实变函数(程伟)
实变函数简明教程
实变函数简明教程
实变函数是数学中的一个重要概念，它是指定义在实数集上的函数。
实变函数在数学中有着广泛的应用，涉及到微积分、数学分析、概率论等多个领域。
本文将为大家介绍实变函数的基本概念、性质和应用。
一、实变函数的基本概念
实变函数是指定义在实数集上的函数，即函数的自变量和函数值都是实数。
实变函数可以用符号f(x)表示，其中x为实数，f(x)为实数集上的函数值。
实变函数的定义域为实数集，通常用D(f)表示。
二、实变函数的性质
1. 连续性：实变函数在定义域上连续，当且仅当对于任意的实数x0，函数f(x)在x0处极限存在且等于f(x0)。
2. 导数：实变函数在某一点处的导数表示函数在该点处的变化率，即函数在该点处的切线斜率。
如果函数在某一点处可导，则该点处的导数等于函数在该点处的切线斜率。
3. 积分：实变函数的积分是指对函数在某一区间上的面积或体积进行求解。
积分可以分为定积分和不定积分两种。
三、实变函数的应用
实变函数在数学中有着广泛的应用，以下是一些常见的应用：
1. 微积分：微积分是实变函数的重要应用之一，它涉及到导数、积分等概念，是研究实变函数的基础。
2. 数学分析：数学分析是研究实变函数的性质和变化规律的学科，它包括实分析和复分析两个方向。
3. 概率论：概率论是研究随机事件发生概率的学科，实变函数在概率论中有着重要的应用，如概率密度函数、累积分布函数等。
实变函数是数学中的一个重要概念，它在数学分析、微积分、概率论等多个领域中都有着广泛的应用。
对于学习数学的人来说，掌握实变函数的基本概念、性质和应用是非常重要的。
高数帮实变函数免费
高数帮实变函数免费实变函数是高等数学中的重要概念之一，它在数学和其他学科中都有着广泛的应用。
本文旨在介绍实变函数的基本概念和性质，以及其在数学和实际问题中的应用。
通过阅读本文，读者可以全面了解实变函数，并对如何解决数学问题有一定的指导意义。
首先，我们来了解实变函数的基本概念。
实变函数是定义域为实数集的函数，其自变量和函数值都为实数。
简单来说，就是将实数映射到实数的一种关系。
实变函数通常用表达式来表示，如f(x)，其中x为实数，f(x)为与之对应的函数值。
实变函数有一些基本的性质。
首先，实变函数可以进行加减乘除等基本运算，这使得我们可以对函数进行组合、分解和运算。
其次，实变函数还有定义域、值域、奇偶性、单调性等性质。
其中，定义域是自变量的取值范围，值域是函数值的取值范围。
奇偶性是指函数的对称性质，奇函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)。
单调性是指函数值随自变量的增减而增加或减小的性质。
实变函数在数学中有着广泛的应用。
首先，实变函数是微积分的基础，微分和积分这两个重要的数学操作都是基于实变函数的。
通过对实变函数的微分，我们可以求得函数在某点的导数，进而研究函数的变化率和曲线的切线。
通过对实变函数的积分，我们可以求得函数在某一区间上的面积、体积和定积分等。
其次，实变函数也广泛应用于物理和工程学科中。
例如，在物理中，物体的位移、速度和加速度等都可以用实变函数来描述和计算。
在工程中，实变函数可用于建模和解决各种实际问题，如电路分析、信号处理和优化等。
最后，我们来看一些实际问题中实变函数的应用。
例如，如果我们想分析一个物体的自由落体运动，可以用实变函数来描述其高度随时间的变化，通过对该函数进行微分和积分操作，可以得到其速度和加速度的表达式。
又如，在电路分析中，电流和电压的变化都可以用实变函数进行描述，通过对这些函数进行运算，可以求得电路中各个元件的特性参数。
再如，在金融领域中，实变函数可以用于模拟股票价格的变化，通过对函数进行分析和预测，可以帮助投资者做出合理的投资决策。
实变函数的性质及应用
实变函数的性质及应用实变函数是数学中常见的一类函数，其定义域和值域都是实数集。
在应用数学以及工程领域，实变函数的性质及应用非常广泛。
本文将探讨实变函数的一些基本性质，并介绍一些实际应用。
一、实变函数的基本性质1. 连续性与间断性：实变函数可以是连续函数，也可以是不连续函数。
连续函数在其定义域内不存在断裂点，而不连续函数可能存在跳跃或间断点。
2. 极限：实变函数的极限是指当自变量趋近于某个特定值时，函数值的趋近情况。
极限的存在与否可以用来判断函数的光滑性和收敛性。
