浅谈实变函数中的开集和闭集
实变函数-23 开集,闭集,完备集 24 直线上的开集、闭集及完备集的构造
⑵开集与闭集的对偶性
a. (E)c (Ec ) (Ec ) (E )c
b.若E为开集，则Ec为闭集; 若E为闭集，则Ec为开集。
P0为 E的接触点： 0,有O( p0, ) E P0为 E的聚点： 0,有O( p0, ) (E {p0}) P0为 E的内点： 0,使得O( p0, ) E P0为 E的外点： 0, 使得O( p0 , ) E ,即O( p0 , ) Ec
知 ' 0, 有O(x', ') (E {x '})
(当
'
min{
d (x,
x '), d (x,
x ')}时,有x O(x', ')
O(
x
,
）
)
E
从而 O(x, ) (E {x})
即x为E的聚点，从而 (E')' E'
O( x', ')
利用(E)' (E E')' E'(E')' E'E' E' E 可得E为闭集
从而x是（a,的内点，
故(a,b)是开集。
a
x
b
说明：要证E是开集，只要证 E E (因为E E显然)
例：闭区间[a,b]为闭集
证明：任取x∈[a,b]c,取δ=min{|x-a|,|x-b|},
则 O(x, ) [a, b]c ,
从而x不是[a,b]的接触点， 从而[a,b]的接触点都在[a,b]内， a
p0为E的接触点的充要条件为存在E中点列{pn},
使得
lim
n
pn
实变函数知识归纳总结
定理 6 若Ａ为无限集，Ｂ是至多可数集，则 A ∪ B ～ A 由证明归纳出两种证明对等的方法： （１）建立一一映射； 设 B = {b1 , b2 ,
} 为可数集， A ∩ B = ∅ ，由性质１知，Ａ存在可数子集
A1 = {a1 , a 2 ,
} ，作映射 f : A ∪ B → A
⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭
α ∈Λ
∩ ζ α 是 X 上的环（或代数） 。
, 有 ∩ En ∈ ζ ； n =1
, 有 lim En ∈ζ , lim En ∈ζ ； n→∞
n→∞
∞
(α ∈ Λ ) 为 X 上 σ
环（ σ 代数） ，则 ∩ ζα 是 X 上 σ 环（ σ
α∈Λ
代数） 。
定理 8 设 A 是由 X 的某些子集构成的集类， 则存在唯一的环 （或代数，
−1
( ∩ B )= ∩T
α∈Λ α α∈Λ
−1 c
−1
( Bα )( Bα ⊂ Y,α ∈Λ) ;
c
−1
( B ) = (T ( B ) )
由此看出原像集的性质保持比像集的性质保持要好 注解：①、 （3）中如：一个映射 f 把 X 全部映射成一个值，就可以造成左边为
空集即可； ②、 一般T -1 (T ( A) ) ⊃ A，当T为单射时,有T -1 (T ( A) ) = A ③、 一般T T −1 ( B ) ⊂ B，当T为满射时,有T T −1 ( B ) = B 定义 2 复合映射概念（舍）见教材 P10 二、集合的势 定义 3 设 A 和 B 为两集合， 若存在从 A 到 B 的一一映射， 则称集合 A 与Ｂ对等， 记为 A~B 注解：①、对等关系是等价关系 ②、设 {
α∈Λ α∈Λ
实变函数论课件5 开集、闭集、完备集
命题 3 （ii）E 是闭集。
O( x', ')
利用 ( E )' ( E E ' )' E ' ( E ' )' E ' E ' E ' E 可得 E为闭集
E
命题 3 （i）E 是闭集。（ii）E 是闭集。
证明
（i）设 x0 (E), 则对 0, 点 x1 U (x0, ) s.t. x1 E. 由第一节命题 3 知, 0 , 使U( x1, ) U( x0, ).
（ii） 只须证两个开集 G1、G2 的交 G1 G2 是开集.
设x0 G1 G2 , 则 x0 G1 且 x0 G2 , 从而存在正数 1、
2 使 U (x0 ,1 ) G1、U (x0 , 2 ) G2 .
由第一节命题 （3 iii）, 存在 0 使 U (x0 , ) U (x0 , i ) （i 1,2）, 从而U (x0 , ) G（i i 1,2）, U (x0 , ) G1 G2 ,
故 x0 是G1 G2 的内点, 所以 G1 G2 是开集.
（iii）设
x0
I
G
,则存在 0
I
使
x0
G0 .由G0
是
开集知存在 0 使U (x0 , ) G0 , 从而U (x0 , )
G ,故
I
x0
是 I
G
的内点. 所以 G I
i.e., 没有孤立点的集合就是自密集。
定义5 设 E 是 RN 中的点集, 若 E E, 就称 E 是完备集。
因此, 完备集就是自密的闭集 (E E,E E ). i.e., 没有孤立点的闭集就是完备集。
开集、闭集、完备集
2.3 开集、闭集、完备集序 前面介绍了内点，极限点，导集，闭包的概念 ⇔∈E x x 的任意邻域中都含有E 中的点，即：∅≠⋂>∀E x O ),(,0δδ。
且对n R A ⊂，n R B ⊂，有定理 1. ''B A B A ⊂⇒⊂2. B A B A ⊂⇒⊂3.()'''B A B A ⋃=⋃4. ()B A B A ⋃=⋃证明 1）由导集的等价条件直接得到2）B B B A A A B A =⋃⊂⋃=⇒⊂''3) 因B A A ⋃⊂, 由1)知()''A B A ⊃⋃, 同理()''B B A ⊃⋃, 故()'''B A B A ⋃⊃⋃; 反之, 任取(),'B A x ⋃∈ 则B A ⋃中存在一列互不相同的点{}x x t s x n n →..,, 这一列点要么有无限个含于A (此时'A x ∈) 要么有无限个含于B (此时'B x ∈), 不管怎样, 总有''B A x ⋃∈, 所以()'''B A B A ⋃⊂⋃, 综合起来即有结论.4) ()()()()()B A B A B A B A B A B A ⋃=⋃⋃=⋃⋃=⋃''' 一. 稠密集, 疏朗集 稠密性定义1 若B 中任意点的任意邻域中都含有A 中的点, 则称A 在B 中稠密, 特别的, 若n R B =, 则称A 是稠密集(的).例如 Q 在1R 中稠密; 有理点(即坐标全为有理数的点)的全体在nR 中稠密; 有理数的全体在无理数中稠密, 无理数的全体也在有理数中稠密 显然有如下的结论定理2 A 在B 中稠密当且仅当A B ⊂, A 是稠密的当且仅当nR A =疏朗性定义2 如果nR 中的任意一个邻域中都包含一个子邻域与E 不相交, 则称E 是疏朗集(的)或无处稠密的, 也即E 不在任意邻域中稠密 定理3 以下三个命题等价(i)E 是疏朗集(ii) E 不含任何邻域(iii)()cE 是稠密集证明 (i)→(ii)反证法 假设E r x O ⊂),(, 按闭包的等价定义, ),(r x O 中任意点的任意邻域中都含有E 中的点, 与疏朗集的定义矛盾.(ii)→(iii) 由假设知道, 对n R x ∈∀, 和任意的0>δ, 有E x O ⊄),(δ, 从而()∅≠cE x O ),(δ; 再由δ的任意性知道)()cEx ∈, 由x 的任意性就得到集合的稠密性.(iii)→(i) 反证法 存在),(δx O , 使得任意的),(),(δx O r y O ⊂都有∅≠⋂E r y O ),(,由r 的任意小性知道E y ∈, 再由y 的任意性知道E r y O ⊂),(, 由此知道()cE 不是稠密的. 由这个定理知道疏朗集的余集是稠密的, 但稠密集的余集不一定是疏朗的, 如Q 二 开集闭集定义3 若E 中所有的点都是内点, 则称E 是开集 例如 (1) 空集和全空间都是开集(2) 任意邻域是开集 (3) 任意开区间是开集 (4) 非空有限集不是开集定义 4 若E 包含了他的所有的极限点, 则称E 是闭集 例如 (1) 空集和全空间都是开集(2) 空有限集是闭集 三 开集闭集的性质 例题 E E E ∂,,'都是闭集.