高考数学复习 第二章 不等式 第3讲 基本不等式
上海高考数学复习专题-不等式
【注】本例中
“a＞0”是先决条件，否则需要讨论
x1，x2 与对称轴
x=−
$
的大小关系，非常
复杂。（如图 d）
图a
图b
图c
图d
2）分离参数法：将不等式变换为 f(x) ≥a 或 f(x) ≤a 的形式。 f(x) ≥m，x∈R 恒成立(如图 e)，则 8! "3R ≥ 2 f(x) ≤m,x∈R 恒成立，（如图 f）则 8! "3 I ≤ 2 f(x) ≥m,在区间[x1,x2]恒成立，（如图 g），则 f! '" ≥ m
个
当且仅当 ' = $ = ⋯ = 时，取等号。
即：n 个正数的算术平均值，不小于它的几何平均值。当且仅当它们都相等时取等号。
【注】算术平均值 = .# /#⋯ #
几何平均值 = 0 ' ∙ $ ∙ ⋯ ∙
1.3 几个常用的重要结论
ab > 0 ⇒ + ≥ 2，当且仅当 a=b 时，取等号。
>0 2 = 常数 > 0，
一个含参数的等式（或参数）时，不得扩大或缩小原变量的范围。 如:若 a＞b ⇒ ac＞bc，则有 c＞0
H
如：若
>
⇒ bc＞ad，则有 ac＞0
2.2 求解一元二次不等式
【注】1）对于a $ + + > 0!或 < 0"，必须讨论：（1）a=0 ，（2）a≠0 2）一元二次不等式的解集，常与一元二次方程 a $ + + = 0 (a≠0)的根联系在一起。
"> 0
n!I"
m!I" n!I"
≥
0
高考数学二轮复习不等式
(2)(2022·新高考全国Ⅱ改编)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则下列结论正确 的是__②__③____.(填序号) ①x＋y≤1；②x＋y≥－2；③x2＋y2≤2；④x2＋y2≥1.
由x2＋y2－xy＝1可变形为(x＋y)2－1＝3xy≤3x＋2 y2， 解得－2≤x＋y≤2， 当且仅当x＝y＝－1时，x＋y＝－2， 当且仅当x＝y＝1时，x＋y＝2，所以①错误，②正确； 由x2＋y2－xy＝1可变形为x2＋y2－1＝xy≤x2＋2 y2， 解得x2＋y2≤2，当且仅当x＝y＝±1时取等号，所以③正确； x2＋y2－xy＝1 可变形为x－2y2＋34y2＝1，
考点二
线性规划
核心提炼
1.截距型：形如z＝ax＋by，求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转
化为y＝－abx＋bz
(b≠0)，通过求直线的截距
z b
的最值间接求出z的最值.
2.距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z
＝|PM|2. 3.斜率型：形如z＝yx－ －ba (x≠a)，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z＝kPM.
作出不等式组2x－3y－6≤0， x＋2y＋2≥0
表示的平面区域如图
中阴影部分(包括边界)所示，
函数z＝(x＋1)2＋(y＋2)2表示可行域内
的点与点(－1，－2)的距离的平方. 由图知， z＝ x＋12＋y＋22的最小值为点(－1，－2)到直线 x＋2y
＋2＝0 的距离，
即|－1－4＋2|＝3 5
C.[－1，3]
D.[－3，1]
作出约束条件的可行域，如图阴影部分(含边界)所示，
其中 A(1，0)，B(0，1)，C(2，3)，z＝22yx＋－11＝yx＋－1212， 表示定点 M12，－12与可行域内点(x，y)连线的斜率，
高考数学一轮复习讲义(新高考版) 第2章 第3讲 基本不等式
第3讲 基本不等式一、知识梳理 1．基本不等式:ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件:a ≥0,b ≥0. (2)等号成立的条件:当且仅当a ＝b 时取等号．(3)其中a ＋b2称为正数a ,b ,ab a ,b 的几何平均数．[点拨] 应用基本不等式求最值要注意:“一正、二定、三相等”．忽略某个条件,就会出错．2．利用基本不等式求最值 已知x ≥0,y ≥0,则(1)如果积xy 是定值p ,那么当且仅当x ＝y 时,x ＋y 有最小值是2p ．(简记:积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值s ,那么当且仅当x ＝y 时,xy 有最大值是s 24．(简记:和定积最大)[点拨] 在利用不等式求最值时,一定要尽量避免多次使用基本不等式．若必须多次使用,则一定要保证它们等号成立的条件一致．常用结论几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ,b ∈R ),当且仅当a ＝b 时取等号． (2)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ,b ∈R ),当且仅当a ＝b 时取等号． (3)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ,b ∈R ),当且仅当a ＝b 时取等号． (4)b a ＋ab ≥2(a ,b 同号),当且仅当a ＝b 时取等号． 二、教材衍化1．设x ＞0,y ＞0,且x ＋y ＝18,则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81D ．82解析:选C ．xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝⎝⎛⎭⎫1822＝81,当且仅当x ＝y ＝9时等号成立,故选C ． 2．若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是________．解析:设矩形的长为x m ,宽为y m ,则x ＋y ＝10,所以S ＝xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝25,当且仅当x ＝y ＝5时取等号．