二次函数之顶点式
二次函数公式：顶点式、交点式、两根式
二次函数公式：顶点式、交点式、两根式
二次函数公式：顶点式、交点式、两根式
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：(1)一般式：y=ax2+bx+c (a，b，c为常数，a0)，则称y为x的二次函数。
顶点坐标(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)
(2)顶点式：y=a(x-h)2+k或y=a(x+m)^2+k(a，h，k为常数，a0)。
(3)交点式(与x轴)：y=a(x-x1)(x-x2)
(4)两根式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1，x2是抛物线与x 轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，a0.
说明：
(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式
y=a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h，k)，h=0时，抛物线y=ax2+k的顶点在y轴上;当k=0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上;当h=0且k=0时，抛物线y=ax2的顶点在原点。
(2)当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点时，即对应二次方程ax2+bx+c=0有实数根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解公式ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)，二次函数y=ax2+bx+c可转化为两根式y=a(x-x1)(x-x2)。
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二次函数的顶点式
参数a决定二次函数图像的开口方向和斜率。如果a>0，则开口向上；如果a<0，则开口向下。
h
参数h决定二次函数图像的平移左右位置，即对称轴的横坐标。
k
参数k决定二次函数图像的平移上下位置，即对称轴的纵坐标。
如何利用顶点式确定二次函数的图像
1 步骤1
根据h和k确定顶点坐标。
2 步骤2
根据a的正负值确定开口方向。
对称轴
对称轴是二次函数图像的中心线，其方程为x = -b/(2a)。
顶点坐标
顶点坐标(h, k)是二次函数图像的最低点或最高点，其中h = -b/(2a)。
二次函数的标准式和顶点式
标准式： f(x) = ax^2 &#x - h)^2 + k
顶点式的定义和推导
3 步骤3
利用顶点坐标和开口方向绘制二次函数的图像。
顶点式的应用举例
顶点式广泛用于描述和分析自然科学、社会科学以及工程领域中的各种实际问题。例如，它可以用来研究物体 运动的轨迹、经济学中的供求关系、生态学中的种群动态等。
顶点式是将二次函数表示为顶点坐标和系数a的形式，通过平移变换得到。
顶点式的示例问题
假设有一个二次函数f(x) = x^2 + 4x + 3，我们将通过顶点式来描述和分析该函数的特点和图像。
顶点式中的顶点及其意义
顶点
顶点是二次函数图像的最低点或最高点，表示二次函数的极值。
顶点式中的参数 a、h、k 及其意义
二次函数的顶点式
二次函数的顶点式是一种简洁而强大的表达方式，通过顶点坐标和系数a来描 述二次函数的图像和特征。
二次函数的定义和形式
二次函数是一个具有幂指数为2的多项式函数，通常表达为f(x) = ax^2 + bx + c 的形式。
二次函数公式：顶点式、交点式、两根式
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：(1)一般式：y=ax2+bx+c (a，b，c为常数，a0)，则称y为x的二次函数。
顶点坐标(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)(2)顶点式：y=a(x-h)2+k或y=a(x+m)^2+k(a，h，k为常数，a0)。
(3)交点式(与x轴)：y=a(x-x1)(x-x2)(4)两根式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1，x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，a0.说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y=a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h，k)，h=0时，抛物线y=ax2+k的顶点在y轴上;当k=0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上;当h=0且k=0时，抛物线y=ax2的顶点在原点。
(2)当抛物线y=ax2+bx+c 与x轴有交点时，即对应二次方程ax2+bx+c=0有实数根x1和x2存在时，根据二次三项式的
分解公式ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)，二次函数y=ax2+bx+c可转化为两根式y=a(x-x1)(x-x2)。
二次函数顶点式最大最小值