证明 1)要证()'''E E ⊂, 任取()''E x ∈则x 的任意邻域),(δx O 中含有'E 中的不同于x 的点y, 因为'E y ∈, 所以在),(),(δx O r y O ⊂中含有E 中的无限多个点, 即是说x 的任意邻域),(δx O 中含有E 中的无限多个点, 因此'E x ∈, 由x 的任意性, 知道()'''E E ⊂2) 注意到()'''E E ⊂, 和导集的性质, 故()()()E E E E E E E E E =⋃⊂⊂⋃=⋃='''''''' 3) 证明()'E x ∂∈∀, 则对任意的0>δ, 邻域),(δx O 中含有E ∂中的不同于x 的点y, 因为E y ∂∈, 所以在),(),(δx O r y O ⊂中含有E 中的点, 也含有E 外的点, 即是说x 的任意邻域含有E 中的点, 也含有E 外的点, 所以E x ∂∈, 从而()E E ∂⊂∂'定理4 E 是闭集E E ⊂⇔'E E =⇔⇔E 中任何收敛点列的极限属于E 证明 ⇒任取{}x x E x n n →⊂,, 由闭包的等价条件知道E E x =∈⇐任取'E x ∈, 则存在{}x x E x n n →⊂,, 由假设知道E x ∈, 从而E E ⊂', 所以是闭集 该定理和上面的例题表明 ()E E = ()'''E E ⊂ 还有 ()E E ∂⊂∂∂证明 任取()E x ∂∂∈, 邻域),(δx O 中含有E ∂中的点E y ∂∈, 所以在),(),(δx O r y O ⊂中含有E 中的点也含有E 外的点, 所以E x ∂∈, 从而()E E ∂⊂∂∂ 例如 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧== ,2,1:1n nE 则()空集==''},0{'E E],1,0[⋂=Q E 则()}1,0{],1,0[=∂∂=∂E E定理5 E E E E E ∂== '证明 任取'E E x ∈, 不妨认为,E x ∉ 由闭包的等价条件, 任意邻域),(δx O 中含有E 中的点, 也含有E 外的点x , 即是说x 的任意邻域含有E 中的点, 也含有E 外的点, 所以E x ∂∈, 从而E E E E E ∂⊂= '; 另一方面 任取E E x ∂∈, 也不妨认为,E x ∉ 则E x ∂∈, 由此x 的任意邻域含有E 中的点, 这些点当然不同于x , 故'E x ∈, 所以E E E E ∂⊃ '. 综上所述, 结论得证.定理6 (1) 空集和全空间都是闭集(2) 有限个闭集的并是闭集 (3) 任意多个闭集的交是闭集证明 (2) 设B A ,是闭集, 则由闭性知道, ()B A B A B A ⊂=''', 从而任意两个闭集的交是闭集, 再对个数进行有限次归纳, 结论自然得证.(3) 设Γ∈λλ,A 都是闭集, 则Γ∈∀⊂Γ∈λλλλ,A A , 从而由导集的性质得到()()Γ∈∀⊂⊂Γ∈λλλλλ,''A A A, 所以()Γ∈Γ∈⊂λλλλA A ', 结论得证例题 (2) 中不能改为无限, 如)1,1(]1,1[111-=-+-∞=k k k 定理7 开集的余集是闭集, 闭集的余集是开集证明 (1) 设E 是开集, 下证明cE 是闭集, 任取()'cE x ∈, 则x 的任意邻域),(δx O 中含c E 中的点, 所以x 不是E 的内点, 而E 又是开集, 故x 不是E 中的点, 从而只能属于c E , 即有()c c E E ⊂' 得证(2) 设E 是闭集, 下证明c E 是开集, 任取c E x ∈, 则存在x 的邻域),(δx O , 使得该邻域中不含E 中的点, 所以c E x O ⊂),(δ, 即x 是E 的内点, 从x 的任意性知道c E 是开集. 定理8 (1) 空集和全空间都是闭集(2) 有限个开集的交是闭集 (3) 任意多个开集的并是闭集 证明 由定理7和对偶定理即得到本结论 (2)中也不能改为无限 如]1,1[)1,1(111-=+--∞= k k k 推论 闭集减开集仍是闭集; 开集减闭集仍是闭集 四 有界闭集的性质定理9 有界闭集E 中的任意点列都有收敛到其自身的子列 证明 这由Bolzano-Weierstrass 定理和集合的闭性直接得到 引入覆盖的概念, 若, Γ∈⊂λλE E 则称{}Γ∈λλ:E 是E 的一个覆盖 如Γ是有限集, 则称为有限覆盖, 类似的有可数覆盖, 无限覆盖 如果每个Γ∈λλ:E 都是开集则称为开覆盖, 类似的有开区间覆盖如果Γ⊂Γ1, 且{}1:Γ∈λλE 是E 的一个覆盖, 此时称{}1:Γ∈λλE 是{}Γ∈λλ:E 的一个子覆盖, 如果子覆盖同时又是有限的, 则称为有限子覆盖定理10 有界闭集nR E ⊂E 中的任意开覆盖{}Γ∈=λλ:E G , 都存在有限的子覆盖.证明 分两步来证(1) 证明存在常数0>δ, 使得E x ∈∀, ),(δx O 必含于G 中的某一开集中, 该数被称为Lebesgue 数反证法, 假设不存在这样的数, 则对任意的自然数n , 都存在E x n ∈, 使得),(1n n x O 不能被包含在G 中的任一开集中. 由定理9, {}n x 中有子列, 不妨仍记为{}n x , 使得E x x n ∈→. 又因为G 是开覆盖, 所以存在G K ∈, 使得K x ∈, 由K 是开集知道存在K r x O ⊂),(. 这样我们取n 充分大, 以使得21,2),(rn r x x n <<ρ, 则G K r x O x O n n ∈⊂⊂),(),(1, 与nx 的取法矛盾, 所以常数0>δ是存在的.(2) 证明E 一定包含在有限个半径不小于δ属于G 的开集中对(1)中的δ, 则 Ex x O E ∈⊂),(δ, 我们来说明一定可以找到有限个点k i E x i,2,1,=∈使得ki i x O E 1),(=⊂δ。
实变函数第二章 点 集
第二章 点 集 §1. 度量空间， n 维欧氏空间d e f .设X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素y x ,都有唯一确定的实数),(y x d 与之对应，满足：︒1 ()(),0.,0d x y d x y x y ≥=⇔=（非负性）︒2 对任意的()()(),,,,z X d x y d x z d y z ∈≤+（三点不等式） 则称(),,d x y x y 是之间的距离，称(),X d 为度量空间，X 中的元素称为点. 注：(1)由︒1，︒2可以推出距离具有对称性：()(),,,,d x y d y x x y X =∈(2)子空间：若(),X d 为度量空间，(),.,Y X Y Y d ⊂≠∅则也是一个度量 空间，称为(),X d 的子空间. (3)度量空间的例子及其性质见第七章.n 维欧氏空间定义为(){}112:,,,,,1,2,,n n i R x x x x x x R i n ==∈=，n R 中两点()()1212,,,,,,,n n x x x x y y y y ==的距离定义为()()1221,ni i i d x y x y =⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦∑易证，对任何(),,,,n x y z R d ∈满足：（1）()(),0,,0d x y d x y x y ≥=⇔=（非负性） （2）()(),,d x y d y x = （对称性）（3）()()(),,,d x y d x z d z y ≤+ （三点不等式）注 1.从三点不等式可以推出，),(y x d 是),(y x 的二元连续函数，即当()()()(),0,,0,,n n n n d x x d y y d x y d x y →→→时，（当n →∞时） 注2.对任何()12,,,,n n x x x x R x =∈的模（或长度）定义为2112),(⎥⎦⎤⎢⎣⎡==∑=ni i x X d x θ，)0,,0,0( =θ是n R 的原点.注3.在n R 中也可以定义其它的距离，例如：()()121,max ,,ni i i i ii d x y x y d x y x y ==-=-∑，其中()()1212,,,,,,,n n x x x x y y y y ==但以后所说的n R 中的距离一般是指()()1221,ni i i d x y x y =⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦∑.1def .设()(){}000,0,,:,nP R U P P d P P δδδ∈>=<记，称为0P 的δ邻域.或记为()0P U .邻域的性质：()()1P U P ∈；()()()()()()()1233122,,U P U P U P U P U P U P ⊂⋂对于和存在使； ()()()()()3Q U P U Q U Q U P ∈⊂对于，存在，使；()()()()()4P Q U P U Q U P U Q ≠⋂=∅对于，存在和，使2def .设{}()0123m mn P n R P R =⊂∈，，，，.如果()0lim 0n n d P P →∞=，，称点列{}n P 收敛于0P ,记为 0lim n n P P →∞=.注1.点列{}n P 收敛于P 0等价于：点列{}n P 的坐标序列收敛于P 0的坐标; 注2.点列{}n P 收敛于0P 等价于：对于0P 的任何邻域()0P U ，存在N ,当N n > 时，有()0n P U P ∈.3def .两个非空的点集B A ,的距离定义为()()inf P A Q Bd A B d P Q ∈∈=，，.4def .一个非空的点集E 的直径定义为()()sup P E Q EE d P Q δ∈∈=，.5def .