一元二次方程根与系数的关系习题1
一元二次方程根与系数的关系习题(配答案)
一元二次方程根与系数的关系习题一、单项选择题：1．关于x 的方程0122=+-x ax 中，如果0<a ，那么根的情况是（ B ）（A ）有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根（C ）没有实数根 （D ）不能确定a 4)2(2--=∆ 解： 04>-∴a 实数根。
原方程有两个不相等的∴a 44-= 044>-∴a0<a 0>∆即2．设21,x x 是方程03622=+-x x 的两根，则2221x x +的值是（ C ）（A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）321x x ，方程两根为解： 2122122212)(x x x x x x -+=+∴2332121==+x x x x ， 623232=⨯-=3．下列方程中，有两个相等的实数根的是（ B ）（A ） 2y 2+5=6y （B ）x 2+5=2 5 x （C ） 3 x 2－ 2 x+2=0（D ）3x 2－2 6 x+1=0 )0(”的方程即可本题为找出“=∆4．以方程x 2＋2x －3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（ B ）（A ） y 2+5y －6=0 （B ）y 2+5y ＋6=0 （C ）y 2－5y ＋6=0 （D ）y 2－5y －6=0，则：，解：设方程两根为21x x 0)3)(2()]3()2[(2=--+-+--y y322121-=-=+x x x x ， 0652=++y y 即：：为根的一元二次方程为和以32--∴5．如果21x x ，是两个不相等实数，且满足12121=-x x ，12222=-x x ，那么21x x •等于（D ）（A ）2 （B ）－2 （C ） 1 （D ）－11212222121=-=-x x x x ，解： 的两根12221=-∴x x x x 可看作是方程， 121-=∴x x二、填空题：1、如果一元二次方程0422=++k x x 有两个相等的实数根，那么k ＝2±。
一元二次方程根与系数关系及应用题(习题)
一元二次方程根与系数关系及应用题（习题）例题示范例1：设x1，x2是方程2760x x ++=的两个根，利用根与系数的关系，求221211x x +的值． 解：那个地点a=1，b=7，c=6．∴x1+x2=-7，x1·x2=6例2：某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天售出30件，每件盈利40元．为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价2元时，平均每天可多卖出3件．若商场要求该服装部每天盈利1 200元，每件衬衫应降价多少元？解：设衬衫应降价x 元，依照题意，得解得：x1=20，x2=0（不合题意，舍去）∴每件衬衫应降价20元．巩固练习某品牌服装原售价为173元，通过连续两次降价后售价为127元，设平均每次降价x%，则所列方程为_______________．小丽要在一幅长为80 cm ，宽为50 cm 的矩形风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图，使整幅挂图的面积是5 400 cm2，设金色纸边的宽度为x cm ，则x 满足的方程是_______________．一种商品经连续两次降价后，价格是原先的14，若两次降价的百分率相同，则那个百分率为_______________．若x1，x2是一元二次方程23540x x --=的两个根，则x1+x2与12x x ⋅的值分别是_____________．若关于x 的方程2250x x a -+-=有两个正根，则a 的取值范畴是_______________．设x1，x2是方程23620x x +-=的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值．（1）12(1)(1)x x ++； （2）221212x x x x +；（3）1211x x +； （4）212()x x -．关于x 的一元二次方程22(21)10x k x k ++++=有两个不相等的实数根x1，x2． （1）求实数k 的取值范畴．（2）若方程两实数根x1，x2满足1212x x x x +=⋅，求k 的值．某市为争创全国文明卫生都市，2021年市政府对市区绿化工程投入的资金是2 000万元，2021年投入的资金是2 420万元，且从2021年到2021年，每年投入资金的年平均增长率相同．（1）求该市政府对市区绿化工程投入资金的年平均增长率；（2）若投入资金的年平均增长率不变，那么该市政府在2021年需投入多少万元？小明家有一块长为8 m ，宽为6 m 的矩形空地，妈妈预备在该空地上建筑一个花园，并使花园面积为空地面积的一半．小明设计了如下的两种方案供妈妈选择，请你选择其中的一种方案帮小明求出图中的x 值．方案一200件的售价每提高0.5元，售时，才能使每天的利润为1 210元？汽车站水果批发市场经销一种水果，假如每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发觉，在进价不变的情形下，若每千克这种水果在原售价的基础上每涨价1元，日销售量将减少20千克．假如市场每天销售这种水果盈利了6 000元，同时顾客又得到了实惠，那么每千克这种水果盈利了多少元？摸索小结从应用题处理框架角度来回忆经济型应用题：①明白得题意，梳理信息（列表、画图）借助_____方式梳理信息，注意从变化基础，变化关系，目标情形三个层面来进行分别梳理，操作时注意边写边进行表达．②建立数学模型依照题目中包蕴的经济关系或其他增长变化关系建立数学模型． 若满足等量关系，则建立_______模型．若满足不等关系，则建立_______模型．若描述的是两个变量的关系，则建立_______模型．通常利用函数性质来求解最大最小，最多最少的问题．③求解验证数据是否专门，结果是否符合题目要求及取值范畴；结果是否符合实际意义．结合本章知识图梳理本章知识，并回答下列问题：①解一元二次方程的差不多思想是___________，即通过_____或_____把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．②一元二次方程的解法中，_______是由________推导而来．③一元二次方程___________能够用来快速检验方程的解的正确性．【参考答案】巩固练习173(1-x%)2=127(50+2x)(80+2x)=5 40050%（1）53-； （2）43； （3）3； （4）203． （1）34k > （2）k=2 （1）10% （2）2 928.2万元方案一中x=2，方案二中x=2．将每件商品提高9元出售时，才能使每天的利润为1 210元．每千克这种水果盈利了15元．摸索小结①列表；②方程；不等式；函数；①降次；配方；因式分解；②公式法；配方法；③根与系数关系。
(完整版)一元二次方程根与系数的关系习题(配答案)
一元二次方程根与系数的关系习题一、单项选择题:1．关于x 的方程0122=+-x ax 中，如果0<a ，那么根的情况是（ ) (A)有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根 (C ）没有实数根 (D ）不能确定2．设21,x x 是方程03622=+-x x 的两根，则2221x x +的值是（ ） (A ）15 （B ）12 （C ）6 (D ）33．下列方程中，有两个相等的实数根的是（ ）（A ） 2y 2+5=6y （B ）x 2+5=2，5 x(C)错误!x 2－错误!x+2=0（D ）3x 2－2错误!x+1=04．以方程x 2＋2x －3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是( ）（A ） y 2+5y －6=0 （B ）y 2+5y ＋6=0 （C ）y 2－5y ＋6=0 （D)y 2－5y －6=05．如果21x x ，是两个不相等实数，且满足12121=-x x ，12222=-x x ,那么21x x •等于（ ) （A ）2 (B ）－2 （C ） 1 （D)－1 二、填空题：1、如果一元二次方程0422=++k x x 有两个相等的实数根,那么k ＝ .2、如果关于x 的方程012)14(222=-++-k x k x 有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是 。
3、已知21x x ，是方程04722=+-x x 的两根，则21x x +＝ ，21x x ＝ ，221)(x x -＝4、若关于x 的方程01)2()2(22=+---x m x m 的两个根互为倒数，则m ＝ 。
5、当m = 时，方程042=++mx x 有两个相等的实数根;6、已知关于x 的方程07)3(102=-++-m x m x ,若有一个根为0,则m = ，这时方程的另一个根是 ；若两根之和为－错误!，则m = ，这时方程的 两个根为 .7、如果5)1(222+++-m x m x 是一个完全平方式，则m = ；8、方程6)4(22-=-x mx x 没有实数根，则最小的整数m = ;9、已知方程)4()3)(1(2-=--m x m x x 两根的和与两根的积相等，则m = ; 10、设关于x 的方程062=+-k x x 的两根是m 和n ,且2023=+n m ,则k 值为 ; 11、若方程01)12(22=++--m x m x 有实数根，则m 的取值范围是 12、一元二次方程02=++q px x 两个根分别是32+和32-，则p= ,q= 13、已知方程01932=+-m x x 的一个根是1，那么它的另一个根是 ，m= ；14、若方程012=-+mx x 的两个实数根互为相反数，那么m 的值是 ;15、n m 、是关于x 的方程01)12(22=++--m x m x 的两个实数根，则代数式n m = . 16、已知方程0132=+-x x 的两个根为α，β，则α+β= , αβ= ；17、如果关于x 的方程042=+-m x x 与022=--m x x 有一个根相同，则m 的值为 ； 18、已知方程0322=+-k x x 的两根之差为2错误!，则k= 19、若方程03)2(22=--+x a x 的两根是1和－3，则a=20、①、若关于x 的方程04)1(222=+-+m x m x 有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m 的值为 ; ②、已知关于x 的一元二次方程01)1()1(22=++--x a x a 两根互为倒数,则a= 。
初中数学一元二次方程根与系数的关系专项训练题一(附答案详解)
