二次函数几种解析式的求法
十种二次函数解析式求解方法
十种二次函数解析式求解方法〈一〉三点式。
1， 已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过A （3，0），B （32，0），C （0，-3）三点，求抛物线的解析式。
2， 已知抛物线y=a(x-1)２+4 ， 经过点A （2，3），求抛物线的解析式。
〈二〉顶点式。
1， 已知抛物线y=x 2-2ax+a 2+b 顶点为A （2，1），求抛物线的解析式。
2， 已知抛物线 y=4(x+a)2-2a 的顶点为（3，1），求抛物线的解析式。
〈三〉交点式。
1， 已知抛物线与 x 轴两个交点分别为（3，0）,(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。
2， 已知抛物线线与 x 轴两个交点（4，0），（1，0）求抛物线y=21a(x-2a)(x-b)的解析式。
〈四〉定点式。
1， 在直角坐标系中，不论 a 取何值，抛物线2225212-+-+-=a x a x y 经过x 轴上一定点Q ，直线2)2(+-=x a y 经过点Q,求抛物线的解析式。
2， 抛物线y= x 2 +(2m-1)x-2m 与x 轴的一定交点经过直线y=mx+m+4，求抛物线的解析式。
3， 抛物线y=ax 2+ax-2过直线y=mx-2m+2上的定点A ，求抛物线的解析式。
〈五〉平移式。
1， 把抛物线y= -2x 2 向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线y=a( x-h)2 +k,求此抛物线解析式。
2， 抛物线32-+-=x x y 向上平移,使抛物线经过点C(0,2),求抛物线的解析式.〈六〉距离式。
1， 抛物线y=ax 2+4ax+1(a ﹥0)与x 轴的两个交点间的距离为2，求抛物线的解析式。
2， 已知抛物线y=m x 2+3mx-4m(m ﹥0)与 x 轴交于A 、B 两点，与 轴交于C 点，且AB=BC,求此抛物线的解析式。
〈七〉对称轴式。
1、 抛物线y=x 2-2x+(m 2-4m+4)与x 轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到y 轴距离的2倍，求抛物线的解析式。
二次函数解析式的8种求法
二次函数解析式的8种求法河北 高顺利二次函数的解析式的求法是数学教学的难点，学不易掌握．他的基本思想方法是待定系数法，根据题目给出的具体条件，设出不同形式的解析式，找出满足解析式的点，求出相应的系数．下面就不同形式的二次函数解析式的求法归纳如下，和大家共勉：一、定义型：此类题目是根据二次函数的定义来解题，必须满足二个条件：1、a ≠0； 2、x 的最高次数为2次．例1、若 y =( m 2+ m )x m 2 – 2m －1是二次函数，则m = ．解：由m 2+ m ≠0得:m ≠0，且 m ≠－ 1由m 2–2m –1 = 2得m =－1 或m =3∴ m = 3 ．二、开放型此类题目只给出一个条件，只需写出满足此条件的解析式，所以他的答案并不唯一． 例2、(1)经过点A （0，3）的抛物线的解析式是 ．分析：根据给出的条件，点A 在y 轴上，所以这道题只需满足c b a y ++=χχ2中的C =3，且a ≠0即可∴32++=χχy （注：答案不唯一）三、平移型：将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线．要借此类题目，应先将已知函数的解析是写成顶点式y = a ( x – h )2 + k ，当图像向左（右）平移n 个单位时，就在x – h 上加上（减去）n ；当图像向上（下）平移m 个单位时，就在k 上加上（减去）m ．其平移的规律是：h 值正、负，右、左移；k 值正负，上下移．由于经过平移的图像形状、大小和开口方向都没有改变，所以a 得值不变．例3、二次函数 253212++=χχy 的图像是由221χ=y 的图像先向 平移 个 单位，再向 平移 个单位得到的．