设,n R E ⊂如果+∞<)(E δ,称E 是有界集.注1.n R 中点集E 是有界集等价于：存在()()00,,,.U P E U P δδ⊂使注2.n R 中点集E 是有界集等价于：存在常数K ,对所有E x x x x n ∈=),,,(21 都有),,2,1(||n i K x i =≤.注3.n R 中点集E 是有界集等价于：存在常数K ,对所有E x ∈,有)0,,0,0(0,)0,( =≤K x d .6def .n R 中的开区间定义为点集(){}12,,,:,1,2,,n i i i x x x a x b i n <<=，闭区间定义为点集(){}12,,,:,1,2,,n i i i x x x a x b i n ≤≤=，类似地定义左开右闭或左闭右开区间.记为I ,体积()1ni i i I b a ==-∏.§2.聚点，内点，界点设n n R P R E ∈⊂0,，则0P 与E 有三种可能的关系： （1）在0P 的附近没有E 的点. （2）0P 的附近全是E 的点.（3）0P 的附近既有E 的点，又有不属于E 的点.1def .若存在0P 的一个邻域()()00,E U P U P ⊂使，则称0P 为E 的内点.这时， 0P E ∈.若0P 是c E 的内点，则称0P 为E 的外点.这时，c 00P E ,P E ∈∉即.若对任何()()000,,,,cU P E U P E δδδ>⋂≠∅⋂≠∅，则称0P 为E 的界点.注：E 的界点不一定属于E .2def . 设0,.n n E R P R ⊂∈若对任何(){}()000,,U P P E δδ>-⋂≠∅，则称0P为E 的聚点.注1：E 的聚点不一定属于E . 注2：有限点集没有聚点.注3：E 的内点一定是E 的聚点. E 的聚点不一定是E 的内点.E 的聚点有 可能是E 的界点. 1Th .....E A F T (1)0P 为E 的聚点.(2)对任何()00,,U P δδ>内含有E 中无穷多个点.(3)存在各项互异的点列{}0,n n P E P P ⊂→()n →∞.即：()0lim ,0n n d P P →∞=. 3def . 0,.n n E R P R ⊂∈若(){}()000,0,,,P E U P P E δδ∈∃>-⋂=∅且使则称0P 为E 的孤立点. 这时0,P E ∈但是0P 不是E 的聚点.若集合E 的每一点都是孤立点，则称E 是孤立点集. 注1：E 是孤立点集''.E E E ⇔⋂=∅表示E 的聚点全体.注2：E 的界点不是聚点就是孤立点注3：若一个点集E 没有聚点，即E '=∅，则称它是离散集.离散集是孤立 点集，反之不一定.如例1.注4：空集∅没有聚点，也没有孤立点. 4def .设n E R ⊂，有(1)E 的内点全体称为E 的开核，记为︒E ； (2)E 的界点全体称为E 的边界，记为E ∂； (3)E 的聚点全体称为E 的导集，记为E '； (4)E E ' 称为E 的闭包，记为E 。
实变函数中的集合
实变函数中的集合在数学中，集合是一组元素的有序排列。
它是一个抽象的概念，用于表示特定的特性的元素的集合。
它的精髓在于创造一个有序的实体，具有多种形式和特性，有助于研究者们解决问题。
其中最常用的是实变函数中的集合，它是一个数学术语，指其中任何一个原子都可以作为函数的参数，以及函数可以实现的所有可能的输出。
实变函数中的集合有着复杂的数学语法，它们包括：函数，子集，元素，子集的幂集，子集的笛卡尔积，范围和单位点集等等。
它非常复杂，研究者们在实际操作时也可能出现一些问题。
下面我们就来详细讨论一下实变函数中的集合。
首先，最常见的实变函数定义是一组有理数，它是一个有限的数集，其中每个数都是有限的小数形式。
函数的基本特征是由它的参数和值决定的，其中参数是定义空间中的子集，值是定义域中的子集。
函数的定义通常是以符号表示的，这个符号表示的意义被称为函数的值。
其次，实变函数中的子集具有很强的数学特征，也就是说，子集中包含的元素之间具有一定的关系，它们的值之间也可以符合一定的规则。
比如，“子集的幂集”是一个特殊的子集，由所有子集的所有可能性构成；“子集的笛卡尔积”是两个子集之间的乘积，它 and含了子集中任意两个元素之间的组合；“范围”和“单位点集”则分别表示实变函数的定义空间和定义域。
最后，实变函数中的集合可以经过合并，减少，对称等很多种复合操作，以达到研究者们想要的结果。
也就是说，通过一系列的计算操作，它们可以逐渐连接，转换和扩展，让研究者们更容易地解决问题。
因此，实变函数中的集合是一个巨大的体系，深藏着无穷的知识，是研究者们理解自然现象的重要工具。
总的来说，实变函数中的集合是一个复杂的概念，它由一系列常见的实变函数组成，每一种函数都有自己独特的特性，可以为研究者们提供无限的解决方案。
在实际应用中，它可以实现合理的复合运算，可以满足研究者们的要求，在一个实变函数的实践过程中，它的重要性不言而喻。
实变函数知识点总结
第一章 集 合1 集合的运算一、集合的概念定义1 设有两个集合A，B。
若x A ∈，必有x B ∈，则称A 是B 的子集或B 包含A，记为A B B A ⊂⊃或。
若A B ⊂，且存在x B ∈满足x A ∉，则称A 是B 的真子集。
若A B B A ⊂⊂且，则称A 与B 相等或相同。
定义2 设Λ是一个非空集合，对于每个α∈Λ，指定一个集合A α，于是得到许多集合，它们的总体称为集合族，记为{}|A αα∈Λ或{}A αα∈Λ。
二、集合的运算定义3 设A，B 是两个集合。
（1） 称集合{}|A B x x A x B ∪=∈∈或为A 与B 的并集，即由A 与B 的全部元素构成的集合；（2） 称集合{}|A B x x A x B ∩=∈∈且为A 与B 的交集，即由A 与B 的公共元素构成的集合；定理1（1）交换律 A B B A ∪=∪，A B B A ∩=∩；（2）结合律 ()()A B C A B C ∩∩=∩∩,()()A B C A B C ∩∩=∩∩; （3）分配律()()()A B C A B A C ∩∪=∩∪∩()()()A B C A B A C ∪∩=∪∩∪。
更一般地有 （4）()()A B A B αααα∈Λ∈Λ∪∩=∩∪；（5）()()A B A B αααα∈Λ∈Λ∩∪=∪∩；（6）设{}n A 和{}n B 为两集列，有()111n n n n n n n A B A B ∞∞∞===⎛⎞⎛⎞∪∪=∪∪∪⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠。
定义4 设A，B 是两个集合，称集合{}\|A B x x A x B =∈∉且是A 和B 的差集，即在集合中而不在集合B 中的一切元素构成的集合。
如果B A ⊂，则称\A B 为B 相对于A 的补集或余集。
定理2 （1）(),,,,cccc c c A A X A A AA X X ∪=∩=∅==∅∅=；（1）A ζ⊂；（2）任何包含A 的环（或代数，或σ环或σ代数）*ζ，必有*ζζ⊂。
《开集与闭集》课件
设$A$是开集，$B$是闭集，则$A cup B$是包含$A$和$B$中所有元素的集合，包括边界上的点。
开集与闭集的交集
总结词
开集与闭集的交集是同时属于开集和闭 集的元素组成的集合。
VS
详细描述
设$A$是开集，$B$是闭集，则$A cap B$是同时属于$A$和$B$的元素组成的集 合，不包括边界上的点。
举例：考虑实数轴上的开区间(0,1)和闭区间[0,1]。(0,1)是(0,1)的真子集，但 (0,1)不是[0,1]的真子集。
开集和闭集的基数相同
对于任意集合A，其开集和闭集的基 数相同。这是因为开集和闭集都包含 A的所有点，只是开集不包含A的边界 点，而闭集包含A的所有边界点。
举例：考虑实数轴上的开区间(0,1)和 闭区间[0,1]。它们的基数都是正无穷 大，因为它们都包含了无穷多的实数 点。
开集与闭集的对称差集
总结词
开集与闭集的对称差集是只属于开集或只属于闭集的元素组成的集合。
详细描述
设$A$是开集，$B$是闭集，则$A triangle B = (A cup B) - (A cap B)$，即对称差集 包含所有只属于$A$或只属于$B$的元素。
03
开集与闭集的应用
在实数理论中的应用
《开集与闭集》PPT 课件
xx年xx月xx日
• 开集与闭集的定义 • 开集与闭集的关系 • 开集与闭集的应用 • 开集与闭集的特殊情况
目录
01
开集与闭集的定义
开集的定义
定义
如果对于任意点$x$属于集合A，存在 一个以$x$为中心、以任意正数$r$为 半径的邻域$U(x,r)$，使得集合$A cap U(x,r) = U(x,r)$，则称集合A为 开集。
实函2.02
x的点，故x P，所以是自密集.因此，综上P是完备集.
