【精选】高一数学下学期第三次月考试题
湖北省武汉市江夏区第一中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题
=
2
的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般
好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，
已知函数 y = f ( x) 的部分图象如图所示.则 y = f ( x) 的解析式可能是（ ）
( ) A．
f
(x)
=
sin (p x)
2 3x + 3- x
( ) B．
f
(x)
=
cos(p x)
2 3x - 3-x
( ) C． f ( x) =
3x + 3-x sin (p x)
2
( ) D． f ( x) =
3x - 3-x cos (p x)
2
试卷第11 页，共33 页
5．如图所示，在 VABC 中，点 D 是线段 AC 上靠近 A 的三等分点，点 E 是线段 AB 的
16．已知向量
ar
，
r b
的夹角为
60o
，且
ar
=
(1,
0)
.
（1）若
r b
r = 2 ，求 b
的坐标；
( ) ( ) （2）若
ar
+
r b
^
ar
-
r b
，
l
Î
R
，求
ar
+
r lb
的最小值.
17．设△ ABC 的内角 A, B, C 的对边长分别为 a, b, c ，设S 为△ ABC 的面积，满足
四川省成都市2023-2024学年高一下学期三月月考数学试题含答案
成都高2023级高一（下期）学科素养检测数学试题（答案在最后）一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.下列各式中，值为12的是（）A.22cos 151︒- B.2sin75cos75︒︒C.cos18cos42sin18sin42︒︒+︒︒ D.tan30tan151tan30tan15︒+︒-︒︒【答案】B 【解析】【分析】利用二倍角公式和两角和与差的三角函数公式，结合特殊角三角函数值逐项判断即可.【详解】22cos 151cos302︒-=︒=，故A 错误；12sin75cos75sin150sin302︒︒=︒=︒=，故B 正确；()()1cos18cos42sin18sin42cos 1842cos 242︒︒+︒︒=︒-︒=-︒≠，故C 错误；()tan30tan15tan 301511tan30tan15︒+︒=︒+︒=-︒︒，故D 错误，故选:B.2.已知向量(2,1)a =- ，(,3)b m = ，且//a b，那么a b - 等于（）A.(8,2)--B.7,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭C.(4,2)- D.1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】由向量平行的坐标表示求参数，再应用向量线性运算的坐标表示求a b -的坐标.【详解】由题设321m =-，故6m =-，则(2,1)(6,3)(4,2)a b -=---=-.故选：C3.函数sin y x x =+，x ∈R 的最大值为（）A.1 B.C.12D.2【答案】D【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数为π2sin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据正弦型函数的最值可求得结果.【详解】πsin 2sin 3y x x x ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭ ，当ππ2π,Z 32x k k +=+∈，即π2π,Z 6x k k =+∈时，sin y x x =+取得最大值2.故选：D.4.已知函数()()πsin R,0,02f x A x x ωϕωϕ⎛⎫=+∈><<⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则正数A 值为（）A.B.2C.D.32【答案】B 【解析】【分析】根据图像可得函数的周期，从而可求ω，再根据对称轴可求ϕ，结合图像过()0,1可求A .【详解】由图像可得11π5π2π1212T ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，故2π2πω==，而16π2π1223x ==时，函数取最小值，故2π3π22π,Z 32k k ϕ⨯+=+∈，故π2π,Z 6k k ϕ=+∈，而π02ϕ<<，故6πϕ=，因为图像过()0,1，故16πsin A =，故2A =，故选：B.5.函数cos |tan |y x x =⋅（3π02x ≤<且π2x ≠）的大致图象是（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据题意可将函数化简为πsin ,02πsin ,π23πsin ,π2x x y x x x x ⎧≤<⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪≤<⎪⎩，从而可求解.【详解】由题意cos ·tan y x x =，3π02x ≤<，化简得πsin ,02πsin ,π23πsin ,π2x x y x x x x ⎧≤<⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪≤<⎪⎩，根据函数sin y x =的图象和性质，可得cos ·tan y x x =在π02x ≤<内为增函数且y 为正值，在ππ2x <<内为增函数且y 为负值，在3ππ2x ≤<内为减函数且y 为负值，故C 正确.故选：C.6.在ABC 中，π1,4,3AB AC BAC ==∠=，点D 为边BC 上靠近B 的三等分点，则AD BC ⋅ 的值为（）A.163-B.163C.4- D.4【答案】B 【解析】【分析】利用AB 、AC表示向量AD 、BC ，利用平面向量数量积的运算性质可求得AD BC ⋅ 的值.【详解】如下图所示：()11213333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，由平面向量数量积的定义可得π1cos 14232AB AC AB AC ⋅=⋅=⨯⨯=，因此，()()()22112233AD BC AB AC AC AB AC AB AC AB ⋅=+⋅-=+⋅- ()22116422133=⨯+-⨯=.故选：B.7.已知,a b 是夹角为120︒的两个单位向量，若向量a b λ+ 在向量a上的投影向量为2a，则λ=（）A.2-B.2C.3-D.3【答案】A 【解析】【分析】由投影向量计算公式可得答案.【详解】a b λ+ 在向量a 上的投影向量为()22a b a a a a λ+⋅=⇒()22a b a aλ+⋅= .⇒()2o 1cos1201222a b a a a b λλλλ+⋅=+⋅=-=⇒=-.故选：A8.已知0ω>，函数()πsin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭满足()π2f x f x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，且在区间ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰好存在两条对称轴，则ω的最大值为（）A.443 B.563C.463D.203【答案】A 【解析】【分析】由已知条件得出周期的范围，即得ω的范围，由()()2πf x f x -=-得函数图象的一个对称中心是π(,0)4，则44,Z 3k k ω=-∈，结合ω的范围可得答案.【详解】函数的最小正周期为2πT ω=，则2πT ω=，在区间ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰好存在两条对称轴，π3ππ66-=，所以262π3T T ≤<，即ππ3π6ωω≤<，解得618ω≤<，因为()()2πf x f x -=-，所以)πππ()[()]π2(444f x f x f x +=--=--，所以点π(,0)4是函数图象的一个对称中心，则π()sin()0ππ443f ω=+=，得ππ,Z π43k k ω+=∈，即44,Z 3k k ω=-∈，因0ω>，则*N k ∈，且ω随k 的增大而增大，当4k =时，44183ω=<，当5k =时，18563ω=>，则ω的最大值为443.故选：A.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知向量a =，(cos ,sin )b αα= ，则下列结论正确的是（）A.若//a b，则tan α=B.若a b ⊥ ，则3tan 3α=-C.若a与b的夹角为π3，则||3a b -= D.若a与b 方向相反，则b在a上的投影向量的坐标是13(,)22--【答案】ABD 【解析】【分析】利用向量共线的坐标表示判断A ；利用垂直的坐标表示判断B ；利用数量积的运算律求解判断C ；求出投影向量的坐标判断D.【详解】向量a =，(cos ,sin )b αα= ，对于A ，由//a b，得sin αα=，因此tan α=，A 正确；对于B ，由a b ⊥cos 0αα+=，因此tan 3α=-，B 正确；对于C ，a 与b的夹角为π3，||2,||1a b == ，12112a b ⋅=⨯⨯= ，因此||a b -== ，C 错误；对于D ，a 与b 方向相反，则b 在a上的投影向量为211,||222a b a a a ⎛⎫⋅=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭，D 正确.故选：ABD10.设函数()()cos f x x ωϕ=+，其中0ω>，若对任意的,64ππϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()f x 在[]0,2π上有且仅有4个零点，则下列ω的值中不满足条件的是（）A.136ω=B.116ω=C.54ω=D.34ω=【答案】ACD 【解析】【分析】利用换元思想转化为cos y t =在[ϕ，2]πωϕ+上有4个零点，则需满足79222ππωϕπ+< ，进而根据ϕ的取值范围得到ω的取值范围即可．【详解】解：设t x ωϕ=+，则2ϕπωϕ+ ，所以cos y t =在[ϕ，2]πωϕ+上有4个零点，可知79222ππωϕπ+< ，所以974242ϕϕωππ-<- ，又[,]64ππϕ∈，所以97644224ππωππ-<- ，即53817ω< ，满足的只有B ，故选：ACD ．11.下列结论正确的是（）A.2(sin2cos2)14sin4ααα-=-B.1sin347cos148sin77cos582+=C.1sin2cos2tan 1sin2cos2θθθθθ+-=++D.若3cos25θ=，则4417sin cos 25θθ+=【答案】CD 【解析】【分析】根据同角函数的基本关系、和差公式、倍角公式逐一判断即可.【详解】222s (sin c 2cos2)1s sin 2co 2s in 2in 2os 24ααααααα==+---，故A 错误；()sin347cos148sin77cos58sin13cos32cos13sin 32sin 13322+=︒︒+︒︒=︒+︒= ，故B 错误；221sin2cos22sin 2sin cos tan 1sin2cos22cos 2sin cos θθθθθθθθθθθ+-+==+++，故C 正确；若3cos25θ=，则()()2442222221117sin cos sin cos 2sin cos 1sin 211cos 22225θθθθθθθθ+=+-=-=--=，故D 正确；故选：CD12.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz ）的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知O 是ABC 内一点，BOC ，AOC ，AOB 的面积分别为A S ，B S ，C S ，且0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=.以下命题正确的有（）A.若230OA OB OC ++=，则::1:2:3A B C S S S =B.若2OA OB == ，56AOB π∠=，2340OA OB OC ++= ，则92ABC S =C.若O 为ABC 的内心，3450OA OB OC ++= ，则π2C ∠=D.若ABC 的垂心O 在ABC 内，AD ，BE ，CF 是ABC 的三条高，则0OD OE OF OA OB OC AD BE CF⋅+⋅+⋅= 【答案】ACD 【解析】【分析】运用奔驰定理，结合三角形内心、垂心的性质可判断个选项的对错.【详解】对A ：由奔驰定理得，A 对；对B ：因为15π22sin 126C AOB S S ==⨯⨯⨯= ，且::2:3:4A B C S S S =，所以2391444A B C S S S ++=++=即94ABC S = ，故B 错误；对C ：设ABC 内切圆半径为r ，3450OA OB OC ++=⇒::3:4:5A B C S S S =，所以111·:·:·3:4:5222BC r AC r AB r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即::3:4:5a b c =，所以ABC 为直角三角形，且π2C ∠=，故C 对；对D ：因为O 为ABC 的垂心，且AD 为BC 边上的高，所以OBC A ABC ABC S S OD AD S S == ，同理B ABCS OEBE S = ，C ABCS OFCF S = ，所以OD OE OF OA OB OC AD BE CF ⋅+⋅+⋅= 0A B C ABCS OA S OB S OC S ⋅+⋅+⋅=，故D 对.故选：ACD【点睛】关键点点睛：正确运用给出的奔驰定理，是解决该问题的关键.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.设向量(),4a x =- ，()1,b x =- ，向量a 与b 的夹角为锐角，则x 的范围为______.【答案】0x >且2x ≠【解析】【分析】根据已知可得0a b ⋅>，且,a b 不共线，求解即可.【详解】向量(),4a x =- ，()1,b x =- ，由a b∥得，()1(4)0x x ⨯--⨯-=，所以2x =±.由已知得，π0,2a b << ，所以cos ,0a b a b a b ⋅=>，即0a b ⋅> ，且,a b 不共线.则()()1450a b x x x ⋅=⨯+-⋅-=>，所以0x >.又,a b不共线，则2x ≠±.所以x 的取值范围为0x >且2x ≠.故答案为：0x >且2x ≠.14.已知ππ,,42k k Z αβαβπ⎛⎫+=-≠+∈ ⎪⎝⎭，则()()1tan 1tan αβ--=__________.【答案】2【解析】【分析】根据两角和的正切公式，化简得到tan tan tan tan 1αβαβ+=-，代入即可求解.【详解】因为π4αβ+=-，可得tan tan πtan()tan()11tan tan 4αβαβαβ++==-=--，所以tan tan tan tan 1αβαβ+=-，由()()1tan 1tan 1(tan tan )tan tan 2αβαβαβ--=-++=.故答案为：2.15.设函数()()sin 2f x x ϕ=+，其中ϕ∈R .若()π6f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的x ∈R 恒成立，则()f x 的增区间是__________.【答案】πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈.【解析】【分析】先根据条件，求出函数的解析式，再求函数的增区间.【详解】由题意：π6f ⎛⎫⎪⎝⎭为函数的最大值，所以π16f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以ππ22π62m ϕ⨯+=+，m ∈Z ⇒π2π6m ϕ=+，m ∈Z .由πππ2π22π2π262n x m n -+≤++≤+（,Z m n ∈）⇒()()πππ2π36n m x n m -+-≤≤+-（,Z m n ∈）.可记为πππ2π36k x k -+≤≤+，Z k ∈.故答案为：πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈.16.水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具．据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R 的水车，一个水斗从点(3,A -出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒．经过t 秒后，水斗旋转到P 点，设点P 的坐标为(,)x y ，其纵坐标满足()sin()y f t R t ωϕ==+（0t ≥，0ω>，π2ϕ<），①π3ϕ=-②当(]0,60t ∈时，函数()y f t =单调递增③当100t =时，6PA =④当(]0,60t ∈时，()f t 的最大值为则上面叙述正确的是________．【答案】①③【解析】【分析】根据题意，结合条件可得,ωϕ的值，从而求得函数()f x 的解析式，然后根据正弦型函数的性质，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】由题意，6R ==，120T =，所以2ππ60T ω==，又点(3,A -代入()f t 可得6sin ϕ-=，解得sin 2ϕ=-，又π2ϕ<，所以π3ϕ=-，故①正确；因为()ππ6sin 603f t t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当(]0,60t ∈时，πππ2π,60333t ⎛⎤-=∈- ⎥⎝⎦，所以函数()f t 先增后减，故②错误；当100t =时，ππ4π6033t -=，P 的纵坐标为y =-3x =-，所以336PA =--=，故③正确；当(]0,60t ∈时，点P 到x 轴的距离的最大值为6，故④错误；所以说法正确的是①③故答案为:①③四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，点E 在AB 上，且2,BE EA AD =与CE 交于点O ，设AO AD λ= .（1）求λ的值；（2）当5,3AB AC ==时，求AO BC ⋅ 的值.【答案】（1）12λ=（2）4-【解析】【分析】（1）根据三点共线的知识求得λ.（2）根据向量数量积的运算求得AO BC ⋅.【小问1详解】依题意()1113122222AO AD AB AC AB AC AE AC λλλλλλ==⨯+=+=+ ，由于,,E O C 三点共线，所以31121,222λλλλ+===.【小问2详解】由（1）得12AO AD = ，所以()()111222AO BC AD BC AB AC AC AB ⋅=⋅=⋅⋅+⋅- ()()22221135444AC AB =-=-=- .18.已知在平面直角坐标系xOy 中，向量()3,4a =r ．（1）若向量b 满足10b = ，且b a ⊥r r ，求b 的坐标；（2）若向量c 满足c = ，且a 与c 的夹角为6π，求2a c - 与a 的夹角的余弦值．【答案】（1）()8,6b =- 或()8,6b =-r（2）13-【解析】【分析】(1)先假设b 的坐标，再根据条件列方程即可；(2)先假设c 的坐标列方程求出代数关系，再用数量积的方法求夹角.【小问1详解】设(),b m n = ，则有22100340m n m n ⎧+=⎨+=⎩解得86m n =±⎧⎨=⎩ ，即()8,6b =- 或()8,6b =-r ；【小问2详解】设(),c x y =，则有2212345cos 6x y x y π⎧+=⎪⎨+=⨯⎪⎩，得22123415x y x y ⎧+=⎨+=⎩…①()232,42a c x y -=-- ，设向量2a c - 与a 的夹角为θ，则有：()2cos 2a a c a a c θ--+--+==-将①代入上式得cos 13θ=-；综上，()8,6b =- 或()8,6b =-r ，2a c - 与a 夹角的余弦值为1313-.19.在条件：①()()2sin 2024πcos 2024παα-=+；②sin cos 5αα+=-；③4sin 25α=-中任选一个，补充在下面的题目中，并求解.已知()0,πα∈，且满足条件___________.（1）求3sin 4cos cos sin αααα+-的值；（2）若,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且cos 10β=-，求αβ+的值.【答案】（1）53（2）7π4【解析】【分析】（1）根据条件，先求出tan α，再求齐次式的值.（2）先确定两角和的取值范围，再确定两角和的三角函数值，可得角的大小.【小问1详解】若选①，则原式可化为：2sin cos -=αα⇒1tan 2α=-.若选②，则22sin cos 5sin cos 1αααα⎧+=-⎪⎨⎪+=⎩，且()0,πα∈，所以sin 0α>⇒sin 5cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以1tan 2α=-.若选③，则2242sin cos 5sin cos 1αααα⎧=-⎪⎨⎪+=⎩且()0,πα∈，所以sin 0α>⇒sin 5cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以1tan 2α=-.所以总有1tan 2α=-.所以1343sin 4cos 3tan 4521cos sin 1tan 312αααααα⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭===--+.【小问2详解】由（1）可知，sin α，cos 5α=-，且π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，又π,π2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且cos 10β=-，所以10sin 10β=，所以：()π,2παβ+∈，且()cos αβ+cos cos sin sin αβαβ=-25310510510510⎛⎫⎛⎫=-⨯--⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22=.