不等式的若干证明方法
关于不等式的若干证明方法
关于不等式的若干证明方法一、初等数学中不等式的证明方法（一）、比较法比较法是证明不等式中最常用的方法，包括求差比较法和求商比较法。
求差比较法就是把要比较的两个式子相减，判断差的符号；求商比较法一般就是对两个大于零的式子相除后，判断商是大于1，还是小于1。
例1 已知 0,,,>∈b a R y x 且1=+b a 求证 ()222by ax by ax +≥+证明 ()222ax by ax by +-+2222222ax by a x abxy b y =+---)()(222222abxy y b by abxy x a ax --+--= ])1[(])1[(ax y b by by x a ax --+--= 因为,1=+b a 所以a b b a =-=-1,1则()222ax by ax by +-+()()ax bx by by ay ax =-+- )()(y x aby y x abx ---= ))((y x y x ab --= 2)(y x ab -= 因为 ,0,>b a 所以0>ab又因为 ,0)(2≥-y x 所以0)(2≥-y x ab ，故原不等式成立。
例2 已知 +∈R b a , 求证 a b b a b a b a ≥证明 因为b a a b b a b aba b a -=)( ，+∈R b a ,所以当b a >时，1)(,0,1>>->-b a ba b a b a 当b a ≤时，1)(,0,1≥≤-≤-b a ba b a ba于是,1≥a b ba ba b a 即a b b a b a b a ≥（二）、分析法分析法是从证不等式出发，不断用充分条件替换前面不等式，直到找到成立的不等式，也就是“执因索果”。
利用分析法证明例1证明 为了证明 ()222by ax by ax +≥+ 只需证明 abxy y b by x a ax 2222222≥-+- 也即证明 abxy y b b x a a 2)1()1(22≥-+- 因为 1=+b a ，所以a b b a =-=-1,1 也即证明 abxy aby abx 222≥+ 因为 0,>b a ，所以0ab > 即需要证明 xy y x 222≥+因为 ,x y R ∈，所以 222x y xy +≥恒成立，故原不等式成立。
不等式的几种证明方法
不等式证明的几种常用方法一、比较法（1）差值比较法要证明a ＞b ,只要证明a -b ＞0。
①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体；②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变 形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段；③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论。
应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法。
【例一】求证：233x x +>证明：()()()222233223333x x x x +-=-+-+23330244x ⎛⎫=-+≥> ⎪⎝⎭233x x ∴+>(2)商值比较法已知a ,b 都是正数，要证明a ＞b ,只要证明a/b ＞1 ①作商：将左右两端作商； ②变形：化简商式到最简形式；③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1。
应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法。
【例二】已知a,b>0，求证a b b a a b a b ≥证明： =∵a,b>0+,当a ＞b 时，＞1,a-b ＞0，＞1;当a≤b 时,≤1,a -b≤0, ≥1.∴≥1, 即a b b aa b a b ≥二、综合法利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”。