初中数学一元二次方程根与系数的关系专项训练题一（附答案详解）1．若x=1是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根，则判别式△=b 2－4ac 和完全平方式M=2)2(b a +的关系是（ ）A ．△=MB ．△>MC ．△<MD ．大小关系不能确定2．我们知道，一元二次方程x 2=﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1．若我们规定一个新数“i”，使其满足i 2=﹣1（即方程x 2=﹣1有一个根为i ）．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i 1=i ，i 2=﹣1，i 3=i 2•i=（﹣1）•i=﹣i ，i 4=（i 2）2=（﹣1）2=1，从而对于任意正整数n ，我们可以得到i 4n+1=i 4n •i=（i 4）n •i=i ，同理可得i 4n+2=﹣1，i 4n+3=﹣i ，i 4n =1．那么i+i 2+i 3+i 4+…+i 2012+i 2013的值为（ ）A ．0B ．iC ．﹣1D ．13．我们已探究过一元二次方程的根与系数有如下关系：方程（）的两个根是，，则，，若，是一元二次方程的两个根，则的值等于___________.4．阅读材料：设一元二次方程(≠0)的两根为，，则两根与方程的系数之间有如下关系：+＝－，·＝.根据该材料完成下列填空： 已知，是方程的两根，则（1）+＝ ,； （2）（）（）＝ . 5．如果是一元二次方程的一个根，是一元二次方程的一根，那么的值是________． 6．已知如下一元二次方程:第1个方程: 01232=-+x x ；第2个方程: 01452=-+x x ；第3个方程: 01672=-+x x ； ⋯⋯按照上述方程的二次项系数、一次项系数、常数项的排列规律，则第8个方程为 ；第n (n 为正整数)个方程为 ，其两个实数根为 . 7．已知，，满足，，则关于的一元二次方程的根是________． 8．设是一元二次方程的两个实数根，且，则a =__________. 9．阅读：一元二次方程的根，与系数存在下列关系：，；理解并完成下列各题：若关于的方程的两根为、．求和；求．10．如果21,x x 分别是一元二次方程a 2x +b x +c =0（a ≠0）的两根，请你解决下列问题： （1）推导根与系数的关系：21x x +＝-a b ， 21x x ＝ac（2）已知1x ，2x 是方程2x -4x +2=0的两个实根，利用根与系数的关系求221)(x x -的值； （3）已知sin a ，cos a （0090a ＜＜）是关于x 的方程22x -0)13(=++m x 的两个根，求角a 的度数．11．阅读理解：若x 1，x 2是关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两个根，则方程的两个根x 1，x 2和系数a ，b ，c 有如下关系：x 1+x 2=﹣b a ，x 1•x 2=ca，我们把它们称为一元二次方程的根与系数关系定理．问题解决：请你参考根与系数关系定理，解答下列问题：（1）若关于x 的方程x 2+3x+a=0有一个根为﹣1，则另一个根为 ．（2）求方程2x2﹣3x=5的两根之和，两根之积．12．如果一元二次方程的两根为、，那么就有：，；人们称之为韦达定理，即根与系数的关系．如：的两根为、，则，．（1）如果方程的两根为、，且满足，，则________，________；（2）已知、是关于的方程的两实根，求的最大值．13．若，是关于的一元二次方程的两个根，则方程的两个根，和系数，，有如下关系：，，把它们称为一元二次方程根与系数关系定理，请利用此定理解答一下问题：已知，是一元二次方程的两个实数根．（1）是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，请你说明理由；（2）若，求的值和此时方程的两根．答案： 1．A解：把x=1代入)0(02≠=++a c bx ax 得a+b+c=0. 即b=-a-c ，△△=b 2-4ac=（-a-c ）2-4ac=a 2-2ac+c2=（a-c ）2，M=（2a+b ）2=（2a-a-c ）2=（a-c ）2， 则△=M ． 2．B 解：3．-2解：△x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣4x +2=0的两个根，△x 1+x 2=4，x 1•x 2=2，△（x 1﹣2）（x 2﹣2）=x 1•x 2﹣2（x 1+x 2）+4=2﹣2×4+4=﹣2． 故答案为：－2． 4．（1）2011，2012；（2）2解：（1）根据题意得m+n=2012，mn=2013； （2）△m ，n 是方程x 2-2012x+2013=0的两根， △m 2-2012m+2013=0，n 2-2012n+2013=0， △m 2-2012m=-2013，n 2-2012n=-2013，△（m 2-2013m+2014）（n 2-2013n+2014）=（-m-2013+2014）（-n-2013+2014） =（-m+1）（-n+1）=mn-（m+n ）+1=2013-2012+1=2． 5．0或3解：△a 是一元二次方程x 2−3x +m =0的一个根,−a 是一元二次方程x 2+3x −m =0的一个根， △a 2−3a +m =0△,a 2−3a −m =0△，+△,得2(a 2−3a )=0， △a =或 故选：或 6．17x 2+16x-1=0，(2n+1)x 2+2nx-1=0，x 1=-1，1212+=n x 解：由题意得第8个方程为17x 2+16x-1=0，第n (n 为正整数)个方程为(2n+1)x 2+2nx-1=0[]01)12()1(=-++x n x ，解得x 1=-1，1212+=n x .7．； 解：△，△△-△得： 3a=b ，c=2a ， △ax 2+bx+c=0， △x==，△x 1==-1，x 2==-2；故答案为：x 1=-1；x 2=-2．8．8解：△x 1，x 2是一元二次方程x 2+5x-3=0的两个根， △x 2+5x 2-3=0，x 1x 2=-3， △2x 1（x 22+6x 2-3）+a=3， △2x 1x 2+a=3，△-6+a=3，△a=8，故答案是：8． 9．，；．解：△关于的方程的两根为、，△，；．10．（1）推导过程；（2）8；（3）30°或60°.解：（1）因为1x ，2x 是方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根，所以224(40)2b b ac x b ac a-±-=-≥，即2142b b ac x a-+-=，2224(40)2b b ac x b ac a---=-≥∴1x +2x =242b b ac a -+-+242b b ac a ---=ba -；1x 2x =242b b ac a -+-×242b b ac a -+-=c a（2）△x 1，x 2是方程x 2-4x+2=0的两根， △x 1+x 2=4，x 1•x 2=2，△（x 1-x 2）2=（x 1+x 2）2-4x 1x 2=42-4×2=8； （3）由题意得，31sin cos 2a a ++=，sin cos 2m a a = △2423sin cos 4a a ++=（） 即 1+23122m ⨯=+ △32m =△原方程变为22x -3(31)02x ++=，解这个方程得：112x =，232x = ∴1sin 2a =或3sin 2a =即030=a 或060a = 答：a 的值是30°或60° 11．（1）﹣2（2）x 1+x 2=32，x 1x 2=﹣52解：（1）设一元二次方程的两根为x 1，x 2，且x 1=﹣1， 则根据一元二次方程根与系数的关系， 得﹣1+x 2=﹣3， 解得：x 2=﹣2． 故答案是：﹣2．（2）解：原方程可以转化为：2x 2﹣3x ﹣5=0， △a =2，b =﹣3，c =﹣5，△b 2﹣4ac =（﹣3）2﹣4×2×（﹣5）=49＞0， △方程有两个不相等的实数根， 设方程的两个实数根分别x 1，x 2，则 x 1+x 2=３２，x 1x 2=﹣５２． 12．（1）（2）解：（1）由韦达定理得，，解得m=4，n=-1；（2）△、是关于的方程的两实根，△，，△=．△的最大值是．13．（1）存在，12（2），；，解：（1）存在．△，是一元二次方程的两个实数根，△且，△的取值范围为且，根据根与系数的关系得，，△，△，△，△；（2）△，△，即，△，解得，，当时，原方程变形为，解得，；当时，原方程变形为，解得，．。
(完整版)一元二次方程根与系数的关系习题精选(含答案)
一元二次方程根与系数的关系习题精选（含答案）一．选择题（共22小题）1．（2014•宜宾）若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程是（ ） A ．x2+3x﹣2=0B．x2﹣3x+2=0C．x2﹣2x+3=0D．x2+3x+2=02．（2014•昆明）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个实数根，则x1•x2等于（ ） A ．﹣4B．﹣1C．1D．43．（2014•玉林）x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m使+=0成立？则正确的结论是（ ） A ．m=0时成立B．m=2时成立C．m=0或2时成立D．不存在4．（2014•南昌）若α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，则α2+β2的值为（ ） A ．10B．9C．7D．55．（2014•贵港）若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则b+c的值是（ ） A ．﹣10B．10C．﹣6D．﹣16．（2014•烟台）关于x的方程x2﹣ax+2a=0的两根的平方和是5，则a的值是（ ） A ．﹣1或5B．1C．5D．﹣17．（2014•攀枝花）若方程x2+x﹣1=0的两实根为α、β，那么下列说法不正确的是（ ） A ．α+β=﹣1B．αβ=﹣1C．α2+β2=3D．+=﹣18．（2014•威海）方程x2﹣（m+6）x+m2=0有两个相等的实数根，且满足x1+x2=x1x2，则m的值是（ ） A ．﹣2或3B．3C．﹣2D．﹣3或2i mA ．2B ．1C ．﹣1D ．0 10．（2014•黄冈样卷）设a ，b 是方程x 2+x ﹣2015=0的两个实数根，则a 2+2a+b 的值为（ ） A ．2012B ．2013C ．2014D ．2015 11．（2014•江西模拟）一元二次方程x 2﹣2x ﹣3=0与3x 2﹣11x+6=0的所有根的乘积等于（ ） A．﹣6B ．6C ．3D．﹣3 12．（2014•峨眉山市二模）已知x 1、x 2是方程x 2﹣（k ﹣2）x+k 2+3k+5=0的两个实数根，则的最大值是（ ） A ．19B ．18C ．15D ．13 13．（2014•陵县模拟）已知：x 1、x 2是一元二次方程x 2+2ax+b=0的两根，且x 1+x 2=3，x 1x 2=1，则a 、b 的值分别是（ ） A ．a=﹣3，b=1B ．a=3，b=1C ．a=﹣，b=﹣1D ．a=﹣，b=1 14．（2013•湖北）已知α，β是一元二次方程x 2﹣5x ﹣2=0的两个实数根，则α2+αβ+β2的值为（ ） A．﹣1B ．9C ．23D ．27 15．（2013•桂林）已知关于x 的一元二次方程x 2+2x+a ﹣1=0有两根为x 1和x 2，且x 12﹣x 1x 2=0，则a 的值是（ ）A ．a=1B ．a=1或a=﹣2C ．a=2D ．a=1或a=216．（2013•天河区二模）已知一元二次方程x 2﹣4x+3=0两根为x 1、x 2，则x 1+x 2=（ ）A ．4B ．3C ．﹣4D．﹣3 17．（2013•青神县一模）已知m 和n 是方程2x 2﹣5x ﹣3=0的两根，则的值等于（ ）A ．B ．C ．D ． 18．（2012•莱芜）已知m 、n 是方程x 2+2x+1=0的两根，则代数式的值为（ ）A 9B ．±3C ．3D 5ei n re 19．（2012•天门）如果关于x 的一元二次方程x 2+4x+a=0的两个不相等实数根x 1，x 2满足x 1x 2﹣2x 1﹣2x 2﹣5=0，那么a 的值为（ ） A ．3B ．﹣3C ．13D．﹣13 20．（2011•锦江区模拟）若方程x 2﹣3x ﹣2=0的两实根为x 1、x 2，则（x 1+2）（x 2+2）的值为（ ） A．﹣4B ．6C ．8D ．12 21．（2011•鄂州模拟）已知p 2﹣p ﹣1=0，1﹣q ﹣q 2=0，且pq ≠1，则的值为（ ）A ．1B ．2C ．D ．22．（2010•滨湖区一模）若△ABC 的一边a 为4，另两边b 、c 分别满足b 2﹣5b+6=0，c 2﹣5c+6=0，则△ABC 的周长为（ ） A ．9B ．10C ．9或10D ．8或9或10二．填空题（共4小题）23．（2014•莱芜）若关于x 的方程x 2+（k ﹣2）x+k 2=0的两根互为倒数，则k= _________ ．24．（2014•呼和浩特）已知m ，n 是方程x 2+2x ﹣5=0的两个实数根，则m 2﹣mn+3m+n= _________ ．25．（2014•广州）若关于x 的方程x 2+2mx+m 2+3m ﹣2=0有两个实数根x 1、x 2，则x 1（x 2+x 1）+x 22的最小值为 _________ ． 