全国高考真题专题汇编导数

专题三 导数

(2014)各省市高考题

18．（12分）（2014?安徽）设函数f （x ）=1+（1+a ）x ﹣x 2﹣x 3，其中a ＞0． （Ⅰ）讨论f （x ）在其定义域上的单调性；

（Ⅱ）当x ∈[0，1]时，求f （x ）取得最大值和最小值时的x 的值． 18．（13分）（2014?北京）已知函数f （x ）=xcosx ﹣sinx ，x ∈[0，]

（1）求证：f （x ）≤0； （2）若a ＜

＜b 对x ∈（0，

）上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值．

22．（12分）（2014?广西）函数f （x ）=ln （x+1）﹣（a ＞1）．

（Ⅰ）讨论f （x ）的单调性；

（Ⅱ）设a 1=1，a n+1=ln （a n +1），证明：＜a n ≤

．

20．（14分）（2014?福建）已知函数f （x ）=e x ﹣ax （a 为常数）的图象与y 轴交于点A ，曲线y=f （x ）在点A 处的切线斜率为﹣1．

（1）求a 的值及函数f （x ）的极值； （2）证明：当x ＞0时，x 2＜e x ；

（3）证明：对任意给定的正数c ，总存在x 0，使得当x ∈（x 0，+∞）时，恒有x ＜ce x ．

22．[2014·湖北卷] π为圆周率，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．

(1)求函数f (x )＝ln x

x 的单调区间；

(2)求e 3，3e

，e π，πe ，，3π，π3这6个数中的最大数与最小数；

(3)将e 3，3e ，e π，πe ，3π

，π3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．

22.（2014湖南） (本小题满分13分) 已知常数0>a ，函数.2

2)1ln()(+-

+=x x

ax x f （1） 讨论)(x f 在区间),0(∞+上的单调性；

（2）若)(x f 存在两个极值点1x ，2x ，且0)()(21>+x f x f ，求a 的取值范围.

19．(本小题满分16分)已知函数()e e x x f x -=+其中e 是自然对数的底数． （1）证明：()f x 是R 上的偶函数；

（2）若关于x 的不等式()e 1x mf x m -+-≤在(0)+∞，上恒成立，求实数m 的取值范围；

（3）已知正数a 满足：存在0[1)x ∈+∞，，使得3000()(3)f x a x x <-+成立．试比较1e a -与e 1a -的大小，并证明你的结论．

14．（5分）（2014?江西）若曲线y=e ﹣x

上点P 的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P 的坐标是 _________ ．

19．（12分）（2014?江西）已知函数f （x ）=（x 2+bx+b ）（b ∈R ）

（1）当b=4时，求f （x ）的极值；

（2）若f （x ）在区间（0，）上单调递增，求b 的取值范围．

21．（12分）（2014?辽宁）已知函数 f （x ）=（cosx ﹣x ）（π+2x ）﹣（sinx+1） g （x ）=3（x ﹣π）cosx ﹣4（1+sinx ）ln （3﹣）

证明：

（Ⅰ）存在唯一x 0∈（0，），使f （x 0）=0；

（Ⅱ）存在唯一x 1∈（

，π），使g （x 1）=0，且对（Ⅰ）中的x 0，有x 0+x 1＜π．

8．（2014新课标二卷）（5分）设曲线y=ax ﹣ln （x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x ，则a=（ ）

A ． 0

B ． 1

C ． 2

D ． 3

21．（12分）已知函数f （x ）=e x ﹣e ﹣

x ﹣2x ． （Ⅰ）讨论f （x ）的单调性；

（Ⅱ）设g （x ）=f （2x ）﹣4bf （x ），当x ＞0时，g （x ）＞0，求b 的最大值； （Ⅲ）已知1.4142＜＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．

21. （2014新课标一卷）(本小题满分12分)设函数1

(0ln x x

be f x ae x x

-=+，曲线()y f x =在点（1，(1)f ）

处的切线为(1)2y e x =-+. （I ）求,a b ； （Ⅱ）证明：()1f x >.

20.( 本小题满分13分）

设函数())ln 2

(2x x

k x e x f x +-=（k 为常数， 2.71828

e =是自然对数的底数）

（I ）当0k ≤时，求函数()f x 的单调区间；

（II ）若函数()f x 在()0,2内存在两个极值点，求k 的取值范围。

21（2014陕西）.（本小题满分14分） 设函数

()ln(1),()'(),0f x x g x xf x x =+=≥，其中'()f x 是()f x 的导函数.