(3)Cantor 集是不可数集.
(4)Cantor 集没有内点. 正因为Cantor 集所具备的性质，因此它对数学其他分支起着非
常大的影响.比如《数学的分形与应用》、《泛函》等.
任取 x Eo, 由内点的定义知 0,使得O（x,） E，
任取 y O(x, ) ，取 ' d(x, y)
则O( y, ') O( x, ) E
O( y, ')
从而y为E的内点，从而O(x, ) E
所以x为Eº的内点，即 x (E)
开集.因此：P [0,1] \ G [0,1]I Gc是一闭集.
再证Cantor 集是自密集.
>0,由(1)知，存在n,使得第次去掉开区间后余下的闭区间的长度
1 3n
<
.
设x P，则由（2）知，x必属于第n次去掉开区间后余下的某个闭区间，
设为， .于是， （x , x ) O(x, )
记 C 0 =[0,1]. 将C0 三等分,
去掉中间的一个开区间
将剩下的部分记为C1 ,
即
它是两个互不相交的闭区间的并.
将C1 的每个闭区间都三等分. 再去掉每个闭区间中间的开区间 将剩下的部分记为C2
如图 它是22 个两两互不相交的闭区间的并. 这样的过程一直做 下去, [0,1]中余下的点组成的集合称为康托三分集，记为P.
取x inf{|存在，使x （，） G}.
x sup{|存在，使x （，） G}.
作（
x，
x），现证（
实变函数论第二章 点集
第二章习题P291.证明'0p E ∈的充要条件是对于任意含有0p 的邻域()0,N p δ（不一定以0p 为中心）中，恒有异于0p 的点1p 属于E （事实上这样的1p 其实还是有无穷多个）而0p 为E 的内点的充要条件则上有含有0p 的邻域()0,N p δ（同样，不一定以0p 为中心）存在，使()0,N p E δ⊂. 证明：先设'0p E ∈，则()00,,N p E δδ∀> 中有无穷多个点。
现在设()00,p N p δ∈，这表明()00,p p ηρδ≤=<，故()0,y N p δη∀∈-，有()()()00,,,y p y p p p ρρρδηηδ≤+<-+= 故()()0,,N p N p δηδ-⊂故()0,N p E δη- 有无穷个点，自然有异于0p 的点()10,p N p E δη∈-(),N p δ⊂.这就证明了必要性，事实上，(){}00,N p E p δη-- 是无穷集，故(),N p δ中有无穷多个异于0p 的E 中的点.反过来，若任意含有0p 的邻域(),N p δ中，恒有异于0p 的点1p 属于E ，则0δ∀>，(),N p δ中，有异于0p 的点1p 属于E ，记()101,p p ρδ=，则显然1δδ<由条件()01,N p δ中有异于0p 的点2p E ∈，()2021,p p ρδδ=<由归纳法易知，有{}11,1,2,,n n n n δδδδ+∀=<<< 和()01,n n p E N p δ-∈ ，0,1,2,n p p n ≠=这表明()0,N p δ中有无穷个E 中的点.由0δ>的任意性知，'0x E ∈若0p 为E 的内点，则0,δ∃>使()0,N p E δ⊂，故必要性是显然的. 若存在邻域(),N p E δ⊂，使()0,p N p δ∈，则从前面的证明知()()()00,,,N p p p N p E δρδ-⊂⊂，故0p 为E 的内点.2.设1nR R =是全体实数，1E 是[]0,1上的全部有理点，求'11,E E .解：[]0,1x ∀∈，由有理数的稠密性知，()()0,,,N x x x εεεε∀>=-+中有无穷个1E 中的点，故'1x E ∈，故[]'10,1E ⊂.而另一方面，[]0,1x ∀∉，必有0δ>，使()[]0,0,1N x δ=∅ ，故'01x E ∉ 故[]'10,1E ⊂，所以[][]'10,10,1E ⊂⊂. 表明[]'10,1E =而[][]'11110,10,1E E E E === 故[]'110,1E E ==.3.设2n R R =是普通的xy 平面(){}222,;1E x y xy =+<，求'22,E E .解：(){}'222,;1E x y xy =+≤事实上，若()'0002,p x y E =∈，则由于()22,f x y x y =+是2R 上的连续函数，必存在0δ>，使()()0,,x y N p δ∀∈有()22,1f x y x y =+>.故()02,N p E δ=∅ ，故0p 不是'2E 中的点矛盾. 故22001x y +≤时(){}220,;1p x y xy ∈+≤反过来，若()(){}22000,,;1p x y x y x y =∈+≤则0δ∀>，作[]0,1上的函数()()00,f t tp p ρ==t ==-则()f t 是[]0,1上的连续函数，()01f =≤，()10f =，01δ∀<<，[]0,1t δ∃∈使()f t δδ=现在任取()0,0min 1,ηδη>∃<<，使()()00,,N p N p δη⊂. 由上面的结论，存在01t δ<<，使()1f t δδ=<.故0t p δ满足（1）00t p p δ≠；（2）0001t p t p t p t δδδδ==≤<.故02t p E δ∈ （3）()00,t p p δρδη=<，故()0,t p N p δη∈所以(){}020,t p N p E p δη∈-由习题1的结论知'02p E ∈，所以(){}'222,;1E x y xy =+≤.而(){}''222222,;1E E E E x y xy ===+≤ .4.2n R R =是普通的xy 平面，3E 是函数1sin 00x y xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩的图形上的点所作成的集合，求'3E .解：设函数的图形是()(){}{}'131,;,,sin ;0x f x x R Ex x R x ⎧⎫⎛⎫∈=∈-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭(){}0,0 . 下证(){}'330,;11E E δδ=-≤≤()'0003,p x y E =∈⇔存在()(){}300,,n n n p x y E x y =∈-，()000,,n n n n n p x y p x x y y =→⇔→→，()0,0n p p ρ→设()'0003,p x y E =∈，则存在()(){}30,,n n x y E x y ∈-使00,nn xx y y →→若00x ≠，则0n x ≠（当n 充分大） 则0011sinsin n n y y x x =→= 所以()003,x y E ∈若00x ≠，则0n x →，01sinn ny y x =→，011y -≤≤ 所以()(){}00,0,;11x y δδ∈-≤≤ 故(){}'330,;11E E δδ⊂-≤≤反过来：()(){}0003,0,;11p x y E δδ∀=∈-≤≤ ， 若00x ≠，001siny x =， 故存在0n x x ≠，使0n x ≠，0n x x →从而011sinsin n x x → 即存在()001,sin,n n x x y x ⎛⎫→ ⎪⎝⎭故'03p E ∈.若()(){}000,0,;11p y δδ=∈-≤≤ 则从[]01,1y ∈-知存在0x 使00sin x y =， 令()010,1,2,2k x k k x π=≠=+ .则()0001sinsin 2sin kk x x y x π=+==， 所以()3011,sin ,,sin 0,k k k k x E x y x x ⎛⎫⎛⎫∈→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()00,0,k x y y →()()00,0,k x y y ≠故'03p E ∈ 故结论成立.5.证明当E 是nR 中的不可数无穷点集时，'E 不可能是有限集. 证明：记B 为E 的孤立点集，则'E B E -= 所以()'E E B B E B =-⊂ .若能证明B 是至多可数集，则若'E 是有限集或可列集知'E B E ⊃ 为至多可数集，这将与E 是n R 中的不可数无穷点集矛盾.故只用证E 的孤立点集B 是至多可数集p B ∀∈，0p δ∃>使(){},p N p E p δ=故(),np p N p R δ⊂ 是B 到n R 中的一个互不相交的开球邻域组成的集的11-对应.而任一互不相交开球邻域作成的集合{},A αα∈Λ是可数的，因为任取α∈Λ，取有理点p A α∈，则从,A A αβαβ=∅≠ 则{},A αα∈Λ与Q 11-对应故{},A αα∈Λ是至多可数集. 证毕P351.证明点集F 为闭集的充要条件是F F =.证明：因为'F F F = ，若F 为闭集，则'F F ⊂所以'F F F F F F F =⊂=⊂ 故F F =反过来，若'F F F F =⊂ ，则必有'F F ⊂从而F 为闭集.2.设()f x 是(),-∞∞上的实值连续函数，证明对于任意常数a ，(){};x f x a >都是开集，(){};x f x a ≥都是闭集.证明：任取常数a ，若 (){}0;x x f x a ∈>，则()0f x a >，由于()f x 连续，0,0a x δ∃>， 使()(){}00,,;a x x N x x f x a δ∈⊂≥. 