答案:25 m 2一、思考辨析判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( )(2)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22成立的条件是ab >0.( )(3)“x >0且y >0”是“x y ＋yx ≥2”的充要条件．( )(4)若a >0,则a 3＋1a 2的最小值是2a .( )答案:(1)× (2)× (3)× (4)× 二、易错纠偏常见误区| (1)忽视不等式成立的条件a >0且b >0; (2)忽视定值存在; (3)忽视等号成立的条件． 1．若x <0,则x ＋1x ( )A ．有最小值,且最小值为2B ．有最大值,且最大值为2C ．有最小值,且最小值为－2D ．有最大值,且最大值为－2解析:选D ．因为x <0,所以－x >0,－x ＋1－x ≥21＝2,当且仅当x ＝－1时,等号成立,所以x ＋1x≤－2.2．若x >1,则x ＋4x －1的最小值为________．解析:x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5. 当且仅当x －1＝4x －1,即x ＝3时等号成立．答案:53．设0<x <1,则函数y ＝2x (1－x )的最大值为________． 解析:y ＝2x (1－x )≤2⎝⎛⎭⎫x ＋1－x 22＝12.当且仅当x ＝1－x ,即x ＝12时,等号成立．答案:12考点一 利用基本不等式求最值(基础型) 复习指导| 探索并了解基本不等式的证明过程,会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．核心素养:逻辑推理 角度一 通过配凑法求最值(1)已知0<x <1,则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________． (2)已知x <54,则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．【解析】 (1)x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x )≤13·⎣⎡⎦⎤3x ＋（4－3x ）22＝43, 当且仅当3x ＝4－3x , 即x ＝23时,取等号．(2)因为x <54,所以5－4x >0,则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－(5－4x ＋15－4x)＋3≤－2（5－4x ）15－4x＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ,即x ＝1时,等号成立．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1. 【答案】 (1)23(2)1通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形,拼系数、凑常数是关键,利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题:(1)拼凑的技巧,以整式为基础,注意利用系数的变化以及等式中常数的调整,做到等价变形;(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标; (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．角度二 通过常数代换法求最值已知a >0,b >0,a ＋b ＝1,则⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b 的最小值为________． 【解析】 ⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1＋a ＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋a ＋b b ＝⎝⎛⎭⎫2＋b a · ⎝⎛⎭⎫2＋a b ＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9.当且仅当a ＝b ＝12时,取等号．【答案】 9【迁移探究1】 (变问法)若本例中的条件不变,则1a ＋1b 的最小值为________．解析:因为a >0,b >0,a ＋b ＝1,所以1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b ＝4,即1a ＋1b的最小值为4,当且仅当a ＝b ＝12时等号成立． 答案:4【迁移探究2】 (变条件)若本例条件变为:已知a >0,b >0,4a ＋b ＝4,则⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b 的最小值为________．解析:由4a ＋b ＝4得a ＋b4＝1,⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b 4a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b 4b ＝⎝⎛⎭⎫2＋b 4a ⎝⎛⎭⎫54＋a b ＝52＋2a b ＋5b 16a ＋14≥114＋258＝114＋102.当且仅当42a ＝5b 时取等号． 答案:114＋102常数代换法求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数); (2)把确定的定值(常数)变形为1;(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积的形式; (4)利用基本不等式求解最值． 