（Ⅰ）11()(),()(()),n n g x g x g x g g x n N ++=

=∈，求()n g x 的表达式；

（Ⅱ）若

()()f x ag x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；

（Ⅲ）设n N +∈，比较(1)(2)()g g g n +++与()n f n -的大小，并加以证明.

21．（14分）（2014?四川）已知函数f （x ）=e x ﹣ax 2﹣bx ﹣1，其中a ，b ∈R ，e=2.71828…为自然对数的底数． （1）设g （x ）是函数f （x ）的导函数，求函数g （x ）在区间[0，1]上的最小值； （2）若f （1）=0，函数f （x ）在区间（0，1）内有零点，求a 的取值范围．

（20）（本小题满分14分） 已知函数x f x

x

ae a

R ，x R .已知函数y

f x 有两个零点12,x x ，且12x x .

（Ⅰ）求a 的取值范围； （Ⅱ）证明

2

1

x x 随着a 的减小而增大； （Ⅲ）证明 12x x 随着a 的减小而增大.

6.（2014浙江）已知函数32

()f x x ax bx c =+++ ，且0(1)(2)(3)3f f f <-=-=-≤（ ） A.3c ≤ B.36c <≤ C.69c <≤ D. 9c > 22.（本题满分14分）

已知函数()3

3().f x x x a a R =+-∈

(Ⅰ)若()f x 在[]1,1-上的最大值和最小值分别记为(),()M a m a ，求()()M a m a -； (Ⅱ)设,b R ∈若()2

4f x b +≤????对[]1,1x ∈-恒成立，求3a b +的取值范围.

20．（12分）（2014?重庆）已知函数f （x ）=ae 2x ﹣be ﹣

2x ﹣cx （a ，b ，c ∈R ）的导函数f′（x ）为偶函数，且曲线y=f （x ）在点（0，f （0））处的切线的斜率为4﹣c ．

（Ⅰ）确定a ，b 的值；

（Ⅱ）若c=3，判断f （x ）的单调性； （Ⅲ）若f （x ）有极值，求c 的取值范围．

2015各省市高考题）

1.【2015高考福建，理10】若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =-，其导函数()f x '满足()1f x k '>>，则下列结论中一定错误的是（ ） A ．11

f k k ??<

??? B ．111f k k ??

> ?-?? C ．1111f k k ??

< ?--?? D ．111k f k k ??

> ?--??

【考点定位】函数与导数．

【名师点睛】联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，属于难题．

2.【2015高考陕西，理12】对二次函数2

()f x ax bx c =++（a 为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ） A ．1-是()f x 的零点 B ．1是()f x 的极值点 C ．3是()f x 的极值 D . 点(2,8)在曲线()y f x =上 【考点定位】1、函数的零点；2、利用导数研究函数的极值．

【名师点晴】本题主要考查的是函数的零点和利用导数研究函数的极值，属于难题．解题时一定要抓住重要字眼“有且仅有一个”和“错误”，否则很容易出现错误．解推断结论的试题时一定要万分小心，除了作理论方面的推导论证外，利用特殊值进行检验，也可作必要的合情推理．

3.【2015高考新课标2，理12】设函数'

()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，

'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）

A ．(,1)(0,1)-∞-

B ．(1,0)(1,)-+∞

C ．(,1)

(1,0)-∞--D ．(0,1)(1,)+∞

【考点定位】导数的应用、函数的图象与性质．

【名师点睛】联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等

式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，属于难题．

4.【2015高考新课标1，理12】设函数()f x =(21)x

e x ax a --+,其中a 1，若存在唯一的整数0x ，使得

0()f x 0，则a 的取值范围是（ ）

(A)[-

32e ，1）(B)[-32e ，34）(C)[32e ，34）(D)[3

2e

，1）

【考点定位】本题主要通过利用导数研究函数的图像与性质解决不等式成立问题

【名师点睛】对存在性问题有三种思路，思路1：参变分离，转化为参数小于某个函数（或参数大于某个函数），则参数该于该函数的最大值（大于该函数的最小值）；思路2：数形结合，利用导数先研究函数的图像与性质，再画出该函数的草图，结合图像确定参数范围，若原函数图像不易做，常化为一个函数存在一点在另一个函数上方，用图像解；思路3：分类讨论，本题用的就是思路2.

