二次函数化为顶点式的公式配方法
二次函数之配方法求顶点式以及与一元二次方程的关系
§6.2二次函数的图像与性质⑸【课前自习】1. 根据y2 2.抛物线y ＝2(x ＋2)2＋1的开口向 ，对称轴是 ；顶点坐标是 ， 说明当x ＝ 时，y 有最 值是 ；无论x 取任何实数，y 的取值范围是 . 3.抛物线y ＝－2(x －2)2－1的开口向 ，对称轴是 ；顶点坐标是 ， 说明当x ＝ 时，y 有最 值是 ；无论x 取任何实数，y 的取值范围是 . 4.抛物线y ＝－12(x ＋1)2－3与抛物线 关于x 轴成轴对称；抛物线y ＝－12(x ＋1)2－3 与抛物线 关于y 轴成轴对称；抛物线y ＝－12(x ＋1)2－3与抛物线 关于原点对称.5. y ＝a (x ＋m )2＋n 被我们称为二次函数的 式.一、探索归纳：1.问题：你能直接说出函数y ＝x 2＋2x ＋2 的图像的对称轴和顶点坐标吗？ .2.你有办法解决问题①吗？y ＝x 2＋2x ＋2的对称轴是 ，顶点坐标是 .3.像这样我们可以把一个一般形式的二次函数用 的方法转化为 式，从而直接得到它的图像性质.练习1.用配方法把下列二次函数化成顶点式：①y ＝x 2－2x －2 ②y ＝x 2＋3x ＋2 ③y ＝2x 2＋2x ＋2④y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)4.归纳：二次函数的一般形式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)可以被整理成顶点式： ，说明它的对称轴是 ，顶点坐标公式是 .练习2.用公式法把下列二次函数化成顶点式：①y ＝2x 2－3x ＋4 ②y ＝－3x 2＋x ＋2 ③y ＝－x 2－2x二、典型例题：例1、用描点法画出y ＝12x 2＋2x －1的图像.⑴用 法求顶点坐标：⑶在下列平面直角坐标系中描出表中各点，并把这些点连成平滑的曲线：⑷观察图像，该抛物线与y 轴交与点 ，与x 轴有 个交点.例2、已知抛物线y ＝x 2－4x ＋c 的顶点A 在直线y ＝－4x －1上 ，求抛物线的顶点坐标.【课堂检测】1.用配方法把下列二次函数化成顶点式：①y ＝x 2－3x －1 ②y ＝x 2＋4x ＋22.用公式法把下列二次函数化成顶点式：①y ＝－2x 2＋3x －4 ②y ＝12x 2－x ＋23.用描点法画出y ＝x 2＋2x －3的图像. ⑴用 法求顶点坐标：⑵列表：⑶在下列平面直角坐标系中描出表中各点，并把这些点连成平滑的曲线：①抛物线与y 轴交点坐标是 ；②抛物线与x 轴交点坐标是 ； ③当x ＝ 时，y ＝0； ④它的对称轴是 ；⑤当x 时，y 随x 的增大而减小.【课外作业】1. 抛物线y ＝3x 2＋2x 的图像开口向 ，顶点坐标是 ，说明当x ＝ 时， y 有最 值是 .2. 函数y ＝－2x 2＋8x ＋8的对称轴是 ，当x 时，y 随x 的增大而增大.3. 用描点法画出y ＝－12x 2－x ＋32的图像.⑴用法求顶点坐标：⑵列表：⑶在下列平面直角坐标系中描出表中各点，并把这些点连成平滑的曲线：①抛物线与y轴交点坐标是；抛物线与x轴交点坐标是；②当x＝时，y＝0；③它的对称轴是；④当x时，y随x的增大而减小.§6.3二次函数与一元二次方程一、知识准备在同一坐标系中画出二次函数y＝x2－2x－3，y＝x2－6x＋9，y＝x2－2x＋3的图象并回答下列问题：⑴说出每个图象与x轴的交点坐标？⑵分析二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的坐标，与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根有什么关系?【归纳】〖例题解析〗例1．已知二次函数y＝kx2－7x－7的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为．〖当堂练习一〗1.不画图象，你能求出函数y＝x2＋x－6的图象与x轴的交点坐标吗？2.判断下列函数的图象与x轴是否有交点，并说明理由.（1）y＝x2－x（2）y＝－x2＋6x－9（3）y＝3x2＋6x＋113.抛物线y＝2x2＋8x＋m与x轴只有一个交点，则m＝．例2．抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A（－3，0），对称轴为x＝－1，顶点C到x轴的距离为2，求此抛物线表达式．〖当堂练习二〗4.抛物线y ＝3x 2＋5x 与两坐标轴交点的个数为（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．无5.如图，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝2，点A 、B 均在抛物线上，且AB与x 轴平行，其中点A 的坐标为(0，3)，则点B 的坐标为（ ） A ．