求二次函数解析式的几种基本解法
二次函数解析式的几种求法

例3.已知抛物线的顶点为(3,-2),且与 x轴两交点间的距离为4,求它的解析式.
分析:根据已知抛物线的顶点坐标(3,-2),可设函数关系式 为y=a(x-3)2-2,同时可知抛物线的对称轴为x=3,再由 与x轴两交点间的距离为4,可得抛物线与x轴的两个交点为 (1,0)和(5,0),任选一个代入 y=a(x-3)2-2,即 可求出a的值.
设解析式为
∵顶点C(1,4) ∴ h=1, k=4. ∴ 又∵A(-1,0)在抛物线上,
∴
∴ a = -1 ∴ 即:
三、应用举例
例1、已知二次函数
求其解析式。 解法三:交点式 设解析式为 ∵抛物线与x 轴的两个交点坐标 为 A (-1,0)、B(3,0) ∴ y = a (x+1) (x- 3) 又 C(1,4)在抛物线上 ∴ 4 = a (1+1) (1-3) ∴ a = -1 ∴ y = - ( x+1) (x-3) 即:
课堂练习:
1.根据下列条件,分别求出对应的二次函数的关系 式. (1)已知二次函数的图象经过点(0,2)、(1,1)、 (3,5); (2)已知抛物线的顶点为(-1,2),且过点(2,1); (3)已知抛物线与x轴交于点(-1,0)、(2,0),且经过点 (1,2).
2.二次函数图象的对称轴是x = -1,与y轴交点的纵坐 标是 –6,且经过点(2,10),求此二次函数的关系式.
三、应用举例
例1、已知二次函数 求其解析式。
解Байду номын сангаас一: 一般式 设解析式为 ∵顶点C(1,4), ∴对称轴 x=1.
的图像如图所示,
∵A(-1,0)关于 x=1对称, ∴B(3,0)。
∵A(-1,0)、B(3,0)和
二次函数解析式的8种求法

二次函数解析式的8种求法河北 高顺利二次函数的解析式的求法是数学教学的难点,学不易掌握.他的基本思想方法是待定系数法,根据题目给出的具体条件,设出不同形式的解析式,找出满足解析式的点,求出相应的系数.下面就不同形式的二次函数解析式的求法归纳如下,和大家共勉:一、定义型:此类题目是根据二次函数的定义来解题,必须满足二个条件:1、a ≠0; 2、x 的最高次数为2次.例1、若 y =( m 2+ m )x m 2 – 2m -1是二次函数,则m = .解:由m 2+ m ≠0得:m ≠0,且 m ≠- 1由m 2–2m –1 = 2得m =-1 或m =3∴ m = 3 .二、开放型此类题目只给出一个条件,只需写出满足此条件的解析式,所以他的答案并不唯一. 例2、(1)经过点A (0,3)的抛物线的解析式是 .分析:根据给出的条件,点A 在y 轴上,所以这道题只需满足c b a y ++=χχ2中的C =3,且a ≠0即可∴32++=χχy (注:答案不唯一)三、平移型:将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线.要借此类题目,应先将已知函数的解析是写成顶点式y = a ( x – h )2 + k ,当图像向左(右)平移n 个单位时,就在x – h 上加上(减去)n ;当图像向上(下)平移m 个单位时,就在k 上加上(减去)m .其平移的规律是:h 值正、负,右、左移;k 值正负,上下移.由于经过平移的图像形状、大小和开口方向都没有改变,所以a 得值不变.例3、二次函数 253212++=χχy 的图像是由221χ=y 的图像先向 平移 个 单位,再向 平移 个单位得到的.解: 253212++=χχy = ()23212-+χ, ∴二次函数 253212++=χχy 的图像是由221χ=y 的图像先向左平移3个单位,再向下平移2个单位得到的.这两类题目多出现在选择题或是填空题目中四、一般式当题目给出函数图像上的三个点时,设为一般式c b a y ++=χχ2,转化成一个三元一次方程组,以求得a ,b ,c 的值;五、顶点式若已知抛物线的顶点或对称轴、极值,则设为顶点式()k h x a y +-=2.这顶点坐标为( h ,k ),对称轴方程x = h ,极值为当x = h 时,y 极值=k 来求出相应的系数;六、两根式已知图像与 x 轴交于不同的两点()()1200x x ,,,,设二次函数的解析式为()()21x x x x a y --=,根据题目条件求出a 的值.例4、根据下面的条件,求二次函数的解析式:1.图像经过(1,-4),(-1,0),(-2,5)2.图象顶点是(-2,3),且过(-1,5)3.