二次函数之配方法求顶点式以及与一元二次方程的关系
九年级二次函数与一元二次方程的联系和区别
二次函数与一元二次方程的联系和区别一、二次函数1、自变量x 和因变量y 之间存在如下关系：y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a≠0，且a 决定函数的开口方向）①a>0时，开口方向向上 ②a<0时，开口方向向下③|a|还可以决定开口大小a 绝对值越大开口就越小,|a|越小开口就越大④一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置。
当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右。
⑤常数项c 决定抛物线与y 轴交点。
抛物线与y 轴交于（0，c ）⑥抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线 x =2ab-,。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P 。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y 轴（即直线x=0）⑦抛物线有一个顶点P ，坐标为 P [2a b -，a b 4ac 42- ]。
当2ab -=0时，P 在y 轴上；当Δ= b 2-4ac=0时，P 在x 轴上。
2、二次函数的两种表达式①一般式：y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a≠0） ②顶点式：y=a(x-h)2+k [抛物线的顶点P （h ，k ）] 3、抛物线与x 轴交点个数 Δ= b2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点。
Δ= b2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点。
Δ= b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点。
二、一元二次方程y= ax 2+bx+c ，当y=0时，二次函数为关于x 的一元二次方程，即ax 2+bx+c=0 三、两者之间的联系①ax 2+bx+c=0,即为y= ax 2+bx+c ，y=0时 ②方程的根x 1，x 2是使ax 2+bx+c 为零的x 的取值③x 1，x 2对应图像上是y =ax 2+bx+c 函数与x 轴交点的横坐标。
④方程根的个数即是使ax 2+bx+c=0的x 的个数即是y= ax 2+bx+c y=0,为y= ax 2+bx+c 图像与x 轴的交点个数。
关于一元二次函数,一元二次方程,一元二次不等式及其关系
1. 一元二次函数函数 2y ax bx c =++ (0)a ¹叫做一元二次函数，其中,,a b c 是常数 一般式2y ax bx c =++ ( 0a ¹)顶点式 ()2y a x h k =-+ (0a ¹),其中(),h k 为抛物线顶点坐标两点式()()12y a x x x x =-- ( 0a ¹), 其中12,x x 是抛物线与x 轴交点的横坐标。
1.1一元二次函数的基本性质1.1.1一元二次函数的定义域和值域 一元二次函数2y ax bx c =++ ，(0)a ¹的R一元二次函数2y ax bx c =++ ，(0)a ¹ 的值域是0a >时一元二次函数的值域是24,4ac ba 轹-÷ê÷+ ÷ê÷øë 0a <时一元二次函数的值域是24,4acb a 纟-çú- ççúèû1.1.2一元二次函数的单调性1. 2y ax bx c =++ ， ()0a > 在区间,2ba 纟çú-?ççúèû上为单调减函数 ，在区间,2ba 轹÷ê-+ ÷÷êøë上为单调增函数 。
当2b x a=-时 2min 44ac b y a-=， m ax y =无2. 2y ax bx c =++ ()0a <在区间,2ba 纟çú-?ççúèû上为单调增加函数，在区间,2ba轹÷ê-+ ÷÷êøë上为单调减函数 。
《二次函数与一元二次方程》资料二次函数与一元二次方程知识点
二次函数与一元二次方程知识点
1．二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：
一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况.
图像与x 轴的交点个数：
① 当240b ac ∆=->时，图像与x 轴交于两点()()1200A x B x ，
，，12()x x ≠，其中12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根． 12x x ，和的一半恰好是对称轴的横坐标.
② 当0∆=时，图像与x 轴只有一个交点；
③ 当0∆<时，图像与x 轴没有交点.
