第8章 回归分析预测法
回归分析方法
回归分析方法
回归分析是统计学中一种重要的数据分析方法，它用于研究自
变量和因变量之间的关系。
回归分析方法可以帮助我们预测和解释
变量之间的关系，从而更好地理解数据的特征和趋势。
在本文中，
我们将介绍回归分析的基本概念、常见的回归模型以及如何进行回
归分析。
首先，回归分析的基本概念包括自变量和因变量。
自变量是研
究者可以控制或观察到的变量，而因变量是研究者希望预测或解释
的变量。
回归分析旨在通过自变量的变化来预测或解释因变量的变化，从而揭示它们之间的关系。
常见的回归模型包括线性回归、多元线性回归、逻辑回归等。
线性回归是最简单的回归模型之一，它假设自变量和因变量之间的
关系是线性的。
多元线性回归则允许多个自变量对因变量产生影响，逻辑回归则用于因变量是二元变量的情况，例如成功与失败、生存
与死亡等。
进行回归分析时，我们需要收集数据、建立模型、进行拟合和
检验模型的拟合优度。
在收集数据时，我们需要确保数据的质量和
完整性，避免因为数据缺失或异常值而影响分析结果。
建立模型时，我们需要选择合适的自变量和因变量，并根据实际情况选择合适的
回归模型。
进行拟合和检验模型的拟合优度时，我们需要根据实际
情况选择合适的统计指标和方法，例如残差分析、R方值等。
总之，回归分析方法是一种重要的数据分析方法，它可以帮助
我们预测和解释变量之间的关系。
通过本文的介绍，相信读者对回
归分析有了更深入的了解，希望能够在实际工作中灵活运用回归分
析方法，为决策提供更可靠的依据。
第8章回归正交试验设计
②二次项的中心化 对二次项的每个编码进行中心化处理 ：
(二次项编码)－(二次项编码算术平均值)
z ji
'
z
j
2 i
1 n
n i 1
z
j
2 i
二元二次回归正交组合设计编码表
试验号
z1
1
1
z2
z1 z2
z12
1
1
1
2
1
－1
－1
1
3
－1
1
－1
1
4
－1
－1
1
1
5
1
0
0
1
6
－1
0
0
1
7
0
1
0
0
8
0
－1
0
1.414
1.483
3 1.147 1.353
1.471
1.547
4 1.210 1.414
1.525
1.607
5 1.267 1.471
1.575
1.664
6 1.320 1.525
1.623
1.719
7 1.369 1.575
1.668
1.771
8 1.414 1.623
1.711
1.820
9 1.457 1.668
bkj
i 1 n
(zk z j )i2
i 1
二次项偏回归系数bjj ：
n
(
z
' ji
)
yi
b jj
i 1 n
(
z
' ji
)
2
i 1
⑤回归方程显著性检验
《SPSS数据分析与应用》第8章 逻辑回归分析
➢ TPR—在所有真实值为阳性的样本中，被正确地判断为阳性的样本所占的比例。
TPR=TP / TP FN
➢ FPR—在所有真实值为阴性的样本中，被正确地判断为阳性的样本所占的比例。
FPR=FP / FP TN
Part 8.2
逻辑回归分析模型 的实现与解读
定性变量 （3水平）
定量变量
定性变量
取值范围 1代表幸存 0代表死亡 1=男、2=女 [0.42,80]
1代表一等舱, 2代表二等舱, 3代表三等舱
[0, 512.3292]
C = 瑟堡港， Q =昆士敦，S = 南安普顿
定性变量
0代表无家庭成员，1代表成员为1~3人的中 型家庭，2代表成员为4人及以上的大型家庭
2.逻辑回归分析模型
逻辑回归分析模型
在经过Logit变换之后，就可以利用线性回归模型建立因 变量与自变量之间的分析模型，即
经过变换，有
Sigmoid函数 （S型生长曲线）
逻辑回归分析模型
Sigmoid函数
➢ Sigmoid函数，表示概率P和自变量之间 的非线性关系。通过这个函数，可以计 算出因变量取1或者取0的概率。
总计
混淆矩阵
预测值
Y=0（N）
Y=1(P)
TN
FP
FN
TP
总计 TN+FP FN+TP TP+FP+FN+TN
➢ TP：预测为1，预测正确，即实际1； ➢ FP：预测为1，预测错误，即实际0； ➢ FN：预测为0，预测错确，即实际1； ➢ TN：预测为0，预测正确即，实际0。
4.模型评价
➢ 准确率
1交通规划-第8章习题参考答案