二次函数顶点式最大最小值二次函数是一种常见的二次多项式函数，其一般形式为f(x)=ax2+bx+c，其中a、b、c是常数且a eq0。
二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线，而顶点则是抛物线的最高点或最低点。
在二次函数的顶点式中，我们可以轻松地求得抛物线的最大值或最小值。
二次函数顶点式在二次函数f(x)=ax2+bx+c中，其顶点坐标可以通过顶点式来表示。
顶点式是 $x = -\\frac{b}{2a}$，$y = f\\left(-\\frac{b}{2a}\\right)$。
最大最小值的求解方法通过顶点式，我们可以轻松地求得二次函数的最大值或最小值。
当a>0时，二次函数开口向上，顶点为最小值；当a<0时，二次函数开口向下，顶点为最大值。
1.若a>0，则二次函数的最小值为 $f\\left(-\\frac{b}{2a}\\right)$。
2.若a<0，则二次函数的最大值为 $f\\left(-\\frac{b}{2a}\\right)$。
举例说明例如，对于二次函数f(x)=2x2−4x+3，其中a=2，b=−4，c=3。
根据顶点式 $x = -\\frac{b}{2a}$，可得 $x = -\\frac{-4}{2 \\times 2} = 1$。
代入函数得$f(1) = 2 \\times 1^2 - 4 \\times 1 + 3 = 1$。
因此，二次函数f(x)=2x2−4x+3的最小值为 1，在x=1处取到。
结论通过二次函数的顶点式，我们可以轻松求得二次函数的最大值或最小值。
顶点式提供了简洁而有效的方法，帮助我们更好地理解和分析二次函数的特性。
在解决实际问题或优化函数时，顶点式的应用也具有重要意义。
二次函数顶点式公式的推导方法
二次函数顶点式公式的推导方法摘要：1.二次函数顶点式公式简介2.二次函数顶点式公式的推导过程3.顶点式公式在实际问题中的应用4.结论与总结正文：【1】二次函数顶点式公式简介二次函数是中学数学中的重要内容，其一般形式为y = ax^2 + bx + c。
顶点式公式是二次函数的一种特殊表示形式，形式为y = a(x - h)^2 + k。
顶点式公式更容易理解二次函数的图像特征，如顶点位置、开口方向等。
【2】二次函数顶点式公式的推导过程要将二次函数转化为顶点式公式，我们可以通过以下步骤进行推导：1.先将二次函数的一般形式进行完全平方处理，得到y = a(x^2 + b/2a x + (b/2a)^2 - (b/2a)^2) + c。
2.化简上式，得到y = a(x + b/2a)^2 - (b^2/4a) + c。
3.由此可知，二次函数的顶点式公式为y = a(x - h)^2 + k，其中h = -b/2a，k = c - (b^2/4a)。
【3】顶点式公式在实际问题中的应用顶点式公式在实际问题中具有广泛的应用，如求解最值问题、几何问题等。
以下是一个求解最值问题的例子：已知二次函数y = 2x^2 - 4x + 3，求其在x轴上的最大值。
解析：首先求出顶点坐标，h = -b/2a = -(-4)/(2*2) = 1，k = c -(b^2/4a) = 3 - (0/4*2) = 3。
所以顶点坐标为(1, 3)。
由于a > 0，所以二次函数开口向上，因此在顶点处取得最小值。
将x = 1代入原函数，得到最小值为y = 2*1^2 - 4*1 + 3 = 1。
所以二次函数在x轴上的最大值为1。
【4】结论与总结通过以上分析，我们可以看出二次函数顶点式公式具有直观、易于理解的特点。
掌握顶点式公式的推导过程和实际应用，有助于提高我们的数学素养和解决问题的能力。
初中数学二次函数如何化为顶点式
初中数学二次函数如何化为顶点式二次函数是指一元二次方程，其一般形式为：y=ax^2+bx+c，其中a、b和c为实数且a≠0。
顶点式是一种表示二次函数的方式，其形式为：y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)为二次函数的顶点坐标。
将一般形式的二次函数化为顶点式的步骤：1. 先将一般形式的二次函数y=ax^2+bx+c中的常数项c移到等式的右边，得到y=ax^2+bx=-c。
2. 将等式两边同时除以a，得到y=(ax^2+bx)/a=-c/a。
3.下一步是将等式右边的二次项和一次项合并，即将右边的表达式中的二次项和一次项写成完全平方的形式。
要实现这一点，可以采用“配方法”。
配方法的具体步骤是：对于y=(ax^2+bx)/a=-c/a，先对等式右边进行平方，得到右边的平方项和两倍积项。
然后，在等式左边加上相应的平方项和两倍积项，即可使等式两边保持相等。
具体来说，对于y=(ax^2+bx)/a=-c/a，我们将等号右边的表达式加上(b/2a)^2，得到左边的表达式也要加上(b/2a)^2，即y=(ax^2+bx)/a+(b/2a)^2=-c/a+(b/2a)^24.等式右边的部分，取公共因式a，得到y=(ax^2+bx)/a+(b/2a)^2=a(x^2+(b/2a)x+(b/2a)^2)=-c/a+(b/2a)^25.将等式右边的部分进行因式分解，得到y=a(x+(b/2a))^2-c/a+(b/2a)^26.最后，对于等式右边的后两项进行合并化简，得到y=a(x+(b/2a))^2-(c/a-(b/2a)^2)。
7.观察等式右边的表达式，可以发现顶点坐标(h,k)是(-b/2a,c/a-(b/2a)^2)。
8.故而，原二次函数的顶点式为y=a(x-h)^2+k，其中h=-b/2a，k=c/a-(b/2a)^2将一般形式的二次函数化为顶点式，需要进行合并化简和配方法，接下来通过具体的例子来进一步说明：例题：将二次函数y=2x^2+4x+3化为顶点式。