所以7π4αβ+=.20.已知向量(cos ,sin )a x x =，,2cos )b x x x =- ，设函数()f x a b =⋅ .（1）求()f x 的单调递减区间；（2）若函数πππ()626212x x g x f x af af ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭在区间[0,]π上的最大值为6，求实数a 的值.【答案】（1）π7π,ππ1212k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()Z k ∈（2）3-或【解析】【分析】（1）根据向量的数量积运算及恒等变换可求()f x 的表达式，再由正弦函数的单调性求解即可；（2）由已知可求()2sin 22(sin cos )g x x a x x =+-，利用换元πsin cos )4t x x x =-=-，把问题转化为二次函数在给定区间的最值问题，通过对称轴与区间的关系分类讨论求解即可．【小问1详解】因为(cos ,sin )a x x = ，,2cos )b x x x =- ，所以22()2sin cos =sin22f x a b x x x x x x =⋅=+ π=2sin(2)3x +由ππ32π2π2π,Z 232k x k k +≤+≤+∈得π7πππ,Z 1212k x k k +≤≤+∈，所以()f x 的单调递减区间为π7π,ππ1212k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()Z k ∈【小问2详解】πππ()626212x x g x f x af af ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2sin 22sin 2sin()2sin 22(sin cos )2x a x a x x a x x =+-+=+-，令πsin cos 4t x x x =-=-，因为[0,]x π∈，所以ππ[,]444x 3π-∈-，[t ∈-且2sin 21x t =-，所以2222(1)22()222a a y t at t =-+=--++，当2a >即a >t =时y 有最大值，此时26-+=，解得a =不合题意；当12a -≤≤即2a -≤≤，当2a t =时y 有最大值，此时2262a +=，解得a =当12a ->即2a <-，当1t =-时y 有最大值，此时26a -=，解得3a =-符合题意；综上，a 的值为3-或21.如图，扇形OPQ 的半径1OP =，圆心角3POQ π∠=，点C 是圆弧PQ 上的动点（不与P Q 、点重合），现在以动点C 为其中一个顶点在扇形中截出一个四边形，下面提供了两种截出方案，如果截出的两个四边形面积的最大值之差的绝对值不大于13，则称这两个四边形为“和谐四边形”.试问提供的两种方案截出的两个四边形是否是“和谐四边形”？请说明理由.【答案】截出的这两个四边形为“和谐四边形”，理由见解析【解析】【分析】方案一：连接OC ，假设,0,3COP πθθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，用三角函数表示ABCD S AB BC =⋅四边形33sin 2366πθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，由三角函数的性质即可求出ABCD S 四边形的最大值，方案二：连接OC ，假设,0,3COP πθθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，过点C 作CM OP ⊥，CN OQ ⊥，用三角函数表示出ΔΔ1sin 23OPC OQC OPCQ S S S πθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭四边形，由三角函数的性质即可求出OPCQ S 四边形的最大值，得出13ABCD OPCQ S S -<四边形四边形即可得出结论.【详解】方案一：连接OC ，假设,0,3COP πθθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，则sin cos AD BC OB θθ===，，又tan 3AD OA π=，所以tan 3AD OA π==，cos AB OB OA θ∴=-=-，211cos2cos sin sin cos sin222ABCD S AB BC θθθθθθ-⎛∴=⋅=⋅=⋅= ⎝四边形33sin 2366πθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，6πθ∴=时，()max 6ABCD S ∴=四边形；方案二：连接OC ，假设,0,3COP πθθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，过点C 作CM OP ⊥，CN OQ ⊥，则sin CM θ=，sin 3CN πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，1sin 23OPC OQC OPCQ S S S πθ⎛⎫∴=+=+ ⎪⎝⎭ 四边形，0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，6πθ∴=时，()max 12OPCQ S ∴=四边形；1326ABCD OPCQ S S --== 四边形四边形，而3110636--=<，即13ABCD OPCQ S S -<四边形四边形，所以截出的这两个四边形为“和谐四边形”.22.已知函数()sin cos f x x x =-．（1）求方程()cos 2f αα=在[]0,2π上的解集；（2）设函数()()3ln 2F x f x x =+；（i ）证明：()y F x =有且只有一个零点；（ii ）记函数()y F x =的零点为0x ，证明：00211ln sin 2333x x -<+<．【答案】（1）π5π3π,π,,442⎧⎫⎨⎬⎩⎭（2）（i ）证明见详解（ii ）证明见详解【解析】【分析】（1）利用余弦二倍角公式化简方程，再结合辅助角公式即可（2）（i ）根据三角函数的性质分区间研究函数的性质，利用零点存在定理可证明；（ii ）然后利用换元法求值域即可证明.【小问1详解】22sin cos cos 2cos sin ααααα-==-所以(cos sin )(sin cos 1)0αααα-++=.所以cos sin 0αα-=或sin cos 1αα+=-当sin cos 0αα-=时,cos 0α≠，则tan 1α=，又[0,2π]x ∈，所以π5π,44x =当sin cos 1αα+=-，则π2sin 42α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，又ππ9π[0,2π],,444x x ⎡⎤∈+∈⎢⎥⎣⎦.所以π5π44x +=或7π4，所以3ππ,2x =所以方程()cos 2f αα=在[0,2π]上的解集为π5π3π,π,,442⎧⎫⎨⎬⎩⎭【小问2详解】（i ）设3π3()sin cos ln ln ,(0,)242F x x x x x x x ⎛⎫=-+=-+∈+∞ ⎪⎝⎭当3π0,4x 纟çÎúçú棼，则πππ,442x ⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦，此时π4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在3π0,4⎛⎤ ⎥⎝⎦单调递增3ln 2y x =在3π0,4⎛⎤ ⎥⎝⎦也单调递增，所以()F x 在3π0,4⎛⎤ ⎥⎝⎦单调递增π3ππππ3π3πln 0,ln 1ln 04242242222F F ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=<=-+=+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以()F x 在3π0,4x 纟çÎúçú棼时有唯一零点当3π5ππ3,0,ln 04442x x x ⎛⎫⎛⎫∈->> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()0F x >所以()F x 在3π5π,44x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭没有零点当5π,4x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，5π53e 44>⨯>，所以33ln 22x >>()0F x >所以()F x 在5π,4x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭没有零点综上,3()sin cos ln 2F x x x x =-+在(0,)+∞有唯一零点0x （ii ）记函数()y F x =的零点为0x ，所以0003sin cos ln 02x x x -+=，且0ππ,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()0002ln cos sin 3x x x =-所以()()00000000012122ln sin 2cos sin sin 2cos sin sin cos 33333x x x x x x x x x +=-+=-+令000πcos sin 4t x x x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，因为0ππ,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以(1,0)t ∈-又20012sin cos t x x =-，则2001sin cos 2t x x -=所以220012211221ln sin 2(1),33323333t x x t t -⎛⎫+=+⋅=--+∈- ⎪⎝⎭【点睛】方法点睛：含有三角函数、指数对数的零点问题，一般要根据三角函数图像特点划分区间，分段研究.。
2021-2022学年辽宁省六校协作体高一(下)第三次月考数学试卷(含答案解析)
2021-2022学年辽宁省六校协作体高一（下）第三次月考数学试卷1. 若复数z 满足iz =2+4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是( ) A. (2,4)B. (2,−4)C. (4,−2)D. (4,2)2. 下列命题正确的是( )A. 棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形B. 用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台C. 四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面D. 棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形 3. sin77∘cos43∘+sin13∘cos47∘的值为( ) A. 12B. √32C. −12D. −√324. 将函数y =sin(2x +π4)图象上的所有点的横坐标变为原来的0.5倍(纵坐标不变)，然后再向右平移π6个单位长度，则所得图象的函数解析式是( )A. y =sin(4x −7π12) B. y =sin(4x −5π12) C. y =sin(x +5π12) D. y =sin(x +π12)5. 下列命题正确的有( )A. ∃α，β使得等式sin(α+β)=sinα+sinβ成立B. ∀α，β都有tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanα⋅tanβC. 已知α，β为第一象限角，若α>β，则sinα>sinβD. 若sinα+cosα=√32，则角α是第一象限角6. 玩具制造商设计并投产一种全新的益智玩具”智慧立方”它的形状为正四面体．通过大量的人体力学实验得知当“智慧立方系数“=12√2V−√3S+5aa∈[4,7]时尺寸最适合3−6岁的小朋友把玩，其中V 是正四面体的体积，S 是正四面体的表面积．则棱长a 尺寸最合适范围是( )A. [0.5,2]B. [0.5,1]C. [0.5,2.5]D. [1,2]7. 如图，四边形ABCD 四点共圆，其中BD 为直径，AB =4，BC =3，∠ABC =60∘，则△ACD的面积为( )A. √36 B. √32C. 5√36 D.7√368. 在△ABC 中，AB =5，AC =4，∠BAC =60∘，D 为BC 的中点，点E 满足AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =4EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，直线CE 与AD 交于点P ，则cos∠DPE =( )A. 45 B. √61122 C.√241482D. 24259. 已知复数z ，z 1，z 2，下列命题错误的有( ) A. 若z =z 1⋅z 2，则|z|=|z 1|⋅|z 2| B. 若z 1⋅z 2∈R ，那么z 1+z 2∈R C. 若z 1+z 2∈R ，那么z 1⋅z 2∈R D. 若|z 1⋅z 2|=1，那么z 1=1z 210. 函数f(x)=sin2x1+cos2x ，则( ) A. f(x)的值域为RB. f(x)在(π,2π)上单调递增C. f(x)有无数个零点D. f(x)在定义域内存在递减区间11. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别为棱AB ，CC 1，C 1D 1的中点，动点Q ∈平面MNP ，DQ =AB =2，则( )A. AC 1//MNB. 直线PQ//平面A 1BC 1C. 正方体被平面MNP 截得的截面为正六边形D. 点Q 的轨迹长度为2π12. 已知△ABC 中，AB =AC =√2,BC =2,D 是边BC 的中点，动点P 满足PD =1,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则( )A. x+y的值可以等于2B. x−y的值可以等于2C. 2x+y的值可以等于−1D. x+2y的值可以等于313. 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinA=sinB=3sinC，则a+b=______，ccosA=______.14. 已知圆锥的表面积为3π，且它的侧面展开图是一个半圆，则它的母线长为______ ；该圆锥的体积为______ .15. f(x)=sin(x+θ)⋅cosx为奇函数，那么θ的一个取值为______.16. 在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，BC=CC1=1；点E，F分别为AB、CD中点；那么长方体ABCD−A1B1C1D1外接球表面积为______；三棱锥的D1−BEF外接球的体积为______.17. 已知平面向量a⃗，b⃗ ，c⃗，满足a⃗=(1,−√3)，|b⃗ |=2，|c⃗|=1.(1)若a⃗与b⃗ 共线，求向量b⃗ 的坐标；(2)若(2a⃗+c⃗ )⊥(a⃗−3c⃗ )，求向量a⃗，c⃗的夹角．18. 正棱锥S−ABCD的底面边长为4，高为1.求：(1)棱锥的侧棱长和侧面的高；(2)棱锥的表面积与体积．19. 已知函数f(x)=asin(π2x +φ)(a >0,0<φ<π)的图象如图，其中A ，B 分别为最高点和最低点．C ，D 为零点，M(0,√3),S △ABD =4. (1)求f(x)的解析式；(2)求f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2022)的值．20. 如图所示，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，D 是AB 的中点．(1)证明：BC 1//平面A 1CD ；(2)设AA 1=AC =CB =2，AB =2√2，求几何体BDC −A 1B 1C 1的体积．21. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且2S =−√3BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，作AB ⊥AD ，使得如图所示的四边形ABCD 满足∠ACD =π3，AD =√3.(1)求B；(2)求BC的取值范围．22. 已知向量m⃗⃗⃗ =(sinx,1),n⃗=(√3cosx,−1).令函数f(x)=(m⃗⃗⃗ +n⃗ )⋅m⃗⃗⃗ .2(Ⅰ)求函数f(x)的最大值；(Ⅰ)△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠ACB的角平分线交AB于D.其中，函数f(C)恰好为函数f(x)的最大值，且此时CD=f(C)，求3a+b的最小值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：复数z满足iz=2+4i，则有z=2+4ii =(2+4i)i−1=4−2i，故在复平面内，z对应的点的坐标是(4,−2)，故选C.由题意可得z=2+4ii，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化为4−2i，从而求得z对应的点的坐标．本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：对于A，棱柱的侧棱都相等，但侧面不一定是全等的平行四边形，A错误；对于B，用一个平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分才是棱台，B错误；对于C，四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面，C正确；对于D，棱台的侧棱延长后交于一点，但侧面不一定是等腰梯形，D错误．故选：C.棱柱的侧面不一定是全等的平行四边形，A错误；用平行于底面的平面去截棱锥，才满足，B错误；棱台的侧面不一定是等腰梯形，D错误，C正确．本题考查棱柱、棱锥、棱台的结构特征，属于基础题．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查三角函数的化简求值，熟练掌握两角差的余弦公式，诱导公式是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．结合诱导公式与两角差的余弦公式，即可得解．【解答】解：sin77∘cos43∘+sin13∘cos47∘=cos13∘cos43∘+sin13∘sin43∘=cos(13∘−43∘)=cos(−30∘)=√32.故本题选B.4.【答案】B【解析】解：将函数y =sin(2x +π4)图象上的所有点的横坐标变为原来的0.5倍(纵坐标不变)，可得y =sin(4x +π4)的图象；然后再向右平移π6个单位长度，则所得图象的函数解析式是y =sin(4x −4π6+π4)=sin(4x −5π12)， 故选：B.由题意，利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，得出结论． 本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：选项A ，当α=β=0时，sin(α+β)=0，sinα+sinβ=0，即选项A 正确； 选项B ，当α=β=π4时，等式两边均没有意义，即选项B 错误；选项C ，取α=2π+π6，β=π3，满足α，β为第一象限角，且α>β，所以sinα=12，sinβ=√32，此时sinα<sinβ，即选项C 错误； 选项D ，若sinα+cosα=√32，即√2sin(α+π4)=√32，所以sin(α+π4)=√64，显然α不只是第一象限角，即选项D 错误． 故选：A.选项A ，取特殊值，α=β=0，代入运算，可判断； 选项B ，取特殊值，当α=β=π4时，等式两边均没有意义； 选项C ，取α=2π+π6，β=π3，代入运算，可判断；选项D ，由辅助角公式，可得sin(α+π4)=√64，显然α不只是第一象限角．本题考查三角函数中的综合问题，熟练掌握特殊角的三角函数值，辅助角公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：如图正四面体ABCD 中，H 是△BCD 的中心，则AH 是高，AH ⊥DH ，正四面体棱长为a ，则S △BCD =√34a 2，DH =23×√32a =√33a,AH =a −(√33a)=√63a ， V =13×√34a 2×√63a =√212a 3,S =4S △BCD =√3a 2，所以12√2V−√3S+5a a=12√2×√212a 3−√3×√3a 2+5aa =2a 2−3a +5，由4≤2a 2−3a +5≤7，又a >12，因此解得1≤a ≤2. 故选：D.求出正四面体的体积和表面积，计算出12√2V−√3S+5aa，然后解相应不等式可得． 本题考查了正四面体的体积和表面积，属于中档题．7.【答案】C【解析】解：在△ABC 中，∵AB =4，BC =3，∠ABC =60∘， ∴由余弦定理得AC =√42+32−2×4×3×12=√13， 由正弦定理，得BD =ACsin∠ABC=√13sin60∘=2√393， 在Rt △ABD 和Rt △BCD 中，AD =√BD 2−AB 2=√523−16=2√33， CD =√BD 2−BC 2=√523−9=5√33， ∵∠ADC =180∘−∠ABC =120∘，∴△ACD 的面积为S =12×2√33×5√33×√32=5√36. 故选：C.先在△ABC 中利用余弦定理求出边AC ，再利用正弦定理求出直径BD ，进而利用直角三角形求出AD ，CD ，再利用三角形的面积公式进行求解．