求函数解析式的四种常用方法
函数解析式的求解及常用方法
函数解析式的求解及常用方法
1.直接法：当函数的表达式比较简单时，可以通过观察函数在一些特定点上的值来找到函数的解析式。
例如，给定函数的函数值和定义域，通过观察函数的值与自变量之间的关系来确定函数的解析式。
2. 反函数法：对于一些特殊函数，可以通过求解函数的反函数来得到函数的解析式。
例如，对于幂函数y=x^n，可以通过求解其反函数
y=\sqrt[n]{x}来得到幂函数的解析式。
3.已知条件法：对于一些已知条件，可以通过利用这些条件来求解函数的解析式。
例如，已知函数的导函数或者积分表达式，可以利用这些条件来求解函数的解析式。
4.递归法：有些函数可以通过递归的方式来定义，即函数的值依赖于前面的函数值。
例如，斐波那契数列就是通过递归来定义的，可以通过递归的方式来求解函数的解析式。
5.求导和积分法：对于一些函数，可以通过求导和积分的方式来求解函数的解析式。
特别是对于一些常见的函数，可以通过求导和积分的规则来求解函数的解析式。
以上是常用的函数解析式求解方法，不同函数的特点和已知条件可能需要采用不同的方法来求解函数的解析式。
在实际问题中，需要根据具体情况选择合适的方法来求解函数的解析式。
例析求函数解析式的四种方法
ʏ秦雷宇函数的解析式是函数的三要素之一,求函数解析式的常用方法有:配凑法㊁待定系数法㊁方程组法和函数奇偶性法㊂下面举例分析求函数解析式的四种方法,供大家学习与参考㊂方法一:配凑法由已知条件f [g (x )]=F (x ),可将F (x )改写成关于g (x )的表达式,然后以x 替代g (x ),可得f (x )的表达式㊂例1 已知f (x +1)=x +2x ,则f (x )=㊂解:f (x +1)=x +2x =x +2x +1-1=(x +1)2-1㊂因为x +1ȡ1,所以f (x )=x 2-1(x ȡ1)㊂方法二:待定系数法已知函数的类型(如一次函数㊁二次函数),可先设函数的解析式,再确定其系数即得解析式㊂例2 已知f (x )是一次函数,且满足3f (x +1)-f (x )=2x +9,求f (x )的解析式㊂解:由f (x )是一次函数,设f (x )=k x +b ,且k ʂ0㊂因为3f (x +1)-f (x )=2x +9,所以3[k (x +1)+b ]-(k x +b )=2x +9,整理得2k x +3k +2b =2x +9,所以2k =2,3k +2b =9,解得k =1,b =3,所以函数f (x )=x +3㊂方法三:方程组法已知关于f (x )与f 1x或f (-x )的关系式,可根据已知条件,构造出另一个等式,通过解方程求出f (x )㊂例3 若对任意的实数x ,都有2f (x )-f1x=2x +1,则f (x )=㊂解:对任意的实数x ,都有2f (x )-f1x=2x +1,把x 用1x 替换可得方程组2f (x )-f1x=2x +1,2f 1x-f (x )=2x +1㊂据此消去f 1x 得f (x )=43x +23x+1(x ʂ0)㊂方法四:函数的奇偶性法已知函数f (x )的奇偶性及f (x )在某区间上的解析式,求该函数在整个定义域上的解析式的方法:求哪个区间上的解析式,x 就设在那个区间上;把x 的对称转化到已知区间上,代入已知区间上的解析式;利用f (x )的奇偶性,将f (-x )用-f (x )或f (x )表示,从而求出f (x )㊂例4 若函数f (x )是R 上的奇函数,且当x >0时,f (x )=x 3+x 2+1,则f (x )=㊂解:因为当x >0时,f (x )=x 3+x 2+1,所以当x <0时,-x >0,则f (-x )=(-x )3+(-x )2+1=-x 3+x 2+1㊂因为f (x )是奇函数,所以f (x )=-f (-x )=-(-x 3+x 2+1)=x 3-x 2-1㊂又因为f (x )为R 上的奇函数,所以f (0)=0㊂综上可得,函数f(x )=x 3+x 2+1,x >0,0,x =0,x 3-x 2-1,x <0㊂作者单位:湖北省巴东县第一高级中学(责任编辑 郭正华)12知识结构与拓展高一数学 2023年10月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
函数解析式求解常用的方法
函数解析式求解常用的方法1. 根据已知点的坐标求解：这是最常见的方法之一，假设已知函数通过点(x1, y1)、(x2, y2)、(x3, y3)等，可以根据这些点的坐标关系列出方程组，然后通过求解方程组的方法得到函数解析式。
例如，已知函数通过点(1, 3)和(2, 5)，可以列出方程y=mx+b，然后代入已知点的坐标求解出m和b的值，从而得到函数的解析式。
2. 根据已知函数特点求解：有些函数具有特定的性质和规律，可以通过观察和推导来求解函数解析式。