(2，3) B ．(3，2) C ．(3，3) D ．(4，3)6.二次函数y ＝kx 2＋3x －4的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围．7.抛物线y ＝x 2－2x －8的顶点坐标是________，与x 轴的交点坐标是________. 8.已知抛物线y ＝mx 2＋(3－2m )x ＋m －2(m ≠0)与x 轴有两个不同的交点．（1）求m 的取值范围；（2）判断点P (1，1)是否在抛物线上；【课后延伸】①已知函数y ＝(k －3)x 2＋2x ＋1的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是 .②已知抛物线y ＝12x 2＋x ＋c 与x 轴没有交点．求c 的取值范围 .③已知函数y ＝mx 2－6x ＋1（m 是常数）．⑴求证：不论m 为何值，该函数的图象都经过y 轴上的一个定点； ⑵若该函数的图象与x 轴只有一个交点，求m 的值．④若二次函数y ＝－x 2＋2x ＋k 的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程－x 2＋2x ＋k ＝0的一个解x 1＝3，另一个解x 2＝ ．⑤二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）写出方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根．x 1＝ _________ ，x 2＝ _________ ； （2）写出不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集． _________ ；（3）写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围． _________ ；（4）若方程ax 2＋bx ＋c ＝k 有两个不相等的实数根，求k 的取值范围． _________ ． ⑥阅读材料，解答问题．例．用图象法解一元二次不等式：x 2－2x －3＞0．解：设y ＝x 2－2x －3，则y 是x 的二次函数．∵a ＝1＞0，∴抛物线开口向上． 又∵当y ＝0时，x 2－2x －3＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3．∴由此得抛物线y ＝x 2－2x －3的大致图象如图所示．观察函数图象可知：当x ＜－1或x ＞3时，y ＞0．∴x 2－2x －3＞0的解集是：x ＜－1或x ＞3． （1）观察图象，直接写出一元二次不等式：x 2－2x －3＜0的解集是 _________ ； （2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：x 2－5x +6＜0．（画出大致图象）．⑦如图是抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的一部分，对称轴为直线x ＝1，若其与x 轴一交点为B (3，0)，则由图象可知，不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集是 _________ ．⑧已知平面直角坐标系xOy ，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 过点A (4,0)、B (1,3) . （1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）记该抛物线的对称轴为直线l ，设抛物线上的点P (m ,n )在第四象限，点P 关于直线l 的对称点为E ，点E 关于y 轴的对称点为F ，若四边形OAPF 的面积为20，求m 、n 的值.。
二次函数一般式怎么化顶点式
二次函数一般式怎么化顶点式二次函数一般式和顶点式都是描述二次函数的两种常见形式，它们之间的转化是求解二次函数的重要步骤。
在学习数学、物理等学科时，二次函数是非常重要的知识点，对于解决实际问题和理解某些现象都有很大的帮助。
二次函数是一种二次多项式函数，它的一般式可以表示为：$y = ax^2 + bx + c $其中a、b、c均为常数，a不等于0。
这个a决定了二次函数的开口方向和大小。
如果a大于0，则代表开口向上，形如一个U形，如果a小于0，则代表开口向下，形如一个倒U形。
比如，二次函数y = 2x^2 + 4x + 1代表开口向上的二次函数。
其中a、h、k均为常数，a不等于0。
这个h和k确定了二次函数的顶点坐标，也就是他们能够描述二次函数的开口方向和大小，以及顶点的位置。
对于已知二次函数一般式，我们需要将其转化为顶点式来描述。
首先，我们需要将一般式中的x配方成一个完全平方数，然后将整个式子移项，利用配方法得到顶点式中的h、k常数。