解： 253212++=χχy = ()23212-+χ， ∴二次函数 253212++=χχy 的图像是由221χ=y 的图像先向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到的．这两类题目多出现在选择题或是填空题目中四、一般式当题目给出函数图像上的三个点时，设为一般式c b a y ++=χχ2，转化成一个三元一次方程组，以求得a ，b ，c 的值；五、顶点式若已知抛物线的顶点或对称轴、极值，则设为顶点式()k h x a y +-=2．这顶点坐标为（ h ，k ），对称轴方程x = h ，极值为当x = h 时，y 极值=k 来求出相应的系数；六、两根式已知图像与 x 轴交于不同的两点()()1200x x ，，，，设二次函数的解析式为()()21x x x x a y --=，根据题目条件求出a 的值．例4、根据下面的条件，求二次函数的解析式：1．图像经过（1，－4），（－1，0），（－2，5）2．图象顶点是（－2，3），且过（－1，5）3．图像与x 轴交于（－2，0），（4，0）两点，且过（1，－29） 解：1、设二次函数的解析式为：c b a ++=χχγ2，依题意得：40542a b c a b c a b c -=++⎧⎪=-+⎨⎪=-+⎩ 解得：⎪⎩⎪⎨⎧-=-==321c b a∴322--=x x y2、设二次函数解析式为：y = a ( x – h )2 + k ， 图象顶点是（－2，3）∴h =－2，k =3， 依题意得：5=a ( －1 + 2)2+3，解得：a =2∴y = 2( x +2)2 + 3=11822++x x3、设二次函数解析式为：y = a ( x – 1χ) ( x – 2χ)．图像与x 轴交于（－2，0），（4，0）两点，∴1χ=－2，2χ=4依题意得：－29= a ( 1 +2) ( 1– 4) ∴a =21 ∴ y = 21 ( x +1) ( x – 4)=223212--x χ． 七、翻折型（对称性）：已知一个二次函数c b a ++=χχγ2，要求其图象关于轴对称（也可以说沿轴翻折）；轴对称及经过其顶点且平行于轴的直线对称，（也可以说抛物线图象绕顶点旋转180°）的图象的函数解析式，先把原函数的解析式化成y = a ( x – h )2 + k 的形式．（1）关于轴对称的两个图象的顶点关于轴对称，两个图象的开口方向相反，即互为相反数．（2）关于轴对称的两个图象的顶点关于轴对称，两个图象的形状大小不变，即相同．（3）关于经过其顶点且平行于轴的直线对称的两个函数的图象的顶点坐标不变，开口方向相反，即互为相反数．例6 已知二次函数，求满足下列条件的二次函数的解析式：（1）图象关于轴对称；（2）图象关于轴对称；（3）图象关于经过其顶点且平行于轴的直线对称．x x y x x x a y y ax a 5632+-=x x y x y x解：可转化为，据对称式可知 ①图象关于轴对称的图象的解析式为， 即：． ②图象关于轴对称的图象的解析式为：，即：；③图象关于经过其顶点且平行于轴的直线对称的图象的解析式为，即．八、数形结合数形结合式的二次函数的解析式的求法，此种情况是融代数与几何为一体，把代数问题转化为几何问题，充分运用三角函数、解直角三角形等来解决问题，只要充分运用有关几何知识求出解析式中的待定系数，以达到目的．例7、如图，已知抛物线c b y ++-=χχ271和x 轴正半轴交与A 、B 两点，AB =4，P 为抛物线上的一点，他的横坐标为－1，∠PAO =45 ，37cot =∠PBO ．()1求P 点的坐标；()2求抛物线的解析式．解: 设P 的坐标为(－1，y )， ∵P 点在第三象限∴y ＜0，过点P 作PM ⊥X 轴于点M ． 点M 的坐标为(－1，0)|BM| = |BA |+ |AM|5632+-=x x y 2)1(32+-=x y x 2)1(32---=x y 5632-+-=x x y y 2)1(32++=x y 5632++=x x y x 2)1(32+--=x y 1632++-=x x y∵∠PAO =45∴ |PM | = |AM| = |y | =－y ∵374cot =--==∠y y PM BM PBO ∴y = －3∴P 的坐标为(－1，－3)∴A 的坐标为(2，0)将点A 、点P 的坐标代如函数解析式 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--=-++-=c b c b 7132740 解得：87b = ； 127c =- ∴抛物线的解析式为：21812777y χχ=-+-．。