其逻辑关系为：A-B1- B2- B3… Bn -B ，即从已知A 逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B 。
重点：基本不等式【例三】已知a ,b ,c 是不全等的正数，求证 a (c 2+b 2)+b (a 2+c 2)+c (a 2+b 2)＞6abc .证明： 222a b ab +≥ ，222a c ac +≥，222c b bc +≥()222a b cabc ∴+≥，()222b acabc +≥，()222c ababc +≥∴a (c 2+b 2)+b (a 2+c 2)+c (a 2+b 2)≥6abc .又因为a ,b ,c 是不全等的正数所以有a (c 2+b 2)+b (a 2+c 2)+c (a 2+b 2)＞6abc .三、分析法分析法是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。
证明不等式的八种方法
1 Math Part 比较法
证明：
∴a-1≥1，b-1≥1
ab-a-b =a(b-1)-b
∴(a-1)(b-1)≥1 例题：已知a≥2，b≥即2，(a求-1)证(b：-1)a-b1≥≥a0+b
6 Math Part 构造法
函数构造法
例题：已知a≥2，b≥2，求证：ab≥a+b
证明： 要证明的不等式为： ab≥a+b 移项得 ab-a-b≥0 即(b-1)a-b≥0 构造函数 f(x)=(b-1)x-b (x≥2)
f(x)是关于x的一次函数 其中一次项系数b-1>0 ∴f(x)为定义域上的增函数 ∴对于任意的x∈[2,+∞)都有 f(x)≥f(2)=(b-1)×2-b=b-2≥0 ∴(b-1)a-b≥0 所以原命题成立 证毕
与①式矛盾
所以原命题成立
证毕
5 Math Part
公式法
5 Math Part 公式法
伯公努式利法不：等利式用：已有的不等式的定理、公式等 (1证+x明1)不(1等+x式2)…的(一1+种xn方) ≥法1。+x高1+中x2常…+见xn的公式有： 对基 栖于本 西任不不意等等1≤式式i,、、j≤绝加n都对权有值平x不均i>-等不1且式 等所、 式有均 、x值 切i与不 比x等雪j同式夫号、不
4 Math Part 反证法
例题：已知a≥2，b≥2，求证：ab≥a+b
证明： 假设ab<a+b ab-a-b =a(b-1)-b =a(b-1)-(b-1)-1 =(a-1)(b-1)-1 ∵ab<a+b
2022考研数学：不等式证明的7种方法总结
2022考研数学：不等式证明的7种方法总结
不等式证明的7种方法总结
1. 拉格朗日中值定理适用于已知函数导数的条件，证明涉及函数(值)的不等式;
2. 泰勒公式适用于已知函数的高阶导数的条件，证明涉及函数(值)或低阶导函数(值)的不等式;
3. 应用函数的单调性定理证明：(1)对于证明数的大小比较的不等式，转化为同一函数在区间两端点函数(或极限)值大小的比较，利用函数在区间上的单调性进行证明;(2)对于证明函数大小比较的不等式，转化为同一个函数在区间内的任意一点函数值与区间端点函数(或极限)值大小的比较，利用函数在区间上的单调性进行证明;
4. 利用函数最大值、最小值证明不等式。
把待证的不等式转化为区间上任意一点函数值与区间上某点x出的函数值大小的比较，然后证明(fx)为最大值或最小值，即可证不等式成立;
5. 利用函数取到唯一的极值证明不等式。
把待证的不等式转化为区间上任意一点函数值与区间内某点x处的函数值大小的比较，然后证明(fx)为唯一的极值且为极大值或极小值，即(fx)为最大值或最小值，即可证不等式成立;
6. 用柯西中值定理证明不等式;
7. 利用曲线的凹凸性证明不等式。
数学中不等式的证明方法
·1·数学中不等式的证明方法王贵保一、利用拉格朗日中值定理1．拉格朗日中值定理：设)(x f 满足：（1）在闭区间[a , b ]上连续；（2）在开区间（a , b ）内可导，则有一点∈ξ（a , b ），使得)()()(ξf ab a f b f '=--2．从上式可以看出，如果能确定了)(ξf '介于某两个数m 与M 之间，则有如下形式的不等式： m ≤ab a f b f --)()(≤M因此，欲证形如ab a f b f --)()(或构造成为ab a f b f --)()(形式的不等式，可用该方法。