图像与x 轴交于(-2,0),(4,0)两点,且过(1,-29) 解:1、设二次函数的解析式为:c b a ++=χχγ2,依题意得:40542a b c a b c a b c -=++⎧⎪=-+⎨⎪=-+⎩ 解得:⎪⎩⎪⎨⎧-=-==321c b a∴322--=x x y2、设二次函数解析式为:y = a ( x – h )2 + k , 图象顶点是(-2,3)∴h =-2,k =3, 依题意得:5=a ( -1 + 2)2+3,解得:a =2∴y = 2( x +2)2 + 3=11822++x x3、设二次函数解析式为:y = a ( x – 1χ) ( x – 2χ).图像与x 轴交于(-2,0),(4,0)两点,∴1χ=-2,2χ=4依题意得:-29= a ( 1 +2) ( 1– 4) ∴a =21 ∴ y = 21 ( x +1) ( x – 4)=223212--x χ. 七、翻折型(对称性):已知一个二次函数c b a ++=χχγ2,要求其图象关于轴对称(也可以说沿轴翻折);轴对称及经过其顶点且平行于轴的直线对称,(也可以说抛物线图象绕顶点旋转180°)的图象的函数解析式,先把原函数的解析式化成y = a ( x – h )2 + k 的形式.(1)关于轴对称的两个图象的顶点关于轴对称,两个图象的开口方向相反,即互为相反数.(2)关于轴对称的两个图象的顶点关于轴对称,两个图象的形状大小不变,即相同.(3)关于经过其顶点且平行于轴的直线对称的两个函数的图象的顶点坐标不变,开口方向相反,即互为相反数.例6 已知二次函数,求满足下列条件的二次函数的解析式:(1)图象关于轴对称;(2)图象关于轴对称;(3)图象关于经过其顶点且平行于轴的直线对称.x x y x x x a y y ax a 5632+-=x x y x y x解:可转化为,据对称式可知 ①图象关于轴对称的图象的解析式为, 即:. ②图象关于轴对称的图象的解析式为:,即:;③图象关于经过其顶点且平行于轴的直线对称的图象的解析式为,即.八、数形结合数形结合式的二次函数的解析式的求法,此种情况是融代数与几何为一体,把代数问题转化为几何问题,充分运用三角函数、解直角三角形等来解决问题,只要充分运用有关几何知识求出解析式中的待定系数,以达到目的.例7、如图,已知抛物线c b y ++-=χχ271和x 轴正半轴交与A 、B 两点,AB =4,P 为抛物线上的一点,他的横坐标为-1,∠PAO =45 ,37cot =∠PBO .()1求P 点的坐标;()2求抛物线的解析式.解: 设P 的坐标为(-1,y ), ∵P 点在第三象限∴y <0,过点P 作PM ⊥X 轴于点M . 点M 的坐标为(-1,0)|BM| = |BA |+ |AM|5632+-=x x y 2)1(32+-=x y x 2)1(32---=x y 5632-+-=x x y y 2)1(32++=x y 5632++=x x y x 2)1(32+--=x y 1632++-=x x y∵∠PAO =45∴ |PM | = |AM| = |y | =-y ∵374cot =--==∠y y PM BM PBO ∴y = -3∴P 的坐标为(-1,-3)∴A 的坐标为(2,0)将点A 、点P 的坐标代如函数解析式 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--=-++-=c b c b 7132740 解得:87b = ; 127c =- ∴抛物线的解析式为:21812777y χχ=-+-.。
二次函数三种解析式的求法

二次函数三种解析式的求法二次函数是高中数学中的重要概念,它的解析式有三种常见的求法。
本文将分别介绍这三种求法,并且给出相应的例题加以说明。
第一种求法是通过顶点坐标和另一点坐标来确定二次函数的解析式。
二次函数的标准形式为f(x) = a(x-h)² + k,其中(h,k)为顶点坐标。
假设已知顶点坐标为(h,k),另一个已知点的坐标为(x₁,y₁),我们可以将这两个点的坐标代入二次函数的标准形式,得到两个方程:k = a(x-h)²y₁ = a(x₁-h)² + k通过解方程组,我们可以求解出a的值,进而得到二次函数的解析式。
例如,已知二次函数过点(2,5),顶点坐标为(-1,3),我们可以代入上述方程组进行求解。
将顶点坐标代入第一个方程,可得:3 = a(2-(-1))²解得a = 1/3。
然后将a的值代入第二个方程,可得:5 = (1/3)(2-(-1))² + 3化简后得到二次函数的解析式为f(x) = (1/3)(x+1)² + 3。
第二种求法是通过顶点坐标和对称轴与顶点的距离来确定二次函数的解析式。
对称轴与顶点的距离等于顶点的纵坐标的绝对值,即|k|。
