论19世纪的逻辑学_在数学与哲学之间
数学学习中的数学与人文社科的关联
数学学习中的数学与人文社科的关联数学作为一门自然科学，往往被认为与人文社科领域存在着一定的隔阂。
然而，随着数学的发展与应用范围的扩大，我们逐渐发现数学与人文社科之间不仅存在一定的关联，而且相互促进，共同推动人类文明的进步。
本文将就数学学习中的数学与人文社科的关联进行探讨。
一、数学与哲学的关联在数学学习过程中，我们常会接触到诸如逻辑、证明等概念，而这些概念恰恰与哲学领域息息相关。
逻辑学是哲学的重要分支，它关注的是思维和推理的规律。
数学中的推理过程同样需要遵循一定的逻辑规律，而哲学的逻辑思维方法对我们进行数学推理提供了一定的指导。
另外，数学中的证明也与哲学中的证明方法存在一定的关联。
数学领域对于证明的要求非常严格，需要通过推理和演绎来确保结论的正确性。
而哲学中的证明也是为了阐释和论证一定的观点，其追求真理的方式与数学证明有一定的交集。
二、数学与文学的关联数学与文学看似截然不同的学科，但实际上它们在创造力和想象力方面存在着一定的共通性。
数学家和作家在解决问题和创作作品的过程中都需要运用到想象力和创造力，将抽象的思维转化为具象的形式。
例如，在数学中，数学家通过化繁为简、抽象思维的方式来解决问题。
这种思维方式需要数学家具备良好的想象力和创造力，从而能够形成独特的视角和思路。
而在文学创作中，作家通过想象力和创造力来构建人物、情节等元素，将抽象的思想转化为具体的故事。
三、数学与历史的关联数学的发展与历史的演进密切相关。
历史上一些重要的数学理论和定理的提出，往往伴随着特定的历史背景和时代条件。
例如，欧几里得几何学的出现与古希腊古典文化的兴起密不可分，它不仅仅是数学领域的里程碑，也反映了当时社会发展的特点。
另外，数学的应用也在一定程度上推动了历史的进程。
例如，数学在航海、天文观测等领域的应用对地理探索和科学革命产生了重要的影响，推动了人类文明的发展。
四、数学与社会科学的关联数学在社会科学研究中也有着广泛的应用。
社会科学的研究往往需要采集大量的数据，而数学统计方法的运用可以帮助研究者对数据进行处理和分析，从而揭示社会现象的内在规律。
逻辑学与哲学的关系
逻辑学与哲学的关系
逻辑学和哲学是两种有着千百年历史的学科，它们之间有着不可分割的关系。
有许多学者曾经研究过逻辑学与哲学的关系，可以说，它们之间有着微妙的联系。
然而，逻辑学和哲学又有着许多共同的面向，它们的关系可以比喻为配合，也可以比喻为互补。
二、逻辑学和哲学的关系
1、高度的相关性
逻辑学是哲学的一个重要分支，它是哲学中最重要的组成部分，因此逻辑学和哲学是密切相关的。
对于任何哲学家而言，逻辑学的研究不可或缺，因为他们需要用逻辑学的方法和框架来讨论、分析和解释问题，以便达成真实的观点。
逻辑学能够帮助哲学家去理解和探讨各种普遍的哲学问题。
2、互补的关系
虽然逻辑学和哲学有着密切的关系，但它们也有着对立的一面。
它们有着非常不同的特点，其中一种是非常抽象的哲学思想，另一种则是关于逻辑思维和推理的逻辑学。
哲学可以把具体问题抽象成更抽象的内容，而逻辑学则可以把一般原理运用到实际问题之中，从而获得正确的结论。
因此，逻辑学和哲学的关系可以被认为是互补的。
三、结论
总的来说，逻辑学和哲学有着深刻的关系。
逻辑学为哲学提供了基础，而哲学则为逻辑学提供了抽象的逻辑思维框架，从而使它们互相融合，形成一种高度相关的融合结构。
哲学与逻辑学之间的关系可
以说是非常复杂的，但又是不可或缺的，因为它们缔结了一种理解和探讨普遍问题的有效逻辑方法。
数学与哲学的关系
数学与哲学的关系数学是探讨数与形运动规律的学科，数学教学法是研究数学规律的，即研究在教学过程中如何最有效地向学生传授数学知识、发展学生思维、培养学生能力和个性的学科。