例1：证明，当x ＞0时，有1-x e ＞x . 证明：由原不等式，因为x ＞0，可改写为xe x1-＞1的形式，或改写为--x e e x ＞1的形式，这里t e t f =)(，区间为[0, x ]，于是可用拉格朗日中值定理证明。
令t e t f =)(，∈t [0, x ]，则)(t f 满足拉格朗日中值定理的条件，于是存在∈ξ[0, x ]有--x e e x＝ξe ＞1所以，有不等式1-xe ＞x . 例2：证明不等式x+11＜x x ln )1ln(-+＜x1 （x ＞0）证明：x x ln )1ln(-+＝xx x x -+-+)1(ln )1ln(这里x b +=1，x a =，于是可对tt f ln )(=在［x , 1+x ］上应用拉格朗日中值定理.令t t f ln )(= ]1,[x x t +∈ （x ＞0），则)(t f 在［x , 1+x ］上满足中值定理的条件，于是有]1,[x x +∈ξ，即x ＜ξ＜x +1，使得·2·ξξ1)()1()()1(=='=-+-+t t f xx x f x f （1）又因为x ＜ξ＜x +1，知有 x+11＜ξ1＜x1 （2）于是由（1）（2）可得x+11＜)()1(x f x f -+＜x1二、利用函数的单调性1．定义：设)(x f 在（a , b ）内有定义，任取),(,21b a x x ∈且1x ＜2x ，如有)(1x f ≤)(2x f 则称)(x f 在（a , b ）单调增加，如有)(1x f ≥)(2x f 则称)(x f 在（a , b ）内单调减少.2．判定单调性的方法：如)(x f 在（a , b ）内的导数)(x f '＞0，则)(x f 在（a , b ）内单调增加；如导数)(x f '＜0，则)(x f 在（a , b ）内单调减少. 3．从单调性的定义可以看出，若构造不成ab a f b f --)()(的形式，则可利用函数的单调性进行判定证明.例3：证明，x ＞0时有x e ＞1+x .证明：令x e x f x --=1)(，则1)(-='x e x f ＞0所以)(x f 单调增加，于是当x ＞0时有)(x f ＞)0(f ＝0，即有)(x f ＞0. 或 x e ＞1+x 例4：证明x ＞1时，有x ln ＞1)1(2+-x x证明：令-=x x f ln )(1)1(2+-x x ，则[]22)1(41)1()1()1(21)(+-=+--+-='x xx x x x x f2222)1()1()1(4)1(++=+-+=x x x x x x x ，由x ＞1知 )(x f '＞0，所以)(x f 单调增加，于是当x ＞1时有)(x f ＞)1(f ＝0，即得： x ln ＞1)1(2+-x x .三、利用闭区间上的连续函数可以取得最大值与最小值的方法1．定理：若)(x f 在闭区间[a , b ]上取得最大值M 与最小值m ，于是有m ≤)(x f ≤M.·3·2．因此，若在不等式的证明中，如有某一个变量受到限制时，可用该方法。
不等式的证明方法
不等式的证明方法第一篇：不等式的证明方法几个简单的证明方法一、比较法：a>b等价于a-b>0；而a>b>0等价于ab>1.即a与b的比较转化为与0或1的比较.使用比较发时，关键是要作适当的变形，如因式分解、拆项、加减项、通分等，这是第一章中许多代数不等式的证明及其他各章初等不等式的证明所常用的证明技巧.二、综合法与分析法：综合法是由因导果，即是由已知条件和已知的不等式出发，推导出所要证明的不等式；分析法是执果索因，即是要逐步找出使结论成立的充分条件或者充要条件，最后归结为已知的不等式或已知条件.对于条件简单而结论复杂的不等式，往往要通过分析法或分析法与综合法交替使用来寻找证明的途径.还要注意：第一，要熟悉掌握第一章的基本不等式和后面各章中著名的各种不等式；第二，要善于利用题中的隐含条件；第三，不等式的各种变性技巧.