第八章复习思考题参考答案8-1 名词解释：停车设施、停车场容量、停车需求、停车密度、停放周转率。
答：停车设施：根据停车设施结构，可以将停车场分为位于地面的露天式停车场（parking lot）和位于建筑物内的停车库（garage）两大类。
根据停车设施的服务对象，又可以分为公共停车场和非公共停车场两大类。
停车场容量：指给定停车区域或停车场有效面积上可用于停放车辆的最大泊位数。
停车需求：指给定停车区域内特定时间间隔的停放吸引量。
停车密度：停车密度是停车负荷的基本度量单位。
它可以做两种定义：一是指停放吸引量（存放量）大小随时间变化的程度，一般高峰时段停车密度最高；另一定义是指空间分布而言，表示在不同的吸引点停车吸引量的大小程度。
停放周转率：指单位停车车位在某一间隔时段（一日、一小时或几小时）内停放车辆次数，为实际停放车累计次数与车位容量之比。
8-2 简述停车规划的目标、内容与流程。
答：常见的停车政策的主要目标有如下几种。
(1)根据城市开发特点，对城市不同区域分区域停车供给；(2)大力促进路外停车场规划建设；(3)有效利用路侧停车资源，规范路侧停车场管理；(4)利用停车供给、收费等手段，控制城市中心区交通量，缓和交通拥堵；(5)其他。
如：对于城市特定的地区规划无车区；结合历史文化保护制度进行专门的停车规划等。
停车规划的内容：传统的狭义停车场规划的对象仅仅是和停车相关的硬件设施，而广义的停车场规划的概念则既包括这些硬件设施的规划，也包括了和停车有关的软件（政策、法规等）的规划。
停车规划的流程：城市停车设施规划思路可归纳为：在综合调查与分析的基础上，结合停车发展策略进行停车需求预测，以需求预测结果为依据，确定满足一定需求比例下全市的停车设施供应规模，进而确定在此供应规模下配建停车设施、公共停车设施的规模，对于配建停车设施提出配建停车指标，对于公共停车设施进行布局规划，并对规划方案进行评价，最后提出方案实施的保障措施。
第8章--回归分析预测法概要
其表达F式 S余 为 （ /S回 n /m ： m1）
20
❖ 将通过上式计算F的值，与F分布表查到的Fc 临界值比较，从而判断回归方程是否具有显 著性。
❖ ①当 F> Fc (α,m,n-m-1)，则回归方程与实际 直线方程拟和的程度好，x和y之间的变化是 符合回归模型；
❖ ②当F ≤ FC(α，m,n-m-1)时，则回归模型与 实际直线方程拟和程度不好，x和y之间的变 化不符合实际直线的变化，预测模型无效。
i1
i1
i1
min （3）
即对（3）求极值，有：
Q
a
2
n i1
(
yi
a
bxi
)
0
Q
b
n
2
i1
( yi
a
bxi )xi
0
（4） （5）
15
由（ 4 ）得：
n
n
n
y i a bx i 0
i1
i1
i1
y i na b x i
由（ 5）得：
n
n
n
x i y i ax i x i bx i 0
❖ ②确定变量之间的相关密切程度，这是相关 分析的主要目的和主要内容。
7
3、建立回归预测模型 ❖ 就是依据变量之间的相关关系，用恰当的数
学表达式表示出来。 4、回归方程模型检验 ❖ 建立回归方程的目的是预测，但方程用于预
测之前需要检验回归方程的拟合程度和回归 参数的显著性，只有通过了有关的检验后， 回归方程才可用于预测。常用的检验方法有 相关系数r检验、F检验、t检验等。
36
二、多元线性回归预测法 ❖ 一般形式：ŷi=a+b1X1+b2X2+……+bnXn ❖ 其中： X1，X2，……，Xn 为自变量， ❖ a, b1, b2, ……, bn为回归方程的参数 ❖ 存在两个自变量条件下的多元线性回归方程
第五章回归预测法(教材第五到八章)
yi y 2
i 1
n
b
i 1 n
xi x
n
2
i 1
yi y
2
3 、 回归方程的显著性检验
• 在求出回归系数后，需进行显著性 检验。回归系数的显著性检验有t 检验和F检验，前者是检验单个系 数是否显著的异于零，即对应的自 变量的变化是否显著地影响因变量 的变化，后者是检验所有系数是否 同时为零，但是对于一元线性回归 有 Fα(n-2)=tα/22(n-2), 因 此 只 需 做t检验或F检验即可。
二、变量间的关系
2 、相关关系