二次函数三种解析式的求法
二次函数三种解析式的求法二次函数是高中数学中的重要概念，它的解析式有三种常见的求法。
本文将分别介绍这三种求法，并且给出相应的例题加以说明。
第一种求法是通过顶点坐标和另一点坐标来确定二次函数的解析式。
二次函数的标准形式为f(x) = a(x-h)² + k，其中(h,k)为顶点坐标。
假设已知顶点坐标为(h,k)，另一个已知点的坐标为(x₁,y₁)，我们可以将这两个点的坐标代入二次函数的标准形式，得到两个方程：k = a(x-h)²y₁ = a(x₁-h)² + k通过解方程组，我们可以求解出a的值，进而得到二次函数的解析式。
例如，已知二次函数过点(2,5)，顶点坐标为(-1,3)，我们可以代入上述方程组进行求解。
将顶点坐标代入第一个方程，可得：3 = a(2-(-1))²解得a = 1/3。
然后将a的值代入第二个方程，可得：5 = (1/3)(2-(-1))² + 3化简后得到二次函数的解析式为f(x) = (1/3)(x+1)² + 3。
第二种求法是通过顶点坐标和对称轴与顶点的距离来确定二次函数的解析式。
对称轴与顶点的距离等于顶点的纵坐标的绝对值，即|k|。
假设已知顶点坐标为(h,k)，对称轴与顶点的距离为|k|，我们可以将这些信息代入二次函数的标准形式，得到方程：f(x) = a(x-h)² + k代入|k|，可得：f(x) = a(x-h)² + |k|通过解这个方程，我们可以求解出a的值，进而得到二次函数的解析式。
例如，已知二次函数过点(2,5)，顶点坐标为(-1,3)，对称轴与顶点的距离为3。
我们可以代入上述方程进行求解。
将顶点坐标代入方程，可得：5 = a(2-(-1))² + 3化简后得到a = 1/3。
然后将a的值代入方程，可得：f(x) = (1/3)(x+1)² + 3这就是二次函数的解析式。
求二次函数解析式的四种方法详解
求二次函数解析式的四种方法详解二次函数是一种常见的函数形式，其解析式可以通过四种方法求得。
下面将详细介绍这四种方法。
方法一：配方法求解二次函数解析式配方法是一种常用的求解二次函数解析式的方法。
对于形如$f(x) = ax^2 + bx + c$的二次函数，我们可以通过配方法将其转化为$(px+q)^2$形式，然后利用完全平方公式求解。
1. 将二次项与常数项系数乘以2，即将原函数表示为$f(x) = a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c$；2. 将中间项$\frac{b}{a}x$除以2，并在括号外面加上一个平方项和一个负号，即表示为$f(x) = a(x^2 + \frac{b}{a}x +(\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2) + c$；3. 将括号内部的三项利用完全平方公式进行转化，即表示为$f(x) = a((x+\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2) + c$；4. 化简后得到$f(x) = a(x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c$。
其中，$(x+\frac{b}{2a})^2$是一个完全平方项，可以展开得到$x^2 + bx + \frac{b^2}{4a^2}$。
所以上述表达式可以进一步简化为：$f(x) = ax^2 + bx + c = a(x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c$这就是二次函数的配方法解析式。