当0a >时，图像落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >；
当0a <时，图像落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．
2. 抛物线2y ax bx c =++的图像与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；
3. 二次函数常用解题方法总结：
（1）求二次函数的图像与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
（2）求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；或者依据函数特点确定自变量能使函数取得最大值的值，并将其带入到表达式中求出最值；
（3）根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ， b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；
（4）二次函数与一次函数的交点，可通过联立方程求解，从而求出交点坐标。
二次函数与一元二次方程关系解题技巧
一、一元二次方程及其解法解题技巧类型一巧用一元二次方程的定义解题【例1】若关于x的方程是一元二次方程，则=_______．【解析】一元二次方程的定义中包含三要素：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的最高次数为2；(3)整式方程．依题意，得，解得；【答案】【小结】有关一元二次方程的概念，要把握住未知数的最高次数为2，且二次项的系数不为0，还要是整式方程.类型二巧用一元二次方程的根的意义解题【例2】关于的一元二次方程的一个根是0，则的值是________．【解析】把0代入一元二次方程即可得到关于的一元二次方程，从而求得．但二次项的系数，即，所以．【答案】【小结】将已知的一元二次方程的根代入该方程中即可求出字母系数的值，但要注意二次项系数不为零这一隐含条件．【例3】已知是方程的两根，且，则的值等于（）A．－5 B．5 C．－9 D．9【解析】由于m、n是方程的根，将m、n代入该方程可得m2－2m-1=0，n2－2n－1 =0，即m2－2m=1，n2－2n=1．变形，得7m2－14m=7，3n2－6n=3，因此(7+a)(3－7)=8，所以a=－9．【答案】C【小结】从方程的根入手，将其根代入方程，进而构造出一个新的方程．在解本题的过程中，还应用了整体的思想，同时要注意把握条件与结论之间的关系，即括号中的7m2－14m、3n2－6n与已知方程之间的关系．从而使问题得到快速求解．类型三巧构一元二次方程的根【例4】已知一元二次方程（为常数）满足，则该方程的一根必为________．【解析】结合一元二次方程根的定义，当时，满足方程左、右两边都相等，由此判断方程的一根必为x =．【答案】x =【小结】估算一元二次方程的根时，应结合根的意义，通过观察，比较得出．类型四 判断一元二次方程根的范围【例5】根据下列表格中的对应值，判断方程（为常数）的一的范围是（A ．B ．C ．D ．【解析】由表格中的数据发现：当x =6.18时，代数式的值为－0.01；当x =6.19时，代数式的值为0.02，要从表格中判断=0的解，可发现未知数x 的值应处于6.18到6.19之间．【答案】C【小结】解决本题的关键在于理解根的意义，使方程左右两边相等的未知数的值就是该方程的解．类型五 与一元二次方程的根有关的开放题【例6】已知关于的一元二次方程的一个根是1，写出一个符合条件的方程：____________．【解析】答案不唯一，可先写出二次项，再写出一次项，最后写能使该方程有一根为1的常数项．【答案】答案不唯一，如：即等．二、实际问题与一元二次方程解题技巧近几年有关一元二次方程的应用题在中考中经常出现，此类题大多以现实生活中的热点新闻、热点事件为背景，形式多变．主要是考查分析问题、解决问题能力．1．列一元二次方程解应用题的一般步骤：（1）审；（2）设；（3）列；（4）解；（5）检验；（6）答． 2．一元二次方程的应用类型一增长率、减少率问题【例1】长沙市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子．开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元，请问哪种方案更优惠？【分析】（1）设平均每次下调的百分率为x，根据第一次下调后为，第二次下调后为列方程求解即可；（2）从购房和物业费两方面，比较方案①、方案②即可．【解】（1）设平均每次下调的百分率为x，根据题意，得．解得=10％，（不合题意舍去）．所以平均每次下调的百分率为10％．（2）方案①的房款是：4050×100×0.98=396900（元）；方案②的房款是：4050×100－1.5×100×12×2=401400（元）．∵396900＜401400，∴选方案①更优惠．【小结】增长（降低）率是列方程解实际问题最常见的题型之一，对于平均增长率问题，正确理解有关“增长”问题的一些词语的含义是解答这类问题的关键，常见的词语有：“增加”“增加到”“增加了几倍”“增长到几倍”“增长率”等等．弄清基数、增长（减少）后的量及增长（减少）次数，平均增长率公式为(为基数，为平均增长率，为增长次数，为增长后的量)．