浅谈学习实变函数的感受
实变函数,心得
实变函数,心得实变函数（函数变分学）是数学中一个重要的分支，是从纯函数发展而来的一个学科。
它也称为：微分函数、微分几何、拉格朗日力学等。
它的发展主要是中世纪的几何学家本尼阿斯·拉格朗日（1736 - 1813）对几何学的透视和质数的理解所作出的贡献。
拉格朗日的发现让几何学从一个图像的形式，变成了以力学的方式形成的解决方案，特别是以微分方程的形式来表达几何学的概念。
这种方式被发现能够表达纯函数在数据空间中的行为。
研究变分模型可以使我们深入了解如何通过修改对象来适应环境，以及如何使用基于经验的学习的机制来充分发挥环境提供的重要信息。
实变函数的应用范围是极其广泛的，它既可以用于奇异解的求解，也可以用于研究大规模数值解决方案。
实变函数也可以用于数据表征，可以被用来求解多元函数图像，通过数值最优化和程序设计等众多方面提供了重要的参考依据。
实变函数实际上就是一个新兴的领域，是在机器学习领域最前沿的研究学科。
它也可以说是把计算机科学和数学结合在一起的一种强大的连接。
自本尼阿斯·拉格朗日发现实变函数以来，数学，特别是几何学和力学，已经重新进入了人们的视野，而实变函数也成为包括计算机科学在内的其他学科交叉发展的基础。
它不仅仅可以用于几何学和力学方面的研究，还可以用于拟态学、计算机图形学、机器学习、人工智能以及生物科学等，可以说实变函数事实上是各种学科的基础。
由此可以看出，实变函数是一门综合性的学科，它与多个学科息息相关，融入其他学科和新的技术概念，从而实现大范围的应用。
它的诞生为我们提供了最前沿的学科研究和技术发展，为当今科学研究打开了新的大门，也为未来科学发展奠定了坚实的基础。
对成人教育实变函数课程的教学思考
对成人教育实变函数课程的教学思考在现代社会中，成人基于其认知兴趣、职业发展、社会服务等学习动机，通过各种正规、非正规的途径获取新的知识和技能，从而使知识结构发生变化。
在高等院校成人教育数学专业中，实变函数是一门重要的专业基础课程，对于掌握近代抽象分析的基本、提高抽象思维能力和数学表达能力、加深对数学分析的理解、深化对中学数学有关内容的认识有着深远的影响。
然而，实变函数理论的抽象性和困难性，使得学生学习难度很大。
另外，基于成人教育学生的现状，学生不可能对这种高度抽象的理论感兴趣。
因此，有必要改变传统的教学方法，以提高学生学习实变函数的积极性。
一、采用启发式教学方法，激发学生学习的兴趣实变函数研究的主要对象是勒贝格积分理论，此积分理论的建立经历了很长的奠基过程，包括集合理论、测度理论、可测函数理论等，从而进一步建立了新的积分理论。
但只是笼统地这样解释对学生而言过于抽象，我们可以通过提出问题，一步步地引导学生学习相关理论。
如在数学分析中见过的Dirichlet函数，它不是连续函数也不是可积函数，但是我们发现函数值为1的点集为有理点集，函数值为0的点集为无理点集。
这两个集合很不规则，那么这些集合是否可测量？如果可测量的话，如何度量这些不规则的集合的“长度”呢？这就是集合的可测性问题。
接下来，我们利用可测集研究函数的性质，得到了一类较广泛的函数类——可测函数。
这一函数不是Riemann可积的，能否建立新的积分理论来研究此类函数的可积性？通过这一系列的讲解，让学生明白实变函数是数学分析的推广和继续，是近代分析数学的基础理论，具有重要的理论价值。
在课堂教学中穿插一些数学典故、名人故事和一些定理證明来龙去脉的讲授，能大大提升学生的学习兴趣。
比如我们在讲授实变函数的产生的时候，就从如下的数学问题开始讨论“连续函数除个别点以外是可微的”是否正确？维尔斯特拉斯就构造了一个函数并且证明了这个函数在任何一点都不可导，这个结论促使人们研究函数的更多性质，哪些函数是连续的，哪些函数是可导的，哪些函数是可以积分的，是否要修改积分的定义等等，这就促使了实变函数的诞生。
2024年实变函数学习心得