5.【2015高考陕西，理16】如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为．

【考点定位】1、定积分；2、抛物线的方程；3、定积分的几何意义．

【名师点晴】本题主要考查的是定积分、抛物线的方程和定积分的几何意义，属于难题．解题时一定要抓住重要字眼“原始”和“当前”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是定积分的几何意义，即由直线x a =，x b =，0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积是

()b

a

f x dx ?．

6.【2015高考天津，理11】曲线2

y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为. 【考点定位】定积分几何意义与定积分运算.

【名师点睛】本题主要考查定积分几何意义与运算能力.定积分的几何意义体现数形结合的典型示范，既考查微积分的基本思想又考查了学生的作图、识图能力以及运算能力.

【2015高考湖南，理11】2

0(1)x dx ?-=.

【考点定位】定积分的计算.

【名师点睛】本题主要考查定积分的计算，意在考查学生的运算求解能力，属于容易题，定积分的计算通常有两类基本方法：一是利用牛顿-莱布尼茨定理；二是利用定积分的几何意义求解. 7.【2015高考新课标2，理21】（本题满分12分） 设函数2()mx

f x e

x mx =+-．

(Ⅰ)证明：()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增；

（Ⅱ）若对于任意12,[1,1]x x ∈-，都有12()()1f x f x e -≤-，求m 的取值范围． 【考点定位】导数的综合应用． 【名师点睛】(Ⅰ)先求导函数'

()(1)2mx

f x m e

x =-+，根据m 的范围讨论导函数在(,0)-∞和(0,)+∞的符

号即可；（Ⅱ）12()()1f x f x e -≤-恒成立，等价于12max ()()1f x f x e -≤-．由12,x x 是两个独立的变量，故可求研究()f x 的值域，由(Ⅰ)可得最小值为(0)1f =，最大值可能是(1)f -或(1)f ，故只需

(1)(0)1,

(1)(0)1,f f e f f e -≤-??

--≤-?

，从而得关于m 的不等式，因不易解出，故利用导数研究其单调性和符号，从而得解．

8.【2015高考江苏，19】（本小题满分16分） 已知函数),()(2

3

R b a b ax x x f ∈++=. （1）试讨论)(x f 的单调性；

（2）若a c b -=（实数c 是a 与无关的常数），当函数)(x f 有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是),2

3()23

,1()3,(+∞--∞ ，求c 的值. 【考点定位】利用导数求函数单调性、极值、函数零点

【名师点晴】求函数的单调区间的步骤：①确定函数y ＝f(x)的定义域；②求导数y′＝f′(x)，令f′(x)＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；③把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；④确定f′(x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性．

已知函数的零点个数问题处理方法为：利用函数的单调性、极值画出函数的大致图像，数形结合求解． 已知不等式解集求参数方法：利用不等式解集与对应方程根的关系找等量关系或不等关系. 9.【2015高考福建，理20】已知函数f()ln(1)x x ，(),(k ),g x kx R

(Ⅰ)证明：当0x

x x 时，f()；

(Ⅱ)证明：当1k 时，存在00x ,使得对0(0),x x 任意，恒有f()()x g x ；

(Ⅲ)确定k 的所以可能取值，使得存在0t ，对任意的(0),x ，t 恒有2|f()()|x g x x ．

【考点定位】导数的综合应用．

【名师点睛】在解函数的综合应用问题时,我们常常借助导数,将题中千变万化的隐藏信息进行转化，探究这

类问题的根本，从本质入手,进而求解，利用导数研究函数的单调性，再用单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或最值，从而证得不等式，注意()()f x g x >与min max ()()f x g x >不等价，min max ()()f x g x >只是

()()f x g x >的特例，但是也可以利用它来证明，在2014年全国Ⅰ卷理科高考21题中，就是使用该种方法

证明不等式；导数的强大功能就是通过研究函数极值、最值、单调区间来判断函数大致图象，这是利用研究基本初等函数方法所不具备的，而是其延续．

11.【2015高考山东，理21】设函数()()()

2ln 1f x x a x x =++-，其中a R ∈. （Ⅰ）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由； （Ⅱ）若()0,0x f x ?>≥成立，求a 的取值范围.

【考点定位】1、导数在研究函数性质中的应用；2、分类讨论的思想.