同时解出未知数的值是否符合题意一定要考虑清楚．类型二病毒倍数传播问题【例2】某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？【分析】设一台每轮感染给x台电脑，则第一轮后有（1+x）台，经过第二轮感染后，共有．【解】设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，依题意，得．解得x=8或－10（负值不合题意，舍去）．∵＞700，∴若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会超过700台．【小结】“传播与裂变”问题在现实生活中是广泛存在的，常见的类型包括细胞分裂、信息传播、传染扩散、单循环赛等，是近年中考的热点与亮点，尤其是病毒传播速度成几何级数增长，随着传播轮数的增加，数量是十分惊人的，一定要画好分析图，尤其是要弄清每轮传播的源头与传播后的总和．解这类问题的关键是理解题意，设出适当的未知数列方程求解．类型三几何图形问题【例3】在一块长16 m，宽12 m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案．同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳的方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请用方程的方法说明理由．【分析】设小路宽度为m，则花园的长为，花园的宽为，根据面积可得方程．【解】（1）不符合．设小路宽度均为m，根据题意得：，解这个方程得：但不符合题意，应舍去，∴．∴小芳的方案不符合条件，小路的宽度应均为2 m．【小结】几何图形问题一般是只给出一个几何图形（常见的有三角形、特殊四边形），要求在其四周设计边衬或对其进行分割、裁剪，设计一个新的图形或图案．在有关几何图形的面积表示中，通常有三种处理办法：直接表示、间接表示与变换表示．解决有关面积问题时，要注意将不规则图形分割成或组合成规则图形，找出各部分面积之间的关系，再利用规则图形的面积公式列出方程求解，进而对方程的根进行取舍．类型四市场经济与其它问题【例4】某批发商以每件50元的价格购进800件T恤．第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元．设第二个月单价降低x元．（1）填表（不需要化简）（2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？【分析】（1）由“第二个月单价降低x元”知第二个月的单价为(80－x)，销售量为(200+10x)件，清仓时为总数量分别减去前面两个月的剩余量，即800－200－(200+10x)；（2）销售额－成本=利润，由“获利9000元”建立方程进行求解．【解】（1）80－x，200+10x，800－200－(200+10x)；（2）根据题意，得80×200+(80－x)(200+10x)+40[800－200－(200+10x)] －50×800=9000．整理，得x2－20x+100=0，解这个方程得x1= x2=10，当x=10时，80－x=70＞50．答：第二个月的单价应是70元．【小结】市场经济问题（纳税、利息、分期付款、销售利润），匀变速运动、古诗词等问题都是值得关注，解答这问题时，不论背景如何变化，一定要抓住“关键词语”寻找等量关系，并注意根据实际意义对所列一元二次方程进行合理的取舍．【例5】百货大搂服装柜台在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“十一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件．要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少？【分析】每件的利润是40－x元，因每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件．则件数为件，抓住总利润列出方程进行求解．【解】设每件童装应降价x元，则，解得．因为要尽快减少库存，所以x=20．答：每件童装应降价20元．【小结】本题主要的数量关系是：销售利润=每件利润×件数，理解商品的销售的件数及商品价格的关系是解答本题的关键．三、二次函数及其图象解题技巧类型一抛物线的平移问题抛物线的平移问题，可以首先研究其顶点的平移问题，因此，一般要将其解析式转化为顶点式．【例1】把抛物线y＝x2+bx+c的图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为y ＝x2－2x－3，则b、c的值为（）A．b＝2，c＝2 B．b＝2，c＝0 C．b＝－2，c＝－1 D．b＝－3，c＝2【分析】y＝x2－2x－3＝ (x2－2x+1)－4＝(x－1)2－4，这个函数图象的顶点坐标为（1，－4），故原抛物线的顶点坐标为（－1，－1）．验证：（－1，－1）（1，－4）．∴y＝x2+bx+c可化为y＝(x+1)2－1．即y＝x2+2x．∴b＝2，c＝0．【答案】B类型二抛物线的旋转和轴对称变换将抛物线绕顶点旋转180°，开口方向发生改变，顶点的坐标不变；抛物线的轴对称变换问题，也是从顶点的轴对称变换开始切入．