具体步骤如下：依据因式公式：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$我们可以将一般式中的二次项配方成一个完全平方数的形式：$ax^2+bx+c=a((\frac{b}{2a}+x)^2-\frac{b^2}{4a^2})+c$这里，$\frac{b}{2a}$就是完全平方数的前半部分，将$x^2$与它进行配平，剩下的便是完全平方数的后半部分。
2. 将整个式子移项，得到顶点式中的h、k常数。
这里我们需要加减逆运算，将配方得到的式子移项，两边同时加上一个c，也就是一般式中的常数项。
这时，我们的一般式就被转化为了顶点式的形式。
其中，顶点的横坐标为$\frac{-b}{2a}$，纵坐标为$c-\frac{b^2}{4a}$。
例如，已知函数f(x) = 2x^2 + 4x + 1，我们可以通过上面的方法将它转化为顶点式：这里我们将a=2，b=4，c=1代入公式进行求解，然后移项得到h=-1，k=-1。
二次函数一般式和顶点式的关系
二次函数一般式和顶点式的关系二次函数是高中数学中较为重要的一个概念，它的一般式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c均为实数且a≠0。
二次函数的图像呈现出一种特殊的形状——抛物线，而这个抛物线的形状则取决于二次项系数a的正负性。
当a>0时，抛物线开口向上，且顶点位于二次函数的最小值点，反之，当a<0时，抛物线开口向下，且顶点位于二次函数的最大值点。
对于一般式的二次函数，我们可以通过配方法将其化为顶点式的形式。
顶点式的二次函数形式为y=a(x-h)²+k，其中(h,k)为抛物线的顶点坐标。
如何从一般式的形式推导出顶点式呢？我们可以通过以下步骤进行：1. 对于一般式y=ax²+bx+c，我们可以通过求导数的方法来确定其最值点。
求导数得到y'=2ax+b，令y'=0，可得x=-b/2a。
2. 将x=-b/2a带回原式中，可得y=a(b/2a)²+b(b/2a)+c，化简可得y=c-b²/4a。
3. 由于两个平方项的和不小于0，且a≠0，因此当a>0时，y取最小值c-b²/4a，当a<0时，y取最大值c-b²/4a。
4. 将y=c-b²/4a带入y=ax²+bx+c中，可得y=a(x+b/2a)²+c-b²/4a，进一步化简可得y=a(x-h)²+k，其中h=-b/2a，k=c-b²/4a。
通过以上推导，我们可以得到一般式和顶点式二次函数的关系。
在实际运用中，顶点式的形式更为方便，可以直接读出抛物线的顶点坐标，同时也更加直观，有助于对二次函数的图像有更深入的理解。
除此之外，顶点式的二次函数还有其他的特点。
例如，当a>0时，y≥k，当x=h时，y=k；当a<0时，y≤k，当x=h时，y=k。
这些特点可以通过顶点式直接读出，而一般式则需要借助求导等数学方法进行推导。
二次函数怎么化为顶点式
二次函数的定义二次函数是指形如y=ax2+bx+c的函数，其中a、b、c是实数且a≠0。
二次函数是代数学中的重要概念，它的图像是一个抛物线，可以向上开口（a>0）或向下开口（a<0）。
顶点式的定义顶点式是一种表示二次函数的形式，它的一般形式为y=a(x−ℎ)2+k，其中(ℎ,k)表示抛物线的顶点坐标。
二次函数化为顶点式的步骤要将二次函数化为顶点式，需要完成以下步骤：1.将二次函数的一般形式y=ax2+bx+c转化为完成平方的形式。
2.通过配方法，将完成平方的二次函数转化为顶点式。
下面将详细解释这两个步骤。
步骤 1：将二次函数转化为完成平方的形式完成平方的目的是为了将二次函数的一般形式转化为顶点式的形式。
下面是将二次函数转化为完成平方的形式的步骤：1.将二次函数的一般形式y=ax2+bx+c中的a系数提取出来，得到y=a(x2+bax)+c。
2.确定一个常数k，使得x2+ba x+k可以写成(x+b2a)2的形式。
这个常数k的值为k=b 24a2。
3.将k代入到y=a(x2+ba x)+c中，得到y=a(x2+bax+b24a2)+c−b24a。
4.将y=a(x2+ba x+b24a2)+c−b24a化简，得到y=a(x+b2a)2+(4ac−b24a)。
经过上述步骤，我们将二次函数转化为了完成平方的形式。
步骤 2：将完成平方的二次函数转化为顶点式完成平方的形式为y=a(x+b2a )2+(4ac−b24a)。
下面是将完成平方的二次函数转化为顶点式的步骤：1.将完成平方的二次函数中的常数项4ac−b24a合并为一个常数k，得到y=a(x+b2a )2+k。
2.确定顶点的横坐标ℎ，即x+b2a =0，解得x=−b2a。
3.将顶点的横坐标ℎ代入到y=a(x+b2a )2+k中，得到y=a(−b2a+b 2a )2+k，化简得y=k。
4.根据顶点的坐标形式(ℎ,k)，将顶点式表示为y=a(x−ℎ)2+k。
如何把二次函数一般式化为顶点式