这表明(){};x f x a >是开集.任取常数a ，若{}(){};n x x f x a ∈≥，且0n x x →，则从()n f x a ≥和()f x 连续知()()0lim n n f x f x a →∞=≥故(){}0;x x f x a ∈≥这表明(){}(){}';;x f x a x f x a ≥⊂≥. 故(){};x f x a ≥是闭集.3.证明任何邻域(),N p δ都是开集，而且()(){}'',;,N p p p p δρδ=<（N 通常称为一闭邻域）证明：()0,p N p δ∀∈，则()00,p p ηρδ≤<()0,Q N p δη∀∈-，()()()00,,,Q p Q p p p ρρρηδηδ≤+<+-=故()()0,,N p N p δηδ-⊂. 故(),N p δ是开集得证.(){}(){}'''';,,;,n p p p p p p p p ρδρδ∀∈≤∈≤且 n p p → 则()(),0,,n n p p p p ρρδ→≤ () ()() (),,,,n n n p p p p p p p p ρρρρδ≤+≤+.令n →∞得(),0p p ρδ≤+. 故(){}(){}''''';,;,p p p p p p ρδρδ≤⊂≤.表明(){}'';,p p p ρδ≤是闭集.又(){}'';,p p p p ρδ∀∈≤ 令11k p x p k k ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 则() ()111,1,1,1k p x p p p p p k k k k ρρρδδ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-≤-< ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.()()1,,0k x p p p kρρ=→ 故() ,,k k x N p x p δ∈→这表明(){}()()''';,,,p p p N p N p ρδδδ≤⊂⊂而()(){}'',;,N p p p p δρδ⊂≤故()(){}(){}()'''',;,;,,N p p p p p p p N p δρδρδδ⊂≤=≤⊂这表明()(){}'',;,N p p p p δρδ=≤.4.设∆是一有限闭区间，()1,2,3,n F n = 都是∆的闭子集，证明如果1n n F ∞==∅ ，则必有正整数N ，使1Nn n F ==∅ .证明：令1nn i i S F == ，则显知11n n n n F S ∞∞=== ，且12n S S S ⊃⊃⊃⊃(),1i n F i n ∀≤≤为闭集，故n S 也为闭集.下证 N ∃，使1Nn N n F S ===∅ .反证，设,n n S ∀≠∅，则n n x S ∃∈⊂∆， 由于∆是有限闭区间，{}n x 是有界点列，若{},1,2,3,n x n = 为无限集合，则由聚点原理{}n x ∃的子列{}00,,k k n n x x x x →∈∆ 由于12n S S S ⊃⊃⊃⊃故任取,m N k ∈充分大时k k n n m x S S ∈⊂，又m S 为闭集，且0k n m x x S →∈ 由m 的任意性知，011m n m m x S F ∞∞==∈==∅ 得矛盾.若{},1,2,3,n x n = 为有限集合，则0n ∃，当()00max ,n n m ≥时，0n n m x x S S =∈⊂，故 011m n m m x S F ∞∞==∈==∅ 得矛盾.所以∃N ，使得1NN n n S F ===∅ .证毕.5.设,nE R μ⊂是一族完全覆盖E 的开邻域，则有μ中的(或有限)多个邻域12,,,m N N N ，它们也完全覆盖了E （ Lindelof 定理）证明：设{};,I αμα=∈ΛΛ为某指标集，则E I αα∈Λ⊂ .,x E ∀∈∃x α∈Λ，使得x x I α∈.由于I Λ是开集，0x δ∃>使(),x N x I δΛ⊂.由有理点在nR 的稠密性易知，存在有理点n x a Q ∈和有理数0x r >，使()(),,x x x x N a r N x I δΛ∈⊂⊂，而n R 中全体以有理点为心，有理数为半径的球作成集合与nQ Q ⨯的一个子集对等，故这些(){},;x x N a r x E ∈至多是一个可数集，从而相应的{};xIx E α∈也是至多可数集.而这些{};x I x E α∈显然为E 的一个开覆盖，因为(),x x x x Ex EE N a r I α∈∈⊂⊂因为每一个上述(),x x N a r 包含在某个I α中，故存在至多可数个i I M ∈，使{};i I i ∈Λ成为E 的一个开覆盖.6.证明nR 中任何开集G 可表成()1n ii G I ∞== 的形式，其中()()()(){}12;,,,,,1,2,3,,niii n j j j I p p x x x c x d j n ==<<=证明：（注意这里并为要求()n iI 互不相交）设G 为nR 中的任意开集，则0x G ∀∈，由开集的定义，∃一个球形邻域()()00,0x x N x G δδ⊂>，令()001200,,,;x n j x j I x x x x x x δδδ⎧⎫==<<+⎨⎩则显然()0000,x x x I N x G δ∈⊂⊂，且x x GG I G ∈⊂⊂ .故x x GG I ∈= ，x I 显然是开区间，也是开集，{},x I x G μ=∈为G 的一个开覆盖.由本节习题5，μ中的至多可数个123,,,,,n I I I I 完全覆盖了G 所以1i i G I G ∞=⊂⊂ .所以1i i G I ∞== ，i I 都是开区间.故本题结论得证.7.试根据Borel 有限覆盖定理证明Bolzano-Weierstrass 定理.证明：反证，设E 为有限无穷点集而无聚点，则'E =∅，从而'E E =∅⊂， 故E 为有界闭集，且任意p E ∈，都是E 的孤立点.故0p δ∃>使(){},p N p E p δ= ，所以(),p p EE N p δ∈⊂ .(){},pN p δ形成E 的一个开覆盖，由于E 为有界闭集，由Borel 有界覆盖定理，∃有限个()()11,,,,,m p m p N p N p δδ ，使()1,imi p i E N p δ=⊂()(){}111,,i i mmmi p i p i i i i E E N p E N p p δδ====== .前已知(){},i i p i N p E p δ= .故{}1mi i E p == 为一有限集合，这与E 为有界无穷集矛盾.8. 证明nR 中任意非空开集的基数都是c .证明：∀开集n U R ⊂，显从nU R ⊂知n U R c ≤=.又存在一个点()00,0,,p U N x U δδ∈∃>⊂，()0,N x c δ=， 故()0,U N x c δ≥≥. 所以Berrstein 定理知U c =. 证毕9. 证明对任意nE R ⊂，E 都是nR 中包含E 的最小闭集.证明：任取n E R ⊂，设F 是包含E 的人一闭集，则E F ⊂，''E F ⇒⊂所以''E E EF F F =⊂= ，因为F 为闭集 所以''E F F ⊂=，所以E 是nR 中包含E 的最小闭集.10. 对于1R 定义的实函数()f x ，令()()()''''00,lim sup lim inf x x x x W f x f x f x δδδδ++→→-<-<=-. 证明：对任意的(){}0,;,x W f x εε>≥都是闭集.进而证明()f x 的全体不连续点作成一F δ集.证明：首先 ，当δ单调下降趋于0时，()''sup x x f x δ-<也单调下降趋于某极限（有限或无限）而()''inf x x f x δ-<单调上升地趋于某极限.故()()()''''00,lim sup lim inf x x x x W f x f x f x δδδδ++→→-<-<=-是有确切定义的（可为无限值） 先证明：()f x 在0x x =连续()0,0W f x ⇔=.证：先设()0,0W f x =，则()00,0εδε∀>∃>使00δδ<<时()()''''sup inf x x x x f x f x δδε-<-<-< 所以y ∀满足0y x δ-<时()()()()''''0sup inf x x x x f y f x f x f x δδε-<-<-≤-< 故f 在0x 处连续.反过来，若()f x 在0x x =处连续，则()0000,,0x εδδε∀>∃=>，当00y x δδ-<<时，()()0f y f x εε-<-<又()000,x δδδε∀<=，''''''00,,,y y y x y x δδδδδδ∃-<-<且()()()()'''''''sup ,inf x x x x f x f y f y f x δδδδεε-<-<-≤≤+ 所以()()()()'''00sup x x f x f x f y f x δδεε-<--≤-<()()()()''''00inf x x f x f x f x f y δδεε-<--+≤-< 不等式相加得()()()()''''''''00sup inf 220lim sup lim inf 4x x x x x x x x f x f x f x f x δδδδδδεεε++-<-<→→-<-<--≤≤-≤即()00,4,0W f x εε≤≤<任意. 