二次函数的基本概念

这种产品的原产量是20件,一年后的产量
是 20(1+x)件,再经过一年后的产量是
20(1+x)2 件,即两年后的产量为:y=20(1+x.)2
即: y=20x2+40x+20 此式表示了两年后的产量y与计划
增产的倍数x之间的关系,对于x的每一 个值,y都有一个对应值,即y是x的函数.
观察下列函数有什么共同点:
练习:
1.一个圆柱的高等于底面半径,写出它 的表面积 s 与半径 r 之间的关系式. 2. n支球队参加比赛,每两队之间进行 一场比赛,写出比赛的场次数 m与球 队数 n 之间的关系式.
3.函数 y=(m－n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( ) (A) m,n是常数,且m≠0 (B) m,n是常数,且n≠0 (C) m,n是常数,且m≠n (D) m,n为任何实数 4. 圆的半径是1cm,假设半径增加xcm时,圆的面积增加 ycm². (1)写出y与x之间的函数关系表达式；
的函数,叫做二次函数.其中,是x自变量,a,b,c分 别是函数表达式的二次项系数、一次项系数 和常数项.
注意: (1)等号左边是函数y，右边是关于自变量x的整式
(2) a,b,c为常数，且 a≠0.
(3)等式右边的最高次数为 2 ，可以没有一次项和
常数项，但不能没有二次项.
(4) 自变量x的取值范围是 任意实数
求m的值
2
例3、用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地
面积S(m²)与矩形一边长a(m)之间的关系是什
么？是函数关系吗？是哪一种函数？
解: S a 60 2a a(30 a)
2
a2 30a
S是 a 的二次函数。
a
例4.某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子. 现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那 么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据 经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.
(1)问题中有那些变量? (2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子
树?这时平均每棵树结多少个橙子? 果园共有(100+x)棵树,平均每棵树结(600－5x)个橙子
(3)如果果园橙子的总产量为y个,那么请你写出y与x之
间的关系式.
y=(100+x)(600－5x)=－5x²+100x+60000
此式表示了正方体的表面 积y与棱长x之间的关系,对于x 的每一个值,y都有一个对应值, 即y是x的函数.
问题2: 多边形的对角线数 d 与边数 n 有什
么关系？ n边形有＿n＿个顶点,从
一个顶点出发,连接与这点不
相邻的各顶点,可作＿(n＿－＿3)条
对角线.因此,n边形的对角线
总数 d =＿＿21 n＿(n＿－＿3)＿.
二次函数的基本概念
函数: 在一个变化过程中,如果有两个 变量x与y, 并且对于x的每一个确定的 值,y都有唯一确定的值与其对应,那么 就说y是x的函数, x是自变量.
一次函数 y=kx+b (k≠0)
函
(正比例函数) y=kx (k≠0)
数
反比例函数
y=
k x
(k≠0)
问题1: 正方体六个面 是全等的正方形,设正 方形棱长为 x,表面积为 y ,则 y 关于x 的关系式 为＿y＿=＿6x＿2 .
y=6x2
d=
1 2
n2－32
n
y=20x2+40x+20
函数都是用自变量 的二次式表示的.
一般地,形如
y=ax2+bx+c (a,b,c都是常数,且a≠0)
的函数,叫做二次函数.
其中, x是自变量,a,b,c分别是函数表达式
的二次项系数、一次项系数和常数项.
一般地,形如 y=ax2+bx+c (a、b、c为常数,a≠0)
(2)当圆的半径分别增加1cm, 2cm ， 2cm时,圆的面
积增加多少?
拓展与提高
x 如果函数y= k2 - 3k+ 2 +kx+1是二次函数,
则k的值一定是__0__或__3
x 如果函数y=(k-3) k2 - 3k+ 2 +kx+1是二次函数,
则k的值一定是__0____
x 如果函数y=(k-3) k2 - 3k+ 2 +kx+1 (x≠0)是一次
(2)y=x+
_1_ x
(否)
(3)s=3－2t² (是) (4)y=(x+3)²－x²(否)
(5)y= _x1_²－x
(否) (6)v= 3 r ²
(7) y=x²+x³+25 (否) (8)y=2²+2x
(是) (否)
(9)y=mx²+nx+p (m,n,p为常数）
例2. y=(m+3)xm2－7 (1) m取什么值时,此函数是正比例函数?
二次函数的一般形式:
y=ax2+bx+c (a、b、c为常数,a≠0)
二次函数的特殊形式： 当b＝0时， y＝ax2＋c 当c＝0时， y＝ax2＋bx 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是, 分别指出二次项系数,一次项系数,常数项.
(1) y=3(x－1)²+1 (是)
２、二次函数 y ax2 c ， 当x=0时，y=-2；
当y=-2时，x=0，求y=2时，x的值。
(1)y=ax²(a≠0,b=0,c=0,).
(2)y=ax²+c(a≠0,b=0,c≠0).
(3)y=ax²+bx(a≠0,b≠0,c=0).
2.定义的实质是：ax²+bx+c是整式,自变量x的最高次 数是二次,自变量x的取值范围是全体实数.
函数及函数的类型:
函数: 在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且
(2) m取什么值时,此函数是反比例函数?
(3) m取什么值时,此函数是二次函数?
看谁算得快!
1.函数 y (k 1 )x2k2 k1 是一次函数，求k的值。
2
0
2.函数 y (m 1)xm2m mx 1 2
是二次函数， 求m的值。
3.函数 y (m2 m)xm2m 是二次函数，
对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应, 那么就说y是x的函数, x是自变量.
一次函数 y=kx+b (k≠0)
函
(正比例函数) y=kx (k≠0)
数
反比例函数
y=
k xLeabharlann Baidu
(k≠0)
二次函数 y=ax²+bx+c
课后巩固
1、将进货单价为40元的商品按50元卖出时,就 能卖出500个,已知这种商品每涨1元,其销售量 就会减少10个,设售价定为X元(x＞50)时的利 润为Y元。试求出Y与X的函数关系式，并按 所求的函数关系式计算出售定价为80元时所 得利润
函数,则k的值一定是__3_或__1_或2 或 3 5 2
小结 拓展
回味无穷
1.定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0) 的函数叫做x的二次函数.其中,是x自变量,a,b,c分别 是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.
y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式:
即:
d=
1 2
n2－32
n
此式表示了多边形
的对角线数d与 边数n之间的关系,对于n的
每一个值,d都有一个对应值,即d是n的函数.
问题3:
某工厂一种产品现在的年产量是20件,
计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量
增加x倍,那么两年后这种产品的产量y将随计划所定
的x的值而确定, y与x之间的关系怎样表示?