二次函数复习课公开课.
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二次函数图像与性质复习课件PPT课件一等奖新名师优质课获奖比赛公开课
方程的 方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根；
关系 3.当 b2－4ac＜0 时 抛物线与 x 轴___没__有_____交点，
方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根.
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第12课时┃ 二次函数旳图象与性质
考点 5 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象特征与 a、b、 c 之间的关系
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第12课时┃ 二次函数旳图象与性质
解 可设所求二次函数的解析式为 y＝a(x－1)2－1(a≠0)， ∵抛物线过原点(0，0)， ∴a(0－1)2－1＝0，解得 a＝1， ∴该函数解析式为 y＝(x－1)2－1，即 y＝x2－2x.
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第12课时┃ 二次函数旳图象与性质
二次函 待定系数法确定二次函数的解析式分三种情况：
数解析 1.已知抛物线上任意三个点的坐标时，选用一般形式；
式的 2.已知抛物线顶点坐标时，选用顶点式；
确定 3.已知抛物线与 x 轴两个交点的坐标时，选用交点式.
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第12课时┃ 二次函数旳图象与性质
考点4 二次函数与一元二次方程
数)的图象与 x 轴的一个交点为(1，0)，则关于 x 的一元二次
方程 x2－3x＋m＝0 的两实数根是
(B )
A．x1＝1，x2＝－1 B．x1＝1，x2＝2
C．x1＝1，x2＝0 D．x1＝1，x2＝3
解 析 由于二次函数 y＝x2－3x＋m(m 为常数)的图 象与 x 轴的一个交点为(1，0)，即 x＝1 是一元二次方程 x2 －3x＋m＝0 的根，代入得 12－3＋m＝0，m＝2，原方程 为 x2－3x＋2＝0，解得 x1＝1，x2＝2，故选 B.
二十二-二次函数复习课PPT课件
一般式： 解： 设所求的二次函数为 y=a(x＋1)(x－1）
y=ax2+bx+c
由条件得：
y
两根式： y=a(x-x1)(x-x2)
点M( 0,1 )在抛物线上
所以：a(0+1)(0-1)=1
x o
顶点式： y=a(x-h)2+k
得： a=-1 故所求的抛物线解析式为 y=- (x＋1)(x-1)
.
23
4.求抛物线解析式的三种方法
例题精讲
例1.已知一个二次函数的图象过点（－1,10）、
（1,4）、（2,7）三点，求这个函数的解析式？
一般式： 解： 设所求的二次函数为 y=ax2+bx+c
y=ax2+bx+c
两根式： y=a(x-x1)(x-x2)
由条件得： a-b+c=10 a+b+c=4 4a+2b+c=7
有两个相等的
解
x1=x2=
b 2a
没有实数根
O
x
19
基础练习:
1.不与x轴相交的抛物线是(D )
A y=2x2 – 3
B y= - 2 x2 + 3
C y= - x2 – 3x D y=-2(x+1)2 - 3
2.若抛物线y=ax2+bx+c,当 a>0,c<0时,图象与x
轴交点情况是( C )
（1）抛物线经过（2，0）（0，-2）（-1，0）三
点。
yx2 x2
（2）抛物线的顶点坐标是（6，-2），且与X轴
的一个交点的横坐标是8。
y1(x6 )221x26x 1 6
彭斌上课二次函数复习公开课(定稿)
(1)a确定抛物线的开口方向： a>0 a<0 (2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
c>0 c=0 c<0
b x=- 2a
(3)a、b确定对称轴 ab>0 ab=0 Δ>0 Δ=0
的位置: ab<0 Δ<0
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
