x . x
解 原式
ln
x dx
x( x 1)2018 d x
x
ln xd ln x ( x 1 1)( x 1)2018d x
1 ln2 x [( x 1)2019 ( x 1)2018 ]d x 2
1
x0
e
e
1
.
y1
y1
注 可以不解 y 而直接得到答案.
5.将函数 f ( x) ln 1 x 展开成 x 的幂级数，并求 f (2017)(0). 1 x
解 f ( x) ln 1 x ln(1 x) ln(1 x) 1 x
(1)n1 xn xn
1
x f (2x) d x .
0
x
ln(1 t)d t
3.求极限 lim x0
0
(e x 1)sin x
.
4.已知函数 f (u) 可导， f (0) 0，且由方程 f ( x2 y) ex y e x 可确定 y 是 x 的函数，求
dy dx |x0 .
5.将函数 f ( x) ln 1 x 展开成麦克劳林级数，并求 f (2017)(0). 1 x
cos 1 1 n 1
lim e n n
1( 1 )2 2n
1
1
lim e n e 2 1
n
由比值审敛法知，该数项级数收敛.
2. 设 f ( x) 在 [0，1] 上 连 续 ， 在 (0，1) 内 二 阶 可 导 ， 且 | f ( x) | 1 ，又 f (0) f (1) 0，(1)设
| f ( x0 )|
max |
0 x1
f (x)|
，证明
x0 (0，1) ；(2)
证明
|
f ( x0 )|
1. 8
证明 (1)由于 | f ( x) | 1，故 f ( x) 不可能为常量，所以 | f ( x0 )| 一定大于零，而 f (0) f (1) 0， 从而 x0 (0，1).
四川大学期末考试试题（闭卷） （2017——2018 学年第 1 学期） A 卷
课程号：201137050 适用专业年级：理工
课序号： 学生人数：
课程名称：微积分 1-1
任课教师： 成绩：
印题份数：
学号：
姓名：
考生承诺
我已认真阅读并知晓《四川大学考场规则》和《四川大学本科学生考试违纪作弊处分规定（修 订）》，郑重承诺：
6.判断无穷限广义积分
0
x4
2x 2x2
d 1
x
的敛散性.
三、解答题（每小题 10 分，共 20 分）
1.设两曲线为 l1 : y x2 ，l2 : x y 2 . (1) 求 l1 在点 x 0 处的曲率； (2) 求 l1 与l2 所围成图形的面积； (3) l1 与l2 围成的图形绕 x 轴旋转一周，求旋转体的体积. 2.讨论方程 k e x x2 0 (其中 k 为参数 ) 有几个实根，并说明理由.
四、证明题（每小题 7 分，共 14 分）
1.证明正项级数 (cos 1 )n2 收敛.
n1
n
2.设 f ( x) 在 [0，1] 上连续，在 (0，1) 内二阶可导，且 | f ( x) | 1 ，又 f (0) f (1) 0，
(1) 设 | f ( x0 )|
max |
导数值为_____________.
二、计算题（每小题 8 分，共 48 分）
1.计算不定积分 ( ln x x( x 1)2018 ) d x . x
第 1 页，共 2 页 试卷编号：
2.设 f ( x) 在 [0，2] 上连续，且 f (0) 1， f (2) 7，f (2) 5，求
2.已知函数
f (x)
1 x ln(1
1，x x)
0
在
x
0 处连续，则
a
_____________；
a， x 0
3.定积分
1 1
(
x3e
x2
1
1
1 x2
)d
x
_____________；
4.已知 f ( x) ( x 1)2 e x ，则 f (2018) (1) _____________；
2
2
[4 x
2x2
1 3
x3
1 5
x
5
]
1 2
72 5
注 分值为 2, 3, 3.
2.讨论方程 k e x x2 0 (其中 k 为参数 ) 有几个实根，并说明理由.
解 设 f ( x) ex x2 ，令 f ( x) ex x2 2xex (2x x2 )ex 0，得 x 0，2. 所以当 x (，0) 时， f ( x) 0，函数单增；当 x (0，2) 时， f ( x) 0，函数单减；
0
x4
2x2
d 1
x
lim t
t 2x
0
x4
2x2
dx 1
lim
t
t 0
(x2
1
1)2
d(x2
1)
lim[
t
1 x2
] 1
t 0
1
故无穷限广义积分收敛.
解 2
2x
1 2x
2x
0
x4
2x2
dx 1
0
x4
2x2
d 1
0 x1
f (x)|
，证明
x0 (0，1) ；(2)
证明
|
f ( x0 )|
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2017-2018 微积分(1)-1 期末试题参考答案