3. 导数：实变函数的导数是用来描述函数的变化率，即函数在某点处的切线斜率。
导数的存在与连续性密切相关，可用来解决最优化问题。
4. 凹凸性：凹凸函数是指函数图像在任意两点间的曲线部分都位于直线部分的下方或上方。
凹函数具有一些特殊的性质，如在图像上有唯一的极小值点。
二、实变函数的应用1. 数学模型：实变函数在数学模型的建立与求解中具有重要作用。
通过对实际问题的抽象和描述，可以建立相应的实变函数模型，并利用函数的性质求解。
2. 物理问题：实变函数在物理问题中也有广泛应用。
例如，针对某一物理过程可以建立实变函数模型，通过对函数性质的研究，可以得到物理问题的解析解。
3. 经济学：实变函数在经济学中的应用非常广泛。
例如，经济学中常常使用实变函数来描述供给、需求、效用函数等经济关系。
通过研究函数的性质，可以获得有关经济现象的一些结论。
4. 信号处理：实变函数在信号处理中起着重要作用。
例如，通过对声音、图像等信号的离散采样，可以将连续信号离散化为实变函数，并进一步对其进行处理分析。
5. 金融学：实变函数在金融学中的应用日益重要。
例如，在量化投资中，通过对股票市场等金融数据的建模，可以得到实变函数来预测市场走势。
总之，实变函数作为数学中的重要概念，在应用数学以及工程领域有着广泛的应用。
通过研究实变函数的性质，我们可以更好地理解和解决实际问题。
实变函数的性质以及在不同领域的应用，给我们提供了丰富的数学工具，为我们探索和创新提供了更大的空间。
实变函数解题指南
实变函数解题指南实变函数解题指南实变函数是数学分析中一个重要的概念，指定义域是实数集的函数。
在实分析、微积分、数学物理等领域中都有广泛的应用，因此我们需要掌握实变函数的基本知识和解题方法。
一、实函数的基本概念1.定义域和值域实函数的定义域是实数集，用D表示。
函数f(D)的值域是所有实数f(x)的集合，用R表示。
定义域和值域是实函数的两个基本属性。
2.极限和连续性在实数集中，有两种极限，一种是无穷大极限，即当x越来越大（或越来越小）时，函数f(x)趋近于正（或负）无穷。
另一种是有限极限，即当x趋近于某一个常数a时，函数f(x)趋近于f(a)。
函数f(x)在点a处连续，当且仅当以下三个条件成立：（1）f(a)存在；（2）f(x)在a的左右极限都存在；（3）f(a)等于f(x)在a处的左右极限值。
3.偶函数和奇函数若对任意x∈D，有f(-x)=f(x)，则称f(x)为偶函数；若对任意x∈D，有f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数。
二、实函数的解题方法1.求函数极限函数极限是对函数趋近无穷或趋近某一点的表现。
一般解决函数极限问题需要分为以下两种情况：（1）y=f(x)在x=a处无限趋近于一个数L这时我们可以用代数方法、三角函数极限法、变量替换法、夹逼定理等方法来寻找函数f(x)的极限。
（2）y=f(x)当x趋向无穷时无限趋近于一个数L这时我们可以用拉格朗日中值定理、柯西中值定理或无穷小量比较法等方法来寻找函数f(x)的极限。
2.求导数与函数的极值求导数是解决实函数的最重要方法之一，求导数的基本方法有：（1）用定义式求导数；（2）利用几何意义求导数；（3）用复合函数求导数；（4）用幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的导数公式求导数。
求导后可以寻找函数的最值，求极值的基本方法有：（1）条件极值法（即Lagrange乘数法）；（2）二阶导数法（即判别函数极值的二阶导数方法）；（3）用变量替换法求极值。
实变函数讲稿1
1] ⎩0, x是 [ 0，中的无理数
( x ) ，则 f ( x ) 在 [ a, b] 一致收敛于
⎡ lim f ( x ) ⎤dx = lim f ( x )dx n n →∞ ∫a ⎣ n→∞ n ⎦
b
( x ) ，则 f ( x ) 在 [ a, b] 可积，并且
∫ f ( x )dx = lim ∫
（单调递增） 的， 如果 ∀n ∈ (B1) 集合序列 { An } 称为是单调上升
，
An ⊂ An +1 ;
（单调递减） 的， 如果 ∀n ∈ (B2) 集合序列 { An } 称为单调下降 则 lim An = 定理 2 (C1) 若 { An } 是单调上升的集列，
n →∞
，An ⊃ An +1 .
