二次函数的几种解法
例谈三类二次函数问题的解法
余弦定理即可求得∠BHD 的大小，进而求得二面角B -PC -D 的大小.值得注意的是，二面角α的范围为：[0,π].三、三垂线法三垂线法是利用三垂线定理解题的方法.运用三垂线法求解二面角问题，需先找到平面的垂线，然后过垂线上的一点作平面的斜线，若平面内的一条直线与平面的斜线垂直，那么这条直线与斜线在平面内的射影垂直，根据这些垂直关系就可以确定二面角的平面角，最后根据勾股定理、正余弦定理即可求得平面角的大小.例3.如图3所示，在四棱锥P -ABCD 中，ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，PA =AB =a ，∠ABC =30°，求二面角P -BC -A 的大小.图3解：如图3，过A 作AH ⊥BC 于H ，连接PH ，因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥BC ，PA ⊥AH ，所以BC ⊥平面PHA ，所以BC ⊥PH ，可知∠PHA 是二面角P -BC -A 的平面角，在Rt△ABH 中，AB =a ，∠ABH =∠ABC =30°所以AH =AB sin ∠ABH =a sin 30°=12a ，因为PA ⊥AH ，所以在Rt△PHA 中，tan ∠PHA =PA AH=2，所以∠PHA =arctan 2，故二面角P -BC -A 的大小为arctan 2.根据题意作AH ⊥BC ，便可知AH 为PH 在平面ABCD 内的射影，由三垂线定理可得BC ⊥PH ，由此可确定∠PHA 是二面角P -BC -A 的平面角，再在Rt△PHA 中根据正切函数的定义求得∠PHA 的大小，进而可得到二面角P -BC -A 的大小.由此可见，求解二面角问题的关键有两步：第一步，根据二面角的平面角的定义、三垂线定理、垂面的性质，确定二面角的平面角；第二步，根据勾股定理、正余弦定理、三角函数的定义求得平面角的大小.（作者单位：江西省赣州市南康第三中学）二次函数是一种基本初等函数.二次函数问题的常见命题形式有求二次函数的解析式、最值、对称轴、单调区间、零点等.这类问题侧重于考查二次函数的图象和性质.下面重点谈一谈如何求解有关二次函数的最值问题、零点问题和不等式问题.一、二次函数的最值问题二次函数y =ax 2+bx +c 的图象是一条抛物线，若a >0，则抛物线的开口向上；若a <0，则抛物线的开口向下.当x =-b 2a 时,函数在R 上有最值b 2-4ac 4a.若函数的定义域为[m ,n ]，则需分三种情况考虑：（1）当-b 2a ∈[m ,n ]时，函数在x =-b 2a 处取得最值；（2）当x =-b 2a,在[m ,n ]的左侧时，若a >0，则函数在x =m处取最小值，在x =n 处取最大值，若a <0，则相反；（3）当x =-b2a在[m ,n ]的右侧时，若a >0，则函数在x =m 处取最大值，在x =n 处取最小值；若a <0，则相反.例1.求y=-5x 2-6x ＋1的最大值.解：y =-5x 2-6x ＋1是二次函数，x 2的系数是-5，所以二次函数图象的开口向下，当x =-65时，函数有最大值1.利用二次函数的图象，即可确定二次函数在对称轴处取得最值.除了用图象法求解最值问题，还可以用配方法，比如y =x 2＋4x ＋3=()x +22-1，可知当x =-2时函数的最小值为-1.例2.已知函数f (x )=x 2＋(2a -1)x -3.方法集锦44(1)当a =2，x ∈[-2，3]时，求函数f (x )的最值；(2)若函数f (x )在[-1，3]上的最大值为1，求实数a的值．解：(1)当a =2时，f (x )=x 2＋3x -3，x ∈[-2，3]，对称轴为x =-32∈[-2,3]，∴f (x )min =f æèöø-32=94-92-3=-214，f (x )max =f (3)=15.