二次函数概念PPT课件
合集下载
《高三数学二次函数》课件
3 二次函数的单调性
二次函数的一般形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a neq 0$。二次函数的开口方向由系数$a$决定，当 $a > 0$时，开口向上；当$a < 0$时，开口向下。
4 二次函数的极值
二次函数的一般形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a neq 0$。二次函数的开口方向由系数$a$决定，当 $a > 0$时，开口向上；当$a < 0$时，开口向下。
已知二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$的图象经过点$(0, 0)$和$(1, -1)$ ，且在区间$( - infty, - frac{b}{2a})$ 上单调递减，求$a$的取值范围。
提高习题2
已知二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$的图象经过点$(0, 1)$和$(1, -1)$ ，且在区间$( - infty, - frac{b}{2a})$ 上单调递增，求$a$的取值范围。
04
下一步学习计划
01
深入学习其他类型的函数，如 三角函数、指数函数等，进一 步拓展数学知识面。
02
加强数学练习，通过大量的习பைடு நூலகம்题训练提高自己的解题能力和 数学思维能力。
03
学习数学中的其他重要概念和 定理，如导数、积分等，为后 续的学习打下坚实的基础。
04
参加数学竞赛或课外活动，与 其他同学一起探讨数学问题， 共同进步。
基础习题2
已知二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$在$x = 2$处取得最小值，求$a$的取值范围。
基础习题3
二次函数的应用课件ppt课件ppt课件ppt
要点一
导数在二次函数中的应用
利用导数研究二次函数的单调性、极值和拐点，解决实际 问题。
要点二
定积分在二次函数中的应用
利用定积分计算二次函数的面积，解决与面积相关的实际 问题。
THANKS
感谢观看
详细描述
二次函数是数学中一类重要的函数，其形式由参数$a$、$b$ 和$c$决定。当$a > 0$时，函数图像开口向上；当$a < 0$ 时，函数图像开口向下。
二次函数的图像
总结词
二次函数的图像是一个抛物线， 其形状由参数$a$、$b$和$c$决 定。
详细描述
二次函数的图像是一个抛物线， 其顶点的位置由参数$b$和$c$决 定，而开口的大小和方向则由参 数$a$决定。
在生产和生活中，经常需要解决诸如利润最大化、成本最小化等最优化问题。利 用二次函数开口方向和顶点坐标的性质，可以快速找到最优解，为决策提供依据 。
利用二次函数解决周期性问题
总结词
利用二次函数的对称性和周期性，解 决具有周期性规律的问题。
详细描述
在物理学、工程学和生物学等领域， 许多现象具有周期性规律。通过将实 际问题转化为二次函数模型，可以更 好地理解和预测这些周期性现象。
利用二次函数解决面积问题
总结词
利用二次函数与坐标轴的交点，解决 与面积相关的实际问题。
详细描述
在几何学和实际生活中，经常需要计 算图形的面积。通过将问题转化为求 二次函数与坐标轴围成的面积，可以 简化计算过程，提高解决问题的效率 。
04
如何提高二次函数的应用能力
掌握基本概念和性质
理解二次函数的一般 形式： $y=ax^2+bx+c$， 其中$a neq 0$。
导数在二次函数中的应用
利用导数研究二次函数的单调性、极值和拐点，解决实际 问题。
要点二
定积分在二次函数中的应用
利用定积分计算二次函数的面积，解决与面积相关的实际 问题。
THANKS
感谢观看
详细描述
二次函数是数学中一类重要的函数，其形式由参数$a$、$b$ 和$c$决定。当$a > 0$时，函数图像开口向上；当$a < 0$ 时，函数图像开口向下。
二次函数的图像
总结词
二次函数的图像是一个抛物线， 其形状由参数$a$、$b$和$c$决 定。
详细描述
二次函数的图像是一个抛物线， 其顶点的位置由参数$b$和$c$决 定，而开口的大小和方向则由参 数$a$决定。