这些都是研究数学和数学教学过程中的特殊规律的科学，而马克思主义哲学是研究数学、自然科学、社会科学和思维科学的最一般、最普遍规律的科学。
马克思主义哲学来源于实践，同时又对实践具有重要的指导意义。
它来自于具体学科的最普遍规律、方法的高度抽象和概括，同时又对具体学科有着重要的指导作用。
因此，数学教育工作者只有将马克思主义哲学的唯物辩证法思想、认识论思想贯彻于认识数学、研究数学及数学教学的过程中，以马克思主义哲学思想为武器，用马克思主义哲学的观点去分析、解剖数学内容和数学的教学过程，用马克思主义哲学的思想去统帅数学的思想和方法，才能透彻明了地看待数学问题的思路，清晰、辩证地讲解数学演泽的逻辑过程，才能掌握好数学的思想和精神。
这就需要研究数学与哲学的联系，将马克思主义哲学与数学有机的辩证的结合在一起，用马克思主义哲学指导数学学习和数学教学。
1、数学对哲学的作用美国数学家罗滨逊给出了实数的非标准模型，为无限大、无限小提供了严格的理论依据，为微积分增添了直观的因素，从而创立了新的微积分理论——非标准分析。
在非标准分析中，构建非标准实数轴并引入单子概念，使非标准实数轴成为一个层次结构空间。
在该空间中，单子外部表现为不同数量层次之间质的差异；单子内部是无穷小量，其间只是量的差异，其比值是有限数量，其运算性质是同单子外普通实数是一样的，可重新作为微分运算的出发点。
因而非标准分析的建立就为阐明质量互变规律在“无限”领域的具体表现提供了一个适宜的数学模型。
而在这之前，人们在讨论质量互变规律中的量时，还没有涉及到无限数量的变化发生质变的情形，因而非标准分析的创立丰富了质量互变规律的内容。
法国数学家托姆，在考察自然界、社会领域大量存在不连续现象的基础上，运用微分映射的奇点理论，为这类客观现象建立了数学模型，用以预测和控制该类客观对象，这就是突变论的产生。
数学与哲学的交叉研究
数学与哲学的交叉研究数学和哲学是两个看似迥然不同的领域，但实际上却存在着紧密的联系和交叉研究。
数学是一门严谨的学科，强调逻辑推理和形式化证明。
而哲学则更侧重于思考人类存在、认识和思维等基本问题。
然而，正是这两个领域的交互作用，推动了人类对现实世界的深入理解。
本文将探讨数学与哲学的交叉研究，以及它们在人类思维和知识建构中的重要性。
一、数学和哲学的共同基础数学和哲学都建立在严格的逻辑基础上。
数学家通过形式化的定义、公理和推理方法，构建了一套精确的数学体系。
这种逻辑思维在哲学中也发挥着重要作用。
哲学家借鉴数学思维的严密性，推动了对现实的深入探讨。
例如，柏拉图的观点中关于“理念”的存在，可以被看作是一种数学思维的延伸，它将真理和普遍性联系在一起，类似于数学中的公理和定理。
二、数学的哲学基础数学最基本的哲学问题是数学命题的真实性和存在性。
数学家通过逻辑推理和证明方法，探求数学命题的可靠性和逻辑一致性。
这个过程中，涉及到哲学中的经验主义、唯理主义和理性主义等不同哲学立场的讨论。
例如，康托尔提出的集合论与无穷的问题，引发了哲学家对于无穷概念的反思和解释，对于我们对于现实世界的认识和理解有着重要的启示。
三、哲学对数学的影响哲学对数学的发展和应用产生了深刻的影响。
数学中的公理化、形式化和证明等方法，都受到哲学思想的影响。
逻辑学、语义学等哲学分支为数学提供了重要的理论基础。
此外，哲学关于空间、时间、因果和现实世界等问题的讨论，也对数学理论的发展产生了影响。
例如，爱因斯坦的相对论与各种几何学的发展密切相关，这为理论物理学提供了重要的数学工具。
四、数学与哲学的互动领域数学和哲学的交叉研究的一个重要领域是逻辑学。
逻辑学研究命题、推理和证明等基本问题，是数学和哲学的共同基础。
逻辑学的发展对于数学证明方法的改进和推动起到了重要作用。
另一个重要的互动领域是科学哲学。