(1)a确定抛物线的开口方向： a>0 a<0
y
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
y y y y
O
x O x O
x O x
A B C D
答案: B
前进
快速反应（口答）
(题型四) 求函数解析式
根据下列条件选择合适的方法求二次函数解析式： 1、抛物线经过（2，0）（0，-2）（-2，3）三点。 2、抛物线的顶点坐标是（6，-2），且与X轴的一个 交点的横坐标是8。 3、已知二次函数的图象与x轴交于(-1,0)和(6,0),并且经 过点(2,12)。
解：∵二次函数的最大值是2 ∴抛物线的顶点纵坐标为2 又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上 ∴当y=2时，x=1 ∴顶点坐标为（ 1 ， 2） ∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2 又∵图象经过点（3，-6） 前进 ∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-2 ∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2 即： y=-2x2+4x
c>0
x
c=0
c<0
b x=- 2a
0
(3)a、b确定对称轴 ab>0 ab=0 Δ>0 Δ=0
的位置: ab<0 Δ<0
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
y
二次函数复习-公开课
3
E
-1
2
l
4 12 x , x ，？) Q (x 7 7
过 P作 PQ 与 x轴 垂 直 ， 交 AE于 Q ， 设 P 点 横 坐 标 为 x .P Q 的 长 度 为 l，
求 l关 于 x 的 函 数 关 系 式 ？ 并 写 出
y2
43
7
x
12 7
x的 取 值 范 围 ？ 当 P点 运 动 到 什 么
位 置 时 ， 线 段 PQ的 值 最 大 ， 并 求 此 时 P点 的 坐 标 ；
y1 x 2 x 3
已知y 1
( a 1) x b x c
2
的图像,OA=OB，思考：
（1,4）
y2
(9 在抛物线的对称轴上 （ 8) ） 是 否 存 在 点 M， 使 得 △ ABM 是等腰三角形，若存在， 求 出 点 M的 坐 标 ， 若 不 存 在 ， 请说明理由；
2
1
x 1
3
已知
3
y 1 ( a 1) x b x c 的图像,OA=OB，思考：
(1, 4 )
2
(2)若该抛物线是由函数
y mx
2
n x p 图像向左
平移1个单位，再向下平移2个 单位得到的，则m= -1 ,
-1
3
y1 x 2 x 3
2
n=
4
2
,p=
2
;
化为一般式
2
y x 4x 2
配方
y1 x 1 4
2
y1 x 2 4 2
向右
平移
y1 x 1 1 4
中考二次函数总复习-精品公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
x
巩固一下吧！
下列函数中哪些是一次函数，哪些是二次函数？
(1) y 3 x 4
(3) y 1 2x
(5) y x2 x 1
(2) y x2 (4) y 2x2 1 3
x (6) y (x 1)2 (x 1)2
(7) y (x 2)2 3 (9) y x 2 1
x
(8) y 0.5x2 1 (10)x2 y2 5
y
(2)解:∵抛物线与x轴相交时
x2-2x-8=0
A
Bx
P
解方程得:x1=4, x2=-2
∴AB=4-(-2)=6 迈进
而P点坐标是(1,-9)
∴S△ABC=27
(二)根据函数性质鉴定函数图象之间 旳位置关系
例3:在同一直角坐标系中，一次函数 y=ax+c和二次函数y=ax2+c旳图象大致为
y
y
y
3、解答题：
已知二次函数旳图象旳顶点坐标为（－2，－3），且 图象过点（－3，－2）。 （1）求此二次函数旳解析式； （2）设此二次函数旳图象与x轴交于A，B两点，O为 坐标原点，求线段OA，OB旳长度之和。
能力训练
1、 二次函数旳图象如图所示，则在下列各不等式 中成立旳个数是____________
2.选择
(1) 抛物线y=x2-4x+3旳对称轴是___c__________.