2024年实变函数学习心得随着时代的发展，数学已经成为了一门非常重要的学科，而实变函数作为数学中的一部分，也成为了我们学习的内容之一。
在2024年，我对实变函数进行了深入学习，并且在实践中取得了一些心得和体会。
首先，我认识到实变函数的重要性。
实变函数是数学中的一个重要分支，它研究数学中的实数和实数函数的性质。
实变函数有许多重要的应用，例如在物理学、工程学和经济学等领域中都起着关键作用。
因此，深入了解和掌握实变函数的概念和性质，对于我未来的学习和发展都将起到很大的帮助。
其次，我学会了对实变函数进行分析和研究。
实变函数的研究需要具备一定的分析能力，我通过学习分析学等相关课程，提升了自己的分析思维和分析能力。
在实践中，我发现通过分析实变函数的导数、极限和连续性等性质，可以揭示实变函数的一些重要特征和规律。
因此，在学习实变函数的过程中，我注重培养自己的分析能力，并且在实践中不断加以应用。
另外，我还注意到实变函数的多样性。
实变函数涉及到了很多不同类型的函数，如多项式函数、指数函数、对数函数和三角函数等。
每种函数都有其独特的性质和应用。
因此，在学习实变函数时，我注重对不同类型函数的理解和掌握。
通过学习和掌握这些不同类型函数的性质，我可以更好地理解实变函数的整体特点和规律，为解决实际问题提供更多的可能性。
此外，我还通过实践应用来巩固和深化对实变函数的理解。
实变函数作为一个理论性的学科，理解和应用都至关重要。
在学习实变函数的过程中，我经常通过解决一些实际问题，将所学的理论知识应用于实际情境中。
这样不仅能够巩固自己对实变函数的理解和掌握，并且能够提高自己的解决实际问题的能力。
最后，我发现培养良好的数学思维对于学习实变函数非常重要。
数学思维是一种抽象、逻辑和创造性思维，对于学习实变函数的深入理解和应用至关重要。
在学习实变函数的过程中，我通过解决一些复杂的数学问题，培养和提升了自己的数学思维能力。
这样不仅能够更好地理解和掌握实变函数的概念和性质，并且能够在解决实际问题中发挥更大的作用。
关于实变函数学习的几点想法
关于实变函数学习的几点想法
实变函数是我到现在为止学的最难的一门课程，没有之一。
对于我来说，难点主要在以下几个方面：
1 定义与定理的用处以及它们之间的联系把握不够；
2 概念过于抽象，书本上的例子太少，理解的难度加大；
3 这是最关键的一点，也是最让我头疼的。
证明题基本上证不出。
分析原因如下：
1，2的产生是因为有些概念初次见到，根本不熟悉，所以也还比较好解决（相对于第3点）：多看书，多思考。
最主要的是要愿意去想。
人与人学习之间的差距不在资质上，而在花在思考的时间和思考的深度上。
这句话还是有一定道理的，尽管不适用于第3点。
3的产生原因无他：资质驽钝。
有没有人试过花了一下午在自习室结果却连一道题目也没有做出来的感受？欲哭无泪，真的是欲哭无泪。
我不是那种可以先把做不出来的题先放到一边，继续往下做的人。
其实有时候先放到一边等过一段时间再去想也许会“柳暗花明又一村”，可我就是做不到。
我已经学得是心力交瘁了。
第3点的解决办法：1摆正心态：好，我承认我笨的可以，我接受我一道题目也做不出来的事实；2 题目不会做就抄，一遍一遍反复抄，抄到我明白，抄到我能自己独立证出来为止！！！。
实变函数论读书报告
实变函数论实变函数论（real function theory）19世纪末20世纪初形成的数学分支。
起源于古典分析，主要研究对象是自变量（包括多变量）取实数值的函数，研究的问题包括函数的连续性、可微性、可积性、收敛性等方面的基本理论，是微积分的深入和发展。
因为它不仅研究微积分中的函数，而且还研究更为一般的函数，并且得到了较微积分中相应理论更为深刻、更为一般从而应用更为广泛的结论，所以实变函数论是现代分析数学各个分支的基础。
19世纪末20世纪初形成的一个数学分支，它的最基本内容已成为分析数学各分支的普遍基础。
实变函数主要指自变量（也包括多变量）取实数值的函数，而实变函数论就是研究一般实变函数的理论。