【例2】将抛物线y＝2x2-12x+16绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是（）A．y＝－2x2－12x+16 B．y＝－2x2+12x－16C．y＝－2x2+12x－19 D．y＝－2x2+12x－20【分析】将y＝2x2－12x+16化为顶点式，得y＝2(x－3)2－2．∴该抛物线的顶点坐标为（3，－2），将该抛物线绕顶点旋转180°后，顶点仍然是（3，－2），解析式中二次项的系数变为－2，所以所得抛物线的解析式为y＝－2(x－3)2－2，即y＝－2x2+12x－20．【答案】D类型三抛物线的对称性（重点）【例3】如图，抛物线y＝ax2+bx+c(a＞0)的对称轴是直线x＝1，且经过点P（3，0），则a－b+c的值是（）A．0 B．－1 C．1 D．2【分析】∵该抛物线的对称轴为直线x＝1，又经过点P（3，0），∴利用抛物线的对称性可知该抛物线还要经过点（-1，0），因此a－b+c＝0．【答案】A类型四函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的增减性二次函数的增减性通常要结合其图象研究，明确开口方向及对称轴的位置，是研究的前提条件．【例4】已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：若点A（x1，y1），B（x2，y2）在该函数的图象上，则当1＜x1＜2，3＜x2＜4时，y1与y2的大小关系正确的是（）A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1≥y2 D．y1≤y2【分析】从表中可以发现x＝1和x＝3时，y的值都是1．说明函数图象的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，0），这时函数值最小，故该抛物线的开口向上，又因为1＜x1＜2，3＜x2＜4，所以点A（x1，y1）和点B（x2，y2）分别位于对称轴的左右两侧，且点A（x1，y1）比点B（x2，y2）到对称轴的距离近．因此y1＜y2.【答案】B类型五根据条件确定最大值和最小值【例5】当－2≤x≤3时，二次函数y＝x2－2x+3的最大值为______，最小值为______．【分析】y＝x2－2x+3＝(x－1)2+2，该函数图象的顶点为（1，2），画出满足条件－2≤x≤3的图象．如图所示．当x＝1时，y有最小值，其最小值为2；当x＝－2时，y有最大值，其最大值为11．【答案】11；2类型六利用“配方法”求特殊函数的最大（小）值【例6】（1）求函数y＝x+(x＞0)的最小值；（2）已知矩形的面积为a，一条边的长为x．当x为何值时，矩形的周长y最小，这个最小值是多少？【分析】可设法将x+“配方”．【解】（1）y＝x+(x＞0)＝＝+2．当＝，即x＝1时，y有最小值，最小值为2．（2）y＝2(x+)(x＞0)＝＝当＝，即x＝时，y有最小值，其最小值为4．∴当x＝时，矩形的周长y最小，最小值为4．四、二次函数与一元二次方程关系解题技巧类型一抛物线的交点式（重点）一般地，若二次函数的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，则其解析式可设为“交点式”即y＝a(x－x1) (x－x2)．【例1】已知抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，与y轴交于点C(0，－4)．其中x1，x2是方程x2－4x－12＝0的两根，且x1＜x2，求抛物线的解析式．【分析】已知抛物线与x轴的交点为（x1，0），（x2，0），故可设其解析式为y＝a(x－x1) (x－x2)．【解】∵方程x2－4x－12＝0的解为：＝－2，x2＝6，故可设已知的抛物线的解析式为：y＝a(x+2) (x－6)．由x＝0时，y＝－4，得－4＝a×2×（－6），∴a＝∴该抛物线的解析式为：y＝(x+2) (x－6)，即y＝x2－x－4．【名师点睛】虽然本题也可以利用给出的“一般式”来确定抛物线的解析式，但是没有设成“交点式”简单．【例 2】如图，二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，如果O B＝OC＝OA，那么b的值是（）A．2 B．－1 C． D．－【分析】设OB＝OC＝OA＝c，则A、B两点的坐标分别为A（－2c，0），B（c，0）．故可设抛物线的解析式为y＝a(x+2c) (x－c)，即y＝ax2+acx－2ac2．又∵OC＝c，∴点C的坐标为（0，c），代入解析式，得－2ac2＝c．ac＝－（∵c≠0）．∴b＝ac＝－．【答案】D类型二根据图象观察方程的解通过二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象，不仅可以观察一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况，还可以发现与之相关的一些方程的解的情况．【例3】如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点坐标为（1，8），则一元二次方程ax2+bx+c－8＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实根B．