不等式3-6

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第三节基本不等式

（ 2 ）若 x＜ 0 , 贝 U x +
l -x
< － - 2 （当且仅当x= — 1时取"=")
（3 )
0 若 ab > ，
贝 u b-a +
b -a
＞－
2
（当且仅当a= b时取"=")
(4)若a, bER , 则 ab �(a+) b 2 � 矿+ b2
2
2
✓z (5)若a, bER *,
则l —I —I
）
6
A. 3+✓22 4
B. 3+✓24 4
C. 3+✓22 6
【答案】A
【解答】解：因为 a>O, b> 满l足 a+= b,5
判、
—+ 2 1 =( —+ 2 1 )[a+ (—1)b ]
1 X — ,
a — bI a —1 b
4
✓ = 1— [3+-2( 1)b +a 修 — I( 3+2)2 ,
X
2y 4
X 16y
【答案】－ —1 4
变式1.
2
x
+y
2
+-1 +-1 =
2—7
求 — 15 - — 3 的最小值
Xy 4
X 4y
【答案】6
6.构造一元二次不等式
例1. 若正实数X, y满足2x+y+6=xy , 则 xy的最小值是＿．
【答案】18
y 【解答】解：由条件利用基本不等式可得 xy=2x+y+6?2J云 +6'

第六章第三节基本不等式

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[考点分类•深度剖析]
[方法总结] 代数式最值的求解方法——拼凑法拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项、变系数、凑因子等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．注意：变形的等价性及基本不等式应用的前提条件．
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[主干知识•自主梳理]
2．设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是( ) A．a＜b＜ ab＜a＋2 b B．a＜ ab＜a＋2 b＜b C．a＜ ab＜b＜a＋2 b D. ab＜a＜a＋2 b＜b
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④若a＞0，则a3＋a12的最小值为2 a；
⑤不等式a2＋b2≥2ab与a＋2 b≥ ab有相同的成立条件．
A．0
B．1
C．2
D．3
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【教材拓展】 1．a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号． 2．ab≤a＋2 b2(a，b∈R)．当且仅当a＝b时取等号． 3.a2＋2 b2≥a＋2 b2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号． 4.ba＋ab≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．
解析：∵a，b∈R，ab>0，∴a4＋a4bb4＋1≥4a2bab2＋1＝4ab＋a1b≥2

专题14 基本不等式(解析版)

专题14 基本不等式1．已知关于x 的不等式b a x <+的解集为{}42<<x x ，则=a b ．【难度】★ 【答案】31-2．若关于实数x 的不等式a x x <++-35无解，则实数a 的取值范围是．【难度】★★ 【答案】(]8,∞-【解析】因为35++-x x 表示数轴上的动点x 到数轴上的点3-、5的距离之和，而()835min=++-x x ，所以当8≤a 时，a x x <++-35无解．热身练习3．不等式212+<-x x 的解集为．【难度】★【答案】⎪⎭⎫ ⎝⎛-331， 4．若关于x 的不等式21-++≥x x a 存在实数解，则实数a 的取值范围是．【难度】★★ 【答案】3≥a 或3-≤a5．若关于x 的不等式164222--≤++x x b ax x 对R x ∈恒成立，则=+b a ．【难度】★★★ 【答案】10-1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．·基本不等式的几何解释：因为()02≥-y x ，令a x =，b y =，代入展开可得2b a ab +≤知识梳理模块一：利用基本不等式求最值·基本不等式的几何解释：如图，AB 是圆的直径，C 是AB 上一点，AC ＝a ，BC ＝b ，过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连结AD ，BD .由射影定理或三角形相似可得CD ＝ab ，由CD 小于或等于圆的半径a ＋b 2，可得不等式ab ≤a ＋b2.当且仅当点C 与圆心重合，即当a ＝b 时，等号成立．【例1】（1）已知，如果，那么的最小值为__________；（2）已知，如果，那么的最小值为______；（3）若，则的最小值为；（4）已知，且，则的最大值为.【难度】★【答案】（1）2 （2）12 （3）22 （4）1162．基本不等式及有关结论(1)基本不等式：如果a >0，b >0，则a ＋b2a b +∈R 、1ab =a b +a b +∈R 、1a b +=22a b +0x >2x x+,x y R +∈41x y +=x y ⋅_____典例剖析≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，即正数a 与b 的算术平均数不小于它们的几何平均数．(2)重要不等式：a ∈R ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(3)几个常用的重要结论① b a ＋ab ≥2(a 与b 同号，当且仅当a ＝b 时取等号)；② a ＋1a ≥2(a >0，当且仅当a ＝1时取等号)，a ＋1a ≤－2(a <0，当且仅当a ＝－1时取等号)；③ ab ≤2)2(ba (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b时取等号)；④ 21a ＋1b≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b22(a ，b >0，当且仅当a ＝b 时取等号)．调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数【例2】已知实数a 、b ，判断下列不等式中哪些一定是正确的？（1）abba ≥+2；（2）abb a 222-≥+；（3）ab b a ≥+22；（4）2≥+baa b （5）21≥+a a ；（6） 2≥+abb a （7）222)(2b a b a +≥+）（【难度】★【答案】（2）（3）（6）（7）（1）错误。