所以()0,0W f x =为证(){}0;,x W f x ε≥为闭集，只用证(){}0;,x W f x ε<为开集.(){}00;,x x W f x ε∀∈<必有()0,W f x ε<所以存在()00,0x δδε=>使()00,δδ∀∈时，()()()()000sup inf ,2N x N x f f W N x δδδεδ-<()02y N x δ∀∈，由三角不等式，则()()02N y N x δδ⊂.故()()()02,,W f N y W f N x δδε⎛⎫≤< ⎪⎝⎭所以()()02,lim ,W f y W f N y δδε+→⎛⎫=< ⎪⎝⎭这说明()(){}02;,N x x W f x δε⊂<故(){};,x W f x ε<是开集，从而(){};,x W f x ε≥是闭集. 由于()f x 在x 不连续的充要条件是(),0W f x ≥.所以使x 不连续的点集为表为()11;,k F x W f x k ∞=⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭. 由于()1,;,k x W f x k ⎧⎫∀≥⎨⎬⎩⎭是闭集，故F 为一F δ集. 同时我们看出，全体使f 连续的点集是()11;,ck F x W f x k ∞=⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭这是一个G δ集合.推广：（1）对1:n f R R →有一样的结论，只不过在定义(),W f x 时，'x x-理解为nR 中的距离()';x x ρ，其它完全一样，因为三角不等式对().,.ρ成立，（2）若f 是nR 中的开集，G 到1R 的函数，则同样可定义()(),W f x x G ∀∈，因为当(){}0,;,,x x G W f x εε∀>∈<为开集，(){};,x G W f x ε∈≥为闭集.f 的不连续点集为()11;,k x G W f x k ∞=⎧⎫∈≥⎨⎬⎩⎭而f 的不连续点集为()11;,k x W f x k ∞=⎧⎫<⎨⎬⎩⎭. 11. 于nE R ⊂及实数α，定义()(){}1212,,;,,,nnE x x x x x x E αααα=∈ .证明当E 为开集，00,p E αα≠∀∈，则∃0E X ∈，使00p α=XE 开集，0E X ∈，故0δ∃>，使()0,N E δX ⊂.则∀()0,y N αδ∈X ，则yy αα=而0001yy y αδααδαααααX -X --=-X <=.故()0,yN E δα∈X ⊂从而yy E ααα=∈这表明()0,N E αδαX ∈，故E α为开集. 若E 为闭集，0α=，则(){}0,0,0E α=为单点集.当然是闭集，若0α≠，则0,n n p E p p α∈→，则0,,,nn n n n n p p E p p αα=X X ∈=X →表明 0nn p p αα=X →，而E 为闭集，0n p αX →，故np E α∈，从而0p p E ααα=∈.这说明()'E E αα⊂.从而得知E α为闭集.12. 设()f p 是定义于nR 上的实函数，证明()f p 在nR 上连续的充要条件是对于1R 中任何开集G .()(){}1;f G p f p G -∈ 都是 1R 中的开集.证明：设1:n f R R →连续，G 为任一1R 中开集.()10p f G -∀∈，则()0f p G ∈，由G 为开集知，0δ∃>，使()()0,N f p G ε⊂对上述()00,,0p εδδε>∃=>，使当()0,y N p δ∈时()()0f y f p ε-<故()()()0,f y N f p G ε∈⊂ 即()1y fG -∈.这说明()()10,N p f G δ-⊂故()1fG -为开集.现设对1R 中任意开集，()1,G fG -为开集，0,ε∀>()()0,N f p ε是1R 中的开集.故()()()10,f N f p ε-是开集，而()()()100,p f N f p ε-∈.故()()()()00,,f N p N f p δε⊂所以()()()()00,,,y N p f y N f p δε∀∈∈.()()0f y f p ε-<这说明f 在0p 连续 证毕13.nR 上的实函数()f P 称为是下半连续的，若对任意nP R ∈，都有()()()()()0,lim inf lim inf Q PP Q f P f Q f Q δρδ→→<≤ ，证明()f P 下半连续等价于对任意的实数(){},;P f P αα≤都是n R 中的闭集，也等价于(){};P f P α≤是n R 中的开集.现若f 下半连续，1R α∀∈，若(){}0;P P f P α∈>.则()()()()000lim inf N P f P f Q δδα→<≤∀()00022f P αεε-<<，()0,0p δδε∃=>使()()()00inf N P f P f Q δαε<-< 所以()0,y N P δ∀∈，有()()()()00inf N P f P f Q f y δαε<-<≤. 所以()(){}0,;N P P f P δα⊂>.故(){};P f P α>为开集.（从而(){};P f P α>为闭集）f 在n R 上下半连续，0,0nP R ε⇔∀∈∀>，()0,0p δδε∃=>.当()0,P N P δ∈时，()()0f P f P ε-<-. 反过来，若(){}1,;R x f x αα∀∈>为开集.则()(){}000,0,;n P R P x f x f P εε∀∈∀>∈>-由于()(){}0;P f P f P ε>-是开集.所以()0,0P δε∃>使()()(){}00,;P N P P f P f P δε∈⊂>-()0,Q N P δ∀∈有()()0f P f P ε>-，即f 在nR 上下连续，故一个等价性得证. 而f 在nR 上下连续(){}1,;R P f P αα⇔∀∈≤是闭集(){};P f P α⇔>是开集.下证(){}1,;R P f P αα∀∈≤()(){},;,nP y P R f P y ⇔∈≤为闭集.先设(){};P f P α≤为闭集，α任意. 所以()()(){},,;;nn n nnP y P y P R f P y ∀∈∈≤，00,n nP P yy →→.所以0,,N ε∀>∃当n N ≥时0n y y ε≤+. 故(){}0;n P P f P y ε∈≤+，这是闭集. 而(){}00;n P P P f P y ε→⇔≤+ 所以()00f P y ε≤+，()0ε∀>故()00f P y ≤. 这表明()()(){}00,,;;nP y P y P R f P y ∈∈≤是闭集.若()(){},;;nP y P R f P y ∈≤是闭集，而(){}0;,nnP P f P P P α∈≤→则()()(){},,;;nn P P y P R f P y α→∈≤，()()0,,n P P αα→.因为()(){},;;nP y P R f P y ∈≤为闭集，故()()(){}0,,;;nP P y P R f P y α∈∈≤所以()0f P α≤.这说明(){}0;P P f P α∈≤ 故(){};P f P α≤为闭集. 得证.14. 设,A B 是nR 中的有界闭集，01λ<<，证明()(){}121;,,,n A B x x x x λλ+- 有()()1212,,,,,,,n n y y y A z z z B ∈∈ ，使()1,1,2,i i i x y z iλλ=+-= 为有界闭集.举例说明当,A B 无界时，()1A B λλ+-可以不是闭集. 证明：,A B 有界，故存在 M 使,x A B x M ∀∈=特别地 i x M ≤.()1x A B λλ∀∈+-，有()1x A B λλ∀∈+-使 ()1i i i x y z λλ=+-，故()1x y z λλ=+-.故()()()111x y z y z M M M λλλλλλ∈+-≤+-≤+-=. 所以01λ≤≤时，()1A B λλ+-也有界.为证()1A B λλ+-为闭集，设()1n x A B λλ∈+-，0n x x →， 则,n n y A z B ∃∈∈使()1n n n x y z λλ=+-.由,A B 有界，()1n x A B λλ∈+-，,n n y A z B ∈∈，由聚点原理，n y ∃的子列k n y 使0k n y y →，{}k n z 有子列{}k ln z 使0k ln z z →，{}k l n x 有子列{}k li n x使()0k lin x x i →→∞从()1k k k lililin n n x y z λλ=+-所以()0001x y z λλ=+-，而,A B 为闭集，故00,y A z B ∈∈.从而有()01x A B λλ=+- 这说明()1A B λλ+-是闭集.