在生产和生活中，经常需要解决诸如利润最大化、成本最小化等最优化问题。利 用二次函数开口方向和顶点坐标的性质，可以快速找到最优解，为决策提供依据 。
利用二次函数解决周期性问题
总结词
利用二次函数的对称性和周期性，解 决具有周期性规律的问题。
详细描述
在物理学、工程学和生物学等领域， 许多现象具有周期性规律。通过将实 际问题转化为二次函数模型，可以更 好地理解和预测这些周期性现象。
利用二次函数解决面积问题
总结词
利用二次函数与坐标轴的交点，解决 与面积相关的实际问题。
详细描述
在几何学和实际生活中，经常需要计 算图形的面积。通过将问题转化为求 二次函数与坐标轴围成的面积，可以 简化计算过程，提高解决问题的效率 。
04
如何提高二次函数的应用能力
掌握基本概念和性质
理解二次函数的一般 形式： $y=ax^2+bx+c$， 其中$a neq 0$。
22.1.1 二次函数 课件(共15张PPT)
新课导入
你 观 察 过 公 园 的 拱 桥 吗？
篮球入框，公 园里的喷泉， 雨后的彩虹都 会形成一条曲 线.这些曲线 能否用函数关 系式表示？
知识讲解
1.二次函数的定义
探究归纳
1 1
1
3
此式表示了种植面积y与边长x之间的关系，对于x的每一个值，y都有唯一 确定的一个对应值，即y是x的函数.
知识讲解
第 二十二章 二次函数
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质 22.1.1 二次函数
温故知新
1. 函数的定义 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确 定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
2. 一次函数与正比例函数
3.一元二次方程的一般形式
30(1+x)2
30(1+x)2
30(1+x)
此式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系，对于x的每一个值，y 都有唯一确定的一个对应值，即y是x的函数.
知识讲解
上述三个问题中的函数解析式具有哪些共同特征呢？
知识讲解
归纳总结
二次函数的定义：
注意
知识讲解
2.二次函数的应用 例1
不一定是，缺少 a≠0的条件
中y=0时得到的。
与前面我们学过的一元二 有什么联系和区别？
且a≠0； 可以看成是函数
区别:前者是函数，后者是方程；等式另一边前者是y，后 者是0。
随堂训练
B C
随堂训练
4.矩形的周长为16 cm,它的一边长为x（cm),面积为y（cm2). （1）求y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围； （2）求当x=3时矩形的面积.
二次函数ppt课件
22.1.1 二次函数
年 级：九年级 学 科：数学（人教版）
1.函数的定义：
3.一元二次方程的一般形式是什么？
2．一次函数的定义是什么？
知识回顾
观察图片，这些曲线能否用函数关系式来表示？它们的形状是怎样画出来的？
实际问题
归纳、抽象
数学模型
（1） 写出 <m></m> 与 <m></m> 的函数关系式；
（2） 当 <m></m> 时，求 <m></m> 的值.
解：（1）其中一直角边长为 <m></m> ，则另一直角边长为 <m></m> ，依题意得 <m>
（2）当 <m></m> 时， <m></m> .
引入新课
观察这三个函数关系式有什么共同特点？
1.都有两个变量2.整式3.自变量最高次数是2次
讲授新课
二次函数的概念
二次
一元二次方程？
一次？
总结
二次函数的概念
陋室铭
例1:判断下列函数中，哪些是二次函数？若是二次函数，请指出二次项系数、一次项系数、常数项。
×
×
×
×
√
×
√
√
例题讲解
函数
二次项系数
布置作业
3、如图，在 <m></m> 中， <m></m> ， <m></m> , <m></m> .动点 <m></m> 从点 <m></m> 开始沿边 <m></m> 向点 <m></m> 以 <m></m> 的速度移动;动点 <m></m> 从点 <m></m> 开始沿边 <m></m> 向点 <m></m> 以 <m></m> 的速度移动.如果 <m></m> , <m></m> 两点同时出发，那么 <m></m> 的面积 <m></m> 随出发时间 <m></m> 如何变化?写出函数关系式.