有两个异号实根C．有两个相等实根D．没有实根【分析】二次函数y＝ax2+bx+c的最大值是8，因此ax2+bx+c≤8，只有当x＝1时等号成立，因此方程ax2+bx+c＝8．即ax2+bx+c-8＝0有两个相等实根，即x1＝x2＝1．【答案】C【方法归纳】观察本题的图象，研究一元二次方程ax2+bx+c＝k的解的情况，可以发现：①当k＜8时，方程有两个不相等的实根；②当k＝8时，方程有两个相等的实根；③当k＞8时，方程没有实根．类型三根据图象观察不等式的解集利用二次函数的图象，还可以观察一些不等式的解集．【例4】抛物线y＝－x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是________．【分析】通过观察图象可以发现抛物线的对称轴为直线x＝－1，与x轴的右交点的坐标为（1，0），利用对称性可以推断出抛物线与x轴的左交点的坐标为（－3，0）．要使y＞0，则－3＜x＜1．【答案】－3＜x＜1【例5】已知函数y1＝x2与函数y2＝－x+3的图象大致如图，若y1＜y2，则自变量x的取值范围是（）A．－＜x＜2 B．x＞2或x＜－C．－2＜x＜D．x＜－2或x＞【点石成金】本题中y1＞y2时，取两边；y1＜y2时，取中间．【分析】观察图象可以发现，位于点A、B之间的部分，有y1＜y2成立，而此时，x的取值范围有选项A、选项C两种选择，进一步观察图象又可以发现A到y轴的距离大于B到y轴的距离，所以答案只能是－2＜x＜；此外本题也可以通过解方程组求出A、B两点的坐标，然后再判断．【答案】C【名师点睛】此题若改成y1＞y2，则x的取值范围是x＜－2或x＞【例6】如图，抛物线y2＝x2+1与双曲线y1＝的交点A的横坐标是1，则不等式+x2+1＜0的解集是（）A．x＞1 B．x＜－1 C．0＜x＜1 D．－1＜x＜0【分析】先把+x2+1＜0化为＜－x2－1，再讨论函数y1＝的图象与y3＝－x2－1的图象之间的关系；作抛物线y2＝x2+1关于原点成中心对称的抛物线y3＝－x2－1．可以发现抛物线y3＝－x2－1与双曲线y1＝的交点的横坐标为－1．观察图象可发现当－1＜x＜0时，y1＜y3，即＜－x2－1，+x2+1＜0．【答案】D类型四根据图象确定代数式的取值范围根据二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象可以发现一些含有a，b，c的代数式的取值范围．【例7】已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的个数有（）①abc＞0；②b2－4ac＞0；③8a+c＞0；④9a+3b+c＜0．A．1个B．2 个C．3 个D．4个【分析】①∵图象开口向上，∴a＞0．∵对称轴在y轴的右侧，∴a、b异号．∴b＜0．图象与y轴的交点在x轴的下方，故c＜0，∴abc＞0．正确②抛物线与x轴有两个交点，∴b2－4ac＞0．正确③令x＝－2，则y＝(－2)2a+(－2)b+c＝4a－2b+c.又∵－＝1，∴b＝－2a．∴y＝4a－2b+c＝8a+c．又∵x＝－2时，y＞0．∴8a+c＞0．正确④利用抛物线的对称性可知x＝3和x＝－1时y的值相等，且都有y＜0；而x＝3时，y＝9a+3b+c．∴9a+3b+c＜0．正确综上所述正确结论的个数为4．【答案】D【方法归纳】设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c(a≠0)，【例8】如图，抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)与x轴的一个交点A在（－2，0）和（－1，0）之间（包括这两点），顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，则（1）abc0；（2）a的取值范围是.【分析】（1）因为图象开口向下，所以a＜0．对称轴在y轴右边，所以b＞0．与y轴的交点在y轴的正半轴上，所以c＞0，综合可得abc＜0．（2）以D（1，3）为顶点，经过点（－1，0）的抛物线的“张口”最小，设这条抛物线为y＝a1(x－1)2+3，令x＝－1，y＝0，得a1＝－；以F为顶点经过点（－2，0）的抛物线的“张口”最大，设这条抛物线为y＝a2(x－3)2+2，令x＝－2，y＝0，得a2＝－，∴a的取值范围是－≤a≤－．【答案】（1）＜；（2）－≤a≤－。
二次函数与一元二次方程、不等式
3.恒成立问题的转化:a>f(x)恒成立⇒a>f(x)max;a≤f(x)恒成立⇒a≤f(x)min.
4.能成立问题的转化:a>f(x)能成立⇒a>f(x)min;a≤f(x)能成立⇒a≤f(x)max
值范围是
.
(2)已知函数f(x)=ax2+(a-3)x+1在区间[-1,+∞)上是单调递减的,则实数a的
取值范围是(
)
A.[-3,0)
B.(-∞,-3]
C.[-2,0]
D.[-3,0]
答案 (1)[4,+∞)
(2)D
解析 (1)f(x)=-x2+2ax+3对称轴方程为x=a,
f(x)在区间(-∞,4)上单调递增,所以a≥4.故a的取值范围为[4,+∞).
【考点自诊】
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
2
(1)二次函数 y=ax +bx+c(x∈R),当
x=- 时,y
2
4 - 2
取得最小值为
.
