第51讲 导数的应用(解析版)

中等已测：2438次正确率：74.8 %1.若是函数的极值点，则的极⼩值为（ ）A.B.C.D.考点：函数在某点取得极值的条件知识点：函数的极⼤值、极⼩值、函数极值与导数的关系答案：A解析：由题可得因为，所以，，故令，解得或，所以在上单调递增，在上单调递增，在单调递减所以极⼩值，故选.中等已测：2754次正确率：70.2 %2.函数的图象如图所⽰,则下列结论成⽴的是( )A.B.C.D.考点：利⽤导数研究函数的单调性、利⽤导数判断含参函数的单调性知识点：函数图象与导函数图象之间的关系、函数单调性和导数的关系答案：A解析：函数的图象在轴上的截距为正值,.,且函数在上单调递增,上单调递减,上单调递增,的解集为,,⼜均为正数,,,x =−2f (x )=(x +ax −1)e 2x −1f (x )−1−2e −35e −31f (x )=(2x +a )e +(x +ax −1)e =[x +(a +2)x +a −1]e ′x −12x −12x −1f (−2)=0′a =−1f (x )=(x −x −1)e 2x −1f (x )=(x +x −2)e ′2x −1f (x )>0′x <−2x >1f (x )(−∞,−2)(1,+∞)(−2,1)f (x )=f (1)=(1−1−1)e =−11−1A f (x )=ax +bx +cx +d 32a >0,b <0,c >0,d >0a >0,b <0,c <0,d >0a <0,b <0,c >0,d >0a >0,b >0,c >0,d <0∵f (x )y ∴d >0∵f (x )=3ax +2bx +c ′2f (x )=ax +bx +cx +d 32(−∞,x )1(x ,x )12(x ,+∞)2∴f (x )<0′(x ,x )12∴a >0x ,x 12∴ >03a c − >03a 2b可得.较难已测：1807次正确率：39.2 %3.已知函数有两个极值点，.若，则关于的⽅程的不同实根个数为（ ）A.B.C.D.考点：函数在某点取得极值的条件、利⽤导数研究函数的极值知识点：三次函数的极值与零点的关系答案：A 解析：，根据已知，得有两个不同的实根，，且，根据三次函数的性质可得是函数的极⼤值点，⽅程必然有或.由于且，如图，可知⽅程有两个实根，有⼀个实根，故⽅程共有个不同实根．⼀般已测：4239次正确率：69.7 %4.设函数，其中，存在使得成⽴，则实数的最⼩值为( )A.B.C.D.考点：利⽤导数研究曲线上某点的切线⽅程、利⽤分离变量求最值解决不等式存在性问题知识点：函数在某点处的切线、点到直线的距离答案：C解析：函数可以看作动点与点的距离的平⽅，点在曲线上，点在直线上，问题转化为直线上的点到曲线上的点的距离的最⼩值，由求导可得，令，解得，此时，则，c >0,b <0f (x )=x +ax +bx +c 32x 1x 2f (x )=x <x 112x 3(f (x ))+2af (x )+b =023456f (x )=3x +2ax +b ′23x +2ax +b =02x 1x 2x <x 12x 1f (x )3(f (x ))+2af (x )+b =02f (x )=x 1f (x )=x 2f (x )=x 1x <x 12f (x )=x 23(f (x ))+2af (x )+b =023f (x )=(x −a )+(lnx −2a )222x >0,a ∈R x 0f (x )≤b 0b 51 52 541f (x )P (x ,lnx )2Q (a ,2a )P y=2lnx Q y =2x y =2lnx y = ′x 2y =2′x =1y =2ln 1=0M (1,0)所以点到直线的距离，即为直线与曲线之间最⼩的距离，故。