科学哲学探讨科学知识的产生、验证与理论构建的问题。
数学在科学中的应用和角色，以及数学模型构建与科学实证研究的相互联系，都是科学哲学的研究对象。
数理逻辑与形式逻辑的发展历程与趋势
数理逻辑与形式逻辑的发展历程与趋势数理逻辑和形式逻辑是现代逻辑学的两个重要分支，它们在逻辑学的发展历程中起到了重要的作用。
本文将从数理逻辑和形式逻辑的起源、发展历程以及未来的趋势等方面进行探讨。
数理逻辑作为一门研究形式推理的学科，其起源可以追溯到古希腊时期的亚里士多德逻辑。
亚里士多德逻辑是一种基于语义的逻辑体系，主要研究命题和谓词的逻辑关系。
然而，随着数学的发展，人们开始对形式推理进行形式化的研究。
19世纪末，数学家弗雷格提出了一种基于数学符号的形式逻辑系统，这标志着数理逻辑的诞生。
随后，罗素和怀特海等数学家对数理逻辑进行了深入研究，发展了一阶谓词逻辑和二阶谓词逻辑等形式系统。
这些形式系统为数理逻辑的进一步发展奠定了基础。
形式逻辑作为一门研究逻辑形式的学科，其起源可以追溯到古希腊时期的柏拉图和亚里士多德。
柏拉图提出了一种基于思维形式的理念论，而亚里士多德则提出了一套基于分类的逻辑系统。
然而，形式逻辑的发展在古希腊时期并不是主流，直到19世纪末，德国哲学家康德提出了一种基于判断形式的形式逻辑，形式逻辑才开始引起人们的重视。
随后，德国哲学家赫尔德等人对形式逻辑进行了深入研究，发展了命题逻辑和谓词逻辑等形式系统。
这些形式系统为形式逻辑的进一步发展奠定了基础。
数理逻辑和形式逻辑在20世纪逻辑学的发展中发挥了重要作用。
20世纪初，数理逻辑和形式逻辑开始逐渐融合，形成了现代逻辑学的主要分支。
数理逻辑通过形式化的方法研究逻辑问题，使逻辑学成为一门精确的科学。
形式逻辑通过研究逻辑形式和推理规则，为逻辑学提供了更加严密的基础。
数理逻辑和形式逻辑的融合使得逻辑学在数学、计算机科学和哲学等领域发挥了重要作用。
未来，数理逻辑和形式逻辑的发展趋势将更加多样化和综合化。
随着人工智能和大数据技术的发展，逻辑推理在人工智能领域的应用将变得越来越广泛。
数理逻辑和形式逻辑将与人工智能技术相结合，推动逻辑学在人工智能领域的发展。
另外，随着计算机科学的发展，形式逻辑的自动化推理技术将得到进一步提升，为逻辑学研究提供更多的工具和方法。
哲学引论习题及答案6
哲学引论考试习题及答案一、单项选择题(本题型每题1分。
以下各题每题只有一个正确答案，将正确答案的代号填入题后的括号内）1、推动和制约哲学发表的最重要的因素是（ D ）。
A、哲学和艺术的关系B、哲学和道德的关系C、哲学的宗教的关系D、哲学和科学的关系2、根据苏格拉底的观点，具有以下哪种动机参加奥林匹克运动会的人才属于哲学家？（ C ）A、为了获得奖杯的人B、虽无获奖势力，但想借此观摩运动会，以便下次登场的人C、仅仅出于好奇而来参观的人D、某个或某些运动员的崇拜者3、哲学的问题是以（ C ）问题的形式出现的。
A、常识性B、科学性C、思想性D、信念性4、在古希腊哲学中，爱利亚学派的中心思想是（ B ）。
A、世界的本原是“变化的一”B、世界的本原是“不变的一”C、世界的本原是“变化的多”D、世界的本原是“不变的多”5、首次创建伦理学体系的哲学家是（ D ）。
A、柏拉图B、休谟C、边沁D、亚里多德6、词与物的关系实质上表达的是（ D ）。
A、定义与真理的关系B、逻辑和语言的关系C、人与人的关系D、思想与外部世界的关系7、一般认为西方文化传入中国的奠基人是（ C ）。
A、奥古斯丁B、托马斯C、利玛窦D、毕达哥拉斯8、中国哲学中最著名的“三表法”属（ A ）。
A、墨家B、道家C、法家D、儒家9、西方中世纪神学与哲学最大最全面的体系是（ A ）。
A、托马斯主义B、柏拉图主义C、人文主义D、新柏拉图主义10、中国古代哲学中影响最深远的一种宇宙论哲学是（A ）。
