极大无关组求法.ppt

合集下载

高等数学线性代数极大线性无关组的性质于应用教学ppt(3)

向量组 B :1, ,m ,m1 也线性相关.反言之,
若向量组B 线性无关,则向量组A也线性无关 .
证
1,2 ,
,
线性相关,
m
存在不全为0的数x1, x2 , , xm,使
x11 x22 xmm =0,
从而存在不全为0的数x1, x2, , xm,0,使
x11 x22 xmm +0m+1=0.
ann xn 0,
a11 a12
a1n
当 a21 a22
a2n 0, 方程组(1)只有零解.
an1 an2
ann
定理2
向量组 1, 2, , m (m 2)线性相关
1, 2,
,
中至少有一个向量可
m
由其余向量线性表示.
证明充分性
设 a1 , a2 ,, am 中有一个向量（比如 am）
能由其余向量线性表示. 即有
向量组线性表示.
例4 将向量 (1, 0, 4)T 用向量组1 (0,1,1)T ,
2 (1, 0,1)T ,3 (1,1, 0)T 线性表出.
解设x11 x22 x33 , 即
0x1 1x2 1x1 0x2
1x3 1x3
1, 0,
1x1 1x2 0x3 4,
解得x1
l11 l22 lmm ,
(k1 l1)1 (k2 l2 )2 (km lm )m 0,
1,2 ,
,
线性无关,
m
表示式唯一. Page56 例6； Page57. 例8； Page59. 例9
四、小结
１. 线性组合与线性表示的概念；
２. 线性相关与线性无关的概念；（重点）
３. 线性相关与线性无关的判定方法：定义，两个定理．（难点）

§3 向量组的秩与极大线性无关组

同的线性相关性。
A 1 , 2 ,
初等行变换 , n B 1 , 2 ,
, n
AX 0 与 BX 0 同解
定理
矩阵A的秩等于A的行(列)向量组的秩。
矩阵的秩的定义：存在 K 阶子式不为 0，对任意 K+1 阶子式均为 0，则 k 即为矩阵的秩。
km 0 时，k11 k2 2
km m 0 才
成立，或者说， k1 , k2 , , km 不全为零，那么 k11 k22 kmm 必不为零.）
定理向量组 1 , 2 , , m 线性相关
齐次线性方程组 1 , 2 ,
x1 x2 , m 0 有非零解 xm
线性无关组等价。
性质如果多数向量能用少数向量线性表示出，那么多数向量一定线性相关。
性质
1 , 2 , 如果向量组 A：
R(1 , 2 ,
, m 可由向量组 B： 1 , 2 ,
, n
线性表示，则向量组A的秩不超过向量组B的秩，即
, m ) R( 1 , 2 , , n )
例：设矩阵
2 1 1 1 1 1 2 1 A 4 6 2 2 3 6 9 7
2 4 4 9
求矩阵 A 的列向量组的一个极大线性无关组，并把不属于极
大线性组的列向量用极大无关组线性表示．
解：第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵． 2 1 1 1 2 1 1 2 1 4 r 1 1 2 1 4 0 1 1 1 0 ~ A 4 6 2 2 4 0 0 0 1 3 3 6 9 7 9 0 0 0 0 0 行阶梯形矩阵有 3 个非零行，故R(A) = 3 ．第二步找B的一个3阶非零子式．可取行阶梯形矩阵中非零行的第一个非零元所在的列，与之对应的是选取矩阵 A 的第一、二、四列． 2 1 1 1 1 1 r 1 1 1 0 1 1 A0 (a1 , a2 , a4 ) ~ B0 4 6 2 0 0 1 3 6 7 0 0 0

3-3向量组的极大无关组

1 1 2 2
的一个极大线性无关组，简称为极大无关组。
信息系刘康泽
1 0 1 2 例如 , 设 1 , 2 , 3 , 4 ，例1 0 1 1 2
则： 1 , 2 构成 1 , 2 , 3 , 4 的极大无关组，
可由 1 , ,
r
线性表出, 故对任意
i , 有 i , 1 , , r 可由 1 , , r 线性表出 . 由 r 1 r
知：
i , 1 , , r ( i 1, , r ) 必线性相关 .
r
又 1 , ,
1 , 2 , , r ( r s ) ，则 1 , 2 , , r 线性无关且含有
r 个向量，因而 1 , 2 , , r 也是 1 , 2 , , s , 的一个
极大无关组，从而可由 1 , 2 , , r 线性表出，故向量可由 1 , 2 , , s 线性表出。（必要性是显然的）
（ 1）
4 1 1 2 2 3 3
又假设 5 4 能由 1 , 2 , 3 线性表示，则：
5 4 k 1 1 k 2 2 k 3 3
信息系刘康泽
( a ) 可由 ( b ) 线性表示；
( b ) 可由 ( b ) 线性表示。
由线性表示的传递性可知：( a ) 可由 ( b ) 线性表示。而 ( a ) 是线性无关的，故： ( a ) 中向量的个数 „ ( b ) 中向量的个数，
即
r ( 1 , 2 , , m ) „ r ( 1 , 2 , , s ) 。