26．（2014•桂林）已知关于x 的一元二次方程x 2+（2k+1）x+k 2﹣2=0的两根为x 1和x 2，且（x 1﹣2）（x 1﹣x 2）=0，则k 的值是 _________ ． 三．解答题（共4小题）27．（2014•泸州）已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2﹣2（m+1）x+m 2+5=0的两实数根．（1）若（x 1﹣1）（x 2﹣1）=28，求m 的值；（2）已知等腰△ABC 的一边长为7，若x 1，x 2恰好是△ABC 另外两边的边长，求这个三角形的周长． 28．（2014•日照二模）已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2+（3a ﹣1）x+2a 2﹣1=0的两个实数根，其满足29．（2013•孝感）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k使得x1•x2﹣x12﹣x22≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 30．（2001•苏州）已知关于x 的一元二次方程，（1）求证：不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设x1、x2是方程的两个根，且x12﹣2kx1+2x1x2=5，求k的值．一元二次方程根与系数的关系习题精选（含答案）参考答案与试题解析一．选择题（共22小题）1．（2014•宜宾）若关于x 的一元二次方程的两个根为x 1=1，x 2=2，则这个方程是（ ） A ．x 2+3x ﹣2=0B ．x 2﹣3x+2=0C ．x 2﹣2x+3=0D ．x 2+3x+2=0考点：根与系数的关系．分析：解决此题可用验算法，因为两实数根的和是1+2=3，两实数根的积是1×2=2．解题时检验两根之和是否为3及两根之积是否为2即可．解答：解：两个根为x 1=1，x 2=2则两根的和是3，积是2．A 、两根之和等于﹣3，两根之积等于﹣2，所以此选项不正确；B 、两根之和等于3，两根之积等于2，所以此选项正确；C 、两根之和等于2，两根之积等于3，所以此选项不正确；D 、两根之和等于﹣3，两根之积等于2，所以此选项不正确，故选：B ．点评：验算时要注意方程中各项系数的正负． 2．（2014•昆明）已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣4x+1=0的两个实数根，则x 1•x 2等于（ ） A．﹣4B ．﹣1C ．1D ．4考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：直接根据根与系数的关系求解．解答：解：根据韦达定理得x 1•x 2=1．故选：C ．点评：本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x 1，x 2，则x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=．3．（2014•玉林）x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2﹣mx+m ﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m 使+=0成立？则正确的结论是（ ） A ．m=0时成立B ．m=2时成立C ．m=0或2时成立D ．不存在分析：先由一元二次方程根与系数的关系得出，x 1+x 2=m ，x 1x 2=m ﹣2．假设存在实数m 使+=0成立，则=0，求出m=0，再用判别式进行检验即可．解答：解：∵x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2﹣mx+m ﹣2=0的两个实数根，∴x 1+x 2=m ，x 1x 2=m ﹣2．假设存在实数m 使+=0成立，则=0，∴=0，∴m=0．当m=0时，方程x 2﹣mx+m ﹣2=0即为x 2﹣2=0，此时△=8＞0，∴m=0符合题意．故选：A ．点评：本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系：如果x 1，x 2是方程x 2+px+q=0的两根时，那么x 1+x 2=﹣p ，x 1x 2=q ．4．（2014•南昌）若α，β是方程x 2﹣2x ﹣3=0的两个实数根，则α2+β2的值为（ ） A ．10B ．9C ．7D ．5考点：根与系数的关系．分析：根据根与系数的关系求得α+β=2，αβ=﹣3，则将所求的代数式变形为（α+β）2﹣2αβ，将其整体代入即可求值．解答：解：∵α，β是方程x 2﹣2x ﹣3=0的两个实数根，∴α+β=2，αβ=﹣3，∴α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=22﹣2×（﹣3）=10．故选：A ．点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．5．（2014•贵港）若关于x 的一元二次方程x 2+bx+c=0的两个实数根分别为x 1=﹣2，x 2=4，则b+c 的值是（ ） A．﹣10B ．10C ．﹣6D．﹣1分析：根据根与系数的关系得到﹣2+4=﹣b，﹣2×4=c，然后可分别计算出b、c的值，进一步求得答案即可．解答：解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，∴根据根与系数的关系，可得﹣2+4=﹣b，﹣2×4=c，解得b=﹣2，c=﹣8∴b+c=﹣10．故选：A．点评：此题考查根与系数的关系，解答此题的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：x1+x2=﹣，x1x2=． 6．（2014•烟台）关于x的方程x2﹣ax+2a=0的两根的平方和是5，则a的值是（ ） A ．﹣1或5B．1C．5D．﹣1考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：计算题．分析：设方程的两根为x1，x2，根据根与系数的关系得到x1+x2=a，x1•x2=2a，由于x12+x22=5，变形得到（x1+x2）2﹣2x1•x2=5，则a2﹣4a﹣5=0，然后解方程，满足△≥0的a的值为所求．解答：解：设方程的两根为x1，x2，则x1+x2=a，x1•x2=2a，∵x12+x22=5，∴（x1+x2）2﹣2x1•x2=5，∴a2﹣4a﹣5=0，∴a1=5，a2=﹣1，∵△=a2﹣8a≥0，∴a=﹣1．故选：D．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．也考查了一元二次方程的根的判别式．7．（2014•攀枝花）若方程x2+x﹣1=0的两实根为α、β，那么下列说法不正确的是（ ） A ．α+β=﹣1B．αβ=﹣1C．α2+β2=3D．+=﹣1考点：根与系数的关系．分析：先根据根与系数的关系得到α+β=﹣1，αβ=﹣1，再利用完全平方公式变形α2+β2得到（α+β）2﹣2αβ，利用通分变形+得到，然后利用整体代入的方法分别计算两个代数式的值，这样可对各选项进行判断．解答：解：根据题意得α+β=﹣1，αβ=﹣1．所以α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=（﹣1）2﹣2×（﹣1）=3；+===1．故选：D ．点评：本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x 1，x 2，则x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=．8．（2014•威海）方程x 2﹣（m+6）x+m 2=0有两个相等的实数根，且满足x 1+x 2=x 1x 2，则m 的值是（ ） A．﹣2或3B ．3C ．﹣2D．﹣3或2考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：判别式法．分析：根据根与系数的关系有：x 1+x 2=m+6，x 1x 2=m 2，再根据x 1+x 2=x 1x 2得到m 的方程，解方程即可，进一步由方程x 2﹣（m+6）+m 2=0有两个相等的实数根得出b 2﹣4ac=0，求得m 的值，由相同的解解决问题．解答：解：∵x 1+x 2=m+6，x 1x 2=m 2，x 1+x 2=x 1x 2，∴m+6=m 2，解得m=3或m=﹣2，∵方程x 2﹣（m+6）x+m 2=0有两个相等的实数根，∴△=b 2﹣4ac=（m+6）2﹣4m 2=﹣3m 2+12m+36=0解得m=6或m=﹣2∴m=﹣2．故选：C ．点评：本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0，a ，b ，c 为常数）根的判别式△=b 2﹣4ac ．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x 1，x 2，则x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=．9．（2014•长沙模拟）若关于x 的一元二次方程x 2+（k+3）x+2=0的一个根是﹣2，则另一个根是（ ）A 2B ．1C ．D 0考点：根与系数的关系．分析：根据一元二次方程的根与系数的关系x1•x2=来求方程的另一个根．解答：解：设x1、x2是关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+2=0的两个根，由韦达定理，得x1•x2=2，即﹣2x2=2，解得，x2=﹣1．即方程的另一个根是﹣1．故选C．点评：此题主要考查了根与系数的关系．在利用根与系数的关系x1+x2=﹣、x1•x2=时，要注意等式中的a、b、c所表示的含义．10．（2014•黄冈样卷）设a，b是方程x2+x﹣2015=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（ ） A ．2012B．2013C．2014D．2015考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：计算题．分析：先根据一元二次方程的解的定义得到a2+a﹣2015=0，即a2+a=2015，则a2+2a+b变形为a+b+2015，再根据根与系数的关系得到a+b=﹣1，然后利用整体代入的方法计算．解答：解：∵a是方程x2+x﹣2015=0的根，∴a2+a﹣2015=0，即a2+a=2015，∴a2+2a+b=a+b+2015，∵a，b是方程x2+x﹣2015=0的两个实数根∴a+b=﹣1，∴a2+2a+b=a+b+2015=﹣1+2015=2014．故选C．点评：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．也考查了一元二次方程的解．11．（2014•江西模拟）一元二次方程x2﹣2x﹣3=0与3x2﹣11x+6=0的所有根的乘积等于（ ） A ．﹣6B．6C．3D．﹣3e t 分析：由一元二次方程x 2﹣2x ﹣3=0和3x 2﹣11x+6=0先用判别式判断方程是否有解，再根据根与系数的关系，即可直接得出答案．解答：解：由一元二次方程x 2﹣2x ﹣3=0，∵△=4+16=20＞0，∴x 1x 2=﹣3，由一元二次方程3x 2﹣11x+6=0，∵△=121﹣4×3×6=49＞0，∴x 1x 2=2∴﹣3×2=﹣6故选A ．点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系．解此类题目要把代数式变形为两根之积的形式． 12．（2014•峨眉山市二模）已知x 1、x 2是方程x 2﹣（k ﹣2）x+k 2+3k+5=0的两个实数根，则的最大值是（ ） A ．19B ．18C ．15D ．13考点：根与系数的关系；二次函数的最值．分析：根据x 1、x 2是方程x 2﹣（k ﹣2）x+（k 2+3k+5）=0的两个实根，由△≥0即可求出k 的取值范围，然后根据根与系数的关系求解即可．