高考数学必胜秘诀(6、不等式)

高考数学必胜秘诀在哪？――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结§不等式1、不等式的性质：（1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a c b d +>+（若,a b c d ><，则a c b d ->-），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则a b c d>）；（3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b >>（4）若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11a b>. 如（1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题： ①22,bc ac b a >>则若；②b a bc ac >>则若,22；③22,0b ab a b a >><<则若；④b a b a 11,0<<<则若； ⑤ba ab b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0； ⑦bc b a c a b a c ->->>>则若,0； ⑧11,a b a b >>若，则0,0a b ><. 其中正确的命题是______（2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______（3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则ac 的取值范围是______ 2. 不等式大小比较的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法；(8)图象法.其中比较法（作差、作商）是最基本的方法.如（1）设0,10>≠>t a a 且，比较21log log 21+t t a a 和的大小; （2）设2a >，12p a a =+-，2422-+-=a a q ，试比较q p ,的大小; （3）比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小.3. 利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针.如（1）下列命题中正确的是( )A 、1y x x =+的最小值是2 B、2y =的最小值是2 C 、423(0)y x x x =-->的最大值是2- D 、423(0)y x x x=-->的最小值是2- （2）若21x y +=，则24x y +的最小值是______（3）正数,x y 满足21x y +=，则yx 11+的最小值为______ 4.常用不等式有：（12211a b a b+≥≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；（2）a 、b 、c ∈R ，222a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）；（3）若0,0a b m >>>，则b b m a a m+<+（糖水的浓度问题）.如如果正数a 、b 满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是_________5、证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论.). 常用的放缩技巧有：211111111(1)(1)1n n n n n n n n n-=<<=-++--=<<=（1）已知c b a >>，求证：222222ca bc ab a c c b b a ++>++ ；(2) 已知R c b a ∈,,，求证：)(222222c b a abc a c c b b a ++≥++；（3）已知,,,a b x y R +∈，且11,x y a b >>，求证：x y x a y b>++； (4)若a 、b 、c 是不全相等的正数，求证：lg lg lg lg lg lg 222a b b c c a a b c +++++>++；（5）已知R c b a ∈,,，求证：2222a b b c +22()c a abc a b c +≥++；(6)若*n N ∈(1)n +<n ；(7)已知||||a b ≠，求证：||||||||||||a b a b a b a b -+≤-+；（8）求证：2221111223n ++++<. 6.简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集.如（1）解不等式2(1)(2)0x x -+≥.（2）不等式(0x -≥的解集是____（3）设函数()f x 、()g x 的定义域都是R ，且()0f x ≥的解集为{|12}x x ≤<，()0g x ≥的解集为∅，则不等式()()0f x g x >的解集为______（4）要使满足关于x 的不等式0922<+-a x x （解集非空）的每一个x 的值至少满足不等式08603422<+-<+-x x x x 和中的一个，则实数a 的取值范围是______.7.分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解.解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母.如（1）解不等式25123x x x -<--- （2）关于x 的不等式0>-b ax 的解集为),1(+∞，则关于x 的不等式02>-+x b ax 的解集为_____ 8.绝对值不等式的解法：（1）分段讨论法（最后结果应取各段的并集）：如解不等式|21|2|432|+-≥-x x （答：x R ∈）；（2）利用绝对值的定义；（3）数形结合；如解不等式|||1|3x x +->（答：(,1)(2,)-∞-+∞）（4）两边平方：如若不等式|32||2|x x a +≥+对x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围为______. 9、含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是…”.注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集.如（1）若2log 13a <，则a 的取值范围是__________ （2）解不等式2()1ax x a R ax >∈- 提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值.如关于x 的不等式0>-b ax 的解集为)1,(-∞，则不等式02>+-bax x 的解集为__________ 10.含绝对值不等式的性质：a b 、同号或有0⇔||||||a b a b +=+≥||||||||a b a b -=-；a b 、异号或有0⇔||||||a b a b -=+≥||||||||a b a b -=+.如设2()13f x x x =-+，实数a 满足||1x a -<，求证：|()()|2(||1)f x f a a -<+11.不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）1).恒成立问题若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <如（1）设实数,x y 满足22(1)1x y +-=，当0x y c ++≥时，c 的取值范围是______（2）不等式a x x >-+-34对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围_____（3）若不等式)1(122->-x m x 对满足2≤m 的所有m 都成立，则x 的取值范围_____（4）若不等式na n n1)1(2)1(+-+<-对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是_____ （5）若不等式22210x mx m -++>对01x ≤≤的所有实数x 都成立，求m 的取值范围. 2). 能成立问题若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,则等价于在区间D 上()max f x A >；若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立,则等价于在区间D 上的()min f x B <.如已知不等式a x x <-+-34在实数集R 上的解集不是空集，求实数a 的取值范围______3). 