在微积分学中，主要是从连续性、可微性、黎曼可积性三个方面来讨论函数（包括函数序列的极限函数）。
如果说微积分学所讨论的函数都是性质“良好”的函数（例如往往假设函数连续或只有有限个间断点），那么，实变函数论是从连续性、可微性、可积性三个方面讨论最一般的函数，包括从微积分学来看性质“不好”的函数。
它所得到的有关的结论自然也适用于性质“良好”的函数。
实变函数论是微积分学的发展和深入。
函数可积性的讨论是实变函数论中最主要的内容。
它包括H.L.勒贝格的测度、可测集、可测函数和积分以及少许更一般的勒贝格－斯蒂尔杰斯测度和积分的理论（见勒贝格积分）。
这种积分比黎曼积分是更为普遍适用和更为有效的工具，例如微积分基本定理以及积分与极限变换次序。
精美的调和分析理论(见傅里叶分析)就是建立在勒贝格积分的基础上的。
此外，还适应特殊的需要而讨论一些特殊的积分。
例如为讨论牛顿－莱布尼茨公式而有佩隆积分。
由于有了具有可列可加性的测度和建立在这种测度基础上的积分，导致了与微积分中函数序列的点点收敛和一致收敛不同的一些新的重要收敛概念的产生，它们是几乎处处收敛、度量收敛（亦称依测度收敛）、积分平均收敛等。
度量收敛在概率论中就是依概率收敛，且具有特别重要的地位。
实变函数课程教学的几点体会
实变函数课程教学的几点体会实变函数课程对于大多数学生来说都很困难、很抽象，主要原因是学生习惯了从初等数学到数学分析或高等数学，所研究的函数都是常规的性质很好的函数.然而，有更多的性质不好的函数，需要换个角度认识它们，这就导致实变函数的形成，并最终成为一门课程.这门课程的思想方法与思想痕迹其实在中学数学课程及大学数学课程中都有所体现.1.实变函数思想下初等数学内容的认识为了研究函数的性质，对函数的定义域再认识，从而从另一角度研究集合，因此实变函数课程中一开始就研究集合，当然不只是停留在集合的简单运算上.当两个集合之间能建立一一映射时，这两个集合中的元素就是一样多的.由于无理数集是不可数集，有理数集是可数集，则无理数集与有理数集不对等，这两个集合中的元素就不是一样多的，实际上无理数比有理数要多得多.利用一一映射，还可以得到任何一个三角形的三条边上的点是一样多的，但就长度而言三条边往往不相等，这说明点不能有大小（度量），并不是人为规定点没有大小.对于两个非空集合（点集）A与B，把A中的任何点与B中的任何点之间的距离的下确界说成是集合A与B之间的距离.这样，一直线外一点到该直线的距离，平面上两条平行直线之间的距离，两条异面直线之间的距离，空间中两平行平面之间的距离等，都采用垂线段的方式计算.按照此定义，平面上两条相交直线之间的距离，两个相交的平面之间的距离等则为零.由此看出，只有真正学懂了实变函数课程，才能正确理解和解释中小学数学课程中的一些概念、性质和结论.比如，点为什么不能有大小，有理数与无理数的本质区别是什么，无理数在实数中占有什么样的地位，集合的表示为什么要用区间这样的方法，为什么不是所有集合都能用列举法表示，等等.2.集合的测度之意义拓广对集合整体度量的认识，利用测度概念.在测度意义之下，点集可以是非常不规则的，其元素可以是相当凌乱的，集合的元素可以是多样的，从而测度可以是长度，可以是体积，可以是质量，可以是概率，等等.在测度意义之下，由一个元素组成的集合，由有限个元素组成的集合，由可数个元素组成的集合，测度均为零.这样，一个点的测度为零，这就说明点确实没有大小.在测度意义之下，有理数集的测度是零，从而实数集R中基本上全都是无理数，或者说，一条直线上几乎处处为无理点，实数的核心是无理数，实数集R的“质量”都集中在无理数上，无理数集是实数集R的“原子核”.可数集的测度为零的一个现实反映，比如，一个筛子的孔是很多的，但也应该是有限个，不过可以理解为可数多个，当人们往筛子（悬空的）里盛放细小的东西（一部分可以穿过孔）时，如果人不摇晃筛子，则自然从孔漏出去的细小东西的体积几乎为零.