A 直线x=1 B直线x= -1 C 直线x=2 D直线x= -2
(2)抛物线y=3x2-1旳______B__________ A 开口向上,有最高点 B 开口向上,有最低点 C 开口向下,有最高点 D 开口向下,有最低点
(3)顶点坐标是:(-2a ,
4ac-b2 4a
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下列函数中哪些是一次函数，哪些是二次函数？
(1) y 3 x 4
(3) y 1 2x
(5) y x2 x 1
(2) y x2 (4) y 2x2 1 3
x (6) y (x 1)2 (x 1)2
(7) y (x 2)2 3 (9) y x 2 1
x
(8) y 0.5x2 1 (10)x2 y2 5
y
(2)解:∵抛物线与x轴相交时
x2-2x-8=0
A
Bx
P
解方程得:x1=4, x2=-2
∴AB=4-(-2)=6 迈进
而P点坐标是(1,-9)
∴S△ABC=27
(二)根据函数性质鉴定函数图象之间 旳位置关系
例3:在同一直角坐标系中，一次函数 y=ax+c和二次函数y=ax2+c旳图象大致为
y
y
y
3、解答题：
已知二次函数旳图象旳顶点坐标为（－2，－3），且 图象过点（－3，－2）。 （1）求此二次函数旳解析式； （2）设此二次函数旳图象与x轴交于A，B两点，O为 坐标原点，求线段OA，OB旳长度之和。
能力训练
1、 二次函数旳图象如图所示，则在下列各不等式 中成立旳个数是____________
2.选择
(1) 抛物线y=x2-4x+3旳对称轴是___c__________.
A 直线x=1 B直线x= -1 C 直线x=2 D直线x= -2
(2)抛物线y=3x2-1旳______B__________ A 开口向上,有最高点 B 开口向上,有最低点 C 开口向下,有最高点 D 开口向下,有最低点
(3)顶点坐标是:(-2a ,
4ac-b2 4a
二次函数(复习课)课件
详细描述
伸缩变换包括横向伸缩和纵向伸缩。横向伸缩是指将图像在x轴方向上进行放大或缩小，纵向伸缩是指将图像在y轴方向上进行放大或缩小。具体来说，对于函数y=ax^2+bx+c，若图像在x轴方向上放大k倍，则新的函数为y=a(kx)^2+b(kx)+c；若图像在y轴方向上放大k倍，则新的函数为y=a(x)+b(x)/k+ck。通过这两种伸缩变换，我们可以得到原函数的放缩版函数。
02
二次函数的解析式
总结词
二次函数的一般形式是 $y = ax^2 + bx + c$，其中 $a neq 0$。
详细描述
一般式是二次函数的基本形式，它包含了二次函数的最高次项、一次项和常数项。通过一般式可以明确地看出函数的开口方向和开口大小，由系数 $a$ 决定。
VS
二次函数的顶点形式是 $y = a(x - h)^2 + k$，其中 $(h, k)$ 是函数的顶点坐标。
总结词
实际应用问题
总结词
与其他函数的综合
总结词
与几何图形的结合
01
02
03
04
05
06
总结词
详细描述
总结词与图像关系
这类问题需要探讨二次函数的系数与图像之间的关系，如开口大小、对称轴位置等。
一题多解法
这类问题通常有多种解法，需要灵活运用二次函数的性质和图像，寻找最简便的解法。
详细描述
二次函数具有对称性，其对称轴为直线$x = -frac{b}{2a}$。此外，二次函数的开口方向由系数$a$决定，当$a > 0$时，开口向上；当$a < 0$时，开口向下。顶点坐标为$left(-frac{b}{2a}, fleft(-frac{b}{2a}right)right)$。
伸缩变换包括横向伸缩和纵向伸缩。横向伸缩是指将图像在x轴方向上进行放大或缩小，纵向伸缩是指将图像在y轴方向上进行放大或缩小。具体来说，对于函数y=ax^2+bx+c，若图像在x轴方向上放大k倍，则新的函数为y=a(kx)^2+b(kx)+c；若图像在y轴方向上放大k倍，则新的函数为y=a(x)+b(x)/k+ck。通过这两种伸缩变换，我们可以得到原函数的放缩版函数。
02
二次函数的解析式
总结词
二次函数的一般形式是 $y = ax^2 + bx + c$，其中 $a neq 0$。
详细描述
一般式是二次函数的基本形式，它包含了二次函数的最高次项、一次项和常数项。通过一般式可以明确地看出函数的开口方向和开口大小，由系数 $a$ 决定。