三、反证法：正难则反.设所要证的不等式不成立，从原不等式的结论的反面出发，通过合理的逻辑推理导出矛盾，从而断定所要证的不等式成立.要注意对所有可能的反面结果都要逐一进行讨论.四、放缩法：要证a<b，又已知(或易证)a<c，则只要证c<b，这是利用不等式的传递性，将原不等式里的某些项适当的放大或缩小，或舍去若干项等以达证题目的.放缩法的方法有：①添加或舍去一些项，如：a2+1>a；n(n+1)>n；②将分子或分母放大（或缩小）；③利用基本不等式，如：log3⋅lg5<（n(n+1)<lg3+lg522)2=lg<lg=lg4； n+(n+1)；④利用常用结论：k+1-k=1k+1+=11-k1k<12k1k；1k(k+1)1k+11k1k+11k<1k(k-1)1k；>=-（程度大）1k<-1=(k-1)(k+1)=2k-1（-)；（程度小）五、换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元.如：已知x2+y2=a2，可设x=acosθ,y=asinθ；已知x2+y2≤1，可设x=rcosθ,y=rsinθ(0≤r≤1)；已知xaxa2+ybyb=1，可设x=acosθ,y=bsinθ；-=1，可设x=asecθ,y=btanθ；六、数学归纳法法：与自然数n有关的许多不等式，可考虑用数学归纳法证明，数学归纳法法证明不等式在数学归纳法中有专门的研究.但运用数学归纳法时要注意：第一，数学归纳法有多种形式.李大元就证明了下述七种等价的形式：设P(n)是与n有关的命题，则(1)、设P(n0)成立，且对于任意的k>n0，从P(k)成立可推出P(k+1)成立，则P(n)对所有大于n0的n都成立.(2)、设m是任给的自然数，若P(1)成立，且从P(k)(1≤k<m)成立可推出P(k+1)成立，则P(n)对所有不超过m的n都成立.(3)、(反向归纳法)设有无穷多个自然数n(例如n=2m)，使得P(n)成立，且从P(k+1)成立可推出P(k)成立，则P(n)对所有n成立.(4)、若P(且P(n)对所有满足1≤n≤k的n成立可推出P(k+1)成立，1)成立，则P(n)对所有n成立.(5)、(最小数原理)自然数集的非空子集中必有一个最小数.(6)、若P)且若P(k),P(k+1)成立可推出P(k+2)成立，则P(n)1(,P(2)成立，对所有n成立.(7)、(无穷递降法)若P(n)对某个n成立可推出存在n1<n，使得P(n1)成立，则P(n)对所有n成立.此外，还有螺旋归纳法(又叫翘翘板归纳法)：设有两个命题P(n),Q(n)，若P(1)成立，又从P(k)成立可推出Q(k)成立，并且从Q(k)成立可推出P(k+1)成立，其中k为任给自然数，则P(n),Q(n)对所有n都成立，它可以推广到两个以上的命题.这些形式虽然等价，但在不同情形中使用各有方便之处.在使用它们时，若能注意运用变形和放缩等技巧，往往可收到化难为易的奇效.对于有些不等式与两个独立的自然数m,n有关，可考虑用二重数学归纳法，即若要证命题P(m,n)对所有m,n成立，可分两步：①先证P(1,n),P(m,1)对所有m,n成立；②设P(m+1,n),P(m,n+1)成立，证明P(m+1,n+1)也成立.第二，数学归纳法与其它方法的综合运用，例如，证明n∑k=11ksinkx>0,(0<x<π)就要综合运用数学归纳法，反证法与极值法；有时可将n换成连续量x，用微分法或积分法.第三，并不是所有含n的不等式都能用数学归纳法证明的.七、构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．笔者将在第三章中详细地介绍构造法.八、利用基本不等式：善于利用已知不等式，特别是基本不等式去发现和证明新的不等式，是广泛应用的基本技巧.这种方法往往要与其它方法结合一起运用.22例1 已知a，b∈R，且a+b=1.求证：(a+2)+(b+2)≥252.证法一：(比较法)Θa,b∈R,a+b=1∴b=1-a∴(a+2)+(b+2)-252=a+b+4(a+b)-12=2(a-12)≥0=a+(1-a)+4-=2a-2a+即(a+2)2+(b+2)2≥证法二：(分析法)252(当且仅当a=b=时，取等号).