用顶点式求二次函数解析式
初三数学二次函数解析式的求法
二次函数解析式的 求法
单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述你的观点
顶点式ya2xbxc(a0)交点式
ya(xm)2n(a0)顶 点 坐 m,n标 )
ya(xx )(xx )(a0)
1
2
回味
知识点：
条件
：
若
抛y物 a一线 ．x2二一次般函式b数x解析c式常见
的三种表示形式：
与X轴交于两x点,0（ )(x ,0)
（3）将抛物线作怎样的一次 平移,才能使它与坐标轴仅有 两个交点,并写出此时抛物线 的解析式。
A -1 o -2.5D
B 5x
C
讲例：
4、如图，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+4相
交于A（1，m），B（4，8）两点，与x轴交于原
点及C点，（1）求直线和抛物线的解析式；（2）
在抛物线上是否存在点D，使S△OCD= 3 S△OCB，若 存在，求出点D；若不存在，请说明理由2 。
点拔： 设一次函数的解析式为y=kx+n
则:
n 1 2k n
5
∴y=3x-1
∵抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为
(b, 4cb2 )
24
4c b2 4
3 b 1 2
4 2b c 5
5 2
试一试：
点拔：（1）
1 已知:抛物线y=ax2+bx+c过点（-5，0）、（0， ） （1，6）三点，直线L的解析式为y=2x-3，（1）求抛物线 的解析式；（2）求证：抛物线与直线无交点；（3）若与直 线L平行的直线与抛物线只有一个交点P，求P点的坐标。
∴y=a（x-3）2+1=ax2-6ax+9a+1
初中数学-二次函数的解析式
∴a(2-1)2-2=3，得：a=5,
∴解析式为y=5(x- 1)2-2
注：此题运用了二次函数的顶点式
2.已知抛物线过三点：A（－1，2），B（0，1）， C（2，－7），求二次函数的解析式.
解：设二次函数的解析式为： y ax bx 1
2
a b 1 2 由已知得： 4a 2b 1 7
∵抛物线过点C（1，2）
注：此题运用了
二次函数的双根式
解析式为: 1 y ( x 1)(x 3) 2
∴ a (1 1)(1 3) 2
4a 2 1 a 2
3 3.已知抛物线和y轴的交点（0，－ 2 ）
和x 轴的一个交点（-1，0），对称轴是x =1. （1）求图象是这条抛物线的二次函数的解析式； （2）判断这个二次函数是有最大值还是有最小值， 并求出这个最大值或最小值
2 2
y
A O
B
x
公式：AB | x2 x1 | |a|
b 2 4ac |a| |a|
y ax2 bx c, (a 0)
6.抛物线y=-2x2+4x+1 在 x轴上截得的线段长度
为
6
.
y
16 8 6 解: AB |a| 2
A O B
当x
b 1 1时 1 2a 2 2
y最小值
4ac b 2 4a
1 3 4 ( ) (1) 2 2 ＝ 2 ＝－2 1 4 2
b 1 当x 1时函数有最小值 1 2a 2 2 1 2 3 y最小值 1 1 2 2 2
x1, x2 为方程： a(x－x1)(x－x2)=0的两个 根，即抛物线与x的两个交点的横坐标，
用顶点式确定二次函数表达式
(2,5) (0,1)
知识迁移
抛物线 y 2 x bx c（a≠0），经过向左平移 3个单位，向下平移2个单位，得到新的顶点为 （-2，3）；求抛物线原解析式。
2
知识迁移
已知抛物线C1的解析式为 y 2 x 4 x 5
2
抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，则抛物线C2的解 析式为：_________________ _； 若抛物线C3关于抛物线C1 y轴对称，则抛2 9 8
知识迁移
1.已知二次函数的对称轴为直线x=2,函数的最小值 是-3，且过（0，1），求二次函数解析式？
知识迁移
2.已知抛物线对称轴是直线x＝2，且经过(3，1) 和(0，－5)两点，求二次函数的关系式。
知识迁移
3.抛物线如图所示，请求出抛物线的解析式。
综合应用
要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安 装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水 头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的 水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱 落地处离池中心3m,水管应多长?
解:由题可得, 点(1,3)是图中这段抛 y B(1，3) 物线的顶点.因此可设这段抛物线 3 对应的函数是 A 2 y=a(x－1)2＋3 (0≤x≤3) ∵这段抛物线经过点(3,0) 3 1 2 a= － ∴ 0=a(3－1) ＋3 解得: 4 因此抛物线的解析式为: 2 1 3 O y=－4(x－1)2＋3 (0≤x≤3) 当x=0时,y=2.25 答:水管长应为2.25m.