VS
二次函数的顶点形式是 $y = a(x - h)^2 + k$，其中 $(h, k)$ 是函数的顶点坐标。
总结词
实际应用问题
总结词
与其他函数的综合
总结词
与几何图形的结合
01
02
03
04
05
06
总结词
详细描述
总结词与图像关系
这类问题需要探讨二次函数的系数与图像之间的关系，如开口大小、对称轴位置等。
一题多解法
这类问题通常有多种解法，需要灵活运用二次函数的性质和图像，寻找最简便的解法。
详细描述
二次函数具有对称性，其对称轴为直线$x = -frac{b}{2a}$。此外，二次函数的开口方向由系数$a$决定，当$a > 0$时，开口向上；当$a < 0$时，开口向下。顶点坐标为$left(-frac{b}{2a}, fleft(-frac{b}{2a}right)right)$。
二次函数复习课——公开课.ppt
如图根据图象解答下的图象二次函数xxycbxaxxcbxaxxacbxaxy??????????x11x231x3x2y2x28x6大大221yx?221yx??2321yx??2412yx???2512yx????2621yxx???20yaxhka????20yaxbxca????2723yxx????12??14二学会从解析式寻找函数信息开口顶点hk开口与y轴的交点0c顶点2424bacbaa??0001?10?121220yaxbxca????1求二次函数与y轴的交点2求二次函数与x轴的交点200yaxbxc????令240bacx?????函数与轴有两个交点240bacx?????函数与轴有一个交点240bacx?????函数与轴没有交点00cycyx轴必有交点与令??
(3)写出关于x的方程ax2 bx c 0的两个根：_x_1_=_1_,_x_2_=__3； （4)写出关于x的不等式ax2 bx c 0的解集为__1__<_x__<_3； (5)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围：___x_>_2__.
二、学会从解析式寻找函数信息
(1) y x2 (2) y x2 1 (3) y 2(x 1)2 (4) y (x 1)2 2 (5) y (x 1)2 2
(0, 0) (0, 1) (1, 0)
(1, 2) (1, 2)
y a(x h)2 k(a 0)
开口 顶点（h,k）
y ax2 bx c(a 0)
开口
(6)y x2 2x 1 (1,2) 与y轴的交点(0,c)
顶点 (7) y x2 2x 3 (1, 4)
( b , 4ac b2 ) 2a 4a
图象上有点A(x1, y1), B(x2 , y2 )，若
(3)写出关于x的方程ax2 bx c 0的两个根：_x_1_=_1_,_x_2_=__3； （4)写出关于x的不等式ax2 bx c 0的解集为__1__<_x__<_3； (5)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围：___x_>_2__.
二、学会从解析式寻找函数信息
(1) y x2 (2) y x2 1 (3) y 2(x 1)2 (4) y (x 1)2 2 (5) y (x 1)2 2
(0, 0) (0, 1) (1, 0)
(1, 2) (1, 2)
y a(x h)2 k(a 0)
开口 顶点（h,k）
y ax2 bx c(a 0)
开口
(6)y x2 2x 1 (1,2) 与y轴的交点(0,c)
顶点 (7) y x2 2x 3 (1, 4)
( b , 4ac b2 ) 2a 4a
图象上有点A(x1, y1), B(x2 , y2 )，若
第22章《二次函数》复习课PPT课件(人教版)
形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由
三、课堂练习
N M
N
重视知识归纳； 重视基本概念； 重视典型题型； 重视每日小练； 重视错题整理； 避免盲目大意。
九年级数学
第22章 《二次函数》 复习（2）
定形图 性 义式象 质
坦洲实验中学初三数学
一、知识回顾
归纳知识：
（1）开a口的向符上号：由抛物a线>0的开口y 方向确定
开口向下
（2）c的符号：
a<0
o
x
由抛物线与y轴的交点位置确定.
