二次函数顶点式及平移法则(熊玉斌)
二次函数的平移规律总结与应用技巧
二次函数的平移规律总结与应用技巧二次函数是高中数学中重要的一部分，通过对二次函数的平移规律进行总结和应用技巧的探索，可以更好地理解和应用这个函数形式。
本文将从平移规律的基本概念入手，逐步介绍相关的技巧和应用。
1. 平移规律的基本概念平移是指将函数图像沿着坐标轴平行地移动。
对于二次函数，其标准形式为y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)表示二次函数图像的顶点坐标。
2. 平移规律的总结与应用技巧2.1 平移规律总结根据平移规律，改变二次函数中的参数a, h, k可以对函数图像进行平移。
具体总结如下：- 参数a的变化：a>0时，图像开口向上；a<0时，图像开口向下。
绝对值|a|越大，图像越"瘦长"；|a|越小，图像越"胖宽"。
- 参数h的变化：若h>0，图像向左平移；若h<0，图像向右平移。
绝对值|h|越大，平移距离越长；|h|越小，平移距离越短。
- 参数k的变化：若k>0，图像向上平移；若k<0，图像向下平移。
绝对值|k|越大，平移距离越高；|k|越小，平移距离越低。
2.2 平移规律应用技巧- 技巧1：根据函数参数的变化，确定平移的方向和距离。
例如，对于函数y=2(x-1)^2+3，参数a=2，h=1，k=3，可以知道图像开口向上，向右平移1个单位，向上平移3个单位。
- 技巧2：通过平移规律，根据已知函数图像和顶点坐标，求出函数的表达式。
例如，已知函数图像经向左平移3个单位、向下平移2个单位后，顶点坐标为(3,-2)，可以得到新函数的表达式为y=a(x-3)^2-2。
3. 平移规律的应用举例3.1 平移的图像比较可以通过比较两个函数的图像来观察平移规律。
例如，比较函数y=x^2和y=(x-1)^2+2的图像，可以发现后者相对于前者向左平移了1个单位，向上平移了2个单位。
3.2 解题应用解决实际问题时，可以利用平移规律来建立数学模型并求解。
二次函数顶点坐标公式
二次函数顶点坐标公式二次函数是一种基本的代数函数形式，可以用来描述抛物线的形状。
二次函数的一般形式可以表示为：f(x) = ax^2 + bx + c其中，a、b、c是实数常数，且a ≠ 0。
二次函数的图像是一个抛物线，其开口的方向由a的正负决定。
顶点坐标公式是用来求解二次函数的顶点坐标的公式。
顶点是二次函数的图像上的最高点或者最低点，它是抛物线的对称轴的交点。
根据对称性质，顶点的横坐标是抛物线对称轴的横坐标，而纵坐标则可以通过代入抛物线方程得到。
二次函数的顶点坐标公式可以通过将二次函数的表达式进行平方完成平方项，并将二次函数转化为一般式。
然后，使用完全平方公式将二次函数转化为平方项加常数项的形式。
具体而言，二次函数的顶点坐标可以通过以下步骤求解：1. 将二次函数f(x)中的x的平方项进行平方，并将其与常数项分开。
f(x) = a(x^2 + bx + c) = a((x + b/(2a))^2 - b^2/(4a^2) + c)2. 令u = x + b/(2a)，将二次函数f(x)转化为平方项加常数项的形式。
f(x) = a(u^2 - b^2/(4a^2) + c)3. 由于a ≠ 0，因此u的取值范围不受限制。
二次函数f(x)的顶点坐标为(u, f(u))。
4. 将u的值代入转化后的二次函数中，求解f(x)的顶点坐标。
f(x) = a(u^2 - b^2/(4a^2) + c) = a(u^2 - b^2/(4a^2) + 4ac/(4a^2)) = a(u^2 + 4ac/(4a^2) - b^2/(4a^2))= a(u^2 + 4ac - b^2)/(4a^2)= (u^2 + 4ac - b^2)/(4a)5. 根据求解的顶点坐标(u, f(u))确定二次函数的顶点坐标为 (u,f(u)) = (x + b/(2a), f(x + b/(2a))).根据以上的求解过程，可以得到二次函数的顶点坐标公式为：顶点坐标 = (x + b/(2a), f(x + b/(2a)))二次函数的顶点坐标公式可以帮助我们快速计算二次函数的顶点坐标，从而更好地理解和分析二次函数的性质和图像。
二次函数的平移