假设已知顶点坐标为(h,k),对称轴与顶点的距离为|k|,我们可以将这些信息代入二次函数的标准形式,得到方程:f(x) = a(x-h)² + k代入|k|,可得:f(x) = a(x-h)² + |k|通过解这个方程,我们可以求解出a的值,进而得到二次函数的解析式。
例如,已知二次函数过点(2,5),顶点坐标为(-1,3),对称轴与顶点的距离为3。
我们可以代入上述方程进行求解。
将顶点坐标代入方程,可得:5 = a(2-(-1))² + 3化简后得到a = 1/3。
然后将a的值代入方程,可得:f(x) = (1/3)(x+1)² + 3这就是二次函数的解析式。
求二次函数解析式的四种方法详解

求二次函数解析式的四种方法详解二次函数是一种常见的函数形式,其解析式可以通过四种方法求得。
下面将详细介绍这四种方法。
方法一:配方法求解二次函数解析式配方法是一种常用的求解二次函数解析式的方法。
对于形如$f(x) = ax^2 + bx + c$的二次函数,我们可以通过配方法将其转化为$(px+q)^2$形式,然后利用完全平方公式求解。
1. 将二次项与常数项系数乘以2,即将原函数表示为$f(x) = a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c$;2. 将中间项$\frac{b}{a}x$除以2,并在括号外面加上一个平方项和一个负号,即表示为$f(x) = a(x^2 + \frac{b}{a}x +(\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2) + c$;3. 将括号内部的三项利用完全平方公式进行转化,即表示为$f(x) = a((x+\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2) + c$;4. 化简后得到$f(x) = a(x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c$。
其中,$(x+\frac{b}{2a})^2$是一个完全平方项,可以展开得到$x^2 + bx + \frac{b^2}{4a^2}$。
所以上述表达式可以进一步简化为:$f(x) = ax^2 + bx + c = a(x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c$这就是二次函数的配方法解析式。
方法二:因式分解法求解二次函数解析式对于形如$f(x) = ax^2 + bx + c$的二次函数,我们可以使用因式分解法对其解析式进行求解。
1.如果二次函数可以因式分解为$(x-x_1)(x-x_2)$的形式,其中$x_1$和$x_2$是函数的根,则此二次函数的解析式形式为$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$;2.将一般形式的二次函数进行因式分解,即将二次项系数a与常数项c进行合适的分解,得到$(x-x_1)(x-x_2)$的形式。
二次函数解析式的方法

二次函数解析式的方法
二次函数是高中数学中的一个重要概念。
它是一种二次方程,通常用y=ax+bx+c的形式表示。
其中,a、b、c是常数,a不等于0。
求解二次函数的解析式可以使用以下方法:
1. 完全平方公式:将二次函数的一般式y=ax+bx+c转化为顶点式y=a(x-h)+k,其中(h,k)为顶点坐标。
这个转化可以使用完全平方公式完成,即将x+bx部分平方,得到(x+ b/2a)- (b-4ac)/4a,再乘以a后,得到y=a(x+ b/2a)- (b-4ac)/4a。
2. 配方法:当二次函数的a不为1时,可以使用配方法将其转化为一个完全平方的形式。
具体来说,对于y=ax+bx+c,我们可以先将a提出来,得到y=a(x+ bx/a+c/a),然后将x+ bx/a部分配方,即将它写成(x+b/2a)- (b-4ac)/4a的形式。
这样,原来的二次函数就可以表示为y=a(x+b/2a)- (b-4ac)/4a+c。
3. 公式法:对于已知二次函数的解析式y=ax+bx+c,我们可以使用求根公式来求解它的两个解。
根据二次方程的求根公式,
y=ax+bx+c的解析式可以表示为x=(-b±√(b-4ac))/2a。
以上三种方法都可以求解二次函数的解析式,具体使用哪种方法取决于具体情况。
在解决实际问题时,可以根据需要选择合适的方法,以便更准确地求解问题。
- 1 -。
求二次函数解析式的五种常见类型

因此AM+OM的最小值为4 2 .