本题考查三角形的面积的求法，考查余弦定理等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ， ∵D 为BC 的中点，∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(a ⃗ +b ⃗ )， ∵点E 满足AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =4EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =45AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =45a ⃗ ， ∴CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =45AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −b ⃗ =45a ⃗ −b ⃗ ，∴|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=14(a ⃗ 2+2a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2)=14(25+2×5×4×12+16)=614，|CE ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(45a ⃗ −b ⃗ )2=1625a ⃗ 2−2×45a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=16−16+16=16， AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(a ⃗ +b ⃗ )⋅(45a ⃗ −b ⃗ )=25a ⃗ 2−110a ⃗ ⋅b ⃗ −12b ⃗ 2=1， ∴|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√612，|CE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4， ∴cos∠DPE =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|CE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√612⋅4=√61122. 故选：B.设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，可得AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(a ⃗ +b ⃗ )，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =45a ⃗ −b ⃗ ，利用向量法可求cos∠DPE. 本题考查向量法在解三角形的应用，属中档题．9.【答案】BCD【解析】解：对于A ，由复数模的运算性质可知，|z 1z 2|=|z 1|⋅|z 2|，即|z|=|z 1|⋅|z 2|，故选项A 正确；对于B ，由复数的定义可得当z 1⋅z 2∈R 时，z 1+z 2不一定属于R ，如z 1=i ，z 2=i ，z 1⋅z 2=−1∈R ，z 1+z 2=2i ∉R ，故选项B 错误；对于C ，若z 1+z 2∈R ，可举例z 1=i ，z 2=−i ，则z 1+z 2=0∈R ，但z 1⋅z 2∉R ，故选项C 错误； 对于D ，若|z 1⋅z 2|=|z 1|⋅|z 2|=1，可举例z 1=−i ，z 2=−i ，但z 1=z 2≠1z 2，故选项D 错误． 故选：BCD.利用复数模的运算性质判断选项A ，由复数的定义可判断B ，由特殊例子判断选项C ，D. 本题考查了复数的综合应用，涉及了复数模的运算性质、虚数的定义、复数的几何意义，属于基础题．10.【答案】AC【解析】解：f(x)=sin2x1+cos2x =2sinxcosx2cos 2x =tanx ，(x ≠kπ+π2,k ∈Z)，其值域为R ，故A 正确； 在(π,2π)上，f(3π2)不存在，B 错误；显然f(kπ)=0，k ∈Z ，零点为x =kπ，k ∈Z 有无数个，C 正确；在定义域内每一个区间(kπ−π2,kπ+π2)，k ∈Z 上，函数都是增函数，无减区间，D 错误． 故选：AC.利用二倍角公式，同角关系化简函数式，再根据正切函数性质即可判断得解．本题考查了二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简中的应用，考查了正切函数性质，属于基础题．11.【答案】BCD【解析】解：连接AC1，BC1，取BC1中点H，连接MH，易得AC1//MH，则AC1MN不平行，A错误；如图，取棱D1A1，A1A，BC的中点E，F，G，易得MF//NP，M∈平面MNP，则MF⊂面MNP，同理可得EF，EP，GM，GN⊂平面MNP，即正六边形EFMGNP为正方体被平面MNP截得的截面，C正确；由C选项知：平面MNP即平面EFMGNP，易得FM//A1B，又FM⊄平面A1BC1，A1B⊂平面A1BC1，则FM//平面A1BC1，同理可得NG//平面A1BC1，又NG//PM，则PM//平面A1BC1，PM∩FM=M，则平面EFMGNP//平面A1BC1，又PQ⊂平面EFMGNP，则直线PQ//平面A1BC1，B正确；连接DB1，易得DB1与平面EFMGNP交于正方体的体心O，连接DB，易得DB⊥MG，又B1B⊥平面ABCD，MG⊂平面ABCD，则B1B⊥MG，又DB，BB1⊂平面DBB1，DB∩BB1=B，则MG⊥平面DBB1，DB1⊂平面DBB1，则MG⊥DB1，同理可得GN⊥DB1，又MG，GN⊂平面MNP，MG∩GN=G，则DB1⊥平面MNP，OQ⊂平面MNP，则DB1⊥OQ，又DO=12DB1=12×√4+4+4=√3，则OQ=√DQ2−DO2=1，即点Q的轨迹为以O为圆心1为半径的圆，故点Q 的轨迹长度为2π，D 正确． 故选：BCD.取BC 1中点H ，由AC 1//MH 即可判断A 选项；取棱D 1A 1，A 1A ，BC 的中点E ，F ，G ，由EF ，EP ，GM ，GN ⊂平面MNP 即可判断C 选项；先判断平面EFMGNP//平面A 1BC 1，由PQ ⊂平面EFMGNP 即可判断B 选项；连接DB 1，先判断DB 1⊥平面MNP ，进而求得点Q 的轨迹为以O 为圆心1为半径的圆即可判断D 选项．本题考查线面平行，考查学生的推理能力，属于中档题．12.【答案】AD【解析】解：连接AD ，∵AB =AC ，D 是边BC 的中点，∴AD ⊥BC ， 以D 为坐标原点，BC ，AD 所在直线分别为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系∵AB 2+AC 2=BC 2，∴AB ⊥AC ，∴AD =12BC =1，∴A(0,1)，B(−1,0)，C(1,0)， ∵PD =1，∴点P 的轨迹为以D 为圆心，1为半径的圆， ∴设点P 的坐标为(cosθ,sinθ)(θ∈R)， ∵AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴(cosθ,sinθ−1)=x(−1,−1)+y(1,−1)， ∴{cosθ=−x +y sinθ−1=−x −y ， ∴{x =1−sinθ−cosθ2y =1−sinθ+cosθ2， A .x +y =1−sinθ−cosθ2+1−sinθ+cosθ2=1−sinθ∵−1≤sinθ≤1，∴0≤1−sinθ≤2，即0≤x +y ≤2，故A 正确； B .x −y =1−sinθ−cosθ2−1−sinθ+cosθ2=−cosθ，∵−1≤cosθ≤1，∴−1≤−cosθ≤1，即−1≤x −y ≤1，即−1≤x −y ≤1， ∴x −y 的值不可以为2， 故B 错误C .2x +y =1−sinθ−cosθ+1−sinθ+cosθ2=32−32sinθ−12cosθ=32−√102sin(θ+φ)，其中cosφ=3√1010，sinφ=√1010，且φ为锐角， ∵−1≤sin(θ+φ)≤1，32−√102≤32−√102sin(θ+φ)≤32+√102，即32−√102≤2x +y ≤32+√102， ∵32−√102+1=5−√102>0，3105−V10∴32−√102>−1，∴2x +y 的值不可以等于−1， 故C 错误， D .x +2y =1−sinθ−cosθ2+1−sinθ+cosθ=32−32sinθ+12cosθ=32−√102sin(θ−φ)，其中cosφ=3√1010，sinφ=√1010，且φ为锐角， ∵−1≤sin(θ−φ)≤1， ∴32−√102≤32−√102sin(θ−φ)≤32+√102，即32−√102≤x +2y ≤32+√102，∵32−√102<3<32+√102，∴x +2y 的值可以等于3，故D 正确， 故选：AD.以点D 为原点、边BC 为x 轴建立平面直角坐标系，写出相关点坐标，设出P(cosθ,sinθ)，利用平面向量的坐标运算得到{x =1−sinθ−cosθ2y =1−sinθ+cosθ2，再结合角的范围逐一验证各选项． 本题考查了平面向量的基本定理，属于中档题．13.【答案】616【解析】解：由正弦定理及sinA =sinB =3sinC ，得a =b =3c ，所以a+bc =6， 由余弦定理知，cosA =b 2+c 2−a 22bc=9c 2+c 2−9c 22⋅3c⋅c=16.故答案为：6；16.利用正弦定理化角为边，可得a=b=3c，从而知a+bc的值，再利用余弦定理，可得cosA的值．本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，余弦定理是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．14.【答案】2√33π【解析】解：设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为l，由πl=2πr，解得l=2r，又S=πr2+πr⋅2r=3πr2=3π，所以r2=1，解得r=1；所以圆锥的母线长为l=2r=2，圆锥的高为ℎ=√l2−r2=√22−12=√3，所以圆锥的体积为V=13πr2ℎ=13π×12×√3=√33π.故答案为：2，√3π3.根据圆锥的结构特征，求出底面圆半径和母线长、高，即可计算圆锥的体积．本题考查了圆锥的结构特征与表面积、体积的计算问题，是基础题．15.【答案】0(答案不唯一)【解析】解：因为f(x)为奇函数，则f(0)=sinθ=0，θ=kπ，k∈Z，当θ=kπ，k∈Z时，k为偶数时，f(x)=sinxcosx=12sin2x，是奇函数k为奇数时，f(x)=−sinxcosx=−12sin2x，是奇函数，所以θ的一个值为0.故答案为：0(答案不唯一).由奇函数的性质f(0)=0，求出θ，代入检验后可得结论．本题主要考查函数奇偶性的性质，三角函数的性质，考查运算求解能力，属于基础题．16.【答案】6π11√11π6【解析】解：长方体对角线长为l=√22+12+12=√6，所以长方体外接球半径为R=l2=√62，表面积为S=4π×(√622)=6π；如图，G，H，I，J分别是A1D1，AD，BC，B1C1中点，则GHIJ是矩形，平面GHIJ//平面CDD1C1，E，F分别是AB，CD中点，则EF//AD，而AD⊥平面CDD1C1，所以EF⊥平面CDD1C1，所以EF⊥平面GHIJ，而EF⊂平面D1EF，EF⊂平面BEF，所以平面D1EF⊥平面GHIJ，平面BEF⊥平面GHIJ，由EF⊥平面CDD1C1，D1F⊂平面CDD1C1，得EF⊥D1F，而EF⊥EB，设平面GHIJ与D1E，BF，EF的交点分别为N，M，Q，则N，M，Q分别是D1E，BF，EF的中点，所以N，M分别是ΔD1EF和△EFB的外心，在平面GHIJ内过N作PN⊥NQ，过M作PM⊥QM交PN于点P，由EF⊥平面CDD1C1，得EF⊥PNEF⊥PM，而NQ∩EF=Q，NQ，EF⊂平面D1EF，所以PN⊥平面D1EF，同理PM⊥平面BEF，所以P是三棱锥D1−BEF的外接球球心，四边形PMQN是圆内接四边形，由长方体性质知∠NQH=∠D1FD=π4，所以∠NQM=3π4,NQ=12D1F=√22,MQ=12，MN=√1 2+14−2×√22×12×cos3π4=√52，由PM⊥平面BEF，BM⊂平面BEF，得PM⊥BM，PQ=MNsin∠NQM =√52sin3π4=√102,PM=√PQ2−QM2=32，BM=12BF=√22，所以PB=√PM2+BM2=√112，所以三棱锥的D1−BEF外接球的体积为V=4π3×(√1132)=11√116π.故答案为：6π;11√116π.求出长方体的对角线即为长方体外接球的直径，由此可得球表面积，设G，H，I，J分别是A1D1，AD，BC，B1C1中点，可证明EF⊥平面GHIJ，设平面GHIJ与D1E，BF，EF的交点分别为N，M，Q，在平面GHIJ内过N作PN⊥NQ，过M作PM⊥QM交PN于点P，证得P是三棱锥D1−BEF的外接球球心，在四边形PMQN中求得四边形外接圆直径，然后求出PN，再求出三棱锥的D1−BEF 外接球的半径后可计算体积．本题考查了长方体外接球的表面积和三棱锥外接球的体积计算，属于中档题．17.【答案】解：(1)设b⃗ =(x,y)， 由题意得−√3x −y =0，x 2+y 2=4， 解得x =12，y =−√32或x =−12，y =√32，所以b ⃗ =(12,−√32)或(−12,√32)；(2)若(2a ⃗ +c ⃗ )⊥(a ⃗ −3c ⃗ )，则(2a ⃗ +c ⃗ )⋅(a ⃗ −3c ⃗ )=2a ⃗ 2−5a ⃗ ⋅c ⃗ −3c ⃗ 2=0， 所以8−5a ⃗ ⋅c ⃗ −3=0， 所以a ⃗ ⋅c ⃗ =1， 设向量a ⃗ ，c ⃗ 的夹角θ， 所以cosθ=a⃗ ⋅c ⃗ |a⃗ ||c ⃗ |=12×1=12，由θ∈[0,π]，得θ=π3.【解析】(1)由已知结合向量共线定理的坐标表示可求； (2)由已知结合向量数量积的性质的坐标表示可求．本题主要考查了向量共线定理及向量数量积性质的坐标表示的应用，属于基础题．18.【答案】解：(1)设SO 为正四棱锥S −ABCD 的高，则SO =1，作OM ⊥BC ，则M 为BC 中点，连结OM ，OB ，则SO ⊥OB ，SO ⊥OM ，BC =4，BM =2，则OM =2,OB =2√2， 在Rt △SOD 中，SB =√SO 2+OB 2=√1+8=3， 在Rt △SOM 中，SM =√5， ∴棱锥的侧棱长为3，侧面的高为√5.(2)棱锥的表面积：S =S 正方形ABCD +4S △SBC =4×4+4×(12×4×√5)=16+8√5 几何体的体积为：13×4×4×1=163 【解析】(1)直接利用公式计算； (2)直接利用公式计算；本题考查了几何体的表面积、体积，属于中档题．19.【答案】解：(1)∵f(x)=asin(π2x +φ)，∴周期T =2ππ2=4，∴CD =T 2=2，∴S△ABD=12×CD×(y A−y B)=12×2×2a=4，∴a=2，∴f(x)=2sin(π2x+φ)，又M(0,√3)，∴f(0)=2sinφ=√3，∴sinφ=√32，又M为上升点，且0<φ<π，∴φ=π3，∴f(x)=2sin(π2x+π3)；(2)由(1)知f(x)的周期为4，又2023=4×505+3，∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2022)=[f(0)+f(1)+f(2)+f(3)]×505+f(0)+f(1)+f(2)=(√3+1−√3−1)×505+(√3+1−√3)=1.【解析】本题考查了由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，三角函数的图形与性质，由三角函数的周期性求和，考查了方程思想与化归转化思想，属于中档题．(1)根据三角函数的周期，振幅，三角形面积，y轴交点建立方程即可求解；(2)通过函数的周期性即可求解．20.【答案】证明：(1)连接AC1交A1C于E，连接ED，如图，则E是AC1中点，又D是AB中点，所以ED//BC1，又ED⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1//平面A1CD；解：(2)因为AC =BC =2,AB =2√2，所以AC ⊥BC ， 所以S △ABC =12×2×2=2,S △ACD =12S △ABC =1， V BCD−A 1B 1C 1=V ABC−A 1B 1C 1−V A 1−ACD =2×2−13×1×2=103. 【解析】(1)连接AC 1交A 1C 于E ，连接ED ，证明ED//BC 1后得证线面平行； (2)由直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的体积减去三棱锥A 1−ACD 的体积可得． 本题考查了线面平行的证明和几何体的体积计算，属于中档题．21.【答案】解：(1)由2S =−√3BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得2×12acsinB =−√3accosB ， 即sinB =−√3cosB ，可得tanB =−√3， 因为B ∈(0,π)，所以B =2π3.(2)设∠BAC =θ，则∠CAD =π2−θ，∠CDA =θ+π6， 在△ACD 中，由正弦定理得ACsin∠ADC =ADsin∠ACD ， 可得AC =ADsin∠ADCsin∠ACD=√3⋅sin(θ+π6)sin π3=2sin(θ+π6)，在△ABC 中，由正弦定理得ACsinB =BCsinθ，∴BC =√3+π6)sinθ=√3(√32sin 2θ+12sinθcosθ)=√3−√3cos2θ)+1 =2√33sin(2θ−π3)+1，因为0<θ<π3，可得−π3<2θ−π3<π3，当2θ−π3=π3时，即θ=π3，可得2√33sin π3+1=2， 当2θ−π3=−π3时，即θ=0，可得2√33sin(−π3)+1=0， 所以BC 的取值范围是(0,2).【解析】(1)利用三角形的面积公式，向量的数量积运算化简即可．(2)利用正弦定理，三角恒等变换得到BC =2√33sin(2θ−π3)+1，再利用正弦函数的图象与性质求解即可．本题考查了正弦定理的应用，三角恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于中档题．22.【答案】解：(Ⅰ)∵m →=(sinx,1),n →=(√3cosx,−12)，∴m ⃗⃗⃗ +n ⃗ =(sinx +√3cosx,12)，∴f(x)=sinx(sinx+√3cosx)+1 2=sin2x+√3sinxcosx+1 2=1−cos2x2+√32sin2x+12=sin(2x−π6)+1，∴f(x)的最大值为2；(Ⅰ)由f(C)恰好为函数f(x)的最大值可得f(C)=sin(2C−π6)+1=2，即sin(2C−π6)=1，∵0<C<π，解得C=π3，则CD=f(C)=2，在△ACD中，由CDsinA =ADsin12C，可得AD=1sinA，在△BCD中，由CDsinB =BDsin12C，可得BD=1sinB，∴c=1sinA +1sinB，在△ABC中，asinA =bsinB=csinC=1sinA+1sinB√32=2√33(1sinA+1sinB)，则可得a=2√33(1+sinAsinB),b=2√33(sinBsinA+1)，则3a+b=2√3(1+sinAsinB )+2√33(sinBsinA+1)=2√3⋅sinAsinB+2√33⋅sinBsinA+8√33，∵sinA>0，sinB>0，∴3a+b≥22√3⋅sinAsinB ⋅2√33⋅sinBsinA+8√33=4+8√33，当且仅当√3sinA=sinB等号成立，故3a+b的最小值为4+8√33.【解析】(Ⅰ)根据数量积运算结合降幂公式以及辅助角公式化简f(x)，根据正弦函数的值域可得结果；(Ⅰ)根据条件求得c，C，由正弦定理表示a，b，利用基本不等式求解．本题考查了正弦型函数的最值问题以及正弦定理、基本不等式的应用，属于中档题．。
2023-2024学年重庆高一下册3月月考数学试题(含解析)