方法二：因式分解法求解二次函数解析式对于形如$f(x) = ax^2 + bx + c$的二次函数，我们可以使用因式分解法对其解析式进行求解。
1.如果二次函数可以因式分解为$(x-x_1)(x-x_2)$的形式，其中$x_1$和$x_2$是函数的根，则此二次函数的解析式形式为$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$；2.将一般形式的二次函数进行因式分解，即将二次项系数a与常数项c进行合适的分解，得到$(x-x_1)(x-x_2)$的形式。
十种二次函数解析式求解方法
十种二次函数解析式求解方法二次函数是一个形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b和c是实数且a不为0。
解析式是一种表示函数的方式，它可以用来求解函数的性质和方程的解。
下面是十种二次函数解析式求解方法：1. 一般式：二次函数的一般式为y = ax^2 + bx + c。
通过将函数写成一般式，可以快速识别出a、b和c的值，进而求解一些重要的性质，如顶点、轴对称线、开口方向等。
2.标准式：二次函数的标准式为y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)为顶点的坐标。
通过将一般式转化为标准式，可以直观地找出顶点的坐标及与x轴的交点。
3.因式分解：有时候，二次函数的解析式可以通过因式分解的方式得到。
例如，对于函数y=x^2-5x+6，我们可以将其因式分解为y=(x-2)(x-3)，从而得到x=2和x=3是方程的解。
4.完全平方：如果二次函数的解析式可以表示为一个完全平方的形式，那么我们可以通过提取出完全平方的方式得到方程的解。
例如，对于函数y=x^2-4x+4，我们可以将其写成y=(x-2)^2的形式，从而得到x=2是方程的解。
5. 配方法：对于一般的二次方程ax^2 + bx + c = 0，我们可以通过配方法将其转化为一个完全平方的形式。
通过配方法，我们可以找到一个常数k使得ax^2 + bx + c = a(x + p)^2 + k，从而得到方程的解析式。
6.求导方法：通过对二次函数求导，我们可以得到函数的导数。
导数可以帮助我们找到函数的最值点和切线，进而求解其他问题。
7.顶点公式：二次函数的顶点公式为(h,k)，其中h=-b/(2a)，k=f(h)。
通过顶点公式，我们可以快速找到二次函数的顶点，进而求解一些重要的性质。
8. 零点公式：二次函数的零点公式为x = (-b ± √(b^2 -4ac))/(2a)。
通过零点公式，我们可以求解二次函数的零点或解方程。
9. 判别式：二次函数的判别式为Δ = b^2 - 4ac。
求二次函数解析式的五种常见类型
因此AM＋OM的最小值为4 2 .
返回
方法2 利用顶点式求二次函数解析式
4．在平面直角坐标系内，二次函数图象的顶点为A(1，
－4)，且过点B(3，0)，求该二次函数的解析式．
解：∵二次函数图象的顶点为A(1，－4)，
∴设y＝a(x－1)2－4.
x2＋4x. 解得a＝－ .
解：把A(－2，－4)，O(0，0)，B(2，0)三
故y＝(x－1)2－4，即y＝x2－2x－3.
点的坐标代入y＝ax ＋bx＋c， 方法1 利用一般式求二次函数解析式
由函数的基本形式求二次函数解析式)
2
当x＝0时，y＝－1；
4 a－ 2 b＋ c＝ － 4， a ＝ － 1 ， 即y＝－x2＋4x－3.
解法三：∵抛物线的顶点坐标为(－2，4)，与x轴的一个交点坐标为(1，0)， 解法二：设抛物线对应的函数解析式为y＝a(x＋2)2＋4，将点(1，0)的坐标代入得0＝a(1＋2)2＋4，解得a＝－ .
设抛物线的解析式为y＝a(x－2)2，
OM的最小值． 由函数的基本形式求二次函数解析式)
解法二：设抛物线对应的函数解析式为y＝a(x＋2)2＋4，将点(1，0)的坐标代入得0＝a(1＋2)2＋4，解得a＝－ .