返回
方法2 利用顶点式求二次函数解析式
4.在平面直角坐标系内,二次函数图象的顶点为A(1,
-4),且过点B(3,0),求该二次函数的解析式.
解:∵二次函数图象的顶点为A(1,-4),
∴设y=a(x-1)2-4.
x2+4x. 解得a=- .
解:把A(-2,-4),O(0,0),B(2,0)三
故y=(x-1)2-4,即y=x2-2x-3.
点的坐标代入y=ax +bx+c, 方法1 利用一般式求二次函数解析式
由函数的基本形式求二次函数解析式)
2
当x=0时,y=-1;
4 a- 2 b+ c= - 4, a = - 1 , 即y=-x2+4x-3.
解法三:∵抛物线的顶点坐标为(-2,4),与x轴的一个交点坐标为(1,0), 解法二:设抛物线对应的函数解析式为y=a(x+2)2+4,将点(1,0)的坐标代入得0=a(1+2)2+4,解得a=- .
设抛物线的解析式为y=a(x-2)2,
OM的最小值. 由函数的基本形式求二次函数解析式)
解法二:设抛物线对应的函数解析式为y=a(x+2)2+4,将点(1,0)的坐标代入得0=a(1+2)2+4,解得a=- .
返回
2.一个二次函数,当自变量x=-1时,函数值y=2; 当x=0时,y=-1;当x=1时,y=-2.那么这个 二次函数的解析式为____y_=__x_2-__2_x_-__1____.
返回
3.如图,在平面直角坐标系中,抛 物线y=ax2+bx+c经过A(-2, -4),O(0,0),B(2,0)三点.
组,得 (2)将抛物线C1向左平移3个单位长度,可使所得的抛物线C2经过坐标原点.如图,所求抛物线C2对应的函数解析式为y=x(x+4),即y=
二次函数解析式的几种求法

二、求二次函数解析式的思想方法
1、 求二次函数解析式的常用方法:
待定系数法、配方法、数形结合等.
2、求二次函数解析式的 常用思想:
转化思想
解方程或方程组
3、二次函数解析式的最终形式:
无论采用哪一种解析式求解,最后结 果都化为一般式.
例1.已知二次函数的图象经过点A0,-1、 B1,0、C-1,2;求它的关系式.
例2.已知抛物线的顶点为1,-3,且与y轴交 于点0,1,求这个二次函数的解析式
解:因为抛物线的顶点为1,-3,所以设二此函数的关系
式为y=ax-12-3,又由于抛物线与y轴交于点0,1,可
以得到
1=a0-12-3
解得
a=4
所以,所求二次函数的关系式是y=4x-12-3.
即
y=4x2-8x+1
例3.已知抛物线的顶点为3,-2,且与x轴两 交点间的距离为4,求它的解析式.
分析:
方法1:因为已知抛物线上三个点,所以可设函数关系 式为一般式y=ax2+bx+c,把三个点的坐标代入后 求出a、b、c,就可得抛物线的解析式. 方法2:根据抛物线与x轴的两个交点的坐标,可设函数 关系式为 y=ax+3x-5,再根据抛物线与y轴的交点 可求出a的值;ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
课堂练习:
1.根据下列条件,分别求出对应的二次函数的关系式. 1已知二次函数的图象经过点0,2、1,1、 3,5; 2已知抛物线的顶点为-1,2,且过点2,1; 3已知抛物线与x轴交于点-1,0、2,0,且经过点 1,2.
分析:根据二次函数的图象经过三个已知点, 可设函数关系式为y=ax2+bx+c的形式
例1.已知二次函数的图象经过点A0,-1、 B1,0、C-1,2;求它的关系式.
