浅谈数学怪物——分形
分形几何
几何学的发展
(2) 推理几何：以实验几何之所得为基 础，改用演译法，以逻辑推理去探 索新知，并对已知的各种各样空间 的本质，精益求精地作系统化和深 刻的分析。在这方面，古希腊文明 获得了辉煌的成就，它也是全人类 理性文明中的重大篇章。（古希腊）
泰勒斯 (米利都的 ) (Thales of Miletus)}约公 元前 625 年生于伊奥尼亚的米利都﹐约公元 前 547年卒。自然哲学、数学、天文学。
新课程现代数学——《分形几何简介》
22 2017/10/20
欧几里德几何学的局限
传统的欧几里德几何学已经在改造自然、训练 思维、推进人类文明方面发挥了不可替代的作用。 但是，欧几里德几何所研究的图形限于 直线、 平面、圆形、球形、正方形、正方体乃至其它的 如二次曲线之类的空间规则图形。 当我们严格地去分析欧几里得几何与自然的关 系时，我们会发现，要想在自然界中找到真正的圆 形、球形、正方形、正方体等，几乎是不可能的， 欧几里德几何图形其实只是人类对大自然的理想化 产物。
如果用一维的长度尺度去测量它， 注意其第n步过后的生成元 En 由长 度为(1/3)n 的2n个区间段构成，其长 度为 2n(1/3)n ，因此，康托三分集的 长度为 1 l lim 2 0 3
n n n
怪物2
这说明，
康托三分集
康托三分集无法用欧几里得几何的整数 维尺度去度量。
笛卡儿 (Descartes, Ren‗e) ，1596 年 3 月 31 日生于法 国图赖讷 (Touraine)省拉艾 (La Haye)镇 (现名拉艾--笛 卡儿镇 )； 1650 年 2 月 11 日卒于瑞典斯德哥尔摩。 研究领域涉及科学方法 ﹑自然哲学﹑数学﹑物理学﹑ 生理学等。 新课程现代数学——《分形几何简介》 17
分形的概念和应用
起源：分形概念起源于1975年，由数学家Benoit Mandelbrot提出
概念：分形是指具有自相似性的几何形状，即无论放大或缩小，其形状保持不变
应用：分形在数学、物理学、生物学、经济学等领域都有广泛的应用
发展：分形概念的发展推动了许多学科的研究，如混沌理论、复杂系统等
生物学：分形理论在生物学பைடு நூலகம்的应用，如分形生物学、分形生态学等
计算机科学：分形理论在计算机科学中的应用，如分形图像处理、分形建模等
数学：分形理论在数学中的广泛应用，如分形几何、分形分析等
物理学：分形理论在物理学中的应用，如分形物理学、分形宇宙学等
分形渲染：利用分形算法进行3D渲染，提高渲染效率和效果
分形建模：利用分形原理进行3D建模，如分形城市、分形建筑等
平面设计：分形图案在平面设计中的应用，如海报、广告、包装等
艺术创作：分形图案在艺术创作中的应用，如绘画、雕塑、装置艺术等
汇率市场：分形理论可以用来预测汇率市场的波动和趋势
金融风险管理：分形理论可以用来评估和管理金融风险
股票市场：分形理论可以用来预测股票市场的波动和趋势
经济周期：分形理论可以用来解释经济周期的波动和规律
生成纹理：为3D模型添加分形纹理，增强视觉效果
生成动画：制作分形动画，如分形爆炸、分形生长等
生成自然景观：模拟山脉、河流、树木等自然景观
生成艺术作品：创作分形艺术作品，如分形图案、分形动画等
数学：分形理论在数学中的广泛应用，如分形几何、分形分析等
计算机科学：分形理论在计算机科学中的广泛应用，如分形算法、分形图像处理等
分形市场假说：描述金融市场的复杂性和不可预测性
分形时间序列分析：用于分析金融数据的时间序列特征
Ch.1 Euclid几何中的数学怪物与Fractal几何诞生
n=9
n = 27
r 的幂次实际上就是该几何体能得到定常数度量
的空间维数，于是有如下公式：
n⋅rD =1
空间维数 D 的表达式为：
ln n D=− ln r
对于英国西海岸而言， Mandelbrot确定其维数
D = 1.25 。
Mandelbrot在对这些数学怪物及许多物理和经济 现象进行研究后，终于创立了分形几何（Fractal Geometry）。Fractal这个词是Mandelbrot创造的，来 源于拉丁文Fractus，其英文意思是broken，1975年， Mandelbrot在巴黎出版了法文著作《Les obiects fractals: forme，basard et dimension》，1977年