2023-2024学年重庆高一下册3月月考数学试题一、单选题1．sin 74sin 46sin16sin 44-= （）A ．12B ．12-C ．2D ．【正确答案】A【分析】转化sin 74cos16,sin 46cos 44== ，再利用两角和的余弦公式即得解【详解】由题意，1sin 74sin 46sin16sin 44cos16cos 44sin16sin 44cos602-=-==故选：A本题考查了三角函数的诱导公式和两角和的余弦公式综合，考查了学生综合分析，数学运算能力，属于基础题2．函数()24sin 1f xx x =+的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】D【分析】根据奇偶性，结合特殊点，即可求解.【详解】函数()24sin 1f xx x =+的定义域为R ， ()()()()224sin 4sin 11x xf x f x x x --==-=-+-+，∴函数()f x 是奇函数，排除AC ；当π2x =时，2π4102π12f ⨯⎛⎫=> ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，此时图像在x 轴的上方，排除B.故选：D 3．已知4sin ,,52πααπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则tan α的值是（）A ．34-B ．43-C ．34D ．43【正确答案】B【分析】由同角三角函数的平方关系和商数关系，结合,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即得解【详解】由题意，4sin ,,52πααπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭3cos 5α∴=-sin 4tan cos 3∴==-ααα故选：B4．已知函数()()cos 2f x x ϕ=+，则“π2ϕ=”是“()f x 是奇函数”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】先由()f x 是奇函数求出ϕ的取值集合，再根据逻辑条件判断即可.【详解】()f x 是奇函数等价于cos(2)cos(2)x x ϕϕ-+=-+，即cos(2)cos(π2)x x ϕϕ-+=--，故2π22π,Z x x k k ϕϕ-+=--+∈，所以ππ,Z 2k k ϕ=+∈.则“π2ϕ=”是“()f x 是奇函数”的充分不必要条件.故选：A.5．已知角α满足π1cos 33α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则πsin 26α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝（）A ．79-B ．79C．9-D．9【正确答案】A【分析】利用凑角方法，并利用诱导公式和二倍角的余弦公式转化计算.【详解】∵π1cos 33α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，∴πππsin 2sin2632αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2ππ27cos 22cos 113399αα⎛⎫⎛⎫=-=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：A.6．若1sin cos 2αα+=，则44sin cos αα+=（）A ．52B ．18C ．716D ．2332【正确答案】D【分析】将已知等式平方，利用二倍角公式得出sin 2α的值，由同角三角函数的关系化简求值即可．【详解】1sin cos 2αα+=，两边平方得11sin 24α+=，即3sin 24α=-则()24422222123sin cos sin cos 2sin cos 1sin 2232ααααααα+=+-=-=故选:D7．已知函数()cos (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间π3,π44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数ω的取值范围为（）A ．80,9⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．(]1,2C ．(]0,1D ．20,3⎛⎤⎥⎝⎦【正确答案】A【分析】先由周期大于等于单调区间的长度的2倍，求得ω的初步范围，然后结合余弦函数的单调性进一步确定ω的范围，得到答案.【详解】由题意有2ππT ω=≥，可得02ω<≤，又由πππ5π3436ω<+≤，必有3πππ43ω+≤，可得809ω<≤.故选：A8．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，满足(2)(2)f x f x +=--，若(1)1f >，(2023)2sin f t =，则实数t 的取值范围是（）A ．π2π2π,2π,33k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z B ．2ππ2π,2π,33k k k ⎛⎫-+-+∈ ⎪⎝⎭Z C ．π5π2π,2π,66k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭ZD ．5π2π,2π,66k k k π⎛⎫-+-+∈ ⎪⎝⎭Z 【正确答案】D【分析】根据()f x 为奇函数，(2)(2)f x f x -=--推出()f x 是周期函数，周期为4，利用周期得(2023)(1)(1)2sin f f f t =-=-=，根据(1)1f >推出1sin 2t <-，再利用单位圆可求出结果.【详解】因为()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-，所以(2)(2)f x f x -=--，又因为(2)(2)f x f x +=--，所以(2)(2)f x f x +=-，(4)()f x f x +=，所以()f x 是周期函数，周期为4，所以(2023)(45061)(1)f f f =⨯-=-=(1)f =-，因为(1)1f >，所以(2023)1f <-，即2sin 1t <-，1sin 2t <-，根据单位圆中的三角函数线可得：5ππ2π2π66k t k -+<<-+，Z k ∈，故选：D二、多选题9．下列各式中，值为12的是（）A ．2sin15cos15B ．2π2cos112-C D ．2tan22.51tan 22.5-【正确答案】AD【分析】利用二倍角公式，逐项分析、计算判断作答.【详解】对于A ，12sin15cos15sin302==，A 正确；对于B ，2ππ12cos 1cos 1262-=>，B 错误；对于C 1cos152=> ，C 错误；对于D ，22tan22.512tan22.511tan451tan 22.521tan 22.522=⨯=⨯=--，D 正确．故选：AD10．下列不等式中成立的是（）A ．πsin1sin 3<B ．15π4πsinsin 75>C ．2πcoscos 23>D ．()cos 70sin18->︒︒【正确答案】AD【分析】由三角函数的诱导公式化简，然后根据正弦、余弦函数的单调性比较各选项中角的大小关系，从而得出函数值的大小关系.【详解】对A ，因为ππ0132<<<，sin y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，所以πsin1sin 3<，故A 正确；对于B ，15ππsinsin 77=，4πππsin sin sin 557=>，故B 错误；对C ，因为π2π2π23<<<，cos y x =在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，所以2πcos cos 23<，故C 错误；对于D ，()cos 70cos 70sin 20sin18-︒=︒=︒>︒，故D 正确.故选：AD.11．已知函数()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（）A ．直线4π3x =是函数()f x 图象的一条对称轴B ．函数()f x 在区间π7π,412⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C ．将函数()f x 图像上的所有点向左平移π6个单位长度，得到函数πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．若()π6f x a f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭对任意的π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则10a <-.【正确答案】AC【分析】利用三角函数对称轴的性质即可验证选项A ，利用函数的单调性即可验证选项B ，利用图像平移的特性验证选项C ，将问题转化为求最值即可得D 选项.【详解】函数()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对于A ：4π8ππsin 1336f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 正确；对于B ：由于π7π,412x ⎡⎤∈⎢⎣⎦，所以ππ2,π63x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，故函数在该区间上有增有减，故B 错误；对于C ：将函数π()sin(2)6f x x =-的图像上的所有点向左平移π6个单位，得到函数sin 2sin(2)666y x x ⎡ππ⎤π⎛⎫=+-=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图像，故C 正确；对于D ：函数()π6f x a f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，整理得π1sin(262a x <--，即求出函数()π1sin(2)62g x x =--的最小值即可，由于π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ5π2,666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，故当0x =时取得最小值1-，故1a <-，故D 不正确．故选：AC ．12．设函数()sin 2sin cos xf x x x=+，则（）A ．()f x 的一个周期为πB ．()f x 在ππ,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增C ．()f x 在π3π,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上有最大值4D ．()f x 图象的一条对称轴为直线π4x =【正确答案】BD【分析】利用诱导公式化简可得()()πf x f x +=-，可判断选项A ；利用换元法和函数的单调性，可判断选项B 和C ；利用诱导公式化简可得()π2f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，可判断选项D ．【详解】对A ：()()()()()()sin 2πsin 22πsin 2πsin πcos πsin cos sin cos x x xf x f x x x x xx x+++===-=-+++--+，故π不是()f x 的周期，A 错误；对B ：令πsin cos 4t x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则2sin 22sin cos 1x x x t ==-，则211t y t t t-==-，∵ππ,44x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则()πππ0,,sin 0,1424x x ⎛⎫⎛⎫+∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴π4t x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，且(π0,4t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，又∵1y t t =-在()0,∞+上单调递增，故()f x 在ππ,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，B 正确；对C ：∵π3π,44⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()π0,π4x +∈，∴(]πsin 0,14x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则(π4t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，又∵1y t t =-在(上单调递增，且|2x y ，∴1y t t =-在(上最大值为2，即()f x 在π3π,44⎛⎫- ⎝⎭上有最大值2，C 错误；对D ：()()πsin 2sin π2πsin 22ππ2cos sin sin cos sin cos 22x x x f x f x x x x xx x ⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎝⎭-=== ⎪++⎛⎫⎛⎫⎝⎭-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()f x 图象的一条对称轴为直线π4x =，D 正确.故选：BD.结论点睛：若()()f m x f n x +=-，则()f x 关于直线2m nx +=对称，特别地()()2f x f a x =-，则()f x 关于直线x a =对称；若()()2f m x f n x b ++-=，则()f x 关于点,2m n b +⎛⎫⎪⎝⎭对称，特别地()()20f x f a x +-=，则()f x 关于点(),0a 对称.三、填空题13．对任意实数0a >且1a ≠，函数31x y a -=+的图象经过定点P ，且点P 在角θ的终边上，则πtan 4θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________.【正确答案】15-##0.2-【分析】函数过定点()3,2P 得到2tan 3θ=，再利用和差公式计算得到答案.【详解】函数31x y a -=+的图象经过定点()3,2P ，点P 在角θ的终边上，故2tan 3θ=，21πtan 113tan 241tan 513θθθ--⎛⎫-===- ⎪+⎝⎭+.故15-14．已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，其图象关于直线π6x =对称，则π()4f =__________.【分析】根据函数的最小正周期得到=2ω，利用对称轴得到ϕ，然后代入计算即可求解.【详解】因为函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，所以2π=2T ω=，又因为直线π6x =是函数的一条对称轴，所以ππ2+=π,Z 62k k ϕ⨯+∈，解得：ππ,Z 6k k ϕ=+∈，因为π2ϕ<，所以π6ϕ=，则函数π()2sin(2)6f x x =+，所以ππππ()2sin(22cos 4466f =⨯+==故答案为15．设()cos 24cos f x x x =+，若对任意实数x 都有()a f x ≤成立，则实数a 的取值范围是__________．【正确答案】(],3-∞-【分析】将问题转化为min ()a f x ≤，然后利用换元法将()f x 转化为二次函数，利用二次函数的性质求最小值即可.【详解】若对任意实数x 都有()a f x ≤成立，则min ()a f x ≤，又2()cos 24cos 2cos 4cos 1f x x x x x =+=+-，令[]cos ,1,1x t t =∈-，()2()241g t f x t t ∴==+-，[]1,1t ∈-，其对称轴为1t =-，故函数()g t 在[]1,1-上单调递增，()min ()12413f x g =-=--=-，3a ∴≤-.故答案为.(],3-∞-16．已知函数1,0sgn()0,01,0x x x x -<⎧⎪==⎨⎪>⎩，关于函数()sgn(π)sin f x x x =-有如下四个命题：①()f x 在ππ2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减；②()1lg2lg 2f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；③()f x 的值域为[]11-，；④()f x 的图象关于直线πx =对称.其中所有真命题的序号是__________.【正确答案】②③④【分析】根据函数的概念求出sin ,π()sgn(π)sin 0,πsin ,πx x f x x x x x x -<⎧⎪=-==⎨⎪>⎩，画出函数的图象，结合图象逐项进行判断即可.【详解】依题意可得sin ,π()sgn(π)sin 0,πsin ,πx x f x x x x x x -<⎧⎪=-==⎨⎪>⎩，作出()f x 的部分图象，如图所示，由图可知，()f x 在ππ2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，1(lg 2)(lg )2f f =-，()f x 的值域为[1,1]-，()f x 的图象关于直线πx =对称，故所有真命题的序号是②③④.故②③④.四、解答题17．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,4cos 5α=.(1)求sin 2α的值;(2)求sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【正确答案】(1)2425【分析】（1）由40,,cos 25παα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，算得sin α，接着利用二倍角公式，即可得到本题答案；（2）利用和角公式展开，再代入sin ,cos αα的值，即可得到本题答案.【详解】(1)因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,4cos 5α=,所以3sin 5α==.所以24sin 22sin cos 25ααα==；(2)sin cos 42210πααα⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭.本题主要考查利用同角三角函数的基本关系，和差公式以及二倍角公式求值，属基础题.18．已知()()()πsin 2πcos 2πcos tan π2f ααααα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=⎛⎫-++ ⎪⎝⎭.(1)求4π3f ⎛⎫⎪⎝⎭；(2)已知()ππ4,225f αα-<<=，求tan α．【正确答案】(1)4π1()32f =-；(2)3tan 4α=±【分析】（1）根据三角函数诱导公式化简，再代入求值；（2）由()45f α=得到4cos 5α=，再根据角的范围分情况求得结果.【详解】（1）解：()()()sin sin sin tan f ααααα-⋅-=⋅＝cos α∴4π1()32f =-（2）因为()45f α=，所以4cos 5α=当π02α≤<时，3sin 5α==，所以sin 3tan cos 4ααα==，当π02α-<<时，3sin 5α==-，所以sin 3tan cos 4ααα==-，所以3tan 4α=±．19．已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()αβ+=.(1)求sin()αβ+的值；(2)求tan β的值.【正确答案】(1)5(2)2【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系进行计算求解.（2）利用同角三角函数的基本关系以及两角差的正切公式进行求值.【详解】（1）因为,αβ为锐角，所以(0,π)αβ+∈，又因为cos()5αβ+=-，所以sin 5)(αβ+==.（2）由（1）有：sin()tan()2cos()αβαβαβ++==-+，又4tan 3α=，所以42tan()tan 3tan tan[()]241tan()tan 1(2)3αβαβαβααβα--+-=+-===+++-⨯.20．已知函数()π2sin23f x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.(1)求函数()f x 在π5π,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间；(2)若123f β⎛⎫= ⎪⎝⎭，求πcos 23β⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【正确答案】(1)ππ,612⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和7π5π,126⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)79-【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由π5π,66x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦可求得π23x +的取值范围，结合正弦型函数的单调性可求得函数()f x 在π5π,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间；（2）由已知可得出π1sin 33β⎛⎫+= ⎪⎝⎭，利用诱导公式结合二倍角的余弦公式可求得πcos 23β⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【详解】（1）解：由题意得()31πcos2sin2sin2cos2sin2sin 222223f x x x x x x x ⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭，因为π5π,66x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，所以[]20,2πx π3+∈，令ππ0232x ≤+≤，解得ππ612x -≤≤，令3ππ22π23x ≤+≤，解得7π5π126x ≤≤，所以函数()f x 在π5π,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间为ππ,612⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和7π5π,126⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）解：由（1）知π1sin 233f ββ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.22ππππcos 22cos 12cos 13632βββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2π272sin 11399β⎛⎫=+-==- ⎪⎝⎭.21．已知函数21()cos cos 2f x x x x =+-．(1)解不等式1()2f x ≥，其中ππ,62x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．(2)在锐角ABC 中，π3A =，求()()f B f C +的取值范围．【正确答案】(1),63ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦(2)1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据ππ,62x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得到ππ7π2,626x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，然后解不等式sin 212π6x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭+，可得ππ5π2266x <+≤求解即可；（2）利用已知条件求出角B 的取值范围，利用三角恒等变换化简得出()()πsin 26f B f C B ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，利用正弦型函数的基本性质可求得()()f B f C +的取值范围.【详解】（1）()1cos 211π2sin 2cos 2sin 2222226x x x x x x f +⎛⎫+-=+=+ ⎝=⎪⎭ππ,62x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ππ7π2,626x ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭1()2f x ≥ ，即sin 212π6x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭+，ππ5π2266x ∴<+≤，解得ππ,63x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故不等式1()2f x ≥的解集为ππ,63⎛⎤ ⎥⎝⎦.