交点在y轴正半轴
c>0
y
交点在y轴负半轴
c<0
交点是坐标原点
c=0
ox
∴ OE=DE=1.5 即D(1.5,-1.5)
设直线OD为y=kx,代入D点坐标得y= -x
令x2-2x-3 = -x
二、典型例题
证明: b2-4ac=[-(2m-1)]2-4×1×(m2-m-2) =4m2-4m+1-4m2+4m+8 =9
即b2-4ac ＞0 ∴ 抛物线与x轴有两个不同的交点
三、课堂练习
C
一次函数y=ax+b经过的象限与a, b符号关系 A选项，经过一二四象限， a＜0, b＞0 B选项，经过一二三象限，a＞0, b＞0 C选项，经过一三四象限， a＞0, b＜0 D选项，经过一三四象限，a＞0, b＜0
三、课堂练习
·B
A2
6
三、课堂练习
-1·
·5
与x,y轴交点
-5·
二、典型例题
解：令x=0,解得y=m2-m-2 令y=0,得x2-(2m-1) x+m2-m-2=0 [x-(m-2)][x-(m+1)]=0
三、课堂练习
N M
N
重视知识归纳； 重视基本概念； 重视典型题型； 重视每日小练； 重视错题整理； 避免盲目大意。
九年级数学
第22章 《二次函数》 复习（2）
定形图 性 义式象 质
坦洲实验中学初三数学
一、知识回顾
归纳知识：
（1）开a口的向符上号：由抛物a线>0的开口y 方向确定
开口向下
（2）c的符号：
a<0
o
x
由抛物线与y轴的交点位置确定.
交点在y轴正半轴
c>0
y
交点在y轴负半轴
c<0
交点是坐标原点
c=0
ox
∴ OE=DE=1.5 即D(1.5,-1.5)
设直线OD为y=kx,代入D点坐标得y= -x
令x2-2x-3 = -x
二、典型例题
证明: b2-4ac=[-(2m-1)]2-4×1×(m2-m-2) =4m2-4m+1-4m2+4m+8 =9
即b2-4ac ＞0 ∴ 抛物线与x轴有两个不同的交点
三、课堂练习
C
一次函数y=ax+b经过的象限与a, b符号关系 A选项，经过一二四象限， a＜0, b＞0 B选项，经过一二三象限，a＞0, b＞0 C选项，经过一三四象限， a＞0, b＜0 D选项，经过一三四象限，a＞0, b＜0
三、课堂练习
·B
A2
6
三、课堂练习
-1·
·5
与x,y轴交点
-5·
二、典型例题
解：令x=0,解得y=m2-m-2 令y=0,得x2-(2m-1) x+m2-m-2=0 [x-(m-2)][x-(m+1)]=0
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B
）
9.抛物线 y=ax2+bx+c 交 xD．下列结论： ①2a+b=0；②2c＜3b；③当 m≠1 时，a+b＜am2+bm；④当△ABD 是等腰直角三 角形时，则 a= ；⑤当△ABC 是等腰三角形时，a 的值有 3 个． 其中正确的有（
二次函数图像与性质
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活动一：如图是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0) 的图像,请尽可能多的说出一些结论。
y
1
0
1
3
x
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活动二：归纳总结
名称
二次函数解析式 （a≠0）
一般式
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活动四：难点突破
(1)活动一的图如果我们去掉点的坐标，试讨 论与a,b,c有关的代数式的取值。
6
活动四：难点突破
（2）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象
⑤⑥⑦⑧ 如右图所示，那么下列判断正确的有________
（填序号）
①abc>0 ②b2-4ac<0
3.如果将抛物线y=﹣x2﹣2向右平移3个单位，那么 所得到的新抛物线的表达式是（ c ） A．y=﹣x2﹣5 B．y=﹣x2+1 C．y=﹣（x﹣3）2﹣2 D．y=﹣（x+3）2﹣2 4.对于抛物线y=﹣（x+2）2+3，下列结论中正确结论 的个数为（ c ） ①抛物线的开口向下； ②对称轴是直线x=﹣2； ③图象不经过第一象限； ④当x＞2时，y随x的增大而 减小． A．4 B．3 C．2 D．1
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o
y
x
o
3
x
活动三：考点梳理
1．下列函数中，二次函数是（ B ）