二次函数怎么化顶点式
二次函数怎么化顶点式二次函数是数学中非常重要的一个概念，常常应用于物理、经济等各个领域中。
在解决二次函数问题的过程中，化顶点式是一个非常关键的步骤，通过化顶点式我们可以更好地解决问题。
下面就为大家介绍二次函数怎么化顶点式。
一、二次函数的一般式二次函数的一般式是：$y = ax^2 + bx + c$在这个公式中，a,b,c分别代表二次函数的系数，而x,y分别代表函数中的变量和函数值。
二、二次函数的顶点式二次函数的顶点式表示会更加的简洁，它的公式为：$y = a(x - h)^2 + k$其中，a,h,k都是常数，而且a不能为0，他们的意义如下：1.参数a决定了二次函数的开口方向和大小2.参数(h,k)代表了函数的顶点坐标二次函数的顶点式更加的直观，易于我们使用，接下来我们就一起来看看怎么将一般式转化为顶点式。
三、二次函数如何化顶点式1.先确定二次函数的系数当我们面对一个二次函数问题时，我们需要先确定其系数a,b,c的值，也就是将一般式中的值代进去计算。
2.将一般式的b项移到另一边，通过配方得出顶点式我们可以通过配方来完成顶点式的化简，具体的顺序如下：1. 将公式中的b项移到等式的另一侧$y - c = ax^2 + bx$2. 确定一般式中$x^2$项的系数$y - c = a(x^2 + \frac{b}{a}x)$3.将$x^2$项的系数提取出来，即$a$$y - c = a[(x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a^2}]$4.利用完全平方公式进行拆分$y - c = a(x+\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b^2}{4a})$5.将式子进行移项和合并$y = a(x+\frac{b}{2a})^2 + (\frac{4ac-b^2}{4a})$6.整理出顶点式的形式$y = a(x - \frac{-b}{2a})^2 + (\frac{4ac-b^2}{4a})$通过以上步骤，我们就将一般式化简成了顶点式，也就是说，我们已经找到了二次函数的顶点坐标和开口方向，从而更容易地解决问题。
二次函数公式：顶点式、交点式、两根式
二次函数公式：顶点式、交点式、两根式
二次函数公式：顶点式、交点式、两根式
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：(1)一般式：y=ax2+bx+c (a，b，c为常数，a0)，则称y为x的二次函数。
顶点坐标(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)
(2)顶点式：y=a(x-h)2+k或y=a(x+m)^2+k(a，h，k为常数，a0)。
(3)交点式(与x轴)：y=a(x-x1)(x-x2)
(4)两根式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1，x2是抛物线与x 轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，a0.
说明：
(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式
y=a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h，k)，h=0时，抛物线y=ax2+k的顶点在y轴上;当k=0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上;当h=0且k=0时，抛物线y=ax2的顶点在原点。
(2)当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点时，即对应二次方程ax2+bx+c=0有实数根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解公式ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)，二次函数y=ax2+bx+c可转化为两根式y=a(x-x1)(x-x2)。
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抛物线 y ax 2 k(a 0) y a(x h)2 (a 0)
开口方向 对称轴
开口向上 开口向上
直线X=0 直线X=h
顶点坐标
(0,k) (h,0)
y a(x h)2 k(a 0) 开口向上 直线X=h (h,k)
x+0.5看作是x-(-0.5)
∴抛物线对应的函数是y=a(x-3)2+4
∵抛物线过点（2，-1），代入得
给出顶点 坐标该怎 么用？
-1=a(2-3)2+4
解得:a=-5
∴解析式为y=-5(x-3)2+4
学以致用
13.抛物线的顶点是（-3，-4）且过点（-2，1）， 求抛物线的解析式。
解：设抛物线解析式是y=a(x-h)2+k ∵抛物线的顶点坐标是（-3，- 4） ∴抛物线对应的函数是y=a(x+3)2- 4
填表
解析式
开口方向
y=3(x-2)2 +1 y=-(x+0.5)2 -4 y=2(x+3)2 +5
向上 向下 向上
y=-3(x-1)2-2 y=4(x-3)2 +7
向下 向上
y=-5(x+2)2 -6
向下
学以致用
对称轴
直线x=2
直线x=-0.5 直线x=-3 直线x=1 直线x=3 直线x=-2
顶点坐标
-5
5
-2
-4
-6
二次函数的顶点式
-8
二次函数的顶点式 y a(x h)2 k
图像的特点.
