大学物理答案第十六章

第十六章 机械波

16-1 一波源作简谐振动，周期s 010.=T ，振幅m 40.=A ，当0=t 时，振动位移恰为正方向的最大值．设此方程以m/s 400=v 的速度沿直线传播，试求(1)此波的波函数；(2)距波源m 2和m 16处质点的振动方程和初相；(3)距波源15m 和m 16处质点振动的相位差．

分析 波源的周期和频率就是机械波的周期和频率，对于平面波，在忽略传播过程中的能量损失的情况下，波源的振幅就是波的振幅，如果已知波速或波长以及波源的初相，就能给出波函数．由上一章的讨论可知，当给出振动的初始位置和运动方向时，振动的初相就确定了．

由波函数可以获得波线上任一点的振动方程；以及任一时刻波线上各点的位移，即波形．波线上相位差为π2质点间的距离（也可视为两个相邻的相位相同点间的距离）为一个波长．

解 (1)波源的角频率为

rad/s 200rad/s 01

.022πππω===T 初始时波源振动达正方向的最大值，即0=ϕ，波源的振动方程为

)200cos(4.0π=y

已知m/s 400=v ，波函数为

)400

(200cos 4.0x t y -

=π 0>x (2)由波函数得m 2=x 处振动方程为

)200cos(4.0)400

2(200cos 4.0πππ-=-=t y 该处质点初相为π．

m 16=x 处振动方程为

m 820040400

1620040)cos(.)(cos .πππ-=-=t y 该处质点初相为π8或0． (3)两点相位差为 2

01.0400151622ππλ∆πϕ∆=⨯-==x 15m 处质点相位超前．

16-2 已知平面波波函数).(cos .x t y -=5220π．式中x 、y 以米计，t 以秒计，试求(1)波长、周期、波速；(2)在m 1=x 处质点的振动方程；(3)在s 40.=t 时，该处质点的位移和速度．这是原点处的质点在哪一时刻的运动状态？再经过s 40.后该运动状态传至何处？

分析 本题强调这样的概念：波的传播过程是振动状态（或相位）的传播过程．在单位时间振动状态（或相位）传播的距离称为波的传播速度，也称为相速度，即本书中的波速v （以区别于反映振幅或能量传播的群速度）．波在介质中传播时，波线上各质点仍在各自的平衡位置附近振动，并不跟随波前进，质点的

振动速度为t

y u d d =． 解 (1)将波函数).(cos .x t y -=5220π与简谐波的标准形式对比，得

m/s 5.2 /s rad 5.2==v πω

m

2m 8.05.2s 8.0s 5.222=⨯=====T T v λπ

πωπ (2)由波函数得m 1=x 处的振动方程为

m )5.2cos(2.0 )5.21(5.2cos 2.0)5

.2(5.2cos 2.01ππππ-=-=-==t t x t y x

(3)由波函数得s 040.=t 时m 1=x 处质点的位移为

m 205

215220040.).(.cos ..=-==t t y π 该时刻该质点振动速度为

05

21525220d d 040040=-⨯-====..).(.sin ..t t t t y u ππ 是原点处质点在05

2140=-)..(时刻的振动状态． 再经过s 40.该运动状态传播的距离

m 1524040=⨯==...v x

即传至距该处m 1或距原点m 2处．

16-3 如图16-3，一平面简谐波在空间传播，已知波线上某点P 的振动规律为)cos(ϕω+=t A y ,根据图中所示的两种情况，分别列出以O 为原点的波函数．

分析 本题可以沿两条思路求解：(1)由于波线上各点的相位依次落后, 根据两点间的距离可以判断O 点比P 点相位超前多少或落后多少, 因已知P 点的振动方程，就能写出O 点的振动方程，再写出以O 为原点的波函数．(2) 从P 点的振动方程直接写出以P 为原点的波函数，根据波函数的物理意义写出O 点的振动方程，再写出O 为原点的波函数．下面给出第一种解法．

解 (1)第一种情况，波沿x 轴正向传播，O 点的相位比P 点超前v

ω

, 所以O 点的振动方程为

)](cos[ϕω

ω++=v l t A y 以O 为原点的波函数为

)])(cos[)]()(cos[ϕωϕωω+--=++-=v

v v l x t A l x t A y (2)第二种情况，波沿x 轴负向传播，O 点在P 点右侧，O 点的相位比P 点超前v

l ω，所以O 点的振动方程为 )](cos[ϕωω++=v

l t A y 以O 为原点的波函数为

)])(cos[]()(cos[ϕωϕωω+++=++--=v

v v l x t A l x t A y 16-4 一平面余弦波在T t 4

3=时的波形如图16-4（a ）所示(T 为周期), 此波以v =36m/s 的速度沿x 轴正向传播, (1)画出t =0时刻的波形图；(2) 求O 、P 点的振动初相；写出O 点的振动方程及以O 为原点的波函数.

分析 波形曲线，即y-x 图，给出了某一时刻波线上各点的位移．已知波速时，从T t 4

3= 时的波形可以推出t =0或t=T 时的波形，从而可得O 点的振动方程, 进而求出O 为原点的波函数．

图16-4

解 (1) T t 43=时刻的波形沿

x 轴负向移动λ4

3即为t=0时的波形，或沿x 轴正向移动λ4

1即得t=T 时的波形，如图16-4(b)． (2) 由图16-4(a)得 m,40 m,20..==λA 又m/s 36=v

对O 点有，t =0时，有

0cos 0==ϕA y （1） 0sin 0<-=ϕωA v （2） 由(1)式得2π

ϕ±=，由(2)式得0sin >ϕ，所以应取

2πϕ=

对P 点， t =0时，有 2.0cos 0==ϕA y P (3)