4
( × )
(2)一元二次函数 y=ax2+bx+c(x∈R)的函数值恒为负的充要条件是
< 0,
2 -4 < 0.
x≥0,则3x≥2x≥1,∴f(3x)≥f(2x);若x<0,则3x<2x<1,∴f(3x)>f(2x).∴f(3x)≥f(2x),
即f(bx)≤f(cx).故选A.
考向2 二次函数的最值问题
【例3】 (1)已知函数f(x)=(x+2 013)(x+2 015)(x+2 017)(x+2 019),x∈R,则
人教版九年级上册数学二次函数与一元二次方程、不等式
(2)左、右平移：当抛物线y＝a(x－h)2＋k向左 平移n(n>0)个单位后，所得的抛物线的关系式为y ＝a(x－h＋n)2＋k；当抛物线y＝a(x－h)2＋k向右 平移n(n>0)个单位后，所得的抛物线的关系式为y ＝a(x－h－n)2＋k.
将(－6，0)代入，得
1 0＝2(
－6＋3)2＋h，解得h＝－29，
人教版九年级上册数学 22.2 二次函数与一元二次方程、不等式
x1<x<x2
无解
无解
人教版九年级上册数学 22.2 二次函数与一元二次方程、不等式
考点3
二次函数图象的平移
将抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)用配方法化成y ＝a(x－h)2＋k(a≠0)的形式，而任意抛物线y＝ a(x－h)2＋k均可由抛物线y＝ax2平移得到，具体 平移方法如图15－1：
抛物线y＝ax2 ＋bx＋c与x轴
的交点个数
判别式Δ＝b2－ 4ac
的符号
方程ax2＋bx＋c ＝0有实根 的个数
2个 1个 没有
Δ>0 Δ＝0 Δ<0
两个_不__相__等___实根 两个_相__等_____实根
__没__有____实根
考点2 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图 象特征与a、b、c及判别式b2－4ac的符号之间 的关系
项目 字母
a
b
字母的符号
a>0 a<0 b＝0
ab>0(b与a同号)
《二次函数与一元二次方程》二次函数PPT课件5教学课件
2
因为f(1)=0，所以(a-1)
t
2
4
=0.
4
又t≠0，所以a=1，所以f(x)=(x-
t 2)2-
(tt2≠0).
24
（2）因为f(x)=(x- )2- (t≠0),
当
t
2
<-1，即t<-4时t 2，2 f(xt)42min=f(-1)=
(当-1--12t≤2
)2-
2 t2
t 2≤4
=-5，所以t=- ； 1，即-4≤t≤-1时92 ，
3.关于x的二次方程x2+ax+a2-4=0的两根 异号，则a的取值范围是 (-2,2) .
4.函数y=4x-2x+1-5的值域是 [-6,+∞) .
令t=2x，则y=t2-2t-5=(t-1)2-6(t>0), 所以y≥-6.
5
5.当x∈(1,2)时，x2+mx+4<0恒成立，则m 的取值范围是 (-∞,-5] .
且f(0)=0，f(1)=1. （1）求f(x)的解析式； （2）若f(x)在区间[m,n]上的值域是[m,n]，
求m、n的值.
12
（1）设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
由已知得 - b =1
2a
a=-1
c=0 ，解得 b=2
a+b+c=1
c=0.
所以f(x)=-x2+2x.