(2)∵函数f (x )的对称轴为x =-2a -12.①当-2a -12≤1，即a ≥-12时，f (x )max =f (3)=6a ＋3，∴6a ＋3=1，即a =-13，满足题意；②当-2a -12>1，即a ＜-12时，f (x )max =f (-1)=-2a -1，∴-2a -1=1，即a =-1，满足题意．综上可知，a =-13或-1.第一个问题中的函数对称轴x =-32∈[-2，3]，所以函数在x =-32处取得最小值，在距离对称轴较远的点处取最大值.第二个问题中的函数对称轴为x =-2a -12，其中含有参数，需对其取值范围及其与定义域[-1，3]之间的关系进行讨论，才能确定函数的最小值.二、二次函数的零点问题我们知道，一元二次方程的根就是二次函数与x 轴的交点的横坐标，即二次函数的零点.在求解二次函数的零点问题时，可以通过求一元二次方程的根来求函数的零点.求解一元二次方程的根的方法很多，比如利用求根公式、配方法、十字相乘法.例3.已知二次函数y =(k -3)x 2＋2x ＋1有零点，则k 的取值范围是().A.k <4B.k ≤4C.k <4且k ≠3D.k ≤4且k ≠3解：由题意可知k -3≠0，且(k -3)x 2＋2x ＋1=0有实数根，∴Δ=4-4(k -3)≥0，解得k ≤4，所以k ≤4且k ≠3.一元二次函数y =ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的零点与一元二次方程ax 2＋bx ＋c =0(a ≠0)的判别式Δ有以下关系：当Δ>0时，ax 2＋bx ＋c =0(a ≠0)有两个不相等的实数根x 1，x 2，此时，二次函数与x 轴有两个不同的交点，即x 1，x 2是函数的零点；当Δ=0时，ax 2＋bx ＋c =0(a ≠0)有两个相等的实数根x 1=x 2，此时，二次函数与x 轴有1个交点，即x 1(x 2)是函数的零点；当Δ<0时，ax 2＋bx ＋c =0(a ≠0)无实数根，此时，二次函数与x 轴没有交点，即函数没有零点.三、二次函数不等式问题解二次函数不等式ax 2＋bx ＋c >0或ax 2＋bx ＋c <0，往往要先求方程ax 2＋bx ＋c =0的根，然后根据二次函数的图象，确定y >0或<0时对应的x 的取值.一般地，ax 22例4.解不等式：（1）x 22解：（1）方程x 2-2x -3=0的两根是x 1=-1，x 2=3.函数y =x 2-2x -3的图象是开口向上的抛物线，与x轴有两个交点(-1,0)和(3,0)，如图1所示．图1观察图象可得不等式的解集为{x |x <-1或x >3}．(2)原不等式可化为x 2-6x +9≤0，即(x -3)2≤0，则函数y ＝(x -3)2的图象如图2所示，图2根据图象可得，原不等式的解集为{x |x =3}．解含参数的二次函数不等式的一般步骤为：第一步，将不等式化二次项系数大于0的方程；第二步，根据求根公式，或通过因式分解，求得方程的根；第三步，根据一元二次方程根的分布情况画出对应的二次函数草图；第四步，根据图象写出不等式的解集.可见，求解二次函数的最值、零点问题、不等式问题，都需要运用函数的图象、性质，方程的根以及判别式，因此，在解答二次函数问题时，同学们要学会将问题与函数的图象、方程关联起来，灵活运用数形结合思想、方程思想来辅助解题.（作者单位：甘肃省靖远县第一中学）方法集锦45。
高中二次函数求解技巧
高中二次函数求解技巧高中数学中，二次函数是一个重要的概念，不仅在证明和推导中经常用到，而且在解决实际问题中也有广泛的应用。
在这篇文章中，我将介绍一些高中二次函数求解的技巧，希望能为学生提供一些帮助。
一、函数图像的特征在求解二次函数的问题中，首先要了解函数图像的特征。