(a+2)2+(B+2)≥252⇐a+b+4(a+b)+8≥252⎧b=1-a⎪⇐⎨225122⇐(a-)≥0⎪a+(1-a)+4+8≥22⎩显然成立，所以原不等式成立.点评：分析法是基本的数学方法，使用时，要保证“后一步”是“前一步”的充分条件.证法三：(综合法)由上分析法逆推获证(略).证法四：(反证法)假设(a+2)2+(b+2)2<252，则 a2+b2+4(a+b)+8<252252.由a+b=1，得b=1-a，于是有a2+(1-a)2+12<1⎫⎛所以(a-)<0，这与 a-⎪≥0矛盾.22⎭⎝.所以(a+2)+(b+2)≥252.证法五：(放缩法)∵a+b=1∴左边＝(a+2)+(b+2)⎡(a+2)+(b+2)⎤2125≥2⎢=a+b+4=⎡⎤()⎥⎣⎦222⎣⎦＝右边.点评：根据不等式左边是平方和及a+b=1这个特点，选用基本不等式⎛a+b⎫a+b≥2 ⎪.⎝2⎭证法六：(均值换元法)∵a+b=1，所以可设a=12+t，b=-t，1∴左边＝(a+2)+(b+2)=(+t+2)2+(-t+2)25⎫5⎫2525⎛⎛2＝右边.=t+⎪+t-⎪=2t+≥2⎭2⎭22⎝⎝当且仅当t=0时，等号成立.点评：形如a+b=1结构式的条件，一般可以采用均值换元.证法七：(利用一元二次方程根的判别式法) 设y=(a+2)+(b+2)，由a+b=1，有y=(a+2)2+(3-a)2=2a2-2a+13，所以2a2-2a+13-y=0，因为a∈R，所以∆=4-4⋅2⋅(13-y)≥0，即y≥故(a+2)+(b+2)≥252.252.下面，笔者将运用数学归纳法证明第一章中的AG不等式.在证明之前，笔者先来证明一个引理.引理：设A≥0，B≥0，则(A+B)n≥An+nA(n-1)B，其中n∈N+.证明：由二项式定理可知n(A+B)=∑An-iBi≥An+nA(n-1)Bni=0∴(A+B)≥A+nAnn(n-1)B第二篇：证明不等式方法不等式的证明是高中数学的一个难点，题型广泛，涉及面广，证法灵活，错法多种多样，本节通这一些实例，归纳整理证明不等式时常用的方法和技巧。
不等式证明方法大全
不等式证明方法大全1.推导法：推导法是指通过逻辑推理从已知不等式得出要证明的不等式。
常用的推导法有数学归纳法、递推法、代入法等。
其中，数学归纳法是一种常见的证明不等式的方法，它基于以下两个基本原理：基准步和归纳假设。
（1）基准步：证明当一些特定的变量取一些特定的值时，不等式成立。
（2）归纳假设：假设当一些特定的变量取小于等于一些特定值时，不等式成立。
通过利用以上两个原则，可以通过递推关系不断推导得出要证明的不等式。
2.数学运算法：数学运算法是指通过对不等式进行各种数学运算来得到要证明的不等式。
常用的数学运算包括加法、减法、乘法、除法等。
在进行这些运算时，需要注意运算规则和要证明的不等式所满足的条件，避免运算过程中引入新的限制条件。
3.几何法：几何法是指通过将不等式转化为几何问题进行证明。
几何法常用于证明平面图形的不等式定理，如三角形的不等式定理、平行四边形的不等式定理等。
通过将要证明的不等式几何化，可以通过几何性质和定理进行证明。
4.广义的带参数的方法：广义的带参数的方法是指将要证明的不等式引入参数，通过参数的取值范围来证明不等式的成立。
这种方法常用于证明含有多个变量的复杂不等式，通过引入参数使得不等式简化或者更易处理。
5.分情况讨论法：分情况讨论法是指将要证明的不等式拆分为几个不同的情况进行讨论，分别证明每个情况下不等式的成立。
通过逐个讨论每种情况，可以得出要证明的不等式的证明。
6.反证法：反证法是指假设要证明的不等式不成立，通过推理推出与已知条件矛盾的结论，从而证明不等式的成立。
反证法常用于证明不等式的唯一性和存在性。
7.递推法：递推法是指通过依次推导出不等式的前一项和后一项之间的关系，逐步逼近要证明的不等式。
通过不断进行递推，可以逐步证明不等式的成立。
以上是一些常见的不等式证明方法，它们可以单独使用，也可以结合使用。
在进行不等式证明时，需要注意逻辑严谨、计算准确和推导合理，同时还需要根据具体的题目和要求选择合适的证明方法。