二次函数的平移张尚军在考试中，有些题目是求二次函数平移后的解析式，学生做起来很不方便，普遍感到求平移后的解析式比较困难.就此，我从两个方面进行了一些探讨，概括出二次函数平移后其解析式的变化规律.一.当解析式为顶点式y=a(x-h)2+k （a ≠0）时1.向右或向左平移时，解析式的变化规律.将抛物线向右平移m 个单位，由点的平移规律可知，顶点坐标由（h,k)变为(h+m,k)，所以抛物线解析式由y=a(x-h)²+k 变为y=a[x-(h+m)]2+k=a （x-m-h)2+k两解析式比较可得出图像向右平移m 个单位，括号内减去m ，同理可推出向左平移m 个单位括号内加上m ，即抛物线解析式由y=a(x-h)2+k 变为y=a （x+m-h)2+k.2.向上或向下平移时，解析式的变化规律.将抛物线向上平移n 个单位，有点的平移规律可知，顶点坐标由（h ，k ）变为（h ，k+n ）所以抛物线的解析式由y=a(x-h)2²+k 变为y=a(x-h)2+k+n. 比较两个解析式可得出向上平移n 个单位，括号外加n ，同理可推出向下平移n 个单位括号外减去n.即抛物线解析式由y=a(x-h)2+k 变为y=a （x+m-h)2+k-n.二.当解析式为一般式y=ax 2+bx+c (a ≠0)时1.向右或向左平移时,解析式的变化规律.将抛物线向右平移m 个单位.因为y=ax 2+bx+c=a （x+a 2b ）2+ab 4-ac 42 有前面的规律可知。
y=a(x+a 2b -m)2+ab 4-ac 42 =ax 2+a 4b 2+am ²+bx-2amx-bm+c-a 4b 2=ax 2-2amx+am ²+bx-bx+c=a(x-m)2+b(x-m)+c两式比较,可得出抛物线向右平移m 个单位,自变量上减去m;同理可推出抛物线向左平移m 个单位,自变量上加上m,即解析式由y=ax 2+bx+c 变为y=a(x+m)2+b(x+m)+c2.向上或向下平移时,解析式的变化规律.将抛物线向上平移n 个单位,因为y=ax 2+bx+c=a(x+ a 2b )2+ab 4-ac 42 由前面的规律可知 y=a(x+a 2b )2+ab 4-ac 42+n =ax 2+bx+c+n两式比较:可得抛物线向上平移n 个单位,常数项上加n;同理可推出抛物线向下平移n 个单位,自变量上减去n ，即解析式由y=ax 2+bx+c 变为y=ax 2+bx+c -n. 综上所述，当解析式为顶点式时，解析式的变化规律为上加下减括号外，左加右减括号内；解析式为一般式时，解析式的变化规律为左加右减自变量，上加下减常数项.当解析式为交点式y=a(x-1x )(x-2x )时，解析式的变化规律，请读者自己完成.应用这一规律，不但便于教师授课，而且更有利于学生掌握应用，解起题来更加方便快捷.发表于2012.08下旬总第132期《新课程学习》。
二次函数顶点坐标公式怎么求
二次函数顶点坐标公式怎么求二次函数最高次必须为二次，二次函数的图像是一条对称轴与y 轴平行或重合于y轴的抛物线。
接下来给大家分享二次函数顶点坐标公式的推导过程。
二次函数顶点坐标公式二次函数的一般形式：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)二次函数的顶点式：y=a(x-h)^2+k k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为(h,k)推导过程：y=ax^2+bx+cy=a(x^2+bx/a+c/a)y=a(x^2+bx/a+b^2/4a^2+c/a-b^2/4a^2)y=a(x+b/2a)^2+c-b^2/4ay=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a即h=-b/2a，k=(4ac-b^2)/4a对称轴x=-b/2a顶点坐标(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)二次函数顶点式的几种情况当h>0时，y=a(x-h)²的图像可由抛物线y=ax²向右平行移动h个单位得到;当h<0时，y=a(x-h)²的图像可由抛物线y=ax²向左平行移动|h|个单位得到;当h>0,k>0时，将抛物线y=ax²向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)²+k的图象;当h>0,k<0时，将抛物线y=ax²向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象;当h<0,k>0时，将抛物线y=ax²向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象;当h<0,k<0时，将抛物线y=ax²向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象。