（2）f(x)=-(x-1)2+1，显然n≤1,
因为k>2,所以 4 k <1.又-1≤x≤5,
①当-1≤ 4 k<1,即2 2<k≤6时，取x= 4 , k
二次函数知识点归纳总结
二次函数知识点归纳总结二次函数知识点总结二次函数是形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数。
与一元二次方程类似，二次项系数a≠0，而b和c可以为零。
二次函数的定义域是全体实数。
二次函数的根本形式是y=ax²。
a的绝对值越大，抛物线的开口越小。
a的符号决定开口方向。
当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下。
顶点坐标是（0,0），对称轴是y轴。
当x增大时，y随之增大，当x减小时，y随之减小，当x=0时，y有最小值。
当二次函数的形式为y=ax²+c时，顶点坐标是（0,c），对称轴是y轴。
其他性质与y=ax²相同。
当二次函数的形式为y=a(x-h)²时，顶点坐标是（h,0），对称轴是以顶点为中心的垂直于x轴的直线。
当x增大时，y随之增大，当x减小时，y随之减小，当x=h时，y有最小值。
当二次函数的形式为y=a(x-h)²+k时，顶点坐标是（h,k），对称轴是以顶点为中心的垂直于x轴的直线。
其他性质与y=a(x-h)²相同。
平移二次函数的图像，可以将抛物线的顶点平移到（h,k）处。
具体方法是保持抛物线形状不变，将其顶点平移到（h,k）处。
如果k>0，则向上平移|k|个单位；如果k<0，则向下平移|k|个单位。
y=ax^2+k向右移动h个单位（h>0）或向左移动|h|个单位（h0）或向下移动|k|个单位（k<0）。
y=a(x-h)^2向上移动k个单位（k>0）或向下移动|k|个单位（k<0），平移规律为“左加右减，上加下减”，概括为八个字。
另一种方法是对于y=ax^2+bx+c，沿y轴平移m个单位向上（下）为y=ax^2+bx+c+m（或y=ax^2+bx+c-m），沿轴平移m个单位向左（右）为y=a(x+m)^2+b(x+m)+c（或y=a(x-m)^2+b(x-m)+c）。
对于二次函数y=a(x-h)^2+k和y=ax+bx+c，两者是不同的表达形式，通过配方可以得到y=ax^2+bx+c，其中h=-b/2a，k=a(h^2)+b(h)+c。
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§6.2二次函数的图像与性质⑸
【课前自习】
1. 根据y
2 2.抛物线y ＝2(x ＋2)2＋1的开口向 ，对称轴是 ；顶点坐标是 ， 说明当x ＝ 时，y 有最 值是 ；无论x 取任何实数，y 的取值范围是 . 3.抛物线y ＝－2(x －2)2－1的开口向 ，对称轴是 ；顶点坐标是 ， 说明当x ＝ 时，y 有最 值是 ；无论x 取任何实数，y 的取值范围是 . 4.抛物线y ＝－1
2(x ＋1)2－3与抛物线 关于x 轴成轴对称；
抛物线y ＝－1
2(x ＋1)2－3 与抛物线 关于y 轴成轴对称；
抛物线y ＝－1
2(x ＋1)2－3与抛物线 关于原点对称.
5. y ＝a (x ＋m )2＋n 被我们称为二次函数的 式.
一、探索归纳：
1.问题：你能直接说出函数y ＝x 2＋2x ＋2 的图像的对称轴和顶点坐标吗？ .
2.你有办法解决问题①吗？
y ＝x 2＋2x ＋2的对称轴是 ，顶点坐标是 .
3.像这样我们可以把一个一般形式的二次函数用 的方法转化为 式，从而直接得到它的图像性质.
练习1.用配方法把下列二次函数化成顶点式：
①y ＝x 2－2x －2 ②y ＝x 2＋3x ＋2 ③y ＝2x 2＋2x ＋2
④y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)
4.归纳：二次函数的一般形式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)可以被整理成顶点式： ，
说明它的对称轴是 ，顶点坐标公式是 .
练习2.用公式法把下列二次函数化成顶点式：
①y ＝2x 2－3x ＋4 ②y ＝－3x 2＋x ＋2 ③y ＝－x 2－2x
二、典型例题：
例1、用描点法画出y ＝1
2x 2＋2x －1的图像.
⑴用 法求顶点坐标：
⑶在下列平面直角坐标系中描出表中各点，并把这些点连成平滑的曲线：
⑷观察图像，该抛物线与y 轴交与点 ，与x 轴有 个交点.
例2、已知抛物线y ＝x 2－4x ＋c 的顶点A 在直线y ＝－4x －1上 ，求抛物线的顶点坐标.
【课堂检测】
1.用配方法把下列二次函数化成顶点式：
①y ＝x 2－3x －1 ②y ＝x 2＋4x ＋2
2.用公式法把下列二次函数化成顶点式：
①y ＝－2x 2＋3x －4 ②y ＝1
2x 2－x ＋2
3.用描点法画出y ＝x 2＋2x －3的图像. ⑴用 法求顶点坐标：
⑵列表：
⑶在下列平面直角坐标系中描出表中各点，并把这些点连成平滑的曲线：
①抛物线与y 轴交点坐标是 ；
②抛物线与x 轴交点坐标是 ； ③当x ＝ 时，y ＝0； ④它的对称轴是 ；
⑤当x 时，y 随x 的增大而减小.