1. von Koch（冯 · 科克）曲线 大数学家Weierstrass于1872年设计了如下函数：
W ( x) = ∑ a k cos(2πb k x)
k =0
∞
其中 0 < a < 1 < b，且 ab > 1 。
0
1
图1.1 W ( x)(a = 0.5, b = 3)
W Weierstrass证明了对某些 a 和 b 的值， (x) 无处 a 可微。1916年，Hardy证明了对满足上述条件的所有 a 可 W 和 b 的值， (x) 都是无处可微的。
1.2 Mandelbrot 和他的分形几何
诸如上述一些困惑数学家许多年的怪现象终于在 20世纪70年代被美国数学家B. Mandelbrot（曼德勃罗） 彻底解决。 以上我们始终在Euclid几何的整数维空间中讨论， 那么是否允许非整数维的几何存在呢？ 若对长度为1的线段 n 等分，每段线长为 r ，则
浅谈分形
浅谈分形曼德布罗（B. B. Mandelbrot）说过：“云不是球形的，山不是锥形的，海岸不是圆形的。
”在自然界中，许多物体的形状和现象是十分复杂的：纵横交错的江河流域，婉转悦耳的古琴音乐中的旋律，蜿蜒盘旋的山岳高峰，星际空间物质的分布，尘粉无规则运动的轨迹，人体复杂的血管分布，如此等等。
像如此不定型的东西，在欧式几何中是无法解释分析的。
因此“分形”应运而生。
说到分形（fractal），先来看看分形的定义。
分形这个词最早是分形的创始人曼德布罗提出来的，他给分形下的定义就是：分形是由一些与其整体以某种方式相似的部分所组成的形体。
很显然，在曼德布罗的分形定义中，含有“不规则”和“支离破碎”的意思。
但是迄今为止，分形还没有非常具体明确的科学定义。
1989年法尔科内提出类似但较为全面的定义:（i）分形集都具有任意小尺度下的比例细节，或者说它具有精细的结构。
（ii）分形集不能用传统的几何语言来描述，它既不是满足某些条件的点的轨迹，也不是某些简单方程的解集。
（iii）分形集具有某种自相似形式，可能是近似的自相似或者统计的自相似。
（iv）一般，分形集的“分形维数”，严格大于它相应的拓扑维数。
（v）在大多数令人感兴趣的情形下，分形集由非常简单的方法定义，可能以变换的迭代产生。
定义总是抽象的，下面先介绍几种理想的或典型的分形结构，以便对定义中的分形集,自相似性,分形维数,拓扑维数,迭代等有所了解,从而对分形有具体而形象的认识。
（1）康托尔集（Cantor set）。
假设一条为单位长度的线段，将其设为基本区间[0,1]，把它三等分，分点分别为1/3，2/3，去掉该线段中间的三分之一，这样留下的部分将是两段长度分别为三分之一的线段，总长度为2/3，用集合表示为[0,1/3] ∪[2/3,1]。
接下去我们再把这两条线段分别去掉中间的三分之一，这时留下的部分将是四条长度各为九分之一的线段，总长度为4/9,用集合表示为[0,1/9] ∪[2/9,1/3] ∪[2/3,7/9]∪[8/9,1]。
数学的分形几何
数学的分形几何分形几何是一门独特而迷人的数学领域，它研究的是自相似的结构和形态。
分形几何的概念由波蒂亚·曼德博（Benoit Mandelbrot）在1975年首次提出，之后得到了广泛应用和发展。
本文将介绍分形几何的基本概念和应用领域，旨在帮助读者更好地了解这一令人着迷的学科。
一、分形几何的基本概念分形（fractal）是一种非几何形状，具有自相似的特点。
简单来说，分形就是在各个尺度上都具有相似性的图形。
与传统的几何图形相比，分形图形更加复杂、细致，其形状常常无法用传统的几何方法进行描述。
分形几何的基本概念包括分形维度、分形特征和分形生成等。
1. 分形维度分形维度是分形几何中的重要概念之一。
传统的几何图形维度一般为整数，如直线的维度为1，平面的维度为2，而分形图形的维度可以是非整数。
分形维度能够描述分形的复杂程度和空间占据情况，是衡量分形图形特性的重要指标。
2. 分形特征分形几何的分形特征是指分形图形所具有的一些独特性质。
其中最著名的就是自相似性，即分形图形在不同尺度上具有相似的形态和结构。
此外，分形图形还具有无限的细节，无论放大多少倍都能够找到相似的结构。
3. 分形生成分形图形的生成是分形几何中的关键问题之一。
分形图形可以通过递归、迭代等方式进行生成，比如著名的分形集合——曼德博集合就是通过迭代运算得到的。