, 则 lim An = ∩ An = {0}
n →∞ n =1
4
实变函数讲稿
█
█
例 2 (p.6) 设 An = ⎨ x −1 +
⎧
⎩
1 1⎫ < x < 1 − ⎬ ， n = 1.2 n n⎭
∞ n →∞ n =1
, 求 lim An .
n →∞
解：因为 An ⊂ An +1 ， n = 1, 2,
∪A
n =1
∞
n
； (C2) 若 { An }
是单调下降的集列，则 lim An =
n →∞
∩A
n =1
∞
n
.
例 1 (p.6) 设 An = ⎨ x −
⎧ ⎩
1 <x< n
1⎫ ⎬ ， n = 1, 2, n⎭
, 求 lim An .
实变函数课件
实变函数在物理学中的应用
描述电磁场
通过实变函数，可以精确地描述电磁场的 分布和变化，为电磁学的研究提供数学工
具。
解决偏微分方程
实变函数可用于解决物理学中的偏微分方 程，如波动方程、热传导方程等，从而揭 示物理现象的数学规律。
量子力学
在量子力学中，实变函数被用于描述粒子 的波函数，揭示微观粒子的运动规律。
微观经济学
实变函数可用于描述消费者的 效用函数和生产者的成本函数 ，揭示微观经济行为的数学规
律。
宏观经济学
通过实变函数，可以建立宏观 经济模型，分析经济增长、通 货膨胀等宏观经济现象的数学
机制。
金融数学
实变函数在金融数学中有广泛 应用，如期权定价、投资组合 优化等，为金融市场的分析和
决策提供支持。
谢谢
积分的不等式与估计
介绍积分不等式和估计的基本方法，如Holder不等式、 Minkowski不等式、Chebyshev不等式等，并举例说明其应用。
05 实变函数的微分学
CHAPTER
导数与微分的概念
导数定义
详细阐述实变函数导数的定义及其几 何意义，包括左导数、右导数和导函
数等概念。
可导性判定
介绍判断函数在某点是否可导的方法 ，包括利用定义、导函数连续性等。
与连续性的区别
一致连续性是函数在整个区间上的性质，而连续性是函数在一点或一些点上的性质。一致连续的函数在整个区间上具 有“均匀”的连续性，即函数值的变化不会太快或太慢。
性质
一致连续的函数具有有界性、可积性等性质。
04 可测函数与积分
CHAPTER
可测函数的概念与性质
可测函数的定义
详细解释可测函数的定义，包括在给定集合上 的函数及其相关性质。
实变函数(程其襄版)第一至四章课后习题答案
（1） （2）
证明 我们只证明（1），（2）的证明类似的，请读者自证。
若 则对任意n 即 ，由n
的任意性， ；反之，若 ，对任意n， ，因此c是 的一个上界，于是 即
定理1
（交换律）
证明我们只证明
先设 则有 且有 于是
这证明了在证反过来的包含关系， Nhomakorabea ，则有 ,此即 ，因此 于是 。
综合起来，便是等式成立。
这表面，集合运算的分配律，在无限并的情况下依然成立
3、集合的差集和余集
若A和B是集合，称 为A和B是差集，A\B也可以记为A-B，如图1.3是A-B的示意图：
当我们讨论集合都是某个大集合S的子集时，我们称 为A的余集，并记为
在欧式空间 中， 写成
当全集确定时，显然 因此研究差集运算可以通过研究余集运算来实现。
显然
例13设 是如下一列点集
我们来 的上下极限。
因为闭区间 中的点属于 ，n=1，2，3，4，，，而对于开区间（1，2）中的每一个点x，必存在自然数N使得当n>N时候：
即当 时， 换句话说，对于开区间（0，2）中的x具有充分大的奇数指标的集含有x即 中无限多个集合含有x，而充分大的偶数指标集都不含有x即 中的集合不会是有限个，又区间 以外的点都不属于任意 ，因此
例3和例4说明，一个无限集可以和它的一
个真子集对等（可以证明，这一性质正是无
限集的特征，常用来作为无限集的定义）。
这一性质对有限集来说显然不能成立。由此可以看出无限集与有限集之间的深刻差异。
对等关系显然有一下性质：
定理1
对任意集合A,B,C,均有：
（1）（反射性） ;
实变函数的性质
实变函数的性质实变函数是数学中一种重要的函数类型，其定义域和值域都是实数集。
实变函数在数学分析、微积分、概率论等领域有广泛的应用。