1. 变量间关系不能用函数关 系精确表达 2. 一个变量的取值不能由另 一个变量唯一确定 3. 当变量 x 取某个值时， 变量 y 的取值可能有几 个 4. 各观测点分布在直线周围
y
x
二、变量间的关系
相关关系的例子
商品的消费量(y)与居民收入(x)之间的关系
第五章
一元线性回归预测法
• 一、建立一元线性回归模型： • 例：下表给出了某市从90年以来人均 收入和人均消费支出的七组数据
年份 90 91 510 450 92 545 490 93 590 530 94 640 580 95 700 620 96 760 680
人均收入 480 人均消费 420
商品销售额(y)与广告费支出(x)之间的关系 粮食亩产量(y)与施肥量(x1) 、降雨量(x2) 、温度(x3)之间的关系
收入水平(y)与受教育程度(x)之间的关系
父亲身高(y)与子女身高(x)之间的关系
相关关系的类型
相关关系
线性相关 非线性相关 完全相关 正 相 关 负 相 关 不相关
人教A版高中数学选择性必修第三册同步课件第八章成对数据的统计分析第2节一元线性回归模型及其应用
归模型进行预测．
会进行线性回归分析．
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第八章 成对数据的统计分析
数学（选择性必修·第3册 RJA）
必备知识•探新知
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第八章 成对数据的统计分析
数学（选择性必修·第3册 RJA）
知识点1 一元线性回归模型
一元线性回归模型的完整表达式为YE＝eb＝x＋0，a＋Dee，＝σ2.其中 Y 称为 __因__变__量____或 __响__应__变__量____，x 称为自变量或___解__释___变量；a，b 为模 型的未知参数，e 是 Y 与 bx＋a 之间的__随__机__误__差____．
i＝1
i＝1
5
xiyi－5 x 得b^＝i＝1 5
xi2－5 x 2
y ＝1
319405－－55××55×2 50＝7，a^＝ y －b^ x ＝50－7×5＝15．
i＝1
故所求的回归直线方程是y^＝7x＋15．
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(3)根据上面求出的经验回归方程，当成交量突破 100 件(含 100 件)， 即 x＝^y－715≥100 时，y^≥715，所以预测这家店铺的浏览量至少为 715 次．
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第八章 成对数据的统计分析
[解析] (1)散点图如图所示．
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(2)根据散点图可得，变量 x 与 y 之间具有线性相关关系．
5
5
根据数据可知，x ＝5，y ＝50， xiyi＝1 390， xi2＝145，代入公式
月份 月用电量(千瓦时)
第八章 相关分析与回归分析习题答案
第八章 相关分析与回归分析习题参考答案一、名词解释函数关系：函数关系亦称确定性关系，是指变量（现象）之间存在的严格确定的依存关系。
在这种关系中，当一个或几个相互联系的变量取一定的数值时，必定有另一个且只有一个变量有确定的值与之对应。
相关关系：是指变量（现象）之间存在着非严格、不确定的依存关系。
在这种关系中，当一个或几个相互联系的变量取一定的数值时，可以有另一变量的若干数值与之相对应。
这种关系不能用完全确定的函数来表示。
相关分析：相关分析主要是研究两个或者两个以上随机变量之间相互依存关系的方向和密切程度的方法，直线相关用相关系数表示，曲线相关用相关指数表示，多元相关用复相关系数表示。
回归分析：回归分析是研究某一随机变量关于另一个（或多个）非随机变量之间数量关系变动趋势的方法。
其目的在于根据已知非随机变量来估计和预测随机变量的总体均值。
单相关：单相关是指仅涉及两个变量的相关关系。
复相关：复相关是指一个变量对两个或者两个以上其他变量的相关关系。
正相关：正相关是指两个变量的变化方向是一致的，当一个变量的值增加（或减少）时，另一变量的值也随之增加（或减少）。
负相关：负相关是指两个变量的变化方向相反，即当一个变量的值增加（或减少）时，另一个变量的值会随之减少（或增加）。