（2）由题意可得π02,π2B A B ⎧<<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩且π3A =，可得ππ62B <<，∵π,π3A A B C =++=，∴2π3C B =-，πππ4π()()sin 2sin 2sin 2sin π266636f B f C B C B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭π11sin 2cos 22cos 2cos 22cos 2622B B B B B B B ⎛⎫=+-=+-=- ⎪⎝⎭πsin 26B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∵ππ62B <<，则ππ5π2666B <-<，∴1()()sin 2,162f B fC B π⎛⎫⎛⎤+=-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦．故()()f B f C +的取值范围为1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦.22．设a ∈R ，函数()2πsin cos ,,π2f x x x a x ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭.(1)讨论函数()f x 的零点个数；(2)若函数()f x 有两个零点12,x x ，求证.123π2x x +<【正确答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用分离参数法分类讨论函数()f x 的零点个数；（2）利用根与系数关系和三角函数单调性证明123π2x x +<.【详解】（1）()2cos cos 1f x x x a =--++，令()0f x =，即2cos cos 1x x a +=+，π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()21cos 1,0,,0,04t x t t f x ⎡⎫=∈-+∈-=⎪⎢⎣⎭即21t t a +=+，10a +≥或114a +<-即[)5,1,4a ∞∞⎛⎫∈--⋃-+ ⎪⎝⎭时，21t t a +=+无解；114a +=-即54a =-时，21t t a +=+仅有一解12t =-，此时x 仅有一解2π3；1104a -<+<即514a -<<-时，21t t a +=+有两解12t =-±1cos 2x =-()f x 有两个零点；综上，[)5,1,4a ∞∞⎛⎫∈--⋃-+ ⎪⎝⎭时，()f x 无零点，54a =-时，()f x 有一个零点，5,14a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()f x 有两个零点；（2）()f x 有两个零点时，令1122cos ,cos t x t x ==，则12,t t 为21t t a +=+两解，则121t t +=-，则12cos cos 1x x +=-，则221122cos 2cos cos cos 1x x x x ++=，由12π,,π2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得12cos 0,cos 0x x <<，则122cos cos 0x x >，则2212cos cos 1x x +<，则2221223πcos sin cos 2x x x ⎛⎫<=- ⎪⎝⎭，由2π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得223ππ3π,π,cos 0222x x ⎛⎫⎛⎫-∈-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则123πcos cos 2x x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，由cos y x =在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，可得123π2x x <-，则123π2x x +<.函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．。
湖北省普通高中高一下学期三月份月考数学试题含答案
湖北省普通高中高一下学期三月月考数学试题一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则( ) A ．B ＝45°或135° B ．B ＝135° C ．B ＝45° D ．以上答案都不对 2.已知cos 78°约等于0.20，那么sin 66°约等于( )． A ．0.92 B.0.85 C ．0.88 D.0.953.在△ABC 中，如果A ＝60°，c ＝4，a ＝4，则此三角形有( )A ．两解B ．一解C ．无解D ．无穷多解 4.已知△ABC 的三边分别为2,3,4，则此三角形是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．不能确定5.已知数列1234,,,,2345，那么0.98,0.96,0.94中属于该数列中某一项值的应当有（ ）A.0个B.1个C.2个D.3个 6．在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于( ) A.14 B.34 C.24 D.237.已知cos(α－β)＝35，sin β＝－513，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则 sin α＝( )．A.3365B.6365 C ．－3365D.－63658.函数2sin()cos()()36y x x x ππ=--+∈R 的最小值等于( )A.3-B.2-C.5-D.1- 9.化简cos 20cos351sin 20=-( )A.1B.2C.2D.310.在数列{}n a 中，()()111,1223nn n a a a n -==-≥，则5a 等于（ ）A. 163-B. 163C. 83-D. 83二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上)11. 已知23sincos,223θθ+=那么sin θ的值为 。
山东省枣庄高一下学期3月月考数学试题(解析版)
高一下学期3月月考数学试题一、单选题1．如图所示，是的边上的中点，记，，则向量D ABC ∆AB BC a =BA c = CD =A ．B ．12a c -- 12a c - C ．D ．12a c -+ 12a c + 【答案】C【详解】试题分析：由向量的减法几何意义得选项C ．1122CD BD BC BA BC a c =-=-=-+【解析】向量减法的几何意义． 2．计算（ ）1tan151tan15-︒=+︒A ．BC ．D【答案】D【分析】由两角差的正切公式，结合，即可求出答案. tan 451︒=【详解】. ()1tan15tan 45tan15tan 45151tan151tan 45tan15-︒︒-︒==︒-︒=+︒+︒︒故选：D3．已知是边长为2的等边三角形，则（ ）ABC CA AB ⋅=A ．B ．C ．D ．2--2【答案】A【分析】由向量数量积计算公式及图形可得答案.【详解】由图做，则夹角为，又由题可知，CD AB = ,CA AB 2π32CA AB == 则. 2π1cos 22232CA AB CA AB ⎛⎫⋅=⋅⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭故选：A4．已知，求与的夹角（ ）4,3,(23)(2)13a b a b a b ==-⋅+= a bθ=A ．B ．C ．D ．π6π4π32π3【答案】C【分析】由可得，后由向量夹角公式可得答案.(23)(2)13a b a b -⋅+=6a b ⋅= 【详解】，22(23)(2)134341364271346a b a b a b a b a b a b -⋅+=⇒--⋅=⇒--=⋅⇒⋅= 则，又，则. 61432cos a b θa b ⋅===⨯⋅[]0,πθ∈θπ3=故选：C5．已知，则（ ）π1sin 63x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭πsin 26x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭AB ．C ．D ．297929-【答案】C 【分析】令，则，，再利用诱导公式及二倍角公式计算可得；π6t x =-π6x t =+1sin 3t =【详解】令，则，，所以π6t x =-π6x t =+1sin 3t =πππsin 2=sin 2666x t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.2π27sin 2cos 212sin 1299t t t ⎛⎫=+==-=-= ⎪⎝⎭故选：C.6．若平面向量两两的夹角相等，且，则（ ） ,,a b c 2,2,3a b c === 2a b c ++=A ．B ．C ．5或2D ．10或4210【答案】D【分析】两两的夹角相等，可得夹角为或,再分两种情况讨论，结合数量积的运算律即,,a b c0︒120︒可得解.【详解】2a b c ==+=+因为平面向量，，两两的夹角相等，所以夹角有两种情况，a b c即，，两两的夹角为或,a b c0︒120︒当夹角为时，， 0︒222610a b c ++=++= 当夹角为时，， 120︒4a b =++ 所以或. 210a b c ++=4故选：D ．7．已知的外接圆圆心为O ，且，则向量在向量上的投影向ABC 2,AO AB AC OA AB =+= CA BC 量为（ ）A ．B ．C ．D ．14BC34BC u uu r 14BC -34BC -【答案】D【分析】根据条件作图可得为等边三角形，根据投影向量的概念求解即可ABO 【详解】2AO AB AC =+所以外接圆圆心为的中点，即为外接圆的直径， ABC O BC BC 如图：又，所以为等边三角形，||||AB AO =ABO，， 30ACB ∴∠=︒||||cos30|CA BC BC ∴=︒=向量在向量上的投影为：．CABC 3||cos30|||4CA BC BC -︒=-故投影向量为.34BC -故选：D ．8．如图，已知扇形的半径为，其圆心角为，四边形是该扇形的内接矩形，则该矩AOB 2π4PQRS 形面积的最大值为()AB ．1-2CD【答案】B【分析】设，根据几何图形的性质把矩形面积表示成关于的三角函数最值问题. POA α∠=α【详解】连接，设，则，由已知可得：三角形是PO POA α∠=2sin 2cos PS QR,OS αα===OQR 等腰直角三角形，即， 2sin QR OR α==所以，()2cos sin RS OS OR αα=-=-故矩形的面积为：QRSP ()()π4sin cos sin 2sin2cos22224PS RS αααααα⎛⎫⋅=⋅-=+-=+-⎪⎝⎭显然当时，取得最大值，π8=α2-故选:B二、多选题9．下列关于向量的命题正确的是（ ）A ．对任一非零向量，是一个单位向量 a ||a aB ．对任意向量，恒成立,a b||||||||a b a b -≤- C ．若且，则a b = c b =a c = D ．在中，C 为边AB 上一点，且，则 OAB :3:2AC CB =3255OC OA OB =+【分析】A 选项，计算的模可判断选项正误； ||a a B 选项，通过比较，大小可判断选项正误；2||a b - 2||||||a b - C 选项，由等式的传递性可判断选项正误； D 选项，结合图形及向量相减法则可判断选项正误.【详解】A，则是一个单位向量，故A 正确； 1||a a B 选项，，222222||||||||||||2||||222||||a b a b a b a b a b a b a b a b ---=+---+⋅=⋅-设向量夹角为，则，当且仅当反向时取等号，则,a b θ()22||||2||||cos 10a b a b a b ⋅-=-≤θ,a b ，故B 错误；22||||||||||||||||a b a b a b a b -≥-⇒-≥-C 选项，由等式性质可知C 正确；D 选项，如图，因，则 :3:2AC CB =()3322AC CB OC OA OB OC =⇒-=-，故D 错误.53322255OC OB OA OC OB OA ⇒=+⇒=+故选：AC10．已知，，点P 在直线AB 上，且，求点P 的坐标（ ）()2,3A ()4,3B -2AP PB =A ．B ．()6,9-10,13⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．D ．()8,15-()5,6-【答案】AB【分析】由向量的坐标表示分类讨论后计算即可.【详解】设，因为，，且点P 在直线AB 上，故由可得以下两(),P x y ()2,3A ()4,3B -2AP PB =种情况：，此时有，解得；2AP PB = ()()23243x ,y x,y --=---1013x ,y ==-或，此时有，解得；2AP PB =-()()23243x ,y x,y --=----6,9x y ==-11．已知函数，则（ ） 2()2sin 21f x x x =-++A ．在内有2个零点()f x [0,]πB ．在上单调递增()f x π0,8⎛⎫⎪⎝⎭C ．的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 ()f x 2sin 2y x =π6D ．在上的最大值为()f x π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1【答案】ABD【分析】对于A ，把三角函数化简，求函数的零点进行验证；对于B ，求函数的单调递增()f x ()f x 区间进行验证；对于C ，通过图像平移公式进行验证；对于D ，由得出整体角的取值范π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦围，再得到的最大值.()f x【详解】.2π()2sin 21cos 222sin 26f x x x x x x ⎛⎫=-+==+ ⎪⎝⎭对于A ，令，则.π2π,6x k k Z +=∈ππ122k x =-+当时，；当时，满足题意，故A 正确；1k =5π12x =2k =11π12x =对于B ，令，则 .πππ2π22π,262k x k k -+≤+≤+∈Z ππππ36k x k -+≤≤+当时，在上单调递增，所以在上单调递增正确，故B 正确；0k =()f x ππ,36⎛⎫- ⎪⎝⎭()f x π0,8⎛⎫⎪⎝⎭对于C ，由的图象向左平移个单位长度得到，故C 错2sin 2y x =π6ππ2sin 22sin 263y x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭误；对于D ，若，则，，π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π5ππ2,666x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦[]π2sin 2162,x ⎛⎫+∈ ⎪⎝-⎭所以在上的最大值为，故D 正确.()f x π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1故选：ABD.12．已知函数为函数的一条对称轴，且若()2sin()(0,0||)π,22πf x x x ωϕωϕ=+><<=3()8πf =在上单调，则的取值可以是（ ） ()f x 3(,π)84π--ωA ．B ．C ．D ．4383163203【答案】AD【分析】由为对称轴，及求出的取值集合，再根据函数在区间上单调，求出π2x =3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ωω【详解】为对称轴，； π2x =πππ22k ωϕ⇒+=+Z k∈或，；3π3ππ2π883f m ωϕ⎛⎫=⇒+=+ ⎪⎝⎭2ππ32m +m Z ∈联立解之得:或，，；()4823k m ω=-+()4823k m ω=--Z k ∈m Z ∈又在上单调，3ππ,84⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以 π3πππ4880ωω⎧⎛⎫---=≤⎪ ⎪∴⎝⎭⎨⎪>⎩08ω<≤或 43ω∴=203故选：AD.三、填空题13．若与共线，则_______ ()2,3a =()2,6b x =- x =【答案】2-【分析】由两个向量共线的坐标表示直接求得结果.【详解】已知与共线， ()2,3a =()2,6b x =- 则，解得. 2(6)320x ⨯--⨯=2x =-故答案为：.2-14．已知函数的部分图象如图所示，点，，π()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕ=+>><3(0,)2-π(,0)3在图象上，求_______ 7π(,0)3(π)f =【分析】根据图象可得函数周期，据此求出，再代入点可得，再代入点12ω=π(,0)3π6ϕ=-3(0,)2-求出，得到函数解析式进而求解即可. A 【详解】由函数图像可知.2A =设函数的最小正周期为，则， ()f x T 7ππ24π33T ⎛⎫=-=⎪⎝⎭又因为，由，解得， 0ω>2π4πT ω==12ω=又由图可知函数经过点，则，()f x π,03⎛⎫⎪⎝⎭1πsin 023ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭所以，解得，1π2π,Z 23k k ϕ⨯+=∈π2π,Z 6k k ϕ=-∈又因为，所以当时，， π2ϕ<0k =π6ϕ=-所以，1()sin()26f x A x π=-又函数图象过点，所以，解得，3(0,)2-π3sin(62A -=-3A =所以，故，1()3sin(26f x x π=-1ππ(π)3sin π3sin 263f ⎛⎫=⨯-== ⎪⎝⎭15．求_______()sin160350=【分析】将切化弦，利用两角和差余弦公式可将原式分子化成一个三角函数，再利用二倍角公式及诱导公式化简求得结果.【详解】 ())sin50tan5020sin16035os500c ⎫=+⎭=⎪()202cos 503020cos50-=⋅====16．已知的外接圆圆心为O ， 为的重心且则ABC H ABC 4,6AB AC ==()B O HC A H ⋅+= _________ 【答案】 263-【分析】由三角形重心及外心的性质即可得出结果.【详解】如图所示，取中点，过作，则是的中点.BC D O ,OE AB OF AC ⊥⊥E F 、AB AC 、∵为的重心，∴，H ABC ()212HB HC HD AD AB AC +===+,同理，21cos 2OA AB AB OA OAB AB ⋅=-⋅⋅∠=-212OA AC AC ⋅=- 故()()()221152263663O HB HC A O B AC AB A A C A ⋅+=⋅⋅+=-+=-=-故答案为： 263-【点睛】结论点睛：（1）三角形的重心是三角形三条中线的交点，且是中线的三等分点（靠中点近），即；()123AO AB AC OD =+=（2）三角形的外心是三角形三条中垂线的交点，即有：.222111222AO AB AB ,BO BC BC ,CO CA CA ⋅=⋅=⋅=四、解答题17．已知，且向量与不共线.||1,||1a b ==a b (1)若与的夹角为，求； a b120︒()()3a b a b -⋅+ (2)若与的夹角为且向量与的夹角为锐角，求实数k 的取值范围. a b 60︒-a kb 2ka b - 【答案】(1)1(2)(3.⋃+【分析】（1）由数量积定义可求得，展开代入即可求得结果；a b ⋅ (2)()a b a b -⋅+a b ⋅（2）由向量与的夹角的锐角，可得且不同向共线，展开解k 即可.ka b + ka b -()()0ka b ka b ⋅>+-r r r r 【详解】（1）与的夹角为，a b120︒，11cos1201122a b a b ⎛⎫∴⋅=︒=⨯⨯-=- ⎪.()()22332132112a b a b a a b b ∴⎛⎫=+⨯⎭-⋅+=+⋅---= ⎪⎝ （2）与的夹角为，a b60︒，11cos601122a b a b ∴⋅=︒=⨯⨯=向量与的夹角为锐角，- a kb 2ka b - ，且不能同向共线，()()20a kb ka b ∴-⋅->，，()()()22222222302k a kb ka b ka k a b kb k +∴-⋅-=-+⋅+=-> ()2(0)a kb ka b λλ-≠-> 解得且33k<<k ≠即3k<<3k <<实数k 的取值范围是∴(3.⋃+18．已知函数的最小正周期为；()3π112πsin sin +226f x x x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ωω2π(1)求函数的解析式； ()f x (2)求函数的单调递增区间.()f x 【答案】(1)()5π412f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)π11πππ,,Z 248248k k k ⎡⎤-+∈⎢⎣⎦【分析】（1）由诱导公式与辅助角公式可将，后由周期计算公式可得()f x 15π212x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ω解析式；（2）由（1）结合函数的单调增区间可得答案.sin y x =【详解】（1）π11ππ()sin +s 266in 22f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ωω1π1πsin cos 2266x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ωω，因为最小正周期为，1ππ15π242126x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ωωπ2所以.