年 级：九年级 学 科：数学（人教版）
1.函数的定义：
3.一元二次方程的一般形式是什么？
2．一次函数的定义是什么？
知识回顾
观察图片，这些曲线能否用函数关系式来表示？它们的形状是怎样画出来的？
实际问题
归纳、抽象
数学模型
（1） 写出 <m></m> 与 <m></m> 的函数关系式；
（2） 当 <m></m> 时，求 <m></m> 的值.
解：（1）其中一直角边长为 <m></m> ，则另一直角边长为 <m></m> ，依题意得 <m>
（2）当 <m></m> 时， <m></m> .
引入新课
观察这三个函数关系式有什么共同特点？
1.都有两个变量2.整式3.自变量最高次数是2次
讲授新课
二次函数的概念
二次
一元二次方程？
一次？
总结
二次函数的概念
陋室铭
例1:判断下列函数中，哪些是二次函数？若是二次函数，请指出二次项系数、一次项系数、常数项。
×
×
×
×
√
×
√
√
例题讲解
函数
二次项系数
布置作业
3、如图，在 <m></m> 中， <m></m> ， <m></m> , <m></m> .动点 <m></m> 从点 <m></m> 开始沿边 <m></m> 向点 <m></m> 以 <m></m> 的速度移动;动点 <m></m> 从点 <m></m> 开始沿边 <m></m> 向点 <m></m> 以 <m></m> 的速度移动.如果 <m></m> , <m></m> 两点同时出发，那么 <m></m> 的面积 <m></m> 随出发时间 <m></m> 如何变化?写出函数关系式.
初中数学九年级PPT课件二次函数可编辑全文
2
解：根据题意，得
k
1 2
0
①
2k 2 k 1 2
②
由①，得 k 1
2
由②，得
k1
1 2
,
k
2
1
∴
k 1
二.抛物线y=ax2+bx+c的特征与a、 b、c的符号：
(1)a决定开口方向:aa
0, 0,
开口向上, 开口向下;
((32))a与c决b定决抛定物对线称轴与位y轴置交:点aa,,位bb异 同置号 号， ，在 在yy轴 轴右 左侧 侧； ，
4a+2b+c=0
c=3
36a-6b+c=0
解得：
a=Leabharlann 1 4b= -1c=3
所以二次函数的解析式为： y 1 x2 x 3 4
顶点式：
解：因为二次函数的对称轴为x=-2,所以可设函 数的解析式为：y=a(x+2)2+k，把点（2，0） （0，3）代入可得：
16a+k=0
4a+k=3
解得
a=
例2、函数
y 1 x2 x 2
2
3
的开口方向
向上
，
顶点坐标是 ( 1 , 1 ) 6
，对称轴方程是 x 1.
解：a 1 ,b 1, c 2
2
3
a 0,
开口向上
又 b 2a
1 2
1
1
2
4ac b2
4 1 2 12 23
1
4a
4 1
6
2
∴ 顶点坐标为: (1, 1 ) 6
对称轴方程是： x 1
1 4
k=4 所以二次函数的解析式为：y 1 x2 x 3
解：根据题意，得
k
1 2
0
①
2k 2 k 1 2
②
由①，得 k 1
2
由②，得
k1
1 2
,
k
2
1
∴
k 1
二.抛物线y=ax2+bx+c的特征与a、 b、c的符号：
(1)a决定开口方向:aa
0, 0,
开口向上, 开口向下;
((32))a与c决b定决抛定物对线称轴与位y轴置交:点aa,,位bb异 同置号 号， ，在 在yy轴 轴右 左侧 侧； ，
4a+2b+c=0
c=3
36a-6b+c=0
解得：
a=Leabharlann 1 4b= -1c=3
所以二次函数的解析式为： y 1 x2 x 3 4
顶点式：
解：因为二次函数的对称轴为x=-2,所以可设函 数的解析式为：y=a(x+2)2+k，把点（2，0） （0，3）代入可得：
16a+k=0
4a+k=3
解得
a=
例2、函数
y 1 x2 x 2
2
3
的开口方向
向上
，
顶点坐标是 ( 1 , 1 ) 6
，对称轴方程是 x 1.