例如，对于线性函数y=kx+b，可以通过观察斜率k和截距b的特点来确定函数的解析式。
类似地，对于二次函数、指数函数、对数函数等，也可以通过观察其特点来求解函数解析式。
3. 根据函数的定义域和值域求解：定义域是指函数的自变量的取值范围，值域是指函数的因变量的取值范围。
通过分析函数的定义域和值域的特点，可以得到函数解析式的一些限制条件。
例如，对于反三角函数y=sin^(-1)x，其定义域为[-1, 1]，值域为[-π/2,π/2]，因此函数的解析式必须满足这些条件。
4.根据已知函数的导数求解：导数是函数在其中一点的变化率，通过求解函数的导数可以得到函数的变化趋势和特点。
对于已知函数的导数，可以通过积分的方法求解出函数的解析式。
例如，对于导数为f'(x)的函数f(x)，可以通过积分来求解出函数f(x)的解析式。
这是一种比较常用的方法，尤其对于复杂的函数，通过求导和求积分可以得到函数的解析式。
总之，求解函数解析式的方法有很多种，根据不同的函数特点和已知条件选择合适的方法可以更快地得到函数的解析式。
在实际应用中，还可以结合数值计算和图形分析等方法来求解函数解析式，以便更加全面地了解函数的性质和特点。
求函数解析式的七种方法
函 数 解 析 式 的 七 种 求 法一、 待定系数法：在已知函数的解析式结构时，用待定系数法。
例1 已知)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f解：设b ax x f +=)( )0(≠a ，则b ab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([∴⎩⎨⎧=+=342b ab a ∴⎩⎨⎧⎩⎨⎧=-===3212b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 二、 配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。
但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。
例2 已知221)1(x x x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式 解：2)1()1(2-+=+x x x x f ， 21≥+xx 2)(2-=∴x x f )2(≥x三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。
与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。
例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f解：令1+=x t ，则1≥t ，2)1(-=t x x x x f 2)1(+=+∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f1)(2-=∴x x f )1(≥xx x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。
例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式解：设),(y x M 为)(x g y =上任一点，且),(y x M '''为),(y x M 关于点)3,2(-的对称点则⎪⎩⎪⎨⎧=+'-=+'3222y y x x ，解得：⎩⎨⎧-='--='y y x x 64 ， 点),(y x M '''在)(x g y =上x x y '+'='∴2把⎩⎨⎧-='--='yy x x 64代入得： )4()4(62--+--=-x x y整理得672---=x x y ∴67)(2---=x x x g五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。
求函数解析式的六种常用方法
求函数解析式的九种常用方法一、换元法已知复合函数f [g （ｘ)]的解析式,求原函数f(ｘ）的解析式, 把g （ｘ)看成一个整体t ，进行换元,从而求出f(x)的方法。
例1 已知ｆ(xx 1+）= x x x 1122++,求ｆ（x)的解析式． 解： 设x x 1+＝ t ,则 x= 11-t (t ≠1), ∴f （ｔ）＝ 111)11(1)11(22-+-+-t t t = 1+2)1(-t +(ｔ-１)＝ t 2－t+１ 故 f （x)=x ２-x ＋1 （x ≠１). 评注: 实施换元后,应注意新变量的取值范围，即为函数的定义域．二、配凑法例2 已知ｆ(x +1)= x+２x ,求f （x)的解析式．解: f （x +1）= 2)(x +２x +1-1=2)1(+x -1,∴ ｆ（x +1）＝ 2)1(+x -1 (x ＋1≥1)，将x ＋1视为自变量ｘ，则有f(x)= x 2-1 (x ≥１)． 评注: 使用配凑法时,一定要注意函数的定义域的变化,否则容易出错.三、待定系数法已知函数解析式的类型，可设其解析式的形式，根据已知条件建立关于待定系数的方程,从而求出函数解析式的方法。