【名师点睛】本题考查了导数在研究函数性质中的应用，着重考查了分类讨论、数形结合、转化的思想方法，意在考查学生结合所学知识分析问题、解决问题的能力，其中最后一问所构造的函数体现了学生对不同函数增长模型的深刻理解.

12.【2015高考安徽，理21】设函数2

()f x x ax b =-+.

（Ⅰ）讨论函数(sin )f x 在(,)22

ππ

-

内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值； （Ⅱ）记2000()f x x a x b =-+，求函数0(sin )(sin )f x f x -在[]22

ππ

-

,上的最大值D ； （Ⅲ）在（Ⅱ）中，取000a b ==，求2

4

a z

b =-满足D 1≤时的最大值.

【考点定位】1.函数的单调性、极值与最值；2.绝对值不等式的应用.

【名师点睛】函数、导数解答题中贯穿始终的是数学思想方法，在含有参数的试题中，分类与整合思想是

必要的，由于是函数问题，所以函数思想、数形结合思想也是必要的，把不等式问题转化为函数最值问题、把方程的根转化为函数零点问题等，转化与化归思想也起着同样的作用，解决函数、导数的解答题要充分注意数学思想方法的应用.

13.【2015高考天津，理20（本小题满分14分）已知函数()n ,n

f x x x x R =-∈，其中*

n ,n 2N ∈≥. (I)讨论()f x 的单调性；

(II)设曲线()y f x 与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x ,求证：对于任意的正实

数x ，都有()()f x g x ≤；

(III)若关于x 的方程()=a(a )f x 为实数有两个正实根12x x ，，求证：21|-|

21a x x n

【考点定位】1.导数的运算；2.导数的几何意义；3.利用导数研究函数性质、证明不等式.

【名师点睛】本题主要考查函数的性质与导数之间的关系以及利用函数证明不等式.第(I)小题求导后分n 为奇偶数讨论函数的单调性，体现了数学分类讨论的重要思想；第(II)(III)中都利用了构造函数证明不等式这一重要思想方法，体现数学中的构造法在解题中的重要作用，是拨高题.

14.【2015高考重庆，理20】 设函数()()23x

x ax

f x a R e +=∈

（1）若()f x 在0x =处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线()y f x =在点()()

1,1f 处的切线方程； （2）若()f x 在[)3,+∞上为减函数，求a 的取值范围。

【考点定位】复合函数的导数，函数的极值，切线，单调性．考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力．

【名师点晴】导数及其应用通常围绕四个点进行命题．第一个点是围绕导数的几何意义展开，设计求曲线的切线方程，根据切线方程求参数值等问题，这类试题在考查导数的几何意义的同时也考查导数的运算、函数等知识，试题的难度不大；第二个点是围绕利用导数研究函数的单调性、极值(最值)展开，设计求函数的单调区间、极值、最值，已知单调区间求参数或者参数范围等问题，在考查导数研究函数性质的同时考查分类与整合思想、化归与转化思想等数学思想方法；第三个点是围绕导数研究不等式、方程展开，涉及不等式的证明、不等式的恒成立、讨论方程根等问题，主要考查通过转化使用导数研究函数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用；第四个点是围数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用；本题涉及第一个点和第二个点，主要注意问题的转化，转化为不等式恒成立，转化为二次函数的性质．

15.【2015高考四川，理21】已知函数2

2

()2()ln 22f x x a x x ax a a =-++--+，其中0a >. （1）设()g x 是()f x 的导函数，评论()g x 的单调性；

（2）证明：存在(0,1)a ∈，使得()0f x ≥在区间∞(1,+)内恒成立，且()0f x =在∞(1,+)内有唯一解. 【考点定位】本题考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类与整合，化归与转化等数学思想.

【考点定位】本题考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类与整合，化归与转化等数学思想. 【名师点睛】本题作为压轴题，难度系数应在0.3以下.导数与微积分作为大学重要内容，在中学要求学生掌握其基础知识，在高考题中也必有体现.一般地，只要掌握了课本知识，是完全可以解决第（1）题的，所以对难度最大的最后一个题，任何人都不能完全放弃，这里还有不少的分是志在必得的.解决函数题需要的一个重要数学思想是数形结合，联系图形大胆猜想. 在本题中，结合待证结论，可以想象出()f x 的大致图象，要使得()0f x ≥在区间∞(1,+)内恒成立，且()0f x =在∞(1,+)内有唯一解，则这个解0x 应为极小值点，且极小值为0，当0(1,)x x ∈时，()f x 的图象递减；当0(,)x x ∈+∞时，()f x 的图象单调递增，顺着这个思想，便可找到解决方法.