A.气论B.太极阴阳论C.五行论D.缘起论11、语言的逻辑的界限是（ A ）。
A、“是”B、“在”C、“无”D、“道”12、反映非存在优先于存在的思维方式的本体论是（ C ）。
A.在论B.是论C.道论D.气论13、宋明时期中国哲学的主要代表形态是（ A ）。
A、理学B、经学C、心学D、气学14、在传统认识论研究中，人们首先关注的核心总是或首要问题就是（ C ）。
逻辑学的发展历程及其影响
逻辑学的发展历程及其影响逻辑学是一门研究思维和推理的学科，其发展历程可以追溯到古希腊时期。
在过去的几千年里，逻辑学经历了多次重大变革，对人类的思维方式和知识体系产生了深远的影响。
古希腊哲学家亚里士多德被公认为逻辑学的奠基人。
他在《逻辑学》一书中系统地研究了推理和论证的规则，并提出了一系列重要的概念，如命题、推理、范畴等。
亚里士多德的逻辑学成为欧洲中世纪哲学的基础，并对后来的哲学和科学产生了深远的影响。
在中世纪，基督教神学和亚里士多德的逻辑学合二为一，形成了所谓的“斯科拉哲学”。
斯科拉哲学在教育和学术界占据主导地位，并对中世纪欧洲的思维方式产生了深远的影响。
然而，斯科拉哲学的教条主义和缺乏创新性导致了它的衰落，逻辑学也进入了一个相对停滞的时期。
逻辑学在17世纪经历了一次重大的变革，这一时期被称为“近代逻辑学的诞生”。
英国哲学家弗朗西斯·培根和德国哲学家戈特弗里德·莱布尼茨都对逻辑学进行了重要的贡献。
培根提出了实证主义的思想，主张通过实证研究来验证真理。
莱布尼茨则发展了二元论和逻辑演算的理论，为后来的数理逻辑奠定了基础。
19世纪，德国哲学家弗里德里希·黑格尔提出了辩证逻辑的概念，将逻辑学与哲学的思辨相结合。
黑格尔的辩证逻辑对后来的思维方式产生了深远的影响，尤其是在马克思主义哲学中。
20世纪是逻辑学发展的一个重要时期，数理逻辑和形式逻辑成为逻辑学的两个主要分支。
数理逻辑通过数学符号和形式化的推理规则来研究逻辑问题，对计算机科学和人工智能的发展产生了重要影响。
形式逻辑则关注自然语言中的推理和论证规则，对语言学和认知科学有着重要的启示。
逻辑学的发展不仅对哲学和科学产生了深远的影响，也对人类的思维方式和知识体系产生了重要影响。
逻辑学的方法和工具被广泛应用于各个领域，如法学、经济学、心理学等。
逻辑学的发展也推动了人类对思维和推理的认识，为我们理解世界和解决问题提供了重要的思维工具。
自然辩证法课后习题答案
自然辩证法课后习题答案绪论一、自然辩证法和科学技术有什么关系？1、从自然辩证法的研究对象看：自然辩证法的对象是自然界发展和科学技术发展的一般规律、人类认识和改造自然的一般方法以及科学技术与人类社会发展的关系。
或者可以说，自然界存在和演化的一般规律（即自然界的辩证法），人类通过科学技术活动认识自然和改造自然的一般规律（科学技术研究的辩证法）；作为一种认识现象和社会现象的科学技术发生和发展的一般规律（即科学技术发展的辩证法），以及科学技术与人类社会相互作用的一般规律（科技与社会相互作用的辩证法）。
它是马克思主义关于科学、技术及其与社会的关系的已有成果的概括和总结，因而自然辩证法必然会随着科学技术的发展而不断丰富与发展，自然辩证法是开放的、发展的理论体系。
2、从自然辩证法的历史渊源看：自然辩证法是随着自然科学的发展以及相应的自然观的逐渐成熟而形成和发展起来的。
（1）古代的自然哲学：自发的唯物主义和朴素的辩证法；有直观、思辨和猜测性质。
（2）中世纪宗教神学的自然观。
（3）16世纪科学的兴起：1543年哥白尼及其《天体运行论》。
观察、实验和数学方法的结合。
弗朗西斯·培根唯物主义的自然观、经验论的认识论和归纳法的方法论——近代科学的人文主义传统。
笛卡儿唯物论的认识论和演绎法的方法论。