角度三 通过消元法求最值若正数x ,y 满足x 2＋6xy －1＝0,则x ＋2y 的最小值是( )A ．223B ．23C ．33D ．233【解析】 因为正数x ,y 满足x 2＋6xy －1＝0,所以y ＝1－x26x .由⎩⎨⎧x >0y >0即⎩⎨⎧x >01－x 26x>0解得0<x <1.所以x ＋2y ＝x ＋1－x 23x ＝2x 3＋13x ≥22x 3·13x ＝223,当且仅当2x 3＝13x ,即x ＝22,y ＝212时取等号．故x ＋2y 的最小值为223.【答案】 A通过消元法求最值的方法消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题,解决方法是消元后利用基本不等式求解．但应注意保留元的范围．1．(2020·辽宁大连第一次(3月)双基测试)已知正实数a ,b 满足a ＋b ＝(ab )32,则ab 的最小值为( )A ．1B ． 2C ．2D ．4解析:选C ．(ab )32＝a ＋b ≥2ab ＝2(ab )12,所以ab ≥2,当且仅当a ＝b ＝2时取等号,故ab 的最小值为2,故选C ．2．已知x ,y 为正实数,则4x x ＋3y ＋3y x 的最小值为( )A ．53B ．103C ．32D ．3解析:选D ．由题意得x >0,y >0,4x x ＋3y ＋3y x ＝4xx ＋3y ＋x ＋3y x －1≥24x x ＋3y ·x ＋3yx－1＝4－1＝3(当且仅当x ＝3y 时等号成立)．3．已知x >0,y >0,且x ＋16y ＝xy ,则x ＋y 的最小值为________． 解析:已知x >0,y >0,且x ＋16y ＝xy .即16x ＋1y ＝1,则x ＋y ＝(x ＋y )·⎝⎛⎭⎫16x ＋1y ＝16＋1＋16y x ＋x y≥17＋2 16y x ·xy＝25,当且仅当x ＝4y ＝20时等号成立,所以x ＋y 的最小值为25. 答案:25考点二 利用基本不等式解决实际问题(应用型) 复习指导| 利用基本不等式解决实际问题,关键是把实际问题抽象出数学模型,列出函数关系,然后利用基本不等式求最值．某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－200x ＋80 000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．(1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利,求出最大利润;如果不获利,则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？【解】 (1)由题意可知,二氧化碳每吨的平均处理成本为y x ＝12x ＋80 000x －200≥212x ·80 000x－200＝200, 当且仅当12x ＝80 000x ,即x ＝400时等号成立,故该单位月处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低,最低成本为200元．(2)不获利．设该单位每月获利为S 元,则S ＝100x －y ＝100x －⎝⎛⎭⎫12x 2－200x ＋80 000＝－12x 2＋300x －80 000＝－12(x －300)2－35 000,因为x ∈[400,600],所以S ∈[－80 000,－40 000]．故该单位每月不获利,需要国家每月至少补贴40 000元才能不亏损．应用基本不等式解决实际问题的基本步骤(1)理解题意,设出变量,建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最值问题; (2)在定义域内,利用基本不等式求出函数的最值; (3)还原为实际问题,写出答案．某游泳馆拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的泳池,池的深度为1米,池的四周墙壁建造单价为每米400元,中间一条隔壁建造单价为每米100元,池底建造单价每平方米60元(池壁厚忽略不计),则泳池的长设计为多少米时,可使总造价最低．解:设泳池的长为x 米,则宽为200x 米,总造价f (x )＝400×⎝⎛⎭⎫2x ＋2×200x ＋100×200x＋60×200＝800×⎝⎛⎭⎫x ＋225x ＋12 000≥1 600x ·225x ＋12 000＝36 000(元),当且仅当x ＝225x(x >0),即x ＝15时等号成立．即泳池的长设计为15米时,可使总造价最低．[基础题组练]1．(2020·安徽省六校联考)若正实数x ,y 满足x ＋y ＝2,则1xy 的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析:选A ．因为正实数x ,y 满足x ＋y ＝2, 所以xy ≤（x ＋y ）24＝224＝1,所以1xy ≥1.2．若2x ＋2y ＝1,则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[－2,0] C ．[－2,＋∞)D ．(－∞,－2] 解析:选D ．因为1＝2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y ,(当且仅当2x ＝2y ＝12,即x ＝y ＝－1时等号成立)所以2x ＋y ≤12,所以2x ＋y ≤14,得x ＋y ≤－2.3．若实数a ,b 满足1a ＋2b ＝ab ,则ab 的最小值为( )A ． 2B ．2C ．2 2D ．4解析:选C ．因为1a ＋2b ＝ab ,所以a ＞0,b ＞0,由ab ＝1a ＋2b≥21a ×2b＝22ab, 所以ab ≥22(当且仅当b ＝2a 时取等号), 所以ab 的最小值为2 2.4．