这就是为什么有了筛子，还得要人筛一筛，才能把东西分开成粗与细的两个部分.这表明，任何一个集合添加零测度集后，其测度不改变.这一性质的一个现实反映经常出现，比如人们外出旅行，收拾包裹行囊很满，鼓鼓囊囊的，正要出门时突然看到一支笔或一把梳子被落下了，这时往往就把笔或梳子随便插进包裹的缝隙里，照样带走.这里，相对于一大包东西，一支笔或一把梳子的体积或质量几乎为零，添加进包裹也不会改变包裹的体积或质量，并不会影响人的出行.由此看出，所谓集合的测度，其实并不那么抽象.在测度意义之下，集合又区分为可测集与不可测集.零测度集是可测集，区间是可测集，区间的并集是可测集，这些为函数范围的拓宽奠定了基础.不可测集是存在的，由于集合的测度是非负实数，那么不可测集的测度一定不为零，从而不可测集存在于正测度集之中.3.可测函数概念教学的一个策略对于函数，中学数学教材及数学分析里的函数，往往强调定义域的重要性，而且定义域基本上是连续的一个数集——区间，同时对函数的值域往往不太重视.这样，导致学生习惯于从定义域到函数值认识函数，而忽视了从函数值范围到自变量取值范围认识函数.尽管教材里有所体现，比如，试根据函数y=3x-15的性质或图像，确定y0时x取何值，观察余弦曲线，写出满足条件cosx0的区间，但都是以习题的形式出现的，在教材的正文中几乎没有涉及.虽然这仅仅就是解函数不等式，但认识上、方法上还是有所不同.因此，在实变函数里突然出现一个可测函数概念，使学生感到迷惑.所以，笔者在讲授可测函数概念时，是按照如下策略引导讲解的.由上述例子看出，连续函数是可测函数；处处不连续的函数也可以是可测函数，所以，可测函数是比连续函数更广泛的函数类型。
实变函数反思与总结报告
实变函数反思与总结报告引言我们所学的数学基础知识中，实变函数是一个既简单又重要的概念。
了解实变函数的性质和特点可以帮助我们更好地理解和运用数学知识。
在这个过程中，我充分认识到了实变函数的重要性，并对自己学习实变函数的方法和技巧进行了反思与总结。
学习方法的反思在学习实变函数的过程中，我意识到学习方法对于理解和掌握实变函数的概念和性质非常重要。
通过反思，我总结了以下学习方法的优点和缺点：1. 从理论入手优点：理论是学习实变函数的基础，通过系统地学习实变函数的定义、性质和定理，可以对实变函数有一个全面的了解。
缺点：过于注重理论，容易陷入纸上谈兵的陷阱，从而忽视了实际应用和问题解决的能力。
2. 多做练习题优点：通过大量的练习题，可以巩固对概念和定理的理解，提高解题能力和问题分析能力。
缺点：只注重题目的数量，容易走入机械式的运算，忽略了思考和推导的过程。
3. 探索与实践优点：通过自主学习和实践，能够加深对实变函数的理解。
通过在实际问题中应用实变函数的知识，可以培养解决实际问题的能力。
缺点：对于初学者来说，可能在实践中遇到问题而无法解决，需要指导和帮助。
学习方法的改进综合以上学习方法的优点和缺点，我计划以以下方式改进我的学习方法：1. 理论与实践结合在学习实变函数的理论知识的同时，我将注重与实际问题的结合。
通过找到实际问题中的数学模型，将实变函数的概念和性质应用到实际中，提高实际问题解决的能力。
2. 深入思考与总结在做练习题时，我不仅仅注重题目数量，更注重解题过程和思考的深度。
在解题过程中，我将思考清楚每一步的原理和推理，避免走进机械题中。
同时，我还将总结解题的经验和方法，形成自己的解题思路。
3. 寻求指导与分享在实践中遇到问题时，我将积极寻求指导和分享。
通过与同学、老师的讨论和交流，我相信能够解决遇到的问题，并从中得到更多的启发和思考。
结语通过对学习实变函数的方法和技巧进行反思与总结，我认识到了实变函数的重要性以及学习方法的关键。
实变函数学习心得
实变函数学习心得学习实变函数的过程是一段充满挑战和探索的旅程。
通过学习实变函数，我深刻理解了实变函数的基本概念、性质以及具体的计算方法，也进一步提高了数学建模和应用的能力。
