二次函数的动点问题(等腰、直角三角形的存在性问题)解析

_ Q

_ G

_

P

_ O

二次函数中的动点问题 三角形的存在性问题

一、技巧提炼

1、利用待定系数法求抛物线解析式的常用形式

（1）、【一般式】已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为 ，然后解三元方程组求解； （2）、【顶点式】已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常设解析式为 求解； 2、二次函数y=ax 2

+bx+c 与x 轴是否有交点，可以用方程ax 2

+bx+c = 0是否有根的情况进行判定；

判别式ac b 42-=∆ 二次函数与x 轴的交点情况

一元二次方程根的情况

△ ＞ 0 与x 轴 交点 方程有 的实数根

△ ＜ 0 与x 轴 交点 实数根 △ ＝ 0

与x 轴 交点

方程有 的实数根

3、抛物线上有两个点为A （x 1，y ），B （x 2，y ） (1)对称轴是直线2

x 2

1x x +=

(2)两点之间距离公式：

已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ， 则由勾股定理可得：2

21221)()(y y x x PQ -+-=

练一练：已知A （0，5）和B （－2，3），则AB ＝ 。 4、 常见考察形式

1）已知A （1,0），B （0，2），请在下面的平面直角坐标系 坐标轴上找一点C ，使△ABC 是等腰三角形； 总结：两圆一线

方法规律:平面直角坐标系中已知一条线段，构造等腰三角形，用的是“两圆一线”：分别以线段的两个

端点为圆心，线段长度为半径作圆，再作线段的垂直平分线；

2）已知A （-2,0），B （1，3），请在平面直角坐标系中坐标轴 上找一点C ，使△ABC 是直角三角形；

总结： 两线一圆

方法规律{平面直角坐标系中已知一条线段，构造直角三角形，用的是“两线一圆”：分别过已知线段的

两个端点作已知线段的垂线，再以已知线段为直径作圆； 5、求三角形的面积：

（1）直接用面积公式计算；（2）割补法；（3）铅垂高法； 如图，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线， 外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”（a ），中间的 这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高”（h ）． 我们可得出一种计算三角形面积的新方法：

S △ABC =1

2ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。

6、二次函数中三角形的存在性问题

解题思路：（1）先分类，罗列线段的长度；（2）再画图；（3）

后计算

B

C

铅垂高

水平宽

h a A

二、精讲精练

1.由动点产生的等腰三角形问题

如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；

（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-3，0），B（1.0），C（0，-3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

备用图

例.在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（1，0），如图所示，抛物线y=ax2-ax-2经过点B．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

三、实战训练

1、如图，抛物线y=ax2-5ax+4经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC．

（1）求抛物线的对称轴；

（2）写出A，B，C三点的坐标并求抛物线的解析式；

（3）探究：若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在△PAB是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由．

2、如图，直角梯形OABC中，OC∥AB，C（0，3），B（4，1），以BC为直径的圆交x轴于E，D两点（D点在E点右方）．

（1）求点E，D的坐标；

（2）求过B，C，D三点的抛物线的函数关系式；

（3）过B，C，D三点的抛物线上是否存在点Q，使△BDQ是以BD为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标．