【全国百强校】北京市首都师范大学附属中学2019届高三一模数学（理科） 试题
精品解析：【全国百强校】北京师大实验中学2019届高三3月高考模拟试卷(一)数学(理科)试题(解析版)
2019年北京师大实验中学高考数学模拟试卷（理科）（一）（3月份）注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。
用2B型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得集合，又，，故选C.2.设实数满足约束条件，则的最小值是（）A. B. 1 C. 2 D. 7【答案】A【解析】由题意作约束条件表示的平面区域如图，由，解得，平移直线，由图可知当直线经过点时，直线在纵轴上的截距最小，即的最小值是，故选A.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.3.若实数满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据对数的运算性质转化为对数不等式的问题求解．【详解】由题意得，原不等式等价于且，所以且，解得且，所以．所以实数的取值范围是．故选C．【点睛】解对数不等式时，一般要根据对数的单调性进行，若对数的底数为参数，则需要注意对底数进行分类讨论，同时不要忽视真数大于零这一隐含条件．4.设，则“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若取时，不成立，若，则，可得“”是“”的必要而不充分条件，故选B.5.已知双曲线，其中，双曲线半焦距为，若抛物线2的准线被双曲线截得的弦长为（为双曲线的离心率），则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意可得准线被双曲线截得的弦长为，化简即可求出.【详解】∵抛物线的准线：，它正好经过双曲线的左焦点，∴准线被双曲线截得的弦长为：，∴，∴，∴，∴，∴则双曲线的渐近线方程为，故选：．【点睛】本题考查了抛物线和双曲线的简单性质，考查了转化能力和运算能力，属于中档题.6.已知奇函数在上是增函数，若，，，则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，由奇函数的性质分析可得，进而可得，结合函数的单调性分析可得答案．【详解】根据题意，为奇函数，则，又由，又由在上是增函数，则有；故选：D．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是掌握函数奇偶性与单调性的性质．7.用一块圆心角为240°、半径为的扇形铁皮制成一个无底面的圆锥容器（接缝忽略不计），则该容器的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意求出扇形围成的圆锥底面圆半径和高，再计算圆锥的体积.【详解】扇形的圆心角为240°＝，半径为；设扇形围成的圆锥底面半径为，高为；则，解得；，则该圆锥的体积为．故选：．【点睛】本题考查了圆锥的结构特征与体积计算问题，是基础题．8.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士、凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，5人以爵次进行分配（古代数学中“以爵次分之”这种表达，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配）．”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则公士得（）A. 三分鹿之一B. 三分鹿之二C. 一鹿D. 一鹿、三分鹿之一【答案】A【解析】分析：本题考查阅读理解能力，抽象概括能力，解题关键是从题中得出5人所得依次成等差数列，其中，，要求，由等差数列的前项和公式易解得．详解：显然5人所得依次成等差数列，设公士所得为，则，解得．故选A．点睛：本题考查等差数列的应用，考查数学文化，《九章算术》是我国古代的数学名著，书中集成了许多数学问题，它的出现，标志着中国古代数学体系的形成。
北京高三模拟导数系列2019北京各区导数一模试题汇编及答案
2019北京市东城区高三一模数学（理）（18）（本小题13分）设函数2()(2)ln f x ax a x x =+--的极小值点为0x . （I ）若01x =，求a 的值()f x 的单调区间；（II ）若001x <<，在曲线()y f x =上是否存在点P ，使得点P 位于x 轴的下方？若存在，求出一个P 点坐标，若不存在，说明理由.2019北京市东城区高三一模数学（文）（20）（本小题14分）已知函数2()(2)ln f x ax a x x =+--. （Ⅰ）若函数()f x 在1x =时取得极值，求实数a 的值； （Ⅱ）当01a <<时，求()f x 零点的个数.（20）（共14分）解：（I ）()f x 定义域为(0,)+∞.212(2)1(21)(1)'()2(2)ax a x x ax f x ax a x x x+--+-=+--==.由已知，得'(1)0f =，解得1a =. 当1a =时，(21)(1)'()x x f x x+-=.所以'()001,'()01f x x f x x <⇔<<>⇔>. 所以()f x 减区间为(0,1)，增区间为(1,)+?.所以函数()f x 在1x =时取得极小值，其极小值为(1)0f =，符合题意 所以1a =. ……………………………………………………………………5分（II ）令(21)(1)'()0x ax f x x +-==，由01a <<，得11x a=>.所以11'()00,'()0f x x f x x a a<⇔<<>⇔>. 所以()f x 减区间为1(0,)a，增区间为1(,)a+?.所以函数()f x 在1x a =时取得极小值，其极小值为11()ln 1f a a a=+-.因为01a <<，所以1ln 0,1a a<>.所以110a -<. 所以11()ln 10f a a a =+-<. 因为21(2)(2)(2)()11a a a a e f ee e e e---+=++>+=， 又因为01a <<，所以20a e -+>. 所以1()0f e>.根据零点存在定理，函数()f x 在1(0,)a上有且仅有一个零点. 因为ln x x >，22()(2)ln (2)(3)f x ax a x x ax a x x x ax a =+-->+--=+-.令30ax a +->，得3ax a->. 又因为01a <<，所以31a a a->. 所以当3ax a->时，()0f x >. 根据零点存在定理，函数()f x 在1(,)a+?上有且仅有一个零点.所以，当01a <<时，()f x 有两个零点. ………………………………14分2019北京市西城区高三一模数学（理）18．（本小题满分13分）设函数2()e 3x f x m x =-+，其中∈m R ．（Ⅰ）当()f x 为偶函数时，求函数()()h x xf x =的极值；（Ⅱ）若函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点，求m 的取值范围．18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由函数()f x 是偶函数，得()()f x f x -=，即22e()3e 3xx m x m x ---+=-+对于任意实数x 都成立，所以0m =. ……………… 2分此时3()()3h x xf x x x ==-+，则2()33h x x '=-+.由()0h x '=，解得1x =±. ……………… 3分 当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：所以 5分 所以()h x 有极小值(1)2h -=-，()h x 有极大值(1)2h =. ……………… 6分（Ⅱ）由2()e 30xf x m x =-+=，得23ex x m -=.所以“()f x 在区间[2,4]-上有两个零点”等价于“直线y m =与曲线23()ex x g x -=，[2,4]x ∈-有且只有两个公共点”. ……………… 8分对函数()g x 求导，得223()e x x x g x -++'=. ……………… 9分由()0g x '=，解得11x =-，23x =. ……………… 10分 当x 变化时，()g x '与()g x 的变化情况如下表所示：所以 11分 又因为2(2)e g -=，(1)2e g -=-，36(3)(2)e g g =<-，413(4)(1)e g g =>-， 所以当4132e e m -<<或36e m =时，直线y m =与曲线23()ex x g x -=，[2,4]x ∈-有且只有两个公共点.即当4132e em -<<或36e m =时，函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点. ……… 13分2019北京市西城区高三一模数学（文）19．（本小题满分13分）设函数2()e 3x f x m x =-+，其中∈m R ．（Ⅰ）当()f x 为偶函数时，求函数()()h x xf x =的极值；（Ⅱ）若函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点，求m 的取值范围．19．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由函数()f x 是偶函数，得()()f x f x -=，即22e()3e 3xx m x m x ---+=-+对于任意实数x 都成立，所以0m =. ……………… 2分此时3()()3h x xf x x x ==-+，则2()33h x x '=-+.由()0h x '=，解得1x =±. ……………… 3分 当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：所以 5分 所以()h x 有极小值(1)2h -=-，()h x 有极大值(1)2h =. ……………… 6分（Ⅱ）由2()e 30xf x m x =-+=，得23ex x m -=.所以“()f x 在区间[2,4]-上有两个零点”等价于“直线y m =与曲线23()ex x g x -=，[2,4]x ∈-有且只有两个公共点”. ……………… 8分对函数()g x 求导，得223()e xx x g x -++'=. ……………… 9分由()0g x '=，解得11x =-，23x =. ……………… 10分 当x 变化时，()g x '与()g x 的变化情况如下表所示：所以 11分 又因为2(2)e g -=，(1)2e g -=-，36(3)(2)e g g =<-，413(4)(1)eg g =>-， 所以当4132e e m -<<或36e m =时，直线y m =与曲线23()ex x g x -=，[2,4]x ∈-有且只有两个公共点.