例3 已知二次函数ｆ（x)满足ｆ(0)＝０,ｆ（x+1）＝ f(ｘ）+2x+８,求f （x ）的解析式．解：设二次函数f(x ）＝ ａx ２+bx+c,则 f(０）= c= 0 ①f （x+1)= a 2)1(+x +b （x+1)= ａx 2＋（2a ＋b)ｘ+a+b ② 由ｆ（ｘ+1)= f （x)+2x ＋8 与①、② 得⎩⎨⎧=++=+822b a b b a 解得 ⎩⎨⎧==.7,1b a 故f(x)= x 2+7ｘ.评注: 已知函数类型，常用待定系数法求函数解析式.四、消去法(方程组法）例4 设函数f （x ）满足ｆ（x ）+2 f(x 1)= x (x ≠０），求f （x ）函数解析式. 分析：欲求ｆ（ｘ），必须消去已知中的f(x 1)，若用x 1去代替已知中x,便可得到另一个方程,联立方程组求解即可.解：∵ ｆ(x ）＋2 ｆ(x1）＝ ｘ (x ≠0） ① 由x 1代入得 ２f(ｘ)+ｆ(x 1)=x1（x ≠0) ② 解 ①② 构成的方程组，得 ｆ（x ）=x 32-3x （x ≠０). 评注:方程组法求解析式的关键是根据已知方程中式子的特点，构造另一个方程 练习：已知定义在R 上的函数满足,求的解析式。
函数解析式的求法
函数解析式的求法1.待定系数法例1.求一次函数y=f(x)解析式，使f(f(x))=4x+3.解：设f(x)=ax+b(a≠0).∴f(f(x))==af(x)+b=a(ax+b)+b=a^2x+ab+b∴a^2x+ab+b=4x+3∴a^2=4,ab+b=3解得a=2,b=1或a=-2,b=-3.∴f(x)=2x+1或f(x)=-2x-3.总结：当已知函数类型时，求函数解析式，常用待定系数法。
其基本步骤：设出函数的一般式，代入已知条件通过解方程（组）确定未知系数。
2.换元法换元法就是引进一个或几个新的变量来替换原来的某些量的解题方法，它的目的是化繁为简、化难为易，以快速的实现从未知向已知的转换，从而达到顺利解题的目的。
常见换元法是多种多样的，如局部换元、整体换元、分母换元、平均换元等，应用极为广泛。
例2.已知f(1-√x)=x.求f(x).解：设1-√x=t,则x=(1-t)^2∵x≥0,∴t≤1,∴f(t)=(1-t)^2(t≤1)∴f(x)=(1-x)^2(x≤1)(函数变量的无关性)总结：(1)利用换元法解题时，要注意在换元时易引起定义域的变化，所以最后的结果要注意所求函数的定义域。
(2)函数变量的无关性，变量无论是用x还是用t表示，都无关紧要，函数依然成立。
3.配凑法例3.已知f(3x+1)=9x^2-6x+5,求f(x).解：∵f(3x+1)=9x^2-6x+5=(3x+1)^2-12x+4=(3x+1)^2-4(3x+1)+8∴f(x)=x^2-4x+8总结：当已知函数表达式比较简单时，可直接应用配凑法，即根据具体的解析式凑出复合变量的形式，从而求出函数解析式。
4.消元法（又叫解方程组法）例4.已知函数f(x)满足条件：f(x)+2f(1/x)=x,求f(x).分析：用1/x代替条件方程中的x得：f(1/x)+2f(x)=1/x.把它与原条件式联立。
用消元法消去f(1/x),即得f(x)的解析式。
求函数解析式的四种常用方法
求函数解析式的四种常用方法函数是数学中的重要概念，它描述了变量之间的关系。
函数解析式是用代数表达式来表示函数的定义域、值域和具体的变化规律。
常用的四种方法来得到函数的解析式是：通过公式、通过图像、通过数据和通过给定条件。
一、通过公式：一些函数的解析式可以通过简单的数学公式来得到。
例如，直线函数y = kx + b、二次函数y = ax^2 + bx + c以及指数函数y = a^x等。
这些函数可以根据已知的系数和常数来确定解析式。
例如，对于直线函数y = 2x + 3，我们可以知道它的斜率是2，截距是3，因此解析式为y = 2x + 3二、通过图像：函数的解析式可以通过观察图像来确定。
例如，可以根据函数的特点，如对称性、切线的斜率等，来确定解析式。
对于一元函数来说，可以通过绘制函数的图像来判断函数的特点，从而得到函数的解析式。
例如，对于一次函数来说，可以通过观察图像的直线特点来确定解析式；对于二次函数来说，可以根据开口方向、抛物线的顶点位置等来确定解析式。
三、通过数据：有时候可以通过给定的数值表格或函数的值来确定函数的解析式。
通过列举一组合适的输入和输出值，然后观察数值的规律，可以找到函数的解析式。
例如，已知函数的自变量为x，函数的值为y，通过给定一些具体的x和对应的y值，可以通过观察它们之间的关系来确定函数的解析式。
四、通过给定条件：在一些具体的问题中，函数的解析式可以通过给定的条件来确定。
例如，在几何问题中，根据给定的几何条件和函数的特性，可以建立函数的解析式。
例如，根据直线过点的条件和斜率的特性，可以确定直线的解析式。
综上所述，函数解析式的四种常用方法是通过公式、通过图像、通过数据和通过给定条件。
通过这些方法，可以确定函数的解析式，进而研究函数的性质和变化规律，以及解决一些实际问题。
函数解析式的七种求法
函数解析式的七种求法一、通过给定的输入和输出求解析式。
这是最简单直接的方法，当给定了函数的输入和输出时，可以利用这些已知信息求解析式。
例如，如果一个函数在输入为1时输出为3，在输入为2时输出为5，我们可以直接写出函数解析式为f(x)=2x+1二、基于已知函数的变换求解析式。
对于已知的一些基本函数，例如线性函数、多项式函数、指数函数、对数函数等，我们可以通过对它们进行变换得到其他函数的解析式。
例如，如果已知函数f(x)=x^2，我们可以通过对f(x)进行变换得到f(x)=(x-1)^2+1三、利用函数的性质和特点求解析式。
对于一些特殊函数，例如奇函数、偶函数、周期函数等，可以利用它们的性质和特点来求解析式。
例如，如果一个函数是奇函数，那么它的解析式中只包含奇次幂项，可以利用这个特点来求解析式。
四、利用已知函数的级数展开求解析式。
对于一些复杂的函数，可以利用已知函数的级数展开进行逼近，从而得到函数的解析式。
例如，可以利用泰勒级数展开求得函数的解析式，只需要计算到足够高的阶数即可。
五、利用已知函数的导数和积分求解析式。
对于一些函数，可以通过对它们的导数和积分进行运算得到其他函数的解析式。
例如，如果已知一个函数的导数或积分，可以通过对这个导数或积分进行逆运算来求得函数的解析式。
六、基于已知函数的函数逼近求解析式。
对于一些复杂的函数，可以利用一些已知的简单函数进行逼近，从而得到函数的解析式。
例如，可以利用多项式函数对一个非多项式函数进行逼近，从而得到函数的解析式。
七、利用差分方程或微分方程求解析式。
对于一些具有差分方程或微分方程性质的函数，可以通过求解这些方程来得到函数的解析式。
例如，可以利用差分方程或微分方程求解线性递推函数的解析式。
以上是七种常用的求解函数解析式的方法。
不同方法适用于不同情况，根据具体的问题和已知信息选择合适的方法可以更高效地求解函数的解析式。
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(4)定义在(－1,1)内的函数 f(x)满足 2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)， 求函数 f(x)的解析式．
方程组法
[练一练]
1．设 g(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则 f(x)等于( A，－2x＋1 B，2x－1 C，2x－3 D，2x＋7 答案：D
2
2．若 f(x)＝x ＋bx＋c，且 f(1)＝0，f(3)＝0， f(x)＝________.
求函数解析式的四种常用方法
求函数解析式的四种常用方法
(1) 配凑法：由已知条件 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(g(x))＝F(x)， 可将 F(x)改写成关于 g(x)的表达式， 然后以 x 替代 g(x)， 便得 f(x)的表达式；
变式 题
换元法
拼凑法
求函数解析式的四种常用方法
(2)待定系数法：若已知函数的类型 (如一次函数、 二次函数)可用待定系数法；
2
（4）.已知f(1-cosx)=sin2x，求f(x) （5）.二次函数f(x)满足f(x+2)=f(2x)，且f(x)＝0的两实根平方和为10， 图象过点(0，3)，求f(x)的解析式。 2 （6）：已知：方程：x +ax+a+1=0 的两根满足一个条件：一根大于k， 一根小于k(k是实数)，求a的取值 范围。
答案：x －4x＋3
2
3．设 y＝f(x)是二次函数，方程 f(x)＝0 有两个相等实根， 且 f′(x)＝2x＋2，求 f(x)的解析式．
解：设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 则 f′(x)＝2ax＋b＝2x＋2， ∴a＝1，b＝2，f(x)＝x ＋2x＋c. 又∵方程 f(x)＝0 有两个相等实根， ∴Δ＝4－4c＝0，c＝1，故 f(x)＝x2＋2x＋1.
求函数解析式的四种常用方法
(3)换元法： 已知复合函数 f(g(x))的解析式，
可用换元法， 此时要注意新元的取值范围；
求函数解析式的四种常用方法
(4)解方程组法： 已知关于 f(x)与
1 fx或
f(－
x)的表达式，可根据已知条件再构造出另 外一个等式组成方程组，通过解方程求出 f(x)．