解：a 1 ,b 1, c 2
2
3
a 0,
开口向上
又 b 2a
1 2
1
1
2
4ac b2
4 1 2 12 23
1
4a
4 1
6
2
∴ 顶点坐标为: (1, 1 ) 6
对称轴方程是： x 1
1 4
k=4 所以二次函数的解析式为：y 1 x2 x 3
苏科版九年级下册61二次函数ppt课件
THANK YOU
感谢聆听
二次函数的表达式
总结词
二次函数的表达式是描述函数与自变量之间关系的数学式子 。
详细描述
二次函数的表达式是用来描述函数与自变量之间关系的数学式 子。对于一般的二次函数，其表达式为$y=ax^2+bx+c$，其 中$a$、$b$、$c$是常数，且$a neq 0$。这个表达式可以用 来计算任意自变量值对应的函数值。
详细描述
二次函数的顶点坐标可以通过公式(-b/2a, c-b^2/4a)计算得出。其中，b和a是二次函数的一般形式 y=ax^2+bx+c中的系数。顶点是抛物线的最低点或最高点，也是抛物线与对称轴的交点。
二次函数的对称轴
总结词
对称轴的方程是x=-b/2a。
详细描述
二次函数的对称轴是一条垂直于x轴的直线，其方程是x=-b/2a。对称轴是抛物线与x轴平行的线，它 穿过抛物线的顶点，并且将抛物线平分为两个对称的部分。
04
习题与练习
基础习题
基础习题1
已知二次函数$y = ax^2 + bx + c$的图象经过点$(1,0)$，且$a + b + c = 0$，求证： 这个二次函数的图象必与$x$轴相交于两点。
基础习题2
已知二次函数$y = ax^2 + bx + c$的图象经过点$(0,2)$，且$a - b + c = 0$，求证： 这个二次函数的图象必与$x$轴相交于一点。
矩形面积问题
在二次函数图像上选择合适的点 作为矩形的顶点，可以计算出矩 形的面积。
利用二次函数解决实际问题
抛物线拱桥问题
在实际生活中，抛物线拱桥的形状可 以通过二次函数来描述，从而解决与 拱桥相关的问题。
二次函数初三ppt课件ppt课件ppt课件
二次函数初三ppt课件ppt 课件ppt课件
contents
目录
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的性质 • 二次函数的应用 • 二次函数的解析式 • 二次函数与一元一次方程的关系 • 综合练习与提高
01 二次函数的基本 概念
二次函数的定义
总结词
二次函数是形如$y=ax^2+bx+c$的 函数，其中$a$、$b$、$c$为常数 ，且$a neq 0$。
详细描述
二次函数的一般形式是 $y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$、 $c$是常数，且$a neq 0$。这个定义 表明二次函数具有一个自变量$x$，一 个因变量$y$，并且$x$的最高次数为 2。
二次函数的表达式
总结词
二次函数的表达式可以因形式多样而变化，但一般包括三个部分：常数项、一 次项和二次项。
02 二次函数的性质
二次函数的开口方向
总结词
二次函数的开口方向取决于二次 项系数a的正负。
详细描述
如果二次项系数a大于0，则抛物 线开口向上；如果二次项系数a小 于0，则抛物线开口向下。
二次函数的顶点
总结词
二次函数的顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
详细描述
二次函数的顶点是抛物线的最低点或最高点，其坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)，其中 a、b、c分别为二次项、一次项和常数项的系数。
解一元二次方程的方法包括公式法和 因式分解法等。
利用二次函数解决一元一次方程问题
当一元一次方程有重根时，可以通过构建二次函数来求解。
构建二次函数的方法是将一元一次方程转化为二次函数的形 式，然后利用二次函数的性质找到根。
06 综合练习与提高
contents
目录
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的性质 • 二次函数的应用 • 二次函数的解析式 • 二次函数与一元一次方程的关系 • 综合练习与提高
01 二次函数的基本 概念
二次函数的定义
总结词
二次函数是形如$y=ax^2+bx+c$的 函数，其中$a$、$b$、$c$为常数 ，且$a neq 0$。