即当4132e em -<<或36e m =时，函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点. …… 13分2019北京海淀区高三一模数学（理） (18)（本小题满分14分）已知函数2()ln(1)f x x x ax =+-.(I)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；(Ⅱ)当0a<时，求证：函数()f x 存在极小值；(Ⅲ)请直接写出函数()f x 的零点个数．2019北京海淀区高三一模数学（文） (19)（本小题满分13分）已知函数3215()132f x x x a x =-+-． (I)当6a =时，求函数()f x 在(0+)∞，上的单调区间； (Ⅱ)求证：当0a <时，函数()f x 既有极大值又有极小值．19．（共13分）解：（Ⅰ）当6,0a x =>时，3215()6132f x x x x =-+-所以2'()56(2)(3)f x x x x x =-+=--，令'()0,f x =得2x =，或3x =. 当x 变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下表：所以()f x 在(0,+)∞上的单调递增区间是(0,2)，(3,)+∞，单调递减区间是(2,3) (Ⅱ)当0a <时，若0x <，则3215()132f x x x ax =---， 所以2'()5(5)f x x x a x x a =--=-- 因为0,0x a <<，所以'()0f x >若0x >，则3215()132f x x x ax =-+-， 所以2'()5f x x x a =-+ 令'()0,f x = 2540a ∆=->，所以有两个不相等的实根12,x x ，且120x x < 不妨设20x >，所以当x 变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下表：因为函数()f x 图象是连续不断的，所以当0a <时，()f x 即存在极大值又有极小值2019北京朝阳高三一模数学（理） 18．（本小题满分13分）已知函数ln()()ax f x x=(R a ∈且0)a ≠. （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）当1a =-时，求证：()1f x x ≥+； （Ⅲ）讨论函数()f x 的极值．18． (本小题满分13分)解：（Ⅰ）当1a =时，ln ()x f x x =．所以21ln ()xf x x-'=． 因为(1)1,(1)0f f '==，所以曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-．……………….3分（Ⅱ）当1a =-时，ln()()x f x x-=． 函数()f x 的定义域为(,0)-∞．不等式()1f x x ≥+成立⇔ln()1x x x-≥+成立⇔2ln()0x x x ---≤成立. 设2()ln()g x x x x =---((,0))x ∈-∞，则2121(21)(1)()21x x x x g x x x x x--+-++'=--==．当x 变化时，()g x '，()g x 变化情况如下表：所以()(1)g x g ≤-．因为(1)0g -=，所以()0g x ≤，所以ln()1x x x-≥+．………………………………………………………………….8分 （Ⅲ）求导得21ln()()ax f x x -'=. 令()0f x '=，因为0a ≠可得ex a=． 当0a >时，()f x 的定义域为()0,+∞.当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：此时()f x 有极大值e ()eaf a =，无极小值． 当0a <时，()f x 的定义域为(),0-∞，当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：此时()f x 有极小值e ()eaf a =，无极大值．……………………………………………….13分2019北京朝阳高三一模数学（文） 19. （本小题满分13分）已知函数()e 4xf x a x =-，a ∈R . （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当1a =时，求证：曲线()y f x =在抛物线21y x =--的上方.19. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）求导得()e 4x f x a '=-.定义域x ∈R .当0a ≤时，()0f x '<,函数()f x 在R 上为减函数. 当0a >时，令()0f x '>得4lnx a>,()f x 为增函数； 令()0f x '<得4lnx a<,()f x 为减函数. 所以0a ≤时，函数()f x 减区间是(,)-∞+∞. 当0a >时，函数()f x 增区间是 4(ln,)a +∞；减区间是4(,ln )a-∞. ………5分 （Ⅱ）依题意，只需证2e 410x x x -++>.设2()e 41xF x x x =-++.则()e 42xF x x '=-+，设()()G x F x '=.因为()e 20xG x '=+>，所以()G x 在(,)-∞+∞上单调递增.又因为(0)30,(1)e 20G G =-<=->，所以()0G x =在(0,1)内有唯一解，记为0x 即00e42x x =-.当0x x <时，()0F x '<，()F x 单调递减；当0x x >时，()0F x '>，()F x 单调递增；所以022min 000000()()e 4165,(0,1)xF x F x x x x x x ==-++=-+∈.设22()65(3)4g x x x x =-+=--，(0,1)x ∈.则()(1)0g x g >=.所以0()0F x >. 所以()0F x >，即曲线()y f x =在抛物线21y x =--上方.………13分2019北京丰台区高三一模数学（理）18．（本小题13分）已知函数3211()(2)e 32x f x x ax ax =--+.（Ⅰ）当0a =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当e a ≤时，求证：1x =是函数()f x 的极小值点.18.（共13分）解：（Ⅰ）因为0a =，R x ∈所以()(2)e xf x x =-，故()(1)e xf x x '=-，令()0f x '>，得1x >，所以单调递增区间为(1,)+∞； 令()0f x '<，得1x <，所以单调递区间为(,1)-∞．（Ⅱ）由题可得()(1)(e )xf x x ax '=--.① 当0a ≤时，对任意(0,+)x ∈∞，都有e 0x ax ->恒成立， 所以当01x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>. 所以函数()f x 在1x =处取得极小值，符合题意.② 当0e a <≤时，设g()=e xx ax -，依然取(0,+)x ∈∞. 则g ()=e xx a '-，令g ()=0x '，得=ln x a ，所以g()x 在(0,ln )a 上单调递减，在区间(ln ,)a +∞上单调递增， 所以min g()(ln )(1ln )x g a a a ==-.因为0e a <≤，所以min ()(1ln )0g x a a =-≥（当且仅当=e a 时，等号成立，此时1x =）. 所以对任意(0,1)(1,)x ∈+∞U ，都有e 0x ax ->恒成立. 所以当01x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>. 所以函数()f x 在1x =处取得极小值，符合题意.综上①②可知：当e a ≤时1x =是函数()f x 的极小值点.2019北京丰台区高三一模数学（文）19．（本小题13分）已知函数e ()ln x af x a x x x=--．（Ⅰ）当0a =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在1x =处取得极大值，求实数a 的取值范围． 19．（共13分）解：（Ⅰ）()f x 定义域为(0,)+∞，当0a =时， e ()xf x x=，2e (1)'()x xf x x -=，令'()0f x >得1x >，令'()0f x <得01x <<． 所以 ()f x 的增区间为(1,)+∞，减区间为(0,1).（Ⅱ）2(e )(1)'()x a x f x x --=．（1）当e a ≤时，若(1,)x ∈+∞，则e e >0x x a e --≥．此时2(e )(1)'()0x a x f x x--=>， 函数()f x 在1x =处不可能取得极大值． （2）当e a >时，ln 1a >．函数()f x 在1x =处取得极大值． 综上可知，a 的取值范围是(e,)+∞.2019北京石景山区高三一模数学（理）18.（本小题13分）设函数()1x f x e ax =-+，0a >．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行，求a ； （Ⅱ）当1x <时，函数()f x 的图象恒在x 轴上方，求a 的最大值．18．（本小题13分）解：（Ⅰ）()e 1=-+xf x ax Qa e x f x -='∴)(，a e f -='∴)1(，由题设知(1)0f '=，即0=-a e ，解得e a =．经验证e a=满足题意。
北京大学附属中学2019年高三下理科数学模拟考试卷(七)
注意事项：
1 ．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。用 2B 型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3 本相同的论语、 6 本互不相同的近代文学名著，现从这 9 本
11．已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，能够说明 “若数列 an 是递减数列，则数列 Sn 是递减数列 ” 是假命题的数列 an 的一个通项公式为 ____．
x cos ,
12．在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为
+1．
A. 随着车流密度的增大，车流速度在逐渐增大
B. B.随着车流密度的增大，交通流量在逐渐增大
C.随着车流速度的增大，交通流量先减小、后增大
D.随着车流速度的增大，交通流量先增大、后减小
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分．
9．双曲线 x2
y2 1的离心率为 ____．
2
10. 教室的图书角摆放了一些阅读书目，其中有 书中选出 3 本，则不同的选法种数为 .