恰成立问题若不等式()A x f >在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()A x f >的解集为D ；若不等式()B x f <在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()B x f <的解集为D .高考数学必胜秘诀在哪？――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结§直线和圆1、直线的倾斜角：（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l 重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角.当直线l 与x 轴重合或平行时，规定倾斜角为0；（2）倾斜角的范围[)π,0.如（1）直线023cos =-+y x θ的倾斜角的范围是____（2）过点),0(),1,3(m Q P -的直线的倾斜角的范围m 那么],32,3[ππα∈值的范围是______2、直线的斜率：（1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ，即k ＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；（2）斜率公式：经过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率为()212121x x x x y y k ≠--=；（3）直线的方向向量(1,)a k =，直线的方向向量与直线的斜率有何关系？（4）应用：证明三点共线： AB BC k k =.如(1) 两条直线钭率相等是这两条直线平行的____________条件（2）实数,x y 满足3250x y --= (31≤≤x )，则xy 的最大值、最小值分别为______3、直线的方程：（1）点斜式：已知直线过点00(,)x y 斜率为k ，则直线方程为00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴的直线.（2）斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ，则直线方程为y kx b =+,它不包括垂直于x 轴的直线.（3）两点式：已知直线经过111(,)P x y 、222(,)P x y 两点，则直线方程为121121x x x x y y y y --=--，它不包括垂直于坐标轴的直线.（4）截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距为,a b ,则直线方程为1=+by a x ，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线.（5）一般式：任何直线均可写成0Ax By C ++=(A,B 不同时为0)的形式.如（1）经过点（2，1）且方向向量为v =(－1,3)的直线的点斜式方程是___________（2）直线(2)(21)(34)0m x m y m +----=，不管m 怎样变化恒过点______（3）若曲线||y a x =与(0)y x a a =+>有两个公共点，则a 的取值范围是_______提醒：(1)直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截距式呢？）；(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等⇔直线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数⇔直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等⇔直线的斜率为1±或直线过原点.如过点(1,4)A ，且纵横截距的绝对值相等的直线共有___条4.设直线方程的一些常用技巧：（1）知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+；（2）知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(它不适用于斜率为0的直线)；（3）知直线过点00(,)x y ，当斜率k 存在时，常设其方程为00()y k x x y =-+，当斜率k 不存在时，则其方程为0x x =；（4）与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为10Ax By C ++=；（5）与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为10Bx Ay C -+=.提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解.5、点到直线的距离及两平行直线间的距离：（1）点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离d =；（2）两平行线1122:0,:0l Ax By C l Ax By C ++=++=间的距离为d =.6、直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=的位置关系：（1）平行⇔12210A B A B -=（斜率）且12210B C B C -≠（在y 轴上截距）；（2）相交⇔12210A B A B -≠；（3）重合⇔12210A B A B -=且12210B C B C -=.提醒：（1） 111222A B C A B C =≠、1122A B A B ≠、111222A B C A B C ==仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件！为什么？（2）在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线；（3）直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=垂直⇔12120A A B B +=.如（1）设直线1:60l x my ++=和2:(2)320l m x y m -++=，当m ＝_______时1l ∥2l ；当m ＝________时1l ⊥2l ；当m _________时1l 与2l 相交；当m ＝_________时1l 与2l 重合;（2）已知直线l 的方程为34120x y +-=，则与l 平行，且过点（—1，3）的直线方程是______（3）两条直线40ax y +-=与20x y --=相交于第一象限，则实数a 的取值范围是____（4）设,,a b c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长，则直线sin 0A x ay c ++=与sin sin 0bx B y C -+=的位置关系是____（5）已知点111(,)P x y 是直线:(,)0l f x y =上一点，222(,)P x y 是直线l 外一点，则方程1122(,)(,)(,)f x y f x y f x y ++＝0所表示的直线与l 的关系是____（6）直线l 过点（１，０），且被两平行直线360x y +-=和330x y ++=所截得的线段长为9，则直线l 的方程是________7、对称（中心对称和轴对称）问题——代入法：如（1）已知点(,)M a b 与点N 关于x 轴对称，点P 与点N 关于y 轴对称，点Q 与点P 关于直线0x y +=对称，则点Q 的坐标为_______（2）已知直线1l 与2l 的夹角平分线为y x =，若1l 的方程为0(0)ax by c ab ++=>，那么2l 的方程是__________（3）点Ａ（４，５）关于直线l 的对称点为Ｂ(－2,7)，则l 的方程是_________（4）已知一束光线通过点Ａ（－３，５），经直线l :3x －4y+4=0反射.如果反射光线通过点Ｂ（２，15），则反射光线所在直线的方程是_________（5）已知ΔABC 顶点A(3，－１)，ＡＢ边上的中线所在直线的方程为6x+10y －59=0，∠B 的平分线所在的方程为x －4y+10=0，求ＢＣ边所在的直线方程;（6）直线2x ―y ―4=0上有一点Ｐ，它与两定点Ａ（4,－1）、Ｂ（3,4）的距离之差最大，则Ｐ的坐标是______（7）已知A x ∈轴，:B l y x ∈=，C （2，1），ABC 周长的最小值为______提醒：在解几中遇到角平分线、光线反射等条件常利用对称求解.8、简单的线性规划（文）（1）二元一次不等式表示的平面区域：①法一：先把二元一次不等式改写成y kx b >+或y kx b <+的形式，前者表示直线的上方区域，后者表示直线的下方区域；法二：用特殊点判断；②无等号时用虚线表示不包含直线l ，有等号时用实线表示包含直线l ；③设点11(,)P x y ，22(,)Q x y ，若11Ax By C ++与22Ax By C ++同号，则P ，Q 在直线l 的同侧，异号则在直线l 的异侧.