线性相关：如果相关的两个变量对应值在直角坐标系中的散点图近似呈一条直线，则称为线性相关。
非线性相关：如果相关的两个变量对应值在直角坐标系中的散点图近似呈现出某种曲线形式，则为非线性相关。
相关系数：相关系数是衡量变量之间线性相关密切程度及相关方向的统计分析指标。
取值在-1到1之间。
两个变量之间的简单样本相关系数的计算公式为：()()niix x y y r --∑二、单项选择1.B;2.D;3.D;4.C;5.A;6.D 。
三、判断题（正确的打“√”，错误的打“×”） 1.×; 2.×; 3.√; 4.×; 5.×; 6.×; 7.×; 8.√. 四、简答题1、什么是相关关系？相关关系与函数关系有什么区别？答：相关关系，是指变量（现象）之间存在着非严格、不确定的依存关系。
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11
从表中可知，x和y呈现线性规律，设回归线
性方程为： ŷi=a+bx (1) 由(1)可得到x和y之间的定量关系表示为： ˆ i ei yi a bxi ei y (2)
其中ei 随机误差， 是一个均值为0方差为 2的随机变量。 即服从正态分布， ei ~ N (0, 2 ); i 1， 2， ，n
结婚人数
家电产品的销售量
2、确定一元回归预测模型参数a,b。 其中：
yi xi b y bx a n n n x y x y x y nx y b i i i i i i 2 2 2 2 x n x n x ( x ) i i i
可见， 0 r 2 1，则r计算式为： r S余 S回 1 1 S总 S总
2 ˆ ( y y ) i i 2 ( y y ) i
（2）
22
判断r显著性 ① 按（1）或（2）求出r ②选择α ③从相关系数临界表中查出rc 当r»rc,时，x和y高度相关。 回归方程的精度分析
其中：(2)中： a 和b—回归系数 ；a—截距;b—斜率。
12
二 、回归参数估计
由一组观察值画出散点图，如图所示，这样
的直线可画出很多条，而回归直线只有一条， 因为只有回归直线最接近实际观察值。要拟 合一条最理想的回归直线，就要确定a和b。 确定a和b的方法有多种，其中应用最多的是 最小二乘法。
5
回归分析预测法的步骤 1、确定预测目标和影响因素 市场预测的目标是因变量，研究者可根据预
测的目的来确定。例如，以未来5年小家电需 求为目的的市场预测，它的因变量就是未来5 年小家电的需求量。
6
2、进行相关性分析
对变量之间的相关关系进行分析。这一过程
主要包括两个方面： ①确定变量之间关系，即确定变量之间是否 存在不具有数值对应关系的确定依存关系。 换句话说，当自变量的确定值为x，与其对应 值为y。这是回归分析法预测的前提。 ②确定变量之间的相关密切程度，这是相关 分析的主要目的和主要内容。
2
经济学家经研究发现，生物界的这种现象，在 经济领域中也存在这种现象，例如，证券市 场的任何一支股票，无论是牛市或熊市股票 的价格都向着平均价格回归。也正因为如此， 回归分析在许多领域中都得到了广泛的应用， 并且取得了很好的效果。
3
第一节 回归分析预测法的概述
回归分析预测法是在分析因变量与自变量之
n
n
n
i
0
（ 6）
yi na b xi 由（5）得：
x y ax x bx
i 1 i i i 1 i i 1 i
n
n
n
i
0
2
xi yi a xi b xi
（ 7）
16
由（6）、（7）解得a,b分别为：
yi xi b y bx a n n n xi yi xi yi xi yi nx y b 2 2 2 2 x n x n x ( x ) i i i xi 其中：x —自变量的平均值； n yi y — 因变量的平均值。 n
10
下面是1980年以来人平均收入和人平均消费支出的七 组数据，见表
年 份
1980 1981 1982 1983
人均收入 （元）x
480 510 545 590
人均消费 （元）y
420 450 490 530
年 份
1984 1985 1986
人均收入 （元）x
640 780 760
人均消费 (元）y
（8 ）
即由
Q ei min
2 i 1
n
,求得的a, b称为最小二乘法.