根，则实数 k 的取值范围为（
）
A.
B.
C.
D.
5.如图所示，某几何体由底面半径和高均为 5 的圆柱与半径为 5 的半球面对接而成，该封闭几 何体内部放入一个小圆柱体，且圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的 最大值为（ ）
A.
B. C. D.
6.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为 48，则输入 k 的值可以为（
2019北京高三一模数学---函数理科
2019北京高三一模数学---函数理科1.2019东城一模理（13）已知函数3()4f x x x =-，若1212,[,],,x x a b x x ∀∈≠都有12122()(2)(2)f x x f x f x +>+成立，则满足条件的一个区间是________. 2.2019西城一模理11．函数()sin2cos2f x x x =+的最小正周期T =____；如果对于任意的x ∈R 都有()f x a ≤，那么实数a 的取值范围是____．13. 能说明“若sin cos αβ=，则36090k αβ+=⋅+，其中k ∈Z ”为假命题的一组α，β的值是___． 3.2019海淀一模理(2)若角α的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是(A) sin(+)2πα (B) s(+)2co πα (C) sin()πα+ (D) s()co πα+ 4.2019朝阳一模理4．若函数22,1,()log ,1x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩,则函数()f x 的值域是A ．(,2)-∞B ．(,2]-∞C ．[0,)+∞D ．(,0)(0,2)-∞5．如图，函数()f x 的图象是由正弦曲线或余弦曲线经过变换得到的，则()f x 的解析式可以是A ．()sin(2)3f x x π=+B ．()sin(4)6f x x π=+C ．()cos(2)3f x x π=+D ．()cos(4)6f x x π=+12．能说明“函数()f x 的图象在区间[]0,2上是一条连续不断的曲线．若(0)(2)0f f ⋅>，则()f x 在(0,2)内无零点”为假命题的一个函数是 ． 5.2019丰台一模理5．下列函数中，同时满足：①图象关于y 轴对称；②1212,(0,)()x x x x ∀∈+∞≠，2121()()0f x f x x x ->-的是（A ）1()f x x -=（B ）2()log ||f x x =（C ）()cos f x x =（D ）1()2x f x +=13．已知函数()cos(2)(0)2f x x ϕϕπ=+-<<． ①函数()f x 的最小正周期为____；②若函数()f x 在区间4[,]33ππ上有且只有三个零点，则ϕ的值是____．6.2019石景山一模理7. 若1x y a b >>>>，则下列各式中一定正确的是A. x ya b >B. ln ln x y <C. sin sin x y >D.a b x y< 8.已知函数()sin f x a x x =-的一条对称轴为π6x =-，12()()0f x f x +=，且函数()f x 在12(,)x x 上具有单调性，则12||x x +的最小值为A. π6B.π3C.2π3D.4π37.2019怀柔一模理6．若函数()22-=-x x f x ，则()f xA ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数11．函数的最小正周期是________，的取值范围是__________．8.2019延庆一模理3. 已知(0,1)x ∈，令log 3x a =，sin b x =，2x c =，那么,,a b c 之间的大小关系为 （A ）a b c << （B ）b a c << （C ）b c a << （D ）c a b << 4．函数()=sin 22f x x x -在区间[,]22ππ-上的零点之和是 （A ）3π-（B ）6π- （C ）6π（D ）3π(f x ）12. 设()f x 是定义在R 上的单调递减函数，能说明“一定存在0x R 使得0()1f x <”为假命题的一个函数是()f x =_____．9.2019平谷一模理2. 下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（ ） A. y=B. y=lnxC. y=sinxD. y=8. 放射性物质的半衰期T 定义为每经过时间T ，该物质的质量会衰退原来的一半，铅制容器中有两种放射性物质A ，B ，开始记录时容器中物质A 的质量是物质B 的质量的2倍，而120小时后两种物质的质量相等，已知物质A 的半衰期为7.5小时，则物质B 的半衰期为（ ） A. 10小时B. 8小时C. 12小时D. 15小时13. 已知函数f(x)=sin(2x+ )（其中 为实数），若f （x ）≤对x ∈R 恒成立，则满足条件的 值为 （写出满足条件的一个 值即可）。
2019年北京海淀区首都师范大学附属中学高三零模理科数学试卷
20. 已知任意的正整数 都可唯一表示为
，其中
，
，
．
对于
，数列 满足：当 ， ， ， 中有偶数个 时，
；否则
．如数 可
以唯一表示为
，则
．
（ 1 ） 写出数列 的前 项；
（ 2 ） 求证：数列 中连续为 的项不超过 项；
（ 3 ） 记数列 的前 项和为 ，求满足
的所有 的值．（结论不要求证明）
频率 组距
用样本估计总体，频率估计概率，解决如下问题：
点餐金额
（ 1 ） 记 为小明用甲网络平台点餐每单的补贴，写出随机变量 的分布列，并求期望
．
（ 2 ） 若乙外卖点餐平台向小明的手机上发送广告，该外卖平台规定，对使用该平台点餐的用户
进行抽奖，每次点餐后可抽奖三次，每次中奖的概率都为 ，且每次抽奖互不影响，中奖
次点餐金额打 折，中奖 次点餐金额打 折，中奖 次点餐金额打 折．假设同一组中每个
数值可用该组区间的中点值代替，用众数的整数部分来估计点餐金额的平均水平，如果仅
从每单的平均优惠的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小明作出选择，是否要改用乙
网络平台点餐？
17. 如图 所示，在边长为 的正方形
中，点 ， 在线段 上，且
10. 以 为始边作角
与单位圆相交于点 ，已知点 的坐标为 ．
，则
11. 在直角坐标系 中，曲线 的方程为
，曲线 的参数方程为
（ 为参
数）．以原点 为极点， 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线 与 的交点的极坐标
为
．
12. 设 ， 都是不等于 的正数，请举出能说明若“
为
．
，则
”是假命题的一组
2019年最新北京市高考一模考试数学试题(理)有答案解析
北京市一模统一考试高三数学（理科）本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合2{|02},{|1}A x x B x x =≤≤=>，则AB = （ ）A.{|01}x x ≤≤B.{|0x x >或1}x <-C. {|12}x x <≤D.{|02}x x <≤2.复数21i i =+（ ） A.1i + B ．1i - C. 1i -+D ．1i --3.已知两条直线,a b 和平面α，若,a b b α⊥⊄，则“a α⊥”是“//b α”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长为 （ ） AC.25.执行如图所示的程序框图,若输出的a 的值为15，则判断框应填写 （ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5（4题图）2013201420151季度 2季度 3季度 4季度 1季度 2季度 3季度 4季度 1季度2013年 2014年 2015年年份增长率/%6.已知等比数列{}n a 的公比1q ≠，则下面说法中不正确．．．的是 （ ） A.2{}n n a a ++是等比数列 B.对于k *∈N ，1k >，112k k k a a a -++≠C ．对于n *∈N ，都有20n n a a +>D ．若21a a >，则对于任意n *∈N ，都有1n n a a +> 7.如图是近三年某市生产总值增速（累计，%）的折线统计图，据该市统计局初步核算，2015年一季度全市生产总值为1552.38亿元，与去年同一时期相比增长12.9%（如图，折线图中其它数据类同）．根据统计图得出正确判断是 （ ） A ．近三年该市生产总值为负增长 B. 近三年该市生产总值为正增长 C ．该市生产总值2013年到2014年 为负增长，2014年到2015年为正增长 D.以上A 、B 、C 的判断都不正确8.已知偶函数()f x ，奇函数()g x 的图像分别如图（1）、图（2）所示，方程(())0f g x =，(())0g f x =的实根的个数分别为,a b ，则a b += （ ）A ．3B ．7C ．10D ．14）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 某校高一学雷锋志愿小组共有8人，其中一班、二班、三班、四班各2人，现在从中任选3人，要求每班至多选1人，不同的选取方法的种数为 .（图2）x10. 2022年冬奥会高山滑雪项目将在延庆小海坨山举行。