由于存在使得，则，即，故选：.中等已测：3612次正确率：57.1 %5.如图所⽰的是函数的⼤致图象，则等于（ ）A.B.C.D.考点：求函数的零点、函数零点与⽅程根的关系知识点：函数的零点、函数零点具有的性质答案：C解析：由图象知的根为，．．的两个根为和．．．．为的两根，..中等已测：3430次正确率：72.3 %6.设函数(,为⾃然对数的底数).若曲线上存在点使得,则的取值范围是( )A.B.C.D.考点：利⽤导数研究函数的单调性知识点：函数单调性和导数的关系M (1,0)y=2x d == 2+(−1)22252 5f (x ) =d = min 254x 0f (x )≤b 0f (x ) ≤b min b ≥ 54C f (x )=x +bx +cx +d 32x +x 1222 3234 38 316f (x )=00,1,2∴d =0∴f (x )=x +bx +cx =x (x +bx +c )=0322∴x +bx +c =0212∴b =−3,c =2∴f (x )=x −3x +2x 32∴f (x )=3x −6x +2′2∵x ,x 123x −6x +2=02∴x +x =2,x x = 121232∴x +x =(x +x )−2x x =2−2× = 12221221223238f (x )=e +x −a x a ∈R e y =sinx (x ,y )00f (f (y ))=y 00a [1,e ][e −1,1]−1[1,e +1][e −1,e +1]−1答案：A 解析：因为,⽽,,所以,因为为单调增函数令则若,那么即，⽭盾同理，⽭盾，所以,①.所以在上有解,令,所以,设,则,所以当时,,当时,,所以.所以在上单调递增.所以原题中的⽅程有解必须⽅程①有解.所以.故选.中等已测：368次正确率：61.6 %7.若存在,使得不等式成⽴,则实数的取值范围是( )A.B.C.D.考点：利⽤导数研究函数的单调性、导数在最⼤值、最⼩值问题中的应⽤知识点：利⽤导数求函数的最值、利⽤最值解不等式恒成⽴问题答案：B 解析：在上有解,在上有解,令,,则．则,当时,,当时,,在上单调递减,在上单调递增,当时,取得最⼩值．y =sinx ∈[−1,1]00f (x )≥0f (f (y ))=y 00y ∈[0,1]0f (x )f (y )=t ,0f (t )=y0y >t 0f (t )=y ,0t >y 0y <t 0y =t0故 =x e +x −a x x ∈[0,1]e +x −x =a x 2x ∈[0,1]g (x )=e +x −x x 2g (x )=e +1−2x ′x h (x )=e +1−2x x h (x )=e −2′x x ∈(0,ln 2)h (x )<0′x∈(ln 2,1)h (x )>0′g (x )≥g (ln 2)=3−2ln 2>0′′g (x )[0,1]g (0)≤a ≤g (1)A x ∈(−1,1]e −ax <a 2x a (−∞, )e 2( ,+∞)e 2(−∞, )e 1( ,+∞)e1∵e −ax <a 2x(−1,1]∴a > x +1e 2x (−1,1]f (x )= x +1e 2xx ∈(−1,1]a >f (x )min f (x )= ′(x +1)2e (2x +1)2x ∴x ∈(−1,− )21f (x )<0′x ∈(− ,1]21f (x )>0′∴f (x )(−1,− ]21(− ,1]21∴x =− 21f (x )f (− )= 21e 2．故选:．⼀般已测：4365次正确率：93.7 %8.如果函数在区间上单调递减,那么的最⼤值为( )A.B.C.D.考点：已知单调区间求参数的取值范围、根据平⾯区域写出相应的不等式（组）知识点：函数单调性和导数的关系、线性规划问题的有关概念答案：B 解析：由已知得,⼜对任意的,所以 ,即.画出该不等式组表⽰的平⾯区域如图中阴影部分所⽰,令,则当时,,当时,.由线性规划的相关知识知,只有当直线与曲线相切时,取得最⼤值.由,解得,所以.较难已测：552次正确率：49.2 %9.设,其中均为实数.下列条件中,使得该三次⽅程仅有⼀个实根的是.(写出所有正确条件的编号)①;②;③;④;⑤.考点：转化为两个图象交点来处理函数零点问题、利⽤导数研究函数零点问题知识点：函数的零点、三次函数的极值与零点的关系答案：①③④⑤解析：令,则.对于①,由,得,,,,函数的图象与轴只有⼀个交点,∴a > e 2B f (x )= (m −2)x +(n −8)x +1(m ≥0,n ≥0)212[ ,2]21mn 161825281f (x )=(m −2)x +n −8′x ∈[ ,2],f (x )≤021′ {f ( )≤0′21f (2)≤0′ ⎩⎨⎧m ≥0,n ≥0m +2n ≤182m +n ≤12mn =t n =0t =0n ≠0m =n t 2m +n =12m =n t t {− =− n 2t 216− n = 21nt n =6,t =18(mn ) =18max x +ax +b=03a ,b a=−3,b =−3a =−3,b =2a =−3,b >2a =0,b =2a =1,b =2f (x )=x +ax +b 3f (x )=3x +a ′2a =b =−3f (x )=x −3x −33f (x )=3(x +1)(x −1)′f (x ) =f (−1)=−1<0极大值f (x ) =f (1)=−5<0极小值f (x )x故仅有⼀个实根;对于②,由,得,,,,函数的图象与轴有两个交点,故有两个实根;对于③,由,得,,,,函数的图象与轴只有⼀个交点,故仅有⼀个实根;对于④,由,得,,在上单调递增,函数的图象与轴只有⼀个交点,故仅有⼀个实根;对于⑤,由,得,,在上单调递增,函数的图象与轴只有⼀个交点,故仅有⼀个实根.⼀般已测：964次正确率：85.1 %10. 设，，若时恒有，则．考点：函数在某点取得极值的条件知识点：函数极值与导数的关系答案：解析：当时，，则，，令，则在时恒成⽴，，则应为极⼩值点，，故，，，.中等已测：4162次正确率：72.9 %11.若函数有零点,则的取值范围为．考点：利⽤导数研究函数的单调性、利⽤分离变量求最值解决不等式存在性问题知识点：利⽤导数求函数单调区间、利⽤导数求函数的最值答案：或解析：当时,可得,故不是函数的零点；x +ax +b =03a =−3,b =2f (x )=x −3x +23f (x )=3(x +1)(x −1)′f (x ) =f (−1)=4>0极大值f (x ) =f (1)=0极小值f (x )x x +ax +b =03a=−3,b >2f (x )=x −3x +b 3f (x )=3(x +1)(x −1)′f (x ) =f (−1)=2+b >0极大值f (x ) =f (1)=b −2>0极小值f (x )x x +ax +b =03a=0,b =2f (x )=x +23f (x )=3x ≥0′2f (x )R f (x )x x +ax +b =03a =1,b =2f (x )=x +x +23f (x )=3x +1>0′2f (x )R f (x )x x +ax +b=03a b ∈R x ≥00≤x −x +ax +b ≤(x −1)4322ab =−1x=10≤a +b ≤0a +b =0b =−a f (x )=(x −1)−(x −x +ax −a )=x −2x −ax +a +1224332f (x )≥0x ≥0f (1)=1−2−a +a +1=0x =1f (x )=3x −4x −a ′2f (1)=0′a =−1b =1ab =−1f (x )=kx −e x k k ≥e k <0x=0f (0)=−1x =0当时,由函数有零点可得有解,即,故的取值范围为函数的值域,,令可得,故函数在上单调递减,上单调递减,上单调递增,故当时,函数值,当时,为函数的最⼩值,且,故,综上可得的取值范围为或,故的取值范围为：或．故答案为：或．⼀般已测：1575次正确率：82.6 %12.某商场从⽣产⼚家以每件元购进⼀批商品，若该商品零售价定为元，则销售量（单位：件）与零售价(单位：元)有如下关系：.则该商品零售价定位元时⽑利润最⼤（⽑利润销售收⼊进货⽀出）.考点：利⽤导数解决实际⽣活中的问题、求商品的最⼤利润知识点：利⽤导数求函数的最值、⽣活中优化问题答案：解析：由题意知：⽑利润等于销售额减去成本，即，所以.令，解得或（舍去）.此时，.因为在附近的左侧，右侧.所以是极⼤值，根据实际问题的意义知，是最⼤值，故答案为：.中等已测：2671次正确率：67.1 %13.已知函数,其中为⾃然对数的底数,若存在实数使成⽴,则实数的值为．考点：利⽤导数求闭区间上函数的最值、利⽤导数解决存在性问题知识点：利⽤导数求函数的最值、基本不等式与最⼤（⼩）值答案：解析：令可得：,令,,则,令可得,即或(舍),当时,,当时,,在上单调递减,在上单调递增,,x ≠0f (x )=kx −e x kx =e x k = x e x k g (x )= ,(x ≠0)x e x∵y = =′x 2e ⋅x −e x x x 2e (x −1)x y <0′x <1g (x )(−∞,0)(0,1)(1,+∞)x <0g (x )<0x >0g (1)g (1)=e g (x )≥e g (x )g (x )<0g (x )≥e k k <0k ≥e k ≥e k <020p Q p Q =8300−170p −p 2=−30L (p )=pQ −20Q =Q (p −20)=(8300−170p −p )(p −20)=−p −150p +11700p −166000232L (p )=−3p −300p +11700′2L (p )=0′p =30p =−130L (30)=23000p=30L (p )>0′L (p )<0′L (30)L (30)30f (x )=2x −3x −lnx +e +4e 2x −a a −x e x 0f (x )=30a 1−ln 2f (x )=32x −3x −lnx −3=−e −4e 2x −a a −x g (x )=2x −3x −lnx −32h (x )=−e −4e x −a a −x g (x )=4x −3− = ′x 1x4x −3x −12g (x )=0′4x −3x −1=02x =1x =− 41∴0<x <1g (x )<0′x >1g (x )>0′∴g (x )(0,1)(1,+∞)∴g (x )≥g (1)=−4h (x )=−e −4e =−(e +4e )≤−2 =−4x −a a −x x −a a −x e ⋅4e x −a a −x(1)(2)(1)(2)(当且仅当即时取等号),,即,,．中等已测：4092次正确率：57.7 %14.已知函数．求曲线在点处的切线⽅程；求函数在区间上的最⼤值和最⼩值．考点：利⽤导数研究曲线上某点的切线⽅程、求导公式、求导法则的综合应⽤知识点：函数在某点处的切线、导数的运算法则(1)答案：解析：因为，所以，.⼜因为，所以曲线在点处的切线⽅程为.(2)答案：最⼤值，最⼩值.解析：设，则.当时，，所以在区间上单调递减.所以对任意有，即.所以函数在区间上单调递减.因此在区间上的最⼤值为，最⼩值为.中等已测：2454次正确率：78.8 %15.某村庄拟修建⼀个⽆盖的圆柱形蓄⽔池（不计厚度）．设该蓄⽔池的底⾯半径为⽶，⾼为⽶，体积为⽴⽅⽶．假设建造成本仅与表⾯积有关，侧⾯积的建造成本为元/平⽅⽶，底⾯的建造成本为元/平⽅⽶，该蓄⽔池的总建造成本为元（为圆周率）．将表⽰成的函数，并求该函数的定义域；讨论函数的单调性，并确定和为何值时该蓄⽔池的体积最⼤．考点：⼆次函数模型的应⽤、利⽤导数求闭区间上函数的最值知识点：常⻅的函数模型、利⽤导数求函数的最值(1)答案：解析：因为蓄⽔池的侧⾯积的建造成本为元，底⾯积成本为元，所以蓄⽔池的总建造成本为元.⼜据题意，所以，从⽽.因，⼜由可得，故函数的定义域为.(2)答案：，解析：因，故.令，解得，（因不在定义域内，舍去） .当时，，故在上为增函数；当时，，故在e =4e x −a a −x x =a +ln 2∵f (x )=30g (x )=h (x )00∴x =1=a +ln 20∴a =1−ln 2f x =e cos x −x ()x y =f x ()0,f 0(())f x ()0, [2π]y=1fx =e cos x −x ()x f x =e cos x −sin x −1′()x ()f 0=0′()f0=1()y =f x ()0,f 0(())y =11− 2πh x =e cos x −sin x −1()x ()h x =e cos x −sin x −sin x −cos x =−2e sin x ′()x ()x x∈0, (2π)h x <0′()h x ()0, [2π]x ∈0, [2π]h x <h 0=0()()f x <0′()f x ()0, [2π]f x ()0, [2π]f 0=1()f=− (2π)2πr h V 10016012000ππV r V (r )V (r )r h (0,5)3100⋅2πrh=200πrh 160πr 2(200πrh +160πr )2200πrh +160πr =12000π2h = (300−4r )5r 12V (r )=πr h = (300r −4r )25π3r >0h >00<r <5 3V (r )(0,5 )3r=5h =8V (r )= (300r −4r )5π3V (r )= (300−12r )′5π2V (r )=0′r =51r =−52r ∈(0,5)V (r )>0′V (r )(0,5)r ∈(5,5)3V (r )<0′V (r )(1)(2)(3)(1)(2)(3)上为减函数.由此可知，在处取得最⼤值，此时.