对于一般的二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$，其中$a\ eq0$，它的图像是一个抛物线。
其中，$a$决定了抛物线的开口方向，当$a>0$时，抛物线开口向上；当$a<0$时，抛物线开口向下。
而$b$和$c$决定了抛物线的位置。
其次，二次函数的图像与顶点有关。
顶点的横坐标为$x_0=-\\frac{b}{2a}$，纵坐标为$y_0=f(x_0)$。
通过顶点可以判断抛物线的开口方向和顶点的位置。
二、求解二次方程当我们遇到一个二次方程时，可以通过因式分解、配方法或求根公式来求解。
1. 因式分解法对于形如$f(x)=ax^2+bx+c=0$的二次方程，如果可以因式分解成$(px+q)(rx+s)=0$的形式，那么方程的解可以直接得出。
要想因式分解，可以尝试将方程写成以下形式：$ax^2+bx+c=(dx+e)(fx+g)$$=dfx^2+(dg+ef)x+eg$通过比较系数，可以得到以下等式：$\\begin{cases}df=a\\\\dg+ef=b\\\\eg=c\\end{cases}$通过解这个方程组，可以得到因式分解后方程的解。
2. 配方法对于无法因式分解的二次方程，可以通过配方法来求解。
配方法的基本思路是将二次项进行分解，然后再进行因式分解。
对于形如$f(x)=ax^2+bx+c=0$的二次方程，通过配方法可以将方程变形为：$\\begin{aligned}f(x)&=ax^2+bx+c\\\\&=\\frac{a}{4a^2}x^2+\\frac{b}{2a}x+c\\\\&=\\left(\\frac{x}{2a}+\\frac{b}{4a^2}\\right)^2-\\left(\\frac{b^2-4ac}{4a^2}\\right)\\end{aligned}$将左边化简为完全平方形式，右边的项即为常数项。
求二次函数的解析式
根据题意得： (m 5) 2
n 1 0
m 3 n 1
∴y=a（x-3）2+1=ax2-6ax+9a+1 ∴a-6a&#
3、 已知：抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示： y （1）求此抛物线的解析式；
（2）当x取何值时，y>0？
（2）当x取何值时，y>0？
（3）将抛物线作怎样的一次 A -1 o -2.5 D C B 5 x
平移,才能使它与坐标轴仅有
两个交点,并写出此时抛物线
的解析式。
试一试：
2、把抛物线y=ax2+bx+c向下平移1个单位， 再向左平移5个单位时的顶点坐标为（-2，0）， 且a+b+c=0，求a、b、c的值。 点拔： 设原抛物线的解析式为y=a（x+m）2+n 则平移后抛物线的解析式为y=a（x+m+5）2+n-1
平移,才能使它与坐标轴仅有
两个交点,并写出此时抛物线
的解析式。
讲例： 4、如图，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+4相交
于A（1，m），B（4，8）两点，与x轴交于原点
及C点，（1）求直线和抛物线的解析式；（2） 3 在抛物线上是否存在点D，使S△OCD= S△OCB， 2 若存在，求出点D；若不存在，请说明理由。 y （1）y=x+4 A（1，5） B a b c 5
(
4)y=ax2+bx+c且a:b:c=2:3:4,函数有最
abc2 0
(5)若抛物线y=2x2+bx+c过点(2,3)，且顶点在直线y=3x-2上 解法：可抓住顶点在直线y=3x-2上,设抛物线的顶点坐标为（m,3m-2)来解 所求得的抛物线解析式为
初中数学-二次函数的解析式
∴a(2-1)2-2=3，得：a=5,
∴解析式为y=5(x- 1)2-2
注：此题运用了二次函数的顶点式
2.已知抛物线过三点：A（－1，2），B（0，1）， C（2，－7），求二次函数的解析式.
