实变函数论课件2 基数(势)的定义
定义 2
若映射 f : A B 的值域 f ( A) 恰等于 B, 就说 f 是满射的. i.e.,y B, 存在x A, 使得f ( x ) y.
f 若映射 A B 使每个 y f ( A) 仅有唯一的 x A
f ( x ) | x E 称为 E
在映射 f 下）的象集 ,
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目的：掌握势的定义，熟悉势的性质， 了解势的比较。 重点与难点：势的定义及比较。
现实生活中，当我们谈到一组对象时， 很自然的会涉及到这一组对象的个数。集 合论也是这样. 假如我们不考虑某个集合中元素的具 体特性时，该集合含多少个元素则是一个 最基本的概念，比如 10个人组成的集合与 十块砖头组成的集合，虽然
系1 若 A B C, A ~ C, 则 A ~ B ~ C.
证明 A ~ C ，故可找到
1 1 f f 使 A C . 而 B A, 1 1
g g 另一方面 Bn An1 (n 1, 2, ), 从而 Bn An . (2) 11 n 1 11 n2
27 28
令 A \ A0 A1 g( B1 ) A2 g( B2 ) A3
f ( A1 ) B1 , f ( A2 ) B2 , f ( A3 ) B3 ,
.
f f 显然 An Bn (n 1, 2, ), 从而 An Bn . (1) 11 n 1 11 n 1
例2 设 N 1,2, , n, , Ne 2,4, ,2 n, , 则 N ~ Ne.
例1 N ~ Z
证明 定义 f ( n) 2n ( n N ), 显然 f 是 N 到 Ne 的一一映射 . 例 1、 2 揭示出了一个极其重要的事实，就是无限集是 有可能与它的真子集对等的，我们还将证 明任何一个无限集必然与它的一个真子集对等，这 对于有限集来说，显然是永远办不到的。
满足 f ( x ) y , 就说 f 是单射的. i.e.,x, y A, 若f ( x ) f ( y ), 则x y. 若映射 f : A B 既是满射的又是单射的, 就称 f 是 A 到 B 的一一映射, “一一映射”有时还 ( 说成“一一对应” ),
f 记作 f : A B 或 A B. 11 11
R1上至少有一个单位长度的区间不含
r1 ，
以 I 2 表示这个区间，将 I 2 三等分，其 左、右两个区间中至少有一个区间不 含 r3 ，记为 I 3 ，依此类推，可得一串 闭区间 I n ，满足：
I1 I 2 I 3 ，且 I n 的长度趋 （1） 于0
不妨设此间 I 1 [ 0 ,1 ], 将 [ 0 ,1 ] 分为三等 1 1 分，则 [ 0 , ], [ , 1 ] 中至少不含 r2 ，
8
映射
定义 1 设 A, B是两个集合， A 非空集. 若依照规则 f , 对于 A 中的每个元 x，在 B 中都有唯一确定的元 y 与之对应 , 就称 f 是 A 到 B 的映射 ,
f 记作 f : A B 或 A B,
而与 x 对应的元 y 称为 （在映射 x f 下）的象 , 记作 f ( x ). 集合 A 称为映射 f 的定义域 , 集合 f ( x ) | x A 称为映射 f 的值域. 集合
定理 1 （Bernstein 定理）设 A 与 B 的子集 B0 对等, 且 B 与 A 的子集 A0 对等, 则 A 与 B 对等.
f 证明 由 A ~ B0 知可找到一个 f 使 A B0 . 11 g 由 B ~ A0 知可找到一个 g 使 B A0 . 11
A0
f g
1
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个数，我们其实不必将这两堆石子的 个数 一一数出来，而只需每次各从两堆石子中 拿一粒，只要最后各剩下一粒石子，则它 们的个数就是一样的，否则就不同。这说 明，我们想知道两个集合是否有相同数量 的元素，只需看能否在这两个集合之间建 立一种一一对应关系，只要能建立这种关 系，我们就有理由认为，它们有相同的数 量，这种方法对无穷集也适用。
f 显然 A B. 又 (0,1) \ A [0,1] \ B, 故 (0， 1) \ A ~ 11
例 (0， 1) ~ (a，b ).