3.3 向量组的极大无关组与秩

矩阵 C的列向量组能由 A的列向量组线性表示，
因此r ( C ) r ( A). 又因为 C T B T AT ,由上段证明知 r ( C T ) r ( B T ), 25 即r ( C ) r ( B).
练习
1.求下列向量组的秩:
T T (1) 1 (2, 1, 1) , 2 (5, 4, 2, ) , 3 (3, 6, 0) T T ( 3 , 1 , 0 , 2 ) ( 1 , 1 , 2 , 1 ) (2) 1 , , 2 3 (1, 3, 4, 4) T .
20
得
1 1 3 2 , 2 1 2 .
1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1
1 0 1 2 2 3 1 1 2 2 , 0 0 0 0 0 0
2 0 1 1 而 ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 3 1 3 1
9
定理3.10
若向量组A可由向量组B线性表示，则
r(A) ≤ r(B)。推论若向量组A与向量组B等价，则 r(A) = r(B)。
10
回顾
α1 α2
αm
矩阵A既对应一个行向量组,又对应一个列向量组: 其中 i ( a i 1 , a i 2 , , a in ), i 1, , m a1 j 1 a2 j 2 j 1, 2, , n
28
23
则r 1 1 , 2 2 , , n n r t r ( A) r ( B) r ( A B) r ( A) r ( B)
r i 1 , i 2 , ir , j 1 , j 2 , jt

3.4 向量组的极大线性无关组

11
第三章 n 维向量空间
§3.4 向量组的极大线性无关组
二、向量组的秩
1. 向量组之间的线性表示 2. 向量组之间的等价定理两个等价的向量组中各自的极大线性无关组所含的向量个数相等。个数相等。证明向量组 α1 , α 2 , L , α m
等价极大线性无关组等价等价
向量组 β 1 , β 2 ,L , β n
等价极大线性无关组
α i 1 , α i 2 ,L , α i r
β i 1 , β i 2 ,L , β i s
12
第三章 n 维向量空间
§3.4 向量组的极大线性无关组
二、向量组的秩
1. 向量组之间的线性表示 2. 向量组之间的等价定理两个等价的向量组中各自的极大线性无关组所含的向量个数相等。个数相等。证明即 α i 1 , α i 2 ,L , α i r 可由 β i 1 , β i 2 ,L , β i s 线性表示，线性表示，线性无关，且 α i 1 , α i 2 ,L , α i r 线性无关，因此 r ≤ s . 同理 r ≥ s . 即得 r = s .
化为标准形
I 即 C Q = P −1 t 0 0 0
It 0 , 其中 t ≤ s . 0 0 I t 0 = P1 I t 0 , = ( P1 P2 ) 0 0 0 0
下面利用反证法证明 t = s . 18
§3.4 向量组的极大线性无关组
二、向量组的秩
1. 向量组之间的线性表示 2. 向量组之间的等价 3. 向量组的秩 4. 向量组的秩与矩阵秩的关系
16
第三章 n 维向量空间

3.4 极大无关组

2 ' ) A 中每一个 i 可由 j , j ,, j 表出即 1)+2) 1)+ 2 ')
1 2 r
定义: A : 1 ,,s , A0 : j ,, j 是 A 部分组若 1) j , j ,, j 线性无关 2 ' ) A 中每一个i 可由 j , j ,, j 表出 (说明 A 与 A0 等价 ) 称 A0 为 A 的极大组, r 为向量组的秩, 记为 r (1 ,2 ,, s ) r (上界,个数超过 r 的向量相关）注1 1 ,, s 相关 r(1,2 ,, s ) r s
i j i j
A : 1 ,, s
的极大组满足
1) A 的部分组 2)线性无关组 3)含向量最多
r ( s ) 个
部分组, A0 是满足 1) j , j ,, j 无关
A0 : j1 ,, jr
是
A
A
极大组
1
2
r
2)任意 r 1(若 )个向量相关
在条件1)之下，2)可等价地换为
( 1 ,2 ,3 ,4 相关 r( A) 4, A (1,2 ,3 ,4 ) ) 2)求 1 ,2 ,3 ,4 极大组,并将其它向量用极大组表示
解：
1 1 0 4 A (1 ,2 ,3 ,4 ) 1 2 2 1
1 2 3 4
T 1
的列向量组的行向量组
T m
定理3.4.4
r ( A) r(1 ,, s ) r( ,, )
A 的列秩
A 的行秩
定理3.4.3 初等行(列)变换不改变矩阵 A 的列(行)向量组的线性关系 A 1 ,, s 行 B 1 ,, s