解答：解：由方程有实根，得△≥0，即（k ﹣2）2﹣4（k 2+3k+5）≥0所以 3k 2+16k+16≤0，所以 （3k+4）（k+4）≤0解得﹣4≤k ≤﹣．又由x 1+x 2=k ﹣2，x 1•x 2=k 2+3k+5，得x 12+x 22=（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=（k ﹣2）2﹣2（k 2+3k+5）=﹣k 2﹣10k ﹣6=19﹣（k+5）2，当k=﹣4时，x 12+x 22取最大值18．故选：B ．点评：本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是根据△≥0先求出k 的取值范围再根据根与系数的关系进行求解．13．（2014•陵县模拟）已知：x 1、x 2是一元二次方程x 2+2ax+b=0的两根，且x 1+x 2=3，x 1x 2=1，则a 、b 的值分别是（ ） A ．a=﹣3，b=1B ．a=3，b=1C ．a=﹣，b=﹣1D ．a=﹣，b=1考点：根与系数的关系．分析：根据根与系数的关系得到得x1+x2=﹣2a，x1x2=b，即﹣2a=3，b=1，然后解一次方程即可．解答：解：根据题意得x1+x2=﹣2a，x1x2=b，所以﹣2a=3，b=1，解得a=﹣，b=1．故选D．点评：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．14．（2013•湖北）已知α，β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则α2+αβ+β2的值为（ ） A ．﹣1B．9C．23D．27考点：根与系数的关系．分析：根据根与系数的关系α+β=﹣，αβ=，求出α+β和αβ的值，再把要求的式子进行整理，即可得出答案．解答：解：∵α，β是方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，∴α+β=5，αβ=﹣2，又∵α2+αβ+β2=（α+β）2﹣βα，∴α2+αβ+β2=52+2=27；故选D．点评：此题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法，若方程两个为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1x2=．15．（2013•桂林）已知关于x的一元二次方程x2+2x+a﹣1=0有两根为x1和x2，且x12﹣x1x2=0，则a的值是（ ） A ．a=1B．a=1或a=﹣2C．a=2D．a=1或a=2考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：压轴题．分析：根据x12﹣x1x2=0可以求得x1=0或者x1=x2，所以①把x1=0代入原方程可以求得a=1；②利用根的判别式等于0来求a的值．解答：解：解x12﹣x1x2=0，得x1=0，或x1=x2，①把x1=0代入已知方程，得t i me an dAl l t h i ng sa ﹣1=0，解得：a=1；②当x 1=x 2时，△=4﹣4（a ﹣1）=0，即8﹣4a=0，解得：a=2．综上所述，a=1或a=2．故选：D ．点评：本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解的定义．解答该题的技巧性在于巧妙地利用了根的判别式等于0来求a 的另一值．16．（2013•天河区二模）已知一元二次方程x 2﹣4x+3=0两根为x 1、x 2，则x 1+x 2=（ ） A ．4B ．3C ．﹣4D．﹣3考点：根与系数的关系．分析：根据一元二次方程x 2﹣4x+3=0两根为x 1、x 2，直接利用x 1+x 2=﹣求出即可．解答：解：∵一元二次方程x 2﹣4x+3=0两根为x 1、x 2，∴x 1+x 2=﹣=4．故选A ．点评：此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正确记忆根与系数关系公式是解决问题的关键． 17．（2013•青神县一模）已知m 和n 是方程2x 2﹣5x ﹣3=0的两根，则的值等于（ ） A ．B ．C ．D ．考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：根据根与系数的关系得到m+n=，mn=﹣，再变形+得到，然后利用整体思想计算．解答：解：根据题意得m+n=，mn=﹣，所以+===﹣．故选D ．点评：本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x 1，x 2，则x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=．18．（2012•莱芜）已知m 、n 是方程x 2+2x+1=0的两根，则代数式的值为（ ） A 9B ．±3C ．3D5i e dl l t h i ng si nt he i rb a re go od fo s ．．考点：根与系数的关系；二次根式的化简求值．专题：整体思想．分析：根据一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与系数的关系得到m+n=﹣2，mn=1，再变形得，然后把m+n=﹣2，mn=1整体代入计算即可．解答：解：∵m 、n 是方程x 2+2x+1=0的两根，∴m+n=﹣2，mn=1，∴====3．故选C ．点评：本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与系数的关系：若方程两根分别为x 1，x 2，则x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=．也考查了二次根式的化简求值．19．（2012•天门）如果关于x 的一元二次方程x 2+4x+a=0的两个不相等实数根x 1，x 2满足x 1x 2﹣2x 1﹣2x 2﹣5=0，那么a 的值为（ ） A ．3B ．﹣3C ．13D．﹣13考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：利用根与系数的关系求得x 1x 2=a ，x 1+x 2=﹣4，然后将其代入x 1x 2﹣2x 1﹣2x 2﹣5=x 1x 2﹣2（x 1+x 2）﹣5=0列出关于a的方程，通过解方程即可求得a 的值．解答：解：∵x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2+4x+a=0的两个不相等实数根，∴x 1x 2=a ，x 1+x 2=﹣4，∴x 1x 2﹣2x 1﹣2x 2﹣5=x 1x 2﹣2（x 1+x 2）﹣5=a ﹣2×（﹣4）﹣5=0，即a+3=0，解得，a=﹣3；故选B ．点评：本题考查了根与系数的关系．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 20．（2011•锦江区模拟）若方程x 2﹣3x ﹣2=0的两实根为x 1、x 2，则（x 1+2）（x 2+2）的值为（ ） A．﹣4B ．6C ．8D ．12考点：根与系数的关系．分析：根据（x 1+2）（x 2+2）=x 1x 2+2x 1+2x 2+4=x 1x 2+2（x 1+x 2）+4，根据一元二次方程根与系数的关系，即两根的和与积，代入数值计算即可．解答：解：∵x 1、x 2是方程x 2﹣3x ﹣2=0的两个实数根．thingsintheirbeingareg∴x1+x2=3，x1•x2=﹣2．又∵（x1+2）（x2+2）=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2（x1+x2）+4．将x1+x2=3、x1•x2=﹣2代入，得（x1+2）（x2+2）=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2（x1+x2）+4=（﹣2）+2×3+4=8．故选C点评：将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．21．（2011•鄂州模拟）已知p2﹣p﹣1=0，1﹣q﹣q2=0，且pq≠1，则的值为（ ） A．1B．2C．D．考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：首先把1﹣q﹣q2=0变形为，然后结合p2﹣p﹣1=0，根据一元二次方程根与系数的关系可以得到p与是方程x2﹣x﹣1=0的两个不相等的实数根，那么利用根与系数的关系即可求出所求代数式的值．解答：解：由p2﹣p﹣1=0和1﹣q﹣q2=0，可知p≠0，q≠0，又∵pq≠1，∴，∴由方程1﹣q﹣q2=0的两边都除以q2得：，∴p与是方程x2﹣x﹣1=0的两个不相等的实数根，则由韦达定理，得p+=1，∴=p+=1．故选A．点评：本题考查了根与系数的关系．首先把1﹣q﹣q2=0变形为是解题的关键，然后利用根与系数的关系就可以求出所求代数式的值．22．（2010•滨湖区一模）若△ABC的一边a为4，另两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，则△ABC的周长为（ ） A．9B．10C．9或10D．8或9或10考点：根与系数的关系；三角形三边关系．专题：压轴题．分析：由于两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，那么b、c可以看作方程x2﹣5x+6=0的两根，根据根与系数的关系可以得到b+c=5，bc=6，而△ABC的一边a为4，由此即可求出△ABC的一边a为4周长．解答：解：∵两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，∴b、c可以看作方程x2﹣5x+6=0的两根，∴b+c=5，bc=6，而△ABC的一边a为4，①若b=c，则b=c=3或b=c=2，但2+2=4，所以三角形不成立，故b=c=3．∴△ABC的周长为4+3+3=10或4+2+2②若b≠c，∴△ABC的周长为4+5=9．故选C．点评：此题把一元二次方程的根与系数的关系与三角形的周长结合起来，利用根与系数的关系来三角形的周长．此题要注意分类讨论．二．填空题（共4小题）23．（2014•莱芜）若关于x的方程x2+（k﹣2）x+k2=0的两根互为倒数，则k= ﹣1 ．考点：根与系数的关系．专题：判别式法．分析：根据已知和根与系数的关系x1x2=得出k2=1，求出k的值，再根据原方程有两个实数根，求出符合题意的k的值．解答：解：∵x1x2=k2，两根互为倒数，∴k2=1，解得k=1或﹣1；∵方程有两个实数根，△＞0，∴当k=1时，△＜0，舍去，故k的值为﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查了根与系数的关系，根据x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的两个实数根，则x1+x2=﹣，x1x2=进行求解．24．（2014•呼和浩特）已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n= 8 ．考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：常规题型．Array分析：根据m+n=﹣=﹣2，m•n=﹣5，直接求出m、n即可解题．解答：解：∵m 、n 是方程x 2+2x ﹣5=0的两个实数根，∴mn=﹣5，m+n=﹣2，∵m 2+2m ﹣5=0∴m 2=5﹣2mm 2﹣mn+3m+n=（5﹣2m ）﹣（﹣5）+3m+n =10+m+n =10﹣2=8故答案为：8．点评：此题主要考查了一元二次方程根根的计算公式，根据题意得出m 和n 的值是解决问题的关键． 25．（2014•广州）若关于x 的方程x 2+2mx+m 2+3m ﹣2=0有两个实数根x 1、x 2，则x 1（x 2+x 1）+x 22的最小值为 ．考点：根与系数的关系；二次函数的最值．专题：判别式法．