2019届高三理科数学

2019届高三理科数学（3）试题

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的。

1．设集合{

}x x x M ==2

,{

}0lg ≤=x x N ,则M

N =（ ）

（A ）[]0,1 （B ）(]0,1 （C ）[)0,1

（D ）(],1-∞

2．已知复数i i

z 212

++=

，则z 的共轭复数是（ ） （A ）1i -- （B ）1i - （C ）1i +

（D ）1i -+

3．已知函数)(x f 是偶函数，当0>x 时，3

1

)(x x f =，则在区间)0,2(-上，下列函数中与

)(x f 的单调性相同的是( )

（A ）12+-=x y （B ）1+=x y （C ）x

e y = （D ）???<+≥-=0

,10,123

x x x x y

4．已知函数)sin()(?ω+=x A x f （2

,0,0π

?ω<>>A ）

在一个周期内的图象如图所示，则=)4

(π

f （ ）

（A ）1 （B ）

21

（C ）1-

（D ）2

1

-

5．下列四个结论：

①若p q ∧是真命题，则p ?可能是真命题；

②命题“2000,10x R x x ?∈--<”的否定是“2,10x R x x ?∈--≥”； ③“5a >且5b >-”是“0a b +>”的充要条件； ④当0a <时，幂函数a

y x =在区间()0+∞，上单调递减.

其中正确结论的个数是（ ）

（A ）0个 （B ） 1个 （C ）2个 （D ）3个

6．过点)1,3(A 的直线l 与圆014:2

2

=--+y y x C 相切于点B ，则=?（ ）

（A ）0

（B

（C ）5

（D

7．下列表格所示的五个散点，原本数据完整，且利用最小二乘法求得这五个散点的线性回归直线方程为0.8155y x =-，后因某未知原因第5组数据的y 值模糊不清，此位置数

m m 的值为（ ）

（A ）8.3 （B ）8.2

（C ）8.1

（D ）8

8．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积等于（ ）

（A ）2

（B ）1

（C ）32

（D ）3

9．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ） （A ）14 （B ）15 （C ）16 （D ）17

10．已知函数()()2x

f x x e ax a =---，若不等式()0f x >恰好存在两个正整数解，则

实数a 的取值范围是（ ）

（A ）3,04e ??-???? （B ）,02e ??

-????

（C ）3,42e e ??-???? （D ）3,24e ??

-????

11．已知抛物线2:2(0)C y px p =

>的准线与坐标轴交于点M ，P 为抛物线第一象限上一

点，F 为抛物线焦点，N 为x 轴上一点，若6π

=∠PMF ，0=?，则

||||PF PN = （A （B ）

4

3

（C ）

32

（D ） 2

12．已知方程023

=+++c bx ax x 的三个实根可分别作为一椭圆、一双曲线、一抛物线的

离心率，则2

2

b a +的取值范围是（ ） （A ）),5(+∞

（B ）)

+∞

（C ）[5,10) （D ）),5(+∞

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．已知等比数列{n a }为递增数列，a 1＝－2，且3（n a ＋n a ＋2）

＝10n a ＋1，则公比q ＝_______． 14．在二项式n

x

x )1(-

的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含2x 项的系数是 ．（请用数字作答） 15．已知集合M=

，若对于任意（x 1，y 1）∈M ，存在(x 2，y 2)∈M ，使得

x 1x 2+y 1y 2=0成立，则称集合M 是“商高线”．给出下列五个集合： ①M=

②(,)x e M x y y x ????

==??????

；③M=

；

④ln (,)x x M x y y e ??==

??

?? ；⑤ln()(,)x e M x y y x

e ?+?

==??+?

?．其中是“商高线”的序号是 ．

1

1正视图侧视图

俯视图

16．已知平面四边形ABCD 为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余

各边均在此直线的同侧），且2=AB ，4=BC ，5=CD ，3=DA ，则平面四边形ABCD

面积的最大值为 ．

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12

分）已知函数22()cos 3sin cos 2f x x x x x =--+． （1）当0,2x π??∈????

时，求()f x 的值域；

（2）若ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c

且满足sin(2)22cos()sin b A C A C a A

+=++，

求()f B 的值．

18．（本小题满分12分）某地空气中出现污染，须喷洒一定量的去污剂进行处理．据测算，每喷洒1个单位的去污剂，空气中释放的浓度y (单位：毫克/立方米)随着时间x (单位：

天)变化的函数关系式近似为8042364102x x y x x ?-<≤??=?

?<≤?+?

，，，若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中去污剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到去污作用． （1）若一次喷洒1个单位的去污剂，则去污时间可达几天？

（2）若第一次喷洒1个单位的去污剂，6天后再喷洒a 个单位的去污剂，要使接下来的4

天中能够持续有效去污，试求a 的最小值？（精确到0.1）

19．(本小题满分12分)如图，已知长方形ABCD 中，22=AB ，2=AD ，M 为DC

的中点．将ADM ?沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM ． （1）求证：BM AD ⊥；

（2）若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，二面角D AM E --的余弦值为

5

5

．

A D

M

C

B

A

D

M

C

B

E

20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，21F F 、分别为椭圆C ：)0(122

2

2>>=+b a b

y a

x 的左、右焦点,B 为短轴的一个端点，E 是椭圆C

上的一点，满足OF OE 2

1+=21F EF ?的周长为)12(2+． （1）求椭圆C 的方程；

（2）设点M 是线段2OF 上的一点，过点2F 且与x 轴不垂直的直线l 交椭圆C 于Q P 、两

点，若MPQ ?是以M 为顶点的等腰三角形，求点M 到直线l 距离的取值范围．

21．（本小题满分12分）已知f (x)＝ln x ＋

x 1

，g(x)＝ax ＋x

a ＋1（a ∈R ，ln 2 ≈0.6931） （1）设H(x)＝f (x )－g(x )，求H(x )在［1，4］上的最小值h (a )； （2）比较f (ln 2

3

)，f (ln 3)，f (ln 4)的大小．

请考生在第22、23题中任选一题做答。

22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy 中，直线l

的参数方程为112x t y ?=-??