分形生成的过程常常需要计算机的辅助，对于不同的分形形状，生成算法也有所不同。
二、分形几何的应用领域分形几何的独特性质使其在许多领域中得到广泛应用。
以下列举了几个典型的应用领域。
1. 自然科学分形几何在自然科学中有着广泛的应用。
例如，分形理论可以用来研究自然界中的地形、云雾形态等。
通过分形几何的方法，我们能够更好地理解和描述自然界的复杂性，揭示出隐藏在表面之下的规律。
2. 经济金融分形几何在经济金融领域也有着重要的应用。
金融市场的价格走势往往具有分形特征，通过分形几何的方法可以更好地预测未来的市场走势和波动。
分形
在 Sierpinski 三角形中，我们首先作一个完全 填充的三角形（二维）。然后，我们从中间移去一 个三角形，然后再在剩下的三角形中分别移去一个 三角形。最终它的面积等于零了，于是，它的维数 自然小于 2 ，但是却永远达不到 1 ，因为，无论何 处，它都不接近一条线。所以，它的维数也在 2与 1 之间，经过数学计算，它的真正维数大约是 1.5850 。
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Koch 雪 花 和 Sierpinski 三 角 形 也 是 比较典型的分形图形，它们都具有严格的 自相似特性。但是在前面说述的 Mandelbrot集合却并不严格自相似。所以， 用“具有自相似”特性来定义分形已经有 许多局限了。
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我们把具有某种方式的自相似性的图形 或集合称为分形。自相似性就是局部与整体相 似，局部中又有相似的局部，每一小局部中包 含的细节并不比整体所包含的少，不断重复的 无穷嵌套，形成了奇妙的分形图案，它不但包 括严格的几何相似性，而且包括通过大量的统 计而呈现出的自相似性。
分 形
Fractal
1
作为一门新兴学科，分形不但受 到了科研人员的青睐，而且因为 其广泛的应用价值，正受到各行 各业人士的关注。那么，在我们 开始学习分形之前，首先应该明 白的一件事情是：什么是分形？
2
严格地而且正式地去定义分形是一件非常复 杂而且困难的事情。但是，有一些不太正规的定 义却可以帮助我们理解分形的含义。在这些定义 中，最为流行的一个定义是： 分形是一种具有自相似特性的现象、图像或 者物理过程。 也就是说，在分形中，每一组成部分都在特 征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已。
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分形的历史发展
• 分形的研究可以上溯到很久以前。大约100年前分形的 思想已经开始出现在数学领域。但是，就像其它的一些革命 性的思想一样，分形的研究受到了主流学术的谴责，被人们 认为只是研究一些数学中的怪异现象。那个时候著名的数学 家 Charles Hermite 把分形称为“怪物”，这代表了绝大 多数人的观点。 IBM公司的数学家 Benoit B. Mandelbrot 认真地研究 了分形与自然的关系。他向人们展示了分形广泛地存在于我 们身边，一些现象都能够用分形来进行准确的描述。他和他 的同事们用分形来描述树和山等复杂事物。他还扩展了维数 的概念，开创性地提出了分数维的概念，并创造了“fractal” 一词。“ fractal”就是我们所说的“分形”，也叫“分维”， 台湾的学者则称之为“碎形”。为了褒奖 Mandelbrot 的突 15 出贡献，人们把他称为“分形之父”。
学习分形形了解分形形的特点和构造方法
学习分形形了解分形形的特点和构造方法学习分形：了解分形的特点和构造方法分形（fractal）一词由波兰数学家曼德尔布罗特（Benoit Mandelbrot）于1975年引入，用于描述一类自相似的几何图形或物体。
分形具有许多独特的特点，如无穷细节、复杂性、自相似性等。
本文将介绍分形的特点和构造方法。
一、分形的特点1. 无穷细节：分形具有无穷多的细节和复杂性，无论放大或缩小图像，都能够发现新的细节。
这使得分形在数学、自然科学和艺术等领域具有广泛应用。
2. 自相似性：分形是自相似的，即整体的结构与其局部结构相似。
无论是整体还是局部的形状都能够在较小或较大的尺度上找到相似的结构。
这种自相似性是分形的重要特征。