分析：由题意可得△=b 2﹣4ac ≥0，然后根据不等式的最小值计算即可得到结论．解答：解：由题意知，方程x 2+2mx+m 2+3m ﹣2=0有两个实数根，则△=b 2﹣4ac=4m 2﹣4（m 2+3m ﹣2）=8﹣12m ≥0，∴m ≤，∵x 1（x 2+x 1）+x 22=（x 2+x 1）2﹣x 1x 2=（﹣2m ）2﹣（m 2+3m ﹣2）=3m 2﹣3m+2=3（m 2﹣m+﹣）+2=3（m ﹣）2 +；∴当m=时，有最小值；∵＜，∴m=成立；∴最小值为；故答案为：．点评：本题考查了一元二次方程根与系数关系，考查了一元二次不等式的最值问题．总结一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．26．（2014•桂林）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2﹣2=0的两根为x1和x2，且（x1﹣2）（x1﹣x2）=0，则k的值是 ﹣2或﹣ ．考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：先由（x1﹣2）（x1﹣x2）=0，得出x1﹣2=0或x1﹣x2=0，再分两种情况进行讨论：①如果x1﹣2=0，将x=2代入x2+（2k+1）x+k2﹣2=0，得4+2（2k+1）+k2﹣2=0，解方程求出k=﹣2；②如果x1﹣x2=0，那么将x1+x2=﹣（2k+1），x1x2=k2﹣2代入可求出k的值，再根据判别式进行检验．解答：解：∵（x1﹣2）（x1﹣x2）=0，∴x1﹣2=0或x1﹣x2=0．①如果x1﹣2=0，那么x1=2，将x=2代入x2+（2k+1）x+k2﹣2=0，得4+2（2k+1）+k2﹣2=0，整理，得k2+4k+4=0，解得k=﹣2；②如果x1﹣x2=0，那么（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=[﹣（2k+1）]2﹣4（k2﹣2）=4k+9=0，解得k=﹣．又∵△=（2k+1）2﹣4（k2﹣2）≥0．解得：k≥﹣．所以k的值为﹣2或﹣．故答案为：﹣2或﹣．点评：本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，注意在利用根与系数的关系时，需用判别式进行检验．三．解答题（共4小题）27．（2014•泸州）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0的两实数根．（1）若（x1﹣1）（x2﹣1）=28，求m的值；（2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．考点：根与系数的关系；三角形三边关系；等腰三角形的性质．专题：代数几何综合题．分析：（1）利用（x1﹣1）（x2﹣1）=x1•x2﹣（x1+x2）+1=m2+5﹣2（m+1）+1=28，求得m的值即可；（2）分7为底边和7为腰两种情况分类讨论即可确定等腰三角形的周长．解答：解：（1）∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0的两实数根，∴x1+x2=2（m+1），x1•x2=m2+5，∴（x1﹣1）（x2﹣1）=x1•x2﹣（x1+x2）+1=m2+5﹣2（m+1）+1=28，解得：m=﹣4或m=6；当m=﹣4时原方程无解，∴m=6；（2）①当7为底边时，此时方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0有两个相等的实数根，∴△=4（m+1）2﹣4（m2+5）=0，解得：m=2，∴方程变为x2﹣6x+9=0，解得：x1=x2=3，∵3+3＜7，∴不能构成三角形；②当7为腰时，设x1=7，代入方程得：49﹣14（m+1）+m2+5=0，解得：m=10或4，当m=10时方程变为x2﹣22x+105=0，解得：x=7或15∵7+7＜15，不能组成三角形；当m=4时方程变为x2﹣10x+21=0，解得：x=3或7，此时三角形的周长为7+7+3=17．点评：本题考查了根与系数的关系及三角形的三边关系，解题的关键是熟知两根之和和两根之积分别与系数的关系．28．（2014•日照二模）已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2+（3a ﹣1）x+2a 2﹣1=0的两个实数根，其满足（3x 1﹣x 2）（x 1﹣3x 2）=﹣80．求实数a 的所有可能值．考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：计算题．分析：根据△的意义由一元二次方程x 2+（3a ﹣1）x+2a 2﹣1=0的两个实数根得到△≥0，即（3a ﹣1）2﹣4（2a 2﹣1）=a 2﹣6a+5≥0，根据根与系数的关系得到x 1+x 2=﹣（3a ﹣1），x 1•x 2=2a 2﹣1，由（3x 1﹣x 2）（x 1﹣3x 2）=﹣80变形得到3（x 1+x 2）2﹣16x 1x 2=﹣80，于是有3（3a ﹣1）2﹣16（2a 2﹣1）=﹣80，解方程得到a=3或a=﹣，然后代入△验算即可得到实数a 的值．解答：解：∵x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2+（3a ﹣1）x+2a 2﹣1=0的两个实数根，∴△≥0，即（3a ﹣1）2﹣4（2a 2﹣1）=a 2﹣6a+5≥0所以a ≥5或a ≤1．…（3分）∴x 1+x 2=﹣（3a ﹣1），x 1•x 2=2a 2﹣1，∵（3x 1﹣x 2）（x 1﹣3x 2）=﹣80，即3（x 12+x 22）﹣10x 1x 2=﹣80，∴3（x 1+x 2）2﹣16x 1x 2=﹣80，∴3（3a ﹣1）2﹣16（2a 2﹣1）=﹣80，整理得，5a 2+18a ﹣99=0，∴（5a+33）（a ﹣3）=0，解得a=3或a=﹣，当a=3时，△=9﹣6×3+5=﹣4＜0，故舍去，当a=﹣时，△=（﹣）2﹣6×（﹣）+6=（）2+6×+6＞0，∴实数a 的值为﹣点评：本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与系数的关系：如果方程的两根为x 1，x 2，则x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=．也考查了一元二次方程根的判别式以及代数式的变形能力．29．（2013•孝感）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k+1）x+k 2+2k=0有两个实数根x 1，x 2．（1）求实数k 的取值范围；（2）是否存在实数k 使得x 1•x 2﹣x 12﹣x 22≥0成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．e an dAl l t h i ng si nt he i rb ei n ga re go od fo r考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：压轴题．分析：（1）根据已知一元二次方程的根的情况，得到根的判别式△≥0，据此列出关于k 的不等式[﹣（2k+1）]2﹣4（k 2+2k ）≥0，通过解该不等式即可求得k 的取值范围；（2）假设存在实数k 使得≥0成立．利用根与系数的关系可以求得，然后利用完全平方公式可以把已知不等式转化为含有两根之和、两根之积的形式≥0，通过解不等式可以求得k 的值．解答：解：（1）∵原方程有两个实数根，∴[﹣（2k+1）]2﹣4（k 2+2k ）≥0，∴4k 2+4k+1﹣4k 2﹣8k ≥0∴1﹣4k ≥0，∴k ≤．∴当k ≤时，原方程有两个实数根． （2）假设存在实数k 使得≥0成立．∵x 1，x 2是原方程的两根，∴．由≥0，得≥0．∴3（k 2+2k ）﹣（2k+1）2≥0，整理得：﹣（k ﹣1）2≥0，∴只有当k=1时，上式才能成立．又∵由（1）知k ≤，∴不存在实数k 使得≥0成立．点评：本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解不等式时一定要注意数值的正负与不等号的变化关系．30．（2001•苏州）已知关于x 的一元二次方程，（1）求证：不论k 取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设x 1、x 2是方程的两个根，且x 12﹣2kx 1+2x 1x 2=5，求k 的值．n ga re go od fo rs 考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：计算题；证明题；压轴题．分析：（1）要保证方程总有两个不相等的实数根，就必须使△＞0恒成立；（2）欲求k 的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．解答：解：（1）已知关于x 的一元二次方程，∴△=（﹣2k ）2﹣4×（k 2﹣2）=2k 2+8，∵2k 2+8＞0恒成立，∴不论k 取何值，方程总有两个不相等的实数根．（2）∵x 1、x 2是方程的两个根，∴x 1+x 2=2k ，x 1•x 2=k 2﹣2，∴x 12﹣2kx 1+2x 1x 2=x 12﹣（x 1+x 2）x 1+2x 1x 2=x 1x 2=k 2﹣2=5，解得k=±．点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．。
一元二次方程的根与系数的关系(八大题型提分练)(解析版)
21.2.4一元二次方程的根与系数的关系（八大题型提分练）题型一、利用根与系数的关系求两根之和与两根之积1．（2024·天津红桥·三模）若一元二次方程22320x x +-=的两个根分别为1x ，2x ，则12x x +的值为（）A ．32-B ．32C ．1-D ．12．（2024·天津宝坻·二模）若12x x ，是方程2320x x --=的两个根，则（）A ．122x x =-B ．122x x =C ．123x x +=-D ．1223x x +=3．（2024·甘肃兰州·二模）若1x ，2x 是方程2650x x -+=两个根，则（）A ．126x x +=-B ．126x x +=C ．1256x x ⋅=-D ．125x x ⋅=-【答案】B【分析】本题考查根与系数的关系，解题的关键是记住1x ，2x 是一元二次方程200ax bx c a ++=≠（）的两根题型二、利用根与系数的关系求代数式的值4．（2024·山东菏泽·一模）已知m ，n 是一元二次方程²220260x x +-=的两个实数根，则代数式²3m m n ++的值等于()A ．2026B ．2025C ．2024D ．2023【答案】C【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程解的定义，正确将原式变形为()()22mm m n +++是解题的关键．根据一元二次方程的根与系数的关系和一元二次方程解的定义得到2220262m m m n +=+=-，，再把原式变形为()()22m m m n +++，由此代值计算即可．【详解】解：∵m 、n 是一元二次方程²220260x x +-=的两个实数根，∴22202602m m m n +-=+=-,，∴222026m m +=，∴²3m m n++()()2222m m m n =+++()()22m m m n =+++()20262=+-2024=，故选C ．5．（2024·山东济宁·一模）设α，β是一元二次方程23170x x +-=的两个根，则252a αβ++=.【答案】11【分析】此题主要考查了根与系数的关系，由α，β是一元二次方程23170x x +-=的两个根，得出3αβ+=-，23170αα+-=，再把252a αβ++变形为()232αααβ+++，即可求出答案．【详解】解：∵α，β是一元二次方程23170x x +-=的两个根，∴3αβ+=-，23170αα+-=，∴2317αα+=，∴()()225232172311ααβαααβ++=+++=+⨯-=，故答案为：11．6．