证明 定义 f ( x) a ( b a) x .
例 (0， 1) ~ R .
证明 定义 f ( x) tan( x ) . 2
AHale Waihona Puke 遗憾的是，至今尚无法证明或否认这是 真的。Zermelo 给集合论加上了一条公理， 即Zermelo 选择公理，依据这条公理便可证 明（i）、（ii）、（iii）有且仅且一种情形发 生。
B0
B
26
A0
f
由 g ( B ) A0 知 A2 g ( B1 ) A0 ,
A
A1 B1
g
f g
A2
g 由于 B A0, 11
结合（ 2 ）便知
f 故B f ( B ), f ( B ) C . 即 B 与 C 的一个子集
f ( B )对等 . 又 C B , C 当然与 B 的一个子集 C 对 等 . 由定理 1 便知 B ~ C . 从而 A ~ B ~ C . (3)
B1 , B 2 , , B n , 是两两无交的一列集 . 若 An ~ B n ( n 1, 2, ), 则 A1 A2 B1 B 2 ; An ~ B n ,
n 1 n 1 m m
（iii）若 A ~ B , B ~ C , 则 A ~ C . （传递性）
结论： (0,1) ~ [0,1] ~ ( , ) ~ (a ,b ) ~ a ,b
[0,1] \ B. 由命题 2 便知 (0,1) ~ [0,1].
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例4 N与R1不对等，即 N R 1 。 若不然，存在 N与R1的一个一一对应 ， 将与N中n对应的元素 (n) 记为 r n ，则
29 30
由（）及（ 1 3）便知
A~ B
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定理
若 A B,
B C,
则 A C.
f 11
证明 A B 故存在 f 及 B0 使 A B0 B. B C , 故存在 g 及 C 0 使 B C 0 C , 从而 B0 g ( B0 ) C.
这是不可能的。这一矛盾说明， N与R1 不可能对等。
定义3
假设A与B对等,则说A的势等于B的势， 记作 A B
1)若A ~ B, 则称 A B；
命题 A B A B .
定义4 假设A、B是两个集合，若 A与B 的某个真子集B*对等，但不与B对等，则说 A的势小于B的势，记作 大于A的势，记作
g B \ Bn A 0 \ An A \ An n 1 11 n2 n 1 g A \ An B \ Bn. n 1 11 n 1
1
于是
Bernstein 定理及系 1 是证明集合对等的有力 工具 . 例如, 根据系 1, 可从例 3 立即推出例 4 所述的结论 .
~
注：称与 A对等的集合为与 A有相同的势（基数）， 记作
A
势是对有限集元素个数概念的推广 .
11
2
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命题 2 设 A1 , A2 , , An , 是两两无交的一列集 ,
命题 1 对等关系有如下性质： （i） A ~ A； （ii） 若 A ~ B , 则 B ~ A； （反身性） （对称性）
n
可记作 {e1, e2...,en} 。这个过程实际上建立 了石子与自然数 1到n之间的一个一一对 应关系。如果我们想知道两堆石子是否有 相同个数，我们其实不必将这两堆石子的 个数一一数出来，而只需每次各从两堆石 子中拿一粒，只要最后各剩下一粒石子， 则它们的个数就是一样的，否则就不同。 这说明，我们想知道两个集合是否有相同
记作 f ( E ).
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10
设 f 是 A 到 B 的一一映射, 则对每个 y B 有唯一 x A 使 f ( x) y, 定义 g ( y) x ( 当f ( x) y 时） , 则 g 是 B 到 A 的一一映射 , 我们称 g 是f 的逆映射 , 记作 f 1. A ~ B
A B，或说B的势
2)若A ~ B1 B, 则称 A B； 相当于：A到B有一个单射，也相当于B到A有一个满射
命题 A B A 与 B 的某个子集对等.