返回
2．一个二次函数，当自变量x＝－1时，函数值y＝2； 当x＝0时，y＝－1；当x＝1时，y＝－2.那么这个 二次函数的解析式为____y_＝__x_2－__2_x_－__1____．
返回
3．如图，在平面直角坐标系中，抛 物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－2， －4)，O(0，0)，B(2，0)三点．
组，得 (2)将抛物线C1向左平移3个单位长度，可使所得的抛物线C2经过坐标原点．如图，所求抛物线C2对应的函数解析式为y＝x(x＋4)，即y＝
二次函数解析式的几种求法
二、求二次函数解析式的思想方法
1、 求二次函数解析式的常用方法：
待定系数法、配方法、数形结合等.
2、求二次函数解析式的 常用思想：
转化思想
解方程或方程组
3、二次函数解析式的最终形式：
无论采用哪一种解析式求解,最后结 果都化为一般式.
例1．已知二次函数的图象经过点A0,-1、 B1,0、C-1,2；求它的关系式．
例2．已知抛物线的顶点为1,-3,且与y轴交 于点0,1,求这个二次函数的解析式
解:因为抛物线的顶点为1,-3,所以设二此函数的关系
式为y＝ax－12－3,又由于抛物线与y轴交于点0,1,可
以得到
1＝a0－12－3
解得
a＝4
所以,所求二次函数的关系式是y＝4x－12－3．
即
y＝4x2－8x＋1
例3．已知抛物线的顶点为3,-2,且与x轴两 交点间的距离为4,求它的解析式．
分析:
方法1:因为已知抛物线上三个点,所以可设函数关系 式为一般式y＝ax2＋bx＋c,把三个点的坐标代入后 求出a、b、c,就可得抛物线的解析式. 方法2:根据抛物线与x轴的两个交点的坐标,可设函数 关系式为 y＝ax＋3x－5,再根据抛物线与y轴的交点 可求出a的值；ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
课堂练习:
1．根据下列条件,分别求出对应的二次函数的关系式． 1已知二次函数的图象经过点0,2、1,1、 3,5； 2已知抛物线的顶点为-1,2,且过点2,1； 3已知抛物线与x轴交于点-1,0、2,0,且经过点 1,2．
分析:根据二次函数的图象经过三个已知点, 可设函数关系式为y＝ax2＋bx＋c的形式
例1．已知二次函数的图象经过点A0,-1、 B1,0、C-1,2；求它的关系式．
二次函数的解析式三种方法
二次函数的解析式三种方法二次函数是一种常见的函数类型，在数学学习中，学生们需要对其进行深入的了解和掌握，以便于解决与二次函数相关的问题。
本文将介绍三种求解二次函数的解析式的方法，包括公式法、顶点法和描点法。
每种方法的步骤和注意事项都将被详细介绍。
一、公式法公式法是一种求解二次函数解析式的基本方法。
二次函数的标准形式可以表示为 y = ax²+bx+c，其中 a、b、c 都是实数常数，而 x 是自变量。
一个常见的二次函数的例子为y = x²。
1. 求取 a、b、c 的值在使用公式法求解二次函数的解析式之前，需要先计算出二次函数中的 a、b、c 值。
通常情况下，这些值可以从已知的条件中直接得到。
如果已知二次函数经过点 (2,4) 和 (−1,3)，则可以根据这些坐标计算出 a、b、c的值。
可以得到两个方程：4 = a(2)²+b(2)+c3 = a(−1)²+b(−1)+c然后，可以将这些方程化简为：4 = 4a+2b+c3 = a−b+c接下来，可以使用代数法或消元法来求解 a、b、c 的值。
可以将第二个方程中的 a解出来，然后带入第一个方程中，得到：a = 2b−14 = 8b−4+2b+cc = −8b+8可以得到二次函数的解析式为：y = (2b−1)x²+bx+8−8b2. 使用公式法求解二次函数一旦确定了二次函数中的 a、b、c 值，可以使用公式法求解二次函数的解析式。
