实变函数论主要知识点
实变函数复习要点
第 7 页 共 12 页 山东农业大学 数学系 于瑞林
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《实变函数论》总复习
可测集与开集、闭集只相差一小测度集； 可测集可由 G 型集去掉一零集，或 F 型集添上一零集得 到． 三、重点 外测度和可测集的定义；可测集的基本性质（定义 2.1.2） ；可测集的极限性质（定理 2.1.5；定理 2.1.6） ．
第三章
可测函数
一、考核知识点 1. 可测函数的定义及其等价定义、 可测函数的性质和可测函 数与简单函数的关系； 2. 叶果洛夫定理； 3. 依测度收敛的定义、性质、Riesz 定理、勒贝格定理； 4. 鲁津定理． 二、考核要求 1. 可测函数及其性质 （1）简单应用： 可测函数的定义及其等价定义； （2）综合应用：可测函数的性质． 零集上的任何函数都是可测函数； 简单函数是可测函数； 可测集 E 上的连续函数 f(x)必为可测函数； 在一零测度集上改变函数的取值不影响函数的可测性，
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《实变函数论》总复习
析)就是建立在勒贝格积分的基础上的． 由于有了具有可列可 加性的测度和建立在这种测度基础上的积分，导致了与微积 分中函数序列的点点收敛和一致收敛不同的一些新的重要 收敛概念的产生，它们是几乎处处收敛、依测度收敛、积分 平均收敛等．依测度收敛在概率论中就是依概率收敛，且具 有特别重要的地位．积分平均收敛在一般分析学科中也是常 用的重要收敛．傅里叶级数理论以及一般的正交级数理论就 是以积分的平方平均收敛为基本的收敛概念． 《实变函数论》的三大定理 1、Lebesgue 控制收敛定理； 2、Levi 控制收敛定理； 3、Fatuo 引理． 这三个定理是‘实变函数’的核心成果，集中地体现了 Lebesgue 积分相对于 Reimann 积分的优越性， 因而这三个定 理是‘实变函数’中最重要的定理，三大定理之说法当之无 愧． 《实变函数论》的三大原理 1. Every measurable set is nearly a finite sum of intervals; 2. every function (of class Lp) is nearly continuous; 3. every convergent sequence of functions is nearly uniformly convergent.
实变函数课程主要内容提要
实变函数课程主要内容提要《实变函数》---- 课程主要内容提要学完一门课程，读者应该自己学会把握课程的重点。
学习永远是自己的大事，任何人无法代替。
但作为一种引导，现将本课程主要内容简要列出，供学习参考，互相交流！内容重要程度:*** > ** > * * 第一章集合论* 1. 集合族之交、并、补、差的运算；*** 2. 集合的分解；集合列的极限运算；特征函数；** 3. 集合的基数与可数、不可数集；* 4. 极限点(聚点)、孤立点、导集的性质；** 5. 闭集、闭包、开集、内点的概念以及闭集、开集的性质；** 6.Gδ集、Fσ集、σ-代数、Borel集、稠密集；*** 7. Cantor三分集的概念及其性质；* 8. 点集间距离的概念。
** 第二章 Lebesgue可测集与Lebesgue测度*** 1. Lebesgue外测度的概念及其性质:单调性、次可加性、距离外测度性质、可测分离可加性；** 2. Lebesgue可测集的概念及其性质：交、并、补、差的运算性质；*** 3. Lebesgue测度的基本性质：可数可加性；测度与极限运算的交换性；** 4. Lebesgue可测集与Borel集的关系；等测包与等测核的存在性；* 5. 不可测集的存在性。
*** 第三章可测函数*** 1. 可测函数的基本概念及其运算性质；** 2. 简单函数的概念；简单函数逼近定理；*** 3. 可测函数列处处收敛、几乎处处收敛、一致收敛、近一致收敛和依测度收敛的概念及其相互关系：Egoroff定理；Lebesgue定理；Riesz定理；* 4. 