2019年北京高三一模理科数学汇编
2019北京高考一模理数汇编2019北京高考一模理数汇编：选择填空压轴 (2)2019北京高考一模理数汇编：立体几何与空间向量 (8)2019北京高考一模理数汇编：概率与统计 (19)2019北京高考一模理数汇编：解析几何 (28)2019北京高考一模理数汇编：导数 (33)2019北京高考一模理数汇编：选择填空压轴选择压轴1.已知数列{}n a 满足：1a a =，11()2n n na a n a *+=+∈N ，则下列关于{}n a 的判断正确的是【】A.0,2,a n ∀>∃≥使得n a <B.0,2,a n ∃>∃≥使得1n n a a +<C.0,,a m *∀>∃∈N 总有()m n a a m n <≠D.0,,a m *∃>∃∈N 总有m n na a +=2.如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线422x y +=围成的平面区域的直径为【】B.3C. D.43.某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在A 层班级，生物在B 层班级，该校周一上午课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有【】第一节第二节第三节第四节地理B 层2班化学A 层3班地理A 层1班化学A 层4班生物A 层1班化学B 层2班生物B 层2班历史B 层1班物理A 层1班生物A 层3班物理A 层2班生物A 层4班物理B 层2班生物B 层1班物理B 层1班物理A 层4班政治1班物理A 层3班政治2班政治3班A.8种B.10种C.12种D.14种4.某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8．若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是【】A ．5B ．6C ．7D ．85.已知函数()sin f x a x x =-的一条对称轴为π6x =-，12()()0f x f x +=，且函数()f x 在12(,)x x 上具有单调性，则12||x x +的最小值为【】A.π6B.π3C.2π3D.4π36.在平面直角坐标系中,如果一个多边形的顶点全是格点（横纵坐标都是整数）,那么称该多边形为格点多边形．若ABC △是格点三角形,其中(0,0)A ,(4,0)B ,且面积为8,则该三角形边界上的格点个数不可能为【】A.6B.8C.10D.127.《九章算术》中有如下问题：今有浦生一日，长3尺，莞生一日，长1尺、蒲生日自半，莞生日自倍，问儿何日而长等?意思：是今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高l 尺,，以后蒲毎天长高前一天的一半，莞毎天长高前一天的2倍，若蒲、莞长度相等，则所需时间为【】(结果精确到0.1.参考数据:2 0.3010,3 04771lg lg ==)A.2.8天B.2.6天C.2.4天D.2.2天8.5名运动员参加一次乒乓球比赛，每2名运动员都赛1场并决出胜负．设第i 位运动员共胜i x 场，负i y 场（1,2,3,4,5i =），则错误的结论是【】A.1234512345x x x x x y y y y y ++++=++++B.22222222221234512345x x x x x y y y y y ++++=++++C.12345x x x x x ++++为定值，与各场比赛的结果无关D.2222212345x x x x x ++++为定值，与各场比赛结果无关9.某学习小组，调查鲜花市场价格得知，购买2只玫瑰与1只康乃馨所需费用之和大于8元，而购买4只玫瑰与5只康乃馨所需费用之和小于22元．设购买2只玫瑰花所需费用为A 元，购买3只康乃馨所需费用为B 元，则A B 、的大小关系是【】A.A B> B.A B<C.A B =D.A B 、的大小关系不确定10.放射性物质的半衰期T 定义为每经过时间T,该物质的质量会衰退原来的一半，铅制容器中有两种放射性物质A,B,开始记录时容器中物质A 的质量是物质B 的质量的2倍，而120小时后两种物质的质量相等,已知物质4的半衰期为7.5小时，则物质B 的半衰期为【】A.10小时B.8小时C.12小时D.15小时11.若函数()f x 图象上存在两个点A ，B 关于原点对称，则点对(),A B 称为函数()f x 的“友好点对”，且点对(),A B 与(),B A 可看作同一个“友好点对”.若函数()f x =2221,0,0x ex m x e x x x ⎧++-≤⎪⎨+>⎪⎩（其中e 为自然对数的底数， 2.718e ≈）恰好有两个“友好点对”，则实数m 的取值范围为【】A.2(1)m e ≤-B.2(1)m e >-C.2(1)m e <- D.2(1)m e ≥-填空压轴12.设A B ，是R 中两个子集，对于x R ∈，定义：01x A m x A ，，，，∉⎧=⎨∈⎩01.x B n x B ，，，∉⎧=⎨∈⎩①若A B ⊆.则对任意x ∈R ，(1)m n ⋅-=_____；②若对任意x ∈R ，1m n+=，则A B ，的关系为__________.13.如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左右两部分，左侧的每个算珠表示数2，右侧的每个算珠表示数1（允许一侧无珠），记上、中、下三档的数字和分别为a ，b ，c .例如，图中上档的数字和9a =.若a ，b ，c 成等差数列，则不同的分珠计数法有种.14.已知函数()f x x =，2()g x ax x =-，其中0a >.若12[1,2],[1,2]x x ∀∈∃∈，使得1()f x 2()f x 1()g x =2()g x 成立，则a =．15.在平面内，点A 是定点，动点C B ,满足||||1AB AC == ，0AB AC ⋅= ，则集合{=+,12}|P AP AB AC λλ≤≤所表示的区域的面积是．16.在直角坐标系xOy 中，点()11,A x y 和点()22,B x y ，设集合(){}22=,|1M x y x y +=，且,A B M ∈，=1AB ，则1212=x x y y +；点A ,B 到x 轴距离之和的最小值为．17.已知数列{}n a 对任意的*n ∈N ,都有*n a ∈N ,且131,,2n n n nn a a a a a ++⎧⎪=⎨⎪⎩，为奇数为偶数.①当18a =时,2019a =________;②若存在*m ∈N ,当n m >且n a 为奇数时,n a 恒为常数p ,则p =__________．18.已知曲线(,)0F x y =关于x 轴、y 轴和直线y x =均对称..设集合{(,)|(,)0,,}S x y F x y x Z y Z ==∈∈，下列命题：①若(1,2)S ∈，则(2,1)S --∈；②若(1,2)S ∈则S 中至少有4个元素;③S 中元素的个数一定为偶数;④若2{(,)|4,,}x y y x x Z y Z S =∈∈⊆则2{(,)|4,,}x y x y x Z y Z S =-∈∈⊆其中正确的命题的序号为________19.已知集合{}121M x N x =∈≤≤，集合123,,A A A 满足①每个集合都恰有7个元素;②123A A A M = ．集合i A 中元素的最大值与最小值之和称为集合i A 的特征数，记为i X （1,2,3i =），则123X X X ++的最大值与最小值的和为____________________.20.我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”，是程序化寻求精确分数来表示数值的算法．其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和dc （,,,*∈a b cd N ），则++b da c是x 的更精确的不足近似值或过剩近似值．已知 3.14159π=⋅⋅⋅，令31491015π<<，则第一次用“调日法”后得165是π的更为精确的过剩近似值，即3116105π<<，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为__________．21.如图，在菱形ABCD 中，,43B AB π∠==.（1）若P 为BC 的中点，则PA PB =_________.