（2024·江苏盐城·二模）已知：α，β是方程2240x x +-=有两个实数根．求出下列代数式的值(1)()1αβα++；(2)242ααβ++．【答案】(1)6-(2)0【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系．（1）根据根与系数的关系可得2αβ+=-，4αβ=-，再将所求代数式变形，最后代入求解即可；（2）根据题意可得2240αα+-=，2αβ+=-，推出224αα+=，再将所求式子变形，最后代入求解即可．【详解】（1）解： α，β是方程2240x x +-=有两个实数根，∴2αβ+=-，4αβ=-，∴(1)246αβαααββ++=++=--=-；（2） α，β是方程2240x x +-=有两个实数根，∴2240αα+-=，∴224αα+=，∴242ααβ++2(2)(22)αααβ=+++()()222αααβ=+++()422=+⨯-0=题型三、已知代数式的值求参数7．（2024·四川乐山·二模）已知一元二次方程230x x k -+=的两个实数根为12,x x ，若1212221x x x x ++=，则实数k 的值为（）A ．5-B ．7C ．1-D ．18．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知1x 、2x 是关于x 的方程2230x x k -+-=的两实数根，且2211221x x x x x x +=+-，则k 的值为．9．（2024·广东东莞·一模）已知一元二次方程()22210x m x m +-+=(1)若方程有两个实数根，求m 的取值范围；(2)若方程的两个实数根为12,x x ，且121210x x x x ++-=求m 的值．10．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）已知一元二次方程2102x x m -+=．(1)若方程有实数根，求m 的取值范围；(2)若方程的两个实数根为12x x 、，且1233x x +=，求m 的值．∴0m =．题型四、已知方程的一根求另一根和参数的值11．（23-24九年级下·山东烟台·期中）250x x m --=的一个根，则该方程的另一根是（）A ．1-B ．1C ．2D ．312．（23-24九年级下·海南省直辖县级单位·期中）已知关于x 的方程230x x n --=有一个根是1-，则另一个根为．【答案】4【分析】本题考查根与系数的关系，设另一个根为a ，由两根之和等于3，进行求解即可．【详解】解：设方程的另一个根为a ，则：()13a +-=，∴4a =；即：另一个根为4；故答案为：4．13．（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）已知关于x 的一元二次方程()22210x k x k k -+++=．(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)已知方程一个根为2，求k 的值．【答案】(1)见解析(2)1k =，或2k =【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程根的判别式判定根的情况，一元二次方程根与系数的关系，是解题的关键．（1）根据一元二次方程写出根的判别式，根据根的判别式的值为正数即可证明方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的另一根为α，根据根与系数的关系列方程组，消去a ，得到k 的一元二次方程，解方程即得．【详解】（1）解：∵()()2222Δ21414414410k k k k k k k ⎡⎤=-+-⨯⨯+=++--=>⎣⎦，故方程有两个不相等的实数根．（2）设方程的另一根为a ，则22212a k a k k+=+⎧⎨=+⎩，∴2320k k -+=，∴()()120k k --=，∴10k -=，或20k -=，解得，1k =，或2k =．题型五、根与系数的关系与判别式综合问题14．（2024·江苏宿迁·三模）关于x 的一元二次方程()²00ax bx c ac ++=≠，有以下命题：①若0a b c -+=，则²40b ac -≥②若方程的两根为3-和1，则30a c +=③若上述方程有两个相等的实数根，则²1ax bx c ++=-必有实数根；④若m 是该方程的一个根，则1m一定是²0cx bx a ++=的一个根．其中真命题的个数（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的知识，掌握一元二次方程解的概念和计算方法，根与系数的关系是解题的关键．根据一元二次方程的解，把131x x x =-==，，代入可判定命题①②；根据根的判别式240b ac ∆=-≥可判15．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）已知两个实数x 、y ，可按如下规则进行运算：计算(1)(1)1x y ---的结果，得到的数记为1z ，称为第一次操作．再从x 、y 、1z 中任选两个数，操作一次得到的数记为2z ；再从x 、y 、1z 、2z 中任选两个数，操作一次得到的数记为3z ，依次进行下去．以下结论正确的个数为（）①若x 、y 为方程240m m +-=的两根，则1 2z =-；②对于整数x 、y ，若x y +为偶数，在操作过程中，得到的n z 一定为偶数；③若4,2x y =-=，要使得2024n z >成立，则n 至少为4．A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B 【分析】本题考查新定义的实数运算和一元二次方程根与系数的关系，理解题目中的算法是解题的关键．①先化简(1)(1)1x y ---，根据根与系数的关系得1x y +=-，4xy =-，即可求解；②对于整数x 、y ，若x y +为偶数，则x 、y 同为偶数或同为奇数，xy 为偶数或奇数，计算结果可能为奇数或偶数；③先计算1z ，然后从中选取绝对值较大的两个数，进行计算，即可求解．【详解】解：①x 、y 为方程240m m +-=的两根，∴1x y +=-，4xy =-，∴()()(1)(1)111413x y xy x y xy x y ---=--+-=-+=---=-故说法错误；②对于整数x 、y ，若x y +为偶数，则x 、y 同为偶数或同为奇数，∴xy 为偶数或奇数，∴(1)(1)1x y ---的结果可能为奇数或偶数，∴得到的n z 一定为偶数说法错误；③若4,2x y =-=，则1826z =-+=-，然后从中选取绝对值较大的两个数，进行计算，则()()()2464634z =-⨯----=()()3346346232z =⨯---=-，()4232342323467690z =-⨯--+=-，16．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知关于x 的一元二次方程22560x x p -+-=．(1)求证：无论p 取何值时，方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程的两实数根为12,x x ，且满足124x x =，试求出p 的值．17．（23-24九年级下·江苏泰州·阶段练习）对于代数式2ax bx c ++，若存在实数n ，当时，代数式的值也等于n ，则称n 为这个代数式的不变值．例如：对于代数式2x ，当0x =时，代数式等于0；当1x =时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的不变值．在代数式存在不变值时，该代数式的最大不变值A=．与最小不变值的差记作A．特别地，当代数式只有一个不变值时，则0 (1)代数式22x x-的不变值是________，A=_______．(2)已知代数式2x bx b-+，A=，求b的值；①若0②若12A≤≤，b为整数，求所有整数b的和．题型六、根与系数的关系与三角形问题18．（23-24九年级下·江苏苏州·阶段练习）已知关于x 的方程()2330x k x k -++=．(1)求证：无论k 取任何实数，该方程总有实数根；(2)若等腰三角形的三边长分别为a b c ，，，其中1a =，并且b c ，恰好是此方程的两个实数根，求此三角形的周长．【答案】(1)见解析(2)7【分析】此题考查了根与系数的关系，根的判别式，三角形三边关系，以及等腰三角形的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．（1）表示出方程根的判别式，判断其值大于等于0即可得证；（2）分两种情况考虑：当b c =时，求出方程的解，进而得到三角形周长；当1a c ==或1a b ==时，把1x =代入方程求出k 的值，进而求出周长即可．【详解】（1）证明：∵()()222Δ34136930k k k k k ⎡⎤=-+-⨯⨯=-+=-≥⎣⎦，∴无论k 取任何实数，方程总有实数根；（2）解：当b c =时，3k =，方程为2690x x -+=，解得：123x x ==，此时三边长为133，，，周长为1337++=；当1a b ==或1a c ==时，把1x =代入方程得：()1330k k -++=，解得：1k =，此时方程为：2430x x -+=，解得：1231x x ==，，此时三边长为113，，不能组成三角形，综上所述，ABC 的周长为7．19．（2023·四川绵阳·一模）已知关于x 的方程()()2340x x p p ---+=；(1)求证：方程总有实数根；(2)若方程的两根12,x x 为直角三角形的两边长，且25x =，求P 的值及该直角三角形的周长．20．（22-23九年级上·黑龙江七台河·期末）已知1x ，2x 是关于x 的一元二次方程222(1)50x m x m -+++=的两实数根．(1)若12(1)(1)28x x --=，求m 的值；(2)已知等腰ABC 的一边长为7，若1x ，2x 恰好是ABC 另外两边的边长，求这个三角形的周长．【详解】（1）解：根据题意得判别式()()2241450m m =+-+≥，解得2m ≥，122(1)x x m +=+，2125=+x x m ，121)18)(2(x x --= ，即1212()128x x x x -++=，252(1)128m m ∴+-++=，整理得22240m m --=，解得16m =，24m =-，而2m ≥，m ∴的值为6；（2）解：当腰长为7时，则7x =是一元二次方程222(1)50x m x m -+++=的一个解，把7x =代入方程得24914(1)50m m -+++=，整理得214400m m -+=，解得110m =，24m =，当10m =时，122(1)22x x m +=+=，解得215x =，而7715+<，故舍去；当4m =时，122(1)10x x m +=+=，解得23x =，则三角形周长为37717++=；当7为等腰三角形的底边时，则12x x =，所以2m =，方程化为2690x x -+=，解得123x x ==，则337+<，故舍去，所以这个三角形的周长为17．题型七、根与系数的关系与四边形问题21．（2023·江西新余·一模）已知平行四边形ABCD 的两邻边的长m ，n 分别是关于x 的一元二次方程21024k x kx -+-=的两个实数根．(1)求k 的取值范围；(2)当k 为何值时，四边形ABCD 是菱形；(3)当k 为何值时，四边形ABCD 的两条对角线的长相等，且都等于102，求出这时四边形ABCD 的周长和面积．题型八、新定义及材料探究题22．（2023·江西新余·一模）如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，且其中一个根是另一个根的3倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”．例如：方程2430x x -+=的两个根是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”．