A B。
3)若 A B, 且 A B，则称 A B 注：不能用A与B的一个真子集对等描述
4
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从合理性方面讲，任何两个集合 A和B 的势都应该是可以比较大小的，即下面三种 情况必有且仅有一种情况出现： （i） A B （ii） A B （iii） A B ； ； 。
An ~ B n ( m 1, 2, ).;
n 1
n 1
证 明 An ~ B n , 故 存 在 一 一 映 射 f n : An B n . 作 映 射 f : 对 每 个 x An , 令 f ( x ) f n ( x ), n 1, 2, .
13 14
f
A3 B3
g
而 A1 A \ A0 , 故 A1、 A2 无交. 从而 A1、 A2 在 f 下的象集 B1、 B2 无交 ,
B
B2
B0
从而 B1、 B2 在 f 下的象集 A2、 A3 无交 , 由 A2、 A3 均包含于 A0 知 A1 与 A2、 A3 均无交 , 故 A1、 A2、 A3 两两无交 , 从而 A1、 A2、 A3 在 f 下的象集 B1、 B2、 B3 两两无交 , 这样一直递推下去, 便知 A1、 A2、 A3， 两两无交 , 并且 B1、 B2、 B3， 也两两无交.
(2)集合的基数
则A1, A2 , A3 ,...互不相交，B1, B2 , B3 ,...亦然，且Ai与Bi对等 i = 1,2,...
所以由分解定理 ∪ A n与∪ Bn 对等；同理， ∪ Bk 与∪ A k +1对等
n =1 n =1 k =1 k =1 ∞ ∞ ∞ ∞
又因为A = ( A − ∪ An ) ∪ (∪ An )， ( B − ∪ Bk ) ∪ (∪ Bk ) = B
第 2 讲 集合的基数
一.比较集合元素多少的方法
对于有限集，方法有二： 1.分别数数法 2.一一配对法
二．一一对应———既单又满的映射
1．集合A到集合B内的映射 ：
ϕ :
A ⎯ ⎯ → B x ⎯ ⎯ → 唯 一 y = ϕ (x) ↓ 原 像 ↓ 像
值域 ϕ ( A) = { y | y = ϕ ( x), x ∈ A} ⊂ B
A=B
若
A ≤ B 且A与B不对等，则称 A < B
（2）命题 对任意集合A,B
A = B , A < B , A > B 14页定理1）
-----如[0,1]与N
小结
1.集合之间存在一一映射------集合对等 2.证明集合对等的方法: (1)找一一映射 (2)分解法 (3)伯恩斯坦定理等 3.对等的集合有相同基数；基数能比较大 小 4.能与其真子集对等的集合-----无限集 5.不是所有的无限集都对等.
作业： 1、证明[0,1] 与自然数集N不对等
2、第17页：1，2 3、证明推论1
问1:? 函数一定是一个一 一映射？
1−1 ϕ : A ⎯⎯ →B 问2:?
则集合A与B的元素多少怎样？
三.集合的对等
1−1 ϕ : A ⎯⎯ →B 1.定义： 若存在
实变函数课件
E[ f a] E[a f a n] ,
n 1
所以 E [ f a ] 是可测集．
2018年8月8日9时18分
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推论 设 f 在 E 上可测，则 E [ f = a ] 可测，不论
a 是有限实数或±∞ ．
证 因为
E[ f a] E[ f a] E[ f a]
2 可测的充要条件 定理1 设 f 是定义在可测集 E 上的实函数．下列
任一条件都是 f 在 E 上可测的充要条件：
⑴ 对任何实数 a , E [ f a ] 都可测； ⑵ 对任何实数 a , E [ f < a ] 都可测；
⑶ 对任何实数 a , E [ f a ] 都可测； ⑷ 对任何实数 a , b ( a < b ), E [ a f < b ] 都可测 （充分性要假定 | f (x ) | < ）． 证 只需证明条件 ⑴ ， ⑷ 的充要性．
{ x [a, b] | f ( x ) c }
下午9时18分43秒
2018年8月8日9时18分
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下午9时18分43秒
下午9时18分43秒
1 可测函数的定义
2 可测的充要条件 3 函数可测的充分条件 4 可测函数的四则运算 5 可测函数列的性质 6 可测函数与简单函数的关系 7 几乎处处问题
所以, m E[ f a] 0. 即E[ f a]为零测度集，从而可测 。 由函数可测的定义知， f ( x)在E上可测。
2018年8月8日9时18分
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实变函数论课件2 基数(势)的定义
可记作 {e1, e2...,en} 。这个过程实际上建立 了石子与自然数 1到n之间的一个一一对 应关系。如果我们想知道两堆石子是否有 相同个数，我们其实不必将这两堆石子的 个数一一数出来，而只需每次各从两堆石 子中拿一粒，只要最后各剩下一粒石子， 则它们的个数就是一样的，否则就不同。 这说明，我们想知道两个集合是否有相同
g B \ Bn A 0 \ An A \ An n 1 11 n2 n 1 g A \ An B \ Bn. n 1 11 n 1
1
于是
Bernstein 定理及系 1 是证明集合对等的有力 工具 . 例如, 根据系 1, 可从例 3 立即推出例 4 所述的结论 .