第四节向量组的极大线性无关组

故A是极大线性无关组为 1 , 2 , 4 .
n 例6 设R 中的向量组1 , 2 ,, n 线性无关,证明
向量组
1 =1 + 2 ,2 = 2 +3 ,, n1 = n1 + n , n = n +1,
当n为奇数时线性无关;当n为偶数时线性相关. 向量组1 , 2 ,, n 可以由向量组证明： 1 0 0 0 1 具体为 1 , 2 ,, n 线性表示. 1 1 0 0 0
1 2 3 4 1 2 3 4 0 1 1 1 0 1 1 1 A 0 0 1 2 1 3 0 3 0 0 0 0 0 7 3 1
13
1 0 0 0
故B的列向量极大线性无关组为 1 , 2 , 3 , 且
0 1 2 n = 1 2 n 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 nn
20
当向量组1 , 2 ,, n 线性无关时,
矩阵1 2 n 可逆,则
i T1 ,
k1i k s 2i , i 1, 2,, r. ksi
i 1 2
2
即
1
2 r
1
2
k11 k 21 s ks1
k12 k1r k22 k2 r , ks 2 k sr
r 1 2 m r r B ;
r 1 2 m r A r
由 r A r AT , 可证明A的秩等于行向量组的秩.
15

r A r. 则有推论设A为 m n 矩阵，

极大线性无关组

（1）当P为何值时，该向量组线性无关？
（2）当P为何值时，该向量组线性相关？此时，求出它的秩，和一个极大线性无关组.
解：作矩阵， 1 1 3 2
，
1
3
2
6
1 5 1 10
3
1
p2
p
对矩阵A作初等行变换化阶梯形
1 1 3 2 1 1 3 2
A
0
2
1
0 6 4
4
0
1,2线性无关, 而3个二维向量必线性相关. 故
1,2是1, 2 , 3 , 4 的一个极大无关组
1
,
3和
3
,
4等也是1
,
2
,
3
,
的极大无关组.
4
( 5 )向量组的所有极大无关组含向量个数相同
二、向量组的秩
定义向量组1,2 ,L ,s 的极大无关组所含向量个
数称为这个向量组的秩. R1,2,L ,s r
其中至少有一个向量是其余向量的线性组合
(任一向量都不能由其余向量线性表示) 定理6.1,2,L ,s线性无关， ,1,2 ,L ,s 线性相关
可由 1,2,L ,s 唯一线性表示.
§4. 1 n维向量概念 §4. 2 向量组的线性相关性 §4. 3 极大无关组 §4. 4 线性方程组解的结构
§4. 3 极大无关组
一、极大线性无关组
定义设 1,2 ,L ,s 为 Pn 中的一个向量组，它的一个部分组 i1,i2 ,L ,ir 若满足
i) i1,i2 ,L ,ir线性无关； ii) 对任意的 j (1 j s) , j 可经 i1,i2 ,L ,ir
线性表出；
则称 i1,i2 ,L ,ir 为向量组 1,2 ,L ,s 的一个

