实变函数引论参考答案 曹怀信 第二章

。习题2.1

1．若E 是区间]1,0[]1,0[⨯中的全体有理点之集，求b

E E E E ,,,' ． 解 E =∅；[0,1][0,1]b

E E E '===⨯。

2．设)}0,0{(1sin ,10:),( ⎭⎬⎫⎩

⎨⎧=≤<=x y x y x E ，求b

E E E E ,,,' ．

解 E =∅；{(,):0,11}.b

E E x y x y E E '==-≤≤==

3．下列各式是否一定成立? 若成立，证明之，若不成立，举反例说明．

(1) 11n n n n E E ∞

∞=='⎛⎫'= ⎪⎝⎭； (2) )()(B A B A ''=' ； (3) n n n n E E ∞=∞==⎪

⎪⎭⎫ ⎝⎛1

1 ； (4) B A B A =； (5) ︒︒︒=B A B A )(； (6) .)(︒

︒︒=B A B A

解 (1) 不一定。如设12={,,

,,}n r r r Q ，{}n n E r =（单点集），则1

(

)n n E ∞=''==Q R ,

而1.n n E ∞

='=∅但是，总有11

n n n n E E ∞∞=='⎛⎫'⊃ ⎪⎝⎭。 (2) 不一定。如 A =Q , B =R \Q , 则(),A B '=∅ 而.A B ''=R R =R

(3) 不一定。如设12={,,

,,}n r r r Q ，{}n n E r =（单点集），则

1

n n E ∞===Q R , 而

1

.n n E ∞

==Q 但是，总有11

n n n n E E ∞∞

==⎛⎫⊃ ⎪⎝⎭。 (4) 不一定。如(,)A a b =，(,)B b c =，则A B =∅，而{}A B b =。 (5) 不一定。如[,]A a b =, [,]B b c =, 则(,)A a b =, (,)B b c =，而

()(,)A B a c =，(,)\{}A B a c b =.

(6) 成立。因为A B A ⊂, A B B ⊂, 所以()A B A ⊂, ()A B B ⊂。因此，

有()A B A

B ⊂。设x A B ∈, 则存在10δ>，20δ>使得1(,)B x A δ⊂且2(,)B x B δ⊂,令12min(,)δδδ=,则(,)B x A B δ⊂。故有()x A B ∈，即

()A

B A B ⊂。因此，()A B A B =.

4．试作一点集A ，使得A '≠∅，而∅='')(A ．

解 令1111

{1,,,,,,}234A n

=，则{0}A '=，()A ''=∅.

5．试作一点集E ，使得b

E E ⊂．

解 取E =Q ，则b

E =R 。

6．证明：无聚点的点集至多是可数集．

证明 因为无聚点的点集必然是只有孤立点的点集，所以只要证明：任一只有孤立点的点集A 是最多可数。对任意的x A ∈，都存在0x δ>使得(,){}x B x A x δ=。有理开球（即中心为有理点、半径为正有理数的开球）(,)(,)x x x B P r B x δ⊂使得(,)x x x B P r ∈，从而

(,){}x x B P r A x =。显然，对于任意的,x y A ∈，当x y ≠时，有(,)(,)x x y y B P r B P r ≠，

从而(,)(,)x x y y P r P r ≠。令()(,)x x

f x P r =，则得到单射:n f A +

→⨯Q Q 。由于n +

⨯Q Q 可

数，所以，A 是最多可数。

7．无聚点的点集与只有孤立点的点集是否相同?

答 不相同。例如，点集1111

{1,

,,,,,}234A n

=只有孤立，但是有一个聚点：{0}A '=。

8．对无聚点的点集, 是否一定存在一个正数d , 使得该点集中任意二点间的距离大于

d ?

答 不一定。例如，取

1{(,0):1,2,}{(,):1,2,}A n n n n n -===，

则A 无聚点。但是()

11(,0),(,)0()d n n n n n --=→→∞，这说明：不存在一个正数d , 使得该点集中任意二点间的距离大于d 。

9．点集的聚点与点列的极限点有何异同? 证明：若E x '∈0，则存在E x n ⊂}{且

),(m n x x m n ≠≠ 使得)(0∞→→n x x n ．

证明 不同。聚点是针对点集的概念，而极限点（子列的极限）是针对点列的概念。对

于一个点列1{}n

k k x ∞=⊂R ，可以得到一个点集{:1,2,

}k E x k ==。 如果0x E '∈, 则0x 必

是点列1{}k k x ∞

=的极限点。反之不真。如取1(1,2,)k x k ==，则1是点列1{}k k x ∞=的极限点，

但它不是点集{:1,2,

}k E x k ==的聚点（因为{1}E =没有聚点）。对于可数点集

12{,,

,,}(())n k i j E x x x x x i j =⊂≠≠R ，

得到点列1{}k k x ∞

=。显然，点集E 的聚点与点列1{}k k x ∞

=的极限点是相同的。

设E x '∈0，则对11ε=, 01(,)B x ε中有E 的无限个点。任取一点

1001(\{})(,

)x E x B x ε∈。令1210min{(,),2}d x x ε-=，则02(,)B x ε中有E 的无限个点。任取一点2002(\{})

(,)x E x B x ε∈。如此下去, 可得点列1{}k k x ∞=满足： 00(\{})

(,)k k x E x B x ε∈，110min{(,),2}k k k d x x ε-+-=(k +∀∈Z ).

易见，1{}k k x ∞

=是E 的各项互不相同的点列且0(,)20()k k d x x k -<→→∞。可见，

0()k x x k →→∞。

10．证明：E x '∈0的充要条件是对任意0>δ，),(0δx B 含有一个异于0x 的E 的点． 证明 必要性显然.

充分性. 对11δ=, 在0(,1)B x 中有一点1x E ∈, 而10x x ≠。令

2101min{(,),}2

d x x δ=,

在02(,)B x δ中有一点2x E ∈且21x x ≠。令

3201min{(,),}3

d x x δ=,

在03(,)B x δ中有3x E ∈且30x x ≠。这样继续下去，得到E 中各项互不相同的点列{}n x 使得1

0(,)0()k d x x k

k -<→→∞。从而，0lim n n x x →∞

=，由上题知E x '∈0.

11．E x E x k ⊂∃⇔∈}{0使得)(0∞→→k x x k ．

证明 必要性。设0x E ∈，则1

0,(,)k k x E

B x k +

-∀∈∃∈Z 。显然，{}k x E ⊂且

)(0∞→→k x x k 。

充分性 设{}k x E ∃⊂使得)(0∞→→k x x k ，则0,N ε∀>∃使得当n N >时有

0(,)k d x x ε<，从而10(,)N x B x E ε+∈。可见，0x E ∈。