依测度Cauchy列的概念；*** 5. 可测函数与连续函数的关系：卢津(Lusin)定理及其推论；*** 第四章 Lebesgue积分* 1. 非负简单可测函数的Lebesgue积分：基本概念；积分与极限的交换性；** 2. 非负可测函数的Lebesgue积分：基本概念与简单性质；*** 3. 三大基本定理：Levi定理、Lebesgue基本定理和Fatou引理；对积分域的可数可加性；Chebyshev(契比雪夫)不等式；** 4. 一般可测函数的Lebesgue积分：基本概念与简单性质；积分的绝对连续性；*** 5. 控制收敛定理: Lebesgue控制收敛定理, 有界收敛定理，依测度型控制收敛定理；L1-收敛；** 6. 可积函数与连续函数的关系；积分的平均连续性；*** 7. Lebesgue积分与Riemann积分的关系；** 8. Fubini定理以及Lebesgue积分的几何意义；卷积与分布函数的概念。
实变函数论 华章
实变函数论华章实变函数论是数学分析的一个分支，研究实数域上的实变函数。
实变函数论是数学分析中的重要内容之一，也是微积分和函数论的基础。
本文将介绍实变函数论的基本概念和性质，以及一些常见的实变函数的特点。
一、实变函数的基本概念实变函数是自变量和因变量都是实数的函数。
在实变函数论中，我们主要研究函数的定义域、值域、连续性、可导性等性质。
定义域是指函数自变量的取值范围，也就是函数所能接受的实数集合。
对于实变函数而言，定义域通常是实数集合的一个子集。
值域是函数所有可能取到的值的集合。
对于实变函数而言，值域是实数集合的一个子集。
连续性是指函数在定义域内的任意一点都存在极限，并且函数的极限等于函数在该点的函数值。
连续性是实变函数的重要性质之一，它决定了函数的很多性质。
可导性是指函数在某一点处存在切线的斜率，也就是导数。
可导性是实变函数的另一个重要性质，它决定了函数的变化率和极值点的存在性。
二、实变函数的特点在实变函数论中，有一些常见的实变函数具有特殊的性质。
1. 多项式函数：多项式函数是实变函数中最简单的一类函数。
它们具有良好的代数性质，可导性和连续性都成立。
2. 幂函数：幂函数是指形如y=x^a的函数，其中a是任意实数。
幂函数的性质与指数的性质密切相关，可导性和连续性也与指数的奇偶性有关。
3. 指数函数：指数函数是指形如y=a^x的函数，其中a是任意正实数且不等于1。
指数函数的定义域是整个实数集，它具有良好的连续性和可导性。
4. 对数函数：对数函数是指形如y=loga(x)的函数，其中a是任意正实数且不等于1。
对数函数的定义域是正实数集，它具有良好的连续性和可导性。
5. 三角函数：三角函数是指正弦函数、余弦函数和正切函数等函数。
它们具有周期性和奇偶性等特点，具有良好的连续性和可导性。
三、实变函数的应用实变函数在数学和物理学等领域有广泛的应用。
1. 在微积分中，实变函数论是微积分的基础。
通过研究实变函数的连续性和可导性，可以得到函数的导数和积分等重要结果。
实变函数知识归纳总结
定理 6 若Ａ为无限集，Ｂ是至多可数集，则 A ∪ B ～ A 由证明归纳出两种证明对等的方法： （１）建立一一映射； 设 B = {b1 , b2 ,
} 为可数集， A ∩ B = ∅ ，由性质１知，Ａ存在可数子集
A1 = {a1 , a 2 ,
} ，作映射 f : A ∪ B → A
⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭
α ∈Λ
∩ ζ α 是 X 上的环（或代数） 。
, 有 ∩ En ∈ ζ ； n =1
, 有 lim En ∈ζ , lim En ∈ζ ； n→∞
n→∞
∞
(α ∈ Λ ) 为 X 上 σ
环（ σ 代数） ，则 ∩ ζα 是 X 上 σ 环（ σ
α∈Λ
代数） 。
定理 8 设 A 是由 X 的某些子集构成的集类， 则存在唯一的环 （或代数，
−1
( ∩ B )= ∩T
α∈Λ α α∈Λ
−1 c
−1
( Bα )( Bα ⊂ Y,α ∈Λ) ;
c
−1
( B ) = (T ( B ) )
由此看出原像集的性质保持比像集的性质保持要好 注解：①、 （3）中如：一个映射 f 把 X 全部映射成一个值，就可以造成左边为