(多选)若a ,b ∈R ,且ab >0,则下列不等式中,恒成立的是( ) A ．a ＋b ≥2ab B ．1a ＋1b >1abC ．b a ＋ab≥2D ．a 2＋b 2≥2ab解析:选CD ．因为ab >0,所以b a >0,a b >0,所以b a ＋ab≥2b a ·ab＝2,当且仅当a ＝b 时取等号．所以选项C 正确,又a ,b ∈R ,所以(a －b )2≥0,即a 2＋b 2≥2ab 一定成立．5．已知x >0,y >0,lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2,则1x ＋13y 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．2 3解析:选C ．因为lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2,所以lg(2x ·8y )＝lg 2,所以2x ＋3y＝2,所以x ＋3y ＝1.因为x >0,y >0,所以1x ＋13y ＝(x ＋3y )·⎝⎛⎭⎫1x ＋13y ＝2＋3y x ＋x 3y ≥2＋23y x ·x3y＝4,当且仅当x ＝3y ＝12时取等号,所以1x ＋13y的最小值为4.故选C ．6．设P (x ,y )是函数y ＝2x(x >0)图象上的点,则x ＋y 的最小值为________．解析:因为x >0,所以y >0,且xy ＝2.由基本不等式得x ＋y ≥2xy ＝22,当且仅当x ＝y 时等号成立．所以x ＋y 的最小值为2 2.答案:2 27．函数y ＝x 2x ＋1(x >－1)的最小值为________．解析:因为y ＝x 2－1＋1x ＋1＝x －1＋1x ＋1＝x ＋1＋1x ＋1－2(x >－1),所以y ≥21－2＝0,当且仅当x ＝0时,等号成立． 答案:08．(2020·湖南岳阳期末改编)若a >0,b >0,且a ＋2b －4＝0,则ab 的最大值为________,1a ＋2b的最小值为________． 解析:因为a >0,b >0,且a ＋2b －4＝0,所以a ＋2b ＝4,所以ab ＝12a ·2b ≤12×⎝⎛⎭⎫a ＋2b 22＝2,当且仅当a ＝2b ,即a ＝2,b ＝1时等号成立,所以ab 的最大值为2,因为1a ＋2b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋2b ·a ＋2b4＝14(5＋2b a ＋2a b )≥14⎝⎛⎭⎫5＋2·2b a ·2a b ＝94,当且仅当a ＝b 时等号成立,所以1a ＋2b 的最小值为94. 答案:2 949．(1)当x <32时,求函数y ＝x ＋82x －3的最大值;(2)设0<x <2,求函数y ＝x （4－2x ）的最大值． 解:(1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2x 2＋83－2x ＋32.当x <32时,有3－2x >0,所以3－2x 2＋83－2x ≥23－2x 2·83－2x＝4, 当且仅当3－2x 2＝83－2x ,即x ＝－12时取等号．于是y ≤－4＋32＝－52,故函数的最大值为－52.(2)因为0<x <2,所以2－x >0,所以y ＝x （4－2x ）＝2·x （2－x ）≤2·x ＋2－x2＝2,当且仅当x ＝2－x ,即x ＝1时取等号,所以当x ＝1时,函数y ＝x （4－2x ）的最大值为 2. 10．已知x >0,y >0,且2x ＋8y －xy ＝0,求 (1)xy 的最小值; (2)x ＋y 的最小值． 解:(1)由2x ＋8y －xy ＝0, 得8x ＋2y ＝1, 又x >0,y >0, 则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y ＝8xy. 得xy ≥64,当且仅当x ＝16,y ＝4时,等号成立． 所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0,得8x ＋2y ＝1,则x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫8x ＋2y ·(x ＋y ) ＝10＋2x y ＋8yx≥10＋22x y ·8yx＝18. 当且仅当x ＝12,y ＝6时等号成立,所以x ＋y 的最小值为18.[综合题组练]1．设a >0,若关于x 的不等式x ＋ax －1≥5在(1,＋∞)上恒成立,则a 的最小值为( ) A ．16 B ．9 C ．4D ．2解析:选C ．在(1,＋∞)上,x ＋a x －1＝(x －1)＋a x －1＋1≥2 （x －1）×a（x －1）＋1＝2a ＋1(当且仅当x ＝1＋a 时取等号)．由题意知2a ＋1≥5,所以a ≥4. 2．(2020·福建龙岩一模)已知x >0,y >0,且1x ＋1＋1y ＝12,则x ＋y 的最小值为( ) A ．3 B ．5 C ．7D ．9解析:选C ．因为x >0,y >0.且1x ＋1＋1y ＝12,所以x ＋1＋y ＝2⎝⎛⎭⎫1x ＋1＋1y (x ＋1＋y )＝2(1＋1＋y x ＋1＋x ＋1y )≥2(2＋2y x ＋1·x ＋1y )＝8,当且仅当yx ＋1＝x ＋1y ,即x ＝3,y ＝4时取等号,所以x ＋y ≥7,故x ＋y 的最小值为7,故选C ．3．已知正实数x ,y 满足x ＋y ＝1,①则x 2＋y 2的最小值为________;②若1x ＋4y ≥a 恒成立,则实数a 的取值范围是________．解析:因为x ＋y ＝1,所以xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝14,所以x 2＋y 2＝(x ＋y )2－2xy ≥1－14×2＝12,所以x 2＋y 2的最小值为12.