——17－18世纪自然科学主要的方法是分析解剖：将整个自然界分成许多部分分别深入研究；将某一自然事物解析成许多局部研究其细微结构；将某一自然过程分成若干阶段静止地研究其某一截面，逐渐形成孤立地静止地思考问题的习惯，此乃近代科学的机械论和形而上学的方法论。
（4）随着资本主义生产方式的发展，从18世纪末开始，主要是在19世纪科学技术进入全面发展时期。
搜集经验材料到理性概括材料，形成黑格尔哲学的科学基础，黑格尔哲学第一次把整个自然界、社会历史和人类精神描绘成一个不断运动、变化、发展的过程，试图揭示其内在联系，在其概念辩证法中猜测到了自然事物的辩证法。
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第26卷 第5期2010年 5月 自然辩证法研究St udies in Dialectics of Nat ure Vol.26,No.5May ,2010文章编号:1000-8934(2010)05-0008-06论19世纪的逻辑学———在数学与哲学之间奚颖瑞(浙江大学哲学系,杭州 310028) 摘要:19世纪的逻辑学处于数学与哲学之间:一方面,数学家在对传统逻辑的改革过程中形成了逻辑代数和数理逻辑;另一方面,哲学探讨热衷于逻辑学的性质、地位、基础等问题,由此形成了心理主义和反心理主义之争。
这种状况从各个方面影响了20世纪的逻辑学、心理学和哲学的发展。
关键词:逻辑学;逻辑代数;数理逻辑;心理主义;反心理主义中图分类号:N031 文献标志码:A收稿日期:2009-10-10作者简介:奚颖瑞(1983-),浙江天台人,浙江大学哲学系外国哲学研究所博士生,研究方向:现象学与认知科学。
①本文中的逻辑学主要指形式逻辑。
逻辑学在亚里士多德那里是因哲学的需要而产生的,并在此后的两千年里都被看作是哲学的一个部门。
但是情况在19世纪发生了变化,与数学之间的联系变得越来越紧密,使得逻辑学开始处于数学与哲学之间:一方面,关于逻辑学的哲学探讨不关心细节和技巧上的改造,而是热衷于逻辑学的性质、地位、基础等问题,而且这种探讨又经常与心理学和认识论纠缠在一起;另一方面,对逻辑学的现实发展做出贡献的主要不是单纯的哲学家,而是数学家或具有数学背景的哲学家,他们在对传统逻辑的改革中形成了逻辑代数和数理逻辑。
本文试图从这两个视角出发来概览当时的逻辑学状况①。
1 逻辑学与数学:逻辑代数与数理逻辑的产生 乍看之下,19世纪的数学对逻辑学的影响是从两条相反的进路进行的:一是代数的发展,使得一些逻辑学家看到了把逻辑推理转变为逻辑演算、构建一门逻辑代数,从而把逻辑学纳入到数学之中的可能性;另一是在数学基础的争论中产生了用逻辑学来为数学奠基的逻辑主义路线,而这种奠基本身又引向了用人工语言来对逻辑学本身进行改革,从而促成了数理逻辑的诞生。
1.1 逻辑代数莱布尼茨在17世纪就已经预见到了把逻辑推理转变为演算的可能性,他意识到概念的析取和合取与算术的加法和乘法之间存在着某些相似之处,但是却没能精确地表达这种相似性并把它当作逻辑演算的基础。
使得这种可能性转变为现实的是19世纪英国的数学家们,逻辑代数就是在他们的努力之下产生的。
逻辑代数表面上是在改造逻辑,但其背后的主导观念却是一种代数观的改变:代数可以发展成为具有各种解释的抽象代数,数或量只是其中一种可能的解释而已,而一般地说,数学也不是关于量的科学。
19世纪初,在剑桥发起了一场志在改革英国科学和数学的运动,其标志是查尔斯・巴比奇(Charles Babbage ,1791-1871)、乔治・皮考克(George Peacock ,1791-1858)和约翰・黑什尔(John Herschel ,1792-1871)在1812年成立的分析学会(Analytical Society )。