（2）点P 在线段BC 上运动，则||PA PB +=的最小值为____________.22.一半径为4m的水轮,水轮圆心O距离水面2m,已知水轮每分钟转动(按逆时针方向)3圈,当水轮上点PP开始计算时间.从水中浮现时开始计时,即从图中点0 Arrayt 秒时点P离水面的高度；（Ⅰ）当5（Ⅱ）将点P距离水面的高度h(单位:m)表示为时间t(单位:s)的函数，则此函数表达式为.2019北京高考一模理数汇编：立体几何与空间向量选择填空题1.正方体被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该截面图形的形状为【】A .等腰三角形B .直角三角形C .平行四边形D .梯形2.3.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为【】A .32B .34C .38D .316正（主）视图 俯视图侧（左）视图4.某三棱锥的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该三棱锥的体积为【】A ．4B ．2C ．83D ．435..某几何体的三视图如右图所示，该几何体的体积为【】A .2B .6C .10D .246.某三棱锥的三视图如图所示，正视图与侧视图是两个全等的等腰直角三角形，直角边长为1，俯视图为正方形，则该三棱锥的体积为【】A .12B .13C .16D.6主视图俯视图左视图7.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为【】A .32B .34C.38D .3168.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥四个面中最大面积是【】A .32BC.2D .19.．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱长为【】A .B .C .D .10.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面中直角三角形的个数为【】A .1B .2C .3D .411.一个体积为的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为【】A .36B .8C .38D .1212..已知一个正四面体的底面积为】A .B .C .D .13.已知两条直线,l m 与两个平面,αβ，下列命题正确的是【】A .若,l l m α⊥∥，则m α⊥B .若,l l αβ⊥∥，则αβ⊥C .若,l m αα∥∥，则l m∥D .若,m αβα∥∥，则m β∥14.已知α和β是两个不同平面,l αβ= ,12l l ,是与l 不同的两条直线,且1l α⊂,2l β⊂,12l l ∥,那么下列命题正确的是【】A .l 与12,l l 都不相交B .l 与12,l l 都相交C .l 恰与12,l l 中的一条相交D .l 至少与12,l l 中的一条相交15.如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不垂直的是【】A .B .C .D .16.若某四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其表面积的值可能是（只需写出一个可能的值）1解答题17.如图，在棱长均为2的三棱柱111ABC A B C -中，点C 在平面11A ABB 内的射影O 为1AB 与1A B 的交点，,E F 分别为11,BC AC 的中点．（Ⅰ）求证：四边形11A ABB 为正方形；（Ⅱ）求直线EF 与平面11A ACC 所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段1AB 上存在一点D ，使得直线EF 与平面1ACD 没有公共点，求1ADDB 的值.18.如图，在多面体ABCDEF 中，梯形ADEF 与平行四边形ABCD 所在平面互相垂直，//AF DE ，DE AD ⊥，AD BE⊥，112AF AD DE ===，AB =（Ⅰ）求证：//BF 平面CDE ；（Ⅱ）求二面角B EF D --的余弦值；（Ⅲ）判断线段BE 上是否存在点Q ，使得平面CDQ ⊥平面BEF ？若存在，求出BQBE的值，若不存在，说明理由．C19.在直三棱柱111ABC A B C -中，1,2AC BC AC BC CC ⊥===，点,,D E F 分别为棱11111,,AC B C BB 的中点．（Ⅰ）求证：1AC ∥平面DEF （Ⅱ）求证：平面1ACB ⊥平面DEF ;（Ⅲ）在线段1AA 上是否存在一点P ，使得直线DP 与平面1ACB 所成的角为300?如果存在，求出线段AP 的长；如果不存在，说明理由．20.如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADEF ⊥平面ABCD ．四边形ADEF 为正方形，四边形ABCD 为梯形，且//AD BC ，90BAD ∠=︒，1AB AD ==，3BC =．（Ⅰ）求证：AF CD ⊥；（Ⅱ）求直线BF 与平面CDE 所成角的正弦值；（Ⅲ）线段BD 上是否存在点M ，使得直线//CE 平面AFM ?若存在，求BMBD的值；若不存在，请说明理由．HE1121.如图，在四棱锥E ABCD -中，平面ABCD ⊥平面AEB ，且四边形ABCD 为矩形，120BAE =∠︒，4AE =AB =，2AD =，F G ，分别为BE AE ，的中点，H 在线段BC 上(不包括端点)．(Ⅰ)求证：CD ∥平面FGH ；(Ⅱ)求证：平面DAF ⊥平面CEB ；(Ⅲ)是否存在点H ，使得二面角H GF B --的大小为π6若存在，求BHBC；若不存在，说明理由．22.如图,四棱柱1111ABCD A B C D -中,底面ABCD 为直角梯形,AB CD ∥,AB BC ⊥,平面ABCD ⊥平面11ABB A ,160BAA ∠=︒,1=2=22AB AA BC CD ==．（Ⅰ）求证:1BC AA ⊥;（Ⅱ）求二面角1D AA B --的余弦值;（Ⅲ）在线段1DB 上是否存在点M ,使得CM ∥平面1DAA ？若存在,求1DMDB 的值;若不存在,请说明理由．'E DCBA图1图2图 2图 1CAEDCBA23.如图1，菱形ABCD 中，60A ∠=︒，4AB =，DE AB ⊥于E ．将AED ∆沿DE 翻折到A ED '∆，使A E BE '⊥，如图2．（Ⅰ）求证：平面 ' ⊥平面 ；（Ⅱ）求直线 ' 与平面 ' 所成角的正弦值；（Ⅲ）设F 为线段 ' 上一点，若EF //平面 ' ，求DFFA'的值．24.如图1，在矩形ABCD 中，2AB AD =，E 为DC 的中点.以AE 为折痕把△ADE 折起，使点D 到达点P 的位置，且平面PAE ⊥平面ABCE (如图2)．（1）求证：EC ∥平面PAB ；（2）求证：BE PA ⊥；（3）对于线段PB 上任意一点M ,是否都有PA EM ⊥成立？请证明你的结论.D25.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，135BCD ∠= ，侧面PAB ⊥底面ABCD ，PA AB ⊥,2AB AC PA ===,,E F 分别为,BC AD 的中点，点M 在线段PD 上.（Ⅰ）求证：直线EF ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若M 为PD 的中点，求平面M EF 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值；（Ⅲ）设=PM PD λ，当λ为何值时，直线M E 与平面PBC λ的值.26.已知三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，PA =AC =12AB =2，N 为AB 上一点，AB =4AN ，M ，S 分别为PB ，BC 的中点．（Ⅰ）证明：CM ⊥SN ；（Ⅱ）求直线SN 与平面CMN 所成角的大小；（Ⅲ）求二面角--B NC M 大小的余弦值．27.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD上一点，PB∥平面ABC(1)求证：E为PD的中点(2)求证：CD⊥AE(3)设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=，求AB的长2019北京高考一模理数汇编：概率与统计1.改革开放40年来，体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及．下图是我国2006年至2016年体育产业年增加值及年增速图．其中条形图为体育产业年增加值（单位：亿元），折线图为体育产业年增长率（％）．