????（t 为参数）．以原点为极点，

x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C

的方程为ρθ=．

（1）写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；

（2）若点P 的直角坐标为()1,0，圆C 与直线l 交于,A B 两点，求||||PA PB +的值．

23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数1

()(0)f x x a x a a

=+++>． （1）当2a =时，求不等式()3f x >的解集；

（2）证明：1

()()4f m f m

+-≥．

钟祥一中2019届高三理科数学磨合（3）试题

参考答案与评分标准

12.【解析】设()32f x x ax b =++，由抛物线的离心率为1，知，故1c a b =---，所以2()(1)[(1)1]f x x x a x a b =-+++++，另外两根分别是一椭圆、一双曲线的离心率，故2()(1)1g x x a x a b =+++++有两个分别属于(0,1)和(1,)+∞的零点，故有(0)0g >且(1)0g <，即10a b ++>且230a b ++<，运用线性规划知识可求得

22(5,)a b +∈+∞．故选D ．

13．

14．56- 15。③⑤ 16．302 16. 【解析】设AC=x ,在ABC ?中由余弦定理有B B x cos 1620cos 42242222-=??-+=

同理，在ADC ?中，由余弦定理有：D D x cos 3034cos 532532

2

2

-=??-+=， 即7cos 8cos 15=-B D ①，

又平面四边形ABCD

面)sin 15

sin 8(2

1

sin 5321sin 4221D B D B S +=??+??=，

即S D B 2sin 15sin 8=+②. ①②平方相加得

4cos(240449)cos cos sin (sin 240225642

2-=+-+=-++S D B S D B D B ，2404)cos(240449)cos cos sin (sin 2402256422-=+-+=-++S B S D B D B ，

当π=+D B 时，S 取最大值302.

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．（1）

222()cos 3sin cos 222sin 12cos 22sin(2)

6

f x x x x x x x x x x π

=--

+=-+=+=+

0,2x π??

∈????

，∴712,,sin(2),166662x x ππππ????+∈+∈-????????，∴[]()1,2f x ∈-．．．6分 （2）∵由题意可得[]sin ()2sin 2sin cos()A A C A A A C ++=++有，

sin cos()cos sin()2sin 2sin cos()A A C A A C A A A C +++=++，

化简可得：sin 2sin C A = ∴由正弦定理可得：2c a =，∵b =，∴余弦定理可得：

222222431

cos 2222

a c

b a a a B a

c a a +-+-===，∵0B π<< ∴3B π=，

所以 ()1f B =………………………12分

18（Ⅰ）依题意 令4y ≥则04842x x <≤???-≥??或410

36

42

x x <≤???≥?+?，解得 04x <≤或47x <≤ ∴07x <≤，∴一次喷洒1个单位的去污剂，去污时间可达7天 ………6分

（Ⅱ）设从第一次喷洒起，经(610)x x <≤天空气中的去污剂浓度为()f x

则36636()(8)11610)2222x a f x a x a x x x -=+-=-+<≤++（

依题意()4f x ≥对一切610x <≤恒成立 ∴min ()4f x ≥ 又()f x 在(6,10]上单调递减，min ()10=36f x f a ∴=+（）

364a ∴+≥ 1

0.26

a ∴≥

≈ 故a 的最小值为0.2 ………………12分. 19．（Ⅰ）证明：∵长方形ABCD

中，AB =

AD =M 为DC 的中点，

∴2AM BM ==，∴AM BM ⊥.………1分

∵平面ADM ⊥平面ABCM ，平面ADM ∩平面ABCM =AM ，BM ?平面ABCM ∴BM ⊥平面ADM ………………3分

∵AD ?平面ADM ∴AD ⊥BM ； ………………………5分

（Ⅱ）建立如图所示的直角坐标系，则平面ADM 的一个法向量(0,1,0)n =，………6分

设DE DB λ=，(1,2,1),ME MD DB λλλλ=+=--(2,0,0)AM =-， 设平面AME 的一个法向量为(,,),m x y z =

202(1)0x y z λλ=??

+-=?

取1y =，得20,1,,1x y z λ

λ===- 所以2(0,1,

)1m λ

λ

=-，………………………9分 因为5

cos ,||||m n m n m n ?<>==

?，求得12λ=，……11分 所以E 为BD 的中点．………………………12分

20.【解析】（Ⅰ）由已知)0,(1c F -，设),0(b B ，即),0(),0,(1b c =-= ∴)2

2,(b c -=即)22,(b c E - ………………………………1分

∴122

2122=+b b a c 得：2

2=a c ①………………………………………2分 又2

1F PF ?的周长为)12(2+，∴ 22222+=+c a ② ………3分

又①②得：2,1==a c ∴1=b ∴所求椭圆C 的方程为：12

22

=+y x ……5分 （Ⅱ）设点(,0)(01)M m m <<,直线l 的方程为)0)(1(≠-=k x k y ………………6分 由???=+-=2

2)1(2

2y x x k y 消去y ，得：0224)21(2222=-+-+k x k x k 设),(),,(2211y x Q y x P ，PQ 中点为),(00y x N 则2

2

21214k

k x x +=+ ∴22121212)2(k k x x k y y +-=

-+=+