数形结合 双壁辉映
曾鹏志
顶点式确定二次函数
知识回顾
用待定系数法求二次函数的解析式 常见类型
本节重点 运用
1.顶点式：y a( x h) k (a 0)
用顶点式求二次函数解析式
一、 用顶点式求二次函数解析式。
例题：已知抛物线的顶点为（1,3）经过点（3,0） 解：设抛物线的解析式为k h x a y +-=2)(把顶点（1,3）代入得：3)1(2+-=x a y把点（3,0）代入得：03)13(2=+-a 解得：43-=a ∴抛物线解析式为：3)1(432+--=x y练习1：已知抛物线的顶点为（-1,4）经过点（2，-5）2．已知抛物线y ＝ax 2经过点A (1，1)．(1)求这个函数的解析式；3．已知二次函数的图象顶点坐标为(－2，3)，且过点(1，0)，求此二次函数的解析式．4．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标为(2，4)，且过原点，求抛物线的解析式．5.已知二次函数为x ＝4时有最小值 -3且它的图象与x 轴交点的横坐标为1，求此二次函数解析式．6．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过(0，0)，(12，0)两点，其顶点的纵坐标是3，求这个抛物线的解析式．7．把抛物线y ＝(x －1)2沿y 轴向上或向下平移后所得抛物线经过点Q (3，0)，求平移后的抛物线的解析式．8．已知二次函数m x x y +-=62的最小值为1，求m 的值．9．已知抛物线经过A （0，3），B （4,6）两点，对称轴为ｘ＝53 ，求这条抛物线的解析式； 10． 若一抛物线与x 轴两个交点间的距离为8，且顶点坐标为（1, 5），则它们的解析式为 。
二、 用三个点求二次函数解析式 例题：二次函数的图象经过（-1,10），（1,4），（2,7） 解：设二次函数的解析式为：c bx ax y ++=2 把点（-1,10），（1,4），（2,7）代入得： ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+-724410c b a c b a c b a 解得：⎪⎩⎪⎨⎧=-==532c b a ∴抛物线解析式为：5322+-=x x y 练习11：二次函数的图象经过（0,0），（-1,-1），（1,9） 12.已知二次函数y=ax 2＋bx ＋c ，当 x=0时，y=0；x=1时，y=2；x=-1时，y=1．求a 、b 、c ，并写出函数解析式。
二次函数--三种解析式
二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示 三: 二次函数 的图象如图所示 -1 对称轴x=_____ 对称轴 顶点坐标:______ 顶点坐标 (-1,-2) -1 时 有最 有最___值是 值是___ 当x=___时,y有最 小 值是 -2 函数值y<0时,x的取值范围 -3<x<1 的取值范围_______ 函数值y<0时,x的取值范围_______ 或 函数值y>0时,x的取值范围x<-3或x>1 的取值范围_______ 函数值 时 的取值范围 函数值y=0时,x的取值范围 -3或1 的取值范围_______ 函数值 时 的取值范围 或 的增大而增大. 当x_______时,y随x的增大而增大 时 随 的增大而增大 >-1
2
(3)某抛物线 y = ax + bx + c 如图3 如图3示，求此 抛物线的解析式. 抛物线的解析式.