3. 复杂性：分形的复杂性指的是其结构和形态的复杂程度。
相比于传统的几何图形，分形形状更为复杂，无法用简单的几何形状或方程式描述。
4. 维度非整：分形的维度通常是非整数维的，例如，柯赛雪垫（Koch曲线）的维度介于1和2之间。
这种非整数维度是分形与传统几何学的重要区别之一。
5. 噪声与规则性：分形能够通过噪声与规则性的结合来表现出不规则的形态。
分形结构的噪声性质使得其在模拟自然界中的山脉、云朵等不规则物体时非常逼真。
二、分形的构造方法1. 迭代函数系统（IFS）：迭代函数系统是构造分形图形的一种常用方法。
它通过对函数的重复应用来生成自相似结构。
柯赛雪垫和谢尔宾斯基地毯（Sierpinski carpet）都是通过迭代函数系统构造的。
2. 分形树：分形树是用于模拟植物的分枝结构的一种方法。
通过对树干进行重复分支并在每个分支的末端再次生成分支，可以构造出栩栩如生的分形树形结构。
3. 噪声函数：噪声函数是基于随机数生成的分形图形构造方法之一。
通过使用不同频率和振幅的噪声函数叠加，可以产生具有细节丰富的分形图像。
4. 分形几何的数学公式：柯赛雪垫、曼德尔布罗特集合等分形图形可以使用数学公式进行描述和生成。
数学中的分形
理解分形摘要：分形（Fractal）理论，主要研究和揭示复杂的自然现象和社会现象中所隐藏的规律性、层次性和标度不变性，为通过部分认识整体、从有限中认识无限提供了一种新的工具。
分形理论，是在“分形”概念的基础上升华和发展起来的。
分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的。
分形的类型有自然分形、时间分形、社会分形、经济分形、思维分形等。
分形理论，被广泛地应用于自然科学和社会科学的各个领域，从而形成了许多新的学科生长点。
关键词：分形；自相似；分数维；Koch曲线引言1967年在国际权威的美国《科学》杂志上发表了一篇划进代的的论文《英国的海岸线有多长？统计自相似性与分数维数》，文章作者曼德布罗（Beonit Mandelbrot）是一位当代美籍法国数学家和计算机专家，他的答案颇为出人意料：他认为，无论你做得多么认真细致，你都不可能得到准确答案，因为根本就不会有准确的答案[1]。
正文关于“海岸线有多长”的问题，好像很简单，因为长度依赖于测量单位，以1km为单位测量海岸线，得到的近似长度将短于1km的迂回曲折都忽略掉了，若以1m为单位测量，则能测出被忽略掉的迂回曲折，长度将变大，测量单位进一步变小，测得的长度将愈来愈大，这些愈来愈大的长度将趋近于一个确定值，这个极限值就是海岸线的长度。
答案似乎解决了，但Mandelbrot发现：当测量单位变小时，所得的长度是无限增大的。
他认为海岸线的长度是不确定的，或者说，在一定意义上海岸线是无限长的。
为什么？答案也许在于海岸线的极不规则和极不光滑。
我们知道，经典几何研究规则图形，平面解析几何研究一次和二次曲线，微分几何研究光滑的曲线和曲面，传统上将自然界大量存在的不规则形体规则化再进行处理，我们将海岸线折线化，得出一个有意义的长度。
但是曼德布罗突破了这一点。
海岸线长度问题，曼德尔布罗特最初是在英国数学家理查逊（Lewis Fry Richardson）的遗稿中一篇鲜为人知的晦涩的论文中遇到的。
数学欣赏—分形
分形几何学
被誉为大自然的几何学的分形（Fractal） 被誉为大自然的几何学的分形（Fractal） 理论， 是现代数学的一个新分支， 理论 ， 是现代数学的一个新分支 ， 其本质是 一种新的世界观和方法论。 它承认， 一种新的世界观和方法论 。 它承认 ， 在一定 条件下、 一定过程中、 在某一方面（ 形态， 条件下 、 一定过程中 、 在某一方面 （ 形态 ， 结构， 信息， 功能， 时间， 能量等） 结构 ， 信息 ， 功能 ， 时间 ， 能量等 ） ， 世界 的局部可能表现出与整体的相似性；它承认， 的局部可能表现出与整体的相似性；它承认 ， 空间维数的变化既可以是离散的， 空间维数的变化既可以是离散的 ， 也可以是 连续的…… 连续的……
分形的特征
分形的特征，归纳起来有以下几点：
无限精细的结构 不能用传统的几何语言描述
自相似性
分数维数 可以由简单的方式生成
火百合
荷叶
食人花
黑蒲公英
星 系
云
团
闪电
山
峰
植物
分形的定义 分形的定义
曼德尔布罗特对分形的定义：
