实变函数论课后答案第三章1

实变函数论课后答案第三章1

第三章第一节习题

1.证明：若E 有界，则m E *<∞.

证明：若n E R ?有界，则存在一个开区间

(){}120,,;n M n E R I x x x M x M ?=-<< .

（0M >充分大）使M E I ?.

故()()()111

inf ;2n n

n n m n n i m E I E I I M M M ∞∞

*

===??=?≤=--=<+∞????∑∏ .

2.证明任何可数点集的外测度都是零.

证：设{}12,,,n E a a a = 是n R 中的任一可数集.由于单点集的外测度为零，

故{}{}{}()12111

,,,00n i i i i i m E m a a a m a m a ∞

∞

∞

*

*

*

*===??==≤== ???∑∑ . 3.证明对于一维空间1R 中任何外测度大于零的有界集合E 及任意常数μ，只要

0m E μ*≤≤，就有1E E ?，使1m E μ*=.

证明：因为E 有界，设[],E a b ?（,a b 有限）， 令()(),f x m E a x b *=?<< ，

则()()()()[]()()0,,f a m E m f b m a b E m E ****=?=?=== . 考虑x x x +?与，不妨设a x x x b ≤≤+?≤，

则由[])[]())()[](),,,,,a x x E a x x x x E a x E x x x E +?=+?=+????? .

可知())()[](),,f x x m a x E m x x x E **

+?≤++???

()[]()(),f x m x x x f x x *≤++?=+?.

对0x ?<，类似得到()()f x f x x x ≤+?+?. 故总有()(),f x x f x x a x b +?-≤?<<.

这说明()f x 在[],a b 上连续，由中介值定理知 (),a b ξ?∈，使得()f c ξ=. 令[)1,E a E ξ= ，则()11,m E f c E E ξ*==?. 若0μ=，则取11,0E E m E *=??=. 若1m E μ*=，取11,E E m E m E **==. 证毕.

4.证明如果()f x 是[],a b 上的连续函数，则2R 中的点集

()(){},;,x y a x b y f x ≤≤=的外测度为零.

证明：n N ?∈，将[],a b n 等分，即取分点012n x x x x b <<<<= ，

1,i i b a

x x n

---=

1,2,i n = .

因为()f x 在有界闭区间[],a b 连续，从而一致连续，故

()0,0εδδε?>?=>，使当

[]'"'",,,x x x x a b δ-<∈时()()

()

'"16f x f x b a ε

-<

-.

所以存在()00N N ε=>，使n N ≥时()

4b a n

δ-<. 令

()()()()()()()()22,;,1616n

i i i i i b a b a I x y x x x f x y f x n n b a b a εε??--??=-<<+-<<+??--????

.则()n i I 均为开区间，()()()482n i b a I n b a n

εε

-=

?=

-，且 ()(){}()1,,;,n

i i i i i A x y x x x y f x I +?=≤≤=?.

事实上，()(), ,i x f x A ?∈1,i i x x x +≤≤

()12i i i b a b a x x x x n n

δ+--∴-≤-=<< 从而()()()

16i f x f x b a ε

-<-.

故()()22i i b a b a x x x n n

---

<<+ ()()

()()()

1616i i f x f x f x b a b a ε

ε

-

<<+

--

即()(),n i x f x I ∈

而()(){}0,;,n

n i i A x y a x b y f x I =≤≤=?

()0

1

22n n

n

i i i n m A I n

n

ε

εε*

==+∴≤==

?≤∑∑

由ε的任意性，则0m A *=.

若[],a b 无界。令[][][],,,,m m I m m J a b m m =-=- 为无界闭区间，且

[][][][]1

11,,,,m m m m

m a b a b R a b I a b I J ∞∞

==??

=== ???

. 令()(){},;,m m A x b x J y f x ∈= ，

()(){}1

,;,m

m A x b a x b y f x A ∞

=≤≤=?

()()1

1

000m m m A m A ∞

∞

*

*

==≤≤==∑∑.

5.对于n R 中的点集，0E α>及，令

()(){}11,,;,,n n E x x x x E ααα=∈ .

证明： ()n m E m E αα**=.

证明：由38P 第二章的习题11，若E 为开集， 0α>，则E α仍为开集，

易知，若I n R ?为开区间，则I α仍为开区间，且n I I αα=. 事实上，设()(){}(){}111,,;,,,,;n n n i i i I x x x x I x x a x b αααα=∈=<< .

()()()1

1

1

n

n

n

n

n

i i i i i

i

i i i I b a b a b a I αααα

α

===∴?=-=-=-=∏∏∏.

下面我们证明：(),0,n n E R m E m E ααα**??>≤ （1） 若（1）成立，则()n m E m E αα**=将得证.

()1n E m E m m E αααα

***

??=≤ ??? ()()()n n m E m E m E ααα***∴≤≤.

故结合（1），我们就有()()n m E m E αα**=. 下面证明（1）

（1） 若()m E *=∞，则（1）显然成立.

（2） 若(),0,m E ε*<∞?>?开区间()1,2,i I i = ，使得

()1

1

,i i i i E I I m E ε∞

∞

*==∈<+∑ .