2
y y
y
-1 −2 -2
0
−1
3 图1
3
x
-1 − 1
1 0
1
x
-1
1
−1 0
1 -1
-1
1 −1
2
2
x
图2
图3
6、小结归纳 （1）待定系数法 （2）二次函数解析式的不同形式： 二次函数解析式的不同形式： ①一般式： y = ax2 + bx + c 一般式： ②顶点式： 顶点式： 顶点坐标（－h 顶点坐标（－h，k） （－
解：∵A(1，0)，对称轴为 ， ，对称轴为x=2 轴另一个交点C应为 ∴抛物线与x轴另一个交点 应为（3，0） 抛物线与 轴另一个交点 应为（ ， ） ∴设其解析式为y=a(x-1)(x-3) 设其解析式为 ∵B（0，-3） （ ， ） ∴-3 = a(0-1)(0-3) ∴a= -1 ∴y= -(x-1)(x-3)
求二次函数解析式
回头看了一眼，朝独自跪在那里的人最后投去悲哀的一瞥。因为挨了四鞭，那人的背还在火辣辣的痛，他的膝盖也跪疼了。不过，这个老人会带着尊严死去，或至少是抱着这样的想法死去。 （节选自《偷书贼》第七章P265～267，略有删改） 致中国读者的信 亲爱的中国读者： ? 谢谢您阅读了这
本《偷书贼》。 ? 我小时候长听故事。我的爸爸妈妈经常在厨房里，把他们小时候的故事告诉我的哥哥、两个姐姐和我，我听了非常着迷，坐在椅子上动都不动。他们提到整个城市被大火笼罩，炸弹掉在他们家附近，还有童年时期建立的坚强友谊，连战火、时间都无法摧毁的坚强友谊。 ? 其中有
个故事，一直留在我心里…… ? 我妈妈小时候住在慕尼黑近郊。她说她六岁的时候，有一天听见大街上传来一阵嘈杂的声音。她跑到外面一看，发现有一群犹太人正被押解到附近的达豪集中营。队伍的最后是一位精疲力竭的老人，他已经快跟不上队伍的脚步了。有个男孩子看到老人的惨状后，飞
奔回家拿了一片面包给这位老人。老人感激地跪下来亲吻这位少年的脚踝。结果有个士兵发现了，走过来抢走了老人手上的面包，并用力鞭打了老人。随后士兵转身追赶那个男孩，把男孩也打了一顿。在同一时刻里，伟大的人性尊贵与残酷的人类暴力并存。我认为这恰好可以阐释人性的本质。 ?
听了这些故事之后，我一直想把它们写成一本小书。结果就是《偷书贼》的诞生。而《偷书贼》这本书对我的意义，远远超过我当初的想象。对我来讲，《偷书贼》就是我生命的全部。不管别人怎么看这本书，不管评价是好是坏，我内心明白，这是我最好的一次创作。身为作者，当然会为自己“最
好的一次创作”深感满意。再次感谢您，并致以诚挚的祝福！? ?马克斯/苏萨克 2007年7月27日 ? 【背景概览】 5．《致中国读者的信》放在《偷书贼》（孙张静/译，代谢联合出版公司2014年版）正文之前。你认为作者写这封信有哪些用意？（3分） 答： 6．阅读《致中国读者的信》，从下列选
求二次函数解析式几种常用方法
求二次函数的解析式的几种方法山东省沂水县高桥镇初级中学 王瑞辉二次函数解析式的求法是二次函数知识的重点，也是中考必考内容。
现在举例，说明求二次函数解析式的常用方法，希望对同学们学习有所帮助。
一、二次函数常见的三种表达式：（1）一般式：y ax bx c a =++≠20()；（2）交点式：y a x x x x =--()()12，其中点(,)()x x 1200，，为该二次函数与x 轴的交点；（3）顶点式：()2()0y a x h k a =-+≠，其中点(),h k 为该二次函数的顶点。
二、利用待定系数法求二次函数关系式(1)、已知二次函数图象上任意三个点的坐标，可设一般式求二次函数的关系式。
例1、已知抛物线2y ax bx c =++，经过点（2，1）、（-1，-8）、（0，-3）．求这个抛物线的解析式． 解：根据题意得421,8,3,a b c a b c c ++=⎧⎪-+=-⎨⎪=-⎩ 解之得1,4,3,a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以抛物线为243;y x x =-+-说明：用待定系数法求系数a b c 、、需要有三个独立条件，若给出的条件是任意三个点，可设解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，然后将三个点的坐标分别代入，组成一次方程组用加减消元法来求解．(2)、已知抛物线与x 轴的两个交点坐标和图象上另一个点坐标，可设交点式求二次函数的关系式。
若知道二次函数与x 轴有两个交点()()1200x x ，，，，则相当于方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根12x x ，，从而212()()ax bx c a x x x x ++=--，故二次函数可以表示为12()()(0)y a x x x x a =--≠．例2、已知一个二次函数的图象经过点A （－1，0），B （3，0），C （0，－3）三点．求此二次函数的解析式．解：根据题设，设此二次函数的解析式为(1)(3)y a x x =+-．又∵该二次函数又过点（0，－3）， ∴(01)(03)3a +-=-． 解得1a =．因此，所求的二次函数解析式为(1)(3)y x x =+-，即223y x x =--．说明：在把函数与x 轴的两个交点坐标代入12()()(0)y a x x x x a =--≠求值时，要注意正确处理两个括号内的符号．(3)、已知抛物线顶点和另外一个点坐标时，设顶点式y =a (x -h )2+k (a ≠0)例3、对称轴与y 轴平行的抛物线顶点是(-2，-1)，抛物线又过(1，0)，求此抛物线的函数解析式。
求二次函数解析式的五种常见类型
因此AM＋OM的最小值为4 2 .