所以； 2ππ822=⇒=ωω()5π412f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（2）由，得，则单调递增区间π5ππ2π42π,Z 2122k x k k -+≤+≤+∈π11πππ,Z 248248k k x k -≤≤+∈()f x 为. π11πππ,,Z k k k ⎡⎤-+∈19．已知函数在区间上的最大值为5， ()2cos ,cos ,,2cos )a x x b x x == ()1f x a b m =+- π0,2⎡⎤⎢⎣⎦(1)求常数的值；m (2)当时，求使成立的x 的取值集合.x ∈R ()4f x ≥【答案】(1)3m =(2) π|ππ,3x k x k k ⎧⎫≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z【分析】（1）利用向量的数量积及三角恒等变换化简，再根据三角函数的图象与性质即可求()f x ；m （2）由（1）求得，根据三角函数的图象与性质即可解不等式.()f x 【详解】（1）()1f x a b m =+-2()cos 2cos 12cos 2f x x x x m x x m =++-=++， π2sin 26x m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，， ππ7π2,666x ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦1πsin 2126x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭∴函数的最大值为，，，()f x 2m +25m ∴+=3m =（2）由（1）得， π()2sin 236f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭由得，∴ ()4f x ≥π1sin(262x +≥()ππ5π2π22πZ 666k x k k +≤+≤+∈解得：. πππ3k x k ≤≤+()k ∈Z 成立的x 的取值集合是． ()4f x ≥π|ππ,Z 3x k x k k ⎧⎫≤≤+∈⎨⎬⎩⎭20．如图，一个半径为4m 的筒车按逆时针方向每分转2圈，筒车的轴心O 距离水面的高度为2m.设筒车上的某个盛水筒P 到水面的距离为d （单位：m ）（在水面下则d 为负数），若以盛水筒P 刚浮出水面时开始计算时间.(1)求d 与时间t （单位：s ）之间函数关系 ππsin()0,0,22d A t K A ωϕωϕ⎛⎫=++>>-<< ⎪⎝⎭(2)在（1）的条件下令，的横坐标缩小为原来的，纵坐标变缩小为原来()()sin f x A x ωϕ=-()f x π30的得到函数，画出在上的图象 14()g x ()g x []0,π【答案】(1)； ππ4sin(t )2156d =-+(2)图象见解析【分析】（1）由最大值和最小值及周期求出的值，再利用特殊点求出，即可得函数的关系,,A K ωϕ式；（2）先通过三角函数图象变换求出解析式，再根据正弦型函数五点作图的特点列表、描点、连线即可得大致图象.【详解】（1）由题意， max min 42,242d d =+=-=-所以，， max min 6(2)422d d A ---===max min 62222d d K +-===因为逆时针方向每分转2圈，所以, 22ππ6015ω⨯==因为时，，所以，即， 0=t 0d =04sin 2ϕ=+1sin 2ϕ=-又，所以 ππ22ϕ-<<，所以； π=6ϕ-ππ4sin(t )2156d =-+（2）由（1）知，所以的横坐标缩小为原来的，纵坐标变缩小为原来ππ()4sin 156f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()f x π30的得到函数， 14π()sin 26g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭列表如下 π26x +π6 π2 π 3π2 2π 13π6x 0 π6 5π122π3 11π12 π ()f x 12 1 0 1-012描点连线，图象如图.21．在中，，，QA 与PB 相交于点C ，设， OPQ △12OA OP = 14OB OQ = OP a = .OQ b =(1)用，表示；a b OC (2)过C 点作直线分别与线段OQ ，OP 交于点M ，N ，设，，求的最l OM OQ λ= ON OP μ= 3μλ+小值.【答案】(1) .371=+7OC a b →→ (2). 127【分析】（1）由三点共线可得，存在使，则；同理由P ，C ，B ,,A C Q k AC k AQ = (1)+2k OC kb a -= 三点共线，存在使，根据平面向量基本定理即可求出，，得出结果； t 1+4()t OC ta b -= k t （2）由三点共线可得，存在使，又由（1）知，根据平,,N C M x (1)OC xOM x ON =+- 771=+3OC a b →→面向量基本定理即可求出，再求得结果． 1+=7317μλ【详解】（1），C ，Q 三点共线，设， A =AC k AQ 即，， ()OC OA k OQ OA -=- 11=22OA OP a = .OQ b = (1)=+(1)=+.2k OC k OQ k OA kb a ∴⋅⋅-- 同理由P ，C ，B 三点共线可得： ，其中， (1)=+(1)=+4t OC t OP t OB ta b ⋅⋅-- ,k t R ∈根据平面向量基本定理知：，解得，. 1214k t t k -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩71=k 7=3t .371=+7OC a b →→∴ （2）由三点共线，,,N C M(1)OC xOM x ON =+-(1).x b x a λμ=+- 又由知， (1)771=+3OC a b →→ 所以 ()17317x x λμ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩故1+=1.773μλ，当且仅当 ()166123+=+777777379μλλμμλλμ⎛⎫++≥+=⎪⎝⎭26,77λμ==故的最小值为. 3μλ+12722．已知函数； π()sin 2sin 24f x x x m ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭(1)当时，求函数的值域；1m =()f x(2)当时恒成立，求的取值范围； ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()0f x ≥m 【答案】(1) 1314⎡⎤--⎢⎥⎣⎦(2)4m ≤【分析】（1）把三角函数化简，设，表示，利用二次函数求值域； ()f x sin cos t x x =+sin cos x x （2）由恒成立进行参变分离，通过求函数的最值得出结果.()0f x ≥【详解】（1）当时，， 1m =π()sin 222sin cos sin cos 24f x x x x x x x ⎛⎫=+-=++- ⎪⎝⎭设， πsin cos ,4t x x x t ⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭则， 21sin cos 2t x x -=，22123y t t t t ∴=-+-=+-当时，，时，. 12t =-min 134y =-t =max 1y =的值域为. ∴()f x 1314⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2），()π()sin 2sin 22sin cos sin cos 204f x x x m x x m x x m ⎛⎫=+-=++-≥ ⎪⎝⎭，， ()2sin cos 2sin cos x x m x x ≥-+ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦令， πsin cos 4t x x x ⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭， ()()()()2224231324222t t t m t t t t ---+-≤==-+----，当且仅当， ()()32442t t -+-≥-322t t-=-2t ⎡=⎣故.4m ≤-。
太康县第一高级中学2023-2024学年高一下学期4月第三次月考数学试卷(含答案)
太康县第一高级中学2023-2024学年高一下学期4月第三次月考数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．已知i 为虚数单位,则z =A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2．已知()1,2a =,()2,2b =-,(),1c λ=-,()//2c a b +,则 λ等于( )A.2-B.1-C.- 3．在ABC △中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,下列结论不正确的是( ) A.2222cos a b c bc A =+- B.sin sin a B b A = C.cos cos a b C c B =+D.cos cos sin a B b A C +=4．在平行四边形ABCD 中,14AE AC =,设AB a =,BC b =,则向量DE =( )34b - 14b - 13b - 23b - 5．下列命题正确的是( )A.以直角三角形的一直角边为轴旋转所形成的旋转体是圆锥B.以直角梯形的一腰为轴旋转所形成的旋转体是圆台C.圆柱,圆锥,圆台都有两个底面D.圆锥的侧面展开图为扇形,这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径6．在ABC △中,a x =,2b =,45B =︒.若利用正弦定理解ABC △有两解,则x 的取值范围是( )A.2x <<x <<x >x <<D ,测得蓝方两支精锐部队分别在A 处和B 处,且30BDC ∠=︒,30BDC ∠=︒,60DCA ∠=︒,45ACB ∠=︒.如图所示,则蓝方这两支精锐部队的距离为( ).A.a 48．如图,在ABC △中,AB a =,AC b =,D ,F 分别为BC ,AC 的中点,P 为AD 与BF 的交点,且2AE EB =.若BP xa yb =+,则x y +=________;若3AB =,4AC =,π3BAC ∠=,则BP ED ⋅=________.则求解正确的是( )A. 二、多项选择题9．下列说法正确的有( ) A.任意两个复数都不能比大小B.若()i ,z a b a b =+∈∈R R ,则当且仅当0a b ==时,0z =C.若12,z z C ∈,且22120z z +=,则120z z ===+10．下列结论不正确的是( ) A.单位向量都相等 B.对于任意a ,b ,必有b a b+≤+C.若//a b ,则一定存在实数λ,使a b λ= D.若0a b ⋅=,则0a =或0b =11．设P 为ABC △所在平面内一点,则下列说法正确的是( )A.若0PA PB PC ++=,则点P 是ABC △的重心B.若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅,则点P 是ABC △的垂心C.若AB AC AP AB AC λ⎛⎫⎪=+⎪⎝⎭,,[)0λ∈+∞,则点P 是ABC △的内心 D.若()()()0PA PB BA PB PC CB PC PA AC +⋅=+⋅=+⋅=,则点P 是ABC △的外心 三、填空题12．若向量(cos ,sin )m αα=,(cos ,sin )n ββ=,m 与n 的夹角为3,则cos()αβ-=_____. 13．已知向量a ,b 满足3a =,2b =且()()25a b a b -⋅+=,则a 在b 方向上的投影向量为_____.14．已知三角形ABC 的三边长分别为a ,b ,c ,有以下三角形一定存在;②以2a ,2,b cb -+c -+1a -+为边长的三角形一定存在,其中正确的命题有________(填写所有正确命题的序号). 四、解答题15．已知向量a 与b 的夹角4θ=,且3a =,22b =. （1）求a b ⋅,()(2)a b a b +⋅-,b+;（2）a 与a b +的夹角的余弦值.16．已知函数()f x a b =⋅,其中()2cos ,2a x x =,(cos ,1)b x =,x ∈R . （1）求函数()y f x =的单调递减区间.（2）在ABC △中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,()1f A =-,a =(3,sin )m B =共线,求边长b 和c 的值.17．已知向量a 与向量b 的夹角为452a =,1b =.2b +的值;（2）若向量2a b λ-与3a b λ-的夹角是锐角,求实数 λ的取值范围.2b a c=-;1tan B +=③设ABC △的面积为S ,且()22233b a c +-=.这三个条件中任选一个,补充在下面的横线上.并加以解答.在ABC △中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且________. （1）求角B 的大小;（2）若b =B <<ABC 的周长的取值范围. 19．已知O 为坐标原点,对于函数()sin cos f x a x b x =+,称向量(,)OM a b =为函数()f x 的相伴特征向量,同时称函数()f x 为向量OM 的相伴函数.（1）设函数5π3π()sin sin 62g x x x ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,试求()g x 的相伴特征向量OM ;（2）记向量(1,ON =的相伴函数为()f x ,求当()f x =ππ,36x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,sin x 的值;（3）已知(2,3)A -,(2,6)B ,(OT =-为π()sin 6h x m x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的相伴特征向量,π()23x x h ϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,请问在()y x ϕ=的图象上是否存在一点P ,使得AP BP ⊥.若存在,求出P 点坐标;若不存在,请说明理由.参考答案1．答案：B 解析：i i(12i)2i 12i (12i)(12i)5z +-+===--+ 故z 在复平面内对应的点位于第二象限,故选:B 2．答案：A解析：(1,2)a =,(2,2)b =-,22(1,2)(2,2)(4,2)a b ∴+=+-=, (,1)c λ=-,//(2)c a b +,(,1)(4,2)λ∴-=,24λ∴=-,解得2λ=-, 故选:A. 3．答案：D解析：由在ABC △中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,知: 在A 中,由余弦定理得:2222cos a b c bc A =+-,故A 正确;=sin sin a B b A ∴=,故B 正确; 在C 中,cos cos a b C c B =+,∴由余弦定理得:2222a b c a b c ab +-=⨯+整理,得2222a a =,故C 正确; 在D 中,由余弦定理得:222222222222cos cos sin 2222a c b b c a a c b b c a a B b A a b c C ac bc c c+-+-+-+-+=⨯+⨯=+=≠,故D 错误. 故选:D. 4．答案：A 解析： 5．答案：A解析：A 中,“以直角三角形的一直角边为轴旋转所得的旋转体是圆锥”正确; 以直角梯形的直角腰为轴旋转所得的旋转体是圆台,故B 错误;圆锥只有一个底面,故C 错误;圆锥的侧面展开图为扇形,此扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长;故选:A 6．答案：B解析：如图,45B =︒,CD AB ⊥,则sin45sin45sin45CD BC a x ︒︒=⋅==︒,以C 为圆心,2CA b ==为半径画圆弧,要使ABC △有两个解,则圆弧和BA 边应该有两个交点,故CA CD >且CA CB <,即sin 452x x ︒<<,解得2x <<7．答案：B解析：由题意知60ADC ADB BDC ∠=∠+∠=︒,又因为60ACD ∠=︒,所以60DAC ∠=︒.所以2AD CD AC a ===.在BCD △中,1803010545DBC ∠=︒-︒-︒=︒,由正弦定理得sin BD BCD =∠sin 3sin 24BCD CD a a DBC ∠===∠,在ADB △中,由余弦定理得222223332cos 24428AB AD BD AD BD ADB a a a a ⎛⎫=+-⋅⋅∠=+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭, 所以AB =. 8．答案：C解析：由题意可知点P 为三角形ABC 的重心.因为12BF AF AB a b =-=-+,所以2212133233BP BF a b a b ⎛⎫==-+=-+ ⎪⎝⎭,所以x =y =x y +=因为3AB =,4AC =,π3BAC ∠=,所以π1cos 34632a b a b ⋅=⋅=⨯⨯=.又2AE EB =, 所以1111()3262ED EB BD a b a a b =+=+-=-+,所以2221111171179166336296189618BP ED a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⋅=-+⋅-+=+-⋅=⨯+⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9．答案：BD解析：对于A 选项,当两个复数都是实数时,可以比较大小,所以A 不正确; 对于B 选项,复数的实部与虚部都是0时,复数是0,所以B 正确;对于C 选项,当121,i z z ==,满足22120z z +=,但120z z ==,所以C 不正确;=+义,是单位圆上的点到()0,2-的距离,它的最大值为3,所以D 正确; 故选:BD. 10．答案：ACD解析：对于A,单位向量的模长相等,方向不一定相同,不一定是相等的向量,A 错误; 对于B,任意a ,b 根据向量加法的几何意义知b a b+≤+,当且仅当a ,b 共线同向时取“=”,B 正确;对于C,若//a b ,不一定存在实数λ,使a b λ=,如0a ≠且0b =时,命题不成立,C 错误; 对于D,若cos 0a b a b θ⋅==,则0a =或0b =或a b ⊥,∴D 错误.故选:ACD 11．答案：ABD解析：对于A:若0PA PB PC ++=,则PA PB PC +=-.以PA ,PB 为邻边作平行四边形P ADB ,M 为PD 的中点,则PA PB PD +=,所以PD PC =-,又2PD PM =,所以||2||PC PM =,故P 为ABC △的重心.所以A 正确;对于B:若PA PB PB PC ⋅=⋅,则0PA PB PB PC ⋅-⋅=, 即()0PB PA PC ⋅-=,即0PB CA ⋅=,所以PB CA ⊥. 同理PA PB PA PC ⋅=⋅,则PA BC ⊥,故P 为ABC △的垂心. 故B 正确;对于C:在边AB ,AC 上分别取点E ,F ,使AB AE AB=,AC AF AC=,则1AE AF ==,以AE ,AF为邻边作平行四边形AEGF ,则四边形AEGF 为菱形.连接AG ,则AG 为的角平分线,由AB AC AP AB AC λ⎛⎫⎪=+⎪⎝⎭,所以点P 在角平分线AG 上,故点P 的轨迹一定通过ABC △的内心. 所以C 错误;对于D:若22()()()0PA PB BA PA PB PA PB PA PB +⋅=+⋅-=-=,则PA PB =,同理有PB PC =,PC PA =,故P 为ABC △的外心.所以D 正确. 故选:ABD222cos sin 1,cos sin 1m n ααβ=+==+=()cos cos sin sin cos m n αβαβαβ⋅=+=-,又因为π1cos 1132m n m n ⋅=⨯⨯=⨯⨯=)αβ-=13．答案：b - 解析：14．答案：①③④解析：不妨设0a b c ≥≥>,b c a +>.0≥>,0=>,①真;②若4a =,3b =,2c =则222b c a +<,②假;022c a b c ++≥≥>,0222c a b c a bc +++⎛⎫+-=> ⎪⎝⎭,③真;1b -+>1c -+>10a -+>,(1)(1)(1)(1)(1)(1)10a b b c c a a b b c a c -++-+--+=-++-+--+=>, (1)(1)(1)(1)(1)(1)2()10b c c a a b b c a c a b b c -++-+--+=-++-+--+=-+>,(1)+(1)(1)(1)(1)(1)2()10c a a b b c a c a b b c a b -+-+--+=-++-+--+=-+>.④真.15．答案：（1）6-,-解析：（1）已知向量a 与b 的夹角θ=3a =,22b =,则3πcos 364a b a b ⎛⋅=⋅⋅=⨯=- ⎝⎭, 所以()22()(2)296281a b a b a a b b +⋅-=-⋅-=---⨯=-;()222292a b a b a a b b +=+=+⋅+=+=（2）a 与a b +的夹角的余弦值为()296cos ,35a a baa ba ab a a ba a b⋅++⋅-+====⨯⋅+⋅+ 16．答案：（1）()πππ,π63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z （2）2c =,3b =解析：（1）2()2cos 2f x a b x x =⋅=cos 221x x =+ π2cos 213x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,由题意有()π2π2π2π3k x k k ≤+≤+∈Z ,解得ππ6π3πk x k -+≤≤+()k ∈Z 所以单调递减区间为()πππ,π63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ;（2）π()2cos 2113f A A ⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭,πcos 213A ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,0πA <<,ππ233A ∴<+<ππ3A +=,A ∴=(3,sin )m B =与向量(2,sin )n C =共线,3sin 2sin C B ∴=,32c b ∴=,32b c =,2222π772cos 34a b c bc c==+-=,2c ∴=,3b =. （2）1λ<<6λ<<.