即当，时，该蓄⽔池的体积最⼤.较难已测：4533次正确率：62.6 %16.已知函数求的单调区间;设曲线与轴正半轴的交点为,曲线在点处的切线⽅程为.求证:对于任意的实数,都有若⽅程(为实数)有两个实数根,且,求证:考点：利⽤导数研究曲线上某点的切线⽅程、利⽤导数研究函数的单调性知识点：函数在某点处的切线、函数单调性和导数的关系(1)答案：的单调递增区间为,单调递减区间为解析：由,可得.当,即时,函数单调递增;当,即时,函数单调递减.所以,的单调递增区间为,单调递减区间为.(2)答案：⻅解析解析：设点的坐标为,则,.曲线在点处的切线⽅程为即.令函数,即,则.由于在上单调递减,故在上单调递减.⼜因为,所以当时,,当时,,所以在上单调递增,在上单调递减,所以对于任意的实数,即对于任意的实数,都有(3)答案：⻅解析解析：由(2)知.设⽅程的根为,可得因为在上单调递减,⼜由(2)知,因此.类似地,设曲线在原点处的切线⽅程为,可得.对于任意的,有,即.设⽅程的根为,可得.因为在上单调递增,且,因此.由此可得较难已测：2126次正确率：36.9 %17.设,函数.求的单调区间证明:在上仅有⼀个零点;若曲线在点处的切线与x 轴平⾏,且在点处的切线与直线平⾏(是坐标原点),证明:.(5,5 )3V (r )r =5h =8r=5h =8f (x )=4x −x ,x ∈R .4f (x )y=f (x )x P P y =g (x )x f (x )≤g (x )f (x )=a a x ,x 12x <x 12x −x ≤−+4213a 31f (x )(−∞,1)(1,+∞)f (x )=4x −x 4f (x )=4−4x ′3f (x )>0′x <1f (x )f (x )<0′x >1f (x )f (x )(−∞,1)(1,+∞)P x ,0(0)x =4031f x =−12′(0)y =f (x )P y =f x x −x ,′(0)(0)g x =f x x −x ()′(0)(0)F (x )=f (x )−g (x )F x =f x −f x x −x ()()′(0)(0)F (x )=f (x )−f (x )′′′0f x =−4x +4′()3(−∞,+∞)F (x )′(−∞,+∞)F (x )=0′0x ∈(−∞,x )0F (x )>0′0x ∈(x ,+∞)0F (x )<0′0F (x )(−∞,x )0(x ,+∞)0x ,F (x )≤F x =0(0)x f (x )≤g (x )g (x )=−12(x −4) 31g (x )=a x 2′x = +42′12a 31g (x )(−∞,+∞)g x ≥f x =a =g x (2)(2)(2′)x ≤x 22′y=f (x )y =h (x )h (x )=4x x ∈(−∞,+∞)f (x )−h (x )=−x ≤04f (x )≤h (x )h (x )=a x 1′x =1′4a h (x )=4x (−∞,+∞)h (x )=a =f x ≤h (x )1′(1)1x ≤x 1′1x −x ≤x −x =− +4212′1′3a 31a >1f (x )=(1+x )e −a 2x f (x )f (x )(−∞,+∞)y=f (x )P M (m ,n )OP O m ≤−13a −e 2(1)(2)考点：利⽤导数研究曲线上某点的切线⽅程、利⽤导数研究函数零点问题知识点：函数零点存在性定理、函数在某点处的切线(1)答案：单调增区间是⽆单调减区间.解析：,故是上的单调递增函数,其单调增区间是⽆单调减区间.(2)答案：⻅解析.解析：因为,且,由零点存在性定理知,在上⾄少有⼀个零点.⼜由知,函数是上的单调递增函数,故函数在上仅有⼀个零点.(3)答案：⻅解析.解析：设点,由曲线在点处的切线与轴平⾏知,,即,即.由点处的切线与直线平⾏知,,即.由知,,即,即.较难已测：1959次正确率：63.1 %18.设函数.证明:在单调递减,在单调递增;若对于任意,都有,求的取值范围.考点：利⽤导数研究函数的单调性、转化思想在证明不等式中的应⽤知识点：利⽤导数求函数单调区间、利⽤导数求函数的最值(1)答案：证明⻅解析解析：.若,则当时,;当时,.若,则当时,,;当时,,.所以在单调递减,在单调递增.(2)答案：的取值范围是解析：由(1)知,对任意的在单调递减,在单调递增，故在处取得最⼩值.所以对于任意,的充要条件是：即①设函数，则。