空集即可； ②、 一般T -1 (T ( A) ) ⊃ A，当T为单射时,有T -1 (T ( A) ) = A ③、 一般T T −1 ( B ) ⊂ B，当T为满射时,有T T −1 ( B ) = B 定义 2 复合映射概念（舍）见教材 P10 二、集合的势 定义 3 设 A 和 B 为两集合， 若存在从 A 到 B 的一一映射， 则称集合 A 与Ｂ对等， 记为 A~B 注解：①、对等关系是等价关系 ②、设 {
α∈Λ α∈Λ
实变函数论课件25讲
第25讲 有界变差函数
定义7 设 f (x)是 [a, b]上的有限函数，
对 [a, b]的任一分划
: a x0 x1 xn b，
记
V (, f ) | f ( xi ) f ( xi 1 ) |,
i 1
n
称 V (, f )为 f 关于分划 的变差。
证明：不妨设 f n (a) 0, (n 1,2,)，否 ~ ~ 则可令 f n ( x) f n ( x) f n (a)，对 f n 讨 论就行了。记 n S n ( x) f i ( x) ，
i 1
则 Sn ( x), f n ( x) 都是单调增加函数，故去
掉一个零测集 E 后，Fn' ( x)( n 1,2, )
| a | | f ( xi ) f ( xi 1 ) | | | | g ( xi ) g ( xi 1 ) |
| a | V (, f ) | | V (, g )
b a b a
i 1 i 1
i 1
n
n
| a | V ( f ) | | V ( g ) b b b 所以 Va (af g ) | a | Va ( f ) | | Va ( g )，证毕。
第25讲 有界变差函数
目的：进一步了解单调函数的性质， 熟悉有界变差函数的定义，掌握其 性质。
重点与难点：单调函数的性质，有界 变差函数的定义及其性质。
第25讲 有界变差函数
基本内容： 一．单调函数可导性的推论 问题1：如果 fn 是单调函数序列，且 . f n f a.e，不难看出f也是单调 的，从而也几乎处处有有限导数， fn 的导数与 f 的导数有什么关系？ 等式 f 'n f ' a. e. 是否成立？
实变函数论
实变函数论实变函数论是数学分析领域中非常重要的一个分支。
它主要研究实数域上的函数，涉及到微积分、拓扑、测度论等多个数学分支，具有广泛的应用和深刻的理论意义。
一、实变函数的连续性和一致连续性实变函数中，连续性和一致连续性是非常基础的概念。
在实变函数论中，我们经常需要用到这两个概念来描述函数的性质。
连续性是指函数在某一点处的极限等于函数在该点处的函数值。
更准确地说，设$f(x)$为定义域上的一函数，$x_0$为定义域上的一点，则$f(x)$在$x_0$处连续等价于满足以下条件：$$\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$$而一致连续性则更为强，它指的是函数在整个定义域上均满足某一性质，即在整个定义域上均具有连续性。
形式化地，设$f(x)$为定义域上的一函数，则$f(x)$在定义域上一致连续等价于满足以下条件：$$\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\text{s.t. }|x_1-x_2|<\delta\Rightarrow|f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon$$连续性和一致连续性是实数域上函数的最基本的性质，是很多其他性质和定理的前提条件。
二、实变函数的导数和微分微积分中，导数和微分是非常基础的概念。
在实变函数中，我们同样需要研究函数的导数和微分。
导数描述的是函数在某一点处的变化率，它是一个极限。
对于实变函数$f(x)$，在$x_0$处的导数定义为：$$f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac {f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$微分是一个线性近似，用直线去接近曲线。