解析：（1）cos 45112b a b a ⋅=︒=⨯=222224cos 45224a b a b a a b b +=+=+︒+=+=（2）2a b λ-与3a b λ-的夹角是锐角 ()()230a b a b λλ∴-⋅->,且2a b λ-与3a b λ-不能同向共线 2760λλ∴-+<且()23a b k ab λλ-≠-,0k >1λ∴<<6λ<< 18．答案：（1）π3B =（2）(+ 2b a c ==-整理得sin cos 2sin cos sin cos B C A B C B =-,即()2sin cos sin cos cos sin sin sin A B B C B C B C A =+=+=,sin 0A ≠,1cos 2B ∴=,0πB <<,π3B ∴=. 选②,()sin 11cos cos cos sin cos sin sin tan tan sin sin sin sin sin sin sin sin A B A B A BB AC A B A B A B A B A B +++=+===, sin sin sin C A B ∴=sin 0C ≠,sin B ∴=π0B <<,B ∴=选③,()2224333Sb ac +-=,()222sin 3B a c b∴=+-,3B=3cos B B =,. tanB ∴=,0πB <<,B ∴=（2）0B <<B =4sin sin sin sin 3a c b AC B =====, 24sin ,4sin 4sin 3a A c C A π⎛⎫∴===- ⎪⎝⎭, ABC ∴△的周长2π14sin4sin4sin4sin32l a b c A A A A A⎫⎛⎫=++=+-+=+++⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭1πcos26A A A⎫⎛⎫=++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭钝角ABC△2ππ3A<-<,又π2A<<,0A∴<<ππ66A∴<+<π1sin62A⎛⎛⎫+∈⎪⎝⎭⎝⎭(π3A⎛⎫∴+++⎪⎝⎭.ABC∴△的周长的取值范围是(+19．答案：（1）322OM⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭（2）sin x=（3）见解析解析：（1）5π3π5π5π()sin sin sin cos cos sin cos6266g x x x x x x⎛⎫⎛⎫=+--=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3()cos2g x x x∴=+()gx∴的相伴特征向量32OM⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭.（2）向量(1,ON=的相伴函数为()sinf x xx=+,()sin2sin3f x x x xπ⎛⎫==+=⎪⎝⎭πsin3x⎛⎫∴+=⎪⎝⎭.ππ,36x⎛⎫∈-⎪⎝⎭,ππ0,32x⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭,πcos3x⎛⎫∴+=⎪⎝⎭ππ1ππsin sin sin33233x x x x⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=++=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦（3）由(OT =-为π1()sin sin cos 62h x m x m x m x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭的相伴特征向量知:2m =-.所以ππππ()2sin 2sin 2323622x x x x h ϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=---=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭设1,2cos 2P x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,(2,3)A -,(2,6)B ,12,2cos 32AP x x ⎛⎫∴=+- ⎪⎝⎭,12,2cos 62BP x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,又AP BP ⊥, 0AP BP ∴⋅=,11(2)(2)2cos 32cos 6022x x x x ⎛⎫⎛⎫∴+-+--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.221144cos 18cos 18022x x x -+-+=, 2219252cos (*)224x x ⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭122cos 22x -≤≤,13192cos 222x ∴-≤-≤225192cos 422x ⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭又2254x -≤当且仅当 0x =时,192cos 22x ⎛⎫- ⎪⎝⎭4x 这时(*)式成立.∴在()y h x =图像上存在点(0,2)P ,使得AP BP ⊥。
四川省成都市2023-2024学年高一下学期三月月考数学试题含答案
高2023级高一下期数学3月月考（答案在最后）一、单选题（共8题，每题5分）1.75cos 75的值是（）A.2B.12C.34D.【答案】A 【解析】【分析】由已知利用二倍角的正弦公式以及特殊角的三角函数值即可求解．【详解】解：175cos 7522===．故选：A ．2.下列说法错误的是（）A.CD DC=B.1e ，2e 是单位向量，则12e e =C.若AB CD > ，则AB CD>D.任一非零向量都可以平行移动【答案】C 【解析】【分析】利用向量的有关概念即可.【详解】对于A 项，因为CD DC =-，所以||||CD DC = ，故A 项正确；对于B 项，由单位向量的定义知，121e e ==，故B 项正确；对于C 项，两个向量不能比较大小，故C 项错误；对于D 项，因为非零向量是自由向量，可以自由平行移动，故D 项正确．故选：C ．3.函数sin y x x =+，x ∈R 的最大值为（）A.1 B.C.12D.2【答案】D 【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数为π2sin 3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，根据正弦型函数的最值可求得结果.【详解】πsin 2sin 3y x x x ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭ ，当ππ2π,Z 32x k k +=+∈，即π2π,Z 6x k k =+∈时，sin y x x =+取得最大值2.故选：D.4.若函数()()sin f x A x ωϕ=+的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（）A.2sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ B.2sin 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C.2sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D.2sin 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】结合三角函数的的图象，分析三角函数的性质。
确定函数的解析式.【详解】如图：易知：2A =，2πππ4362T =-=⇒2πT =，即2π2πω=⇒1ω=.由π2sin 26ϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭⇒π2π3k ϕ=+，Z k ∈，0k =时，π3ϕ=.所以：()π2sin 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故选：C5.已知sin 0αα-=，则cos 2=α（）A.13-B.0C.13D.3【答案】A 【解析】【分析】由弦切互化可得tan α=，进而由余弦的二倍角公式以及齐次式的计算即可求解.【详解】由sin 0αα-=可得tan α=，故222222cos sin 1tan 121cos 2cos sin 1tan 123ααααααα---====-+++，故选：A6.已知α为锐角，且π3cos 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5πsin 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.35B.45-C.45D.45±【答案】C 【解析】【分析】先利用同角三角函数的基本关系求πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再利用诱导公式把5πsin 6α⎛⎫- ⎪⎝⎭用πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭来表示即可得到答案.【详解】因为α为锐角，且π3cos 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以π6α+也是锐角，所以π4sin 65α⎛⎫+== ⎪⎝⎭.5πππ4sin sin πsin 6665ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即5π4sin 65α⎛⎫-= ⎪⎝⎭.故选：C.7.函数()cos 26cos 1f x x x =-+的值域为（）A.9,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ B.9,42⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C.[4,8]- D.9,82⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】【分析】用余弦的二倍角公式化函数为关于cos x 的二次函数，结合二次函数性质可得值域．【详解】2239()2cos 6cos 2(cos 22f x x x x =-=--，因为1cos 1x -≤≤，所以4()8f x -≤≤．即值域为[4,8]-，故选：C ．8.设函数()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为T .若2π3πT <<，且对任意x ∈R ，()π03f x f ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭恒成立，则ω=（）A.23B.34C.45D.56【答案】B 【解析】【分析】由2π3πT <<可得213ω<<，由对任意x ∈R ，()π03f x f ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭恒成立，可得()min π03f x f ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，计算即可得.【详解】由()π03f x f ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，且()[]1,1f x ∈-，故π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即有()πππ2π342k k ω⋅+=+∈Z ，解得()364k k ω=+∈Z ，又2π3πT <<，0ω>，故2π2π3πω<<，即213ω<<，综上，34ω=.故选：B.二、多选题（共3题，每题6分﹔选错0分，若答案有三个.每个选项2分.若答案为两个，每个选项3分）9.下列各式中，值为12的是（）A.5sin6π B.2sin15cos15︒︒ C.22cos 151︒- D.tan2102︒【答案】ABD 【解析】【分析】根据诱导公式sin(-)sin παα=可判断A ；由二倍角的正弦公式sin22sin cos ααα=可计算B ；由二倍角的余弦公式2cos22cos 1αα=-可判断C ；由诱导公式tan()tan παα+=可计算D.【详解】对于A ：51sinsin(-sin 6662ππππ===，所以A 正确;对于B ：12sin15cos15sin302==，所以B 正确;对于C ：22cos 151cos302-==，所以C 不正确;对于D ：1tan210tan(180********))=+=⨯== ，所以D 正确，故选：ABD.10.已知函数()π3cos 262f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则下列选项正确的是（）A.函数()f x 的最小正周期为πB.点π,32⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心C.将函数()f x 图象向左平移π6个单位长度，所得到的函数为偶函数D.函数()f x 在区间π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增【答案】AB 【解析】【分析】利用余弦型函数的周期公式即得A 项，运用代入检验法将π22x +看成整体角，结合余弦函数图象对称性易得B 项，运用平移变换得到函数后，利用偶函数定义即可判C 项，将π26x +看成整体角，结合余弦函数图象单调性即可判断D 项，【详解】对于A 项，函数()f x 的最小正周期为2π2ππ||2Tω===，故A 项正确；对于B 项，当π3x =-时，ππ262x +=-，而πcos 02⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故点π,32⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心，即B 项正确；对于C 项，函数()f x 图象向左平移π6个单位长度，得到()πππcos 2cos 2sin 2662222g x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++=++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由于()()()33sin 2sin 22sin 222g x g x x x x ⎡⎛--=--+--+= ⎢⎥ ⎣⎦⎝⎭不恒为零，故该函数不是偶函数，即C 项错误；对于D 项，当π,06x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，πππ2,666z x ⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭，函数cos y z =在区间ππ,66⎛⎫- ⎪⎝⎭上没有单调性，故D 项错误.故选：AB .11.函数π()sin()(0,0,||2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，则（）A.π()3sin(26f x x =+B.()f x 的图象向右平移2π3个单位长度后得到的新函数是奇函数C.()f x 的图象关于点4π(,0)3-对称D.若方程3()2f x =在()0,m 上有且只有6个根，则10π(3π,3m ∈【答案】AD【解析】【分析】根据给定的函数图象，利用函数()f x 的解析式，再利用正弦函数的图象性质逐项判断即得.【详解】由图象得，3A =，3(0)3sin 2f ϕ==，而π||2ϕ<，则π6ϕ=，π()3sin()6f x x ω=+，由()f x 的图象过点5π(,0)12，得()5πππ2πZ 126k k ω+=+∈，解得()242Z 5k k ω=+∈，而()f x 的周期T 有5212T π>，即25212ππω>，解得1205ω<<，因此2ω=，π()3sin(2)6f x x =+，A 正确；函数()f x 的图象向右平移23π个单位长度后得到的新函数是2π(3y f x =-4ππ7π3sin(2)3sin(2)366x x =-+=-，非奇非偶函数，B 错误；4π5π()3sin()332f -=-=-，C 错误；显然π4π7π10π3(0)()(π)((2π)()(3π)()33332f f f f f f f f ========，若方程3()2f x =在(0,)m 上有且只有6个根，则10π(3π,]3m ∈，D 正确.故选：AD三、填空题（共3题，每题5分）12.若,αβ为锐角，且83sin ,cos 175αβ==，则cos()αβ+=_____．【答案】1385【解析】【分析】通过平方关系求出cos α和sin β的值，再根据两角和的余弦公式即可得解.【详解】因为,αβ为锐角，且83sin ,cos 175αβ==，所以154cos ,sin 175αβ==，所以1538413cos()cos cos sin sin 17517585αβαβαβ+=-=⨯-⨯=．故答案为：1385.13.sin47sin17cos30cos17︒︒︒︒-=______．【答案】12##0.5【解析】【分析】注意所求式中角的关系，对47 进行拆角为3017+ ，利用和角公式化简即得.【详解】由sin 47sin17cos30cos17- sin(3017)sin17cos30cos17+-=sin 30cos17cos30sin17sin17cos30cos17+-= sin 30cos171sin 30.cos172===故答案为：1.214.关于函数()cos 2sin 233f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎝⎭⎝⎭有下列三个结论，①2π是函数()f x 的周期；②函数()f x 在[0,]x π∈的所有零点和为1312π；③函数()f x 的值域[1,1]-；其中所有正确结论的编号是___________．【答案】①③【解析】【分析】根据三角函数的性质，函数零点的定义，以及值域的求法即可判断各结论的真假．【详解】对①，因为函数cos 2sin 222323f x x x πππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+--+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦∣cos 2sin 2()33x x f x ππ⎛⎫⎛⎫=---= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以2π是函数()f x 的周期，①正确;对②，令()0f x =，则tan 213x π⎛⎫-=± ⎪⎝⎭，解得234x k πππ-=±+，即1242x k ππ=+或71242x k ππ=+，Z k ∈，而[0,]x π∈，所以24x π=，724π，1324π，1924π，故函数()f x 在[0,]x π∈的所有零点和为53π，②错误；对③，设cos 2sin 233y x x ππ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2212cos 2sin 21|sin 41333y x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---=--≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∣，所以11y -≤≤，③正确．故答案为：①③【点睛】本题主要考查三角函数的性质的应用，函数零点的理解，以及值域的求法应用，属于中档题．四、解答题（15题13分，16和17题15分，18和19题17分）15.已知1 tan42πα⎛⎫+=⎪⎝⎭.（1）求tanα的值；（2）求2sin2cos1cos2ααα-+的值.【答案】（1）1 3-（2）5 6-【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换的正切和角公式求解即可.（2）结合二倍角公式进行化简，再结合弦切互化即可求值.【小问1详解】因为1tan42πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，所以1tan1tan41tan2πααα+⎛⎫+==⎪-⎝⎭，解得1tan3α=-.【小问2详解】因为222sin2cos2sin cos cos2sin cos15tan1cos22cos2cos26ααααααααααα---===-=-+所以2sin2cos1cos2ααα-+的值为56-.16.化简求值（1）已知π1πcos,0,232x x⎛⎫⎛⎫+=-∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求tan2x的值（2）已知ππ0,,,022αβ⎛⎫⎛⎫∈∈-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且3cos(),sin510αββ-==-．求α【答案】（1）7；（2）π4.【解析】【分析】（1）先求得tan x =，再由倍角公式求tan 2x 的值；（2）先求得sin(),cos αββ-的值，再求得()sin sin ααββ=-+的值，从而可求得α的值.【小问1详解】由π1cos 23x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭得1sin 3x =，因为π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 3x =，tan x =，故22tan tan 211tan 718x x x ===--.