A fractal is a shape made of parts similar to the whole in some way 分形是其组成部分以某种方式与 整体相似的图形
分形的特征
分形作为一种全新的概念，使许多人 在第一次见到分形图形时都有新的感受， 不管你是从科学的观点看还是从美学的观 点看。 分形图可以体现出许多传统美学的标 准，如平衡、和谐、对称等等，但更多的 是超越这些标准的新的表现。
当我们严格地去分析欧几里得几何与自然的关系时我们会发现要想在自然界中找到真正的圆形球形正方形正方体等几乎是不可能的欧几里德几何图形其实只是人类对大自然的理想化产物欧几里德几何图形其实只是人类对大自然的理想化产物
数学中的分形理论及其应用
数学中的分形理论及其应用分形，指的是一种形状或图案，在各种尺度下的细节都具备相似性的特征。
这种特征常常出现在自然界的许多地方，例如云朵、山脉、海岸线、植物等等。
虽然分形已经被许多人所熟知，但这种形式却是由数学家们的发明而来的。
分形一词由法国数学家Benoit Mandelbrot于1975年创建，并在1982年进一步推广。
他将自相似性描述为“特别的几何对称性”。
在数学中，分形理论指的是一些拥有自相似性并且可以无限重复的集合。
这种集合的几何形状经常会出现在自然界和科学领域的各种构造中。
分形理论在数学和物理学、化学、地质学等学科领域都有广泛的应用。
广义上说，分形是高度复杂的形式，无法用欧几里得几何学或其它古典数学框架描述。
因此，分形理论采用自相似性的思想以及强大的计算机算法，帮助人们研究这些神奇的模式。
分形模式包含了一些非常基本的观念，其中最重要的是定型自相似性。
换句话说，这种形式在不同的尺度上，都具备相同的形状和结构。
对于一个分形集合，我们可以把它分成无限小的独立部分，每一个部分都和整个集合相似。
分形集合的经典例子是康托集（Cantor set），这是一个包含在实数轴上的完全不连续的集合。
康托集的建立与开放映射定理密切相关，这是一个重要的数学原理。
当计算机被广泛应用时，分形理论得到了更为广泛的应用。
它可以用于绘制自然形态的图像如云朵、山脉、海岸线，也可以应用到计算机图形学的设计和图形特效中。
分形噪声也非常有价值而且普遍使用，它形成了许多逼真的自然现象的背景（例如云层）。
此外，分形可以用于投资风险评估、混沌理论和微量降噪等方面，它们在现代科学和技术中扮演着重要的角色。
分形模式、几何用途和物理学中的双馈环路系统都是分形理论的研究对象。
分形模式研究可以帮助我们理解生物学、社会学、经济学等学科中的自相似性问题；几何应用可以帮助我们研究高维空间的结构；而物理学中双馈环路系统的研究则可以帮助我们探索其在不同尺度下的可视性。
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浅谈数学怪物——分形1 分形理论的产生分形（Fractal）理论是当今世界的新理论、新学科，其概念是美籍数学家曼德布罗特首先提出的.大自然中物体和现象的几何形状普遍具有复杂的不规则性, 传统的欧氏几何学在描述这样的自然现象时显得苍白无力,分形学的产生就是被用来描述这些不规则的欧氏几何无法描述的几何现象和物体的,它的产生使自然景物的描绘成为可能,这也是分形几何得到高度重视的原因之一.在分形理论真正发展起来的这十几年来,其研究倍受重视,分形的理论意义及实用价值深深吸引着人们寻求新规律、新特征存在的可能性.2 分形理论的发展分形理论的发展可以分为三个阶段[1](P114-115)：第一个阶段是从1827年到1925年,在此期间,数学家们构造并且研究了很多奇遇或病态的集合及其图象,还试图对这类集合与经典集合的差别进行了详细分析.1827年,维尔斯特拉斯证明的一种在任意一点都不具有有限或无限的导数的连续函数曾引起了极大的震动,虽然人们认为此函数是极为“病态”的，但人们还是从不同方面推广了它,并且还对这类函数的奇异性质作了深入的研究.1904年，瑞典的数学家科赫通过初等方法构造出了如今称之为科赫曲线的处处不可微的连续曲线,并且还对该曲线的性质加于研究,该曲线改变了连续不可微曲线的构造一定非常复杂的看法,这是第一个认为构造的具有局部与整体相似结构的曲线.1883年,德国数学家康托尔构造了一类不连通的紧集s,s被称为康托尔三分集.