在这篇心得中，我将分享我学习实变函数的心得体会。
首先，我研究了实变函数的基本概念。
实变函数是数学中的一种特殊函数，它的自变量和因变量都是实数。
通过学习实变函数的基本概念，我明白了实变函数的定义域、值域以及函数图像的特点。
对于一个实变函数来说，定义域是它能取值的实数集合，而值域则是函数取得的所有可能的实数值。
其次，我学习了实变函数的性质。
一方面，我了解了实变函数的奇偶性、周期性以及单调性等性质。
实变函数的奇偶性是指函数的对称性，如果对于任意的实数x，有f(-x)=-f(x)，那么该函数是奇函数；如果对于任意的实数x，有f(-x)=f(x)，那么该函数是偶函数。
实变函数的周期性是指函数图像按照一定的规律重复出现，即存在一个正数T，对于任意的实数x，有f(x+T)=f(x)。
实变函数的单调性是指函数图像在整个定义域上的增减性，可以是递增、递减或者不变。
另一方面，我还学习了实变函数的极限和连续性。
实变函数的极限是指当自变量无限接近某一特定值时，函数对应的因变量也会无限接近于某一特定值。
通过学习实变函数的极限，我掌握了求极限的方法和技巧。
在计算实变函数的极限时，可以利用一些常用的极限性质，如极限的四则运算、夹逼定理等。
实变函数的连续性是指函数在定义域上的无间断性，也就是说函数图像没有任何跳跃或断裂的地方。
学习实变函数的连续性，我了解了连续函数和不连续函数的定义以及判断方法。
然后，我学习了实变函数的导数和微分。
实变函数的导数是指函数在某一点处的变化率，可以用来描述函数图像在该点的切线斜率。
通过学习实变函数的导数，我了解了导数的定义和计算方法，如极限定义、求导法则、高阶导数等。
在实际应用中，导数可以用来求函数的极值、判断函数的增减性以及绘制函数的图像。
实变函数论课程教学改革的几点体会5页word文档
实变函数论课程教学改革的几点体会实变函数论是数学与应用数学专业的一门重要基础课，主要由法国数学家Lebesgue在l9世纪末20世纪初创立。
它是普通微积分学的继续，其目的是为了克服牛顿和莱布尼兹所建立的黎曼积分存在的缺点，使得微分和积分的运算更加对称、更加完美。
它的任务是使学生掌握近代抽象分析的基本思想、提高抽象思维和数学表达能力，加深对数学分析知识的理解，深化对中学数学有关内容的认识。
课程主要内容是以点集为基础的集合论、Lebesgue测度论与可测函数以及Lebesgue积分论。
该课程是学习现代数学的基石，是连接近代数学与现代数学的桥梁。
该课程的特点是：概念性强、理论精密、内容抽象且严谨、应用广泛；该门课程几乎没有什么计算，其内容就是由概念、定理与推论所组成的一个理论体系，往往是介绍了某个概念之后，接着是一连串的定理、推论及晦涩、难懂的证明。
介绍的概念有较强的抽象性、突然性和高度的概括性，较难理解。
定理证明过程技巧性高、逻辑性强、难度大，课后的习题基本上是一些结论应用的证明题，有的甚至是某个结论的延伸，解题有较高的技巧性和难度，所以该门课程的特点可以概括为：抽象、枯燥、难懂。
为更好地促进该课程的教学，周其生在分析实变函数课程教学中容易产生的问题以及学生学习这门课程常见困难的基础上，对这门课程教改的做法提出了几点探讨。
许静波和张国芳在教学模式上进行了一些改革尝试。
兰尧尧探讨了有关实变函数教学的方法。
在本文，笔者结合自身的教学经验，给出了几点教学上的体会。
一教学体会1.精简传统内容，渗透现代教学观点遵循“少而精，宽而浅”的基本原则，采用逐步渗透现代数学观点、知识的方式。
具体对集合与基数的内容要精讲，半序的内容简述；重点介绍Lebesgue测度的基本内容，对一般测度论、复测度论知识不做具体要求；可测函数论中的鲁金函数论思想应重点介绍，可测函数列的收敛关系应展开讨论，Lebesgue积分与（R）积分的关系，重积分及微分理论宜要求泛而不精。
大二实变函数98分