若a ≤1x ＋4y 恒成立,则a 小于等于⎝⎛⎭⎫1x ＋4y 的最小值,因为1x ＋4y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋4y (x ＋y )＝5＋y x ＋4x y ≥5＋2y x ×4x y ＝9,所以1x ＋4y的最小值为9,所以a ≤9,故实数a 的取值范围是(－∞,9]． 答案:12(－∞,9]4．(2020·洛阳市统考)已知x >0,y >0,且1x ＋2y ＝1,则xy ＋x ＋y 的最小值为________．解析:因为1x ＋2y ＝1,所以2x ＋y ＝xy ,所以xy ＋x ＋y ＝3x ＋2y ,因为3x ＋2y ＝(3x ＋2y )·(1x ＋2y )＝7＋6x y ＋2yx,且x >0,y >0,所以3x ＋2y ≥7＋43,所以xy ＋x ＋y 的最小值为7＋4 3. 答案:7＋4 3教案、讲义、课件、试卷、PPT 模板、实用文案，请关注【春暖文案】，进店下载。
2.1 不等式的基本性质课件-2023届广东省高职高考数学第一轮复习第二章不等式
A．x2＞y2
B．ax＞ay
C．x＋5＞y＋5
D．x＋2y＞3y
【解析】 B选项中，当a＝0时，ax＝ay，故选项B不成立．
2．a、b、c 为实数，且 c≠0，下列命题中正确的是( D ) A．a＞b⇒ac＞bc B．ac＜bc⇒a＜b C．a＞b⇒1a＜1b D．a＞b⇒ca2＞cb2 【解析】 利用不等式的性质或举反例进行判断，取 a＝2、b＝－1、c＝－1 来检验，对 A 有ac＜bc，故 A 错；对 B 有 a＞b，故 B 错；对 C 有a1＞1b，故 C 错；对 D，∵ c≠0，∴ c12＞0，由不等式的性质知，选项 D 正确．
【融会贯通】 比较大小． (1)( 2＋ 3)2 与 4＋2 6； (2)2x2＋5x＋6 与(x＋3)(x＋2)，x∈R. 解：(1)∵( 2＋ 3)2－(4＋2 6)＝(5＋2 6)－(4＋2 6)＝1＞0，∴( 2＋ 3)2 ＞(4＋2 6)． (2)∵(2x2＋5x＋6)－(x＋3)(x＋2)＝(2x2＋5x＋6)－(x2＋5x＋6)＝x2≥0， ∴(2x2＋5x＋6)≥(x＋3)(x＋2)．
2.1 不等式的基本性质
知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5
1．不等式的概念 用不等号“≠、＞、＜、≥、≤”表示不等关系的式子叫做不等 式．如：f(x)＞g(x)，f(x)≤g(x)，等等．
知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5
2．几个恒不等式 任意实数的平方不小于0，即a2≥0. 任意实数的绝对值不小于0，即|a|≥0.
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件
【解析】 根据不等式的性质可知，a＞3 且 b＞3⇒a＋b＞6 成立，a＞3 且 b
2025年高考数学复习核心考点全题型突破(新教材新高考)第03讲 基本不等式(解析版)
A．
f
(x)
x2
1 x2
B． f (x) cos x 1 (0 x )
cos x
2
C． f (x) x2 4 x2 3
D．
f
(x)
3x
4 3x
2
【答案】AD
【详解】对于选项
A：∵x2＞0，∴由基本不等式可得 x2
1 x2
2 ，当且仅当
x2
1 x2
，即
x＝1
或
x= 1时，
等号成立，故选项 A 正确；
x 23
1 2 ，当且仅当 x2 3
x2 3
1 ，
x2 3
即 x2 2 时，等号成立，显然不可能取到，故选项 C 不正确；
对于选项
D：∵3x＞0，∴由基本不等式可得
f
(x)
3x
4 3x
2
2
3x
4 3x
2 2 ，当且仅当 3x
4 3x
，即 x＝
log32 时，等号成立，故选项 D 正确． 故选：AD．
D．若
a,
b
Rห้องสมุดไป่ตู้
，且
ab
0
，则
b a
a b
b a
a b
2
b a
a b
2
【答案】D
【详解】对于 A 选项，当 ab 0 时， b a 0 ，所以 A 选项错误. ab
对于 B 选项，如 x 时， cos x 1 2 0 ，所以 B 选项错误. cos x
对于
C
选项，由于
x
精练核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）下列不等式的证明过程正确的是（ ）
A．若 a,b R ，则 b a 2 b a 2 a b ab
专题03基本不等式-2022年(新高考)数学高频考点+重点题型(原卷版)
专题03基本不等式--2022年（新高考）数学高频考点+重点题型一、关键能力探索基本不等式的证明过程，会用基本不等式解决简单最大(小)值问题，利用不等式求最值的方法较多，要理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择合适大的运算方法，设计合理运算程序，并对条件问题中的代数式合理变形求得运算结果，培养学生的数学运算能力．二、教学建议基本不等式是解决问题的基本工具。