在当时,它被认为在传统的研究中是可以忽略的,但现在它在非线性研究中却占有重要的意义.1890年,意大利数学家皮亚诺构造了能够通过某个正方形内所有点的曲线,这种奇怪的曲线曾使人们对以往的长度与面积等概念重新进行认识,并使数学界大吃一惊.在此基础上，1901年,闵可夫斯基引入了闵可夫斯基容度,1919年,豪斯道夫引入了豪斯道夫测度和豪斯道夫维数.总之,在此阶段,人们已经提出了典型的“分形”对象和相关问题,并为研究此类问题提供了最基本的数学工具.第二阶段大致是从1926年到1975年,在此阶段,人们对分形的性质作了深入研究,特别是对维数理论的研究已获得了丰富的成果.这一阶段对第一阶段的思想进行了系统、深入的研究,不仅逐渐使其形成了理论,而且将研究范围扩大到了数学的许多分支之中.庞特里亚金、贝塞克维奇等研究的曲线的维数,分形集的局部性质,分形集的结构以及其在数论、调和分析、几何测度论中的应用,这些都极大地丰富了分形几何理论.列维在这一阶段的工作极为重要,首先,他第一个系统地研究了自相似集,现在研究的许多自相似性都可以追溯到他的工作中;其次,他建立了分数布朗运动的理论,成为随机分形理论系统研究的重要先驱者之一.在这一阶段,绝大部分从事这一领域工作的人还局限于纯的数学理论的研究,而未与其他学科发生联系.在物理、地质、天文学和工程学等学科已产生了大量与分形有关的问题的形势下,这就迫切需要新的思想与有力的工具来处理.曼德布罗特以独特的思想, 研究了海岸线的结构、具有强噪音干扰的电子通讯、月球的表面、地貌几何性质等典型的自然界的分形现象,并取得了一系列令人瞩目的结果.第三阶段是从1976 年至今,这是使分形在各个领域的应用取得全面发展,并使之形成独立学科的阶段.3 分形的特征及有关概念3.1分形的特征通常人们认为分形具有以下几个特征[1](P116):具有精细的结构,也就是说在任意小的尺度下,它总是有复杂的结构;具有不规则性,它的整体与局部不能用传统的几何语言来描述;具有自相似形式,这种自相似可以是近似的或统计意义的;一般地,分形图形在某种意义下的维数大于它的拓扑维数;在大多数情况下,分形图形可以用非常简单的方法产生.3.2有关概念概念一 分形曼德勃罗最先提出的分形[2]（Fractal ）具有不规则、支离破碎等意义.他曾经为分形下过两个定义[1](P116)：（1）满足下式条件()()A A Dim dim > 的集合A ,称为分形集.其中,()A Dim 为集合A 的Hausdoff 维数（或分维数）,()A dim 为其拓扑维数.一般说来,()A Dim 不是整数,而是分数.（2）部分与整体以某种形式相似的形,称为分形.然而,经过理论和应用的检验,人们发现这两个定义很难包括分形如此丰富的内容.实际上,对于什么是分形，到目前为止还不能给出一个确切的定义.但是自然界中有很多分形的例子,例如:羊齿植物、菜花以及许多其他植物,它们的每一分支和嫩枝都与其整体非常相似.大自然中的山、树、云、海岸线也都可以看成是分形.下面给出大家两个分形图形:左图是一棵厥类植物，仔细观察，我们就会发现,它的每一个枝杈都在外形上和整体相同，仅仅是在尺寸上小了一些,而枝杈的枝杈也和整体相同,只是变得更加小了一些.右图是数学家们构造的Kohn （克赫）曲线.概念二 维数为什么说分形是数学中的怪物呢?这是由于它的维数不是人们通常用的整数而是分数.长期以来在欧氏空间中,人们习惯于将点定义为零维,直线定义为一维,平面定义为二维,空间定义为三维,爱因斯坦在相对论中引入时间维,就形成四维时空.但通常人们习惯于整数的维数.分形理论把维数视为分数为了定量地描述客观事物的“非规则”程度.1919年,数学家从测度的角度引入了维数概念,将维数从整数扩大到分数,从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限.分形维数,作为分形的定量表征和基本参数,是描述分形的重要参数,能够反映分形的基本特征,但由于侧重面不同,有多种定义和计算方法.常见的有以下几种[3](P44-46):相似维数s D 我们画一个边长都是1的线段、正方形和立方体.将它们的边长二等分,此时,原图的线段长均缩小为原来的12,而将原图等分为若干个相似的图形.其线段、正方形、立方体分别被等分为12、22和32个相似的子图形,其中的指数321、、,正好等于与图形相应的经验维数.