（Ⅰ）从2007年至2016年随机选择1年，求该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多500亿元以上的概率；（Ⅱ）从2007年至2016年随机选择3年，设X是选出的三年中体育产业年增长率超过20%的年数，求X的分布列与数学期望；（Ⅲ）由图判断，从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大？（结论不要求证明）2.为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动.活动后，为了解阅读情况，学校统计了甲、乙两组各10名学生的阅读量（单位：本），统计结果用茎叶图记录如下，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a 表示.（Ⅰa 的所有可能取值；（Ⅱ）将甲、乙两组中阅读量超过．．15本的学生称为“阅读达人”.设3a ，现从所有“阅读达人”里任取3人，求其中乙组的人数X 的分布列和数学期望.（Ⅲ）记甲组阅读量的方差为20s .在甲组中增加一名学生A 得到新的甲组，若A 的阅读量为10，则记新甲组阅读量的方差为21s ；若A 的阅读量为20，则记新甲组阅读量的方差为22s ，试比较20s ，21s ，22s 的大小.（结论不要求证明）3.据《人民网》报道，“美国国家航空航天局(NASA)发文称，相比20年前世界变得更绿色了.卫星资料显示中国和印度的行动主导了地球变绿．”据统计，中国新增绿化面积的42%来自于植树造林，下表是中国十个地区在2017年植树造林的相关数据．（造林总面积为人工造林、飞播造林、新封山育林、退化林修复、人工更新的面积之和）单位：公顷造林方式地区造林总面积人工造林飞播造林新封山育林退化林修复人工更新内蒙61848431105274094136006903826950河北58336134562533333135107656533643河南14900297647134292241715376133重庆2263331006006240063333陕西297642，184108336026386516067甘肃325580260144574387998新疆2639031181056264126647107962091青海178414160511597342629宁夏91531589602293882981335北京1906410012400039991053（Ⅰ）请根据上述数据分别写出在这十个地区中人工造林面积与造林总面积的比值最大和最小的地区；（Ⅱ）在这十个地区中，任选一个地区，求该地区人工造林面积占造林总面积的比值超过50%的概率是多少？（Ⅲ）在这十个地区中，从新封山育林面积超过五万公顷的地区中，任选两个地区，记X为这两个地区中退化林修复面积超过六万公顷的地区的个数，求X的分布列及数学期望．时间（分钟）乙站甲站时间（分钟）4.某部门在同一上班高峰时段对甲、乙两地铁站各随机抽取了50名乘客，统计其乘车等待时间（指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过40分钟）．将统计数据按[5,10),[10,15),[15,20),,[35,40] 分组，制成频率分布直方图：假设乘客乘车等待时间相互独立．（Ⅰ）在上班高峰时段，从甲站的乘客中随机抽取1人，记为A ；从乙站的乘客中随机抽取1人，记为B .用频率估计概率，求“乘客A ,B 乘车等待时间都小于20分钟”的概率；（Ⅱ）从上班高峰时段,从乙站乘车的乘客中随机抽取3人，X 表示乘车等待时间小于20分钟的人数，用频率估计概率，求随机变量X 的分布列与数学期望.5.某不透明纸箱中共有4个小球，其中1个白球，3个红球，它们除颜色外均相同．(Ⅰ)一次从纸箱中摸出两个小球，求恰好摸出2个红球的概率；(Ⅱ)每次从纸箱中摸出一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取4次，记得到红球的次数为ξ，求ξ的分布列；(Ⅲ)每次从纸箱中摸出一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取100次，得到几次红球的概率最大？只需写出结论．6.随着经济全球化、信息化的发展,企业之间的竞争从资源的争夺转向人才的竞争．吸引、留住培养和用好人才成为人力资源管理的战略目标和紧迫任务．在此背景下,某信息网站在15个城市中对刚毕业的大学生的月平均收入薪资和月平均期望薪资做了调查,数据如下图所示．（Ⅰ）若某大学毕业生从这15座城市中随机选择一座城市就业,求该生选中月平均收入薪资高于8500元的城市的概率;（Ⅱ）现有2名大学毕业生在这15座城市中各随机选择一座城市就业,且2人的选择相互独立．记X为选中月平均收入薪资高于8500元的城市的人数,求X 的分布列和数学期望()E X ;（Ⅲ）记图中月平均收入薪资对应数据的方差为21s ,月平均期望薪资对应数据的方差为22s ,判断21s 与22s 的大小．（只需写出结论）7.苹果是人们日常生活中常见的营养型水果.某地水果批发市场销售来自5个不同产地的富士苹果，各产地的包装规格相同,它们的批发价格（元/箱）和市场份额如下：产地ABC DE批发价格150160140155170市场份额15%10%25%20%30%（市场份额亦称“市场占有率”，指某一产品的销售量在市场同类产品中所占比重.）（1）从该地批发市场销售的富士苹果中随机抽取一箱，求该箱苹果价格低于160元的概率；（2）按市场份额进行分层抽样，随机抽取20箱富士苹果进行检验，①从产地,A B 共抽取n 箱,求n 的值；②从这n 箱苹果中随机抽取两箱进行等级检验，求两箱产地不同的概率；（3）由于受种植规模和苹果品质的影响，预计明年产地A 的市场份额将增加5%，产地C 的市场份额将减少5%，其它产地的市场份额不变，苹果销售价格也不变（不考虑其它因素）.设今年苹果的平均批发价为每箱1M 元，明年苹果的平均批发价为每箱2M 元，比较12,M M 的大小.（只需写出结论）8.2020年我国全面建成小康社会，其中小康生活的住房标准是城镇人均住房建筑面积30平方米.下表为2007年—2016年中，我区城镇和农村人均住房建筑面积统计数据.单位：平方米.（Ⅰ）现从上述表格中随机抽取连续两年数据，求这两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于2平方米的概率；（Ⅱ）在给出的10年数据中，随机抽取三年，记X 为同年中农村人均住房建筑面积超过城镇人均住房建筑面积4平方米的年数，求X 的分布列和数学期望()E X ；（Ⅲ）将城镇和农村的人均住房建筑面积经四舍五入取整后作为样本数据．记2012—2016年中城镇人均住房面积的方差为21s ，农村人均住房面积的方差为22s ，判断21s 与22s 的大小．（只需写出结论）2007年2008年2009年2010年2011年2012年2013年2014年2015年2016年城镇18.6620.2522.792527.128.331.632.934.636.6农村23.324.826.527.930.732.434.137.141.245.89.某大型企业为鼓励员工利用网络进行营销，准备为员工办理手机流量套餐．为了解员工手机流量的使用情况，通过抽样，得到100位员工每人手机月平均使用流量L(单位:M)的数据，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）从该企业的员工中随机抽取3人，求这3人中至多有1人手机月流量不超过900M的概率；（Ⅱ）据了解，某网络运营商推出两款流量套餐，详情如下：套餐名称月套餐费(单位:元)月套餐流量(单位:M)A20700B301000流量套餐的规则是：每月1日收取套餐费．如果手机实际使用流量超出套餐流量，则需要购买流量叠加包，每一个叠加包(包含200M的流量)需要10元，可以多次购买，如果当月流量有剩余，将会被清零．该企业准备订购其中一款流量套餐，每月为员工支付套餐费，以及购买流量叠加包所需月费用．若以所需费用的数学期望为决策依据，该企业订购哪一款套餐更经济？10.随着社会的进步，经济的发展，道路上的汽车越来越多，随之而来的交通事故也增多．据有关部门调查，发生车祸的驾驶员中尤其是21岁以下年轻人所占比例居高，因此交通管理有关部门，对2018年参加驾照考试的21岁以下学员随机抽取10名学员，对他们参加的科目三（道路驾驶）和科目四（安全文明驾驶相关知识）进行两轮现场测试，并把两轮测试成绩的平均分.作为该名学员的抽测成绩，记录的数据如下：学员编号1号2号3号4号5号6号7号8号9号10号科目三测试成绩92909291929089939291科目四测试成绩94888690908794898991（1）从2018年参加驾照考试的21岁以下学员中随机选取一名学员，试估计这名学员抽测成绩大于或等于90分的概率（2）根据规定，科目三和科目四測试成绩均达到90分以上（含90）才算測试合格①从抽测的1号至5号学员中任取两名学员，记X 为学员测试合格的人数，求X 的分布列和数学期望E （X ）②记抽取的10名学员科目三和科目四测试成绩的方差分别为12,S S ，试比较1S 与2S 的大小A B C D四所高中校按各校人数分层抽样调11.