如已知点A （—2，4），B （4，2），且直线:2l y kx =-与线段AB 恒相交，则k 的取值范围是_（2）线性规划问题中的有关概念：①满足关于,x y 的一次不等式或一次方程的条件叫线性约束条件.②关于变量,x y 的解析式叫目标函数，关于变量,x y 一次式的目标函数叫线性目标函数；③求目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，称为线性规划问题；④满足线性约束条件的解（,x y ）叫可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域；⑤使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解；（3）求解线性规划问题的步骤是什么？①根据实际问题的约束条件列出不等式；②作出可行域，写出目标函数；③确定目标函数的最优位置，从而获得最优解.如（1）线性目标函数z=2x －y 在线性约束条件{||1||1x y ≤≤下，取最小值的最优解是___（2）点（－２，t ）在直线2x －3y+6=0的上方，则t 的取值范围是_________（3）不等式2|1||1|≤-+-y x 表示的平面区域的面积是_________（4）如果实数y x ,满足2040250x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨--≤⎪⎩，则|42|-+=y x z 的最大值_________（4）在求解线性规划问题时要注意：①将目标函数改成斜截式方程；②寻找最优解时注意作图规范.9、圆的方程：⑴圆的标准方程：()()222x a y b r -+-=. ⑵圆的一般方程：22220(D E 4F 0)＋－x y Dx Ey F ++++=>，特别提醒：只有当22D E 4F 0＋－>时，方程220x y Dx Ey F ++++=才表示圆心为(,)22D E --，220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++= 表示圆的充要条件是什么？（0,A C =≠且0B =且2240D E AF +->））；⑶圆的参数方程：{cos sin x a r y b r θθ=+=+（θ为参数），其中圆心为(,)a b ，半径为r .圆的参数方程的主要应用是三角换元：222cos ,sin x y r x r y r θθ+=→==；22x y t +≤cos ,sin (0x r y r r θθ→==≤.⑷()()1122A ,,,x y B x y 为直径端点的圆方程()()()()12120x x x x y y y y --+--=如（1）圆C 与圆22(1)1x y -+=关于直线y x =-对称，则圆C 的方程为____________（2）圆心在直线32=-y x 上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是__________（3）已知(1P -是圆{cos sin x r y r θθ==（θ为参数，02)θπ≤<上的点，则圆的普通方程为________，P 点对应的θ值为_______，过P 点的圆的切线方程是___________（4）如果直线l 将圆：x 2+y 2-2x-4y=0平分，且不过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是____（5）方程x 2+y ２－x+y+k=0表示一个圆，则实数k 的取值范围为____ （6）若{3cos {(,)|3sin x M x y y θθ===（θ为参数，0)}θπ<<，{}b x y y x N +==|),(，若φ≠N M ，则b 的取值范围是_________10、点与圆的位置关系：已知点()00M ,x y 及圆()()()222C 0：x-a y b r r +-=>，（1）点M 在圆C 外()()22200CM r x a y b r ⇔>⇔-+->；（2）点M 在圆C 内⇔()()22200CM r x a y b r <⇔-+-<；（3）点M 在圆C 上()20CM r x a ⇔=⇔-()220y b r +-=. 如点P(5a+1,12a)在圆(x －１)２＋y 2=1的内部,则a 的取值范围是______ 11、直线与圆的位置关系：直线:0l Ax By C ++=和圆()()222C ：x a y b r -+-= ()0r >有相交、相离、相切.可从代数和几何两个方面来判断：（1）代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）：0∆>⇔相交；0∆<⇔相离；0∆=⇔相切；（2）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：设圆心到直线的距离为d ，则d r <⇔相交；d r >⇔相离；d r =⇔相切.提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷.如（1）圆12222=+y x 与直线sin 10(,2x y R πθθθ+-=∈≠k π+，)k z ∈的位置关系为____ （2）若直线30ax by +-=与圆22410x y x ++-=切于点(1,2)P -，则ab 的值____（3）直线20x y +=被曲线2262x y x y +--150-=所截得的弦长等于（4）一束光线从点A(－1,1)出发经x 轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是（5）已知(,)(0)M a b ab ≠是圆222:O x y r +=内一点，现有以M 为中点的弦所在直线m 和直线2:l ax by r +=，则( )A ．//m l ，且l 与圆相交B ．l m ⊥，且l 与圆相交C ．//m l ，且l 与圆相离D ．l m ⊥，且l 与圆相离（6）已知圆C ：22(1)5x y +-=，直线L ：10mx y m -+-=.①求证：对m R ∈，直线L 与圆C 总有两个不同的交点；②设L 与圆C 交于A 、B 两点，若AB =求L 的倾斜角；③求直线L 中，截圆所得的弦最长及最短时的直线方程.12、圆与圆的位置关系（用两圆的圆心距与半径之间的关系判断）：已知两圆的圆心分别为12O O ，，半径分别为12,r r ，则（1）当1212|O O r r |>+时，两圆外离；（2）当1212|O O r r |=+时，两圆外切；（3）当121212<|O O r r r r -|<+时，两圆相交；（4）当1212|O O |r r |=|-时，两圆内切；（5）当12120|O O |r r ≤|<|-时，两圆内含.如双曲线22221x y a b-=的左焦点为F 1，顶点为A 1、A 2，P 是双曲线右支上任意一点，则分别以线段PF 1、A 1A 2为直径的两圆位置关系为13、圆的切线与弦长：(1)切线①过圆222x y R +=上一点00(,)P x y 圆的切线方程是：200xx yy R +=，过圆222()()x a y b R -+-=上一点00(,)P x y 圆的切线方程是：200()()()()x a x a y a y a R --+--=，一般地，如何求圆的切线方程？（抓住圆心到直线的距离等于半径）；②从圆外一点引圆的切线一定有两条，可先设切线方程，再根据相切的条件，运用几何方法（抓住圆心到直线的距离等于半径）来求；③过两切点的直线（即“切点弦”）方程的求法：先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆，该圆与已知圆的公共弦就是过两切点的直线方程；③切线长：过圆220x y Dx Ey F ++++=（222()()x a y b R -+-=）外一点00(,)P x y 所引圆的切线；如设A 为圆1)1(22=+-y x 上动点，PA 是圆的切线，且|PA|=1，则P 点的轨迹方程为__________（2）弦长问题：①圆的弦长的计算：常用弦心距d ，弦长一半12a 及圆的半径r 所构成的直角三角形来解：2221()2r d a =+； ②过两圆1:(,)0C f x y =、2:(,)0C g x y =交点的圆(公共弦)系为(,)(,)0f x y g x y λ+=，当1λ=-时，方程(,)(,)0f x y g x y λ+=为两圆公共弦所在直线方程..14.解决直线与圆的关系问题时，要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等)!。