若,A B 不全是有界闭集时，()1A B λλ+-可不为闭集，在2R 上考虑()()(){}11,;,0,,,0;1,2,A x y y R x y x B n n ⎧⎫=∈∈∞=⎨⎬⎩⎭=-= B 是全由孤立点组成的集合，显然为闭集，但无界.任取(),n n x y A ∈，若()()100,,n n x y x y R →∈，则00,x y 为有限数，故从01n ny y x =→知00x ≠ 所以00010,x y x >=这说明()00,x y A ∈，故A 为闭集合，显然0x +→时，1y x=→∞，故A 无界. 但1122A B +都不是闭集. 取()1,0,,n B n A n ⎛⎫-∈∈ ⎪⎝⎭则()111111,0,0,22222n p n n A B n n ⎛⎫⎛⎫=-+=∈+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 显然()0,0n p →，但()110,022A B ∉+. 因为若()110,022A B ∈+，则()0001,0,,n B x A x ⎛⎫∃-∈∈ ⎪⎝⎭使()()0001110,0,,022x n x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭故00011,0x n x =≥=得矛盾 所以1122A B +不是闭集. P402. 证明区间[]0,1上的全体连续函数所作成的集合的基数是c ，同样[]0,1上的左连续的单调函数的全体所作成的集合的基数是c .证明：记[],a b 上的常数函数的集合为[],C a b ，因为[],a b 上的常数函数都是[],a b 上的连续函数，所以1R 与[],C a b 中的一个子集对等.所以[]10,1C R c ≥=，其次对每个[],C a b ϕ∈，我们取一个平面有理点集合2Q Q Q ⨯=中的一个子集对应，即作映射f 如下：()()[](){},;,,f s t Q Q s a b t s ϕϕ=∈⨯∈≤易知f 是从[],C a b 到2Q 的一个单设 若()()ff ϕψ=，则必有ϕψ=.事实上从()[](){}()[](){},;,,,;,,s t Q Q s a b t s s t Q Q s a b t s ϕψ∈⨯∈≤=∈⨯∈≤若ϕψ≠，则存在[]()()000,,x a b x x ϕψ∈≠. 不妨设()()00x x ϕψ<.则由,ϕψ连续和有理数的稠密性知，0δ∃>使()00,x x x δδ∀∈-+有()()x x ϕψ<. 特别，()00,r x x Q δδ∀∈-+ 有()()r r ϕψ<.取定一个()000,r x x Q δδ∈-+ ，任取一个t Q ∈，且()()00r t r ϕψ<< 则()()0,r t f ψ∈()()()200,r t Q t r ψ⇔∈≤且 但()()0,r t fϕ∉，这与()()f f ϕψ=矛盾.故ϕψ=于[],a b故[]2:,2Qf C a b 是单射而22,22Q N Q N .由习题第一章第二节有2Nc =知[]2,2Q C a b c ≤=，故由Berstein 定理知[],C a b c =.下证：[],a b 上全体单调函数所作成的集合的势是c .证明：[],a b ∀上的一个单调函数f 其间断点至多为可数个，记为()i a （i a 可为0）故可令()()i f a ϕ=从而建立了[],a b 上单调函数到全体实数序列的一个对应. 设[],a b 中全体有理数的集合为{}123,,,,n r r r r[],a b ∀上的单调函数，设其至多可列个间断点为{}()1,2,,n x n = f 或n=1,2,n对于这样一个()f x ，当=∞f n 时，令()()()()()()()()()111222,,,,,,,,,,n n n f f a f b x f x f r x f x f r x f x f r当<∞f n 时，令()()()()()()()()()111222,,,,,,,,,,f f fn n n f f a f b x f x f r x f x f r x f x f r若,f g 为[],a b 上两单调函数对应之f g =则f 与g 的间断点重合，在间断点的值也重合，在,a b 处的值也重合 下证[]()(),,x a b f x g x ∀∈=，从而上述对应是单射.由于()()()()()(),,n n f a g a f b g b f r g r ===且两函数的间断点重合，且在间断点的值相等，故两函数的连续点也重合，又注意两函数在有理点的值也重合， 故,f g ∀的共同连续点[]0,x a b ∈，必有[],a b 中的有理数0n r x → 故()()()()00lim lim n n n n f x f x g x g x →∞→∞===这说明f g =于[],a b .由此[],a b 上全体单调函数的集合的势≤（全体实数列的集合的势）c =另一方面，1c R ∀∈，另()f x c ≡于[],a b ，则f 是单调的，故[],a b 上全体单调函数的集合的势1R c ≥=由Berstein 定理知，可知[],a b 上全体单调函数的集合的势为c .当然[],a b 上全体左连续的单调函数的集合的势不大于[],a b 上全体单调函数所作成的集合的势.另一方面，1c R ∀∈，令()f x c ≡于[],a b 知，f 是连续的单调函数，故[],a b 上左连续的单调函数的集合的势不小于1R c =.从而由Berstein 定理知[],a b 上左连续的单调函数的集合的势为c .P42P25第四节习题1. 证明全体有理数所构成的集合不是G δ集，即不能表成可数多个开集的交. 证明：设1R 上全体有理数为{}123,,,,n r r r r Q =. 则一个{}n r 作为单点集是闭集，所以{}1i i Q r ∞== 是F δ集，但要证Q 不是G δ集，则不容易.这里用到：Baire 定理，设nE R ⊂是F δ集，即1k k E F ∞== .k F ()1,2,k = 是闭集，若每个k F 皆无内点，则E 也无内点（最后再证之）反证设{};1,2,i Q r i == 为G δ集，即1i i Q G ∞== ，（i G 为开集，1,2,i = ）1R 上的单调函数的全体所组成的集合的势为c =ℵ.证明：任取1R 上的单调函数f ，则其间断点至多可数个，设其无理数的间断点，为12,,,,m x x x （可为有限）设1R 中的有理数为{}12,,,,,n Q r r r f =∀∈令 ()()()()()()()()(){}21111,,,,,,,,i i i i f x f x r f r x f x r f r R ϕ=⊂ .则()f ϕ为2R 中可数集.若,f g ∈ ，使()()f g ϕϕ=，则()()(),i i x f x f ϕ∀∈存在 ()()(),j j x g x g ϕ∈使()()()(),,i i j jx f x x g x =所以 () (),ijijx xf xg x ==， 从而()(),i i i x Q f r g r ∀∈=.f ∀的无理数间断点i x ，i x 也是g 的无理数间断点，且()()i i g x f x =.反过来也是的，g ∀的无理间断点，i x 也是f ，的无理数间断点，且()()i i g x f x =. 故()()f g ϕϕ=表明f 与g 在有理点重合，无理间断点相同，且在无理间断点的值. 所以f g =于1R ，所以ϕ是11-的.利用下面结论：Claim ：任何其有连续势的集合的全体可数子集所构成的族的势为连续势. 知：c ≤ .另一方面()(){},0,1c c f x x c c ==+∈≤ 证毕.Lemma :设为,X Y 两集合，:X Y ϕ→是一个满射，则Y X ≤.即存在X 的一个子集,A A Y .证明：因为ϕ为满射，()(){}1,;,y Y y x x X x y ϕϕ-∀∈=∈=≠∅且,,y z Y y z ∈≠时必有()()11y z ϕϕ--=∅ .令(){}1;y y Y ϕ-Γ=∈，则由选择公理存在一个集合X ，它由Γ中每一个集合()1y ϕ-中恰取一个元素而形成，显 ,X X a X ⊂∀∈，存在唯一一个y Y ∈，使()1a y ϕ-∈.所以X 与Y 是对等的，故Y X ≤. 证毕.选择公理：若Γ是由互不相交的一些非空集合所形成的集合族，则存在集合X ，它由该族的每一个集合中恰取一个元素而形成.2. 证明[]0,1上全体无理数所作成的集合不是F δ集.证明：设[]0,1上全体无理数所作成的集合是 ，则[]0,1Q =- ，（Q 为1R 上全体有理数的集合）若 为F δ集，则存在闭集,1,2,i F i = 使1i i F ∞== .所以[]10,1cc i i Q F ∞===为G δ集.[][]{}{}110,10,1i k i k Q F r ∞∞==⎛⎫== ⎪⎝⎭，{}k r ，i F 为闭集，{}k r 无内点. 1i i F ∞== 显为内点.所以i F 无内点.这说明[]0,1无内点（Baire 定理）得矛盾. 证毕.3. 证明不可能有在[]0,1上定义的在有理点处都连续，在无理点处都不连续的实函数. 证明：若存在这样的[]0,1上的实函数，它在有理点都连续，在无理点都不连续.