(1)方程2320x x -+=______（填“是”或“否”）“三倍根方程”；(2)若关于x 的方程240x x c -+=是“三倍根方程”，求c ；(3)若()20x m n x mn -++=是关于x 的“三倍根方程”，求代数式22mnm n +的值．23．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）如果关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“2倍根方程”，(1)方程2680x x -+=“2倍根方程”（填“是”或“不是”）；(2)若一元二次方程290x x c -+=是“2倍根方程”，求出c 的值．(3)若()()()300x ax b a --=≠是“2倍根方程”，求代数式32a ba b-+的值．1．（2024·安徽合肥·二模）已知关于x 的方程2230x x k -+=的两根分别为1x 和2x ，若1240x x +=，则k 的值为（）A ．23-B ．2-C ．23D ．22．（2024·湖北黄石·二模）设m n ，分别为一元二次方程2220240x x +-=的两个实数根，则23m m n ++=（）A ．2020B ．2022C ．2024D ．2026【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根和系数的关系，代数式求值，由一元二次方程根的定义可得2220240m m +-=，进而得222024m m +=，由一元二次方程根和系数的关系可得2m n +=-，再把23m m n ++转化为()22m m m n +++，代入前面所得式子的值计算即可求解，掌握一元二次方程根的定义及根和系数的关系是解题的关键．【详解】解：∵m n ，分别为一元二次方程2220240x x +-=的两个实数根，∴2220240m m +-=，2m n +=-，∴222024m m +=，∴()2232202422022m m n m m m n ++=+++=-=，故选：B ．3．（2024·江苏南京·二模）若关于x 的方程()200ax bx c a ++=≠的两根之和为p ，两根之积为q ，则关于y的方程()()2110a y b y c -+-+=的两根之积是（）A ．1p q ++B ．1p q -+C ．1q p -+D ．1q p --【答案】A【分析】本题考查根与系数的关系，设关于x 的方程()200ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，得到1212,x x p x x q +==，换元法，得到()()2110a y b y c -+-+=的两个根为121,1x x ++，再进行求解即可．【详解】解：设关于x 的方程()200ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，则：1212,x x p x x q +==，∴关于y 的方程()()2110a y b y c -+-+=的两根为11221,1y x y x =+=+，∴()()()121212121111y y x x x x x x q p =++=+++=++；故选A ．4．（2024·江苏南京·二模）关于x 的方程22x kx +=（k 为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（）A ．两个正根B ．两个负根C ．一个正根，一个负根D ．无实数根5．（2024·四川达州·二模）若一个菱形的两条对角线长分别是关于x 的一元二次方程2120x x m -+=的两个实数根，且其面积为20，则该菱形的边长为（）A ．B ．C ．4D ．66．（2024·内蒙古乌兰察布·二模）设1x 、2x 是一元二次方程260x mx --=的两个根，且121x x =+，则12x x -=．【答案】5【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解一元二次方程，由一元二次方程根与系数的关系得出121x x m +==，再利用因式分解法解一元二次方程，最后代入计算即可得出答案，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解此题的关键．【详解】解： 1x 、2x 是一元二次方程260x mx --=的两个根，且121x x =+，121x x m ∴+==，7．（2024·四川内江·二模）已知实数a ，b 满足251a a -=-，215b b +=，则b aa b+=．8．（2024·山东济宁·三模）若关于x 的方程2220(x x m m m +--=为正整数）的两根分别记为m α，m β，如：当1m =时，方程的两根记为1α，1β，则112220232023111111αβαβαβ++++⋯++=．9．（2024·甘肃天水·三模）已知关于x的方程2220x mx m m+++=有两个不相等的实数根1x，2x．(1)求m的取值范围；(2)若22121240x x x x m++=，求m的值．解得：0m =或1或2m =-，0m < ，2m ∴=-．10．（2024·四川南充·三模）已知关于x 的一元二次方程()221230x k x k -+--=有两个不相等的实数根．(1)求实数k 的取值范围，(2)当2k =时，设方程的两个实数根分别为12,x x ，求32221121243x x x x x -+++的值．913=++13=．11．（2024·安徽合肥·二模）类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法．阅读材料：设20x px q ++=的两个根为1x 和2x ，那么22121212()()()x px q x x x x x x x x x x ++=--=-++比较系数，可得12x x p +=-，12x x q =．类比推广，回答问题：设320x px qx r +++=的三个根为1x ，2x ，3x ，那么323123()()()x px qx r x x x x x x x +++=---=+___________（）2x +（___________）x +（___________）．比较系数，可以得到一元三次方程的根与系数的关系：123x x x ++=___________，___________q =，123x x x =___________．【答案】123x x x ---，122313x x x x x x ++，r -，p -，122313x x x x x x ++，r【分析】本题主要考查根据一元二次方程中根和系数之间的关系推理一元三次方程中根与系数的关系，掌握一元二次方程中根与系数的关系，多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．将一元三次方程按照一元二次方程的方式因式分解为，再将其按照多项式乘以多项式的方式展开，得到()()32123122313123x x x x x x x x x x x x x x x =-+++++-，最后得到根与系数关系123x x x p ++=-，122313q x x x x x x +=+，123x x x r =即可；【详解】解：根据材料提示得，32123()()()x px qx r x x x x x x +++=---，()212123()x x x x x x x x ⎡⎤=-++-⎣⎦，()()32231212312123x x x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤=--++++-⎣⎦，()()32123122313123x x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤=-+++++-⎣⎦，()()32123122313123x x x x x x x x x x x x x x x =-+++++-，32x px qx r +++=，∴123x x x p ++=-，122313q x x x x x x +=+，123x x x r =-；故答案为：123x x x ---，122313x x x x x x ++，123x x x ，p -，122313x x x x x x ++，-r ．12．（2024·四川南充·二模）已知关于x 的一元二次方程()232100x m x m --+-=．(1)求证：此一元二次方程总有实数根；(2)已知ABC 两边长a ，b 分别为该方程的两个实数根，且第三边长3c =，若ABC 的周长为偶数，求m 的值．13．（2024·四川南充·二模）关于x 的一元二次方程()222120x m x m -+++=有实数根．(1)求m 的取值范围；。
一元二次方程根与系数的关系专题
1、已知关于x 的方程x 2-2(m+1)x+m 2-2m-3=0 …①的两个不相等实数根中有一个根为0。
是否存在实数k ，使关于x 的方程x 2-(k-m)x-k-m 2+5m-2=0 …②的两个实数根x 1,x 2之差的绝对值为1？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。
2、已知关于x 的一元二次方程0132=-++m x x⑴请选取一个你喜爱的m 的值，使方程有两个不相等的实数根，并说明它的正确性； ⑵设x 1，x 2是⑴中所得方程的两个根，求x 1x 2＋x 1＋x 2的值。
3、已知抛物线y=(1-m)x 2+4x-3开口向下，与x 轴交于A(x 1,0)和B(x 2,0)两点， 其中x l <x 2．(1)求m 的取值范围；(2)若x 12+ x 22=10，求抛物线的解析式，并在给出的直角坐标系中画出这条抛物线；(3)设这条抛物线的顶点为C ，延长CA 交y 轴于点D ．在y 轴上是否存在点P ，使以P 、 0、B 为顶点的三角形与△BCD 相似?若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明 理由．4、关于x 的方程04)1(2=+++k x k kx 有两个不相等的实数根。
（1）求k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于0 ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。
5、已知：关于x 的一元二次方程01)12(2=-+++k x k x ；其中k 为实数，（1）求证：不论k 取什么实数，方程都用两个不同的实根；（2）设方程的两根为x 1，x 2，且满足2x 1+x 2=3，求实数k 的值6、已知关于x 的方程x 2+2(2-m )x +3-6m =0(1) 求证:无论m 取什么实数,方程总有实数根；(2) 如果方程的两个实数根x 1、x 2满足x 1=3x 2，求实数m 的值.7、已知：关于x 的方程x 2-kx-2=0.（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根为x 1,x 2,如果2(x 1+x 2)>x 1x 2,求k 的取值范围。
一元二次方程根与系数的关系练习题