这个学会成立的最初目标是要在微积分中放弃本国的牛顿记号法,推广欧洲大陆的莱布尼茨记号法。
尽管存在的时间很短(1812-1817),但是它激发了英国的数学家们对符号运算和代数的热情,并且持续了整个19世纪。
在此需要提及几个人,他们对代数的看法影响了逻辑代数的产生:皮考克、邓坎・格里高利(Duncan F.Gregory ,1813-1844)、德・摩根(August us De Morgan ,1806-1871)、乔治・布尔(George Boole ,1815-1864)。
皮考克在思考负数问题的时候区分了算术代数和符号代数。
算术代数是针对正整数的代数,当a <b 的时候,(a -b )是无解的。
而符号代数则没有这个限制,它超越出了正整数领域之外,而应用到其它各种数形式上。
从前者向后者的转化是通过8“等价形式的持续原则”(t he principle of t he perma2 nence of equivalent forms),根据这个原则,在代数上等价的形式在用一般的符号表达出来之后,就必然是真的,而不管这个符号指称的是什么〔1〕21。
由此,算术代数和符号代数的区别在于,前者优先强调符号的合法性,而后者则把优先性赋予了把符号结合在一起的运算。
尽管如此,皮考克对代数的看法很大程度上仍然局限在数和量的领域中。
格里高利进一步发展了皮考克的思想,在“论符号代数的真正性质”(1840)一文中,他把符号代数界定为“这样一门科学,它处理的是这样一些运算结合,后者不是通过它们的本质,即不是通过它们是什么或它们做什么来界定的,而是通过它们所服从的结合规律来界定的”〔2)323。
通过对运算结合规律的进一步强调,格里高利认为符号代数应当考虑非算术的,甚至超出于数和量之外的应用领域,它所使用的符号可以允许进行非数的解释。
例如符号a和+ a在算术中是等值的,但是在几何中它们必须被解释为不同的:a可以表示一条线段,而+a则表示线段的方向。
与前两者相比,德・摩根在逻辑学上造诣要深得多,从而也更为明确地意识到了符号代数与逻辑之间的紧密联系:“我们必须从代数那里去寻找逻辑形式的最寻常的用法”〔2〕331。
在19世纪的英国,他是把符号代数应用到逻辑分析之上的第一人,其主要著作有《形式逻辑》(1847)以及包括“论三段论IV 和关系逻辑”(1859)在内的一些论文。
他第一次明确用公式表达了合取与析取的关系,即我们现在称之为德摩根律。
并且,通过引入“谓词量化”理论以及对“关系逻辑”的研究,他使得逻辑学的内容大大超越了亚里士多德三段论的狭隘范围。
1847年,爱丁堡的威廉・汉密尔顿(William Hamilton,1788-1856)在学术刊物上宣布自己在谓词量化理论上具有优先权,并指责德・摩根剽窃了他的学说,从而引发了两人的争论。
这场不愉快的争论的一个意外后果是引起了布尔对逻辑的关注,后者于同年写作了《逻辑的数学分析:朝向演绎推理的演算》,此书标志着逻辑代数的产生。
布尔在书中综合了前辈们的两个重要发现:①代数可以和数无关;②适用于数的法则不必全部都保留在代数系统中〔3)514。
如此代数可以发展成为允许进行各种解释的抽象演算:“熟悉符号代数理论现状的人们都知道,分析过程的有效性并不取决于对所使用的符号所做的解释,而只取决于它们的组合规律……同一个过程在一种解释方式之下可以表示关于数的性质问题的解法,在另一种解释方式之下表示几何问题的解法,而在第三种解释方式之下则表示力学或光学问题的解法”;他强调,“正是在这个一般原则的基础上,我试图建立逻辑演算,我要为它在众所公认的数学分析的形式中争得一个位置”〔2〕453。
布尔对他所阐述的逻辑代数作了好几种解释,其中最主要的是类演算。