()f x 的全体不连续点的集合为[]0,1上的全体无理数为 ，由本章第二节习题10结论知为F δ集，这于本节习题2的结论： 不是F δ集矛盾.故不存在这样的[]0,1上的函数.4. 证明1R 中全体开集构成一基数为c 的集合，从而1R 中全体闭集也构成一基数为c 的集合.证明：对任意的1R 上开集合，由开集的构造定理，存在{}{}1,,,i i R αβαβ∞∞∈∞-∞使得()()()1,,,i i i G αββα∞∞∞==-∞+∞ .下面建立1R 上的开集到全体实数列集成的集合的一个映射I . 若1G R =，令()()0,0,,0,I G = .若1G R ≠，则()()()1,,,mi i i G αββα∞∞==-∞+∞ .令()()1122,,,,,,I G k k αβαβ∞∞= .这里k β∞∞=，若,0k β∞∞≠-∞=；若,k βα∞∞∞=-∞=；若,0k α∞∞≠+∞=；若α∞=+∞则这个映射I 是单射. 若112,G G R⊂()1212,GR G R ≠≠且()()12I G I G =.()()()()()()11''''21,,,,,,i i i i i i G G αββααββα∞∞∞=∞∞∞==-∞+∞=-∞+∞则'''',,,i i i i ααββααββ∞∞∞∞====. 故12G G =.又若()()0,0,0,I G = 则必有1G R =（否则()I G 至少有一个分量不等于零）.故I 是单射，所以1R 上全体开集所作成的集合的势c ≤. 令一方面，()1,,1a R a a ∀∈+是一开集，令11:IR R 上全体开集之集合， 则1c R ≤≤“1R 上全体开集之集的势”c ≤， 由Berstrein 定理，1R 上全体开集之集合的势为c . 证：记可数集(){}()()()(){}111,;,,,,,,mnmB x r x Q r QB x r B x r υ=∈∈= .显()(){}12:0,1,,,;01mm u a a aa ϕ∞→== 或()()()12,,,,,m B x r VU B x r a a a ⊂=()()()()1,0,m m m m cm B x r U a B x r U ⎧⊂⎪=⎨≠∅⎪⎩()()()()(),,,,n U V B x r U x r Q Q B x r V ϕϕ+=⇒⊂∈⨯⇔⊂所以U V =. ϕ为单射.所以{}(){}()0,1,;0,c B x r r R c υ∞+=≥≥∈=∞=. 由Berstein 定理c υ={}{}n c n F F R F F R c υ=⊂=⊂== 为闭集为闭集.故I 是单射，所以1R 上全体开集所作成的集合的势c ≤. 另一方面，()1,,1a R a a ∀∈+是一开集令11:IR R 上全体开集的集合 则1c R ≤≤“1R 上全体开集的集合的势”c ≤， 由Berstein 定理，1R 上全体开集的集合的势为c .P441.证明定理2：设E 是一点集，0,d U >是所有到E 的距离小于d 的点p 作成的点集，即(){};,U p p E d ρ=<，则U 是一开集，且U E ⊃.证明：p E ∀∈，显然(),0p E d ρ=<，故p U ⊂，从而U E ⊃. 下证U 为开集.p U ∀⊂，令(),d p E δρ=-，则0δ>，且()()(){},,,inf,;N P q E q y y E εδρρ∀∈=∈.取y E δ∈，使得()(),,2p y p E δδρρ<+.则()()()()(),,,,,22q E q y q p p y p E δδδδρρρρρ≤≤+<++()()(),,,p E d p E p E d δρρρ=+=-+=.故q U ∈，从而(),N P U δ⊂. 这就证明了U 为开集.2. 证明任何闭集都可表成可数多个开集的交.证明：设F 为任一闭集.,n N ∀由本节第一题知()1;,n U p d p F n ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭为开集， 且(),1,2,n F U n ⊂= ，从而有1n n F U ∞=⊂ .下证1n n F U ∞=⊂ ，这只用证1n n U F ∞=⊂ ，1n n p U ∞=∀∈ .反证设p F ∉则cp F ∈，故从F 为闭集知cF 为开集.故0δ∃>使(),c N P F δ⊂.从而有(),,q F d p q δ∀∈≥（否则(),d p q δ≥(),c q N P F δ⇒∈⊂c q F F ⇒∈=∅ 矛盾）这说明()(),inf ,q Fd p F d p q δ∈=≥.另一方面，1n n p U ∞=∈ 表明,n n p U ∀∈，从而有()1,p F nρ=. 令n →∞知(),0p F ρ=. 这与(),0d p F δ≥>矛盾. 所以p F ∈，从而1n n p U ∞=∈ 得证.3.举例说明定理1中的，,A B 都无界时，结论不成立. 解：令(){}(){}1,;0,,,0;xA x y x y eB x x R -=≥==∈.则B 显然是闭集。
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浅谈实变函数中的开集和闭集
【摘要】开集和闭集是实变函数中的两个重要概念，本文以开集和闭集的定义为基础，讨论开集和闭集的运算性质及两者间的对偶关系及性质的证明.
【关键词】开集；闭集；对偶性；证明
[Abstract] Open sets and closed sets are real variable function of two important concepts，this paper discusses the dual nature of the relationship between computing and open set and closed set between the two.
[Keyword] Open sets；closed sets；Duality；Proof
1.开集和闭集的概念
定义1 设E?Rn，如果E的每一点都是E的内点，则称E为开集.
注1 开集定义的内涵、基础是邻域、距离的概念，由邻域精确地刻画了“内点”。
注意在不同的空间看待同一个点，同样的半径，邻域范围不同。
如原点O的ε邻域u（O ，ε）：R上，开区间内（-ε，ε）R2上，开圆内x2+y2<ε 2 R3上，开球内x2+y2+z2<ε 2.
注2 由开集的内涵，直观上得开集中不含界点与孤立点.
注3 开集的定义与长度的度景直接相关，这是可测集的
测度由开集转换的内在因素之一.
定义2 设E?Rn，如果E的每一个聚点都属于E，则称E 为闭集.
注1 聚点包含内点与界点（不含孤立点），由定义直观上得出闭集包含了所有的内点与界点.
注2 由此任一集合，包含部分边界又不包含所有的边界，则它既不是开集，也不是闭集.
定理1 对任何E?Rn，是开集，和都是闭集
2.开集和闭集的性质
定理2 （开集与闭集的对偶性）设E是开集，则C是闭集；设E是闭集，则C是开集.
证明第一部分：设E是开集，而p0是C的任一聚点，那么，p0的任一邻域都有不属于E的点. 这样，p0就不可能是E的内点，从而不属于R（因R是开集），也就是p0∈C.
第二部分：设E是闭集，对任一p0∈C，假如p0不是C的内点，则p0的任一邻域至少有一个属于E的点，而且这点必异于p0（p0∈C）这样p0就是E的聚点，从而必属于E（因E是闭集），和假设矛盾.
定理3 任意多个开集之和仍是开集，有限多个开集之交仍是开集.
证明第一部分显然，现证第二部分.不妨就两个开集来
证明.
设G1，G2为开集，任取P0∈G1∩G2. 因P0∈Gi，i=1，2，故存在Ui （P0）?Gi，i=1，2.
由邻域性质（2），存在U3 （P0）?U1（P0）∩U2（P0）从而U3（P0）∈G1∩G2，可见P0是G1∩G2的内点，证毕.
定理4任意多个闭集之交仍是闭集，有限多个闭集之和仍是闭集.
定理5开集减闭集后的差仍是开集；闭集减开集后的差仍是闭集.
证明设G是开集，F是闭集，则CG是闭集，C是开集.
所以G-F=G∩C是开集，F-G=F∩C是闭集.
定理 6 每个闭集必是可数个开集的交集；每个开集可以表示成可数个闭集的和集.
证明设F是闭集，令，Gn是开集：
任意x0∈Gn ，d（x0，F）<，所以存在y0∈F，使d（x0，y0）=δ<
令ε=-δ>0 ，任意x∈U（x0，ε），d（x0，x）<ε
d（x，y0 ）≤d（x0，x）+d（x0，y0）<ε+δ=ε+-
ε=
于是d（x，F）=d（x，y）≤d（x，y0 ）< ，得x∈Gn 这样U（x0，ε）?Gn，故Gn是开集.
设x∈?Gn ，对任意n，x∈Gn，d（x，F）<. 令n→∞，得d（x，F）=0.由于F是闭集，必有x∈F，即?Gn?F又Gn?F，n=1，2，…，所以?Gn?F因而?Gn=F，F是可数个开集的交集.
若G是开集，则CG是闭集，所以有开集Gn，使
CGn=?Gn，
所以G=C（CG）=C（?Gn）=?CGn，而CGn是闭集，因而G是可数个闭集的和集.
参考文献：
[1]熊国敏，实变函数中的开集和闭集，安顺学院学报2004（2）
[2]魏国强，胡善文等，实变函数与泛函分析基础，高等教育出版社，2003年7月。