在某区“创文明城区”（简称“创城”）活动中，教委对本区,,,查，将调查情况进行整理后制成下表：学校A B C D抽查人数50151025“创城”活动中参与的人数4010915（注：参与率是指：一所学校“创城”活动中参与的人数与被抽查人数的比值）假设每名高中学生是否参与“创城”活动是相互独立的.（Ⅰ）若该区共2000名高中学生，估计A学校参与“创城”活动的人数；（Ⅱ）在随机抽查的100名高中学生中，从,A C两学校抽出的高中学生中各随机抽取1名学生，求恰有1人参与“创城”活动的概率；（Ⅲ）若将上表中的参与率视为概率，从A学校高中学生中随机抽取3人，求这3人参与“创城”活动人数的分布列及数学期望.O W2019北京高考一模理数汇编：解析几何选择题1..“01k <<”是“方程22112x y k k -=-+表示双曲线”的【】A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.如图，阴影表示的平面区域W 是由曲线0x y -=，222x y +=所围成的.若点(,)P x y 在W 内（含边界），则43z x y =+的最大值和最小值分别为【】A.，7-B.，-C.7，-D.7，7-3.已知直线l 过抛物线28y x =的焦点F ，与抛物线交于A ，B 两点，与其准线交于点C .若点F 是AC 的中点，则线段BC 的长为【】A.83 B.3C.163D.64.椭圆221:14x C y +=与双曲线22222:1x y C a b-=的离心率之积为1，则双曲线2C 的两条渐近线的倾斜角分别为【】A.6π，6π-B.3π，3π-C.6π，56π D.3π，23π5.已知12,F F 为椭圆22212x y M m +=：和双曲线2221x N y n-=：的公共焦点,P 为它们的一个公共点,且112PF F F ⊥,那么椭圆M 和双曲线N的离心率之积为【】A. B.1C.2D.126.如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线422x y +=围成的平面区域的直径为【】B.3C. D.4填空题7.已知抛物线22=y px 的准线方程为1x =-，则=p __________．8.设1F ，2F 为双曲线2222 1(0,0)x y C a b a b-=>>：的两个焦点，若双曲线C 的两个顶点恰好将线段12F F 三等分，则双曲线C 的离心率为．9.双曲线2214x y -=的右焦点到其一条渐近线的距离是．10.双曲线22:21C x y -=的渐近线方程是.11.设双曲线C 经过43（，），且与22149x y -=具有相同渐近线，则C 的方程为______,离心率为_______.12.已知点(2002())A B -，，，，若点P 在圆22(3)(1)2x y -++=上运动，则ABP 面积的最小值为______.13.过双曲线22221x y a b-=的一个焦点F 作其渐近线的平行线l ，直线l 与y 轴交于点P ，若线段OP 的中点为双曲线的虚轴端点(O 为坐标原点)，则双曲线的离心率为____．14.在直角坐标系xOy 中，点()11,A x y 和点()22,B x y ，设集合(){}22=,|1M x y x y +=，且,A B M ∈，=1AB ，则1212=x x y y +；点A ,B 到x 轴距离之和的最小值为．解答题15.已知椭圆22:1(0)4x y C m m m+=>与x 轴交于两点12,A A ，与y 轴的一个交点为B ，△12BA A 的面积为2.（Ⅰ）求椭圆C 的方程及离心率；（Ⅱ）在y 轴右侧且平行于y 轴的直线l 与椭圆C 交于不同的两点12,P P ，直线11A P 与直线22A P 交于点P .以原点O 为圆心，以1A B 为半径的圆与x 轴交于,M N 两点（点M 在点N 的左侧），求PM PN -的值.16.已知椭圆W :2214x y m m+=的长轴长为4，左、右顶点分别为,A B ，经过点(,0)P n 的直线与椭圆W 相交于不同的两点,C D （不与点,A B 重合）.（Ⅰ）当0n =，且直线CD ⊥x 轴时，求四边形ACBD 的面积；（Ⅱ）设1n =，直线CB 与直线4x =相交于点M ，求证：,,A D M 三点共线.17.已知抛物线2:2G y px =，其中0p >．点(2,0)M 在G 的焦点F 的右侧，且M 到G 的准线的距离是M 与F 距离的3倍．经过点M 的直线与抛物线G 交于不同的A B ，两点，直线OA 与直线2x =-交于点P ，经过点B 且与直线OA 垂直的直线l 交x 轴于点Q .（Ⅰ）求抛物线的方程和F 的坐标；（Ⅱ）判断直线PQ 与直线AB 的位置关系，并说明理由．18.已知点00(,)M x y 为椭圆22:12x C y +=上任意一点，直线00:22l x x y y +=与圆22(1)6x y -+=交于,A B两点，点F 为椭圆C 的左焦点．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率及左焦点F 的坐标；（Ⅱ）求证：直线l 与椭圆C 相切；（Ⅲ）判断AFB ∠是否为定值，并说明理由．19.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，右焦点为(,0)F c ，左顶点为A ，右顶点B 在直线l :2x =上．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设点P 是椭圆C 上异于A ，B 的点，直线AP 交直线l 于点D ，当点P 运动时，判断以BD 为直径的圆与直线PF 的位置关系，并加以证明．20.已知抛物线2:2C y px =过点(2,2)M ,,A B 是抛物线C 上不同两点,且AB OM ∥（其中O 是坐标原点）,直线AO 与BM 交于点P ,线段AB 的中点为Q .（Ⅰ）求抛物线C 的准线方程;（Ⅱ）求证:直线PQ 与x 轴平行.21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，M 是椭圆C 的上顶点，12,F F 是椭圆C 的焦点，12MF F ∆的周长是6．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过动点(1)P t ，作直线交椭圆C 于A B ，两点，且PA PB =，过P 作直线l ，使l 与直线AB 垂直，证明：直线l 恒过定点，并求此定点的坐标．22.已知椭圆G :22212x y a +=，左、右焦点分别为(,0)c -、(,0)c ，若点(,1)M c 在椭圆上.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若直线:l 20(0)y m m -+=≠与椭圆G 交于两个不同的点A ，B ，直线MA ，MB 与x 轴分别交于P ，Q 两点，求证：PM QM =．23.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(1,0)F ，点(0,)B b 满足||2FB =．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）过点F 作直线l 交椭圆E 于M N 、两点，若BFM ∆与BFN ∆的面积之比为2，求直线l 的方程．24.如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>,12,F F 分别为其左、右焦点，过1F 的直线与此椭圆相交于,D E 两点，且2F DE △的周长为8,椭圆C 的离心率为2.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,1)P 与点(0,2)Q ，过P 的动直线l （不与x 轴平行）与椭圆相交于,A B 两点，点1B 是点B 关于y 轴的对称点.求证：（i ）1,,Q A B 三点共线.（ii ）QA PA QB PB=.25.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，短轴长为2（1）求椭圆的标准方程.（2）设椭圆上顶点A，左、右顶点分别为B,C，直线//l AB 且交椭圆雨E、F 两点，点E 关于y 轴的对称点为点G，求证：//CF AG .2019北京高考一模理数汇编：导数1.已知函数3()4f x x x =-，若1212,[,],,x x a b x x ∀∈≠都有12122()(2)(2)f x x f x f x +>+成立，则满足条件的一个区间是________.2.设函数2()(2)ln f x ax a x x =+--的极小值点为0x .（Ⅰ）若01x =，求a 的值()f x 的单调区间；（Ⅱ）若001x <<，在曲线()y f x =上是否存在点P ，使得点P 位于x 轴的下方？若存在，求出一个P 点坐标，若不存在，说明理由.3.设函数2()e 3x f x m x =-+，其中∈m R ．（Ⅰ）当()f x 为偶函数时，求函数()()h x xf x =的极值；（Ⅱ）若函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点，求m 的取值范围．4.已知函数2()ln(1)f x x x ax =+-.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）当0a <时，求证：函数()f x 存在极小值；（Ⅲ）请直接写出函数()f x 的零点个数．5.已知函数ln()()ax f x x=(R a ∈且0)a ≠.（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）当1a =-时，求证：()1f x x ≥+；（Ⅲ）讨论函数()f x 的极值．6.设函数()1x f x e ax =-+，0a >．(Ⅰ)若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行，求a ；(Ⅱ)当1x <时，函数()f x 的图象恒在x 轴上方，求a 的最大值．。