几个常用的不等式

几个常用的不等式1．柯西（Cauchy ）不等式(aa 1bb 1+aa 2bb 2+⋯+aa nn bb nn )2≤�aa 12+aa 22+⋯+aa nn 2��bb 12+bb 22+⋯bb nn 2� �aa ii bb ii ∈RR ，ii =1，2，⋯，nn �等号当且仅当 aa 1=aa 2=⋯=aa nn =0 或 bb ii =kkbb ii 时成立（kk 为常数，ii =1，2，⋯，nn ）现将它的证明介绍如下：证明：构造二次函数ff(xx)=(aa 1xx +bb 1)2+(aa 2xx +bb 2)2+⋯+(aa nn xx +bb nn )2=�aa 12+aa 22+⋯+aa nn 2�xx 2+2(aa 1bb 1+aa 2bb 2+⋯+aa nn bb nn )xx +�bb 12+bb 22+⋯bb nn 2�∵ aa 12+aa 22+⋯+aa nn 2≥0 又 ∵ ff(xx)≥0 恒成立∴ ∆=4(aa 1bb 1+aa 2bb 2+⋯+aa nn bb nn )2−4�aa 12+aa 22+⋯+aa nn 2��bb 12+bb 22+⋯bb nn 2�≤0即 (aa 1bb 1+aa 2bb 2+⋯+aa nn bb nn )2≤�aa 12+aa 22+⋯+aa nn 2��bb 12+bb 22+⋯bb nn 2�当且仅当aa ii xx +bb ii =0 � ii =1，2，⋯，nn � 即 aa1bb 1=aa2bb 2=⋯=aann bb nn时等号成立。

2．平均不等式设 aa ii ∈RR + � ii =1，2，⋯，nn � ，调和平均值：HH nn = nn1aa 1+ 1aa 2+ 1aa 3+ ⋯ + 1aann，几何平均值：GG nn =√aa 1∙aa 2∙aa 3∙⋯∙aa nn nn算术平均值：AA nn=aa 1+aa 2+aa 3+⋯+aa nnnn，方幂平均值：QQ nn =�aa 12+aa 22+aa 32+⋯+⋯aa nn2nn则 HH nn ≤GG nn ≤AA nn ≤QQ nn ，等号成立当且仅当：aa 1=aa 2=aa 3=⋯=aa nn注意：运用平均不等式需注意各项均为正数！3．排序不等式若两组实数 aa 1≤aa 2≤aa 3≤⋯≤aa nn 且 bb 1≤bb 2≤bb 3≤⋯≤bb nn ，则对于bb 1，bb 2，bb 3，⋯，bb nn 的任意排列bb ii 1，bb ii 2，bb ii 3，⋯，bb ii nn ，有：aa 1bb nn +aa 2bb nn−1+aa 3bb nn−2+⋯+aa nn bb 1≤aa 1bb ii 1+aa 2bb ii 2+aa 3bb ii 3+⋯+aa nn bb ii nn ≤aa 1bb 1+aa 2bb 2+aa 3bb 3+⋯+aa nn bb nn4．琴生不等式首先来了解凸函数的定义：一般地，设 ff(xx) 是定义在�aa ，bb �内的函数，如果对于定义域内的任意两数xx 1，xx 2 都有ff �xx 1+xx 22�≤ff(xx 1)+ff (xx 2)2，则称ff(xx) 是�aa ，bb �内的下凸函数，一般说的凸函数，也就是下凸函数，例如 yy =xx 2 ，从图像上即可看出是下凸函数，也不难证明其满足上述不等式。