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

用极大无关组线性表示。
解以? 1,? 2,? 3,? 4为列构造矩阵A, 并实施初等行
变换化为行阶梯形矩阵求其秩：
? 2 3 1 4 ? ?1 -1 3 -3 ?
A
?
??
1,?
2 ,?
3 ,?
4
??
? ? ?
1 3
?1 2
3 4
?
3
? ?
?
??0
1 ? ?0
5 5
-5
10
? ?
-5 10?
? ?
3 依次进行下去，最后求出的向量组就是所求的极大无关组
例：A : ? 1 ? ?1, 2, ? 1?T ,? 2 ? ?2, ? 3,1 ?T ,? 3 ? ?4,1, ? 1?T ,
求A的极大无关组
解：因为a1非零，故保留a1 取a2，因为a1与a2线性无关，故保留a1，a2
取a3，易得a3=2a1+a2线性无关，故线性相关。
由此提供了求向量组的极大无关组的方法：
(1)以向量组中各向量为列向量构成矩阵 A; (2)对A做初等行变换将该矩阵化为行阶梯形矩阵 ,则可求出r(A)=r(向量组的秩为 r，说明向量组中线性无关的向量最多有 r个，任何 r+1个线性相关 ). (3)在A中找出r个线性无关的向量即是所求向量组的极大无关组，这一步需将行阶梯型化为行最简形。
?
?0?
2
??0
? ?
?
?0?
?? 1????10??? ?
2?1
?
?2,?4
?
?
?1
?
2? 2
? ?
0
? ?
??0
? ?
? ?
0 ??
因此? 3=2? 1-? 2, ? 4=-? 1+2? 2
,
?
2
,
?
3
线性无关
?? 0 0 1 ??
?0 1 0?
?1 0 0?
?1 0 0?
则B1
?
? ?
1
?? 0
0 0
0
? ?
,B
2
1 ??
?
?? 0 ?? 0
2 0
0 ??，B3 1 ??
?
? ?
0
?? 3
1 0
0
? ?
1 ??
中的三个列向量均线性无关
即初等行变换保持了列向量间的线性无关性和线性表出性。
所以极大无关组为a1，a2
方法3 初等变换法
初等行变换保持了列向量间的线性无关性和线性表出性

可以证明，若对矩阵A仅施以初等行变换得矩阵B, 则B的列向量组与A的列向量组间有
相同的线性关系。（行变换对列没有影响）
?1 2 4?
?2 4 0?
如Ａ ?
? ?
2
?? 3
4 6
0 ??，有? 2 =2? 1
? 同理 , 也可以用向量组中各向量为行向量组成矩阵 , 通过做初等列变换来求向量组的极大无关组。
例求向量组
? 1=(2,1,3,-1) T, ? 2=(3,-1,2,0) T, ? 3=(1,3,4,-2) T, ? 4=(4,-3,1,1) T,
的秩和一个极大无关组 , 并把不属于极大无关组的向量
方法1 线性相关法
若非零向量组A：? 1, ? 2,…, ? n线性无关，则A的极大无关组就是? 1, ? 2,…, ? n
若非零向量组A线性相关，则A中必有极大无关组
方法2 逐个判别法
给定一个非零向量组A：? 1, ? 2,…, ? n 1 设? 1? 0，则? 1线性相关，保留? 1 2 加入? 2，若? 2与 ? 1线性相关，去掉? 2；若? 2与 ? 1线性无关，保留? 1 ，? 2；
?0 0 0 0 ?
? ?
0
0
0
0
? ?
量组各向量之间的线性关系
记矩阵B=(? 1, ?2, ? 3, ?4),因为初等行变换保持了列向
量间的线性表出性，因此向量? 1,? 2,? 3,? 4与向量? 1, ?2,
? 3, ? 4之间有相同的线性关系。
? 2 ? ?1?
?0?
而? 3
?
? ?
?
1??
1 ??
对于
B1
=
? ?
1
?? 3
2 6
4 ??，有? 2 =2? 1
1 ??
?1 2 4?
?1 2 4?
对于B2
?
? ?
4
?? 3
8 6
0 ??，有? 2 =2? 1
1 ??
对于 B 3
?
? ?
3
? ?
3
6 6
4 ??，有? 2 =2? 1
1
? ?
?1 0 0?
再如Ａ
?
? ?
0
1
0
? ?
,有?
1
?
1
0
?2
1
? ?
??0 -1 1
-2
? ?
?1 -1 3 -3 ?
?
? ?
0
1
-1
2
? ?
?0 0 0 0 ?
? ?
0
0
0
0
? ?
? 知r(A)=2, 故向量组的极大无关组含 2个向量
? 而两个非零行的非零首元分别在第 1, 2列, 故? 1,? 2
为向量组的一个极大无关组
?1 -1? 求极大无关组方法,找阶梯型矩
?
事实上， ?? 1，? 2 ??
??0 ?0
1
? ?
0?
阵非零行的非零首元所在的列
??0
0
? ?
知r(? 1,? 2)=2, 故? 1,? 2 线性无关
? 为把? 3,? 4用? 1,? 2线性表示 , 把A变成行最简形矩阵
?1
A
?
? ?
0
0 1
2 -1
-1?
2
? ??
B
将A化为一个行最简形矩阵B, 是因为较容易看出B 的列向