不等式证明几种方法
同理： ,
以上三式相乘：(1a)a•(1b)b•(1c)c≤ 与①矛盾
∴原式成立
例五、已知a+b+c> 0，ab+bc+ca> 0，abc> 0，求证：a,b,c> 0
证：设a< 0,∵abc> 0,∴bc< 0
又由a+b+c> 0,则b+c=a> 0
∴ab+bc+ca=a(b+c) +bc< 0与题设矛盾
8．若x,y> 0，且x+y>2，则 和 中至少有一个小于2
一、裂项放缩
例1.(1)求 的值; (2)求证: .
解析:(1)因为 ,所以
(2)因为 ,所以
奇巧积累
:(1) (2)
(3)
(4)
(5) (6)
(7) (8)
(9)
(10) (11)
(11)
(12)
(13)
(14) (15)
(15)
例2.(1)求证:
分析：当水的流速相同时，水管的流量取决于水管横截面面积的大小。设截面的周长为 பைடு நூலகம்则周长为 的圆的半径为 ，截面积为 ；周长为 的正方形为 ，截面积为 。所以本题只需证明 。
证明：设截面的周长为 ，则截面是圆的水管的截面面积为 ，截面是正方形的水管的截面面积为 。只需证明： 。
为了证明上式成立，只需证明 。
例3、已知a，b，m都是正数，并且 求证： （1）
证法一要证（1），只需证 （2）
要证（2），只需证 （3）
要证（3），只需证 （4）
已知（4）成立，所以（1）成立。
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2016届本科毕业论文(设计)题目：不等式的若干证明方法学院：数学科学学院专业班级：数学与应用数学12-1班****：******：***答辩日期：2016年5 月3日新疆师范大学教务处目录1.引言 (1)2.证明不等式的常用方法 (2)2.1比较法 (2)2.1.1 作差法 (2)2.1.2作商法 (2)2.2 分析法 (3)2.3 综合法 (3)2.4 反证法 (4)2.5 放缩法 (5)2.6 数学归纳法 (5)2.7换元法 (6)2.7.1增量换元法.. (6)2.7.2三角换元法 (6)2.7.3 比值换元法 (7)2.8 标准化法 (7)2.9 公式法 (8)2.10 分解法 (8)2.11 构造法 (9)2.11.1 构造对偶式模型 (9)2.11.2 构造函数模型 (9)2.12 借助几何法 (10)3.利用函数证明不等式 (10)3.1 极值法 (10)4.利用著名不等式 (11)4.1 均值不等式 (11)4.2 柯西-施瓦茨不等式 (12)4.3 拉格朗日中值定理 (12)4.4 赫尔德不等式 (13)4.5 詹森不等式 (13)4.6 闵可夫斯基不等式 (14)4.7 伯努利不等式 (15)4.8 切比雪夫不等式 (15)4.9 琴生不等式 (16)4.10 艾尔多斯—莫迪尔不等式 (16)4.11 排序不等式定理 (16)5.小结 ...................................................... 错误!未定义书签。
参考文献 . (18)谢辞 ...................................................... 错误!未定义书签。
不等式的若干证明方法摘要:不论在初等数学还是高等数学中,不等式都是非常重要的内容,而不等式的证明又是不等式知识的重要组成部分,在本篇文章中,综述了证明不等式的若干方法,从初等数学不等式的证明中经常用到的数学归纳法、反证法、放缩法、换元法、判别式法、函数法、几何法等等,到高等数学不等式的证明中经常利用的中值定理、泰勒公式以及一些著名的不等式,使不等式的证明方法更加的完善,有利于进一步的探讨和研究不等式的证明。