一般说来,如果某图形是由把原图缩小为1a的相似的b 个图形所组成,有:b a s D =,a b D s ln ln =的关系成立,则指数s D 称为相似性维数,s D 可以是整数,也可以是分数.容量维数c D 容量维数是利用相同大小形状的小球或立方体包覆几何对象而定义的维数,由著名苏联数学家科尔莫哥诺夫提出的.设一几何对象s ,若用直径为ε的小球为标准去覆盖s ,所需的小球的最小数量为()εN ,则s 的容量维数为:)1ln()(ln lim 0εεεN D c →=. 豪斯道夫 (Hausdorff)维数H D 设一个整体s 划分为N 个大小和形态完全相同的小图形,每一个小图形的线度是原图形的r 倍,则豪斯道夫维数为:()⎪⎭⎫ ⎝⎛=→r r N D r H 1ln ln lim 0. 计盒维数b D 将用边长为21 的封闭正方盒子覆盖s ,若s 中包含的小方盒数量()n M ,则计盒维数为: ()2ln ln lim n n M D n b ∞→= . 除上述定义的几种分形维数外,还有信息维数、谱维数、模糊维数、拓扑维数、广义维数、微分维数、分配维数、质量维数、填充维数等.4 分形理论的应用分形的应用很广,在各个方面都有其应用,如在数学、物理学、化学、生物科学、地质科学等各个领域都已得到了极为广泛的应用.4.1 在数学中的应用例1[4](P9) 计算Koch 曲线的相似维数：则分别有：1 3ln 4ln =s D 2 232ln 2ln 4ln 8ln 23===s D 3 6ln 18ln =s D 4 4ln 7ln =s D 例2 计算Koch 曲线的容量维数：根据Koch 曲线的构造过程,如右图:第一次线段长度311=ε,只要四段即可覆盖住点集,所以()41=εN ,第二次线段长度912=ε,用十六段才可覆盖住点集,第n 次,n n 31=ε,()n n N 4=ε,因此3ln 4ln 3ln 4ln lim 3ln 4ln lim ===∞→∞→n n D n n n n c . 例3 Cantor 集[4](P2),如右图:取单位长线段[]1,0,三等分然后舍弃中间一段⎪⎭⎫ ⎝⎛32,31,再将剩下两段⎥⎦⎤⎢⎣⎡31,0,⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,32分别三等分并舍弃中间的⎪⎭⎫ ⎝⎛92,91和⎪⎭⎫ ⎝⎛98,97两段,在剩下的四段⎥⎦⎤⎢⎣⎡91,0,⎥⎦⎤⎢⎣⎡31,92,⎥⎦⎤⎢⎣⎡97,32,⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,98中用同样的办法,每一段都三等分去掉中间一段,如此继续下去直到无穷,最后所得到的点集就称为Cantor 三分集,或简称Cantor 集.在实变函数中介绍它的Hausdorff 维数是3ln 2ln =H D .现在我们来计算一下它的容量维数:根据构造过程,第一次线段长度311=ε,只要两段即可覆盖住点集,所以()21=εN ,第二次线长度2231=ε,用四段可覆盖住点集,第n 次,n n 31=ε,()n n N 2=ε,因此 3ln 2ln 3ln 2ln lim 3ln 2ln lim ===∞→∞→n n D n n n n c . 由它的构造过程我们还可以把它每一步的相似维数求出来,第一步是把原图缩小为31的相似的2个图形,所以3ln 2ln =s D ,…,第n 步是把原图缩小为n 31的相似的n 2个图形,所以 3ln 2ln 3ln 2ln 3ln 2ln ===n n D n n s . 经计算每步的相似维数得出它们都相等并且都是3ln 2ln . 猜想:相似维数用于按一定规律进行有限次的改变而形成的分形中,而容量维数则是用于按一定规律进行无限可列次的改变而形成的分形中,它通常以极限的形式出现.如对同一个图按同一个规律改变,那么每次改变后所得到的分形图形的相似维数与无限可列次的改变后所得到的分形图形的容量维数是相等的.分形将作为一门课程进入高中.其实不知不觉分形几何已进入了我们的考试中:例4[5](P44) 在2002年全国高中数学联赛试题中就有这样一道题：如下图:有一列曲线0P ,1P ,2P ,…,已知0P 所围成的图形是面积为1的等边三角形,(1)k P +是对k P 进行如下操作得到:将k P 的每条边三等分,以每边中间部分的线段为边,向外作等边三角形,再将中间部分的线段去掉()Λ,3,2,1=k .