大二实变函数98分摘要：1.成绩概述2.实变函数的重要性3.大二学生学习实变函数的挑战4.取得高分的策略5.实变函数在实际应用中的例子6.总结与建议正文：【成绩概述】近日，我收到了大二实变函数的课程成绩，总分100分，我取得了98分的优异成绩。
在这门课程中，我深入学习了实变函数的概念、性质和应用，并在期末考试中得以体现。
实变函数作为数学分析的重要分支，在理论研究和实际应用中具有广泛的意义。
【实变函数的重要性】实变函数是数学分析的基础，它涉及到集合论、极限、连续性、微积分等众多领域。
实变函数的研究对象从有限个变量扩展到无穷多个变量，使得数学分析更加严谨和完善。
在实际应用中，实变函数可以解决很多实际问题，如物理、工程、经济学等领域的优化问题、波动方程、概率论等。
【大二学生学习实变函数的挑战】尽管实变函数具有广泛的应用，但学习起来并不容易。
首先，概念较为抽象，需要较高的数学素养。
其次，课程内容繁多，涉及多个领域，对学生的知识储备有较高要求。
最后，实变函数的运算和求解方法与其他数学课程有很大差异，学生需要花费更多的时间和精力去适应。
【取得高分的策略】在面对实变函数这一挑战性课程时，我采取了以下策略：1.打好基础，强化集合论、极限、连续性等基本概念；2.课上认真听讲，及时消化知识点，课下多做习题，巩固所学；3.主动查阅资料，了解实变函数在实际应用中的案例，提高学习的兴趣和动力；4.积极参加讨论，与同学、老师交流学习心得，取长补短；5.定期总结，梳理知识体系，形成系统性的认知。
【实变函数在实际应用中的例子】实变函数在实际应用中具有广泛的意义，以下举几个例子：1.物理学中的波动方程、薛定谔方程等；2.经济学中的优化问题、供应链管理等；3.工程领域的信号处理、图像识别等；4.概率论中的随机过程、马尔科夫链等。
【总结与建议】学习实变函数并非易事，但只要我们掌握正确的方法，付出努力，就一定能够取得理想的成绩。
同时，实变函数带给我们的知识和技能将对我们的未来发展大有裨益。
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浅谈学习实变函数的感受——从Riemann 积分到Lebesgue 积分摘要：积分是整个数学分析中最重要的概念，现有的积分主要分为两种，一种是近代数学核心的黎曼积分（R 积分），另一种是实变函数论的重点勒贝格积分（L 积分）。
两者是独立的，却又有联系，本文主要简单讲解R 积分和L 积分的相关知识点，粗浅地了解一下R 积分和L 积分。
仅仅从函数的应用上来说，L 积分又比R 积分广泛些，R 积分在应用上有很大的局限性，而L 积分摆脱了R 积分的应用困难，扩大了应用范围。
关键字：黎曼积分（R 积分）、勒贝格积分（L 积分）、定义、定理、区别、联系一、Riemann 积分的相关知识 1、R 积分的定义f （x ）是在[a,b]区间上的有界函数，在[a,b]取n 个分割点，即是a<x 1<x 2<....<x n <b,在某个小区间[x i ,x i+1]上任取一点εi ，i=1,2,3,....作和）（）（i 1i n1i i x -x f S +=∑=ε. 令)(max r 11i i ni x x -=+<=<=，如果r →0时，s 趋于有限的极限，则称f （x ）在[a,b]上的黎曼积分，记作dx x f R I b a⎰=）（. 2、R 积分的充分必要条件 f （x ）在[a,b]上黎曼可积⇔dx x f m lim lim )(f ba11⎰∑∑⎰====∞→=∞→—）（i ni i n i n i i n baM dx x εε其中M i =sup{f(x)}，m i =inf{f(x)}，x i <x<x i+1.ξεξ<∃>∀⇔∑=i n1i i m T ,0，使分割.ξεηξη<∃>∀>∀⇔∑/W i i T ,0,0 。
3、R 积分的缺陷（a ）微积分基本定理条件太强微积分基本定理在整个微积分学中起着至关重要的作用，遗憾的是并非所有Riemann 可积函数都能使这一定理成立，这是Riemann 积分的一大缺陷。