二次函数图象平移规律
二次函数的平移
我对于讲解二次函数课中有关图象平移规律结合学生作业中出现的问题，谈谈自己的一些看法。
在刚开始讲解二次函数平移时，我是先举一些例子，先讲左右平移，如二次函数y=2（x-1）2的图象是怎样由二次函数y=2x2的图象平移得到的？二次函数y=2（x+1）2呢？通过画函数图象，让学生明白左右平移的规律；再讲上下平移，如二次函数y=3x2+2的图象是怎样由二次函数y=3x2的图象平移得到的？二次函数y=3x2-2呢？也是通过画函数图象，让学生明白上下平移的规律。
然后再讲顶点式的二次函数平移，如二次函数y= -（x-1）2+2的图象是怎样由二次函数y= - x2的图象平移得到的？二次函数y= -（x-1）2-3呢？通过画函数图象，让学生找平移的规律。
这样由浅入深，由简渐繁地引导学生找二次函数图象的平移规律，做到了知识连贯和系统性。
学生在做二次函数平移的练习中，对于上下平移容易掌握其中规律，而对于左右平移就容易弄反，结果导致整体平移出错。
结合自己多年教学心得与学生在实际解题中的常见问题，在小复习时我就这样给学生总结：其实二次函数的平移只要抓住顶点就可以了，对比平移前后的两个二次函数的顶点，记住数字增加了就往正方向平移，数字减少了就是往负方向平移。
学生记住这一点之后在做有关二次函数的平移的练习时，出错的机会就很少了。
二次函数 顶点式
二次函数顶点式
二次函数顶点式是一种表示二次函数的方式。
它的一般形式如下：y = a(x - h)^2 + k
其中，a表示二次函数的开口方向和大小，h和k表示顶点的横坐标和纵坐标，也就是二次函数的最低点或最高点。
在二次函数顶点式中，如果a>0，则二次函数开口向上；如果
a<0，则二次函数开口向下。
同时，顶点的横坐标h可以表示二次函数的轴对称线，即x = h。
二次函数顶点式还可以转换成标准式和一般式，其中标准式为：y = ax^2 + bx + c
一般式为：
ax^2 + by^2 + cx + dy + e = 0
二次函数顶点式的优点是可直接读出顶点坐标和开口方向，适用于绝大多数的解题场合。
二次函数的顶点公式
二次函数的顶点公式二次函数是一种代数函数，其一般形式可以表示为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是实数常数且a ≠ 0。
二次函数的图像是一个开口朝上或者开口朝下的抛物线。
顶点公式是一种用来求解二次函数顶点坐标的方法，它可以通过改变二次函数的标准形式，使得计算顶点坐标变得更为简单。
通过顶点公式，我们可以不依靠复杂的图像分析，直接计算二次函数的顶点坐标。
二次函数的顶点公式可以表示为：x = -b / (2a)利用这个公式，我们可以方便地计算出二次函数的顶点的横坐标x。
通过将x的值代入二次函数的方程，我们就可以计算出对应的纵坐标y。
首先，我们需要将二次函数转化为标准形式，即将二次函数化简为y = a(x - h)^2 + k的形式。
其中(h, k)表示顶点的坐标。
利用完全平方式，可以将二次函数化简为标准形式。
首先，我们可以将二次函数的x项项数移项，使得方程变为y - c = a(x^2 + bx)。
然后，我们可以通过添加常数d来将方程变形为一个完全平方式。
具体而言，我们需要满足如下变化：y - c + d = a(x^2 + bx + d / a)。
为了保持等式的平衡，我们需要添加的常数d为-d / (4a)。
这样，我们就成功地将原二次函数转化为标准形式。
接下来，我们可以将标准形式进一步化简为顶点形式。
这可以通过将方程进行平移来实现。
具体而言，我们将方程中的(x + b / (2a))替换为一个新的变量X，即将函数的自变量进行平移。
这样，我们就可以得到一个新的方程y - c + d = a(X^2)，其中X = x + b / (2a)。
注意，此时的顶点坐标为(-b / (2a), c - d)。
接下来，我们将方程进行展开，即将方程平方，并进行组合。
这样，我们可以得到一个新的方程y - c + d =a(X^2)。
通过这个方程，我们可以直接读取出顶点的坐标。
最后，我们将新方程调整为标准形式，得到y = a(X - h)^2 + k。
二次函数的平移规律
.