二次函数的解析式三种方法

二次函数的解析式三种方法二次函数是一种常见的函数类型,在数学学习中,学生们需要对其进行深入的了解和掌握,以便于解决与二次函数相关的问题。
本文将介绍三种求解二次函数的解析式的方法,包括公式法、顶点法和描点法。
每种方法的步骤和注意事项都将被详细介绍。
一、公式法公式法是一种求解二次函数解析式的基本方法。
二次函数的标准形式可以表示为 y = ax²+bx+c,其中 a、b、c 都是实数常数,而 x 是自变量。
一个常见的二次函数的例子为y = x²。
1. 求取 a、b、c 的值在使用公式法求解二次函数的解析式之前,需要先计算出二次函数中的 a、b、c 值。
通常情况下,这些值可以从已知的条件中直接得到。
如果已知二次函数经过点 (2,4) 和 (−1,3),则可以根据这些坐标计算出 a、b、c的值。
可以得到两个方程:4 = a(2)²+b(2)+c3 = a(−1)²+b(−1)+c然后,可以将这些方程化简为:4 = 4a+2b+c3 = a−b+c接下来,可以使用代数法或消元法来求解 a、b、c 的值。
可以将第二个方程中的 a解出来,然后带入第一个方程中,得到:a = 2b−14 = 8b−4+2b+cc = −8b+8可以得到二次函数的解析式为:y = (2b−1)x²+bx+8−8b2. 使用公式法求解二次函数一旦确定了二次函数中的 a、b、c 值,可以使用公式法求解二次函数的解析式。
具体而言,可以使用以下公式:x = (-b ± √(b²-4ac))/(2a)这个公式可以得到二次函数的解析式中的两个根。
如果二次函数的解析式没有实数根,则说明这个二次函数不存在。
在上面的例子中,可以将 a、b、c 的值带入到公式中,得到:x = (-b ± √(b²-4ac))/(2a)x = (-b ± √(b²-4(2b−1)(8−8b)))/(2(2b−1))根据这个公式,可以得到二次函数的解析式的两个实数根,也就是二次函数与 x 轴相交的点。
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求二次函数解析式的几种基本解法
奉贤区新寺学校胡纪英
二次函数是初中数学中的重要内容,也蕴涵着一种重要的数学思想方法。
它是在一次函数、反比例函数的基础上,进一步由数、式、方程(二次方程)到二次函数,贯穿了初中代数。
纵观近几年的中考试卷可以发现,二次函数始终是中考命题中的重点与热点,一方面是考查二次函数中学生对基础知识的掌握程度,另一方面以其新颖独特的综合试题引导学生探究和创新。
在此我就以二次函数中求解析式这一小块内容提供几种常见的基本解法,方便同学们在学习中进行参考:
一、若已知二次函数图象上的三个点的坐标或是x、y的对应数值时,可选用y=ax2+bx+c(a≠0)求解。
我们称y=ax2+bx+c(a≠0)为一般式(三点式)。
例:二次函数图象经过A(1,3)、B(-1,5)、C(2,-1)三点,求此二次函数的解析式。
说明:因为坐标满足函数解析式的点一定在函数的图象上,反之函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式。
所以将已知三点的坐标分别代入y=ax2+bx+c (a≠0)构成三元一次方程组,解方程组得a、b、c的值,即可求二次函数解析式。
二、若已知二次函数的顶点坐标或对称轴或最值时,可选用y=a(x+m)2+k (a≠0)求解。
我们称y=a(x+m)2+k (a≠0)为顶点式(配方式)。
例:若二次函数图像的顶点坐标为(-2,3),且过点(-3,5),求此二次函数的解析式。
说明:由于顶点式中要确定a、m、k的值,而已知顶点坐标即已知了-m、k的值。
用顶点式只要确定a的值就可以求二次函数解析式。
若已知这两点的坐标用一般式来解是不能确定a、b、c的值的,不妨让学生尝试一下加深印象。
三、若已知二次函数与X轴的交点坐标是A(x1,0) 、B(x2,0)时, 可选用y=a(x-x1)(x- x2 ) (a≠0)求解。
我们称y=a(x-x1)(x- x2 ) (a≠0)为双根式(交点式)。
例:已知一个二次函数的图象经过点A(-1,0)、B(3,0)和C(0,-3)三点,求此二次函数的解析式。
说明:很多同学看到此例会想到使用一般式来解,将已知三点的坐标分别代入去求a、b、c的值来求此二次函数的解析式。
往往忽略A、B两点的坐标就是二次函数图象与x轴的交点坐标,而用双根式来求解就相对比较简单容易。
四、若已知二次函数在X轴上截得的线段长为d时,可选用
或
例:抛物线y=2x2-mx-6在X轴截锝线段长为4,求此二次函数的解析式。
说明:对于此例主要让学生明白这两种二次函数解析式中线段长d的推导过程,记住公式套进去就行了。
注意相互之间不要混淆。
总之,要求一个二次函数的解析式,可以根据不同的已知条件选择恰当的解题方法,使计算过程简单化,达到迅速解题的目的。
当然,也只有在平时的练习中对基本解法的适用情况做到心中有数,才能在具体的问题中结合图形及二次函数的相关性质择优选取适当的解法,提高解题能力。