【课外作业】
1. 抛物线y ＝3x 2
＋2x 的图像开口向 ，顶点坐标是 ，说明当x ＝ 时， y 有最 值是 .
2. 函数y ＝－2x 2＋8x ＋8的对称轴是 ，当x 时，y 随x 的增大而增大.
3. 用描点法画出y ＝－12x 2－x ＋3
2
的图像.
⑴用法求顶点坐标：
⑵列表：
⑶在下列平面直角坐标系中描出表中各点，并把这些点连成平滑的曲线：
①抛物线与y轴交点坐标是；抛物线与x轴交点坐标是；
②当x＝时，y＝0；
③它的对称轴是；
④当x时，y随x的增大而减小.
§6.3二次函数与一元二次方程
一、知识准备
在同一坐标系中画出二次函数y＝x2－2x－3，y＝x2－6x＋9，y＝x2－2x＋3的图象并回答下列问题：
⑴说出每个图象与x轴的交点坐标？
⑵分析二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的坐标，与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根有
什么关系?
【归纳】
〖例题解析〗
例1．已知二次函数y＝kx2－7x－7的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为．
〖当堂练习一〗
1.不画图象，你能求出函数y＝x2＋x－6的图象与x轴的交点坐标吗？
2.判断下列函数的图象与x轴是否有交点，并说明理由.
（1）y＝x2－x（2）y＝－x2＋6x－9（3）y＝3x2＋6x＋11
3.抛物线y＝2x2＋8x＋m与x轴只有一个交点，则m＝．
例2．抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A（－3，0），对称轴为x＝－1，顶点C到x轴的距离为2，求
此抛物线表达式．
〖当堂练习二〗
4.抛物线y ＝3x 2＋5x 与两坐标轴交点的个数为（ ）
A ．3个
B ．2个
C ．1个
D ．无
5.如图，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝2，点A 、B 均在抛物线上，且AB
与x 轴平行，其中点A 的坐标为(0，3)，则点B 的坐标为（ ） A ．(2，3) B ．(3，2) C ．(3，3) D ．(4，3)
6.二次函数y ＝kx 2＋3x －4的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围
．
7.抛物线y ＝x 2－2x －8的顶点坐标是________，与x 轴的交点坐标是________. 8.已知抛物线y ＝mx 2＋(3－2m )x ＋m －2(m ≠0)与x 轴有两个不同的交点．
（1）求m 的取值范围；（2）判断点P (1，1)是否在抛物线上；
【课后延伸】
①已知函数y ＝(k －3)x 2＋2x ＋1的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是 .
②已知抛物线y ＝1
2x 2＋x ＋c 与x 轴没有交点．求c 的取值范围 .
③已知函数y ＝mx 2－6x ＋1（m 是常数）．
⑴求证：不论m 为何值，该函数的图象都经过y 轴上的一个定点； ⑵若该函数的图象与x 轴只有一个交点，求m 的值．
④若二次函数y ＝－x 2＋2x ＋k 的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程－x 2＋2x ＋k ＝0的一个解x 1＝3，另一个解x 2＝ ．
⑤二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）写出方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根．x 1＝ _________ ，x 2＝ _________ ； （2）写出不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集． _________ ；
（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围．_________；
（4）若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．_________．
⑥阅读材料，解答问题．
例．用图象法解一元二次不等式：x2－2x－3＞0．
解：设y＝x2－2x－3，则y是x的二次函数．∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上．
又∵当y＝0时，x2－2x－3＝0，解得x1＝－1，x2＝3．∴由此得抛物线y＝x2－2x－3的大致图象如图所示．观察函数图象可知：当x＜－1或x＞3时，y＞0．∴x2－2x－3＞0的解集是：x＜－1或x＞3．
（1）观察图象，直接写出一元二次不等式：x2－2x－3＜0的解集是_________；
（2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：x2－5x+6＜0．（画出大致图象）．
⑦如图是抛物线y＝ax2＋bx＋c的一部分，对称轴为直线x＝1，若其与x轴一交点为B(3，0)，则由图象可知，不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是_________．
⑧已知平面直角坐标系xOy，抛物线y＝－x2＋bx＋c过点A(4,0)、B(1,3) .
（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）记该抛物线的对称轴为直线l，设抛物线上的点P(m,n)在第四象限，点P关于直线l的对称点为E，点E关于y轴的对称点为F，若四边形OAPF的面积为20，求m、n的值.。