具体而言，可以使用以下公式：x = (-b ± √(b²-4ac))/(2a)这个公式可以得到二次函数的解析式中的两个根。
如果二次函数的解析式没有实数根，则说明这个二次函数不存在。
在上面的例子中，可以将 a、b、c 的值带入到公式中，得到：x = (-b ± √(b²-4ac))/(2a)x = (-b ± √(b²-4(2b−1)(8−8b)))/(2(2b−1))根据这个公式，可以得到二次函数的解析式的两个实数根，也就是二次函数与 x 轴相交的点。
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二次函数的解析式求法求二次函数的解析式这类题涉及面广，灵活性大，技巧性强，笔者结合近几年来的中考试题，总结出几种解析式的求法，供同学们学习时参考。
一、 三点型例1 已知一个二次函数图象经过（-1，10）、（2，7）和（1，4）三点，那么这个函数的解析式是_______。
分析 已知二次函数图象上的三个点，可设其解析式为y=ax 2+bx+c,将三个点的坐标代入，易得a=2,b=-3,c=5 。
故所求函数解析式为y=2x 2-3x+5.这种方法是将坐标代入y=ax 2+bx+c 后，把问题归结为解一个三元一次方程组，求出待定系数 a, b , c, 进而获得解析式y=ax 2+bx+c.二、交点型例2 已知抛物线y=-2x 2+8x-9的顶点为A ，若二次函数y=ax 2+bx+c 的图像经过A 点，且与x 轴交于B （0，0）、C （3，0）两点，试求这个二次函数的解析式。
分析 要求的二次函数的图象与x 轴的两个交点坐标，可设y=ax(x-3),再求也y=-2x 2+8x-9的顶点A （2，-1）。
将A 点的坐标代入y=ax(x-3),得到a=21 ∴y=21x(x-3),即 y=xx 23212 .三、顶点型例 3 已知抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点是A(-1,4)且经过点(1,2)求其解析式。
分析 此类题型可设顶点坐标为(m,k)，故解析式为y=a(x-m)2+k.在本题中可设y=a(x+1)2+4.再将点(1,2)代入求得a=-21∴y=-,4)1(212++x 即y=-.27212+-x x由于题中只有一个待定的系数a ，将已知点代入即可求出，进而得到要求的解析式。
四、平移型例 4 二次函数y=x 2+bx+c 的图象向左平移两个单位，再向上平移3个单位得二次函数,122+-=x x y 则b 与c 分别等于 (A)2,-2;(B)-6,6;(c)-8,14;(D)-8,18.分析 逆用平移分式，将函数y=x 2-2x+1的顶点（1，0）先向下平移3个单位，再向右平移两个单位得原函数的图象的顶点为（3，-3）。
∴y=x3)3(22--=++x c bx =x .662+-x ∴b=-6,c=6.因此选（B ）五、弦比型例 5 已知二次函y=ax 2+bx+c 为x=2时有最大值2，其图象在X 轴上截得的线段长为2，求这个二次函数的解析式。
分析 弦长型的问题有两种思路，一是利用对称性求出交点坐标，二是用弦比公式d=a ∆就本题而言，可由对称性求得两交点坐标为A （1，0），B （3，0）。
再应用交点式或顶点式求得解析式为y=-2x 2+8x-6.六、识图型例 6 如图1，抛物线y=cxbx+++)2(212与y=dxbx+-+)2(212其中一条的顶点为P，另一条与X轴交于M、N两点。
（1）试判定哪条抛物线与X轴交于M、N点？（2）求两条抛物线的解析式。