本文将介绍实变函数的性质，包括定义、连续性、导数和积分等方面的内容。
1. 定义实变函数是定义在实数集上的函数，其表达形式为：f: D→R, x↦f(x)其中，D是定义域，R是值域。
实变函数的定义域和值域都是实数集，而不是复数集或其他数学结构。
2. 连续性实变函数的连续性是指函数在定义域上的连续性。
一个函数在某点连续的定义是：对于任意给定的ε>0，存在Δ>0，对于任意x属于定义域，只要|x-x_0|<Δ，就有|f(x)-f(x_0)|<ε。
也就是说，函数在x=x_0处的极限等于f(x_0)。
如果函数在定义域的每个点上都满足这个条件，那么它是一个连续函数；否则就是不连续函数。
3. 导数实变函数的导数描述了函数的变化率。
导数的定义是：f'(x) = lim(h→0) [(f(x+h)-f(x))/h]如果函数在某一点上的导数存在，则称函数在该点可导。
可导函数在该点处的切线斜率等于导数的值。
导数的存在条件是该极限存在且有限。
4. 不连续点实变函数存在三种类型的不连续点：可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点。
可去间断点是指在该点上函数的极限存在且有限，但函数在该点的值和极限值不相等；跳跃间断点是指函数在该点的两侧极限值相等，但函数在该点的值不存在；无穷间断点是指函数在该点的极限存在，但其极限为正无穷大或负无穷大。
5. 积分实变函数的积分是描述函数在给定区间上的累积总和。
对于连续函数来说，积分可以用定积分的方式进行计算。
定积分的计算方式是通过取极限将函数划分成无穷小的小矩形，并将其面积相加。
定积分的符号表示为∫f(x)dx，其中f(x)为要积分的函数。
6. 常用性质实变函数具有许多常用的性质，例如：- 奇偶性：如果对于定义在(-a, a)上的实变函数f(x)有f(a-x)=-f(x)，则称函数为奇函数；如果有f(a-x)=f(x)，则称函数为偶函数。
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程伟 2012 年 12 月 5 日
2
目录
第一章 实变函数论综述 1.1 1.2 1.3 Riemann 积分及其缺陷 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lebesgue 积分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 实变函数论谈什么？ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vitali 覆盖定理
任给 E ⊂ Rn ，{B (x, rx )}x∈E 为 E 的开覆盖，我们引入 Vitaili 覆盖定 理是为了解决下面看似矛盾的因素： (1) 在 {B (x, rx )}x∈E 中选取一族两两互不相交的球； (2) E 被这些球所覆盖。 显然这两者是不可能同时满足的。但我们可以放宽一些要求：Vitali 覆 盖定理牺牲了 (2)，而 Besicovitch 覆盖定理牺牲了 (1)。 为方便起见， 对 Rn 中开 （闭） 球 B， 记 B 的半径为 r(B )。 对 0 < a < ∞， 记 aB 为 B 的同心球且 r(aB ) = ar(B )。 定理 6.1. （Vitali 覆盖定理） 设 E ⊂ Rn 为有界集。设 F 为以 E 中每一点 为中心的开球族，则存在可数开球列 {Bα }∞ ，使得 α=1 ⊂ F （可能有限个） (1) {Bα } 两两互不相交； (2) E ⊂ ∪α⩾1 3Bα 。 证明：不妨设 supB ∈F r(B ) < ∞。我们利用数学归纳法选取这样的球：
5.2.1 5.2.2 5.2.3 第六章 微分 6.1
一般 L 空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p
卷积 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L (R ) 空间，1 ⩽ p < ∞ . . . . . . . . . . . . . . . .