2019届高三3月份校级一模考试试题数学理试题Word版含答案
2019届高三3月份校级一模考试试题数学理试题Word版含答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数(),2z a i a R z a =+∈=若，则的值为 A ．1 BC ．1±D ．2．己知集合{}{}2=230,2A x x x B x x A B --≤=<⋂=，则A ．(1，3)B ．(]1,3C ．[－1，2)D ．(－1，2)3．已知倾斜角为θ的直线l 与直线230x y +-=垂直，则sin θ=A ．5-B ．5C ．5-D ．5 4．已知0,1a b c >>>，则下列各式成立的是 A ．sin sin a b > B ．abcc > C ．ccab <D ．11c c b a--<5．数列{}na 是等差数列，11a=，公差d ∈[1，2]，且4101615a a a λ++=，则实数λ的最大值为A ．72B ．5319C ．2319-D ．12- 6．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是注：90后指1990年及以后出生，80后指1980—1989年之间出生，80前指1979年及以前出生．A．互联网行业从业人员中90后占一半以上B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20％C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多7．设()b<”的,1,a b∈+∞，则“a b>”是“log1aA．充分且不必要条件B．必要且不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件8．甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A、B、C三个不同社区进行志愿服务活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人．其中甲必须去A社区，乙不去B社区，则不同的安排方法A ．32e e + B ．22e e + C ．32e e - D ．22e e -二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
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【全国百强校】北京市首都师范大学附属中学2019届高三一模数学（理科）试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、单选题
1. 若（是虚数单位），则的值为（）
A．3 B．5 C．D．
2. 在各项均为正数的等比数列中，，则（）
A．有最小值6 B．有最大值6 C．有最大值9 D．有最小值3
3. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图是实现该算法的程序框图，执行该程序框图，若输入，的值分别为4，2，则输出的值为（）
A．5 B．12 C．25 D．50
4. 已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等，体积为，其三视图中的俯视图如图所示，则其侧（左）视图的面积是（）
A．B．C．D．
5. 已知平面区域夹在两条斜率为的平行直线之间，且这
两条平行直线间的最短距离为，若点,则的最小值为（）
A．B．
C．
D．
6. 如图，平面四边形中，，，点在对角线上，，，则的值为（）
A．17 B．13 C．5 D．1
7. 某校校庆期间，大会秘书团计划从包括甲、乙两人在内的七名老师中随机选择4名参加志愿者服务工作，根据工作特点要求甲、乙两人中至少有1人参加，则甲、乙都被选中且列队服务时不相邻的概率为（）
A．B．C．D．
8. 某公司有4家直营店，，，，现需将6箱货物运送至直营店进行销售，各直营店出售该货物以往所得利润统计如下表所示:
根据此表，该公司获得最大总利润的运送方式有（）
A．1种B．2种C．3种D．4种
二、双空题
9. 若展开式中的二项式系数和为64，则等于___，该展开式中的常数项为____．
三、填空题
10. 椭圆：的左、右焦点分别为，，为椭圆
上任一点，且的最大值的取值范围是，其中，则椭圆的离心率的取值范围是_____.
11. 在极坐标系中，过点，且平行于极轴的直线的极坐标方程是
_________．
12. 如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图.
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据（时间变量的值依次为1，2，…，17）建立模型
①；
根据2010年至2016年的数据（时间变量的值依次为1，2，…，7）建立模型
②.
利用这两个模型，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值分别为
_____，_____；并且可以判断利用模型_____得到的预测值更可靠.
13. 对于函数，若存在区间，当时的值域为
，则称为倍值函数.若是倍值函数，则实数的取值范围是________.
14. 定义：对于数列，如果存在常数，使对任意正整数，总有
成立，那么我们称数列为“﹣摆动数列”.
①若，，，则数列_____“﹣摆动数列”，_____“﹣摆动数列”（回答是或不是）；
②已知“﹣摆动数列”满足，.则常数的值为_____.
四、解答题
15. 已知函数.
（Ⅰ）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）已知，是函数的两个零点，求的最小值.
16. 空气质量按照空气质量指数大小分为七档（五级），相对应空气质量的七
指数级
别
类别户外活动建议
Ⅰ优
可正常活动
Ⅱ良
Ⅲ
轻微污染易感人群症状有轻度加剧，健康人群出现刺激症
状，心脏病和呼吸系统疾病患者应减少体积消耗
和户外活动．
轻度污染
Ⅳ
中度污染心脏病和肺病患者症状显著加剧，运动耐受力降
低，健康人群中普遍出现症状，老年人和心脏
病、肺病患者应减少体力活动．
中度重污
染
Ⅴ重污染
健康人运动耐受力降低，由明显强烈症状，提前
出现某些疾病，老年人和病人应当留在室内，避
免体力消耗，一般人群应尽量减少户外活动．
现统计邵阳市市区2016年10月至11月连续60天的空气质量指数，制成如图所示的频率分布直方图．
（1）求这60天中属轻度污染的天数；
（2）求这60天空气质量指数的平均值；
（3）一般地，当空气质量为轻度污染或轻度污染以上时才会出现雾霾天气，且
此时出现雾霾天气的概率为，请根据统计数据，求在未来2天里，邵阳市恰有1天出现雾霾天气的概率．
17. 在三棱柱中，，侧面是边长为2的正方形，点，分别在线段、上，且，，.
（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）若，求直线与平面所成角的正弦值.
18. 圆与轴交于、两点，为圆上一点.椭圆
以、为焦点且过点.
（Ⅰ）当点坐标为时，求的值及椭圆方程；
（Ⅱ）若直线与（Ⅰ）中所求的椭圆交于、不同的两点，且点，，求直线在轴上截距的取值范围.
19. 已知函数，其中，为自然对数的底数.
（1）若函数的图象在处的切线与直线垂直，求的值；
（2）关于的不等式在上恒成立，求的取值范围；（3）讨论函数极值点的个数.
20. 已知集合为集合U的n个非空子集，这n个集合满足：①从中任取m个集合都有成立；②从中任取个集合都有成立．
（Ⅰ）若，，，写出满足题意的一组集合；
（Ⅱ）若，，写出满足题意的一组集合以及集合；（Ⅲ) 若，，求集合中的元素个数的最小值．。