【小问2详解】因为ππ0,,22αβ⎛⎫⎛⎫∈∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()0,παβ-∈，所以472sin()510αββ-==所以()()()sin sin sin cos cos sin ααββαββαββ=-+=-+-43(5105102=+-=因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π4α=.17.一个大风车的半径为8米，风车按逆时针方向匀速旋转，并且12分钟旋转一周，它的最低点离地面2米，设风车开始旋转时其翼片的一个端点P 在风车的最低点，求：（1）点P 离地面距离h （米)与时间t （分钟）之间的函数关系式；（2）在第一圈的什么时间段点P 离地面的高度超过14米？【答案】（1）()8sin()1062h t t ππ=-+，0t ；（2）48t <<．【解析】【分析】（1）设()sin()h t A t b ωϕ=++，由题意求得各参数值，得解析式；（2）解不等式()14h t >可得．【详解】（1）设()sin()h t A t b ωϕ=++，由题意得：8A =，12T =，10b =；则26T ππω==，当0=t 时，2h =，即sin 1ϕ=-；因此，2πϕ=-；因此，()8sin()1062h t t ππ=-+，0t ；（2）由题意：()14h t >，即：8sin(101462t ππ-+>；则：1cos 62t π<-；又因为012t ，所以48t <<．18.已知数2()2sin 1(0)6212x f x x πωπωω⎛⎫⎛⎫=+++-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的相邻两对称轴间的距离为2π.（1）求()f x 的解析式；（2）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，当,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()g x 的值域；（3）对于第（2）问中的函数()g x ，记方程4()3g x =在4,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的根从小到大依次为12,,n x x x ，若m =1231222n n x x x x x -+++++ ，试求n 与m 的值.【答案】（1）()2sin 2f x x=（2）[-（3）205,3n m π==【解析】【分析】（1）先整理化简得()2sin f x x ω=，利用周期求得2ω=，即可得到()2sin 2f x x =；（2）利用图像变换得到()sin()243g x x π=-，用换元法求出函数()g x 的值域；（3）由方程4()3g x =，得到2sin(433x π-=，借助于正弦函数sin y x =的图象，求出n 与m 的值.【小问1详解】由题意，函数21())2sin ()1626f x x x ππωω⎡⎤=+++-⎢⎥⎣⎦)cos()2sin()2sin 6666x x x x ππππωωωω=+-+=+-=因为函数()f x 图象的相邻两对称轴间的距离为2π，所以T π=，可得2ω=.故()2sin 2f x x=【小问2详解】将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，可得2sin(2)3y x π=-的图象.再把横坐标缩小为原来的12，得到函数()2sin(43y g x x π==-的图象.当,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，24,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当432x ππ-=-时，函数()g x 取得最小值，最小值为2-，当433x ππ-=时，函数()g x ，故函数()g x 的值域⎡-⎣.【小问3详解】由方程4()3g x =，即42sin(4)33x π-=，即2sin(433x π-=，因为4,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得4,533x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，设43x πθ=-，其中,53πθπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即2sin 3θ=，结合正弦函数sin y x =的图象，可得方程2sin 3θ=在区间,53ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦有5个解，即5n =，其中122334453,5,7,9θθπθθπθθπθθπ+=+=+=+=，即12233445443,445,447,44933333333x x x x x x x x ππππππππππππ-+-=-+-=-+-=-+-=解得1223344511172329,,,12121212x x x x x x x x ππππ+=+=+=+=所以m =()()()()1212345233445223220x x x x x x x x x x x x x π=++++++++++++= .综上，2053n m π==，【点睛】（1）三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于sin y x =或cos y x =的性质解题；（2）求y =A sin(ωx +φ)+B 的值域通常用换元法；19.已知函数ππ()4sin cos 11212f x x x ωω⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中0ω>．（1）若()()1212min π(),2f x f x f x x x ≤≤-=，求()f x 的对称中心；（2）若24ω<<，函数()f x 图象向右平移π6个单位，得到函数()g x 的图象，π3x =是()g x 的一个零点，若函数()g x 在[,]m n （,R m n ∈且m n <）上恰好有8个零点，求n m -的最小值；（3）已知函数π()cos 22(0)6h x a x a a ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭，在第（2）问条件下，若对任意1π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，存在2π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12h x g x =成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()ππ1Z 122k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭,（2）10π9（3）[)2,0-【解析】【分析】（1）利用倍角公式化简函数解析式，由已知确定最小正周期，可得ω，整体代入法求()f x 的对称中心；（2）由图象平移变换得到函数()g x ，结合π03g ⎛⎫= ⎪⎝⎭和24ω<<，得3ω=，根据()g x 的零点个数可得35T n m T <-<，要使n m -最小，则,m n 恰好为()g x 的零点，由此求n m -的最小值；（3）根据已知，在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，()h x 的值域是()g x 值域的子集，求出这两个值域，由包含关系构造不等式示结果.【小问1详解】函数πππ()4sin cos 12sin 2112126f x x x x ωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，若()()1212min π(),2f x f x f x x x ≤≤-=，则1x 与2x 是相邻的最小值点和最大值点，()f x 的最小正周期为2ππ2⨯=，由2ππ2ω=，解得1ω=，得π()2sin 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，令()π2πZ 6x k k +=∈，解得()ππZ 122k x k =-+∈，此时()1f x =，所以()f x 的对称中心为()ππ1Z 122k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭,.【小问2详解】()πππ122sin 212sin 2π16666g x f x x x ωωω⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，π2π12ππ2sin π12sin 1033636g ωωω-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，ππ1sin 362ω⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以()ππ7π2πZ 366k k ω+=+∈或()ππ11π2πZ 366k k ω+=+∈解得()36Z k k ω=+∈或()56Z k k ω=+∈，又24ω<<，得3ω=，所以()52sin 6π16g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，函数最小正周期3π2π6T ==，令()0g x =，即51sin 6π62x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，解得()11ππZ 93k x k =+∈或()22πZ 3k x k =∈，若()g x 在[,]m n 上恰好有8个零点，则35T n m T <-<，要使n m -最小，则,m n 恰好为()g x 的零点，n m -的最小值为ππ10π3399⨯+=.【小问3详解】由（2）知，()52sin 6π16g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，设()h x 在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为A ，()g x 在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为B ，若对任意1π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，存在2π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12h x g x =成立，则A B ⊆，当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，5π5π2π6,663x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，[]5πsin 61,16x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，则[]1,3B =-，当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，πππ2,663x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，π1cos 2,162x ⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则3,2A a a ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦，由A B ⊆可得1332a a -≥-⎧⎪⎨-≤⎪⎩，又a<0，解得20a -≤<，所以实数a 的取值范围为[)2,0-.【点睛】方法点睛：1.若()g x 在[,]m n 上恰好有8个零点，要使n m -最小，则需要,m n 恰好为()g x 的零点；2.1π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，存在2π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12h x g x =，则在定义区间内()h x 的值域是()g x 值域的子集.。
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河南省太康县2016-2017学年高一数学下学期第三次月考试题
考试时间：120分钟
一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）
1.已知变量x，y线性负相关，且由观测数据算得样本平均数，，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）
A．y = 0.4x + 2.4 B．y = 2x + 2.4 C．y = ﹣2x + 9.5 D．y =﹣0.2x + 4.4 2.对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是（）
A．46，45，56 B．46，45，53 C．47，45，56 D．45，47，53
3.我校15届高二有名学生, 现采用系统抽样方法, 抽取人做问卷调查, 将人按
随机编号, 则抽取的人中, 编号落入区间的人数为（）.
4.已知变量x，y之间的线性回归方程为=﹣0.7x+10.3，且变量x，y之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（）
A．变量x，y之间呈现负相关关系
B．m=4
C．可以预测，当x=11时，y=2.6
D．由表格数据知，该回归直线必过点（9，4）
5.从1，2，3，4，5，6这6个数字中任取三个数字，其中：①至少有一个偶数与都是偶数；
②至少有一个偶数与都是奇数；③至少有一个偶数与至少有一个奇数；④恰有一个偶数与恰有两个偶数．上述事件中，是互斥但不对立的事件是（）
A．①B．② C．③D．④
6.设ω＞0，函数的图象向左平移
个单位后与原图象重合，则ω的最
小值是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．3
7.运行如图所示的程序框图，则输出的结果是 ( )
(A)
(B)
(C)
(D) 0
8.函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（其中）的图象如图所示，为了得到
的图象，只需将f （x ）的图象（ ）
A ．向左平移个长度单位
B ．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位
9.函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（）
A． B．
B．C． D．
10.已知向量与不共线，且向量=+m， =n+，若A，B，C三点共线，则实数m，n（）
A．mn = 1 B．mn = ﹣1 C m+n = 1 D．m+n =﹣1
11.计算机中常用16进制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号与10进制得对应关系如下表：
例如用16进制表示D+E＝1B，则A×B=( )
（A） 6E (B) 7C (C)5F (D) B0
12.已知的最小正周期是，将图象向左平移
个单位长度后所得的函数图象过点，则（）
（A）在区间上单调递减（B）在区间上单调递增（C）在区间上单调递减（D）在区间上单调递增二．填空题（共20分）
13.已知样本数据a1，a2，a3，a4，a5的方差s2=（a12+a22+a32+a42+a52﹣80），
则样本数据2a1+1，2a2+1，2a3+1，2a4+1，2a5+1的平均数为．
14. 已知= （1，—2）， = （1，λ），且a与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围
．
15.已知向量，的夹角为，且|=1，， |=．
16.若单位向量满足，则在方向上投影为．
三、解答题（本题共6道小题，70分）
17.（10分）某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点．不包括右端点．如第一组表示收入在[1000，1500）（1）求居民收入在[3000，3500）的频率；
（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数及样本数据的平均数；
（3）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中按分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[2500，3000）的这段应抽取多少人？
18.（12分）甲、乙二名射击运动员参加2011年广州举行亚运会的预选赛，他们分别射击了4次，成绩如下表（单位：环）
（1）从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率；
（2）现要从中选派一人参加决赛，你认为选派哪位运动员参加比较合适？请说明理由．
19.（12分）已知函数f（x）=x2﹣2（a﹣2）x﹣b2+13．
（1）先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子（骰子六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），
骰子向上的数字依次记为a，b，求方程f（x）=0有两个不等正根的概率；
（2）如果a∈[2，6]，求函数f（x）在区间[2，3]上是单调函数的概率．
20.（12分）某企业上半年产品产量与单位成本资料如表：
且已知产量x与成本y具有线性相关关系（a，b用小数表示，结果精确到0.01）．
（1）求出y关于x的线性回归方程（给出数据x i y i=1481）；
（2）指出产量每增加1000件时，单位成本平均变动多少？
（3）假定产量为6000件时，单位成本为多少元？
21.（12分）
设f（α）=
（1）化简f（α），并求f（﹣）；
（2）若f（α）=，求cosα．
22.（12分）已知函数的图象过点，且图象
上与P点最近的一个最高点坐标为.
⑴求函数的解析式；⑵指出函数的增区间；
⑶若将此函数的图象向左平行移动个单位长度后，再向下平行移动2个单位长度得到
的图象，求在上的值域.
高一数学答案及解析 2017-5-11
1-12 CABBD DBDBA AB
13. 914.(﹣∞，—2) U（—2，） 15.316. ﹣1
17.(10分) 解：（1）月收入在[3000，3500）的频率为0.0003×500=0.15；……2分
（2）从左数第一组的频率为0.0002×500=0.1；
第二组的频率为0.0004×500=0.2；
第三组的频率为0.0005×500=0.25；
∴中位数位于第三组，设中位数为2000+x，则x×0.0005=0.5﹣0.1﹣0.2=0.2⇒x=400．
∴中位数为2400（元）
由1250×0.1+1750×0.2+2250×0.25+2750×0.25+3250×0.15+3750×0.05=2400，
样本数据的平均数为2400（元）；……6分
（3）月收入在[2500，3000）的频数为0.25×10000=2500（人），
∵抽取的样本容量为100．∴抽取比例为=，
∴月收入在[2500，3000）的这段应抽取2500×=25（人）．……10分
18 (12分) 解：（1）记甲被抽到的成绩为x，乙被抽到的成绩为y，用（x，y）表示从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个的基本事件，记甲的成绩比乙高为事件A，
从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，有（5，6）、（5，7）、（5，8）、（5，9）、（6，6）、（6，7）、（6，8）、（6，9）、（9，6）、（9，7）、（9，8）、（9，9）、（10，6）、（10，7）、（10，8）、（10，9），共16个基本事件；
则A包含（9，6）、（9，7）、（9，8）、（10，6）、（10，7）、（10，8）、（10，9），
共7个基本事件；
P（A）=；……6分
（2）甲成绩的平均数为==7.5
乙成绩的平均数为==7.5，
甲成绩的方差S12==4.25，
乙成绩的方差S22==1.25，
比较可得， =，而S12＞S22，即乙的成绩比较稳定；
选派乙参加决赛比较合适．……12分
19. (12分) 解：（1）如果先后抛掷的一枚均匀的骰子所得的向上的点数记为（a，b），则基本事件总数n=6×6=36，
设事件A表示“f（x）=x2﹣2（a﹣2）x﹣b2+13=0有两个不等正根“，
则事件A满足：，
满足事件A的基本事件有：（5，3），（6，1），（6，2），（6，3），共有m=4个，
∴方程f（x）=0有两个不等正根的概率p（A）=……6分
（2）设事件B表示“函数f（x）在区间[2，3]上是单调函数”，
∵a∈[2，6]，f（x）=x2﹣2（a﹣2）x﹣b2+13的对称轴为x=a﹣2∈[0，4]，
区间长为4，
f（x）在区间[2，3]上为增函数时，只要对称轴不在[2，3]上即可，
∴对称轴不在[2，3]的区间长为3，
根据几何概型定义得函数f（x）在区间[2，3]上是单调函数的概率P（B）=……12分20. (12分) 解：解：（1）==3.5， ==71．
=22+32+42+32+42+52=79， =1481，
∴b==≈﹣1.82．
A==71+1.82×3.5=77.37．
∴y关于x的线性回归方程是=﹣1.82x+77.37．……6分
（2）∵b=﹣1.82＜0，产量x的单位为千件，
∴产量每增加1000件时，单位成本平均减少1.82元．……9分
（3）当x=6时， =﹣1.82×6+77.37=66.45．
∴当产量为6000件时，单位成本大约为66.45元．……12分
21. (12分) 解：（1）f（α）===﹣tanα，
可得：f（﹣）=﹣tan（﹣）=tan=．……5分
（2）∵f（α）=﹣tanα=，可求：tanα=﹣，
∴cos2α=
∵tanα=﹣∴α为第二或第四象限角
当α为第二象限角时： cosα = -
当α为第四象限角时：cosα = ……12分
22. (12分)⑴由已知可得
由得
……4分
⑵由
增区间是……6分
⑶……8分
的值域为……12分。