详细描述
二次函数的一般形式是 $y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$、 $c$是常数，且$a neq 0$。这个定义 表明二次函数具有一个自变量$x$，一 个因变量$y$，并且$x$的最高次数为 2。
二次函数的表达式
总结词
二次函数的表达式可以因形式多样而变化，但一般包括三个部分：常数项、一 次项和二次项。
02 二次函数的性质
二次函数的开口方向
总结词
二次函数的开口方向取决于二次 项系数a的正负。
详细描述
如果二次项系数a大于0，则抛物 线开口向上；如果二次项系数a小 于0，则抛物线开口向下。
二次函数的顶点
总结词
二次函数的顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
详细描述
二次函数的顶点是抛物线的最低点或最高点，其坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)，其中 a、b、c分别为二次项、一次项和常数项的系数。
解一元二次方程的方法包括公式法和 因式分解法等。
利用二次函数解决一元一次方程问题
当一元一次方程有重根时，可以通过构建二次函数来求解。
构建二次函数的方法是将一元一次方程转化为二次函数的形 式，然后利用二次函数的性质找到根。
06 综合练习与提高
二次函数说课ppt课件ppt课件ppt课件
详细描述
二次函数在日常生活中有着广泛的应用，如最优化问题、经济模型、物理学中的抛物线 运动等。通过这些实际应用场景，学生可以更好地理解二次函数的实际意义和重要性。
物理中的二次函数
总结词
运动轨迹、能量变化
VS
详细描述
在物理学中，二次函数经常用于描述物体 的运动轨迹，如抛物线运动。此外，在能 量守恒问题中，二次函数也经常出现，用 于描述能量随时间的变化关系。通过与物 理学的结合，学生可以更深入地理解二次 函数的物理意义。
因式分解法
要点一
总结词
通过因式分解将二次函数转化为两个一次函数的乘积，便 于分析函数的零点、单调性和值域。
要点二
详细描述
因式分解法是将二次函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 转化为 两个一次函数的乘积，如 $f(x) = (ax + b)(cx + d)$。通 过因式分解，可以方便地找到函数的零点（即 $f(x) = 0$ 的解），分析函数的单调性（根据导数符号判断）和值域 （根据函数图像和定义域判断）。
数学竞赛中的二次函数
总结词
难度高、技巧性强
详细描述
在数学竞赛中，二次函数经常作为压轴题目 出现，难度较高，技巧性强。通过解决这类 问题，学生可以提高自己的数学思维能力和 解决问题的能力，为未来的学习和竞赛打下 坚实的基础。
CHAPTER 04
二次函数的解题策略
配方法
总结词
通过配方将二次函数转化为顶点式，便于分 析函数的开口方向、对称轴和顶点坐标。
二次函数的图像
总结词
二次函数的图像是一个抛物线，其形状由系数$a$决定。
详细描述
二次函数的图像是一个抛物线。当$a > 0$时，抛物线开口向上；当$a < 0$时 ，抛物线开口向下。系数$b$和$c$决定了抛物线的位置和顶点。通过研究二次 函数的图像，我们可以更好地理解其性质和特点。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（1）二次项系数是一次项系数的2倍， 常数项为任意值。
（2）二次项系数为-5，一次项系数为 常数项的3倍。
展示才智
3、若函数 y (m2 1)xm2m 为二次函数，求 m的值。
解：因为该函数为二次函数，
则
m 2 m 2(1)
m
2
1
0(2)
解（1）得：m=2或-1
解（2）得： m 1且m 1
(1)圆的面积 y ( cm2 )与圆的半径 x ( cm ) y =πx2
(2)某商店1月份的利润是2万元，2、3月 份利润逐月增长，这两个月利润的月平 均增长率为x，3月份的利润为y
y = 2(1+x)2
合作学习，探索新知 :
(3)拟建中的一个温室的平面图如图,如果
温室外围是一个矩形，周长为12Om , 室
10,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为7,求这
个二次函数的解析试.