解（1）抛物线y=cxbx+++)2(212与x轴交于M，N两点（过程从略）；（2）因y=dxbx+-+)2(212的顶点坐标为（0，1），∴b-2=0,d=1, ∴b=2.∴Y=1212+x.将点N的坐标与b=2分别代入y=221x+(b+2)x+c得c=6.∴y=221x+4x+6七、面积型例 7 已知抛物线y=x cbx++2的对称轴在 y轴的右侧，且抛物线与 y轴交于Q（0，-3），与x轴的交点为A、B，顶点为P，ΔPAB的面积为8。
求其解析式。
解将（0，-3）代入y=cbxx++2得 c=-3.由弦长公式，得122+=bAB点P 的纵坐标为4122b --由面积公式，得.8412122122=--⋅+b b解得.2±=b因对称轴在y 轴的右侧,∴ b=-2.所以解析式为y=322--x x八、几何型例 8 已知二次函数y=2x -mx+2m-4如果抛物线与x 轴相交的两个交点以及抛物线的顶点组成一个等边三角形，求其解析式。
解 由弦比公式，得AB=4)42(42-=--m m m顶点C 的纵坐标为-4)4(2-m∵ΔABC 为等边三角形∴43214)4(2-⋅=--m m解得m=4,32±故所求解析式为 y=,344)324(2+++-x x或y=344)324(2-+--x x九、三角型例 9已知抛物线y=c bx x ++2的图象经过三点（0，2512）、（sinA ，0）、（sinB ，0）且A 、B 为直角三角形的两个锐角，求其解析式。
解 ∵A+B=900，∴sinB=cosA. 则由根与系数的关系，可得⎩⎨⎧=⋅-=+c A A b A A cos sin cos sin将（0，2512）代入解析式，得c=.2512（1）2)2(2⨯-,得,125242=-b ∴57±=b ∵-b ,0〉∴b=-57所以解析式为y=2512572+-x x十、综合型例 10 如图2，已知抛物线y=-q px x ++2与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C 点， 若∠ACB=900，且tg ∠CAO-tg ∠CBO=2，求其解析式．解 设A ，B 两点的横坐标分别为x 21,x ,则q=(-x .)21OB OA x ⋅=⋅ 由ΔAOC ～ΔCOB ，可得OC 2=OA ·OB ， ∴q 2=q 解得q 1=1,q 2=0（舍去），又由tg ∠CAO-tg ∠CBO=2得2=-OB OCOA OC即21 12 1=--XX∴x1+x2=-2x1x 2即 p=2p=2所以解析式为y=-x2+2x+1函数及其图象例 1.二次函数性质的应用例 2.利用二次函数性质求点的坐标∴a(1-3)2-2=0∴a=∴所求二次函数解析式为y=x2-3x+(2)∵ΔP A B的面积为12个平方单位，｜A B｜=4∴×4×｜P y｜=12∴｜P y｜=6∴P g=±6但抛物线开口向上，函数值最小为-2，∴P y=-6应舍去，∴P g=6又点P在抛物线上，∴6=x2-3x+x1=-1,x2=7即点P的坐标为(-1，6)或(7，6)说明：此题如果设图象与x轴交点横坐标为x1，x2，运用公式｜x1-x2｜=，会使运算繁琐。
这里利用抛物线的对称性将线段长的条件转化为点的坐标，比较简便。
例8.如图，矩形E F G H内接于ΔA B C。
E、F在A C边上H、G分别在A B、B C边上，A C=8c m,高B D=6c m,设矩形的宽H E为x(c m)。
试求出矩形E F G H的面积y(c m2)与矩形E F G H的宽x(c m)间的函数关系式，并回答当矩形的宽取多长时，它的面积最大，最大面积是多少?解：∵四边形E F G H是矩形∴H G∥A C∴ΔA B C∽ΔH B G设B D交H G于M则B D与B M分别是ΔA B C和ΔH B G的高。