返回
方法2 利用顶点式求二次函数解析式
4．在平面直角坐标系内，二次函数图象的顶点为A(1，
－4)，且过点B(3，0)，求该二次函数的解析式．
解：∵二次函数图象的顶点为A(1，－4)，
∴设y＝a(x－1)2－4.
x2＋4x. 解得a＝－ .
解：把A(－2，－4)，O(0，0)，B(2，0)三
故y＝(x－1)2－4，即y＝x2－2x－3.
点的坐标代入y＝ax ＋bx＋c， 方法1 利用一般式求二次函数解析式
由函数的基本形式求二次函数解析式)
2
当x＝0时，y＝－1；
4 a－ 2 b＋ c＝ － 4， a ＝ － 1 ， 即y＝－x2＋4x－3.
解法三：∵抛物线的顶点坐标为(－2，4)，与x轴的一个交点坐标为(1，0)， 解法二：设抛物线对应的函数解析式为y＝a(x＋2)2＋4，将点(1，0)的坐标代入得0＝a(1＋2)2＋4，解得a＝－ .
设抛物线的解析式为y＝a(x－2)2，
OM的最小值． 由函数的基本形式求二次函数解析式)
解法二：设抛物线对应的函数解析式为y＝a(x＋2)2＋4，将点(1，0)的坐标代入得0＝a(1＋2)2＋4，解得a＝－ .
返回
2．一个二次函数，当自变量x＝－1时，函数值y＝2； 当x＝0时，y＝－1；当x＝1时，y＝－2.那么这个 二次函数的解析式为____y_＝__x_2－__2_x_－__1____．
返回
3．如图，在平面直角坐标系中，抛 物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－2， －4)，O(0，0)，B(2，0)三点．
组，得 (2)将抛物线C1向左平移3个单位长度，可使所得的抛物线C2经过坐标原点．如图，所求抛物线C2对应的函数解析式为y＝x(x＋4)，即y＝
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一、 用顶点式求二次函数解析式。
例题：已知抛物线的顶点为（1,3）经过点（3,0） 解：设抛物线的解析式为k h x a y +-=2
)( 把顶点（1,3）代入得：3)1(2+-=x a y 把点（3,0）代入得：03)13(2
=+-a
解得：43
-
=a ∴抛物线解析式为：3)1(4
32
+--=x y
练习1：已知抛物线的顶点为（-1,4）经过点（2，-5）
2．已知抛物线y ＝ax 2
经过点A (1，1)．(1)求这个函数的解析式；
3．已知二次函数的图象顶点坐标为(－2，3)，且过点(1，0)，求此二次函数的解析式．
4．抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c 的顶点坐标为(2，4)，且过原点，求抛
物线的解析式．
5.已知二次函数为x ＝4时有最小值 -3且它的图象与x 轴交点的横坐标为1，求此二次函数解析式．
6．抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c 经过(0，0)，(12，0)两点，其顶点的纵坐标是3，求这个抛物线的解析式．
7．把抛物线y ＝(x －1)2
沿y 轴向上或向下平移后所得抛物线经过点Q (3，0)，求平移后的抛物线的解析式．
8．已知二次函数m x x y +-=62
的最小值为1，求m 的值．
9．已知抛物线经过A （0，3），B （4,6）两点，对称轴为ｘ＝5
3 ，
求这条抛物线的解析式；
10． 若一抛物线与x 轴两个交点间的距离为8，且顶点坐标为（1, 5），则它们的解析式为 。
二、 用三个点求二次函数解析式
例题：二次函数的图象经过（-1,10），（1,4），（2,7） 解：设二次函数的解析式为：c bx ax
y ++=2
把点（-1,10），（1,4），（2,7）代入得：
⎪⎩⎪⎨
⎧=++=++=+-724410c b a c b a c b a 解得：⎪⎩⎪
⎨⎧=-==5
32c b a ∴抛物线解析式为：5322
+-=x x y
练习11：二次函数的图象经过（0,0），（-1,-1），（1,9）
12.已知二次函数y=ax 2
＋bx ＋c ，当 x=0时，y=0；x=1时，y=2；x=-1时，y=1．求a 、b 、c ，并写出函数解析式。