如果f （x ）是区间[a,b]上的连续函数，并且F'（x ）=f （x ），那么）（）（）（a F -b F dx x f ba=⎰。
这个结论叫做微积分基本定理。
（b ）R 积分和极限的可交换条件太严可积函数{f n }一致收敛 dx x f lim dx x limf ban nban ）（）（⎰⎰=⇔二、Lebesgue 积分 1、勒贝格积分的定义设E ∈R q 为可测集，f （x ）是E 上的一个非负可测集函数，f （x ）在E 上的勒贝格积分定义为{}⎰⎰<<=∈=EE)(f (0E x E x dx x sup dx x f x x ）时，上的简单函数且）是（：）（）（ϕϕϕ 显然+∞<=<=⎰dx x f 0E）（,若上勒贝格可积。
）在（则称）（E x f ,dx x f E+∞<⎰ 2、定理一：（Lebesgue 定理）.设1）E 是测度有限的可测集合，2）f 1（x ）,f 2（x ）,…,f n (x),…是E 上的可测函数，|f n (x)|<<+∞p.p.于E （n=1,2,3，…），3）{f n （x ）}在E 上几乎处处收敛到f （x ），且|f （x ）|<+∞p.p.于E ；则在E 上f n （x ）⇒f （x ）。
3、定理二：（Lebesgue 有界收敛定理）.设1）f 1（x ），f 2（x ），…，f n （x ），…是E 上的一串可测函数， 2）它们一致有界，即有正常数M ，使|f n （x ）|<=M(n=1,2,3,…;x ∈E) 3） f n （x ）⇒ f （x ） 则dx x f dx x f lim EEn n ⎰⎰=∞→）（）（ 4、（非负简单函数的Lebesgue 积分）设E ⊆R q 为可测集，）（x ϕ为E 上的一个非负简单函数，我们有i)对于任意的非负实数c ，⎰⎰=⋅EEdx x c dx x c ；）（）（ϕϕii ）设A 和B 是E 的两个不相交的可测子集，则dx x ⎰⎰⎰⋃+=BA AB)(x dx x ϕϕϕ）（）（；iii ）设{}∞=1n n A 是E 的一列可测子集，满足①.A A A 1n 21 ⊆⊆⊆⊆⊆+n A②.E A n 1n =∞=则 dx x dx x limnA En ⎰⎰=∞→）（）（ϕϕ5、非负可测函数的Lebesgue 积分定理三（列维Levi ）设E ∈R q 为可测集，{}∞=1n n f 为E 上的一列非负可测函数，当x ∈E 时对于任一自然数n ，有f n （x ）<=f n+1(x),令f(x)=）（x f lim n n ∞→,x ∈，则⎰⎰=∞→En dx x dx x f )(f lim En ）（定理四（Lebesgue 逐项积分定理） 1）F （x ）是E 上的可积函数，2）F 1(x)，f 2（x ），…，f n （x ），…是E 上的一串可测函数， 3）|f n （x ）|<=F(x),n=1,2,3,…,4））；（）（x f x f n ⇒ 则dx x f )(f lim En n ⎰⎰=∞→Edx x ）（6、一般可测集合上的积分以往我们总假定mE<+∞,现在我们把这个限制移去。
设E 是一可测集合，f （x ）是E 上的一个函数，令⎪⎩⎪⎨⎧∈∈=时当时）当（）（E x 0E x x f x F _则F （x ）就成了整个空间上的函数。
因此以下我们只考虑整个空间R 上的积分，而无伤于普通性。
现在设f(x)是一个一般的函数，我们定义，）（当时）（）当（）（⎩⎨⎧<≥=+0x f 00x f x f x f ⎩⎨⎧<≥=时，）（）当（时）（当）（0x f x f -0x f 0x f -于是分别考虑非负函数f +（x ）和f -（x ）的积分，如果 ⎰⎰+Rdx x dx x f ,)(f -R都是意义，且不同时为无限，我们就定义f （x ）的积分值为dx x f -dx x f dx x f R-RR⎰⎰⎰+=）（）（）（ 如果上述两个积分都是有限的，则我们就说f （x ）在R 上可积。