• 分析：把把x轴，y轴分别向上、向右平移2个 单位，也可以看成把抛物线向下，向左平移2 个单位.
例3.如果要得到 y x2 6x 7 的图像，需
将 y x2 的 图像（ ）
A.先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单 位长度
B.先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单 位长度
C.先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单 位长度
例1.在平面直角坐标系中，将抛物线 y 2x 2
向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位
长度，所得抛物线的解析式是
.
y 2x2向下平移3个单位得 y 2x2 3
y 2x2 3
例2.在平面直角坐标系中，如果抛物线 y 2x2 不动， 而把x轴，y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在
新坐标系下抛物线的解析式是
D.先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单 位长度二次函数一般式直接平移
• 例4.已知抛物线 y x2 2x 1 向右平移
3个单位长度，向下平移2个单位长度得到
的函数解析式是
.
总结：二次函数的平移规律： 上下平移后变化，上加下减； 左右平移括号里面变化，左加右减. 也可以说成： 上下平移函数值y变化，上加下减； 左右平移自变量x变化，左加右减
九年级数学上册
二次函数的平移规律
二次函数的平移规律
• 二次函数的解析式一共有5种形式
1 y ax2 2y ax2 k
3y ax h2
4y ax h2 k
5y ax2 bx c
1 y ax2 2y ax2 k 3y ax h2 4y ax h2 k 5y ax2 bx c
由（1）经过上下平移得到（2）， 即上下平移后变化，上加下减 由（1）经过左右平移得到（3） 即左右平移括号里面变化，左加右减. 由（1）经过上下平移和左右平移得到（4） （4）式和（5）式可以互相转化.
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1.开口方向
向上
2.对称轴 3.顶点 4.增减性
5.最值
上加下减
向下
向上
向上 向下
下
相同
0
k
低
高 上
上加下减
小
k
大
k
1.开口方向
向下
v
左加右减 2.对称轴
3.顶点Байду номын сангаас
4.增减性
5.最值
向左平移 7 个单位 向右平移 1 个单位 向左平移 5 个单位 向右平移 4 个单位
二次函数顶点式及平移法则
二次函数顶点式及平移法则 平移法则：上加下减、左加右减
回顾
1.开口方向 2.对称轴 3.顶点 4.增减性 5.最值
-3 -2 -1 0 1 2 3
1.开口方向10 5 2 向上1 2 5 10
8 3 0 -1 0 3 8
上加下减 2.对称轴
3.顶点
4.增减性
5.最值
上加下减
左加右减
1.开口方向
向上
2.对称轴
3.顶点
4.增减性
5.最值
左加右减
向下
向上
相同
低
小
高
大
左加右减
上加下减，左加右减
下2 右1 左4上3
1.开口方向 2.对称轴 3.顶点 4.增减性 5.最值
向上
向下
向上
向下
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