解：设所求的二次函数 为y ax2 bx c,由题意得：
｛a b c 10 abc 4
4a 2b c 7
待定系数法
解得，a 2,b 3, c 5
所求的二次函数是 y 2x2 3x 5
例4. 已知二次函数y=x²+px+q,当x=1时,函 数值为4,当x=2时,函数值为- 5, 求这个二 次函数的解析式.
当m为何值时，函数 y＝(m－2)xm2－2＋4x－5是
x的二次函数
练习：y＝(m＋3)xm2＋m－4＋ (m＋2)x＋3， 当m为何值时，y是x的二 次函数？
例2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数 （1）写出正方体的表面积S（cm2）与正方体棱长a（cm） 之间的函数关系； （2）写出圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函 数关系； （3）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（ cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系．
又例：y=x²+ 2x – 3
做一做:
（1）正方形边长为x（cm），它的面积y（cm2） 是多少？
（2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长 增加x厘米，宽增加2x厘米,则面积增加到y平方厘 米，试写出y与x的关系式． 解：（1）y x2 (2) y (4 x)(3 2x) 2x2 11x 12
所以m=2
判断：下列函数是否为二次函数，如果是，
指出其中常数a.b.c的值.
(1) y＝1— 3x2
(2)y＝x(x－5)
(3)y＝ 1 x2－ 3 x＋1
2
2
(4) y＝3x(2－x)＋ 32x2
1
(5)y＝ 3x2 2x 1 (6) y＝ x2 5x 6
(7)y＝ x4＋2x2－1 (8)y＝ax2＋bx＋c
2020/7/9
知识回顾
1.一元二次方程的一般形式是什么？ 2。一次函数、正比例函数的定义是 什么？
创设情境，导入新课
问题：
（1）你们喜欢打篮球吗？ （2）你们知道：投篮时，篮球运动的 路线是什么曲线？怎样计算篮球达到 最高点时的高度？
二次函数
合作学习，探索新知 :
请用适当的函数解析式表示下列问题情 境中的两个变量 y 与 x 之间的关系：
解: （1）由题意得 S 6a2 (a 0) 其中S是a的二次函数；
（2）由题意得 y x 2 (x 0) 其中y是x的二次函数；
4
（3）由题意得 S 1 x(26 x) 1 x2 13x(0 x 26)其中S是x的
2
2
二次函数
例3:已知关于x的二次函数,当x=－1时,函数值为
经化简后都具有y=ax²+bx+c 的形式. (a,b,c是常数, a≠0 )
（1）关系式都是整式，（2）自变量的最高次数是 二次，（3）二次项系数不等于零
❖ 我们把形如y=ax²+bx+c(其中a,b,c
是常数，a≠0)的函数叫做二次函数
称：ax2叫做二次项，a为二次项系数 bx叫做一次项， b为一次项系数 c为常数项,
内通道的尺寸如图,设一条边长为 x (m),
种植面积为 y (m2)。
Байду номын сангаас
1
1
1
y = (60-x-4)(x-2)
x
3
合作学习，探索新知 :
1.y =πx2 2.y = 2(1+x)2 3.y= (60-x-4)(x-2) =2x2+4x+2 =-x2+58x-112
上述三个问题中的函数解析式具有哪些共同的 特征?