对于实变函数$f(x)$，在$x_0$处的微分为：$$df(x_0)=f'(x_0)dx$$在实变函数中，导数和微分的性质有很多，比如说链式法则、洛必达法则等，这些性质在高等数学中都会有所涉及。
三、实变函数的积分积分是微积分中非常重要的一个概念，是研究实变函数的重要手段。
《实变函数论》
《实变函数论》实变函数论是数学的一个重要分支，可以用来分析数学中各种基本实变函数的性质。
它主要是研究如何利用导数、积分、最值和定积分来研究实变函数的性质。
它是求解不可逆微分方程的基础。
它也是研究复变函数性质的基础，把复变函数看作一种特殊的实变函数。
实变函数论包括实值变量函数的微分、积分、最值等，还包括复变量函数的性质。
它是数学分析中的重要分支，与特殊函数论、复变函数论有着密切的关系。
实变函数论中最基础的概念是数量级和极限。
数量级指的是极限的概念，表示随着实变量的变化，函数值的变化程度。
极限是指当实变量接近某个数值时，函数值在某一点处的极限值。
而对极限的深入研究，就是实变函数论的重要内容。
实变函数论几乎可以关注任何一个实变函数的性质，从最基础的极限研究，到有关积分的性质，以及利用实变函数来求解某个特殊的微分方程。
因此，实变函数论的研究对解决各种数学问题都有重要的意义。
实变函数论的重要技术有微分、积分、微分不变性、莱布尼茨定理等等。
它们在极限和积分研究中发挥着重要作用，也是研究复变函数性质的基础。
实变函数论的重要应用在于各种不可逆微分方程的求解。
它可以通过求解它们的极限和积分来解决。
比如，必经微分方程，可以用它的极限和积分来解决；简单自变量微分方程，也可以用它的导数来解决。
由于实变函数论的应用十分广泛，它也与其他学科有着良好的交流和联系。
总之，实变函数论是数学分析中的重要分支，有着重要的研究和实际应用价值，其中涉及到复变函数、微分、积分、最值、极限和定积分等数学基础概念，也与其他学科有着密切的关系。
学习实变函数论不仅有利于研究基础数学，而且可以运用到工程学和其他许多科学中。
《实变函数论》课件
共轭内积和正交函数系
1
内积的概念和性质
实内积空间的定义和内积的基本性质。
2
共轭内积和正交函数
共轭内积的作用和正交函数的性质。
3
正交函数系的判定
判断一组函数是否为正交函数系的条件。
度量空间和完备空间的概念和定理
度量空间的概念
距离、度量、度量空间的 基本概念和性质。
完备空间的定义
完备空间的定义和完备空 间的常见例子。
完备空间的性质
完备空间的性质和完备性 的判定方法。
巴拿赫空间及其应用
巴拿赫空间的定义
泛函分析的应用
巴拿赫空间的定义和典型例子。
泛函分析在数学和物理领域中 的应用。
范数空间和巴拿赫空间
范数空间、巴拿赫空间之间的 关系和性质。
实变函数论
一、实变函数的概念和基本性质
连续函数及其性质
连续函数定义
函数连续的必要条件与充分条 件。
连续函数的常见性质
一致连续函数
闭区间上的连续函数一致连续， 最值和介值定理。
一致连续函数的定义和主要性 质。
变量的极限和连续性
1
函数的连续性
2
间断点的分类和连续函数的性质。
3
函数的极限
点极限、上极限、下极限的定义和性 质。
反常极限
无穷极限、无穷小量的定义和应用。
可积函数的概念和定理
可积函数的定义
黎曼可积函数与可积性的条件。
黎曼积分的性质
可积函数的性质，可积函数与连续函数的关系。
积分中值定理
黎曼积分中值定理的证明和应用。
点集上的函数
连通集与间断点
闭集与开集
连通集的性质和间断点的判定。 闭集、开集的定义和性质。
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实变函数论主要知识点
第一章集合
1、 集合的并、交、差运算；余集和 De Morgan公式；上极限和下极限；
练习：①证明 A B C A BUC ；
1
②证明 E[f a] U E[f a -]；
n 1
n
2、 对等与基数的定义及性质；
练习：①证明（0,1） : ?；
②证明（0,1） : [0,1]；
3、 可数集的定义与常见的例；性质“有限个可数集合的直积是可数集合”与应用；可数集
合的基数；
练习：①证明直线上增函数的不连续点最多只有可数多个；
② 证明平面上坐标为有理数的点的全体所成的集合为一可数集；