解：设二次函数的解析式为： y ax bx 1
2
a b 1 2 由已知得： 4a 2b 1 7
∵抛物线过点C（1，2）
注：此题运用了
二次函数的双根式
解析式为: 1 y ( x 1)(x 3) 2
∴ a (1 1)(1 3) 2
4a 2 1 a 2
3 3.已知抛物线和y轴的交点（0，－ 2 ）
和x 轴的一个交点（-1，0），对称轴是x =1. （1）求图象是这条抛物线的二次函数的解析式； （2）判断这个二次函数是有最大值还是有最小值， 并求出这个最大值或最小值
2 2
y
A O
B
x
公式：AB | x2 x1 | |a|
b 2 4ac |a| |a|
y ax2 bx c, (a 0)
6.抛物线y=-2x2+4x+1 在 x轴上截得的线段长度
为
6
.
y
16 8 6 解: AB |a| 2
A O B
当x
b 1 1时 1 2a 2 2
y最小值
4ac b 2 4a
1 3 4 ( ) (1) 2 2 ＝ 2 ＝－2 1 4 2
b 1 当x 1时函数有最小值 1 2a 2 2 1 2 3 y最小值 1 1 2 2 2
x1, x2 为方程： a(x－x1)(x－x2)=0的两个 根，即抛物线与x的两个交点的横坐标，
八年级数学二次函数的解法与应用
八年级数学二次函数的解法与应用二次函数是一种常见的数学函数，其形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为实数且a不等于0。
二次函数具有许多重要的性质和特点，求解二次函数的解法和应用十分广泛。
本文将介绍八年级数学中关于二次函数的解法和应用。
一、二次函数的基本概念二次函数是指二次多项式构成的函数，可以表示为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c分别为实数，且a不等于0。
其中，a决定了函数的开口方向，正值代表开口向上，负值代表开口向下；b决定了函数的位置，正值表示向左平移，负值表示向右平移；c为函数在原点的纵截距。
二、二次函数的图像与性质二次函数的图像是抛物线，其性质如下：1. 开口方向：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2. 顶点坐标：抛物线的顶点坐标为（-b/2a，f(-b/2a)），其中f(x)=ax^2+bx+c。
3. 对称轴：抛物线的对称轴为直线x=-b/2a。
4. 零点：即函数的解，即满足f(x)=0的x值。
若Δ=b^2-4ac>0，则有两个不相等的实根；若Δ=0，则有两个相等的实根；若Δ<0，则没有实根。
5. 最值：当a>0时，函数的最小值为f(-b/2a)；当a<0时，函数的最大值为f(-b/2a)。
6. 判别式：Δ=b^2-4ac，可用于判断二次函数的解的情况。
三、二次函数的解法求解二次函数一般可以通过以下两种方法：1. 因式分解法：适用于二次函数可以因式分解的情况。
将二次函数表示为y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1和x2为二次函数的根。
通过求解方程a(x-x1)(x-x2)=0，即可得到解。
2. 公式法：适用于二次函数无法因式分解的情况。
根据二次函数的标准形式，利用求根公式x=(-b±√Δ)/2a进行计算，其中Δ=b^2-4ac为判别式。
四、应用举例1. 题目：已知二次函数y=ax^2+bx+c的图像的顶点坐标为(2,-3)，且经过点(1,0)，求二次函数的解析式和另一个零点坐标。
二次函数图像变换
二次函数图像变换
二次函数图像变换有3种：平移、对称、旋转。
一、专用解法
1、平移：左加右减自变量，上加下减常数项
2、对称、旋转：取原抛物线上一点（x,y），然后根据对称或旋转规律找到对应点，
将对应点坐标代入原抛物线解析式，然后化解得到的解析式即所求。
例1：原抛物线上y=ax^2+bx+c有一点（x,y），其关于x轴对称的点坐标为（x,-y），将（x,-y）代入到原解析式得到-y=ax^2+bx+c，即y=-ax^2-bx-c
例2：原抛物线上y=x^2+2x绕点（1,0）旋转180°，求旋转后的解析式解：设点（x,y）是原抛物线y=x^2+2x上一点，（x,y）绕点（1,0）旋转180°，通过中点坐标公式得出对应点为（2-x,-y），将（2-x,-y）代入y=x^2+2x得到
-y=(2-x)^2+2(2-x)，即y=-x^2+6x-8
注意：以上方法也适用于一次函数
二、通用解法
①将解析式化顶点式y=a(x-h)^2+k，得到顶点（h,k）
②将顶点（h,k）按照要求进行平移、对称、旋转，得到新的顶点（h’,k’）
③平移a不变；X轴对称a变号，Y轴对称a不变；旋转a变号，特别的原点对称就是绕（0,0）旋转180
注意：这里的旋转肯定是180°，因为如果不是180°得到的就不是二次函数了
④知道了a和顶点，设顶点式就可以得到新抛物线的解析式
注意：无论平移、对称、旋转都可以用，如果是一次函数可以将顶点（h,k）替换为直线与y轴交点，a替换为k，整体思路是一样的。
求二次函数解析式的五种常见类型
因此AM＋OM的最小值为4 2 .