一元二次方程根与系数的关系练习题一元二次方程根与系数的关系练题（1）一、填空：1、如果一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1，x2，那么x1+x2=-b/a，x1x2=c/a.2、如果方程x^2+px+q=0的两根为x1，x2，那么x1+x2=-p，x1x2=q.3、方程2x^2-3x-1=0的两根为x1，x2，那么x1+x2=3/2，x1x2=-1/2.4、如果一元二次方程x^2+mx+n=0的两根互为相反数，那么m=0；如果两根互为倒数，那么n=1.5、方程x^2+mx+(n-1)=0的两个根是2和-4，那么m=-2，n=-7.6、以x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x^2-(x1+x2)x+x1x2=0.7、以3+1，3-1为根的一元二次方程是(x-4)(x-2)=0，即x^2-6x+8=0.8、若两数和为3，两数积为-4，则这两数分别为-1和-3.9、若两数和为4，两数积为3，则这两数分别为1和3.10、已知方程2x^2+3x-4=0的两根为x1，x2，那么x1+x2=-3/2.11、若方程x^2-6x+m=0的一个根是3-2，则另一根是1，m的值是5.12、若方程x^2-(k-1)x-k-1=0的两根互为相反数，则k=±1，若两根互为倒数，则k=-1.13、如果是关于x的方程x^2+mx+n=0的根是-2和3，那么x^2+mx+n在实数范围内可分解为(x+2)(x-3)=0.14、已知方程x^2-3x-2=0的两根为x1、x2，则（1）x1^2+x2^2=11；（2）x1+x2=3；（3）(x1-x2)^2=25；（4）(x1+1)(x2+1)=-1.二、选择题：1、关于x的方程2x^2-8x-p=0有一个正根，一个负根，则p的值是（C）－8.2、已知方程x^2+2x-1=0的两根是x1，x2，那么x1x2+x1+x2=-7.3、已知方程2x^2-x-3=0的两根为x1，x2，那么x1x2=3/2.4、下列方程中，两个实数根之和为2的一元二次方程是（A）x^2+2x-3=0.5、若方程4x^2+(a^2-3a-10)x+4a=0的两根互为相反数，则a的值是（D）-2.1、若一个关于x的方程5x2+23x+m=0有一个根为-5，求另一个根和m的值。
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1、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式为2、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根的判别式为：ac b 42-=∆（1） 当0>∆时，方程有两个不相等的实数根。
（2） 当0=∆时,方程有两个相等的实数根。
（3） 当0<∆时,方程没有实数根。
反之:方程有两个不相等的实数根，则 ；方程有两个相等的实数根，则 ；方程没有实数根，则 。
[韦达定理相关知识]1若一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个实数根21x x 和，那么=+21x x ,=•21x x .我们把这两个结论称为一元二次方程根与系数的关系，简称韦达定理.2、如果一元二次方程02=++q px x 的两个根是21x x 和,则=+21x x ，=•21x x 。
3、以21x x 和为根的一元二次方程（二次项系数为1)是0)(21212=•++-x x x x x x4、在一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中,有一根为0，则=c ；有一根为1,则=++c b a ；有一根为1-，则=+-c b a ；若两根互为倒数，则=c ；若两根互为相反数，则=b 。
5、二次三项式的因式分解(公式法）在分解二次三项式c bx ax ++2的因式时，如果可用公式求出方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根21x x 和,那么))((212x x x x a c bx ax --=++．如果方程)0(02≠=++a c bx ax 无根,则此二次三项式c bx ax ++2不能分解。
［基础运用]例1：已知方程02)1(32=+--x k x 的一个根是1，则另一个根是 ，=k 。
变式训练：1、已知1-=x 是方程0232=++k x x 的一个根，则另一根和k 的值分别是多少？2、方程062=--kx x 的两个根都是整数，则k 的值是多少？例2：设21x x 和是方程03422=-+x x ，的两个根,利用根与系数关系求下列各式的值:（1)2221x x + (2）)1)(1(21++x x （3)2111x x + （4）221)(x x -变式训练：1、已知关于x 的方程01032=+-k x x 有实数根，求满足下列条件的k 值: （1）有两个实数根. （2)有两个正实数根. （3）有一个正数根和一个负数根。
（4)两个根都小于2.2、已知关于x 的方程022=+-a ax x 。
（1）求证：方程必有两个不相等的实数根。
（2）a 取何值时，方程有两个正根。
（3）a 取何值时，方程有两异号根，且负根绝对值较大。
（4）a 取何值时,方程到少有一根为零？选用例题：例3:已知方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根之比为1：2,判别式的值为1，则b a 与是多少？例4、已知关于x 的方程05)2(222=-+++m x m x 有两个实数根，并且这两个根的平方和比两个根的积大16，求m 的值。
例5、若方程042=+-m x x 与022=--m x x 有一个根相同，求m 的值。
基础训练：1．关于x 的方程0122=+-x ax 中，如果0<a ，那么根的情况是（ ） (A ）有两个相等的实数根 (B)有两个不相等的实数根 （C ）没有实数根 （D ）不能确定2．设21,x x 是方程03622=+-x x 的两根，则2221x x +的值是（ ） （A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）33．下列方程中，有两个相等的实数根的是( ）（A ） 2y 2+5=6y(B ）x 2+5=2错误!x （C)错误!x 2－错误!x+2=0（D ）3x 2－2错误!x+1=0 4．以方程x 2＋2x －3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（ ） （A ） y 2+5y －6=0 （B ）y 2+5y ＋6=0 (C)y 2－5y ＋6=0 （D)y 2－5y －6=0 5．如果x 1,x 2是两个不相等实数，且满足x 12－2x 1＝1，x 22－2x 2＝1， 那么x 1·x 2等于（ ）（A ）2 （B)－2 (C ）1 (D ）－16.关于x 的方程ax 2－2x ＋1＝0中,如果a<0，那么根的情况是（ ) （A ）有两个相等的实数根 (B ）有两个不相等的实数根 (C ）没有实数根 （D ）不能确定7。
设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根,则x 12＋x 22的值是（ ) （A ）15 （B ）12 （C ）6 (D)38．如果一元二次方程x 2＋4x ＋k 2＝0有两个相等的实数根，那么k ＝ 9．如果关于x 的方程2x 2－(4k+1)x ＋2 k 2－1＝0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是10．已知x 1,x 2是方程2x 2－7x ＋4＝0的两根，则x 1＋x 2＝ ，x 1·x 2＝ ，（x 1－x 2）2＝11．若关于x 的方程(m 2－2）x 2－（m －2)x ＋1＝0的两个根互为倒数，则m ＝ .二、能力训练：1、不解方程，判别下列方程根的情况：（1）x2－x=5 （2）9x2－6错误!+2=0 (3）x2－x+2=02、当m= 时，方程x2+mx+4=0有两个相等的实数根；当m= 时，方程mx2+4x+1=0有两个不相等的实数根；3、已知关于x的方程10x2－（m+3）x+m－7=0，若有一个根为0，则m= , 这时方程的另一个根是 ;若两根之和为－错误!，则m= ，这时方程的两个根为 .4、已知3－错误!是方程x2+mx+7=0的一个根，求另一个根及m的值。
5、求证：方程(m2+1）x2－2mx+(m2+4)=0没有实数根。
6、求作一个一元二次方程使它的两根分别是1－错误!和1+错误!。
7、设x1,x2是方程2x2+4x－3=0的两根,利用根与系数关系求下列各式的值：（1） (x1+1）(x2+1) (2)错误!+ 错误!（3）x12+ x1x2+2 x18、如果x2－2(m+1)x+m2+5是一个完全平方式，则m= ;9、方程2x（mx－4）=x2－6没有实数根,则最小的整数m= ;10、已知方程2(x－1)(x－3m）=x（m－4)两根的和与两根的积相等，则m= ；11、设关于x的方程x2－6x+k=0的两根是m和n，且3m+2n=20，则k值为；12、设方程4x2－7x+3=0的两根为x1,x2,不解方程，求下列各式的值：(1) x12+x22 (2）x1－x2（3）21xx （4）x1x22＋错误!x113、实数ｓ、ｔ分别满足方程19ｓ2＋99ｓ＋1＝0和且19＋99ｔ＋ｔ2＝0求代数式错误!的值。
14、已知a是实数，且方程x2+2ax+1=0有两个不相等的实根，试判别方程x2+2ax+1－错误!（a2x2－a2－1)=0有无实根？15、求证：不论k 为何实数，关于x 的式子（x －1）（x －2）－k 2都可以分解成两个一次因式的积.16、实数K 在什么范围取值时，方程0)1()1(22=---+k x k kx 有实数正根?训练（一)1、不解方程,请判别下列方程根的情况；(1）2t 2+3t －4=0, ; (2)16x 2+9=24x, ; （3)5（u 2+1）－7u=0, ;2、若方程x2－（2m－1)x+m2+1=0有实数根,则m的取值范围是 ;3、一元二次方程x2+px+q=0两个根分别是2+错误!和2－错误!,则p= ，q= ;4、已知方程3x2－19x+m=0的一个根是1,那么它的另一个根是，m= ;5、若方程x2+mx－1=0的两个实数根互为相反数，那么m的值是 ;6、m,n是关于x 的方程x2-（2m—1）x+m2+1=0的两个实数根，则代数式m n= 。
7、已知关于x的方程x2－(k+1）x+k+2=0的两根的平方和等于6，求k的值；8、如果α和β是方程2x2+3x－1=0的两个根，利用根与系数关系,求作一个一元二次方程，使它的两个根分别等于α+错误!和β+错误!;9、已知a，b,c是三角形的三边长,且方程（a2+b2+c2)x2+2（a+b+c）x+3=0有两个相等的实数根，求证：这个三角形是正三角形10.取什么实数时，二次三项式2x2－（4k+1）x+2k2－1可因式分解。
11.已知关于X的一元二次方程ｍ2ｘ2＋2（3－ｍ）ｘ＋1＝0的两实数根为α，β，若ｓ＝错误!＋错误!,求ｓ的取值范围。
训练（二）1、已知方程x2－3x+1=0的两个根为α,β，则α+β= , αβ= ；2、如果关于x的方程x2－4x+m=0与x2－x－2m=0有一个根相同，则m的值为 ;3、已知方程2x2－3x+k=0的两根之差为2错误!,则k= ;4、若方程x2+(a2－2)x－3=0的两根是1和－3，则a= ；5、方程4x2－2（a-b）x－ab=0的根的判别式的值是；6、若关于x的方程x2+2（m－1)x+4m2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m的值为 ;7、已知p〈0，q<0,则一元二次方程x2+px+q=0的根的情况是；8、以方程x2－3x－1=0的两个根的平方为根的一元二次方程是 ;9、设x1，x2是方程2x2－6x+3=0的两个根，求下列各式的值：（1)x12x2+x1x22 (2) 错误!－错误!10．m取什么值时，方程2x2－(4m+1)x+2m2－1=0（1）有两个不相等的实数根，（2）有两个相等的实数根,（3)没有实数根；11．设方程x 2+px+q=0两根之比为1:2，根的判别式Δ=1，求p,q 的值。
12．是否存在实数k ，使关于x 的方程06)74(922=---k x k x 的两个实根21,x x ，满足21x x ＝错误!，如果存在，试求出所有满足条件的k 的值,如果不存在，请说明理由。
一元二次方程根与系数关系专题训练主编:闫老师1、如果方程ax 2+bx+c=0(a ≠0）的两根是x 1、x 2, 那么x 1+x 2= ，x 1·x 2= 。
2、已知x 1、x 2是方程2x 2+3x －4=0的两个根,那么：x 1+x 2= ;x 1·x 2= ;2111x x + ；x 21+x 22= ;（x 1+1）（x 2+1）= ;｜x 1－x 2|= 。
3、以2和3为根的一元二次方程(二次项系数为1)是 。
4、如果关于x 的一元二次方程x 2+2x+a=0的一个根是1－2,那么另一个根是 ,a 的值为 .5、如果关于x 的方程x 2+6x+k=0的两根差为2，那么k= 。
6、已知方程2x 2+mx －4=0两根的绝对值相等，则m= 。