注意第一个球 B1 也可以按照这种方法选得。因为 0 < dα < ∞，故此过程 一直可以继续下去。 由选取过程，(1) 是显然的。 任给 x ∈ E ， 存在 B ∈ F 以 x 为中心， 记 ρ = r(B )。 我们证明 B 必与所 选的球列 {Bα } 中的某球相交。否则任给 α，B ∩ Bα = ∅。这表明前面的选 择过程不会终止。事实上，任给 α，ρ ⩽ dα ，从而 r(Bα ) > dα /2 ⩾ ρ/2 > 0。 因为 ∪α⩾1 Bα 有界，从而其测度有限。但 {Bα } 两两互不相交表明 m( ∪
14
第四章 RN 上的 LEBESGUE 测度
第五章 Lp 空间
5.1 5.2
5.2.1 5.2.2 5.2.3 一般 Lp 空间 卷积 Lp (Rn ) 空间，1 ⩽ p < ∞
凸不等式 Lp 空间
16
第五章 LP 空间
第六章 微分
6.1
6 极大方法
第五章 Lp 空间 5.1 5.2 凸不等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p
5 54 54 55
参考文献
6
目录
第一章
实变函数论综述
1.1 Riemann 积分及其缺陷 1.2 1.3 Lebesgue 积分
实变函数论谈什么？
8
第一章 实变函数论综述
第二章 准备工作
2.1
2.1.1 2.1.2 集合的运算 映射·基数
集合论
2.2 2.3
Rn 的拓扑
σ -代数·Borel 集·Baire 定理 2.4 Rn 作为度量空间
α⩾1
Bα ) =
∑
α⩾ 1
m(Bα ) = ∞,
矛盾。 因为 B 与至少一个 Bα 相交，故存在最小的 α ⩾ 1 使得 B ∩ Bα ̸= ∅。 因此 B∩ ∪
β<α
B β = ∅.
这表明 ρ ⩽ dα < 2r(Bα )。任给 y ∈ B ∩ Bα ，若设 z 为 Bα 的中心 |x − z | ⩽ |x − y | + |y − z | < ρ + r(Bα ) < 3r(Bα ), 故 x ∈ Bα 。这就证明了 (2)。 □
6.3 6.4
更多关于覆盖定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 可微变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
第七章 R1 上函数的微分 7.1 单调函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1 7.1.2 7.2 单调函数的可微性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 单调函数的结构 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n
第三章 抽象 Lebesgue 积分 3.1 3.2 3.3 可测集·可测函数·测度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lebesgue 积分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 收敛的模式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 7 7 7 9 9 9 9 9 9 9 11 11 11 11 13 13
第二章 准备工作 2.1 集合论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 2.1.2 2.2 2.3 2.4
n
集合的运算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 映射·基数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B (x,r)
若 |x − x′ | ⩽ r′ − r，则 B (x, r) ⊂ B (x′ , r′ )。 （若 |y − x| < r，|y − x′ | ⩽ |y − x| + |x − x′ | < r′ 。 ）因此 ∫ 1 t< |f (y )| dy m(B (x, r′ )) B (x′ ,r′ ) ∫ 1 = |f (y )| dy m(B (x′ , r′ )) B (x′ ,r′ ) ⩽ M f (x). 这证明了 M f 的下半连续性，从而 M f 可测。
p n
Hardy-Littlewood 极大方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 6.1.2
6.2
Lebesgue 微分定理及其应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 6.2.2 6.2.3
R 的拓扑 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . σ -代数·Borel 集·Baire 定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . R 作为度量空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18 假设 B1 , B2 , . . . , Bα−1 已经选好，α ⩾ 1，定义 dα = sup{r(B ) : B ∈ F 且 B ∩ ∪β<α Bβ = ∅}
第六章
微分
若无 B ∈ F 使得 B ∩ ∪β<α Bβ = ∅，则该过程终止到 Bα−1 ，否则选取 Bα ∈ F ，使得 r(Bα ) > 1 dα 2 且 B ∩ ∪β<α Bβ = ∅.
有界变差函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
目录 7.3 7.4 绝对连续函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 进一步的注记 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
上， 1 M f (x) = sup 0<r<∞ m(B (x, r )) 极大函数 M f 具有以下性质 (1) M f 为下半连续函数。
∫ |f (y )| dy.
B (x,r )
若 M f (x) > t，则存在 0 < r < ∞ 使得 ∫ 1 t< |f (y )| dy. m(B (x, r)) B (x,r) 选取 r′ > r 使得 1 t< m(B (x, r′ )) ∫ |f (y )| dy.
n
目录 13 13 13 13 13 15 15 15 15 15 15 17 17 17 19 22 22 24 29 31 36 45 45 45 51 54 Vitali 覆盖定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hardy-Littlewood 极大函数 . . . . . . . . . . . . . . . . Lebesgue 微分定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 一些应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 磨光子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .