几种求二次函数的方法
二次函数求解公式
二次函数求解公式二次函数是一种常见的二次方程，其定义为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a ≠ 0。
二次函数也被称为二次多项式函数。
求解二次函数的一般方法有图像法、配方法和根的关系。
其中，图像法可以帮助我们直观地理解二次函数的性质，配方法和根的关系则能帮助我们求解二次函数的交点、极值点等。
一、图像法使用图像法求解二次函数的步骤如下：1.绘制二次函数的图像：可以通过画出二次函数的图像来直观地了解函数的性质，比如判断开口方向、极值点等。
2.确定顶点坐标：顶点是二次函数的最高点或最低点，通过观察图像，我们可以找到顶点的坐标。
顶点坐标可以表示函数的极值点。
3.确定对称轴：对称轴是二次函数的图像关于y轴的对称轴线，通过观察图像，我们可以找到对称轴的方程。
4.确定交点坐标：交点是二次函数与x轴的交点，通过观察图像，我们可以找到交点的坐标。
交点坐标可以表示函数的根。
二、配方法使用配方法求解二次函数的步骤如下：1. 对于一般的二次函数y = ax^2 + bx + c，如果a ≠ 0，则可以通过配方法将其写成形如y = a(x + p)^2 + q的标准形式，其中p和q为待确定的常数。
2.使用配方法将二次函数展开：将二次函数展开后，与原函数进行比较，可以确定标准形式中的p和q的值。
3.根据标准形式求解顶点坐标：由于标准形式中(x+p)^2≥0，所以a(x+p)^2+q的最小值为q，当x=-p时取到。
4.根据标准形式求解根：当a>0时，a(x+p)^2+q=0的解为x=-p；当a<0时，方程无解。
三、根的关系根的关系是二次函数的一个重要性质，可以帮助我们求解二次函数的交点坐标。
根的关系有以下两种情况：1. 二次函数有两个不相等的实根：对于一般的二次函数y = ax^2 + bx + c，如果b^2 - 4ac > 0，则可以使用求根公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)求解实根。
求二次函数解析式的三种方法
求二次函数解析式的三种基本方法四川 倪先德二次函数是初中数学的一个重要内容，也是高中数学的一个重要基础。
熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。
二次函数的解析式有三种基本形式：1、一般式：y=ax 2+bx+c (a ≠0)。
2、顶点式：y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h 。
3、交点式：y=a(x －x 1)(x －x 2) (a ≠0)，其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标。
求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式： 1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。
2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。
3、若给出抛物线与x 轴的交点或对称轴或与x 轴的交点距离，通常可设交点式。
探究问题，典例指津：例1、已知二次函数的图象经过点)4,0(),5,1(---和)1,1(．求这个二次函数的解析式． 分析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y=ax 2+bx+c (a ≠0)。
解：设这个二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c (a ≠0)依题意得：⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-=+-145c b a c c b a 解这个方程组得：⎪⎩⎪⎨⎧-===432c b a∴这个二次函数的解析式为y=2x 2+3x －4。
例2、已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，与y 轴交于点)3,0(，求这条抛物线的解析式。
分析：此题给出抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，最好抛开题目给出的c bx ax y ++=2，重新设顶点式y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点。
解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x －4)2－1 (a ≠0) 又抛物线与y 轴交于点)3,0(。
∴a(0－4)2－1=3 ∴a=41∴这个二次函数的解析式为y=41(x －4)2－1，即y=41x 2－2x+3。
二次函数解析式的8种求法
二次函数解析式的8种求法河北 高顺利二次函数的解析式的求法是数学教学的难点，学不易掌握．他的基本思想方法是待定系数法，根据题目给出的具体条件，设出不同形式的解析式，找出满足解析式的点，求出相应的系数．下面就不同形式的二次函数解析式的求法归纳如下，和大家共勉：一、定义型：此类题目是根据二次函数的定义来解题，必须满足二个条件：1、a ≠0； 2、x 的最高次数为2次．例1、若 y =( m 2+ m )x m 2 – 2m －1是二次函数，则m = ．解：由m 2+ m ≠0得:m ≠0，且 m ≠－ 1由m 2–2m –1 = 2得m =－1 或m =3∴ m = 3 ．二、开放型此类题目只给出一个条件，只需写出满足此条件的解析式，所以他的答案并不唯一． 例2、(1)经过点A （0，3）的抛物线的解析式是 ．分析：根据给出的条件，点A 在y 轴上，所以这道题只需满足c b a y ++=χχ2中的C =3，且a ≠0即可∴32++=χχy （注：答案不唯一）三、平移型：将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线．要借此类题目，应先将已知函数的解析是写成顶点式y = a ( x – h )2 + k ，当图像向左（右）平移n 个单位时，就在x – h 上加上（减去）n ；当图像向上（下）平移m 个单位时，就在k 上加上（减去）m ．其平移的规律是：h 值正、负，右、左移；k 值正负，上下移．由于经过平移的图像形状、大小和开口方向都没有改变，所以a 得值不变．例3、二次函数 253212++=χχy 的图像是由221χ=y 的图像先向 平移 个 单位，再向 平移 个单位得到的．解： 253212++=χχy = ()23212-+χ， ∴二次函数 253212++=χχy 的图像是由221χ=y 的图像先向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到的．这两类题目多出现在选择题或是填空题目中四、一般式当题目给出函数图像上的三个点时，设为一般式c b a y ++=χχ2，转化成一个三元一次方程组，以求得a ，b ，c 的值；五、顶点式若已知抛物线的顶点或对称轴、极值，则设为顶点式()k h x a y +-=2．这顶点坐标为（ h ，k ），对称轴方程x = h ，极值为当x = h 时，y 极值=k 来求出相应的系数；六、两根式已知图像与 x 轴交于不同的两点()()1200x x ，，，，设二次函数的解析式为()()21x x x x a y --=，根据题目条件求出a 的值．例4、根据下面的条件，求二次函数的解析式：1．图像经过（1，－4），（－1，0），（－2，5）2．图象顶点是（－2，3），且过（－1，5）3．图像与x 轴交于（－2，0），（4，0）两点，且过（1，－29） 解：1、设二次函数的解析式为：c b a ++=χχγ2，依题意得：40542a b c a b c a b c -=++⎧⎪=-+⎨⎪=-+⎩ 解得：⎪⎩⎪⎨⎧-=-==321c b a∴322--=x x y2、设二次函数解析式为：y = a ( x – h )2 + k ， 图象顶点是（－2，3）∴h =－2，k =3， 依题意得：5=a ( －1 + 2)2+3，解得：a =2∴y = 2( x +2)2 + 3=11822++x x3、设二次函数解析式为：y = a ( x – 1χ) ( x – 2χ)．图像与x 轴交于（－2，0），（4，0）两点，∴1χ=－2，2χ=4依题意得：－29= a ( 1 +2) ( 1– 4) ∴a =21 ∴ y = 21 ( x +1) ( x – 4)=223212--x χ． 七、翻折型（对称性）：已知一个二次函数c b a ++=χχγ2，要求其图象关于轴对称（也可以说沿轴翻折）；轴对称及经过其顶点且平行于轴的直线对称，（也可以说抛物线图象绕顶点旋转180°）的图象的函数解析式，先把原函数的解析式化成y = a ( x – h )2 + k 的形式．（1）关于轴对称的两个图象的顶点关于轴对称，两个图象的开口方向相反，即互为相反数．（2）关于轴对称的两个图象的顶点关于轴对称，两个图象的形状大小不变，即相同．（3）关于经过其顶点且平行于轴的直线对称的两个函数的图象的顶点坐标不变，开口方向相反，即互为相反数．例6 已知二次函数，求满足下列条件的二次函数的解析式：（1）图象关于轴对称；（2）图象关于轴对称；（3）图象关于经过其顶点且平行于轴的直线对称．x x y x x x a y y ax a 5632+-=x x y x y x解：可转化为，据对称式可知 ①图象关于轴对称的图象的解析式为， 即：． ②图象关于轴对称的图象的解析式为：，即：；③图象关于经过其顶点且平行于轴的直线对称的图象的解析式为，即．八、数形结合数形结合式的二次函数的解析式的求法，此种情况是融代数与几何为一体，把代数问题转化为几何问题，充分运用三角函数、解直角三角形等来解决问题，只要充分运用有关几何知识求出解析式中的待定系数，以达到目的．例7、如图，已知抛物线c b y ++-=χχ271和x 轴正半轴交与A 、B 两点，AB =4，P 为抛物线上的一点，他的横坐标为－1，∠PAO =45 ，37cot =∠PBO ．()1求P 点的坐标；()2求抛物线的解析式．解: 设P 的坐标为(－1，y )， ∵P 点在第三象限∴y ＜0，过点P 作PM ⊥X 轴于点M ． 点M 的坐标为(－1，0)|BM| = |BA |+ |AM|5632+-=x x y 2)1(32+-=x y x 2)1(32---=x y 5632-+-=x x y y 2)1(32++=x y 5632++=x x y x 2)1(32+--=x y 1632++-=x x y∵∠PAO =45∴ |PM | = |AM| = |y | =－y ∵374cot =--==∠y y PM BM PBO ∴y = －3∴P 的坐标为(－1，－3)∴A 的坐标为(2，0)将点A 、点P 的坐标代如函数解析式 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--=-++-=c b c b 7132740 解得：87b = ； 127c =- ∴抛物线的解析式为：21812777y χχ=-+-．。
求二次函数解析式的四种方法详解
求二次函数解析式的四种方法详解二次函数是一种常见的函数形式，其解析式可以通过四种方法求得。
下面将详细介绍这四种方法。
方法一：配方法求解二次函数解析式配方法是一种常用的求解二次函数解析式的方法。
对于形如$f(x) = ax^2 + bx + c$的二次函数，我们可以通过配方法将其转化为$(px+q)^2$形式，然后利用完全平方公式求解。
1. 将二次项与常数项系数乘以2，即将原函数表示为$f(x) = a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c$；2. 将中间项$\frac{b}{a}x$除以2，并在括号外面加上一个平方项和一个负号，即表示为$f(x) = a(x^2 + \frac{b}{a}x +(\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2) + c$；3. 将括号内部的三项利用完全平方公式进行转化，即表示为$f(x) = a((x+\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2) + c$；4. 化简后得到$f(x) = a(x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c$。
其中，$(x+\frac{b}{2a})^2$是一个完全平方项，可以展开得到$x^2 + bx + \frac{b^2}{4a^2}$。
所以上述表达式可以进一步简化为：$f(x) = ax^2 + bx + c = a(x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c$这就是二次函数的配方法解析式。
方法二：因式分解法求解二次函数解析式对于形如$f(x) = ax^2 + bx + c$的二次函数，我们可以使用因式分解法对其解析式进行求解。
1.如果二次函数可以因式分解为$(x-x_1)(x-x_2)$的形式，其中$x_1$和$x_2$是函数的根，则此二次函数的解析式形式为$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$；2.将一般形式的二次函数进行因式分解，即将二次项系数a与常数项c进行合适的分解，得到$(x-x_1)(x-x_2)$的形式。
十种二次函数解析式求解方法
十种二次函数解析式求解方法二次函数是一个形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b和c是实数且a不为0。
解析式是一种表示函数的方式，它可以用来求解函数的性质和方程的解。
下面是十种二次函数解析式求解方法：1. 一般式：二次函数的一般式为y = ax^2 + bx + c。
通过将函数写成一般式，可以快速识别出a、b和c的值，进而求解一些重要的性质，如顶点、轴对称线、开口方向等。
2.标准式：二次函数的标准式为y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)为顶点的坐标。
通过将一般式转化为标准式，可以直观地找出顶点的坐标及与x轴的交点。
3.因式分解：有时候，二次函数的解析式可以通过因式分解的方式得到。
例如，对于函数y=x^2-5x+6，我们可以将其因式分解为y=(x-2)(x-3)，从而得到x=2和x=3是方程的解。
4.完全平方：如果二次函数的解析式可以表示为一个完全平方的形式，那么我们可以通过提取出完全平方的方式得到方程的解。
例如，对于函数y=x^2-4x+4，我们可以将其写成y=(x-2)^2的形式，从而得到x=2是方程的解。
5. 配方法：对于一般的二次方程ax^2 + bx + c = 0，我们可以通过配方法将其转化为一个完全平方的形式。
通过配方法，我们可以找到一个常数k使得ax^2 + bx + c = a(x + p)^2 + k，从而得到方程的解析式。
6.求导方法：通过对二次函数求导，我们可以得到函数的导数。
导数可以帮助我们找到函数的最值点和切线，进而求解其他问题。
7.顶点公式：二次函数的顶点公式为(h,k)，其中h=-b/(2a)，k=f(h)。
通过顶点公式，我们可以快速找到二次函数的顶点，进而求解一些重要的性质。
8. 零点公式：二次函数的零点公式为x = (-b ± √(b^2 -4ac))/(2a)。
通过零点公式，我们可以求解二次函数的零点或解方程。
9. 判别式：二次函数的判别式为Δ = b^2 - 4ac。
十种二次函数解析式求解方法
十种二次函数解析式求解方法〈一〉三点式。
1， 已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过A （3，0），B （32，0），C （0，-3）三点，求抛物线的解析式。
2， 已知抛物线y=a(x-1)２+4 ， 经过点A （2，3），求抛物线的解析式。
〈二〉顶点式。
1， 已知抛物线y=x 2-2ax+a 2+b 顶点为A （2，1），求抛物线的解析式。
2， 已知抛物线 y=4(x+a)2-2a 的顶点为（3，1），求抛物线的解析式。
〈三〉交点式。
1， 已知抛物线与 x 轴两个交点分别为（3，0）,(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。
2， 已知抛物线线与 x 轴两个交点（4，0），（1，0）求抛物线y=21a(x-2a)(x-b)的解析式。
〈四〉定点式。
1， 在直角坐标系中，不论a 取何值，抛物线2225212-+-+-=a x a x y 经过x 轴上一定点Q ，直线2)2(+-=x a y 经过点Q,求抛物线的解析式。
2， 抛物线y= x 2 +(2m-1)x-2m 与x 轴的一定交点经过直线y=mx+m+4，求抛物线的解析式。
3， 抛物线y=ax 2+ax-2过直线y=mx-2m+2上的定点A ，求抛物线的解析式。
〈五〉平移式。
1， 把抛物线y= -2x 2 向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线y=a( x-h)2 +k,求此抛物线解析式。
2， 抛物线32-+-=x x y 向上平移,使抛物线经过点C(0,2),求抛物线的解析式.〈六〉距离式。
1， 抛物线y=ax 2+4ax+1(a ﹥0)与x 轴的两个交点间的距离为2，求抛物线的解析式。
2， 已知抛物线y=m x 2+3mx-4m(m ﹥0)与 x 轴交于A 、B 两点，与 轴交于C 点，且AB=BC,求此抛物线的解析式。
〈七〉对称轴式。
1、 抛物线y=x 2-2x+(m 2-4m+4)与x 轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到y 轴距离的2倍，求抛物线的解析式。
求二次函数解析式的五种常见类型
因此AM＋OM的最小值为4 2 .
返回
方法2 利用顶点式求二次函数解析式
4．在平面直角坐标系内，二次函数图象的顶点为A(1，
－4)，且过点B(3，0)，求该二次函数的解析式．
解：∵二次函数图象的顶点为A(1，－4)，
∴设y＝a(x－1)2－4.
x2＋4x. 解得a＝－ .
解：把A(－2，－4)，O(0，0)，B(2，0)三
故y＝(x－1)2－4，即y＝x2－2x－3.
点的坐标代入y＝ax ＋bx＋c， 方法1 利用一般式求二次函数解析式
由函数的基本形式求二次函数解析式)
2
当x＝0时，y＝－1；
4 a－ 2 b＋ c＝ － 4， a ＝ － 1 ， 即y＝－x2＋4x－3.
解法三：∵抛物线的顶点坐标为(－2，4)，与x轴的一个交点坐标为(1，0)， 解法二：设抛物线对应的函数解析式为y＝a(x＋2)2＋4，将点(1，0)的坐标代入得0＝a(1＋2)2＋4，解得a＝－ .
设抛物线的解析式为y＝a(x－2)2，
OM的最小值． 由函数的基本形式求二次函数解析式)
解法二：设抛物线对应的函数解析式为y＝a(x＋2)2＋4，将点(1，0)的坐标代入得0＝a(1＋2)2＋4，解得a＝－ .
返回
2．一个二次函数，当自变量x＝－1时，函数值y＝2； 当x＝0时，y＝－1；当x＝1时，y＝－2.那么这个 二次函数的解析式为____y_＝__x_2－__2_x_－__1____．
返回
3．如图，在平面直角坐标系中，抛 物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－2， －4)，O(0，0)，B(2，0)三点．
组，得 (2)将抛物线C1向左平移3个单位长度，可使所得的抛物线C2经过坐标原点．如图，所求抛物线C2对应的函数解析式为y＝x(x＋4)，即y＝
二次函数的解析式三种方法
二次函数的解析式三种方法二次函数是一种常见的函数类型，在数学学习中，学生们需要对其进行深入的了解和掌握，以便于解决与二次函数相关的问题。
本文将介绍三种求解二次函数的解析式的方法，包括公式法、顶点法和描点法。
每种方法的步骤和注意事项都将被详细介绍。
一、公式法公式法是一种求解二次函数解析式的基本方法。
二次函数的标准形式可以表示为 y = ax²+bx+c，其中 a、b、c 都是实数常数，而 x 是自变量。
一个常见的二次函数的例子为y = x²。
1. 求取 a、b、c 的值在使用公式法求解二次函数的解析式之前，需要先计算出二次函数中的 a、b、c 值。
通常情况下，这些值可以从已知的条件中直接得到。
如果已知二次函数经过点 (2,4) 和 (−1,3)，则可以根据这些坐标计算出 a、b、c的值。
可以得到两个方程：4 = a(2)²+b(2)+c3 = a(−1)²+b(−1)+c然后，可以将这些方程化简为：4 = 4a+2b+c3 = a−b+c接下来，可以使用代数法或消元法来求解 a、b、c 的值。
可以将第二个方程中的 a解出来，然后带入第一个方程中，得到：a = 2b−14 = 8b−4+2b+cc = −8b+8可以得到二次函数的解析式为：y = (2b−1)x²+bx+8−8b2. 使用公式法求解二次函数一旦确定了二次函数中的 a、b、c 值，可以使用公式法求解二次函数的解析式。
具体而言，可以使用以下公式：x = (-b ± √(b²-4ac))/(2a)这个公式可以得到二次函数的解析式中的两个根。
如果二次函数的解析式没有实数根，则说明这个二次函数不存在。
在上面的例子中，可以将 a、b、c 的值带入到公式中，得到：x = (-b ± √(b²-4ac))/(2a)x = (-b ± √(b²-4(2b−1)(8−8b)))/(2(2b−1))根据这个公式，可以得到二次函数的解析式的两个实数根，也就是二次函数与 x 轴相交的点。
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试一试： 试一试：
2、把抛物线y=ax2+bx+c向下平移 个单位， 、把抛物线 向下平移1个单位 向下平移 个单位， 再向左平移5个单位时的顶点坐标为 个单位时的顶点坐标为（ ， ）， 再向左平移 个单位时的顶点坐标为（-2，0）， 的值。 且a+b+c=0，求a、b、c的值。 ， 、 、 的值 点拔： 点拔： 设原抛物线的解析式为y=a（x+m）2+n 设原抛物线的解析式为 （ ） 则平移后抛物线的解析式为y=a（x+m+5）2+n-1 则平移后抛物线的解析式为 （ ） 根据题意得： 根据题意得： − ( m + 5) = −2
n − 1 = 0
m = −3 n = 1
∴y=a（ ∴y=a（x-3）2+1=ax2-6ax+9a+1 ∴a∴a-6a+9a+1=0 ……
讲例： 讲例：
3、 已知：抛物线 、 已知：抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示： 的图象如图所示： 的图象如图所示 y （1）求此抛物线的解析式； ）求此抛物线的解析式； 取何值时， （2）当x取何值时，y>0？ ） 取何值时 ？ （3）将抛物线作怎样的一次 ） 平移,才能使它与坐标轴仅有 平移 才能使它与坐标轴仅有 两个交点,并写出此时抛物线 两个交点 并写出此时抛物线 的解析式。 的解析式。 A B 5 x
则解析式为y=-3(x-2)2+5 则解析式为
试一试： 试一试：
1、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为 、已知：二次函数 的图象的顶点为P 的图象的顶点为 ），且与 轴有两个交点A、 （ 左 右 （-2，9），且与 轴有两个交点 、B（A左B右）， ， ），且与x轴有两个交点 S△ABC=27，求：（ ）二次函数的解析式；（ ）A、 ；（2） 、 ， ：（1）二次函数的解析式；（ B两点的坐标；（ ）画出草图；（ ）若抛物线与 轴 两点的坐标；（ ；（4）若抛物线与y轴 两点的坐标；（3）画出草图；（ 交于C点 求四边形ABCP的面积。 的面积。 交于 点，求四边形 的面积 (1)y=-x2-4x+5 (2)A(-5,0),B(1,0) (4)S=30
-1 o -2.5 D C
讲例： 讲例：
3、 已知：抛物线 、 已知：抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示： 的图象如图所示： 的图象如图所示 y （1）求此抛物线的解析式； ）求此抛物线的解析式； 取何值时， （2）当x取何值时，y>0？ ） 取何值时 ？ （3）将抛物线作怎样的一次 ） 平移,才能使它与坐标轴仅有 平移 才能使它与坐标轴仅有 两个交点,并写出此时抛物线 两个交点 并写出此时抛物线 的解析式。 的解析式。 A B 5 x
二次函数解析式的求法
（二）
回味知识点： 回味知识点：
二次函数解析式常见的三种表示形式： 二次函数解析式常见的三种表示形式： (1)一般式 y = ax2 + bx + c(a ≠ 0) 一般式
y = a(x − m)2 + n(a ≠ 0)顶点坐标（ , n) 顶点坐标（ m (2)顶点式 顶点式
16a + 4b + c = 8 c = 0
A o C x
∴y=∴y=-x2+6x
4、如图，抛物线y=ax2+bx+c与直线 、如图，抛物线 与直线y=kx+4相交 与直线 相交 ），B（ ， ）两点， 于A（1，m）， （4，8）两点，与x轴交于原点 （ ， ）， 轴交于原点 ；（2） 及C点，（ ）求直线和抛物线的解析式；（ ） 点，（1）求直线和抛物线的解析式；（ 3 S△OCB， 在抛物线上是否存在点D， 在抛物线上是否存在点 ，使S△OCD= 2 若存在，求出点D；若不存在，请说明理由。 若存在，求出点 ；若不存在，请说明理由。 y （1）y=x+4 ） y=y=-x2+6x B 4，8） （ ， ） A o （6，0） ， ） C x
4、如图，抛物线y=ax2+bx+c与直线 、如图，抛物线 与直线y=kx+4相交 与直线 相交 ），B（ ， ）两点， 于A（1，m）， （4，8）两点，与x轴交于原点 （ ， ）， 轴交于原点 ；（2） 及C点，（ ）求直线和抛物线的解析式；（ ） 点，（1）求直线和抛物线的解析式；（ 3 S△OCB， 在抛物线上是否存在点D， 在抛物线上是否存在点 ，使S△OCD= 2 若存在，求出点D；若不存在，请说明理由。 若存在，求出点 ；若不存在，请说明理由。 y （2）S△OCB=24 ） 设点D坐标为（ ， ） 设点 坐标为（x，y） 坐标为
(3)交点式 y = a(x − x )( x − x )(a ≠ 0) 交点式 1 2
2 + bx + c 条件： y 条件：若抛物线 = ax X轴交于两点（ x 与 轴交于两点（ ,0)( x ,0)
1 2
讲例： 讲例：
1、已知：抛物线 、已知：抛物线y=ax2+bx+c过直线 过直线 式； 分析： 分析： 3 ∵直线 y = − x + 3 与x轴、y轴的交点为 轴 轴的交点为 ），（0， ） （2，0），（ ，3）则： 4a + 2b + c = 0 ， ），（ c = 3 a + b + c = 1
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讲例： 讲例：
3、 已知：抛物线 、 已知：抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示： 的图象如图所示： 的图象如图所示 y （1）求此抛物线的解析式； ）求此抛物线的解析式； 取何值时， （2）当x取何值时，y>0？ ） 取何值时 ？ （3）将抛物线作怎样的一次 ） 平移,才能使它与坐标轴仅有 平移 才能使它与坐标轴仅有 两个交点,并写出此时抛物线 两个交点 并写出此时抛物线 的解析式。 的解析式。 A B 5 x
n = −1 则: 2 k + n =x2+bx+c的顶点坐标为 抛物线y=x +bx+c的顶点坐标为
4c − b 2 − b = 3 ⋅ − 1 ∴ 4 2 4 + 2b + c = 5
b 4c − b (− , ) 2 4
2
试一试： 试一试：
2、已知：二次函数y=ax2+bx+c有最大值，它与直 、已知 有最大值， 有最大值 讲例： ：二次函数 讲例： 交于A（ ， ）、 ）、B（ ， ）， ），且其中一 线 y=3x-1交于 （m，2）、 （n，5），且其中一 交于 个交点为该抛物线的顶点， 个交点为该抛物线的顶点，求（1）此二次函数的解 ） 析式；（ ；（2） 取何值时， 随 的增大而增大 的增大而增大。 析式；（ ）当x取何值时，y随x的增大而增大。 取何值时 分析： 分析： 先求出A、 两点的坐标 两点的坐标： （ ， ）、 ）、B（ ， ） 先求出 、B两点的坐标：A（1，2）、 （2，5） A（1，2）为顶点： ①若A（1，2）为顶点： 设解析式为y=a(x-1)2+2 设解析式为 ∵5=a+2 ∴a=3 又∵函数有最大值, 函数有最大值, ∴a=3不合,舍去. ∴a=3不合,舍去. 不合 ②若B（2，5）为顶点： （ ， ）为顶点： 设解析式为y=a(x-2)2+5 设解析式为 ∵2=a+5 ∴a=∴a=-3
2、已知:抛物线 、已知 抛物线 抛物线y=ax2+bx+c过点（-5，0）、 过点（ ， ）、 过点 5 （0， ）（ ，6）三点，直线 的解析式为 ， ）（1， ）三点，直线L的解析式为 2 y=2x-3，（ ）求抛物线的解析式；（ ）求证： ，（1）求抛物线的解析式；（ ；（2）求证： ，（ 抛物线与直线无交点；（ ）若与直线L平行的直 抛物线与直线无交点；（3）若与直线 平行的直 ；（ 线与抛物线只有一个交点P，求P点的坐标。 点的坐标。 线与抛物线只有一个交点 ， 点的坐标 1 5 点拔： 点拔：（1）y = x + 3 x + ） 2 2 （2）证抛物线和直线的解析式组成的方程组无解 ） （3）设与L平行的直线的解析式为 ）设与 平行的直线的解析式为y=2x+n 平行的直线的解析式为 则：此直线和抛物线的解析式组成的方程组只有一 个解。 个解。即△=0
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讲例： 讲例：
3、 已知：抛物线 、 已知：抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示： 的图象如图所示： 的图象如图所示 y （1）求此抛物线的解析式； ）求此抛物线的解析式； 取何值时， （2）当x取何值时，y>0？ ） 取何值时 ？ （3）将抛物线作怎样的一次 ） 平移,才能使它与坐标轴仅有 平移 才能使它与坐标轴仅有 两个交点,并写出此时抛物线 两个交点 并写出此时抛物线 的解析式。 的解析式。 A B 5 x
1 3 ∴ × 6⋅ | y |= × 24 2 2
∴y=± ∴y=±12 ……
B 4，8） （ ， ） A o y=-x2+6x y=（6，0） ， ） C x
小结： 小结：
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讲例： ，抛物线 讲例如图 抛物线y=ax2+bx+c与直线 4、如图， 与直线y=kx+4相交 、： 与直线 相交
），B（ ， ）两点， 于A（1，m）， （4，8）两点，与x轴交于原点 （ ， ）， 轴交于原点 ；（2） 及C点，（ ）求直线和抛物线的解析式；（ ） 点，（1）求直线和抛物线的解析式；（ 3 S△OCB， 在抛物线上是否存在点D， 在抛物线上是否存在点 ，使S△OCD= 2 若存在，求出点D；若不存在，请说明理由。 若存在，求出点 ；若不存在，请说明理由。 y （1）y=x+4 ） A（1，5） （ ， ） B a + b + c = 5