关键词:不等式；不等式证明；常用方法Some prove inequalities methodAbstract:in both the elementary mathematics and advanced mathematics, the content of the inequality is very important, inequality and the proof is an important part of knowledge, in this article, several methods to prove inequality are reviewed in this paper, from the elementary mathematics inequality analyst frequently used mathematical induction, the reduction to absurdity, zooming method, substitution method and elementary method, function method, geometric method, etc., to the higher mathematics inequality analyst often use of mean value theorem, Taylor formula and some famous inequality, the inequality proof method more perfect, is conducive to further explore and research of inequality proof.Key words: inequality; Inequality proof; Commonly used method1.引言在生活中,虽然不等关系要比相等关系更多的存在于现实世界里,但是人们对于不等式的认识要比等式要迟的多,直到17世纪以后,不等式的理论才逐渐发展起来,成为数学基础理论中的一个重要组成部分。
数学不等式的研究最早从欧洲国家开始兴起, 其中有一个较大的研究群体, 它是位于欧洲东部的原南斯拉夫国家,对不等式的研究更是做出了巨大贡献。
在数学不等式理论的发展史上,一共有两个比较重大的事件,它们分别是：切比雪夫在1882 年发表的论文和高德菲·哈罗德·哈代在1928 年任伦敦数学会主席届满时的演讲。
哈代、李特尔伍德以及波利亚的著作《Inequalities》的前言中更是对不等式的哲学做出了非常有见地的见解: 一般来讲初等的不等式应该有初等的证明, 证明应该是“内在的”,并且应该给出使等号成立的证明。
Fink 说道：人们应该尽量陈述和证明那些不能推广的不等式；哈代也说：“基本的不等式是初等的”。
自哈代、李特尔伍德以及波利亚的著作《Inequalities》由Cambridge University Press在1934年开始出版以后, 数学不等式的理论和数学不等式理论应用的研究在数学史上正式开始活跃起来, 成为一门新兴的独立的数学学科, 从此以后不等式便不再是一些零星散乱、孤立的公式综合, 而是逐渐发展成为一套系统的、独立的科学理论。
自20 世纪 70 年代以来 , 按照国际惯例,每四年在德国召开一次关于一般不等式 ( General Inequalities) 的国际学术会议 , 并且还要出版专门的会议论文集,不等式理论更是 2000 年在意大利召开的第三届世界非线性分析学家大会 (“The Third World Congress of Nonlinear Analyst s” ( WCNA - 2000) )的主题之一,从这些方面我们可以看出不等式在数学中的重要性。
在研究数学的不等式过程中,有许多的内容都十分有用,如：不等式的性质、不等式的证明方法和不等式的解法,在本文中,就不一一说明了,而主要介绍一些证明不等式的常用方法、利用函数证明不等式的方法和利用一些著名不等式证明不等式的方法,希望通过这些方法的学习,我们可以更好的认识数学中不等式的一些特点,从而开拓我们的数学视野,深化我们对不等式的认识,以便于站在更高的角度来研究数学不等式,让数学不等式理论充满蓬勃生机、兴旺发达。
2.证明不等式的常用方法2.1比较法比较法是把不等式两边作商或作差后和1或0做比较的方法 ,常用比较法的有两种：作差法和作商法。