记作 f ( E ).
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设 f 是 A 到 B 的一一映射, 则对每个 y B 有唯一 x A 使 f ( x) y, 定义 g ( y) x ( 当f ( x) y 时） , 则 g 是 B 到 A 的一一映射 , 我们称 g 是f 的逆映射 , 记作 f 1. A ~ B
例2 设 N 1,2, , n, , Ne 2,4, ,2 n, , 则 N ~ Ne.
例1 N ~ Z
证明 定义 f ( n) 2n ( n N ), 显然 f 是 N 到 Ne 的一一映射 . 例 1、 2 揭示出了一个极其重要的事实，就是无限集是 有可能与它的真子集对等的，我们还将证 明任何一个无限集必然与它的一个真子集对等，这 对于有限集来说，显然是永远办不到的。
2n n n 1,2, 作对应关系 : 2n 1 n n 0,1,2, 则 是 N 与 Z 之间的一一对应。
结论：N ~ N 奇数 ~ N 偶数 ~ Z
实变函数第一章,第二节概述.
例
1、 定积分运算 a 为从[a,b]上的可积函数集 到实数集的映射 (函数,泛函,算子)
2、 集合的特征函数 : X {0,1} A （集合A与特征函数互相决定） 称 A ( x)
b
1 xA 0 xA
为集A的特征函数，
对等与势
1）设A,B是两非空集合，若存在着A到B的 一一映射（既单又满），则称A与B对等, 记作 A ~ B 约定 ~
A
A
~
fλ
B
B
Bernstein定理
设A, B是两个集，若有 A的子集A ，使B ~ A , 及B的子集B ，使A ~ B , 则A ~ B.
* * * *
Bernstein定理的证明
设A, B是两个集，若有 A的子集A*，使B ~ A* , 及B的 子集B *，使A ~ B * , 则A ~ B.
k 1 k 1 k 1 k 1
Bernstein定理的运用
证明: 若A B C且A ~ C, 则A ~ B ~ C
例：由 (0,1) [0,1] (,) ~ (0,1) 可知 (0,1) ~ [0,1] 试问如何构造两者间的既单又满的映射。 ，
１可数集的定义
由A3 A* , 知A1与A3不交, 故A1, A2 , A3两两不交
从而A1, A2 , A3在f 下的象B1, B2 , B3也两两不交，
Bernstein定理的证明
从而A1 , A2 , A3 ,两两不交, B1 , B2 , B3 ,也两两不交 而且An ~ Bn (n 1,2,), 所以 An ~ Bn
n 1 n 1 f f
实变函数论课件基数势的定义
目的：掌握势的定义，熟悉势的性质， 了解势的比较。
重点与难点：势的定义及比较。
现实生活中，当我们谈到一组对象时，很自然的会涉及到这一组对象的个数。
集合论也是这样.假如我们不考虑某个集合中元素的具体特性时，该集合含多少个元素则是一个最基本的概念，比如10个人组成的集合与十块砖头组成的集合，虽然特征不同，但作为集合，它们含相同个数的元素，十块砖头与九块砖头虽然有相同的属性，但其元素个数不同，而是两个不同的集合。
由此可见，集合所含元素的个数也是集合的一个重要的特征。
一．势的定义问题1：回忆有限集是如何计数的？问题2：有限集的计数方法如何移植到无限 集情形？心里默数着1，拿起第二粒石子时，心里默数着2，拿起最后一粒石子时，我们心里默数的最后一个数字就是石子的个数。
在这个过程中，我们不知不觉间将每粒石子都编了号，第一粒石子就是一号，不妨记作 ，第二粒石子就是二号，不妨记作 ，如果有n个石子，则最后一粒石子就是第n号，记作 ，于是这堆石子 ,...2e 1e ne设想有一堆石子，我们要知道它有多少个，当我们拿起第一粒石子时，可记作 。
这个过程实际上建立了石子与自然数1到n之间的一个一一对应关系。
如果我们想知道两堆石子是否有相同个数，我们其实不必将这两堆石子的个数一一数出来，而只需每次各从两堆石子中拿一粒，只要最后各剩下一粒石子，则它们的个数就是一样的，否则就不同。