如何把二次函数一般式化为顶点式二次函数是数学中常见的一种函数形式，它的一般式可以表示为：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数，a≠0。
而顶点式则是二次函数的另一种常见表达形式，它可以更直观地展示二次函数的特点和性质。
本文将介绍如何将二次函数从一般式转化为顶点式，并详细解释其中的步骤和原理。
一、二次函数的顶点式定义及特点顶点式是一种将二次函数表示为顶点坐标形式的表达方式。
顶点式的一般形式为：f(x) = a(x - h)^2 + k，其中(h, k)为二次函数的顶点坐标。
顶点式的优势在于能够直观地展示二次函数的顶点位置和开口方向，便于分析和应用。
二、将一般式化为顶点式的步骤要将一般式化为顶点式，需要经过以下几个步骤：步骤一：确定二次函数的顶点横坐标h二次函数的顶点横坐标h可以通过公式 h = -b / (2a) 来计算。
其中，b为一般式中x的系数，a为一般式中x^2的系数。
步骤二：计算二次函数的顶点纵坐标k将顶点横坐标h代入一般式中，即可计算二次函数的顶点纵坐标k。
代入公式后，顶点纵坐标k = f(h) = ah^2 + bh + c。
步骤三：将一般式化简为顶点式将步骤一中求得的顶点横坐标h和顶点纵坐标k代入顶点式的一般形式，即可得到化简后的顶点式。
化简后的顶点式为：f(x) = a(x - h)^2 + k。
三、一个实例的详细转化过程为了更好地理解如何将一般式化为顶点式，我们以一个具体的实例来进行详细的转化过程。
假设有一个二次函数 f(x) = 2x^2 + 4x + 1，我们要将其化为顶点式。
步骤一：确定顶点横坐标h根据公式 h = -b / (2a)，代入a = 2，b = 4，可以得到 h = -4 / (2 * 2) = -1。
步骤二：计算顶点纵坐标k将顶点横坐标h = -1代入一般式中，即可计算顶点纵坐标k = f(-1) = 2(-1)^2 + 4(-1) + 1 = -1。
二次函数顶点式和一般式转化
二次函数顶点式和一般式转化二次函数是数学中一类非常重要的函数，在很多应用问题中都有广泛的应用。
它的一般形式可以表示为：$y=ax^2+bx+c$，其中 $a$、$b$、$c$ 是实数且 $a\neq 0$。
一般情况下，我们想要对二次函数进行研究和分析时，最好是将其转化为更为方便的形式，如顶点式或标准式等。
下面，我们就来介绍一下如何将二次函数从一般式转化为顶点式。
首先，我们来看一下什么是二次函数的顶点式。
顶点式是指将一般式的二次函数转化为$y=a(x-h)^2+k$的形式，其中$(h,k)$是顶点的坐标。
顶点式的特点是直接给出了顶点的坐标，便于对二次函数的性质进行研究与分析。
接下来，我们将介绍如何将二次函数从一般式转化为顶点式的具体步骤，以便更好地理解和掌握这一转化方法。
步骤一：确定二次函数的系数首先，我们需要明确二次函数的系数。
一般式 $y=ax^2+bx+c$ 中，$a$ 是二次项的系数，$b$ 是一次项的系数，$c$ 是常数项。
步骤二：确定二次函数的顶点横坐标由于顶点是二次函数的最低或最高点，其对应的横坐标可以通过以下公式求得：$x=-\frac{b}{2a}$。
将这个数值记为 $h$，表示顶点的横坐标。
步骤三：确定二次函数的顶点纵坐标将顶点横坐标代入到一般式中，可以求出对应的纵坐标。
将这个数值记为$k$，表示顶点的纵坐标。
步骤四：写出二次函数的顶点式根据上述步骤得到的$h$和$k$，我们可以将二次函数的顶点式写为$y=a(x-h)^2+k$。
以上就是将二次函数从一般式转化为顶点式的基本步骤。
下面，我们将通过一个具体的例子来说明这个转化过程。
例题：将二次函数$y=2x^2+4x+3$转化为顶点式。
解：首先，确定二次函数的系数，可知$a=2$，$b=4$，$c=3$。
最后，代入$h=-1$和$k=1$，可以写出二次函数的顶点式$y=2(x+1)^2+1$。
综上所述，将二次函数$y=2x^2+4x+3$转化为顶点式后，得到$y=2(x+1)^2+1$。
九年级数学 二次函数顶点公式
二次函数顶点公式对于二次函数y=ax^2+bx+c其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)交点式：y=a(x-x₁)(x-x ₂) [仅限于与x轴有交点A（x₁，0）和B（x₂，0）的抛物线]其中x1，2= -b±√b^2－4ac顶点式：y=a(x-h)^2+k[抛物线的顶点P（h，k）]一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:h=-b/2a= （x₁+x₂）/2 k=(4ac-b^2)/4a 与x轴交点：x₁,x₂=(-b±√b^2-4ac)/2a抛物线y=ax²+bx+c 的图象与坐标轴的交点：(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；(2)当△=b²-4ac>0，图象与x轴交于两点A( ,0)和B( ,0)，其中的 , 是一元二次方程y=ax²+bx+c(a≠0)的两根．