返回
方法2 利用顶点式求二次函数解析式
4．在平面直角坐标系内，二次函数图象的顶点为A(1，
－4)，且过点B(3，0)，求该二次函数的解析式．
解：∵二次函数图象的顶点为A(1，－4)，
∴设y＝a(x－1)2－4.
x2＋4x. 解得a＝－ .
解：把A(－2，－4)，O(0，0)，B(2，0)三
故y＝(x－1)2－4，即y＝x2－2x－3.
点的坐标代入y＝ax ＋bx＋c， 方法1 利用一般式求二次函数解析式
由函数的基本形式求二次函数解析式)
2
当x＝0时，y＝－1；
4 a－ 2 b＋ c＝ － 4， a ＝ － 1 ， 即y＝－x2＋4x－3.
解法三：∵抛物线的顶点坐标为(－2，4)，与x轴的一个交点坐标为(1，0)， 解法二：设抛物线对应的函数解析式为y＝a(x＋2)2＋4，将点(1，0)的坐标代入得0＝a(1＋2)2＋4，解得a＝－ .
设抛物线的解析式为y＝a(x－2)2，
OM的最小值． 由函数的基本形式求二次函数解析式)
解法二：设抛物线对应的函数解析式为y＝a(x＋2)2＋4，将点(1，0)的坐标代入得0＝a(1＋2)2＋4，解得a＝－ .
返回
2．一个二次函数，当自变量x＝－1时，函数值y＝2； 当x＝0时，y＝－1；当x＝1时，y＝－2.那么这个 二次函数的解析式为____y_＝__x_2－__2_x_－__1____．
返回
3．如图，在平面直角坐标系中，抛 物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－2， －4)，O(0，0)，B(2，0)三点．
组，得 (2)将抛物线C1向左平移3个单位长度，可使所得的抛物线C2经过坐标原点．如图，所求抛物线C2对应的函数解析式为y＝x(x＋4)，即y＝
求二次函数解析式的常用方法
求二次函数解析式的常用方法二次函数是初中数学的一个重要内容，也是高中数学的一个重要基础。
熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。
一、二次函数的解析式有三种基本形式： 1、一般式：y=ax 2+bx+c (a ≠0)。
2、顶点式：y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h 。
3、交点式：y=a(x －x 1)(x －x 2) (a ≠0)，其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标。
二、求二次函数解析式的方法.求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式：1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。
2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。
3、若给出抛物线与x 轴的交点或对称轴或与x 轴的交点距离，通常可设交点式。
三、探究问题，典例指津：例1、已知二次函数的图象经过点)4,0(),5,1(---和)1,1(．求这个二次函数的解析式．分析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y=ax 2+bx+c (a ≠0)。
解：设这个二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c (a ≠0)依题意得：⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-=+-145c b a c c b a 解这个方程组得：⎪⎩⎪⎨⎧-===432c b a∴这个二次函数的解析式为y=2x 2+3x －4。
例2、已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，与y 轴交于点)3,0(，求这条抛物线的解析式。
分析：此题给出抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，最好抛开题目给出的c bx ax y ++=2，重新设顶点式y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点。
解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x －4)2－1 (a ≠0) 又抛物线与y 轴交于点)3,0(。
∴a(0－4)2－1=3 ∴a=41 ∴这个二次函数的解析式为y=41(x －4)2－1，即y=41x 2－2x+3。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。