这说明，我们想知道两个集合是否有相同}...,,{21n e e e个数，我们其实不必将这两堆石子的个数一一数出来，而只需每次各从两堆石子中拿一粒，只要最后各剩下一粒石子，则它们的个数就是一样的，否则就不同。
这说明，我们想知道两个集合是否有相同数量的元素，只需看能否在这两个集合之间建立一种一一对应关系，只要能建立这种关系，我们就有理由认为，它们有相同的数量，这种方法对无穷集也适用。
8映射1 , . , , ,: ,fA B A f A x B y f A B f A B A B →−−→定义设是两个集合，非空集若依照规则对于中的每个元，在中都有唯一确定的元与之对应就称是到的映射记作或9{}{} , ()., ()| .()| , ().x y x f f x A f f x x A f f x x E E f f E ∈∈而与对应的元称为（在映射下）的象记作集合称为映射的定义域集合称为映射的值域集合称为在映射下）的象集记作102 : () , .i.e.,,,().()(), .i.e.,,,()(f f A B f A B f y B x A f x y A B y f A x A f x y f x y A f x f →∀∈∈=−−→∈∈=∀∈=定义若映射的值域恰等于就说是满射的存在使得若映射使每个仅有唯一的满足就说是单射的若1111),. : , , (),: .f y x y f A B f A B f A B A B --=→−−→−−→则若映射既是满射的又是单射的就称是到的一一映射“一一映射”有时还说成“一一对应”记作或111 , (), () ( () , , , .f A B y B x A f x yg y x f x y g B A g f f -∈∈===设是到的一一映射则对每个有唯一使定义当时）则是到的一一映射我们称是的逆映射记作注：称与A 对等的集合为与A 有相同的势（基数）， 记作势是对有限集元素个数概念的推广.ABA ~ΦΦ~131 ~ ~, ~ ~, ~, ~. i A A ii A B B A iii A B B C A C 命题对等关系有如下性质：（）； （反身性）（）若则 ； （对称性）（）若则 （传递性）1412121212n 1n 1n 1n 12 ,,,, ,,,,, . ~(1,2,), ; ~ (1,2,).;~ ,n n n n mmn n n n A A A B B B A B n A A B B A B m A B ==∞∞==== 命题设是两两无交的一列集是两两无交的一列集若则~, :. : , ()(),1,2,.n n n n n n n A B f A B f x A f x f x n →∈== 证明故存在一一映射 作映射对每个令 例1 作对应关系则 是 与 之间的一一对应。
实变函数PPT
第一讲
1. 集合运算的基本性质 定理 1 (1) A A A , A A A (2) A A, A A, A A (3) A B B A, A B B A
(4) A B C A B C , A B C A B C
(5) A B C A B A C (6) A B C A C B C
第一讲
一． 言归正传
第1章 集合
§1.1 集合的运算
一． 集合的定义及其运算
1. 集合运算的定义
m
(1) 并： A B ， An ， An ， A
n 1
n 1
(2) 交： A B ， m ， An An ， A
n 1
n 1
(3) 差： A B
(4) 补：设 A S ，则 Cs A : S A
❖
（1）《微积分》或《数学分析》中讨论的函数都是比较好的函数，即
没有太多的间断点，基本上是连续函数，这些函数都有很好的可微性与可
积性，但在实际应用（理论与工程应用）中的函数一般都没有这样好的性
质。例如著名的Dirichlet函数。
D
x
1, 0,
x是0，1中的有理数 x是0，1中的无理数
在《数学分析》中，这个函数在0，1 的每一点不可微，在0，1
(9’)
S
A
S A
(10’)
S
A
S A
第一讲
一． 集合序列的上、下限集
定义 1.