类演算的目标是要改造亚里士多德的三段论,这种改造的哲学基础是对A(全称肯定命题)、E(全称否定命题)、I(特称肯定命题)、O(特称否定命题)进行类的或外延的解释,即认为这些命题表示两个概念之间的外延关系。
如“所有人都是有死的”表示概念“所有人”的外延包含在“有死的”的外延之中。
现在,设x、y、z这样的字母表示某个类;1表示全类,包含所有元素的类;用0表示空类,没有一个元素的类;μ表示其拥有一些数目不定的元素的类;加表示两个类的并集(逻辑和);乘表示两个类的交集(逻辑积);减表示从一个类中去掉另一个类的元素。
如此A、E、I、O就都可以转化为代数表达式,而以此为基础的三段论推理也就可以转化为解代数方程。
以第一格的Barbara式为例,其传统的三段论形式是这样的:所有Y都是X,所有Z都是Y;由此得出,所有Z都是X。
现在,大前提可以表示为y(1 -x)=0,小前提可以表示为z(1-y)=0。
两式相乘,得y(1-x)z(1-y)=0。
然后消去y(1-y),即得(1-x)z=0,翻译成传统的表达方法就是:所有Z 都是X。
布尔的工作马上让一些逻辑学家看到,逻辑代数还有很大的发展和改进空间,他们沿着前者的道路继续前行,一方面对布尔代数进行细节上的改进,另一方面是用逻辑代数来构建关系逻辑。
就前者而言,耶芳斯(W.S.J evons,1835-1882)首先把布尔的不相容的逻辑加改为相容的。
文恩(J.Venn,1834-1923)用直观的图解法来表示布尔代数,在逻辑史上被称为“文恩图解”。
美国逻辑学家皮尔士(C.S.Peirce,1834-1914)在他的系统中取消了逻辑减和逻辑除,它们可以通过逻辑乘、算术加和否定的运算来定义;此外,他还把类包含概念引入到了布尔代数系统中。
与皮尔士类似,德国逻辑学家施罗德(Ernst Schr der,1841-1902)也是根据类包含关系而不是等式关系来构造类演算。
麦柯尔(H.McColl,1837-1909)则把命题逻辑从类演算中独立出来,这是弗雷格之前命题逻辑发展的最高水平。
在关系逻辑的建立上首先需要提及德・摩根,他被皮尔士称为“关系逻辑之父”。
德・摩根认为,传统的三段论推理不过是关系理论的一种特殊情9 论19世纪的逻辑学———在数学与哲学之间形,前者的规则“实际上是表述了同一关系的可逆的和传递的性质”〔3〕541。
他给出了关系逻辑的几种基本运算:关系积、逆关系、补关系,并为它们提出了一些主要原理,如“逆关系的相反者是相反者的逆关系”等。
德・摩根的思想由皮尔士所发展,后者首次全面而系统地建立起了关系演算。
1.2 数理逻辑19世纪的数学基础研究从另一条进路影响了逻辑学的发展。
数学分析(微积分)在经过17、18世纪的创立和蓬勃发展之后,却在19世纪遭受了基本概念的合法性的怀疑:“许多过去被看作是自明的东西,现在都需要证明……函数、连续性、极限、无穷这些概念表明需要更明确的规定。
负数和无理数长期以来已为科学所接受,它们的合理性却必须得到更严格的证明”〔4〕11。
“分析的严格化”运动就是在这种形势之下产生的,它的主要意图是要把数学分析奠基在算术之上,这个奠基迫使数学家们首先需要建立一个严格的实数理论,并最终把他们的目标引向了对严格的自然数理论的构建。
这场运动的发起者和代表人物主要有鲍尔查诺(Bernhard Bolzano,1781-1848)、柯西(Augustin-Louis Cauchy,1789-1857)、魏尔斯特拉斯(K arl Weierstrass,1815-1897)等。
弗雷格(G ottlob Frege,1848-1925)就身处这个大背景之中,其数学基础研究的特点在于他试图把数学奠基在逻辑之上,因此又被称为逻辑主义:“1.数学概念能通过明确的定义从逻辑概念中导出。
2.数学定理能通过纯粹的逻辑演绎从逻辑公理中推导出来”〔5〕48。