50个解不等式方程及答案

50个解不等式方程及答案以下为50个解不等式方程及其答案：1. 2x + 3 > 7；解：x > 22. -5x < 15；解：x < -33. 9x – 7 > 20；解：x > 34. 4x + 5 < 13；解：x < 25. 3x – 8 > 1；解：x > 36. 5x + 2 > 22；解：x > 47. 10x – 3 < 47；解：x < 58. x/4 + 7 < 10；解：x < 129. 2x + 1 > 11；解：x > 510. -3x + 5 > 2x – 7；解：x > -411. -2x + 3 < x + 4；解：x > -112. 5x/2 < 25；解：x < 1013. 3x + 4 < 7x；解：x > 4/314. 4x – 6 > 20；解：x > 6.515. 7x – 10 < x + 11；解：x < 21/616. 4x – 8 > 0；解：x > 217. x/3 – 1 > 2；解：x > 918. 2x + 3 > 11；解：x > 419. -5x + 3 < 7；解：x > -4/520. 9x – 2 > 16；解：x > 221. 7x + 4 < 3x + 22；解：x > 322. 3x/2 < 18；解：x < 1223. 4x + 5 > 17；解：x > 324. 8x – 3 > 13；解：x > 225. x + 2 > 6；解：x > 426. -9x + 2 > -4x + 13；解：x < 11/527. 2x + 5 < 8；解：x < 1.528. x/5 – 7 > -5；解：x > 2029. 5x – 3 < 22；解：x < 530. 4x – 5 > 11；解：x > 431. 2x + 8 < 7x；解：x > 8/532. 3x – 4 > 12；解：x > 16/333. 6x + 5 > 5x + 7；解：x > 234. 7x – 3 < 2x + 15；解：x > 18/535. 4x + 3 > x + 8；解：x > 136. 5x – 2 < 3x + 8；解：x > 537. 2x – 5 < -1；解：x > 238. 5x + 2 > 17；解：x > 339. 3x/4 – 1 < 2；解：x > 14/340. 2x + 7 > 17；解：x > 541. -3x + 2 > -2x + 5；解：x > 3/142. 4x – 6 < 6；解：x < 343. 9x – 7 < 2x + 17；解：x < 344. -2x < -8；解：x > 445. x/6 + 7 > 5；解：x > 1846. 3x + 4 < 2x + 8；解：x < 447. 2x – 1 > x + 2；解：x > 348. 5x/4 < 25；解：x < 2049. -5x + 4 > 7x + 5；解：x < -9/650. 4x + 6 < 5x/3；解：x > -18注意：以上所有答案均根据简单的不等式问题解决，但仅供参考。

高中数学不等式知识点汇总

不等式知识点归纳:一、不等式的概念与性质1、实数的大小顺序与运算性质之间的关系：0>-⇔>b a b a 0<-⇔<b a b a 0=-⇔=b a b a 2、不等式的性质：〔1〕a b b a <⇔> ， a b b a >⇔< 〔反对称性〕〔2〕c a c b b a >⇒>>, ，c a c b b a <⇒<<, 〔传递性〕〔3〕c b c a b a +>+⇒>，故b c a c b a ->⇒>+ 〔移项法那么〕推论：d b c a d c b a +>+⇒>>, 〔同向不等式相加〕〔4〕bc ac c b a >⇒>>0,，bc ac c b a <⇒<>0, 推论1：bd ac d c b a >⇒>>>>0,0 推论2：n n b a b a >⇒>>0 推论3：n n b a b a >⇒>>0不等式的性质是解、证不等式的根底，对于这些性质，关键是正确理解和熟练运用，要弄清每一个条件和结论，学会对不等式进展条件的放宽和加强。

3、常用的根本不等式和重要的不等式〔1〕0,0,2≥≥∈a a R a 当且仅当”取“==,0a 〔2〕ab b a R b a 2,,22≥+∈则〔3〕+∈R b a ,，那么ab b a 2≥+〔4〕222)2(2b a b a +≤+4、最值定理:设,0,x y x y >+≥由〔1〕如积P y x P xy 2(有最小值定值），则积+=〔2〕如积22(）有最大值（定值），则积S xy S y x =+即:积定和最小，和定积最大。

运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等 5、均值不等式:两个正数的均值不等式：ab ba ≥+2三个正数的均值不等是：33abc c b a ≥++ n 个正数的均值不等式：nn n a a a na a a 2121≥+++6、四种均值的关系：两个正数b a 、的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是2211222b a ba ab ba +≤+≤≤+ 小结:在不等式的性质中，要特别注意下面4点：1、不等式的传递性：假设a>b,b>c, 那么a>c,这是放缩法的依据，在运用传递性时，要注意不等式的方向，否那么易产生这样的错误：为证明a>c,选择中间量b,在证出a>b,c>b,后，就误认为能得到a>c 。