假设An 是一列集合，称集合
Am
为序列
An
的
n1 mn
上限集，记作
lim
x
An
或
lim
x
sup
An
；称集合
实变函数 讲义
实变函数讲义
摘要：
一、实变函数的定义与背景
1.实变函数的定义
2.实变函数的背景与意义
二、实变函数的基本性质
1.连续性
2.可积性
3.可微性
三、实变函数的重要概念
1.实数集
2.实函数的极限
3.实函数的连续
四、实变函数的应用领域
1.数学分析
2.概率论与数理统计
3.工程与物理学
正文：
实变函数是数学中的一个重要分支，它主要研究实数集上的实函数的性质及其应用。
实变函数的定义是指，将实数集上的每一个实数映射到一个实数，满足某种性质的函数。
它的背景与意义在于，它是数学分析的基础，同时在概
率论、数理统计、工程和物理学等领域中都有着广泛的应用。
实变函数具有许多基本性质，包括连续性、可积性和可微性。
连续性是指，当自变量在某一区间内变化时，函数值的变化是连续的。
可积性是指，当自变量在某一区间内变化时，函数值在区间上的积分是有限的。
可微性是指，当自变量在某一区间内变化时，函数值在区间上的微分是存在的。
实变函数中有一些重要的概念，包括实数集、实函数的极限和连续。
实数集是实变函数的基础，它包括了所有的实数。
实函数的极限是指，当自变量趋近某个值时，函数值的变化趋势。
连续是指，当自变量在某一区间内变化时，函数值的变化是连续的。
实变函数的应用领域非常广泛，包括数学分析、概率论与数理统计、工程和物理学等。
在数学分析中，实变函数是分析的基础，它为微积分提供了理论基础。
在概率论与数理统计中，实变函数为概率分布和统计推断提供了理论基础。
实变函数论中的基本概念及性质分析
实变函数论中的基本概念及性质分析实变函数论是数学分析中的重要内容，主要研究实变函数的基本概念和性质。
实变函数是指定义域和值域都是实数的函数，在实际问题中具有广泛应用。
本文将从实变函数的基本概念、连续性、可导性、极限以及函数的性质等方面对实变函数进行分析。
一、实变函数的基本概念实变函数是数学中最基本的概念之一，它与虚变函数相对应，是指定义域和值域都是实数的函数。
实变函数可以表示为f：D→R，其中D为定义域，R为值域。
实变函数的定义域可以是一个区间、多个区间的并或交，甚至是整个实数集。
实变函数的定义有一些特点，首先是唯一性，同一个定义域和值域的实变函数只能有一个。
其次是有定义性，即每个值域中的元素都有相应的定义域中的元素与之对应。
此外，实变函数还具有有界性、单调性、周期性等多种性质。
二、实变函数的连续性和可导性连续性和可导性是实变函数的重要性质，对于函数的性质和应用具有重要意义。
连续性是指在定义域上函数的变化没有突变，没有间断点。
实变函数在某一点x=c处连续的充分必要条件是：函数在x=c处的极限存在且等于函数在x=c处的值。
如果函数在定义域的每一点处都连续，则称函数在该定义域上连续。
可导性是指函数在某一点处的导数存在。
实变函数f(x)在点x=c处可导的充分必要条件是：函数在点x=c处的两侧导数存在且相等。
如果函数在定义域的每一点处都可导，则称函数在该定义域上可导。
三、实变函数的极限极限是实变函数论中的重要概念，用于描述数列或函数在某一点处的逼近情况。
对于实变函数f(x)，当x无限靠近a时，f(x)无限靠近L，我们称L是函数f(x)在点x=a处的极限。
实变函数的极限有一些基本性质，如保号性、四则运算、夹逼准则等。