强化推理证明和不等式的应用意识．从新高考的命题看，试题多与数列、函数、解析几何交汇渗透，对不等式知识、方法技能要求较高．抓好推理论证，强化不等式的应用训练是提高解综合问题的关键．三、自主先学1．基本不等式：2a b+(1)基本不等式成立的条件：00a b >>，． (2)等号成立的条件：当且仅当a b =时取等号． (3)其中+2a b称为正数a ，b,a b 的几何平均数． 若0,0a b >>时, 211a b≤+2a b +≤当且仅当a b =时等号成 2．几个重要的不等式(1)重要不等式：22a b +≥2ab (),a b R ∈．当且仅当a b =时取等号．(2ab ≤22a b +⎛⎫⎪⎝⎭(),a b R ∈，当且仅当a b =时取等号．(3()222,22a b a b a b R ++⎛⎫≥∈ ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时取等号．3．利用基本不等式求最值 已知0,0x y >>，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x y =时，x y + 有最小值是(简记：积定和最小)．(2)如果和x y +是定值s ，那么当且仅当x y =时，xy 有最大值是24s (简记：和定积最大)．四、高频考点+重点题型考点一、基本不等式求最值（消元法）1．（2021·曲靖市第二中学高三二模（文））已知(),,0,a b c ∈+∞，320a b c -+=，的（ ）A BC D 2．（2021·浙江宁波市·高三二模）已知正数a ，b 满足2a b +=，当a =______时，2-a b取到最大值为______．3.设,,x y z 为正实数，满足230x y z -+=，则2y xz的最小值是考点二、基本不等式求最值（“1”的活用）1．（2021·重庆高三其他模拟）已知0a >，0b >，122a b+=，则2+a b 的最小值为（ ） A ．9 B ．5 C ．92 D ．522．（2021·沙坪坝区·重庆南开中学高三其他模拟）已知正实数m ，n 满足()14m n n -=，则4m n +的最小值是（ ） A ．25B ．18C ．16D ．83．（多选）（2021·福建三明市·高三三模）已知0x >，0y >，且21x y +=，则1x xy+可能取的值有（ ） A ．9 B ．10C ．11D ．124．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）已知正数a ，b 满足1a b +=，则1aa b+的最小值是___________.5．（2021·上海嘉定区·高三二模）已知正数,x y 满足41x y +=，则1y x+的最小值为________．6．（2021·全国高三其他模拟（理））已知0a >，0b >，且2a b +=，则1aa b+的最小值为___________.考点三、基本不等式求最值（配凑积、和）1．（多选）（2021·全国高三其他模拟）若x ＞1，y ＞2，且满足xy ﹣2x ＝y ，则1812x y +--的值可以为（ ） A ．72B ．3C ．4D ．1122．（2021·宁波中学高三其他模拟）若实数x 、y 满足2221x xy y +-=，则22522x xy y -+的最小值为___________.3．（2021·宁波市北仑中学高三其他模拟）已知正实数,x y 满足(31)(21)1x y x y +-+-=，则x y +的最小值是________．4．（2021·天津高三二模）已知,,a b c +∈R ，且24ab ac +=，则22822a b c a b c+++++的最小值是___________.考点四、多次使用基本不等式1．（2021·天津高考真题）若0 , 0a b >>，则21a b ab ++的最小值为____________．2．（2021·天津市武清区杨村第一中学高三其他模拟）已知,x y 都为正实数，则()241xy x x y++的最小值为___________．3．（2021·天津和平区·耀华中学高三二模）设0a b >>，那么41()a b a b +-的最小值是________.4．（2021·全国高三其他模拟）已知0a b >>，则41a ab a b+++-的最小值为__________．考点五、基本不等式功能：创建不等关系1．（2021·江苏扬州市·扬州中学高三其他模拟）已知正实数x ，y 满足()()419x y ++=，则xy 的最大值等于______．2.已知3,(0,0)ab a b a b =++>>，则ab 的取值范围是3.已知实数,x y 满足x y ，则x y +的最大值为4.已知01,0,,,=-+=++∈bc a c b a R c b a ，则a 的取值范围是考点六、比较式的大小1．（多选）（2021·全国高三其他模拟）已知a ，b ，c ∈R ，且2a b +=，则下列判断正确的是（ ）A ．若a b >，则a c b c >B ．若a b <，则c a c b ->-C ．2122a b+≥D ．222a b +≥2．（多选）（2021·全国高三二模）已知正数a ，b 满足ab a b =+，则（ ）A ．11211a b +≥-- B ．221112a b +≥ C ．1222ab --+≥D ．22log log 2a b +≥3．（多选）（2021·江苏南通市·高三其他模拟）若非负实数a 、b 满足21a b +=，则下列不等式中成立的有（ ） A ．214ab ≤B ．2412a b +≥C b ≥D ．2234a b +≥4．（多选）（2021·江苏南通市·高三一模）已知0a >，0b >，a b ab +=则（ ）A ．23a b +≥+B ．228a b +≥C ．15abab+≥ D ≤5．（多选）（2021·山东烟台市·烟台二中高三三模）已知0a >，0b >，且1a b -=，则（ ）A ．e e 1a b ->B ．e e 1a b -<C ．914a b-≤ D ．222log log 2a b -≥6．（多选）（2021·福建厦门市·厦门外国语学校高三其他模拟）已知00a b >>，，且4a b ab +=，则下列不等式正确的（ ）A ．16ab ≥B ．26a b +≥+C ．0a b -<D ．2211612a b +≥达标测试一、单项选择题1．不等式x 2＋x <a b ＋ba对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是( )A ．(－2,0)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－2,1)D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)2．已知向量a ＝(1，x －1)，b ＝(y,2)，其中x >0，y >0.若a ⊥b ，则xy 的最大值为( ) A ．14B ．12C ．1D ．23．若x >0，y >0，x ＋2y ＝1，则xy2x ＋y的最大值为( ) A ．14B ．15C ．19D ．1124．（2021·陕西西安市·西安中学高三其他模拟（文））已知a ，b R ∈，0a >，0b >，且21a b +=，则下列不等式中，成立的个数有①18ab ≤，①2127ab ≤，①23a b +<，①115a b+>（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4二、多项选择题5．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）当0x >，0y >时，下列不等式中恒成立的有（ ）A ．2xyx y ≤+B ．114x y x y+≥+C ．11x y +D ．22334x y x y x y++≥三、填空题6．若正数,x y 满足2249330x y xy ++=，则xy 的最大值是________．7．已知()()2log 2f x x =-，若实数,m n 满足()()23f m f n +=，则m n +的最小值是 ．四、解答题8．运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50100x ≤≤(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油(2＋2360x )升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．。
2021届浙江省数学学案第二章第3节基本不等式ab≤a+b2含解析
2021届浙江省高考数学一轮学案：第二章第3节基本不等式：ab≤a＋b2含解析第3节基本不等式：错误!≤错误!考试要求 1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题。
知识梳理1.基本不等式：错误!≤错误!（1）基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.(2)等号成立的条件:当且仅当a＝b时取等号。
(3）其中错误!称为正数a，b的算术平均数，错误!称为正数a，b的几何平均数。
2.几个重要的不等式（1)a2＋b2≥2ab（a,b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.(2）ab≤错误!错误!(a，b∈R),当且仅当a＝b时取等号。
（3)错误!≥错误!错误!(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号。
（4）错误!＋错误!≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号.3.利用基本不等式求最值已知x≥0，y≥0，则（1）如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2错误!(简记：积定和最小）。
(2)如果和x＋y是定值s,那么当且仅当x＝y时,xy有最大值是错误!（简记：和定积最大)。
［常用结论与易错提醒]1。
对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab≤错误!错误!≤错误!，错误!≤错误!≤错误!（a〉0,b〉0）等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件.2。
使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可。
3。
连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致。
4。
基本不等式的一般形式：错误!(a1＋a2＋a3＋…＋a n）≥错误!（其中a1,a2，a3，…,a n∈(0，＋∞)，当且仅当a1＝a2＝a3＝…＝a n时等号成立）。
诊断自测1。
判断下列说法的正误。
(1）当a≥0，b≥0时，错误!≥错误!。
（)(2）两个不等式a2＋b2≥2ab与a＋b2≥错误!成立的条件是相同的。
（）（3）函数y＝x＋错误!的最小值是2。
高考数学复习课件_基本不等式
§7.4
a+b 基本不等式: 基本不等式: ab ≤ (a > 0, b > 0) 2
基础知识 自主学习
要点梳理
1.基本不等式 1.基本不等式 ab ≤ a + b (1)基本不等式成立的条件:____________. (1)基本不等式成立的条件:____________. 基本不等式成立的条件 a>0,b>0 >0,b (2)等号成立的条件:当且仅当______时取等号. a=b (2)等号成立的条件:当且仅当______时取等号. 等号成立的条件 ______时取等号
a +b >0,b>0， 设a>0,b>0，则a,b的算术平均数为 ,几何平均 2 数为______ 基本不等式可叙述为： 两个正数的算 ______， 数为______，基本不等式可叙述为：_____________ ab 术平均数不小于它们的几何平均数 ________________________________.
8 yz • xz • xy ≥ = 8. xyz 当且仅当x 时等号成立. 当且仅当x=y=z时等号成立.
1 9 知能迁移2 已知x>0,y>0， 知能迁移2 （1）已知x>0,y>0，且 + = 1, 求x+y x y 的最小值； 的最小值； 5 1 已知x 的最大值; （2）已知x< , 求函数 y = 4 x − 2 + 的最大值; 4 4x − 5 ∈(0,+∞)且 +8y xy=0, =0,求 的最小值. （3）若x,y∈(0,+∞)且2x+8y-xy=0,求x+y的最小值.
y x
z x x y
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
上一页
返回导航
下一页
第二章 不等式
5
二、教材衍化
1．设 x＞0，y＞0，且 x＋y＝18，则 xy 的最大值为
()
A．80
B．77
C．81
D．82
解析：选 C．xy≤x＋2 y2＝1282＝81，当且仅当 x＝y＝9 时等号成立，故选 C．
上一页
返回导航
下一页
第二章 不等式
6
2．若把总长为 20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________． 解析：设矩形的长为 x m，宽为 y m，则 x＋y＝10，所以 S＝xy≤x＋2 y2＝25，当且仅 当 x＝y＝5 时取等号． 答案：25 m2
复习
指导
探索并了解基本不等式的证明过程，会用基本不等式解决简单的最大(小)值问
题．
核心素养：逻辑推理
上一页
返回导航
下一页
第二章 不等式
13
角度一 通过配凑法求最值 (1)已知 0<x<1，则 x(4－3x)取得最大值时 x 的值为________．
(2)已知 x<54，则 f(x)＝4x－2＋4x1－5的最大值为________． 【解析】 (1)x(4－3x)＝13·(3x)(4－3x)≤13·3x＋（24－3x）2＝43， 当且仅当 3x＝4－3x， 即 x＝23时，取等号．
上一页
返回导航
下一页
第二章 不等式
17
【迁移探究 1】 (变问法)若本例中的条件不变，则1a＋1b的最小值为________． 解析：因为 a>0，b>0，a＋b＝1，
所以1a＋1b＝a＋a b＋a＋b b＝2＋ba＋ab≥2＋2 ba·ab＝4，即1a＋1b的最小值为 4，当且仅当
上一页
返回导航
下一页
第二章 不等式
11
3．设 0<x<1，则函数 y＝2x(1－x)的最大值为________．
解析：y＝2x(1－x)≤2x＋12－x2＝12. 当且仅当 x＝1－x，即 x＝12时，等号成立． 答案：12
上一页
返回导航
下一页
第二章 不等式
12
考点一 利用基本不等式求最值(基础型)
（5－4x）5－14x＋3≤－2＋3
上一页
返回导航
下一页
第二章 不等式
15
通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略 拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值 应注意以下几个方面的问题： (1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等 价变形； (2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．
4
常用结论 几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时取等号． (2)ab≤a＋2 b2(a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时取等号． (3)a2＋2 b2≥a＋2 b2(a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时取等号． (4)ba＋ab≥2(a，b 同号)，当且仅当 a＝b 时取等号．
均数． [点拨] 应用基本不等式求最值要注意：“一正、二定、三相等”．忽略某个条件，就
会出错．
上一页
返回导航
下一页
第二章 不等式
3
2．利用基本不等式求最值
已知 x≥0，y≥0，则 (1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当___x_＝__y____时，x＋y 有最小值是____2__p____．(简
上一页
返回导航
下一页
7
(× ) (× ) (×) (× )
第二章 不等式
8
二、易错纠偏 常见误区 (1)忽视不等式成立的条件 a>0 且 b>0； (2)忽视定值存在； (3)忽视等号成立的条件．
上一页
返回导航
下一页
第二章 不等式
9
1．若 x<0，则 x＋1x
()
A．有最小值，且最小值为 2
B．有最大值，且最大值为 2
记：积定和最小)
s2
(2)如果和 x＋y 是定值 s，那么当且仅当___x_＝__y____时，xy 有最大值是_____4_____．(简
记：和定积最大)
[点拨] 在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式．若必须多次
使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致．
上一页
返回导航
下一页
第二章 不等式
上一页
返回导航
下一页
第二章 不等式
14
ห้องสมุดไป่ตู้
(2)因为 x<54，所以 5－4x>0， 则 f(x)＝4x－2＋4x1－5＝－(5－4x＋5－14x)＋3≤－2 ＝1. 当且仅当 5－4x＝5－14x，即 x＝1 时，等号成立． 故 f(x)＝4x－2＋4x1－5的最大值为 1. 【答案】 (1)23 (2)1
上一页
返回导航
下一页
第二章 不等式
16
角度二 通过常数代换法求最值 已知 a>0，b>0，a＋b＝1，则1＋1a1＋1b的最小值为________．
【解析】 1＋1a1＋1b＝1＋a＋a b1＋a＋b b＝2＋ba· 2＋ab＝5＋2ba＋ab≥5＋4＝9.当且仅当 a＝b＝12时，取等号． 【答案】 9
C．有最小值，且最小值为－2
D．有最大值，且最大值为－2
解析：选 D．因为 x<0，所以－x>0，－x＋－1x≥2 1＝2，当且仅当 x＝－1 时，等号
成立，所以 x＋1x≤－2.
上一页
返回导航
下一页
第二章 不等式
10
2．若 x>1，则 x＋x－4 1的最小值为________． 解析：x＋x－4 1＝x－1＋x－4 1＋1≥4＋1＝5. 当且仅当 x－1＝x－4 1，即 x＝3 时等号成立． 答案：5
上一页
返回导航
下一页
第二章 不等式
一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数 y＝x＋1x的最小值是 2. (2)ab≤a＋2 b2成立的条件是 ab>0. (3)“x>0 且 y>0”是“xy＋xy≥2”的充要条件． (4)若 a>0，则 a3＋a12的最小值是 2 a.
第二章 不等式
第3讲 基本不等式
数学
第二章 不等式
1
01
基础知识 自主回顾
02
学科素养 探究提升
03
高效演练 分层突破
上一页
返回导航
下一页
第二章 不等式
2
一、知识梳理
1．基本不等式： ab≤a＋2 b
(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.
(2)等号成立a＋的b条件：当且仅当___a_＝__b____时取等号． (3)其中____2______称为正数 a，b 的算术平均数，_____a_b____称为正数 a，b 的几何平