基本不等式八个公式

基本不等式八个公式基本不等式是初中数学中的重要概念，它是解决不等式问题的基础。

基本不等式有八个公式，分别是：1. 两个正数的和的平方大于等于它们的平方和。

即：(a+b)²≥a²+b²这个公式可以用来证明勾股定理。

2. 两个正数的积的平方大于等于它们的平方积。

即：(ab)²≥a²b²这个公式可以用来证明算术平均数和几何平均数之间的关系。

3. 两个正数的平均数大于等于它们的几何平均数。

即：(a+b)/2≥√(ab)这个公式可以用来证明算术平均数大于等于几何平均数。

4. 两个正数的平均数大于等于它们的调和平均数。

即：(a+b)/2≥2ab/(a+b)这个公式可以用来证明算术平均数大于等于调和平均数。

5. 三个正数的和的平方大于等于它们的平方和的三倍。

即：(a+b+c)²≥3(a²+b²+c²)这个公式可以用来证明均值不等式。

6. 三个正数的积大于等于它们的平方和的三分之一次方。

即：abc≥(a²+b²+c²)/3这个公式可以用来证明几何平均数大于等于算术平均数。

7. 任意多个正数的平均数大于等于它们的几何平均数。

即：(a1+a2+...+an)/n≥√(a1a2...an)这个公式可以用来证明算术平均数大于等于几何平均数。

8. 任意多个正数的平均数大于等于它们的调和平均数。

即：(a1+a2+...+an)/n≥n/(1/a1+1/a2+...+1/an)这个公式可以用来证明算术平均数大于等于调和平均数。

以上就是基本不等式的八个公式，它们在解决不等式问题时非常有用。

我们可以根据不同的问题选择不同的公式来解决，从而更加高效地解决问题。

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高考总复习数学
第三章
不等式
解法二：设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为 x 个单位和 y 个单位，所花的费用为 z 元，则依题意得 z＝2.5x ＋4y，且 x，y 满足 x≥0，y≥0， 12x＋8y≥64， 6x＋6y≥42， 6x＋10y≥54 x≥0，y≥0， 3x＋2y≥16，即 x＋y≥7， 3x＋5y≥27
总数为 z 张，z＝x＋y 2x＋y≥15 x＋2y≥18 约束条件为：x＋3y≥27 x≥0 y≥0且x，y∈Z.
高考总复习数学
第三章
不等式
作出可行域如图所示：
高考总复习数学
第三章
不等式
目标函数为 z＝0，作出直线 l：y＝－x，平行移动直线 l 发现在可行域内，经过内直线 x＋3y＝ 18 39 27 和直线 2x＋y＝15 的交点 A( ， )可使 z 取最小， 5 5 18 39 由于，都不是整数，而最优解(x，y)中，x，y 必须 5 5 18 39 都是整数，可行域内点 A( ， )不是最优解； 5 5
C(7,9)∴当直线z＝6x＋5y过点C(7,9)时，zmax＝108 [答案] 108 (7,9)
高考总复习数学
第三章
不等式
在例题的约束条件下，
(1)目标函数 z＝x2＋y2－10y＋25 的最小值是________； 2y＋1 (2)目标函数 z＝的取值范围是________． x＋1
[解] 作出可行域如图，并求出顶点 A(1，3)，B(3,1)， C(7,9) (1)z＝x2＋(y－5)2 表示可行域内任一点(x，y)到定点 M(0,5)的距离的平方，过 M 作直线 AC 的垂线，易知垂足 N 9 在线段 AC 上，故 z 的最小值是|MN|＝ . 2
高考总复习数学
第三章
不等式
2．线性规划问题的求解策略与步骤解决简单线性规划问题的方法是图解法，借助直线(把线性目标函数看成斜率为常数的一组平行直线)与平面区域 (可行域)的交点，直线在 y 轴上的截距的最大值或最小值求解．其一般步骤是 (1)设出所求未知数； (1) (2)列出约束条件(既不等式组)； (3)建立目标函数； (4)作出可行域； (5)运用图解法求出最优解．
组所表示的平面
高考总复习数学
第三章
不等式
[解析]
x＋3y－4＝0 由 3x＋y－4＝0
可得 C(1,1)，
1 4 故 S 阴＝ ×|AB|×xc＝，选 C. 2 3
[答案] C
高考总复习数学
第三章
不等式
3 ． (2010· 全国 Ⅰ ， 3) 若变量 x ， y 满足约束条件 y≤1， x＋y≥0， x－y－2≤0， A．4 C．2
通过在可行域内画网格发现，经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是x＋y＝12，经过的整点是B(3,9)和C(4,8)，它们都是最优解．
高考总复习数学
第三章
不等式
答：要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种：第一种截法是截第一种钢板3张，第二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张；两种方法都最少要截两种钢板共12张． [点评与警示] 要注意题目中隐含的“正整数”条件，
满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域 (类似函数的定义域)；使目标函数最优解．生产实际中
取得最大值或最小值的可行解叫做
有许多问题都可以归结为线性规划问题．
高考总复习 பைடு நூலகம்学
第三章
不等式
线性规划问题一般用图解法，其步骤如下 (1)根据题意，设出变量x、y； (2)找出线性约束条件； (3)确定目标函数z＝f(x，y)． (4)画出由不等式(组)确定的可行域； (5)作出f(x，y)＝t的图象，在可行内找出使t取最大值或最小值的位置，确定最优解，给出答案．
18 39 在上例中，线性规划问题的最优解( ， )不是实际问题的 5 5 最优解，最优解应是整点坐标．整点通常是可行域内离直线最近的点，可在最优解附近代值验算，在可行域数据不大的情况下利用画网格找整点则相对较快．
高考总复习数学
第三章
不等式
若例题中的第一种钢板的面积为1m2，第二种钢板的面积为2m2，那么各截这两种钢板多少张，可得到所需的三种规格成品，且使用的钢板面积最小．