2.1.1 作差法从不等式两边的差是正数还是负数来判断它们的大小,其理论根据就是:若0a b ->,则a b >；若0a b -<,则a b <.此外,还要特别注意对任何实数,其平方后必不小于零。
在运用此方法证不等式时,常常求不等式两端的差,所以这种方法通常也称为求差法。
例 求证:对任何实数,,a b c 成立下述不等式：222ab bc ac a b c ++≤++.证明: 利用比较大小的办法,我们求不等式两边式子之差,因为 222()a b c ab bc ac ++-++2222221(222)2a b ab b c bc a c ac =+-++-++- 2221[()()()]02a b b c c a =-+-+-≥ 所以 222ab bc ac a b c ++≤++.2.1.2作商法作商法是把不等式两边做比,然后与1作比较,看比值是大于1还是小于1。
例 设+∈R b a ,,求证：()2ba b a ab b a +≥.（由于要比较的两式成幂的结构,故结合函数的单调性,故可采用作商比较法来证明.）证明：作商得：()2222b a ab ba ba ba b a b a ab b a ---+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=,又由指数函数的性质当b a =时,12=⎪⎭⎫ ⎝⎛-b a b a ；当0>>b a 时,1>b a ,02>-b a ,12>⎪⎭⎫ ⎝⎛-b a b a .当0>>a b 时,10<<b a ,1,022>⎪⎭⎫ ⎝⎛<--ba b a b a .即 ()2ba b a ab b a +≥.2.2 分析法分析法也叫逆推法,就是假定给的不等式是成立的,推测使它成立的条件,用恒等变换和不等式的性质继续推测能使这些条件成立的条件,这样逐步的递推下去,最后得到一个已知成立的不等式的方法,并且让推导过程的每一步又都是可逆的,便证明了原不等式是正确的。
对于比较复杂的不等式,往往可以运用这种方法进行思考,从而探索证题的途径。
例 已知0απ<<,证明2sin 2cot 2αα≤,并讨论当α为何值时等号成立.证明: 若原不等式2sin 2cot 2αα≤成立,则可写成 1+cos 2sin 2sin ααα≤,由于0απ<<,两端乘以正数sin α,则问题化为证明2sin sin 21cos ααα≤+但 222sin sin 24sin cos(1cos )4(1cos )cos ααααααα=+=-4(1cos )(1cos )cos ααα=-+所以问题又化为证明不等式(1cos )[4(1cos )cos 1]0ααα+--≤即 21(1cos )[4(cos )]02αα+--≤ 这个不等式的正确是显然的,故原不等式成立.因为0απ<<,所以等号成立当且仅当1cos =02α-,解出=3πα. 2.3 综合法综合法是利用已经证明过的不等式和不等式的性质,推出所要证明的不等式成立,综合法也是分析法的逆推.对于比较复杂的不等式,如果从已知直接推出结果,往往不易成功,这时,我们便可用逆向思维,由结果去推已知,也许会简单些,因此,在证明题时通常是先用分析法去探索证题的途径,再用综合法叙述证明过程.综合法证明不等式的逻辑关系是：（已知A ）逐步推演不等式成立的必要条件（结论B ）,符号如下：12n A B B B B ⇒⇒⇒⋅⋅⋅⇒⇒.例 已知,,a b c 为正实数,用综合法证明3332222(a +b +c )a (b+c)+b (a+c)+c (a+b)≥.证明：222232233322a>0,b>0a+b>0,(a-b)0(a+b)(a-b)0(a -b )(a-b)0a -a b-ab +b 0a +b ba +ab →≥≥≥≥≥同理33223322b +c cb +bc ,c +a ac +ca ≥≥,三同向的不等式的两边相加得到： 3332222222a +2b +2c a b+a c+ab +cb +c a+c b ≥.2.4 反证法反证法是从求证结论的反向入手,即假设求证的不等式不成立,然后经过一堆番合乎逻辑的推理,推出与已知条件或其他正确的定理、命题、公式相矛盾的结论,从而否定开始所作的假设,以此断定求证的不等式成立的方法,也就是逆向思维。