( 是)
(4)y x2 2x 3
( 否)
(5) y (x 2)( x 2) (x 1)2 ( 否 )
知识运用
３、下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y=3x-1
(2)y=3x2
(3)y=3x3+2x2
(4)y=2x2-2x+1
(5)y=x-2+x
(6)y=x2-x(1+x)
例1: 关于x的函数 y (m 1)xm2m 是二次函
（2）你能说出这里自变量能取哪些值呢？ x取任意实数
开动脑筋
问题：是否任何情况下二次函数中的自变量 的取值范围都是任意实数呢？
例如：圆的面积 y ( cm)与2 圆的半径 x（cm)
的函数关系是
y =πx2
其中自变量x能取哪些值呢？ x 0
注意:当二次函数表示某个实际问题时,还必 须根据题意确定自变量的取值范围.
解：把x=1,y=4和x=2,y=-5分别代入
函数y x2 px q,得：
｛1 p q 4 4 2 p q 5
解得，p 12, q 15.
所求的二次函数是y x2 12x 15
牛刀小试
例5.已知二次函数 y 2(x 1)2 4
（1）你能说出此函数的最小值吗？ 当x=1时,函数y有最小值为4
抓住机遇 展示自我
1.下列函数中,哪些是二次函数?
(1) y x2
是
1 (2) y x2 (3) y x(1 x)
不是 是
(4) y (x 1)2 x2
不是
先化简后判断
２、下列函数中，哪些是二次函数？
(1) y 3x2 2
(是 )
(2) y x2 1 x
( 否)
(3) y (x 2)(x 3)
数, 求m的值.
解: 由题意可得
m2 m 2 m1 0
解得，m 2 当m 2时，函数为二次函数。
注意:二次函数的二次项系数不能为零
知识运用
练习m取何值时，函数是
m2 2m1
y= (m+1)x
+(m-3)x+m 是二次函数？
驶向胜利 的彼岸
练一练:
练习2、请举1个符合以下条件的y关于x的 二次函数的例子
（2）二次项系数为-5，一次项系数为 常数项的3倍。
展示才智
3、若函数 y (m2 1)xm2m 为二次函数，求 m的值。
解：因为该函数为二次函数，
则
m 2 m 2(1)
m
2
1
0(2)
解（1）得：m=2或-1
解（2）得： m 1且m 1
(1)圆的面积 y ( cm2 )与圆的半径 x ( cm ) y =πx2
(2)某商店1月份的利润是2万元，2、3月 份利润逐月增长，这两个月利润的月平 均增长率为x，3月份的利润为y
y = 2(1+x)2
合作学习，探索新知 :
(3)拟建中的一个温室的平面图如图,如果
温室外围是一个矩形，周长为12Om , 室
10,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为7,求这
个二次函数的解析试.
解：设所求的二次函数 为y ax2 bx c,由题意得：
｛a b c 10 abc 4
4a 2b c 7
待定系数法
解得，a 2,b 3, c 5
所求的二次函数是 y 2x2 3x 5
例4. 已知二次函数y=x²+px+q,当x=1时,函 数值为4,当x=2时,函数值为- 5, 求这个二 次函数的解析式.
当m为何值时，函数 y＝(m－2)xm2－2＋4x－5是
x的二次函数
练习：y＝(m＋3)xm2＋m－4＋ (m＋2)x＋3， 当m为何值时，y是x的二 次函数？
例2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数 （1）写出正方体的表面积S（cm2）与正方体棱长a（cm） 之间的函数关系； （2）写出圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函 数关系； （3）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（ cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系．
又例：y=x²+ 2x – 3
做一做:
（1）正方形边长为x（cm），它的面积y（cm2） 是多少？
（2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长 增加x厘米，宽增加2x厘米,则面积增加到y平方厘 米，试写出y与x的关系式． 解：（1）y x2 (2) y (4 x)(3 2x) 2x2 11x 12
所以m=2
判断：下列函数是否为二次函数，如果是，
指出其中常数a.b.c的值.