利用这些性质，我们可以求解实变函数的极限，帮助我们更好地理解和分析函数的行为。
四、实变函数的性质分析实变函数的性质分析是数学分析中的重要内容，可以帮助我们更深入地研究函数的特点和应用。
实变函数的性质有很多，如有界性、单调性、周期性、奇偶性等。
《实变函数论》课件
共轭内积和正交函数系
1
内积的概念和性质
实内积空间的定义和内积的基本性质。
2
共轭内积和正交函数
共轭内积的作用和正交函数的性质。
3
正交函数系的判定
判断一组函数是否为正交函数系的条件。
度量空间和完备空间的概念和定理
度量空间的概念
距离、度量、度量空间的 基本概念和性质。
完备空间的定义
完备空间的定义和完备空 间的常见例子。
完备空间的性质
完备空间的性质和完备性 的判定方法。
巴拿赫空间及其应用
巴拿赫空间的定义
泛函分析的应用
巴拿赫空间的定义和典型例子。
泛函分析在数学和物理领域中 的应用。
范数空间和巴拿赫空间
范数空间、巴拿赫空间之间的 关系和性质。
实变函数论
一、实变函数的概念和基本性质
连续函数及其性质
连续函数定义
函数连续的必要条件与充分条 件。
连续函数的常见性质
一致连续函数
闭区间上的连续函数一致连续， 最值和介值定理。
一致连续函数的定义和主要性 质。
变量的极限和连续性
1
函数的连续性
2
间断点的分类和连续函数的性质。
3
函数的极限
点极限、上极限、下极限的定义和性 质。
反常极限
无穷极限、无穷小量的定义和应用。
可积函数的概念和定理
可积函数的定义
黎曼可积函数与可积性的条件。
黎曼积分的性质
可积函数的性质，可积函数与连续函数的关系。
积分中值定理
黎曼积分中值定理的证明和应用。
点集上的函数
连通集与间断点
闭集与开集
连通集的性质和间断点的判定。 闭集、开集的定义和性质。
实变函数论PPT课件
VS
牛顿-莱布尼兹公式
对于任何给定的连续函数，在区间上的定 积分都可以通过求和的方式计算，该求和 公式称为牛顿-莱布尼兹公式。
微分与积分的应用举例
微分的应用
积分的应用
在物理学中，微分被广泛应用于计算速度、 加速度、位移等物理量；在经济学中，微分 被用于计算边际成本、边际收益等经济指标。
在物理学中，积分被广泛应用于计算面积、 体积、能量等物理量；在经济学中，积分被 用于计算总成本、总收入等经济指标。
实数集合R在通常的度量下是连 续的，即任意两个不同的实数之 间都存在其他实数。
在实数集合R中，任意两个不同 的实数之间都存在无限多的其他 实数。
实数的运算性质
加法性质
实数的加法满足交换律和结合律，即对任意实数x、y和z， 有x+y=y+x、(x+y)+z=x+(y+z)。
01
乘法性质
实数的乘法满足结合律，即对任意实数 x、y和z，有(x*y)*z=x*(y*z)。
有限覆盖定理
如果E是一个闭区间，{[a(n),b(n)}是一个开区间族，且E被 {[a(n),b(n)}覆盖，那么存在一个有限的子集族 {[a(n_i),b(n_i)}使得E被它覆盖。
03
集合论基础
集合的定义与性质
总结词
集合的基本概念和性质
详细描述
集合是由某些确定的元素所组成的，具有明确的概念和性质。集合可以通过列举法或描述法进行定义，并具有确 定性、互异性和无序性等基本性质。
实变函数论ppt课件
目录
• 引言 • 实数理论 • 集合论基础 • 测度论基础 • 可测函数与积分理论 • 微分与积分定理 • 实变函数论的应用