2013届高考数学第一轮复习精品学案第8讲：空间几何体

2013年普通高考数学科一轮复习精品学案第8讲空间几何体一．课标要求1．利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；2．能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会使用材料（如：纸板）制作模型，会用斜二侧法画出它们的直观图；3．通过观察用两种方法（平行投影与中心投影）画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式；4．完成实习作业，如画出某些建筑的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）；二．命题走向近几年来，立体几何高考命题形式比较稳定，题目难易适中，解答题常常立足于棱柱、棱锥和正方体位置关系的证明和夹角距离的求解，而选择题、填空题又经常研究空间几何体的几何特征和体积表面积。

因此复习时我们要首先掌握好空间几何体的空间结构特征。

培养好空间想能力。

预测2013年高考对该讲的直接考察力度可能不大，但经常出一些创新型题目，具体预测如下：（1）题目多出一些选择、填空题，经常出一些考察空间想象能力的试题；解答题的考察位置关系、夹角距离的载体使空间几何体，我们要想像的出其中的点线面间的位置关系；（2）研究立体几何问题时要重视多面体的应用，才能发现隐含条件，利用隐蔽条件解题。

三．要点精讲1．柱、锥、台、球的结构特征（1）柱棱柱：一般的，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱；棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称为底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。

底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。

棱柱与圆柱统称为柱体；（2）锥棱锥：一般的有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥；这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。

底面是三角锥、四边锥、五边锥……的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；旋转轴为圆锥的轴；垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面；斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。

棱锥与圆锥统称为锥体。

（3）台棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台；原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；棱台也有侧面、侧棱、顶点。

圆台：用一个平行于底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台；原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面；圆台也有侧面、母线、轴。

圆台和棱台统称为台体。

（4）球以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称为球；半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径。

（5）组合体由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体。

2．空间几何体的三视图三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形。

他具体包括：（1）正视图：物体前后方向投影所得到的投影图； 它能反映物体的高度和长度；（2）侧视图：物体左右方向投影所得到的投影图； 它能反映物体的高度和宽度；（3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图； 它能反映物体的长度和宽度； 3．空间几何体的直观图 （1）斜二测画法①建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的OX ，OY ，建立直角坐标系；②画出斜坐标系，在画直观图的纸上（平面上）画出对应的O ‟X ‟,O ‟Y ‟,使'''X OY ∠=450（或1350），它们确定的平面表示水平平面；③画对应图形，在已知图形平行于X 轴的线段，在直观图中画成平行于X …轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y 轴的线段，在直观图中画成平行于Y …轴，且长度变为原来的一半；④擦去辅助线，图画好后，要擦去X 轴、Y 轴及为画图添加的辅助线（虚线）。

（2）平行投影与中心投影平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点。

四．典例解析题型1：空间几何体的构造例1．（1）平面α的斜线 AB 交α于点 B ，过定点 A 的动直线l 与 AB 垂直，且交α于点 C ，则动点C 的轨迹是（ ）A ．一条直线B ．一个圆C ．一个椭圆D ．双曲线的一支（2）如图，定点A 和B 都在平面α内，定点,,P PB αα∉⊥ C 是α内异于A 和B 的动点，且.PC AC ⊥那么，动点在平面α内的轨迹是（ ）A ．一条线段，但要去掉两个点B ．一个圆，但要去掉两个点C ．一个椭圆，但要去掉两个点D ．半圆，但要去掉两个点（3）正方体A BCD_A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点M 是BC 的中点，点P 是平面A BCD 内的一个动点，且满足PM=2，P 到直线A 1D 1P 的轨迹是[ ]A .圆 B.双曲线 C.两个点 D.直线 解析：（1）设l 与l '是其中的两条任意的直线，则这两条直线确定一个平面，且斜线AB 垂直这个平面，由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知过定点A 与AB 垂直所有直线都在这个平面内，故动点C 都在这个平面与平面α的交线上，故选A 。

（2）答案为B 。

（3）解析： 点P 到A 1D 1P 到A D 的距离为1，满足此条件的P 的轨迹是到直线A D 的距离为1的两条平行直线，又2PM = ，∴满足此条件的P 的轨迹是以M 为圆心，半径为2的圆，这两种轨迹只有两个交点.故点P 的轨迹是两个点。

选项为C 。

点评：该题考察空间内平面轨迹的形成过程，考察了空间想象能力。

例2．两相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面在ABCD 与正方体的某一个平面平行，且各顶点．．．均正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．无穷多个解析：由于两个正四棱锥相同，所以所求几何体的中心在正四棱锥底面正方形ABCD 中心，有对称性知正四棱锥的高为正方体棱长的一半，影响几何体体积的只能是正四棱锥底面正方形ABCD 的面积，问题转化为边长为1的正方形的内接正方形有多少种，所以选D 。

点评：本题主要考查空间想象能力，以及正四棱锥的体积。

正方体是大家熟悉的几何体，它的一些内接或外接图形需要一定的空间想象能力，要学会将空间问题向平面问题转化。

题型2：空间几何体的定义例3．如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题．．．是（ B ） Ａ．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等Ｂ．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补 Ｃ．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆 Ｄ．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上 解析：因为“等腰四棱锥”的四条侧棱都相等，所以它的顶点在底面的射影到底面的四个顶点的距离相等，故A ，C 正确，且在它的高上必能找到一点到各个顶点的距离相等，故D 正确，B 不正确，如底面是一个等腰梯形时结论就不成立。

故选B点评：抓住本质的东西来进行判断，对于信息要进行加工再利用。

例4．设命题甲：“直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，平面ACB 1与对角面BB 1D 1D 垂直”；命题乙：“直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体”.那么，甲是乙的（ ） A.充分必要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件解析：若命题甲成立，命题乙不一定成立，如底面为菱形时。

若命题乙成立，命题甲一定成立。

答案为C 。

点评：对于空间几何体的定义要有深刻的认识，掌握它们并能判断它们的性质。

题型3：空间几何体中的想象能力例5．图9—12表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB 、CD 、EF 和GH 在原正方体中相互异面的有 对.解析：相互异面的线段有AB 与CD ，EF 与GH ，AB 与GH 3对.点评：解决此类题目的关键是将平面图形恢复成空间图形，较强的考察了空间想象能力。

例6．如图9—1，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别为各边的中点，G ，H ，I ，J 分别为AF ，AD ，BE ，DE 的中点.将△ABC 沿DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度数为（ ） A ．90° B ．60° C ．45° D ．0° 答案：B解析：将三角形折成三棱锥如图9—43所示.HG 与IJ 为一对异面直线.过点D 分别作HG 与IJ 的平行线，即DF 与AD .所以∠ADF 即为所求.因此，HG 与IJ 所成角为60°。

点评：在画图过程中正确理解已知图形的关系是关键。

通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力。

而对空间图形的处理能力是空间想象力深化的标志，是高考从深层上考查空间想象能力的主要方向。

题型4：斜二测画法例7．画正五棱柱的直观图，使底面边长为3cm 侧棱长为5cm 。

解析：先作底面正五边形的直观图，再沿平行于Z 轴方向平移即可得。

作法：（1）画轴：画X′，Y′，Z′轴，使∠X′O′Y′=45°（或135°），∠X′O′Z′=90°。

（2）画底面：按X′轴，Y′轴画正五边形的直观图ABCDE 。

（3）画侧棱：过A 、B 、C 、D 、E 各点分别作Z′轴的平行线，并在这些平行线上分别截取AA′，BB′，CC′，DD′，EE 。

′（4）成图：顺次连结A′，B′，C′，D′，F′，加以整理，去掉辅助线，改被遮挡的部分为虚线。

点评：用此方法可以依次画出棱锥、棱柱、棱台等多面体的直观图。

例8．C B A '''∆是正△ABC 的斜二测画法的水平放置图形的直观图，若C B A '''∆的面积为3，那么△ABC 的面积为_______________。

解析：62。

点评：该题属于斜二测画法的应用，解题的关键在于建立实物图元素与直观图元素之间的对应关系。

特别底和高的对应关系。

题型5：平行投影与中心投影例9．（1）如图，在正四面体A －BCD 中，E 、F 、G 分别是三角形ADC 、ABD 、BCD 的中心，则△EFG 在该正四面体各个面上的射影所有可能的序号是（ ）A ．①③B ．②③④C ．③④D ．②④ （2）如图9—15（1），E 、F 分别为正方体的面ADD 1A 1、面BCC 1B 1的中心，则四边形BFD 1E 在该正方体的面上的射影可能是图9—15（2）的 （要求：把可能的图的序号都．填上）.解析：（1）正四面体各面的中点在四个面上的射影不可能落到正四面体的边上，所以①②不正确，根据射影的性质E 、F 、G 、三点在平面ABC 内的射影形状如“④”所示，在其它平面上的射影如“③”所示。