这两点间的距离AB=| - |.当△=0,图象与x轴只有一个交点；当△<0,图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0．用待定系数法求二次函数的解析式(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y=ax2+bx+c(a≠0)．(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)²+k(a≠0)．(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠0)．二次函数顶点坐标公式及推导过程二次函数顶点式及推导过程二次函数的一般形式：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0) 二次函数的顶点式：y=a(x-h)^2+k k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为（h,k)推导过程：y=ax^2+bx+cy=a(x^2+bx/a+c/a)y=a(x^2+bx/a+b^2/4a^2+c/a-b^2/4a^2)y=a(x+b/2a)^2+c-b^2/4ay=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a对称轴x=-b/2a顶点坐标(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)2二次函数的其他表达式交点式[仅限于与x轴即y=0有交点时抛物线，即b2-4ac≥0] a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。
二次函数顶点式公式的推导方法
二次函数顶点式公式的推导方法摘要：1.二次函数顶点式公式简介2.二次函数顶点式公式的推导过程3.顶点式公式在实际问题中的应用4.结论与总结正文：【1】二次函数顶点式公式简介二次函数是中学数学中的重要内容，其一般形式为y = ax^2 + bx + c。
顶点式公式是二次函数的一种特殊表示形式，形式为y = a(x - h)^2 + k。
顶点式公式更容易理解二次函数的图像特征，如顶点位置、开口方向等。
【2】二次函数顶点式公式的推导过程要将二次函数转化为顶点式公式，我们可以通过以下步骤进行推导：1.先将二次函数的一般形式进行完全平方处理，得到y = a(x^2 + b/2a x + (b/2a)^2 - (b/2a)^2) + c。
2.化简上式，得到y = a(x + b/2a)^2 - (b^2/4a) + c。
3.由此可知，二次函数的顶点式公式为y = a(x - h)^2 + k，其中h = -b/2a，k = c - (b^2/4a)。
【3】顶点式公式在实际问题中的应用顶点式公式在实际问题中具有广泛的应用，如求解最值问题、几何问题等。
以下是一个求解最值问题的例子：已知二次函数y = 2x^2 - 4x + 3，求其在x轴上的最大值。
解析：首先求出顶点坐标，h = -b/2a = -(-4)/(2*2) = 1，k = c -(b^2/4a) = 3 - (0/4*2) = 3。
所以顶点坐标为(1, 3)。
由于a > 0，所以二次函数开口向上，因此在顶点处取得最小值。
将x = 1代入原函数，得到最小值为y = 2*1^2 - 4*1 + 3 = 1。
所以二次函数在x轴上的最大值为1。
【4】结论与总结通过以上分析，我们可以看出二次函数顶点式公式具有直观、易于理解的特点。
掌握顶点式公式的推导过程和实际应用，有助于提高我们的数学素养和解决问题的能力。
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二次函数化为顶点式的公式配方法
二次函数化为顶点式的公式配方法是一种很重要的数学方法，它的用途在于有助于对一般复杂的数学函数进行解析。
首先，从二次函数的标准式中可以看出它的一般形态：
f（x）=ax^2+bx+c
其中，a，b，c分别表示三个系数，一般可以用它们来求二次函数的顶点坐标。
首先，设F（x）=（2a）x+b，则F这个函数是二次函数f（x）的切线，当F（x）=0时，则二次函数也为0，即可求出顶点的坐标（xo,yo）。
其中，xo为二次函数的极值点，即
xo=-b/2a
而yo的值就是二次函数的值，即
yo=f（x）=axo^2+bxo+c
所以，上面的计算方法完美地将二次函数化为顶点式，即
f（x）=(a)(x-xo)^2+yo
而根据这个顶点式可以更加便捷地计算出平面上关于某一函数的图像，从而十分快速地求出函数的极值点所在。
本文介绍了将一般二次函数化为顶点式公式的方法，以及计算方法，希望能够对读者有所帮助。