∴∵H G∥A C,∴M D=H E=x,B M=6-x∴,∴H G=∵y=S矩形E F G H=H E*H G∴y=x*整理得y=-x2+8x∵B D=6∴自变量x的取值范围是0＜x＜6∵x2的系数为-＜0，∴y有最大值当x=-=3时，y最大值==12∴所求函数的解析式为y=-x2+8x(0＜x＜6)，当它的宽为3c m时，矩形E F G H面积最大，最大面积为12c m2。
例9.二次函数y=a x2+b x-5的图象的对称轴为直线x=3，图象与y轴相交于点B，设x1,x2是方程a x2+b x-5=0的两个根，且x12+x22=26,又设二次函数图象顶点为A，(1)求二次函数的解析式(2)求原点O到直线A B的距离解(1)如图∵-=3∴-=6又x1+x2=-=6x1*x2=-由已知，有x12+x22=26，∴(x1+x2)2-2x1x2=26即(-)2+=26,=26-36解得a=-1∴解析式为y=-x2+6x-5=-(x-3)2+4(2)∵O B=5,O C=4,A C=3∴A B==3又O A==5∴ΔA O B为等腰三角形，作O D⊥A B于D，∴B D=∴O D=,即原点O到直线A B的距离为三、同步测试：选择题：1.如果点P(3m-p,1-m)是第三象限的整数点，那么P点坐标是()(A).(-2，-1)(B)(-3，-1)(C)(-3，-2)(D)(-4，-2)2.若点P(a,b)在第二、四象限两轴夹角平分线上，则a与b的关系是()(A)a=b(B)a=-b(C)a=｜b｜(D)｜a｜=b3.点P(x,y)在第二象限，且｜x｜=2，｜y｜=3,则点P关于x轴对称点的坐标为()(A)(-2，3)(B)(2，-3)(C)(-2，-3)(D)(2，3)4.函数y=中，自变量x的取值范围是()(A)x≤2(B)x＜2(C)x≠2(D)x＞25.函数y=中，自变量x的取值范围是()(A)x＞-2且x≠1(B)x≥-2且x≠1(C)x≥-2且x≠±1(D)x≥-2或x≠±16.在下列函数中，成正比例函数关系的是()(A)圆的面积与它的周长(B)矩形面积是定值，矩形的长与宽(C)正方形面积与它的边长(D)当底边一定时，三角形面积与底边上的高7.函数y=k(x-1)与y=(k＜o)在同一坐标系下的图象大致如图()8.如果直线y=k x+b的图象过二、三、四象限，那么()(A)k＞0,b＞0(B)k＞0，b＜0(C)k＜0，b＞0(D)k＜0，b＜09.对于抛物线y=-+x-x2，下列结论正确的是()(A)开口向上，顶点坐标是(，0)(B)开口向下，顶点坐标是(，0)(C)开口向下，顶点坐标是(-，)(D)开口向上，顶点坐标是(-，-)10.若a＞0,b＜0则函数y=a x2+b x的图象是下面图中的()11.已知：二次函数y=a x2+b x+c的图象如图，则()(A)a＞0,b＞0,c＞0,Δ＜0(B)a＜0,b＞0,c＜0,Δ＞0(C)a＞0,b＜0,c＜0,Δ＞0(D)a＜0,b＜0,c＞0,Δ＜012.把函数y=2x2-4x-5的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位后，所得到的函数图象的解析式为()(A)y=2x2+4x-8(B)y=2x2-8x+8(C)y=2x2+4x-2(D)y=2x2-8x-2填空题13.点A(，-5)到x轴的距离是____；到y轴的距离是____；到原点的距离是____.14.直线y=k x+b与直线y=-x平行，且通过点(2，-3)，则k=__，在y轴上的截距为___.15.一次函数的图象经过(1，-5)点且与y轴交于(0，-1)点，则一次函数的解析式为____.16.已知抛物线的顶点为M(4，8)且经过坐标原点，则抛物线所对应的二次函数的解析式为____.解答题：17.一次函y=x+分别与x轴，y轴交于点A，B，点C(0,a)且a＜0，若∠B A C为直角，求图象过点C与点A的一次函数解析式。