③ Q ______ ；
④ [0,1]中有理数集E的相关结论；
4、 不可数集合、连续基数的定义及性质；
练习：①丽 ______________ ；
② P _________ （ P 为 Cantor 集）
；
占
八、、
1、度量空间，n
维欧氏空间中有关概念
度量空间(Metric Space)，在数学中是指一个集合，并且该集合中的任意元素之间的 距离是可
定义的。
n
维欧氏空间
：
设v是实数域R上的线性空间(或称为向量空间)，若v上定义着 正定对称双线
性型 g( g称为内积)，则v称为(对于g的)内积空间或欧几里德空间(有 时仅当v是有限维时，才称
为欧几里德空间) 。具体来说，g是v上的二元实值函数，满足
如下关系：
(1) g(x,y)=g(y,x)；
(2) g(x+y,z)=g(x,z)+g(y,z)；
(3) g(kx,y)=kg(x,y)；
(4) g(x,x)>=0，而且g(x,x)=0当且仅当x=0时成立。
这里x,y,z是V中任意向量，k是任意实数。
2、，聚点、界点、内点的概念、性质及判定(求法) ；开核，导集，闭包的概念、性质及判
定(求法)；
聚点:有点集E，若在复平面上的一点 z的任意邻域都有 E的无穷多个点，贝U 称z为E的 聚点。
内点:如果存在点P的某个邻域U(P) € E，则称P为E的内点。
3、开集、闭集、完备集的概念、性质；直线上开集的构造;
4、 Cantor集的构造和性质；
o _
5、 练习：① P ________ , P _________ , P _________
1 1
② 1,-, L ,—丄= ；
2 n
第三章测度论
- 外测度的定义和基本性质（非负性，单调性，次可数可加性） ；
2、 可测集的定义与性质（可测集类关于可数并，可数交，差，余集，单调集列的极限运算
封闭）；可数可加性（注意条件）；
3、 零测度集的例子和性质；
4、 可测集的例子和性质；
练习： ①mQ _________ ， mP _____ ；
② 零测度集的任何子集仍为零测度集；
③ 有限或可数个零测度集之和仍为零测度集；
④ ［0,1］中有理数集E的相关结论；
5、 存在不可测集合；
第四章可测函数
1、 可测函数的定义，不可测函数的例子；
练习：①第四章习题3 ；
2、 可测函数与简单函数的关系；可测函数与连续函数的关系（鲁津定理） ；
3、 叶果洛夫定理及其逆定理；
练习：①第四章习题7 ；
4、 依测度收敛的定义、简单的证明；
5、 具体函数列依测度收敛的验证；
6、依测度收敛与几乎处处收敛的关系，两者互不包含的例子;
第五章积分论
1非负简单函数L积分的定义；
练习： ①Direchlet函数在? 1上的L积分
2、 可测函数L积分的定义(积分确定；可积)；基本性质(§ 5.4定理1和定理2诸条)；
3、 Lebesgue控制收敛定理的内容和简单应用；
4、 L积分的绝对连续性和可数可加性(了解) ；
5、 Riemann可积的充要条件；
练习： ①［0,1］上的Direchlet函数不是R-可积的；
6、 Lebesgue可积的充要条件：若f是可测集合E上的有界函数，则f在E上L-可积
在E上可测；
练习： ①［0,1］上的Direchlet函数是L-可积的；
- x3,x
为无理数
②设f(x) 亠 ，则f(x)在0,1上是否R 可积，是否L 可积,
10,x
为有理数
若可积，求出积分值。
例1、求由曲线
2sin ,
解：两曲线的交点 上
2
-
2 ,6 ,
1 — 2
S 2 06 2 sin d
0
2
0
6
(1 cos2 )d
1 .
sin
2
2
cos2
1
cos2
2
所围图形公共部分的面积
cos2
1
si n2
2
例2.边长为a和b(a>b)的矩形薄片斜置欲液体中，薄片长边a与液面平行位于深为 h处，而
薄片与液面成 角，已知液体的密度为 ，求薄片所受的压力
解：取x为积分变量，变化区间为［h,h+bsin ］从中取［x,x+dx］知道面积元素
dS
压力兀素
dP xa
h b sin
dx
P xa
h
sin
dx
-,
则
sin
1
h bsin
a - - xdx
sin
h
ab (h bsin )
2
dx
a
sin