记 n S 为曲线n P 所围成图形的面积.(1)求数列{}n S 的通项公式;(2) 求 n n S ∞→lim .这是一道以分形几何为背景的试题,主要考查的是与数列相关的基础知识,同时考查阅读理解能力,立意新,落点实,体现了研究性学习的深入和数形结合思想的应用.随着考试改革的深化,在试题设计上,更加注重能力立意,强调对学生思维品质、创新能力和学习潜能的考查.而以分形几何为背景的试题,新颖鲜活而有创意,富有时代气息,恰好体现了这方面的要求,因此备受青睐,使“怪物”焕发出亮丽的风采.同时,也让学生感受到分形几何无穷的美学魅力,激发学生对这门新兴学科的学习兴趣.4.2 在物理学中的应用分形学的问世给物理学的研究注入了新的活力,因而分形在物理学中得到了广泛的应用,其中比较成功的应用包括以下方面.在分形凝聚[6](P81-82)方面,人们提出的具有多重分形的受限扩散凝聚(DLA)模型和动力学集团凝聚(KCA)模型;在固体物理方面,用于准晶态的扩散,薄膜的研究,如在气相物理沉淀、非晶态薄膜的晶化、溶液膜中的晶体生长、液体界面上的电解沉淀、气态电解质膜中的电击穿等过程中都可出现分形图样;分形理论已用于纳米半导体薄膜、超导薄膜、各种薄膜生长和超薄金属膜生长的研究之中.用于湍流的研究,分子光谱(分子线谱和分子能量状态具有分形结构),电磁散射(由于粗糙分形表面引起的),材料断裂表面和边界、以及碎块的大小和频度具有分形规律,材料力学行为和材料弹塑性断裂研究;在粒子物理中的应用,高能粒子碰撞中的阵发现象具有分形结构,分形理论用于解释碰撞的机制,为粒子物理打开一个新的领域;在流体粘性指进现象中的应用,粘性指进是指两种具有不同粘性的流体相遇时,在其界面形成的具有分形结构的奇特形状,该形状与受限扩散凝聚(DLA)模型相似;在放电式样研究中的应用、相变分析.超微粒及其聚集体,及其在粒径、熔化、磁性、电导及生长过程中均具有分形特征.有人对超导现象研究后发现,材料微观结构的分形维数与其超导电性密切相关.分形学也用于布朗运动分析、非晶态半导体的研究、引力波的研究、电子在固体中的散射、多孔介质中的声传播、激光全息防伪等领域.4.3 在化学中的应用[7](P207)分形理论在化学中也有很广泛的应用,如:在多相催化体系中的应用,催化剂颗粒是一个分形体,不仅疏松的衬底和分布在其上作为催化物质的颗粒表面可以用分维表征,而且起主要催化作用的颗粒的亚微观结构也具有分形特征.研究表明,在分形介质中进行分散和反应都与表面分维数有关.此外,分形理论还在生物催化方面有应用.在宏观化学动力学方面,远离平衡态的化学过程往往产生具有分数维的表面结构.在颜料表面改性方面的应用,颜料粒子的表面形貌是一个影响颜料性能的很重要的因素,研究结果表明,表面分形维数、粒子表面形貌与颜料某些性能之间确实存在很好的对应关系.目前,分数维方法在化学中各个领域的应用也正在开展之中.例如:沉积物的形成、表面吸附、高分子溶液、晶体结构以及高分子凝胶等方面.此外,薄膜分形、断裂表面分形以及超微粒聚集体分形等领域的研究已日趋活跃,在准晶和非晶态固体的描述、气固反应模型等也有应用.4.4 在生物医药中的应用[8](P423-428)分形学在药学领域的应用以药剂学最吸引人.如用分形维数表征粉粒状药物、多孔固体制剂、混悬剂和乳剂、气溶胶、微乳剂等结果,可更好地研究药剂表面结构与药物性能的关系.在生物药剂学和药物动力学也有许多潜在用途,如用分形表示药物溶出动力学曲线、分形反应维数在药物膜通透速率中的应用、吸附剂表面吸附程度以及血药水平和尿排泄曲线等.在生理学方面,各种组织和器官在微观结构上是分形的,同样组织中发生的功能性事件也具有非线性动力学特征.分形和非线性动力学的概念提供了一种描述由于疾病或药物毒性导致的功能失调以及药理学中常遇到的许多现象的灵敏方法.如药物 - 受体相互作用、细胞膜表面的分形维数及离子通道动力学模型、跨膜转运、神经系统和功能、生物反应器.另外,分形在地质科学、社会科学、人文科学以及艺术等各个领域也都有应用.分形学是一门很年轻的科学,正处在不断发展之中.其应用研究已涉及几乎所有学科领域,我们必须以科学的态度对待这一新兴学科.分形几何的创立为描述存在的不规则图形和现象提供了思想方法,为解决传统科学中的难题提出了新的思路,已成为当代科学最有影响的基本概念之一,其深远的理论意义和巨大的实用价值在众多学科领域日益凸显.。