(1)a决定抛物线的开口方向 和开口大小
顶点式中
是减h
(2)对称轴是直线x=h (3)顶点坐标是(h,k)
(4)最值是当x=h时，函数有最大或最小值y=k.
本节课主要运用了数形结合的思想方法, 通过对函数图象的讨论,分析归纳出
先向左平移3个单位，再向下平移2个单位
(2)y=(x+4)2－5
先向右平移4个单位，再向上平移5个单位
12.与抛物线y=－4x 2形状相同，顶点 为（2，-3）的抛物线解析式 为 y= - 4(x-2)2-3 或 y= 4(x-2)2-3 ．
学以致用
12.抛物线y=a(x-h)2+k的顶点是（3，4）且 过点（2，-1），求抛物线的解析式。 解：∵抛物线的顶点坐标是（3，4）
2．抛物线的左右平移 （1）把二次函数y=(x+1) 2的图像， 沿x轴向左平移３个单位， 得到___y_=(_x_+_4_)2_____的图像； （2）把二次函数___y=_(_x_+_2_)2_+_1___的图像， 沿x轴向右平移2个单位，得到y=x 2+1的图像.
3．抛物线的平移： （1）把二次函数y=3x 2的图像， 先沿x轴向左平移３个单位， 再沿y轴向下平移2个单位， 得到___y_=_3_(x_+_3_)_2-_2__的图像； （2）把二次函数____y_=_-_3(_x_+_6_)2__的图像， 先沿y轴向下平移2个单位， 再沿x轴向右平移3个单位， 得到y=-3(x+3) 2－2的图像.
（2）根据图象回答：
当x x<0或x>2
(0,0)
时，y>0;
当x x=0 或 2 当x 0<x<2
时，y=0;
时，y﹤0。
(2,0) (1,-1)
• 课本53页 • 点拨27页 • 点拨28页
作业
知识技能1 6 7
不知道函 数解析式 怎么办？
∵抛物线过点（-2，1），代入得
1=a(-2+3)2-4
解得:a=5
∴解析式为y=5(x+3)2-4
14.已知某二次函数的图象如图所示
（1）求解析式
解：∵二次函数图象的顶点是(1,-1)， ∴设抛物线解析式是y=a(x-1)2-1，
∵其图象过点(0,0)， ∴0= a(0-1)2-1， ∴a=1 ∴y= (x-1)2-1
10.如图所示的抛物线： 当x=_0_或__-2_时，y=0； 当x<－2或x>0时， y_____<0； 当x在 _－__2_<_x<范0 围内时，y>0； 当x=___-1__时，y有最大值___3__.
3
11.试分别说明将抛物线的图象通 过怎样的平移能得到y=x2的图象：
(1) y=(x-3)2+2 ；
4.抛物线
y
1 2
x
12的顶点坐标是___(-_1_,0_)__；
5.抛物线 y 1 x 12向上平移3个单位后， 2 顶点的坐标是___(_-_1_,3_)_；
6.抛物线 y 1 x 12 3 的对称轴是__x_=__-1.
2ห้องสมุดไป่ตู้
7．把二次函数y=4(x－1) 2的图像, 沿x轴向
_右 平移_2 _个单位，得到图像的对称轴是直 线x=3. 8．把抛物线y=－3(x+2) 2，先沿x轴向右 平移2个单位，再沿y轴向下平移1个单位， 得到___y_=_-_3x_2_-1_____的图像． 9．把二次函数y=－2x 2的图像，先沿x轴 向左平移３个单位，再沿y轴向下平移2 个单位，得到图像的顶点坐标是_(_-3,_-2)___．
（2，1） （-0.5，-4） （-3，5） （1，-2） （3，7） （-2，-6）
指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标. 开口方向
对称轴
1 y 2 x 3 2 5 向上
直线x=3
2 y 0.5x 12 向下
3y 3 x2 1
向下
4
4 y 2x 2 2 5 向上
5y 0.5x 42 2 向上
6y 3 x 32
向下
4
直线x= –1 直线x=0 直线x=2 直线x= – 4 直线x=3
顶点坐标 (3,–5) (–1,0) (0,–1) (2, 5) (– 4,2) (3,0)
考考你学的怎么样：
1．抛物线的上下平移 （1）把二次函数y=(x+1)2的图像， 沿y轴向上平移３个单位， 得到___y_=_(x_+_1_)_2+_3___的图像； （2）把二次函数___y_=_x_2_+3______的图像， 沿y轴向下平移2个单位，得到y=x 2+1的图像.