显然，如果f （x ）有积分值，则f （x ）可测，并且还有）；（）；（）（-Rf R mG -f R mG dx x f ⎰+=。
定理一 非负函数f （x ）在R 上有积分值得充要条件是f （x ）在R 上非负可测，此时⎰=Rf R mG dx x f ），；（）（而f （x ）在R 上可积则相当于f （x ）非负可测。
且下方图形的测度有限。
定理二 可测函数f （x ）在R 上可积的充要条件是|f （x ）|可积。
定理三 若f 1（x ），f 2（x ），…，f n （x ），…是一串非负可测函数。
；）（）（∑∞==1n n x f x f 则dx x n∑⎰⎰∞==1n RR)(fdx x f ）（定理四 设E ⊆R q 为可测集，我们有（i ）若E ≠ø但mE=0，则E 上的任何实函数f 都在E 上L 可积且⎰=E0dx x f ）（；（ii ）若f ∈L （E ），则mE(|f|=+∞)=0.即|f （x ）|<∞a.e.于E ；（iii ）若f 在E 上积分确定，则f 在E 的任意可测子集A 上也积分确定，又若E=A ⋃B ，这里A 和B 都是E 的可测子集且A ⋂B=ø，则；）（）（）（⎰⎰⎰+=BEAdx x f dx x f dx x f （iv ）设f 在E 上积分确定且f （x ）=g （x ）a.e.于E ，则g 也在E 上积分确定且⎰⎰=EEdx x g dx x f ）（）（；（v ）设f 和g 都在E 上积分确定且f （x ）<=g （x ）a.e.于E ，则⎰⎰≤EE.dx x g dx x f ）（）（特别地若mE<+∞且b<=f(x)<=B a.e.于E ，则b*（mE ）<=⎰Edx x f ）（<=B*（mE ）; (vi )设f 在E 上L 可积，则|f|也在E 上L 可积，且⎰⎰≤EEdx x f dx x f ；）（）（（vii ）设f 是E 上的可测函数，g 是E 上的非负L 可积函数且|f （x ）|<=g（x ） a.e.于E ，则f 也在E 上L 可积且⎰⎰⎰≤≤EEE.dx x g dx x f dx x f ）（）（）（ 三、Lebesgue 可积和Riemann 可积的联系过去在数学分析中，我们学过Riemann 积分，现在我们又对有界函数定义了一种新的积分，即所谓的了Lebesgue 积分，因此我们要弄清这两种积分之间的关系。
F 在[a,b]上Riemann 可积⇒f 在[a,b]上Lebesgue 可积. 当f 在[a,b]上Riemann 可积时，还有⎰⎰=bab adx x f L dx x f R ）（）（）（）（（其中左边的积分表示f （x ）在[a,b]上Riemann 积分）反例：Dirichlet 函数 D （x ）= 1，x ∈Q 0，x ∈R-QD （x ）在[0,1]上Lebesgue 可积，但它在[a,b]上不是Riemann 可积 由于0)(10=⎰dx x D —，1dx x D b a=⎰—）（，所以dx x D dx x D baba ⎰⎰≠——）（）（.四，总结数学的发展表明：黎曼积分和勒贝格积分在各自相应的时期都发挥着巨大的 作用.从狭义上看，勒贝格积分可以看作是黎曼积分的推广，同时勒贝格积分的创立是积分发展从近代水平向现代水平升华的一次智力革命，勒贝格积分不仅扩大了可积函数类，而且还由于它独特的性质，解决了许多古典分析中不能解决的问题，使数学进入了现代分析时代.可以预测：随着科学和社会的不断发展， 积分理论也会越来越完善!参考文献：《实变函数论》 江泽坚 吴智泉合编 人民教育出版社 1961年 《实变函数论》 徐森林 薛春华编著 清华出版社 2009年《实变函数与泛函分析基础第三版》 程其襄 张奠宙 魏国强 胡善文 王漱石编 高等教育出版社 2010.6。