(1) y＝1— 3x2
(2)y＝x(x－5)
(3)y＝ 1 x2－ 3 x＋1
2
2
(4) y＝3x(2－x)＋ 32x2
1
(5)y＝ 3x2 2x 1 (6) y＝ x2 5x 6
(7)y＝ x4＋2x2－1 (8)y＝ax2＋bx＋c
2020/7/9
知识回顾
1.一元二次方程的一般形式是什么？ 2。一次函数、正比例函数的定义是 什么？
创设情境，导入新课
问题：
（1）你们喜欢打篮球吗？ （2）你们知道：投篮时，篮球运动的 路线是什么曲线？怎样计算篮球达到 最高点时的高度？
二次函数
合作学习，探索新知 :
请用适当的函数解析式表示下列问题情 境中的两个变量 y 与 x 之间的关系：
解: （1）由题意得 S 6a2 (a 0) 其中S是a的二次函数；
（2）由题意得 y x 2 (x 0) 其中y是x的二次函数；
4
（3）由题意得 S 1 x(26 x) 1 x2 13x(0 x 26)其中S是x的
2
2
二次函数
例3:已知关于x的二次函数,当x=－1时,函数值为
经化简后都具有y=ax²+bx+c 的形式. (a,b,c是常数, a≠0 )
（1）关系式都是整式，（2）自变量的最高次数是 二次，（3）二次项系数不等于零
❖ 我们把形如y=ax²+bx+c(其中a,b,c
是常数，a≠0)的函数叫做二次函数
称：ax2叫做二次项，a为二次项系数 bx叫做一次项， b为一次项系数 c为常数项,
内通道的尺寸如图,设一条边长为 x (m),
种植面积为 y (m2)。
Байду номын сангаас
1
1
1
y = (60-x-4)(x-2)
x
3
合作学习，探索新知 :
1.y =πx2 2.y = 2(1+x)2 3.y= (60-x-4)(x-2) =2x2+4x+2 =-x2+58x-112
上述三个问题中的函数解析式具有哪些共同的 特征?
( 是)
(4)y x2 2x 3
( 否)
(5) y (x 2)( x 2) (x 1)2 ( 否 )
知识运用
３、下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y=3x-1
(2)y=3x2
(3)y=3x3+2x2
(4)y=2x2-2x+1
(5)y=x-2+x
(6)y=x2-x(1+x)
例1: 关于x的函数 y (m 1)xm2m 是二次函
（2）你能说出这里自变量能取哪些值呢？ x取任意实数
开动脑筋
问题：是否任何情况下二次函数中的自变量 的取值范围都是任意实数呢？
例如：圆的面积 y ( cm)与2 圆的半径 x（cm)
的函数关系是
y =πx2
其中自变量x能取哪些值呢？ x 0
注意:当二次函数表示某个实际问题时,还必 须根据题意确定自变量的取值范围.
解：把x=1,y=4和x=2,y=-5分别代入
函数y x2 px q,得：
｛1 p q 4 4 2 p q 5
解得，p 12, q 15.
所求的二次函数是y x2 12x 15
牛刀小试
例5.已知二次函数 y 2(x 1)2 4
（1）你能说出此函数的最小值吗？ 当x=1时,函数y有最小值为4
抓住机遇 展示自我
1.下列函数中,哪些是二次函数?
(1) y x2
是
1 (2) y x2 (3) y x(1 x)
不是 是
(4) y (x 1)2 x2
不是
先化简后判断
２、下列函数中，哪些是二次函数？
(1) y 3x2 2
(是 )
(2) y x2 1 x
( 否)
(3) y (x 2)(x 3)
数, 求m的值.
解: 由题意可得
m2 m 2 m1 0
解得，m 2 当m 2时，函数为二次函数。
注意:二次函数的二次项系数不能为零
知识运用
练习m取何值时，函数是
m2 2m1
y= (m+1)x
+(m-3)x+m 是二次函数？
驶向胜利 的彼岸
练一练:
练习2、请举1个符合以下条件的y关于x的 二次函数的例子