(人教版必修 5 第 94 页例 1 改编)画出下列不等式或不等式组表示的区域 (1)3x＋2y＋6＞0； x－y＋6≥0 (2)x＋y≥0 x≤3
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第三章 [解]
不等式 (1)先画直线3x＋2y＋6＝0(画成虚线)，取O(0,0)代入
3x＋2y＋6＝6＞0. ∴O(0,0)所在半平面是所找的区域．(如图(1)) (2)①令x－y＋6＝0，x＋y＝0，x＝3，画三条直线(实线)． ②取点(0,3)代入约束条件，满足三个不等式．所以原不等式所表示的区域如图(2)所示．
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第三章
不等式
3．常见目标函数除了截距型(ax＋by＝z)外还有距离型(z y－y0 ＝ (x－x0) ＋(y－y0) )、斜率型(z＝ )等，截距型要注意 x－x0
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不等式
x－y＋2≥0 设 x，y 满足约束条件x＋y－4≥0 2x－y－5≤0
，则目标函数 z
＝6x＋5y 的最大值是________；使得目标函数取得最大值的最优解(x，y)是________． [解析] 作出可行域如图，并求出顶点A(1,3)，B(3,1)，
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不等式
[解析]
解法一：设需要预订满足要求的午餐和晚餐分
别为 x 个单位和 y 个单位，所花的费用为 z 元，则依题意得， z＝2.5x＋4y，且 x，y 满足 x≥0，y≥0， 12x＋8y≥64， 6x＋6y≥42， 6x＋10y≥54. x≥0，y≥0， 3x＋2y≥16，即 x＋y≥7， 3x＋5y≥27.
包含点P 的半平面为不含此点P 示的平面区域．
注意：画不等式Ax＋Bx＋C＞0所表示的区域要把边界画成虚线；画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的区域时要把边界线画成实线．
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不等式
3．线性规划求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
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(2010·广东，19)某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C. 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？
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不等式
1 y－(－ ) 2 (2)z＝2· 表示可行域内任一点(x，y)与定点 Q(－ x－(－1) 1 1，－ )连线的斜率的两倍， 2 7 3 3 7 ∴kQA＝，kQB＝，∴z∈[ ， ]． 4 8 4 2
[答案] 9 (1) 2 3 7 (2)z∈[ ， ] 4 2
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不等式
答：要截得所需的三种规格成品，且使用的钢板面积最小的方法有两种：①截第一种钢板4张，第二种钢板8张；②截第一种钢板6张，第二种钢板7张；两种方法都要截两种钢板面积 20m2.
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不等式
1．确定二元一次不等式的表示平面区域的方法与技巧确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法． (1)直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线． (2)特殊点定域，即在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直线的另一侧．特别地，当C≠0时，常把原点作为测试点；当C＝0时，常选点(1,0) 或者(0,1)作为测试点．
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不等式
1．(2011·广州一模)某所学校计划招聘男教师 x 名，女教师 2x－y≥5， y 名，x 和 y 须满足约束条约x－y≤2， x＜6. 人数最多是( A．6 ) B．8 C．10 D．12
则该校招聘的教师
[答案] C
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不等式
x≥0 2．(2009·安徽卷文)不等式x＋3y≥4 3x＋y≤4 区域的面积等于( 3 A. 2 4 C. 3 ) 2 B. 3 3 D. 4
[解] 设需截第一种钢板 x 张，第二种钢板 y 张，所用钢板面积为 zm2 ∴目标函数 z＝x＋2y 2x＋y≥15 x＋2y≥18 x＋3y≥27 x≥0 y≥0且x，y∈Z
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不等式
作出可行域如图所示
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第三章
不等式
作出直线 l：x＋2y＝0，平移直线 l 发现在可行域内直线 18 39 x＋3y＝27 和直线 2x＋y＝15 的交点 A( ， )可使 z 最小， 5 5 18 39 由于，都不是整数，而最优解(x，y)中，x，y 必须都是 5 5 18 39 整数，可行域内点 A( ， )不是最优解；通过在可行域内 5 5 画网格发现，经过可行域内的整点与原点距离最近的直线是 x＋2y＝20，经过的整点是 B(4,8)和 C(6,7)，他们都是最优解．