实变函数论课后答案第三版
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实变函数论课后答案第三版
1. 证明：()B A A B -=的充要条件是A B ⊂.
证明：若()B A A B -=，则()A B A A B ⊂-⊂，故A B ⊂成立. 反之，若A B ⊂，则()()B A A B A B B -⊂-⊂，又x B ∀∈，若x A ∈，则
()
x B A A ∈-，若x A ∉，则()x B A B A A ∈-⊂-.总有()
x B A A ∈-.故
()B B A A ⊂-，从而有()B A A B -=。 证毕
2. 证明c A B A B -=.
证明：x A B ∀∈-，从而,x A x B ∈∉，故,c x A x B ∈∈，从而x A B ∀∈-， 所以c A B A B -⊂.
另一方面，c x A B ∀∈，必有,c x A x B ∈∈，故,x A x B ∈∉，从而x A B ∈-， 所以 c A B A B ⊂-.
综合上两个包含式得c A B A B -=. 证毕
3. 证明定理4中的（3）（4），定理6（De Morgan 公式）中的第二式和定理9.
证明：定理4中的（3）：若A B λλ⊂（λ∈∧），则A B λλλλ∈∧
∈∧
⊂
.
证：若x A λλ∈∧
∈，则对任意的λ∈∧，有x A λ∈，所以A B λλ⊂（∀λ∈∧）
成立
知x A B λλ∈⊂，故x B λλ∈∧
∈，这说明
A B λλλλ∈∧
∈∧
⊂
.
定理4中的（4）：()(
)(
)A B A B λλλλλλλ∈∧
∈∧
∈∧
=.
证：若()x A B λ
λλ∈∧
∈
，则有'λ∈∧，使 '
'()(
)(
)x A B A B λλλλλλ∈∧
∈∧
∈⊂.
反过来，若()(
)x A B λλλλ∈∧
∈∧
∈则x A λλ∈∧
∈
或者x B λλ∈∧
∈.
不妨设x A λλ∈∧
∈，则有'λ∈∧使''
'()x A A B A B λ
λλλλλ∈∧
∈⊂⊂
.
故(
)(
)()A B A B λλλ
λλλλ∈∧
∈∧
∈∧
⊂
.
综上所述有
()(
)(
)A B A B λλλλλλλ∈∧
∈∧
∈∧
=.
定理6中第二式()c c A A λλλλ∈∧
∈∧
=
.
证：()c x A λλ∈∧
∀∈，
则x A λλ∈∧
∉，
故存在'λ∈∧ ，'x A λ∉所以'c c x A A λλλ∈∧
∉⊂
从而有(
)c c A A λλλλ∈∧∈∧
⊂
.
反过来，若c x A λλ∈∧
∈
，则'λ∃∈∧使'c x A λ∉，故'x A λ∉，
x A λλ∈∧
∴∉
，从而(
)c x A λλ∈∧
∈
(
)c c A A λλλλ∈∧
∈∧
∴⊃
. 证毕
定理9：若集合序列12,,,,n A A A 单调上升，即1n n A A +⊂（相应地
1n n A A +⊃）对一切n 都成立，则 1
lim n n n A ∞→∞==（相应地）1
lim n n n A ∞→∞
==
.
证明：若1n n A A +⊂对n N ∀∈成立，则
i m i m
A A ∞==.故从定理8知
11
liminf n i m n m i m
m A A A ∞
∞∞→∞
====
=
另一方面,m n ∀，令m i i m
S A ∞==
，从1m m A A +⊂对m N ∀∈成立知 1
11
1
1
(
)(
)m i m
i m i i m i m
i m i m i m S A A A A A A S ∞∞∞∞++==+=+=+=
=⊂=
=.故定理8表明
111
1limsup liminf n i m m n n n m i m
m m A A S S A A ∞
∞∞
∞→∞
→∞
=====
=
==
=
故1
lim limsup liminf n n n m n n n m A A A A ∞
→∞
→∞
→∞
====
.
4. 证明()()A B B A B B -=-的充要条件是B =∅. 证
：
充
分
性
若
B =∅
，则
()()A B B A A A A A -=-∅∅=-∅==∅=∅-∅
必要性 若()()A B B A B B -=-，而B ≠∅则存在x B ∈.
所以()()x A B B A B B ∈-=-即所以,x A B x B ∈∉这与x B ∈矛盾， 所以x B ∈.
4. 设{}{}{}{}1,2,3,4,1,2,3,4S A ==,求()F A .又如果1;1,2,3,,S n n
⎧⎫
==⎨⎬⎩⎭