显然1

i i E I α∞

=? ，从而有

()()()()

()1111

n n n i i i i i i i i n n m E m I m I I I m E m E ααααααεααε

∞∞∞

∞*

*

**====*??

≤≤==≤+ ???=+∑∑∑ 令,ε→∞得()n m E m E αα**≤. （1）证毕..

6.证明只要0m E *>，就一定有x E ∈，使得对任意0δ>，都有

()(),0m E N x δ*> ，此处(),N x δ是以x 为中心，以δ为半径的开球.

证明：反证 设结论不对，则,0x x E δ?∈?>，使得()(),0m E N x δ*= ， 则()(){},,,,x x x E

E N x M N x x E δδ∈?=∈ 成为E 的一个开覆盖，由

Lindelorf 定理38P 习题5，一定存在至多可数个

()

1

,i E i x ∞=∈使得

1i x i E I ∞

=? .

()

11i i x x i i E I E I E ∞∞

==??

∴∈= ???

故()

11

00i i x x i i m E m I E m I E ∞

∞*

*

*==??<=≤= ???∑ 得矛盾，故结论成立. 7.试就二维空间2R 证明外测度在旋转变换下也是不变的（提示：先证任何长方形的外测度都等于其面积）.

证明：因为旋转变换是正交变换，它不改变长度和两线段的夹角，故它将长为a ，宽为b 的长方形仍变为长为a ，宽为b 的长方形。 如果能证明任何长方形（边不一定平行于坐标轴）的外测度都为该长方形的面积，则

,0,n

E R ε???>?开区间i I ，使得1i i E I ∞

=? ，()1

i i I m E ε∞

*=<+∑.

任意一个旋转变换:,n n Q R R Q →正交，

11

i i i i QE Q I QI ∞∞

==???= ???

这里{},;n A R QA Qx x A ??=∈，

()1

1

1

i i i i i i m QE m QI m I I m E ε∞

∞

∞

*

*

*

*===≤==≤+∑∑∑.

m QE m E **∴≤.

另一方面，Q 正交，1Q -也正交，

()()()1m E m Q QE m QE m E m QE m E

**-****≤≤≤∴=得证.

故关键是证明：任何长方形的外测度都等于其面积.

下证2R 上的长方形的外测度等于其面积.

证明：53P 已知，任何区间I （边平行于坐标平面的外测度等于I ，在

2R 中，边平行于坐标轴的长方形（区间）的外测度等于其面积）

现设I 为2R 上任一长方形，设其长为0a >，宽为0b >，面积()S I ab =，

0ε?>充分小，可作边平行于I

的边的两开长方形J I I εε??，J ε的长

为2a ε-，宽为2b ε-，I ε的长为2a ε+，宽为2b ε+，且

()(),,,c c I I J J εερερε==，

取m 充分大，使12

3

m ε<，则2R 可用边长为1

m ，边平行于坐标轴的半

开半闭的，形如：

()2121,,,1,2m i i s i l l J x x R x i m m +??

=∈<<=????

的区间表示成互不相交的并，且

{}{},,m m s s m m

m

s

s m J

J J i I

I J j ε≠?=<∞

≠?=<∞

且若m s J J ε≠? ，则m s I I ?，否则存在,m m c s s P J J q I I ε∈∈ ，故

()()1,,2

3

c m s I I p q diam I m εε

ερρ=≤≤=<得矛盾. 存在m i 个边长为1m

，边平行于坐标轴的区间m

s J ，()()1,m

i m m s J J I J εεε=?? 互

不相交，

同理存在m j 个边长为1

m ，边平行于坐标轴的区间~,1,2,,m s m J s j = ，使

~m

s J 互不相交. ()~

1m

i m s I J I εε=?? .

分别记()()(),,S J S I S I εε表示,,J I I εε的面积，()S A 表示可求面积的平面图形A 的面积，则

()()()()()()()()()()()()1111

~~~1111~~112222m m m

m m m m m

m

m i i i

i m m m

m s s s s s s s s j j i j m m m m s j s s s j j m m s s a b S J S J J m J m J m I m J m J J S J S J S I a b εεεεεεεεεε*====****======??--==== ?????????=≤≤≤= ? ? ???????????

==≤=++ ? ?????

∑∑∑∑∑∑

()()()

()()

2222a b m I a b εεεε*∴--≤++

()()()()()

2222a b m I a b εεεε*∴--≤≤++

令0ε→，得

()()()

ab m I ab m I ab S I **

≤≤∴==

故旋转变化下，长方形的外测度不变等于其面积. 设(){},;,I x y a b c d =<<

则()()m I b a d c I *∴=--=的面积.

故任一长方形I

，设其长为a ，宽为b ，则存在一个平移t 和旋转R 使得

()I R I t =+

，这里(){},;0,0I x y x a y b =<<<<

()

()()()I R I t m I m R I t Rm I t m I ab

*

*

*

*

=+∴=+=+==

故其测度等于其面积S I ab ??

= ???

.

E 可测??正交变换:,n n R R R RE →可测.

证明：“?”取:,n n R I R R Ix x =→=，则RE E =可测.

“?”设E 可测，则对正交变换:,n n n R R R T R →??，E 可测.

()()()()()()()()()

()()()

11111111

1

1

det c c c

c

m R T m R T E m R T E m R T R RE m R T R RE m R

T RE m

R T RE R m T E m T E *-*-*-*--*--*

-*

--*

*

=+=+=+=+

所以RE 可测.