2.抛物线y=2（x+1）2﹣2与y轴的交点的坐标是 （D ）
A．（0，﹣2） B．（﹣2，0）
C．（0，﹣1） D．（0，0）
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活动三：考点梳理
A）
A．①③④ B．①②④ C．①③⑤ D．③④⑤
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再见
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③4a+b>0 ④a+b+c<0 ⑤a-b+c=0 ⑥4a+2b+c>0 ⑦a+b+2c>0 ⑧3a+c<0
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活动四：难点突破
(3)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象
①④⑤⑥⑦ 如右图所示，那么下列判断正确的有________
B）
D． （﹣2，3）
C． （2，11）
2．抛物线 y=2（x+3）2﹣4 的顶点坐标是（
D）
A． （3，4） B． （3，﹣4） C． （﹣3，4） D． （﹣3，﹣4） 3．将抛物线 y=﹣ x2 向左平移 2 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，则平 移后所得到的抛物线解析式是（ C A． B． ） C． D．
顶点式 直线 x=h (h , k)
交点式 直线x=
y
y=ax2+bx+c
直线x=
y=a(x-h)2+k y=a(x-x1)(x-x2)
x1 x2 2
轴 对称轴 对 称 顶点坐标 性 增 a ＞0 减 性 a ＜0
最 值 a ＞0 a ＜0
b 2a b 4ac b 2 （ , ） 2a 4a
B．2 个 C．3 个 D．4 个
B
）
7． 若二次函数 y=ax2+bx+c （a≠0） 的图象如图所示， 则下列结论正确的是 （
C）
A．a＜0
B．c＞0 C．b=﹣2a D．b2﹣4ac＜0
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活动五：课堂达标
8． 已知抛物线 y=ax2+bx+c （a＞0） 的对称轴为 x=﹣1， 交 x 轴的一个交点为 （x1， 0） ，且 0＜x1＜1，则下列结论：①b＞0，c＜0；②a﹣b+c＞0；③b＜a；④3a+c ＞0；⑤9a﹣3b+c＞0，其中正确的命题有几个（ A．2 B．3 C．4 D．5
B
）
A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
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活动五：课堂达标
6．二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0） ，对称轴 为直线 x=2，下列结论： ①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当 x＞﹣1 时，y 的值随 x 值的增大 而增大．其中正确的结论有（ A．1 个
在对称轴左侧,y随x的增大而减小，在 对称轴右侧,y随x的增大而增大。 在对称轴左侧,y随x的增大而增大， 在对称轴右侧,y随x的增大而减小。
b 当x= 时, 当 x=h 时, 2 a 4ac b 2 y最小值= y最小值=k 4a b 当x= 2 a 时, 当x=h时， 4ac b 2 y最大值= 新课标教学网（ ） y =k
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活动五：课堂达标
4．如图，若 a＜0，b＞0，c＜0，则抛物线 y=ax2+bx+c 的大致图象为（
B）
A．
B．
C．
D．
5.二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则 abc，b2﹣4ac，2a+b，a+b+c 这四个 式子中，值为正数的有（
（填序号）
①abc>0 ②b2-4ac<0
③2a+b>0 ④a+b+c<0 ⑤a-b+c>0 ⑥4a+2b+c<0 ⑦a+b+2c<0 ⑧3a+c<0
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活动五：课堂达标
1．二次函数 y=x2+2x+3 的顶点为（ A． （1，6） B． （-1，2）