17
三、回归方程的显著性检验
a和b求出之后，在理论上来说线性回归模型 就应确定了，但在实际应用中，并非如此。由 于在实践中，经常是资料不全，由（8）确定 的a和b就会有所不同。因此，为了避免这种情 况出现的过大误差，在允许误差的情况下，必 须在a和b求出之后，进行可靠性检验。其方法 如下：
S回 / m 其表达式为：F S余 （ / n m 1）
20
将通过上式计算F的值，与F分布表查到的Fc
临界值比较，从而判断回归方程是否具有显 著性。 ①当 F> Fc (α,m,n-m-1)，则回归方程与实际 直线方程拟和的程度好，x和y之间的变化是 符合回归模型； ②当F ≤ FC(α，m,n-m-1)时，则回归模型与 实际直线方程拟和程度不好，x和y之间的变 化不符合实际直线的变化，预测模型无效。
24
其中： ( x0 x ) 1 t / 2,( n m1) S y 1 n ( xi x ) 2
2
式中：t / 2,( n m 1) — 在 / 2显值；
25
应用1 某地区1988~1994年结婚人数与某家电产品销 售额如表所示，假定1995年该地区的结婚人 数将达74百对，试预测同时期年该家电产品 的销售额。 表
13
ˆi y
( xn , yn )
( xi , yi )
( x1 , y1 )
( x2 , y2 )
回归直线
t
回归直线的散点图
14
最小二乘法
设任意一个回归值 ŷi实际观察yi 之间存在的误差 n 为ei ，令 Q ei 2 min 则有:
i 1
ˆ i ) ( yi a bxi ) min Q ei ( yi y
并将有关计算a,b的数据填入表中
27
调查资料数据和回归计算数据表
年份 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 n=7 结婚人数 销售额 Xi(百对) Yi(百万元) 47 40 43 55 66 72 70 ∑=393 40 35 37 44 55 58 56 ∑=325
18
1、离差平方和的分解
总变差：
Lyy yi y
2
2 2
ˆ i y ˆi y yi y Q1 Q2 Q余 Q回
称：Q1剩余变差，或残差平方和 Q2为回归变差
19
显著性检验
①回归方程F显著性检验； ②相关系数r显著性检验。
F检验 检验方程中：y=a+bx 中的a,b是否能够描述收 集到的数据反映的规律，
8
5、预测
一是点预测，二是区间预测。 点预测：就是所求的预测值为一个数值。 区间预测：所求的预测值有一个数值范围。
通常要用正态分布的原理估计其标准误差， 求得预测值的置信区间[ŷ0-δ, ŷ0+δ]。
9
第二节 一元线性回归方程分析法
一、一元线性回归模型
（Element Linear Regression Model） 我们知道经济变量之间通常存在着各种各样的相互关 系。例如，收入和消费；价格与需求量之间，都有一 定的关系。就收入与消费的关系而言，一般来说，收 入高，消费支出就高；就价格与需求而言，价格越高， 需求量就越少。
x² i
2209 1600 1849 3025 4356 5184 4900 ∑=23123
y² i
1600 1225 1369 1936 3025 3364 3136 ∑=15655
xiyi
1880 1400 1591 2420 3630 4176 3920 ∑=19017 28
由表中的数据计算a,b
2 2
2
S总 S yy ( yi y ) yi 325 2 11565 565 .71 7
( yi ) n
2
30
∴S回=S² /1058.86=560.77,m=1 XY/Sxx=770.57² S余=Syy-S² XY/SXX=565.71-770.57²’1058.86=4.94 n-m-1=7-1-1=5, S总=Syy=565.71，n-m-1=7-1=6,
年份 结婚人数 X(百对) 销售额y (百万元)
1988 47 40 1989 40 35 1990 43 37 1991 55 44 1992 66 55 1993 72 58 1994 70 56 26
解：1、画散点图。如图 由图可知：结婚人数与 家电产品的 销售量呈线性关系，故可用一元线 性回归模型进行预测。
b=0.73的经济含义是该地区结婚人数每增加1 百对，该家电销售额将0.73百万元。
29
3、模型检验
(1)方差分析
x y
i i
S xy xi yi
2
S xx xi
( yi ) n
n
393 325 19017 770 .57 7
2
393 23123 1058 .86 7
Market survey & Forecast 市场调查与预测
(8)
1
第八章 回归分析预测法
回归分析起源于生物学的研究。英国的著名生 物学家达尔文在19世纪末，发现了一个非常 有趣的现象，父亲身材高大的，其子也比较 高大，父亲矮小的，其子也比较矮小。即父 亲的身高与儿子的身高之间有密切的关系。 在大量的研究资料中，又发现身高有一种向 平均身高回归的倾向，这种身高倾向平均数 的现象称为回归（Regression）。
b n x i y i x i y i n x i ( x i ) 2
2 i
7 19017 393 325 0.73 2 7 23123 393
y a n
x b n