16.【2015高考湖北，理22】已知数列{}n a 的各项均为正数，1

(1)()n n n b n a n n

+=+∈N ，e 为自然对数的底

数．

（Ⅰ）求函数()1e x f x x =+-的单调区间，并比较1

(1)n n

+与e 的大小；

（Ⅱ）计算

11b a ，1212b b a a ，123123

b b b

a a a ，由此推测计算1212n

n

b b b a a a 的公式，并给出证明； （Ⅲ）令1

12

()n

n n c a a a =，数列{}n a ，{}n c 的前n 项和分别记为n S ,n T , 证明：n n eS T <.

【考点定位】导数的应，数列的概念，数学归纳法，基本不等式，不等式的证明.

【名师点睛】使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．

运用数学归纳法应注意以下三点：(1)n ＝n 0时成立，要弄清楚命题的含义．(2)由假设n ＝k 成立证n ＝k ＋1时，要推导详实，并且一定要运用n ＝k 成立的结论．(3)要注意n ＝k 到n ＝k ＋1时增加的项数． 17.【2015高考新课标1，理21】已知函数f （x ）=31

,()ln 4

x ax g x x ++=-. (Ⅰ)当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；

（Ⅱ）用min {},m n 表示m,n 中的最小值，设函数}{

()min (),()(0)h x f x g x x =>，讨论h （x ）零点的

个数.

【考点定位】利用导数研究曲线的切线；对新概念的理解；分段函数的零点；分类整合思想

【名师点睛】本题主要考查函数的切线、利用导数研究函数的图像与性质、利用图像研究分段函数的零点，试题新颖.对函数的切线问题，主要在某一点的切线与过某一点点的切线不同，在某点的切线该点是切点，过某点的切线该点不一定是切点，对过某点的切线问题，设切点，利用导数求切线，将已知点代入切线方程，解出切点坐标，即可求出切线方程. 18.【2015高考北京，理18】已知函数()1ln

1x

f x x

+=-．

（Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程； （Ⅱ）求证：当()01x ∈，

时，()323x f x x ??

>+ ??

?； （Ⅲ）设实数k 使得()33x f x k x ??

>+ ???

对()01x ∈，

恒成立，求k 的最大值． 考点：1.导数的几何意义；2.利用导数研究函数的单调性，证明不等式；3.含参问题讨论. 【名师点睛】本题考查导数的几何意义和利用导数研究函数性质问题，本题第一步为基础，第二、三步属于中等略偏难问题，首先利用导数的几何意义求出切线斜率和切点坐标，写出切线方程，其次用作差法构造函数，利用导数研究函数的单调性，证明不等式，最后一步对参数k 进行分类讨论研究. 19.【2015高考广东，理19】设1a >，函数a e x x f x

-+=)1()(2

． (1) 求)(x f 的单调区间 ；

(2) 证明：)(x f 在(),-∞+∞上仅有一个零点； (3) 若曲线()y

f x 在点P 处的切线与x 轴平行，且在点(,)M m n 处的切线与直线OP 平行（O 是坐标

原点）,证明：12

3--

≤e

a m ． 【考点定位】导数与函数单调性、零点、不等式，导数的几何意义等知识．

【名师点睛】本题主要考查导数与函数单调性、零点、不等式恒成立，导数的几何意义等基础知识，属于中高档题，解答此题关键在于第（1）问要准确求出()f x 的导数，第（2）问首先要说明()0,a 内有零点再结合函数在(),-∞+∞单调性就易证其结论，第（3）问由导数的几何意义易得()2

2

1m m e a e

+=-对比要证

明的结论后要能认清1m e m ≥+的放缩作用并利用导数证明1m e m ≥+成立，则易证1m ≤

． 【2015高考湖南，理21】.已知0a >，函数()sin ([0,))ax

f x e x x =∈+∞，记n x 为()f x 的从小到大的第

n *()n N ∈个极值点，证明：

（1）数列{()}n f x 是等比数列 （2）若

a ≥

*

n N ∈，|()|n n x f x <恒成立.

【考点定位】1.三角函数的性质；2.导数的运用；3.恒成立问题.

【名师点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.